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記事No.90548に関するスレッドです
★ (No Subject) / あ
座標平面上の三角形についての問題です。お願いします。
No.90548 - 2025/10/27(Mon) 22:04:04
☆ Re: / X
(1)
a＞b＞0 (P)
ゆえ、a≠bに注意すると
相加平均と相乗平均の関係から
t＞2√{(a/b)(b/a)}=2 (A)
一方、K(X,Y)と置くと、条件から
Y=1/X (B)
X=(a+b+c)/3 (C)
Y=(1/a+1/b+1/c)/3 (D)
(B)(C)を(A)に代入して
(1/a+1/b+1/c)/3=3/(a+b+c)
これより
(a+b+c)(ab+bc+ca)=9abc
(c+a+b){(a+b)c+ab}=9abc
(a+b)c^2+{(a+b)^2-8ab}c+ab(a+b)=0 (E)
条件から(E)をcの二次方程式と見たときに
実数解を持たなければならないので
(E)の解の判別式をDとすると
D={(a+b)^2-8ab}^2-4ab(a+b)^2≧0 (F)
更に、△ABCの重心は常に△ABCの内部に
あることから
c＜0
となることと、(E)の左辺のc^2の係数と
定数項が共に正であることから
(E)の左辺のcの係数について
(a+b)^2-8ab＞0 (G)
(F)より
(a+b)^4-20ab(a+b)^2+64(ab)^2≧0
{(a+b)^2-16ab}{(a+b)^2-4ab}≧0
(a^2+b^2-14ab)(a^2+b^2-2ab)≧0
(t-14)(t-2)≧0
∴t≦2,14≦t (F)'
(G)より
a^2+b^2-6ab＞0
∴6＜t (G)'
(A)(F)'(G)'より求めるtの値の範囲は
14≦t

(2)
一般に、点P(p,p'),Q(q,q')に対し、
△OPQの面積をTとすると
T=(1/2)|pq'-p'q| (証明は省略します)
であることを使うと
S=(1/2)|a/b-b/a|
これより
S^2=(1/4)|a/b-b/a|^2=(1/4)t^2-1
∴(1)の結果からSはt=14のとき
最小値√{(1/4)・14^2-1}=4√3
を取ります。
No.90549 - 2025/10/28(Tue) 19:39:23
☆ Re: / あ
ありがとうございます！
No.90550 - 2025/10/31(Fri) 21:55:17