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記事No.90689に関するスレッドです
★ 回転体の体積 / ななお
xy平面上において,以下の媒介変数表示を持つ曲線をCとする。

x=sint+(1/2)sin2t

y=-cost-(1/2)cos2t-1/2

Cをy軸のまわりに1回転してできる立体の体積Vを求めよ。

令和6年の早稲田理工の問題です。y軸まわりの回転体の問題でしたが、うっかりx軸まわりの回転体として解いてしまいました。

問題の最後の部分を”Cをx軸のまわりに1回転してできる立体の体積Vを求めよ。”と直した場合の答えは(5/12)π^2+(27√3/64)πで合っていますでしょうか？
No.90680 - 2026/02/13(Fri) 18:36:24
☆ Re: 回転体の体積 / らすかる
具体的な体積の計算はしていませんが、合っていないと思います。
グラフソフトで描いてみると、この図形は
-1≦x≦1 かつ -3/2≦y≦0
の長方形を含んでいますが、
この長方形（横2縦3/2）を回転して出来る円柱だけで体積が
π×(3/2)^2×2=14.137…
となり、問題の答えは少なくとも14より大きくないといけないことがわかります。
(5/12)π^2+(27√3/64)π≒6.4 なので合っていないですね。
No.90683 - 2026/02/14(Sat) 05:18:46
☆ Re: 回転体の体積 / ななお
xの積分区間がなぜ-1≦x≦1なんだろうと思ったら、問題にtの範囲が抜け落ちていました。

0≦t≦πが加わるとどうでしょうか。この場合、xの積分区間は0≦x≦1になりますので、回転体の体積はもう少し小さくなると思うのですが、どうでしょう。

No.90685 - 2026/02/15(Sun) 02:00:46
☆ Re: 回転体の体積 / ななお
V=π∫[0→π/3](-cost-(1/2)cos2t-1/2)^2(cost+cos2t)dt

被積分関数の展開

(cost)^3+(1/4)(cos2t)^3+costcos2t(2cost+(5/4)cos2t+3/2)+(cost)^2+(1/2)(cos2t)^2+(1/4)cost+(1/4)cos2t

第1項から第7項まで順に、積分区間0≦t≦π/3で積分していくと、

第1項=3√3π/8
第2項=3√3π/64
第4項=π^2/6+√3π/8
第5項=π^2/12-√3π/32
第6項=√3π/8
第7項=√3π/16
第3項=π^2/6-9√3π/32

以上の結果、(5/12)π^2+(27√3/64)πになりました。
No.90686 - 2026/02/15(Sun) 02:24:29
☆ Re: 回転体の体積 / らすかる
0≦t≦πとすると、x軸のまわりに回転しても
0≦t≦π/2の部分の曲線は皿型の曲面にしかならず、体積を持ちません。
π/2≦t≦πの部分のみ回転すると閉じた立体になりますが、体積は明らかに1未満です。
（皿型の曲面になってしまう時点で「x軸まわり」ではおかしいことに気づかなければいけないと思います）

もしも
「曲線Cとy軸で囲まれた部分を回転する」
ということならば全体が閉じた立体になりますが、その場合
私が上に書いた「14より大きくないといけない」が
半分の「7より大きくないといけない」となり、
(5/12)π^2+(27√3/64)π≒6.4＜7 なので、
やはり合いません。

なお、提示された定積分の式を求めると以下のようになり、違う結果が出てきます。
https://www.wolframalpha.com/input?i=pi%2A%28int+%28-cos%28t%29-cos%282%2At%29%2F2-1%2F2%29%5E2%2A%28cos%28t%29%2Bcos%282%2At%29%29+dt%2Ct%3D0+to+pi%2F3%29&lang=ja
No.90687 - 2026/02/15(Sun) 08:15:10
☆ Re: 回転体の体積 / ななお
『皿型の曲面にしかならず、体積を持ちません』の部分が読み取れないです。

曲線Cの概形ですが、t=0で(0,-2)を出発し、t=π/3まで(3√3/4,-3/4)に向けてx方向、y方向とも単調増加し、t=2π/3まで(√3/4,1/4)に向けてx方向は単調減少、y方向は単調増加し、t=πまで原点に向けてx方向、y方向とも単調減少するという形で合っていますでしょうか？これを回転しても立体にならないとはどういうことでしょうか？
No.90688 - 2026/02/15(Sun) 11:28:25
☆ Re: 回転体の体積 / GandB
[参考]
　GeoGebraに
　　x = sin(t)+(1/2)sin(2t)
　　y = -cos(t)-(1/2)cos(2t)-1/2
を描かせてみた。
No.90689 - 2026/02/15(Sun) 11:54:12
☆ Re: 回転体の体積 / ななお
No.90689の真ん中の図で、赤色に囲まれているところをx軸回転すれば、立体ができて体積計算できませんか？
No.90690 - 2026/02/15(Sun) 12:35:27
☆ Re: 回転体の体積 / らすかる
「赤色に囲まれているところ」はありません。赤色は単なる曲線であり、「内部」が存在しません。
（原点と(0,-2)はそれぞれ曲線Cの端点であり、曲線C以外でつながっていませんよね？）
その赤色の針金をx軸に関して回転することを考えて下さい。
「上部を左に向けた皿」のような形になりますよね？
例えば(1,-1)の点から左方向に長く伸ばした針金は、
赤色の針金を回転してもかすりもしません。
つまり(1,-1)の点は「回転してできる立体」の外側であり、
「回転してできる立体」は赤色の針金が通った皿型の曲面でしかありません。
（ただし原点付近に小さい立体はありますので、そこだけは体積計算可能です。）
No.90691 - 2026/02/15(Sun) 13:53:16
☆ Re: 回転体の体積 / ななお
やっとわかってきた気がしますが、y軸上の(0,0)と(0,-2)を結ぶ部分がつながっていないからだめということでしょうか。

そうだとしたら、その部分をつなげてx軸のまわりに回転とすれば、それだったら体積計算をしてもよいのですか？
No.90692 - 2026/02/15(Sun) 23:19:11
☆ Re: 回転体の体積 / らすかる
はい、そうです。つながっていませんので「囲まれている領域」が存在しませんね。
例えば
「曲線Cとy軸で囲まれる領域をx軸のまわりに1回転して出来る立体の体積を求めよ」
ならば問題ありません。
No.90693 - 2026/02/16(Mon) 02:50:03
☆ Re: 回転体の体積 / ななお
よくわかりました。では、問題を、『曲線Cとy軸で囲まれる領域をx軸のまわりに1回転して出来る立体の体積を求めよ』に修正した場合の質問です。

まず体積計算の誤りですが、No.90689の図をよく見ると、t=π/3からx軸方向に減少していく際、t=πまでのx軸下方にある部分が回転で空洞になり、この部分を引き忘れている感じがします。

No.90686の計算を正しく行い、π∫[π→π/3](-cost-(1/2)cos2t-1/2)^2(cost+cos2t)dtを引けば、正しい解答になりますか？

No.90686の計算ですが、No.90687を見ますと、(5/12)π^2はいいみたいですが、(27√3/64)πが間違えていて、正しくは(81√3/64)πのようですが、第1項から第7項までの、どこの計算を間違えているのでしょうか？
No.90694 - 2026/02/16(Mon) 10:36:01
☆ Re: 回転体の体積 / らすかる
> No.90686の計算を正しく行い、π∫[π→π/3](-cost-(1/2)cos2t-1/2)^2(cost+cos2t)dtを引けば、正しい解答になりますか？
引くものの積分範囲は[π→π/3]ではなく[π/2→π/3]ですね。
π〜π/2の部分は引いてはまずいです。

> No.90686の計算ですが、No.90687を見ますと、(5/12)π^2はいいみたいですが、(27√3/64)πが間違えていて、正しくは(81√3/64)πのようですが、第1項から第7項までの、どこの計算を間違えているのでしょうか？

答え合わせには以下のサイトをお勧めします。

第1項
https://www.wolframalpha.com/input?i=pi+%2A+%28int+%28cos%28t%29%29%5E3+dt%2Ct%3D0+to+pi%2F3%29&lang=ja

第2項
https://www.wolframalpha.com/input?i=pi+%2A+%28int+%28cos%282%2At%29%29%5E3%2F4+dt%2Ct%3D0+to+pi%2F3%29&lang=ja

第3項
https://www.wolframalpha.com/input?i=pi+%2A+%28int+cos%28t%29%2Acos%282%2At%29%2A%282%2Acos%28t%29%2B%285%2F4%29%2Acos%282%2At%29%2B3%2F2%29+dt%2Ct%3D0+to+pi%2F3%29&lang=ja

第4項
https://www.wolframalpha.com/input?i=pi+%2A+%28int+%28cos%28t%29%29%5E2+dt%2Ct%3D0+to+pi%2F3%29&lang=ja

第5項
https://www.wolframalpha.com/input?i=pi+%2A+%28int+%28cos%282%2At%29%29%5E2%2F2+dt%2Ct%3D0+to+pi%2F3%29&lang=ja

第6項
https://www.wolframalpha.com/input?i=pi+%2A+%28int+%28cos%28t%29%29%2F4+dt%2Ct%3D0+to+pi%2F3%29&lang=ja

第7項
https://www.wolframalpha.com/input?i=pi+%2A+%28int+%28cos%282%2At%29%29%2F4+dt%2Ct%3D0+to+pi%2F3%29&lang=ja

これを見ると、第3項だけ計算を間違えており
正しくは π^2/6+27(√3)π/32 で、
(9√3)π/8 足りませんので、その分修正すると、合計は正しくは
(5/12)π^2+(99√3/64)πになります。
※分子の√3の係数は81でなく99です
No.90695 - 2026/02/16(Mon) 12:57:38