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記事No.90367に関するスレッドです
★
(No Subject)
/ あああ
引用
この問題の解き方をお願いしますm(＿ ＿)m
No.90367 - 2025/07/02(Wed) 00:49:59
☆
Re:
/ X
引用
問題の二次方程式を(A)とします。
又、例えばzの共役複素数を\zと書くことにします。
(1)
(A)より
z-a=±it(z+a)
∴z=a(1±it)/(1干it) (B)
(複号同順、以下同じ)
ここで
1+it=r(cosθ+isinθ) (P)
(r＞0)
と置くと、t≧0より
0≦θ＜π/2
で(P)より
1-it=r(cosθ-isinθ) (P)'
(B)に(P)(P)'を代入して整理をすると
z=a(cos2θ±isin2θ)
よってzの軌跡は,
原点中心、半径aの円
となります。
(2)
ω[1]=az/(z-a)
より
ω[1](z-a)=az
∴z=aω[1]/(ω[1]-a) (C)
一方、(1)の結果から
|z|=a (B)'
(C)を(B)'に代入して
|aω[1]|=a|ω[1]-a| (D)(但しω[1]≠a)
(D)より
|aω[1]|^2={a|ω[1]-a|}^2
両辺展開して
0=-a(ω[1]+\ω[1])+a^2
∴(ω[1]+\ω[1])/2=a/2
よって、ω[1]の軌跡は
実軸上の点a/2を通る、虚軸に平行な直線
となります。
(3)
ω[2]=z/(z-i)
より
z=iω[2]/(ω[2]-1)
これを(B)'に代入して
|ω[2]|=a|ω[2]-1|(但しω[2]≠1)
(E)より
|ω[2]|^2={a|ω[2]-1|}^2
(a^2-1)|ω[2]|^2-(a^2)(ω[2]+\ω[2])+a^2=0
|ω[2]|^2-{(a^2)/(a^2-1)}(ω[2]+\ω[2])+(a^2)/(a^2-1)=0
|ω[2]-(a^2)/(a^2-1)|^2={(a^2)/(a^2-1)}^2-(a^2)/(a^2-1)
|ω[2]-(a^2)/(a^2-1)|^2={a/(a^2-1)}^2
∴|ω[2]-(a^2)/(a^2-1)|=a/(a^2-1)
よってω[2]の軌跡は
実軸上の点(a^2)/(a^2-1)を中心とする
半径a/(a^2-1)の円
となります。
(4)
(2)の軌跡の直線をl,(3)の軌跡の円をCとすると、
題意を満たすためには
(Cの中心とlとの間の距離)≦(Cの半径)
∴|(a^2)/(a^2-1)-a/2|≦a/(a^2-1)
a＞1＞0に注意すると、これより
(a^2-1)|a/(a^2-1)-1/2|≦1
|2a-(a^2-1)|≦2
|a^2-2a-1|≦2
-2≦a^2-2a-1≦2
∴
-2≦a^2-2a-1 (F)
かつ
a^2-2a-1≦2 (G)
(F)より
(a-1)^2≧0
∴aは任意の実数
(G)より
(a-3)(a+1)≦0
∴-1≦a≦3
∴求めるaの値の範囲は
1＜a≦3
となります。
No.90371 - 2025/07/02(Wed) 19:18:23
☆
Re:
/ あああ
引用
ありがとうございます！
よく理解できました！
No.90372 - 2025/07/02(Wed) 22:17:13
