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記事No.9522に関するスレッドです
★ (No Subject) / 受験生
方程式x^2-xy＋y^2=3の表す曲線をCとする。このとき、次の各問いに答えよ。

(1)曲線Cを原点の周りに-45℃回転した曲線の方程式を求め、それを利用して曲線Cの概形をかけ。

(2)曲線Cの第1象限にある部分が、x軸、y軸と囲む図形の面積を求めよ。
No.9501 - 2010/01/21(Thu) 18:28:46
☆ Re: / ヨッシー
(1)
回転前の座標を(X,Y)、回転後の座標を(x,y) とすると、
(X,Y) は(x,y) を45°回転した点なので、
　X=(√2x−√2y)/2
　Y=(√2x＋√2y)/2
(X,Y)は、曲線Ｃ上の点なので、
　X^2-XY＋Y^2=3
変形して (この変形は、代入を楽にするためのもので、別に
　　　　　元のまま代入しても構いません)
　(X+Y)^2-3XY=3
これに、上の変換式を代入して、
　(√2x)^2-3(x^2-y^2)/2=3
両辺２を掛けて
　4x^2-3x^2+3y^2＝６
　x^2+3y^2＝６
　x^2/6+y^2/2＝1
よって、Ｃは、この楕円を45°回転させたものになります。


(2)
求める部分は、右の図の青い部分ですが、これは、
中の図で、楕円と、ｙ＝ｘ、ｙ＝−ｘ で囲まれた部分になります。
これを、ｘ軸方向に1/√3 倍に縮めると、左の図のように
半径√2 の円と、y=√3x、y=−√3x になります。
つまり、青の部分は、中心角120°の扇形になります。
その面積は、2π/3 であり、√3倍して元に戻すと
　2π/√3
となります。
No.9522 - 2010/01/24(Sun) 15:42:49