| 別解
# ヨッシーさんによる素晴らしい回答が投稿されていますが、
# 私も一生懸命解いたので複雑で無意味ですが投稿しちゃいます。
△ABCをxy座標上におきます。
点Bを原点に重ね、点Cはx軸の正の部分におきます。
各点の座標はu, v, wを正の実数として、A(5u, 5v), B(0, 0), C(3w, 0) とします。
すると、|AE|:|EB| = 3:2 より E(2u, 2v) となります。
また、|BD|:|DC| = 1:2 より D(w, 0) となります。
直線ADは (y-0)/(5v-0) = (x-w)/(5u-w) ⇒ y = {5v/(5u-w)}(x-w)
直線CEは (y-0)/(2v-0) = (x-3w)/(2u-3w) ⇒ y = {2v/(2u-3w)}(x-3w)
# 図から 5u-w ≠ 0 かつ 2u-3w ≠ 0 であることは自明とします。
直線ADと直線CEの交点が点Fなので、点Fのx座標は
{5v/(5u-w)}(x-w) = {2v/(2u-3w)}(x-3w)
⇒ 5(2u-3w)(x-w) = 2(5u-w)(x-3w)
⇒ {(10u-15w)-(10u-2w)}x = (10u-15w)w-(10u-2w)*3w
⇒ (-13w)x = (10u-15w)w-(30u-6w)w
⇒ -13x = -20u-9w
⇒ x = (20u+9w)/13
点Fのy座標は
y = {5v/(5u-w)}((20u+9w)/13-w)
= {5v/(5u-w)}((20u+9w)-13w)/13
= {5v/(5u-w)}(20u-4w)/13
= {5v/(5u-w)}*4(5u-w)/13
= 20v/13
よって、F((20u+9w)/13, 20v/13) となります。
|CF|^2 = (3w-(20u+9w)/13)^2+(0-20v/13)^2
= {(39w-(20u+9w))^2+(-20v)^2}/169
= {(30w-20u)^2+(20v)^2}/169
= {900w^2-1200wu+400u^2+400v^2}/169
= (100/169)(9w^2-12wu+4u^2+4v^2)
|FE|^2 = ((20u+9w)/13-2u)^2+(20v/13-2v)^2
= {((20u+9w)-26u)^2+(20v-26v)^2}/169
= {(9w-6u)^2+(-6v)^2}/169
= {81w-108wu+36u^2+36v^2}/169
= (9/169)(9w-12wu+4u^2+4v^2)
上記の文字式の部分は同一ですので、
(|CF|^2):(|FE|^2) = 100:9
⇒ |CF|:|FE| = 10:3
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No.90335 - 2025/06/10(Tue) 08:48:01 |
