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記事No.90587に関するスレッドです
★ 24年度国立理系入試問題 長崎大学[理学部](4) / Minamino
24年度国立理系入試問題^_^084
長崎大学[理学部](4)╰(*´︶`*)╯♡
何卒よろしくお願いします
No.90579 - 2025/11/25(Tue) 21:57:51
☆ Re: 24年度国立理系入試問題 長崎大学[理学部](4) / X
(1)
前半)
2倍角の公式により
cos2x=2t^2-1
3倍角の公式により
cos3x=4t^3-3t
後半)
前半の結果から
cosx+cos2x+cos3x＞0
は
t+2t^2-1+4t^3-3t＞0
これより
4t^3+2t^2-2t-1＞0
(2t+1)(2t^2-1)＞0
∴-1/√2＜t＜-1/2,1/√2＜t
tを元に戻して
-1/√2＜cosx＜-1/2,1/√2＜cosx
これと
0≦x≦π
より
0≦x＜π/4,2π/3＜x＜3π/4
No.90581 - 2025/11/26(Wed) 18:52:21
☆ Re: 24年度国立理系入試問題 長崎大学[理学部](4) / X
(2)
f(x+y)=f(x)+f(y) (A)
とします。
前半)
(A)にx=y=0を代入して
f(0)=2f(0)
∴f(0)=0
後半)
(A)より
f(x+y)-f(x)=f(y)
∴y≠0のとき
{f(x+y)-f(x)}/y=f(y)/y
∴lim[y→0]{f(x+y)-f(x)}/y=lim[y→0]{f(y)/y} (A)'
ここでf(x)は微分可能であることと
lim[h→0]{f(h)/h}=2
であることから(A)'は
f'(x)=2
∴f(x)=∫2dx=2x+C(Cは積分定数)
ここで前半の結果から
C=0
∴f(x)=2x
No.90582 - 2025/11/26(Wed) 18:56:36
☆ Re: 24年度国立理系入試問題 長崎大学[理学部](4) / X
(3)
前半)
証明すべき等式を(A)とします。
(A)の左辺において
x=-tと置くと
((A)の左辺)=-∫[1→0]{(t^2-t^4)/{1+e^(-t)}}dt
=∫[0→1]{(e^t)(t^2-t^4)/(1+e^t)}dt
=((A)の右辺)
後半)
前半の結果から
(与式)=∫[0→1]{(e^x)(x^2-x^4)/(1+e^x)}dx
+∫[0→1]{(x^2-x^4)/(1+e^x)}dx
=∫[0→1](x^2-x^4)dx
=1/3-1/5
=2/15
No.90583 - 2025/11/26(Wed) 19:00:52
☆ Re: 24年度国立理系入試問題 長崎大学[理学部](4) / Minamino
今晩は
よろしくお願いいたします
ご回答ありがとうございました
以下私の答案になります
ご意見ご指摘の程何卒よろしくお願いいたします
No.90587 - 2025/11/27(Thu) 16:40:44