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記事No.9144に関するスレッドです
★ 高2・微分 / 匿名
いつもお世話になっています。

方程式x^3-3ax^2+32=0　の異なる実数解の個数を調べよ。
但しa>0とする。

解答は画像の通りなのですが、
どうしてこのような範囲のときに
解の個数が決まるのかわかりません。
それと｢x<0の範囲にx軸との共有点が必ず1個ある｣
というのもわかりませんでした。

よろしくお願いします！
No.9140 - 2009/12/13(Sun) 18:00:35
☆ Re: 高2・微分 / フリーザ
文章だけでは説明がうまくできませんがグラフは書いてみましたか？
No.9141 - 2009/12/14(Mon) 00:31:09
☆ Re: 高2・微分 / 数学好きの数学下手
　x^3-3ax^2+32=0の解が何個あるかを調べるというのは、すなわち、f(x)=x^3-3ax^2+32として、y=f(x)とy=0（すなわちx軸）との交点が何個あるかを調べるということである、というところまではよろしいでしょうか？（最初の三行の部分ですね）

　まずは、グラフの概形をつかむところから始めましょう。

?@
　f(x)=x^3-3ax^2+32を微分することにより増減を調べてみましょう。
　f'(x)=3x^2-6ax=3x(x-2a)となり、x=0,2aで極値をとることがわかります。すなわち、x=0、x=2aのうちどちらかが極小値になり、残りのどちらかが極大値になるということです。

　ですが、a>0となっているので、絶対に0<2aとなります。このことを踏まえて増減表を書いてみましょう。そうすると、極大値はx=0のときにとり、極小値はx=2aのときにとることがわかり、グラフは図のようになります。

?A
　さて、x<0について、グラフよりxが十分に小さいときにはf(x)<0であることがわかります。f(0)>0となるので、グラフからどこかx<0でf(x)=0なるxが一つあることがわかります。
　このような考え方は、中間値の定理と言いますが、これは数?Vの範囲であり、後々学ぶことになるでしょう。
　ですので、今の地点では十分にxが小さい場合はyの値は負になるし、x=0では正になる。グラフはずっとつながっていてしかもx<0の部分ではグラフは増加していくだけだから、共有点は一つだけあるはずだ、という考え方でいいでしょう。
　詳しくは教科書を見たり、授業を聞いたりして学んでいってくださいね。｢x<0の範囲にx軸との共有点が必ず1個ある｣というのはこういうことです。

?B
　では、x>0のところを見てみましょう。x>0に関しては極小値で最小であることがわかります。これはグラフを書いてみればあきらかです。
　さて、その最小値が正か0か負か？つまりf(2a)の値が正か０か負か？これでx軸の共有点の個数が決まってきます。

　これが負であるときは、x>0でのx軸との共有点は2個存在し、0であるときはx>0において共有点は1個、正であるときはx>0において共有点はなし、ということになります。
　ということで、aがどういう値のときにf(2a)は正か０か負かというのを調べることになります。そこで、解答のようになるのです。


　以上より、答えは貴方が画像で載せたようなとおりになるのです。理解していただけたでしょうか。
No.9144 - 2009/12/14(Mon) 02:09:42
☆ Re: 高2・微分 / 匿名
返事が遅れてしまい申し訳ありません。

とても詳しい説明で私でも理解できました！
類題を解いて復習してみます。

本当にありがとうございました！
No.9178 - 2009/12/20(Sun) 19:33:02