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記事No.9143に関するスレッドです
★ (No Subject) / 数学好きの数学下手
某質問サイトで興味深い問題を見つけたのですが、なかなか解けません。おそらく高校までの範囲でできるのでしょうが…回答をお願いします。

・問題

正四面体ABCDについて、Aから面BCDに引いた垂線の足をE、Bから面ACDに引いた垂線の足をF、Cから面ABDに引いた垂線の足をG、Dから面ABCに引いた垂線の足をHとする。AE、BF、CG、DHの中点をそれぞれP、Q、R、Sとするとき、4つの立体P-BCD、Q-ACD、R-ABD、S-ABCすべてに共通する部分の体積は、正四面体の体積の何倍か。
No.9138 - 2009/12/12(Sat) 08:42:40
☆ Re: / フリーザ
マックスパワーの半分も出せば解けると思ったのですが・・・
フルパワーでもわかりません。どなたか解ける方はいませんかね。。
No.9142 - 2009/12/14(Mon) 00:33:47
☆ Re: / 数学好きの数学下手
難しいですよね、これ…。

結局、グラフ描画ソフトを入手して検討してみましたが、それでも図形をあんまり把握できてないという感じですね。（汗）。正八面体に４つ三角柱をくっつけたような形…ということになるのでしょうか。図のような感じです(P,Q,R,Sになってしまっていますが、本当はQ,R,S,Tですね)。

そう考えると、相似比から考えて、どうやら求める体積は1/8倍のようです。
No.9143 - 2009/12/14(Mon) 01:24:27
☆ Re: / ヨッシー

△ＢＣＰと△ＡＣＱの交わるところに、直線ＴＣが出来ます。

△ＡＢＲも考慮すると、図のような形になります。
これが４面合わさったような形になりますね。
No.9150 - 2009/12/14(Mon) 22:30:44