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記事No.90496に関するスレッドです
★ フーリエ級数 / 大学数学難しい。
画像のような周期関数のフーリエ級数を求めたいのですが問題文が正確に思い出せません。
このような図の場合、周期は何になりますか？
また、問題文の想像つく方がいらっしゃいましたら教えてください。
適当に仮定して解いていただいても構いません。
とにかく解き方が知りたいです。
よろしくお願いします。
No.90496 - 2025/08/16(Sat) 20:49:20
☆ Re: フーリエ級数 / X
＞＞周期は何になりますか？
情報が足りないので、出題者にしか分からないと思います。

分からないのであれば、適当に波形の両端の
x座標を文字で置いて計算することになります

が、1になっている２つの区間の幅によって
計算の難度は変わります。

(i)
幅が等しいのであれば、問題の周期関数は
偶関数
となりますので、sinの係数は全て0になり、
cosの係数だけを定義に従って計算すること
になります。
波形の右端のx座標をr(r＞p/6)とすると
波形の周期は2rとなるので
cos{(nπ/r)x}の係数をa[n]とすると
a[n]=2・(1/r)∫[p/6→r]cos{(nπ/r)x}dx
=…

(i)'
特に1となっている区間の幅が２つともが
0となっている区間の幅の半分である
p/6
であるのなら、これはもっとも単純な矩形波を
平行移動したものになりますので、
よく知られている振幅1,周期２πの矩形波の
フーリエ展開である

g(θ)=(4/π){(1/1)sinθ+(1/3)sin3θ+(1/5)sin5θ+…}

をθ方向にπ/2、g(θ)方向に1だけ平行移動したものである

h(θ)=1+(4/π){(1/1)sin(θ-π/2)+(1/3)sin{3(θ-π/2)}+(1/5)sin{5(θ-π/2)}+…}

なるh(θ)を考えたうえで、周期が
2p/3
となるようにθをxに変数変換すれば、
求めるf(x)になります。


(ii)
上記(i)(i)'のいずれでもないのであれば、
問題の波形の左端、右端のx座標をそれぞれ
-q,r(q,r＞p/6,q≠r)
とすると、波形の周期Tは
T=q+r
となりますので、これを元に定義に従って
フーリエ級数の係数を計算していきます。
(被積分関数のsin,cosの係数が定数なので
まだいくらか計算はましですが、それでも
煩雑であることには変わりはありません。)
No.90498 - 2025/08/17(Sun) 09:32:15
☆ Re: フーリエ級数 / 大学数学難しい。
ご回答ありがとうございます。

頭の片隅にある記憶では、両端は-p/4,p/4もしくは-p/3,p/3だったような気がします。

もし両端が-p/4,p/4だったと仮定すると、周期はp/4+p/4なのか、p/4+p/6のどちらですか？

計算できる気がしません。

> ＞＞周期は何になりますか？
> 情報が足りないので、出題者にしか分からないと思います。
>
> 分からないのであれば、適当に波形の両端の
> x座標を文字で置いて計算することになります
>
> が、1になっている２つの区間の幅によって
> 計算の難度は変わります。
>
> (i)
> 幅が等しいのであれば、問題の周期関数は
> 偶関数
> となりますので、sinの係数は全て0になり、
> cosの係数だけを定義に従って計算すること
> になります。
> 波形の右端のx座標をr(r＞p/6)とすると
> 波形の周期は2rとなるので
> cos{(nπ/r)x}の係数をa[n]とすると
> a[n]=2・(1/r)∫[p/6→r]cos{(nπ/r)x}dx
> =…
>
> (i)'
> 特に1となっている区間の幅が２つともが
> 0となっている区間の幅の半分である
> p/6
> であるのなら、これはもっとも単純な矩形波を
> 平行移動したものになりますので、
> よく知られている振幅1,周期２πの矩形波の
> フーリエ展開である
>
> g(θ)=(4/π){(1/1)sinθ+(1/3)sin3θ+(1/5)sin5θ+…}
>
> をθ方向にπ/2、g(θ)方向に1だけ平行移動したものである
>
> h(θ)=1+(4/π){(1/1)sin(θ-π/2)+(1/3)sin{3(θ-π/2)}+(1/5)sin{5(θ-π/2)}+…}
>
> なるh(θ)を考えたうえで、周期が
> 2p/3
> となるようにθをxに変数変換すれば、
> 求めるf(x)になります。
>
>
> (ii)
> 上記(i)(i)'のいずれでもないのであれば、
> 問題の波形の左端、右端のx座標をそれぞれ
> -q,r(q,r＞p/6,q≠r)
> とすると、波形の周期Tは
> T=q+r
> となりますので、これを元に定義に従って
> フーリエ級数の係数を計算していきます。
> (被積分関数のsin,cosの係数が定数なので
> まだいくらか計算はましですが、それでも
> 煩雑であることには変わりはありません。)
No.90503 - 2025/08/17(Sun) 11:39:26
☆ Re: フーリエ級数 / X
＞＞もし両端が-p/4,p/4だったと仮定すると〜
周期はp/4+p/4です。
但し、この場合でも、No.90498での(i)のときに
当たりますので、計算は楽だと思います。
No.90505 - 2025/08/17(Sun) 14:45:24
☆ Re: フーリエ級数 / 大学数学難しい。
自分が周期という言葉の意味を理解していないのが原因だと思いますが、1と0が続いていくので周期はp/4+p/6になるのではと思ってしまいます。
なぜ、p/4+p/4になるのでしょうか。
No.90508 - 2025/08/17(Sun) 16:03:09
☆ Re: フーリエ級数 / X
私は添付写真のグラフ全体が一周期分
(つまり、右端の1の区間が、
左端の1の区間に接続する、の繰り返し)
という解釈で回答しています。

この解釈の場合、
左端がx=-p/4,右端がx=p/4
ですので周期は
p/4+p/4=p/2
です。

このとき
0の区間の長さはp/6+p/6=p/3
1の区間の長さは左右の区間の長さを合わせて
(p/4-p/6)+(p/4-p/6)=p/6
です。
No.90509 - 2025/08/17(Sun) 16:24:21
☆ Re: フーリエ級数 / 大学数学難しい。
理解しました。非常に助かりました。
ありがとうございます。

結果、このような式を立てましたが、あっていますか？
No.90510 - 2025/08/17(Sun) 16:43:37
☆ Re: フーリエ級数 / X
その計算で問題ないと思います。
No.90511 - 2025/08/17(Sun) 21:54:28