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記事No.996に関するスレッドです
★ 質問 / コブクロ
　数列{a[n]}を4＜a[1]＜12,a[n]=3+ a[n]^2/16（n=1,2,・・・）で定義する。
（1）4＜a[n]＜12を示せ。
（2）{a[n]}は減少数列であることを示せ。
（3）lim[n→∞]a[n]を求めよ。

（1）（2）は解けるのですが、（3）がわかりません。
lim[n→∞]a[n]＝αとして、（1）（2）からα＝4の場合を調べるところまではわかるのですが。
No.987 - 2008/06/04(Wed) 23:33:17
☆ Re: 質問 / にょろ
ちょっと危ない橋渡りますけど…

まず、∞に飛ばすと可能性は以下の３つのみです。

1,±∞に発散する
2,振動する
3,収束する
（実際は収束するかしないかですけど）

（1）4＜a[n]＜12を示せ。

が効いているので
絶対発散はしません
つまり１の可能性はない訳です。

次に

（2）{a[n]}は減少数列であることを示せ。

が有るので絶対に振動はしません。

残る可能性は収束する。

で、どうでしょう。


因みに
f(x)が上に有界かつ単調増加もしくは下に有界かつ単調減少
ならば収束します。
（下に有界と言うのはf(x)>MとなるMが存在することです。
上はM>f(x)）

αの出し方

α=3+α^2/16
の解です。
（値域にあった方）
No.993 - 2008/06/05(Thu) 14:23:21
☆ Re: 質問 / にょろ
収束の仕方はこんなところです。

この手の数列で一番すごいのは

3.6<a<4
0<X[1]<1
X[n+1]=aXn(1-Xn)

ですかね？
No.996 - 2008/06/05(Thu) 14:50:44