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記事No.9366に関するスレッドです

指数関数・対数関数・微分積分 / みかげ
下の問題が、冬休みの課題として出ていて休み明けにテストになるのですが、
塾に行ってないし、学校もあいてないので誰にも聞けないので困っています。
量が多くて本当にすみません。よろしくお願いします。

【問題】次の式を計算せよ。
[3]√54*[3]√-2*[3]√16
【答え】−12
【質問】[3]√54と[3]√16を掛けるのは、
a>0,b>0でnが正の整数のとき、[n]√a*[n]√b=[n]√ab
という公式を使えばいいのかなというのは分かるのですが、
[3]√-2のように√内にマイナスがあるのですがどうやって解けばいいんでしょうか?

【問題】a>0のとする。a^(1/3)+a^(-1/3)=4のとき、次の値を求めよ。
(1)a+a^(-1)
(2)a^(1/2)+a^(-1/2) 【答】3√6
【質問】(1)は与えられた条件の式の両辺を3乗して、変形するというのが分かって解けて、答えが52だったんですけど、
(2)の解き方が分かりません。教えて下さい。お願いします。

【問題】y=9*3^xのグラフは,y=3^xのグラフとどんな位置関係にあるか。
【答え】x軸をもとにしてy軸方向に9倍拡大したもの
【質問】答えの「x軸をもとにして」の意味が分からなかったので、説明していただけるとありがたいです。
初歩的な質問ですみません。

【問題】log[2](7),log[4](55),3について、底を揃えることで大小関係を調べよ。
【答え】log[2](7)【質問】解いてみたのですが、答えが合いません。解き方を教えて頂きたいです。

【問題】(1/30)^20を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるか。
ただし、log[10](3)=0.4771とする。
【答え】小数第30位
【質問】解き方が分かりません。

【問題】次の関数の増減を調べよ。
y=-x^3+2x^2-2x+4
【答え】単調に減少する。
【質問】「単調に減少」というのはどういう事でしょうか?
また、私の計算では、微分した式を、解の公式で解を導くと複素数が出てきたのですが、
微分して解が複素数になるグラフというのは、どういう事でしょうか?

【質問】三次関数のグラフが極値をもつ条件というのは、微分した式を判別式を使いD>0のときというのは分かるのですが、
D=0、D<0の時グラフはどうなるのでしょか?

【問題】x=1で極小値4をとり、x=2で極大値5をとる三次関数f(x)を求めよ。
【答え】f(x)=-2x^3+9x^2-12x+9
【質問】f(1)=4、f(2)=5、f'(1)=0、f'(2)=0の連立4次(?)方程式を立てるのかなあと予想したのですが、
この後の計算ができません。解き方を教えてください。

【問題】次の3次方程式の異なる実数解の個数を答えよ。
2x^3-12x^2+18x+3=0
【答え】1個
【質問】微分して判別式で確かめるとD>0なので実数解は3個かなと思ったのですが、
解き方が間違っているのでしょうか?教えてください。

【問題】放物線y=x^2-4x+3と、この放物線上の点(4,3)、(0,3)における接線で囲まれた図形の面積を求めよ。
【答え】16/3
【質問】解き方を教えてください。

【問題】放物線y=2x−x^2とx軸で過去もれた図形の面積を直線y=kxが2等分するように、定数kの値を定めよ。
【答え】k=2-[3]√4
【質問】解き方を教えてください。

No.9309 - 2010/01/04(Mon) 02:12:32

Re: 指数関数・対数関数・微分積分 / Bとん
[3]√54*[3]√-2*[3]√16
まず54=(3^3)*2
  −2=(−1)*2
  16=2^4

これらかけると(−1)*(3^3)*(2^6)
=(−1)^3*(3^3)*(2^2)^3
これに[3]√をつけると
3乗のところが外れて
 −1*3*4=−12

【問題】a>0のとする。a^(1/3)+a^(-1/3)=4のとき、次の値を求めよ。
(1)a+a^(-1) =52

(2)の式を2乗します
 そうすると
a+2*(a)^(1/2)*(ーa)^(1/2)+a^(−1)
=a+a^(−1)+2*1

★(a)^(1/2)*(ーa)^(1/2)は指数法則で
 1になります
さらにa+a^(−1)は(1)より52

よって(2)の式を2乗すると54になります

a^(1/2)+a^(-1/2)=√54=3√6 




【問題】x=1で極小値4をとり、x=2で極大値5をとる三次関数f(x)を求めよ。
f(1)=4、f(2)=5、f'(1)=0、f'(2)=0の連立4次(?)方程式を立てる ので正解です

そうするとf(x)=ax^3+bx^2+cx+dとおき

4=a+b+c+d・・・・・1
5=8a+4b+2c+d・・・・2
0=3a+2b+c・・・・3
0=12a+4b+c・・・・4
先に極小値がくるので(極値x=1とx=2より)
グラフの外形を考えるとa<0です

2−1の式と3
2−1の式と4からaとbを割り出します
あとは随時計算します



次の3次方程式の異なる実数解の個数を答えよ。
2x^3-12x^2+18x+3=0
まず
2x^3−12x^2+18x=−3として
左辺をf(x)とします
左辺の微分から増減表・グラフまで行ってください

そうするとグラフが完成したら
右辺y=−3を引いてみてください
そうすると交点はひとつだけ。これが実数解です。



   

No.9310 - 2010/01/04(Mon) 03:02:39

Re: 指数関数・対数関数・微分積分 / みかげ
丁寧にありがとうございます。

最後の問題は、判別式を使うやり方は違うということでしょうか?

No.9314 - 2010/01/04(Mon) 15:30:19

Re: 指数関数・対数関数・微分積分 / X
横から失礼します。
>>Bとんさんへ
重箱の隅をつつくようで恐縮ですが
>>連立4次(?)方程式 

連立4元方程式
の誤りだと思います。

>>みかげさんへ
>>最後の問題は、判別式を使うやり方は違うということでしょうか?

3次関数の導関数による2次方程式に関して
判別式で確認できるのは
3次関数のグラフの極小点、極大点の個数の総数
であって、
3次関数のグラフとx軸の交点の個数
(つまり問題の3次方程式の実数解の個数)
ではありません。
Bとんさんが解説されている通りこの問題は、問題の方程式に対する
3次関数のグラフを描いて確かめる必要があります。

No.9324 - 2010/01/05(Tue) 10:24:30

Re: 指数関数・対数関数・微分積分 / X
>>【問題】y=9*3^xのグラフは,y=3^xのグラフとどんな位置関係にあるか。
>>x軸をもとにして
とは
x軸を基準に固定して
という意味です。
模範解答で分かりにくければ
y=9・3^x=3^(x+2)
と変形して
y=3^xのグラフをx軸方向に-2平行移動したもの
としても正解だと思います。

No.9325 - 2010/01/05(Tue) 10:34:40

Re: 指数関数・対数関数・微分積分 / X
>>【問題】log[2](7),log[4](55),3について、底を揃えることで大小関係を調べよ。
底を2に揃えると
log[4]55=(log[2]55)/log[2]4)=(1/2)log[2]55
=log[2]√55>log[2]√49=log[2]7
3=log[2]2^3=log[2]8=log[2]√64>log[2]√55
ということで大小関係は
log[2]7<log[4]55<3
となります。

No.9326 - 2010/01/05(Tue) 10:38:41

Re: 指数関数・対数関数・微分積分 / みかげ
Xさん
丁寧にありがとうございます。
文字が四種類あるのは4元というんですね。
よく分かりました。

No.9328 - 2010/01/05(Tue) 10:47:26

Re: 指数関数・対数関数・微分積分 / X
>>【問題】(1/30)^20を小数で表したとき、〜

x=(1/30)^20
と置くと
log[10]x=-20(1+log[10]3)
≒-20(1+0.4771)=-29.542
ここで例えば
y=0.03
について
log[10]y=-(2+log[10]3)≒-2.4771
で、0.03は小数点第2位に初めて0でない数字が現れる
ということを考えると…。

No.9329 - 2010/01/05(Tue) 10:52:59

Re: 指数関数・対数関数・微分積分 / X
>>【問題】次の関数の増減を調べよ。
>>y=-x^3+2x^2-2x+4
No.9324と話が重複するかもしれませんがご容赦下さい。

導関数=0なる2次方程式の解の個数にこだわっていますが
基本はそこにあるのではなく
関数f(x)に対して
f'(x0)>0⇔f(x)はx=x0において増加
f'(x0)<0⇔f(x)はx=x0において減少
というところにあります。
これらをつかって
x=x0が極小点
⇔x=x0に比較的近いx<x0においてf'(x)<0
かつx=x0に比較的近いx0<xにおいてf'(x)>0
かつf'(x0)=0
x=x0が極大点
⇔x=x0に比較的近いx<x0においてf'(x)>0
かつx=x0に比較的近いx0<xにおいてf'(x)<0
かつf'(x0)=0
となります。
これらを生かす方法としては
増減表を書く
ということが挙げられます。
関数の増減の問題で困ったら増減表を書くのが基本です。

y=-x^3+2x^2-2x+4 (A)
より
y'=-3x^2+4x-2
これを平方完成すると
y'=-3(x-2/3)^2-2/3<0
つまり(A)は単調減少するということになります。

みかげさんの仰るとおりこの問題の場合
(A)に対してy'=0の実数解xは存在しない
のですがこれはつまり
(A)の極値が存在しない
ということと同値です。

ではD=0の場合はどうなるのかですが、以下の例題を解いて考えてみてください。
例題)次の3次関数の増減表を書け
(1)y=x^3
(2)y=x^3-3x^2+3x-1

No.9330 - 2010/01/05(Tue) 11:03:42

Re: 指数関数・対数関数・微分積分 / X
>>【問題】放物線y=x^2-4x+3と、この放物線上の点(4,3)、(0,3)における接線で囲まれた図形の面積を求めよ。
まず
点(4,3)、(0,3)における接線 (A)
の方程式を求め、これらと問題の放物線のグラフを
一つのxy平面上に描きましょう。
この際、件の2本の接線の交点の座標も分かるようにします。
ここまでできたらアップして下さい。

No.9331 - 2010/01/05(Tue) 11:06:57

Re: 指数関数・対数関数・微分積分 / X
>>【問題】放物線y=2x−x^2とx軸で過去もれた図形の面積を直線y=kxが2等分するように、定数kの値を定めよ。
まず
放物線y=2x-x^2とx軸で囲まれた図形の面積(S1とします)
を求めます。
次に
放物線y=2x-x^2と直線y=kxとの原点以外の交点のx座標をa
として
放物線y=2x-x^2と直線y=kxとで囲まれた面積(S2とします)
をaを用いて表します。
更にaはkを用いて表せますので、S2はkを用いて表すことができます。
さて、題意からS1,S2について…。

No.9332 - 2010/01/05(Tue) 11:10:47

Re: 指数関数・対数関数・微分積分 / みかげ
Bとんさん
>>(a)^(1/2)*(ーa)^(1/2)は指数法則で
 1になります
ここが分かりません。教えていただけると有難いです。
今更すみません。よろしくお願いします。

No.9345 - 2010/01/06(Wed) 18:38:29

Re: 指数関数・対数関数・微分積分 / みかげ
Xさん
>>ではD=0の場合はどうなるのかですが、以下の例題を解いて考えてみてください
解いてみてD=0は定数となる所はあるが、極値は無いという事が分かりました。
しかしD<0となる場合は、f'(x)=0となるところが無いので定数となるところも無いという事ですよね?
この場合、グラフはどうなるのでしょうか?

>>【問題】放物線y=x^2-4x+3と、この放物線上の点(4,3)、(0,3)における接線で囲まれた図形の面積を求めよ。

>>【問題】放物線y=2x−x^2とx軸で過去もれた図形の面積を直線y=kxが2等分するように、定数kの値を定めよ。
上の2問は途中まで解いてみた(写真)のですが、何回やっても答えが合いませんでした。
どこが間違っているか指摘して頂けると助かります・・・
よろしかったらお願いします。
何度も本当にすみません。

No.9347 - 2010/01/06(Wed) 18:45:05

Re: 指数関数・対数関数・微分積分 / みかげ
追加です
No.9348 - 2010/01/06(Wed) 18:46:38

Re: 指数関数・対数関数・微分積分 / X
>>No.9348に対する回答
さて面積の求め方ですが
0≦x≦2

2≦x≦4
の範囲に分割して計算して和を取ります。
(図を見て理由を考えましょう。)
それぞれの範囲の領域の面積をS1,S2とすると
S1=∫[0→2]{(x^2-4x+3)-(-4x+3)}dx=…
S2=∫[2→4]{(x^2-4x+3)-(4x-13)}dx=…
∴求める面積をSとすると
S=S1+S2=…
(こちらの計算では
S1=S2=8/3,S=16/3
となりました。)


注)
2本の接線
y=-4x+3
y=4x-13
が放物線y=x^2-4x+3の軸である
x=2 (A)
に関して対称であることを証明していれば計算はもう少し
簡単になります。
この場合、上記の分割した二つの領域は(A)に関して対称ですので
S=2S1=…
となります。

No.9352 - 2010/01/06(Wed) 22:32:55

Re: 指数関数・対数関数・微分積分 / X
>>解いてみてD=0は定数となる所はあるが、〜
y=-x^3+2x^2-2x+4
のとき
y'=-3(x-2/3)^2-2/3
∴y'はx=2/3のとき最大値-2/3を取ります。
従ってグラフは
(i)x≦2/3のとき
単調減少であっても各点の傾きはxの増加に伴い
緩やかになっていきます。
(ii)2/3≦xのとき
単調減少で各点の傾きはxの増加に伴い急峻になっていきます。

グラフの形状としては点(2/3,88/27)でくびれるような感じになります。

No.9353 - 2010/01/06(Wed) 22:43:51

Re: 指数関数・対数関数・微分積分 / X
>>上の2問は途中まで解いてみた(写真)のですが〜
S1,S2の積分範囲を誤っています。
S1=∫[0→2](2x-x^2)dx=…
S2=∫[0→2-k]{(2x-x^2)-kx}dx=…
となります。
求めた値を
S1=2S2
に代入することに問題はありません。

No.9354 - 2010/01/06(Wed) 22:53:23

Re: 指数関数・対数関数・微分積分 / X
>>No.9345について
僭越ですが代わりに回答させていただきます。
これはおそらくBとんさんのタイプミスですね。
a^(1/2)+a^(-1/2)
を2乗すると
{a^(1/2)+a^(-1/2)}^2={a^(1/2)}^2+2{a^(1/2)}{a^(-1/2)}+{a^(-1/2)}^2
=a+2+a^(-1)
=…
となります。

No.9356 - 2010/01/06(Wed) 23:06:44

Re: 指数関数・対数関数・微分積分 / みかげ
Xさん
回答ありがとうございます

No.9353についてなんですが、なぜy’の最大値を境にグラフが変化するのでしょうか?
本当に何遍もすみません

No.9360 - 2010/01/07(Thu) 10:39:10

Re: 指数関数・対数関数・微分積分 / X
文章であれこれ説明するよりもグラフの慨形を見てもらった方が
理解が早いと思いますのでアップします。

No.9365 - 2010/01/07(Thu) 19:55:13

Re: 指数関数・対数関数・微分積分 / X
比較のため、y'=0なる二次方程式に対して
D=0
となる例として
y=-(1/3)(x-1)^3+1
のグラフの慨形もアップしておきます。
(接線を取り除くと、見た目には形状は殆ど変わらないように見えます。)

No.9366 - 2010/01/07(Thu) 19:57:18