ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 三角関数 / 新受験生

この問題の(3)の考え方が分かりません
答えは2πです

No.88096 - 2024/05/21(Tue) 17:53:03

☆ Re: 三角関数 / IT

(2)は出来ましたか？　できたとこまで書かれると有効な回答が得やすいと思います。
（＊）は因数分解できますができましたか？
それと、y=sinx,y=cosx のグラフを使ってα、βがどうなるかを調べると良いと思います。

No.88098 - 2024/05/21(Tue) 18:55:28

☆ Re: 三角関数 / 新受験生

(2)と4つの解を持つ範囲1/2<a<1/√2,1/√2<a<1
ってとこまで求められました

No.88099 - 2024/05/21(Tue) 18:59:47

☆ Re: 三角関数 / IT

（＊）は因数分解はどうなりましたか？
「出来たとこまで書く」というのは、結果だけを書くという意味ではありません。

No.88100 - 2024/05/21(Tue) 19:34:08

☆ Re: 三角関数 / IT

αがsinθ=a の解であるか、cosθ=1/(2a) の解であるかを調べるのが少し難しいと思います。

sins=a,cost=1/(2a)とすると、少し天下り的ですが掛けてみたくなって
(sins)(cost)=1/2=1/2(sin(s+t)+sin(s-t))
∴sin(s+t)+sin(s-t)＝1

これとs,t の範囲から、s-t>0すなわちs>t が言えそうです。
従って,α=tでcosα=1/(2a)

一方のβはcosβ=1/(2a)であることがsin,cos のグラフなどから分かります。

※もっとすっきりした方法があるかも知れません。

No.88101 - 2024/05/21(Tue) 20:43:50

☆ Re: 三角関数 / 黄桃

あまり一般的な方法ではないかもしれませんが、次のようにすることもできます。
cos(θ)=x, sin(θ)=y とおき、
(x,y)を連立方程式
2axy-2a^2x-y+a=0
x^2+y^2=0
の解、とみると、x,y について解くことができ、4つの解が求まります(もちろん(2)を満たすaの範囲で）。
そのうち、2つはx座標が等しく、残りの2つはy座標が等しくなります。
x座標が等しい2つの解のx座標の方が,y座標が等しい2つの解のx座標（の大きい方）よりも大きいことがわかるので、
αはx座標が等しい解のうち、y座標が正の解に対応する角、、βはy座標が負の解に対応する角とわかります。
つまり、(cos(α),sin(α))と(cos(β),sin(β))はsin(α)=-sin(β)をみたすので、、α+β=2π となります。

No.88103 - 2024/05/21(Tue) 23:15:10

☆ Re: 三角関数 / IT

黄桃さん＞
三角関数の基本公式以外不要で良いですね。
なお,x^2+y^2=0は、x^2+y^2=1 のタイプミスですね。

No.88108 - 2024/05/22(Wed) 18:41:35

★ イプシロンデルタを使った問題 / プレジョン1

以前にも質問させていただいたのですが、理解することができなかったので再度質問させていただきます。
写真の問題の赤線部のように仮定すると、|F(x0)-4|>1/2という示したいものと矛盾する形が出てくることから赤線部では右辺をmin{δ,1/2}としていると思うのですが、イプシロンデルタ論法の定義から|x0-1|<δのδは特定のδ(ヨδ)であることからmin{δ,1/2}ではなく
|F(x0)-4|<1/2となるような(矛盾しないよう)|x0-1|の範囲を考えればよいのではないのでしょうか？
なぜあえて、矛盾するようなmin{δ,1/2}を赤線部の右辺に持ってこれるのでしょうか？赤線部の右辺はεに応じて変わるものだから、任意の値ではないですよね？伝わりにくい文章ですが、解説おねがいします。

https://d.kuku.lu/wfk7z6axs

No.88094 - 2024/05/20(Mon) 03:23:37

☆ Re: イプシロンデルタを使った問題 / ast

教科書の表現にやたら拘泥してるようですが, たとえば「極限値 lim_[x→a]f(x)=α (ただし a, α が given の場合) の定義
　(*) "∀ε>0,∃δ_ε>0 s.t. ∀x(|x-a|<δ_ε⇒|f(x)-α|<ε)"
　(どれほど近く(ε↓0)に限っても, (その近さに応じて) x が a のある程度 (δ_ε>0) 以近の近さ (δ_ε-近傍) にある限りすべてのf(x)がその範囲(ε-近傍)にある)
の否定が
　(**) "∃ε_0>0,∀δ'(δ'>0⇒∃x_0 s.t.[|x_0-a|<δ'∧|f(x_0)-α|≥ε_0]"
　(どれほど近く (δ'↓0) だけに限っても必ず [x_0 が a の近く (δ'-近傍) にあるにもかかわらず f(x_0) は α からある程度 (ε_0>0: これはどのδ'に対しても共通の値) 以遠にあるような x_0] がとれる)

である」などと書いても無機質なので, 例を通じて実感してもらおうというのがその教科書の方針であるように感じます (例は当然たくさん見たほうがよいので, 自力でもっと他も確かめられるような意図で教科書の文章を組み立てていると思われる). したがって, その教科書の文意が取れないのであれば, 教科書の記述 (少なくともそのひとつの教科書) に拘泥するべきではありません. とくに背景にある命題 (およびそれにまつわる述語論理) がどのようなものか, もうちょっと俯瞰して眺めるようにされてはいかがですか? (たとえば, そういう「わかりやすい」入門本だけではなく, もっと硬い本格的な教科書とも読み比べて, 相当する部分を突き合わせるような読み方をするとか)
# a=1,α=4 が given として, (*) の成立を仮定して矛盾を導くのではなく否定命題 (**) に直接にあたれば
# ε_0=1/2 が (**) の要件を満たすことは任意の δ'>0 に対し
#　[i] δ' が小さいときに x_0 がとれればそれより大きい δ' でもその x_0 をそのまま取ればいいので自明で,
#　[ii] (|x-1|<1/2 なる全ての x に対して |f(x)-4|>1/2 であることを示せるので) δ'<1/2 のとき |x_0-1|<δ' なるどの x_0 を選んでも |f(x_0)-4|>1/2.
# をみればいい.
## 本文は (*) の成立を仮定したときにとれる δ=δ_[1/2] に対して (**)[ii] の δ' が δ'<δ をみたす
## (つまり δ'<min{δ,1/2} の) ときは |x_0-1|<δ' なるどの x_0 でも (*) の反例になるという背理法
## (ここで (*) と (**) (の特にそこで使われている文字) を混同してはいけない).

No.88095 - 2024/05/20(Mon) 20:14:36

★ イプシロンデルタを使った問題 / プレジョン1

No.88092 - 2024/05/20(Mon) 03:18:31

☆ Re: イプシロンデルタを使った問題 / プレジョン1

間違えました

No.88093 - 2024/05/20(Mon) 03:22:46

★ 高校数学極限 / 独ソ不可侵条約

↓の問題を解いてください！

No.88081 - 2024/05/18(Sat) 22:23:47

☆ Re: 高校数学極限 / ast

# (ケアレスミスの類いがある可能性を除けば) いちおう出来たと思うので書くが……,
# 以下では, "n→∞ のとき (1/1+⋯+1/n)-log(n) → γ >0 (オイラーの定数)" が既知であることを仮定する
# (ので高校範囲とはとても思わん, さすがに胡散臭い).

二項展開 (1-x)^(n+1)=Σ_[j=0,…,n+1] C[n+1,j] (-x)^j から
　(1-x)^(n+1)-1 = -(n+1)x Σ_[j=1,…,n+1] (-1)^(j-1) C[n,j-1]/j x^(j-1)
　= -(n+1)x Σ_[k=0,…,n] (-1)^k C[n,k]/(k+1) x^k
となり, 簡単のため t:=1-x (⇔ x=1-t) とおけば
　(n+1)Σ_[k=0,…,n] (-1)^k C[n,k]/(k+1) x^k
　= (1-t^(n+1))/(1-t) = Σ_[i=0,…,n] t^i = 1+t+t^2+⋯+t^n,
したがって ∫_[0,1]x^k dx=∫_[0,1](1-t)^k dt=1/(k+1) に注意すれば
　(n+1)Σ_[k=0,…,n] (-1)^k C[n,k]/(k+1)^2
　= (n+1)Σ_[k=0,…,n] (-1)^k C[n,k]/(k+1) ∫_[0,1] (1-t)^k dt
　= ∫_[0,1] (n+1)Σ_[k=0,…,n] (-1)^k C[n,k]/(k+1) (1-t)^k dt
　= ∫_[0,1] (1-t^(n+1))/(1-t) dt = Σ_[i=0,…,n] ∫_[0,1] t^i dt
　= Σ_[i=0,…,n] 1/(i+1) = 1/1+⋯+1/(n+1) (=:H_[n+1] :n+1番目の調和数)
が成り立つ. よって
　 n/log(n) * Σ_[k=0,…,n](-1)^k C[n,k]/(k+1)^2
　 = n/(n+1) * (log(n+1)+γ)/log(n) * H_[n+1]/(log(n+1)+γ)
　 → 1*1*1=1 (as n→∞).

No.88084 - 2024/05/19(Sun) 12:45:02

☆ Re: 高校数学極限 / IT

log(n+1)< 1/1+…+1/n < log(n) + 1 は高校数学レベルのようです。
数研の教科書、「高等学校　数学３」の応用例題と練習には下記があります。
関数　f(x)＝１/x　の定積分を利用して、次の不等式を証明せよ。
log(n)> 1/2+1/3+1/4+…+1/n、ただしnは２以上の自然数
1+1/2+1/3+…+1/n>log(n+1)、ただしnは自然数

No.88087 - 2024/05/19(Sun) 13:45:15

★ 京大の問題の改題 / とるく

京大2019の文系に

a,b,cは実数とする。次の命題が成立するための、aとcがみたすべき必要十分条件を求めよ。
命題：すべての実数bに対して、ある実数xが不等式ax^2+bx+c<0を満たす

という問題があります。この命題を「ある実数xに対して、すべての実数bが不等式ax^2+bx+c<0を満たす」と変えたら答えはどうなるでしょうか？

xを固定してxb+ax^2+cをbの関数f(b)と見て、
x=0のときc<0で任意のbについてf(b)<0はOK
x≠0のときb→＋∞またはb→-∞で必ずf(b)≧0となってしまい不適
よって必要十分条件はc<0
と考えたのですが、これは正しいでしょうか

No.88076 - 2024/05/18(Sat) 02:46:44

★ (No Subject) / な

軌跡の問題で、円上の動く点と二つの点の重心を求める問題がありますが、円上の点を表すp二乗+q二乗=◻︎ と、p，qを入れた重心の座標を求めるのは分かるのですが、なぜ重心の座標から変形したp,qを再びp二乗+q二乗=◻︎に代入して、求めることができるのでしょうか。いまいち納得できません。。。

No.88073 - 2024/05/18(Sat) 01:15:41

☆ Re: / な

そういうもんだから、ってことなんでしょうか？それとも直感的にわかる説明があるんでしょうか...

No.88074 - 2024/05/18(Sat) 01:21:08

☆ Re: / な

もう一つの疑問は、実数x，yについて
x+y,xyの描く領域についての問題で、

どうして解と係数の関係を使って求めることができるんでしょうか？

逆像法については、そこそこ理解しているつもりではあるのですが、一体どうしてこれが上手くいくのか分かりません。

No.88075 - 2024/05/18(Sat) 01:26:31

☆ Re: / X

一つ目の質問について)
ご質問の問題の場合、p,qは媒介変数ですので
＞＞重心の座標から変形～に代入
することによってp,qを消去しなくても、
軌跡の方程式としては正解です。
只、より簡単な形の方程式に変形するという意味で
p,qを消去しています。

No.88079 - 2024/05/18(Sat) 18:58:00

☆ Re: / 黄桃

逆像法の説明の繰り返しになります。
掲示板では（どこがわからないのか不明なので）説明が難しいです。

最初の質問。

x,yが関係式 g(x,y)=0 を満たすとき、(fx(x,y),fy(x,y))の取りうる範囲をDとします。

すると、
(a,b)∈D
⇔∃x,∃y a=fx(x,y), b=fy(x,y), g(x,y)=0
⇔連立方程式 fx(x,y)=a, fy(x,y)=b は解を持ち、その解は g(x,y)=0を満たす。
もし、fx(x,y)=aかつfy(x,y)=bが、x,yについて(解をもつためのa,bに関する必要十分条件(*)込みで）解けたとすると、
⇔∃x,∃y x=G1(a,b), y=G2(a,b), g(x,y)=0 かつ、解をもつa,bに関する条件(*)
⇔g(G1(a,b),G2(a,b))=0 かつ解をもつa,bに関する条件(*)
だから、です。(*)の部分は、√a が出てくればa≧0 だったり、1/a が出てくればa≠0だったり、連立1次方程式なら無条件だったり、とかです。
g(x,y)=0の部分が単一の方程式でなく、x,yに関する条件（連立不等式など）でも同様。

2番目の質問。

1番目の質問で(*)が2次方程式が実数解を持つ条件になっている場合に相当。
x,y,u,v 実数について
u=x+y
v=xy
とおけば、x,yはtの2次方程式
t^2-ut+v=0
の解だから、判別式D=u^2-4v≧0 の下で、x=G1(u,v), y=G2(u,v)とかける。
x,yを入れ替えても u,vは変わらないので、u,vが満たすべき条件(**)と,実数解を持つ条件u^2-4v≧0(*)との共通領域の点(u,v)を取れば、
必ず対応する(x,y)がみつかり、しかも x+y=u,xy=vは条件(**)を満たす。
もちろん、共通領域から外れれば、(*)を満たさず(x,y)が見つからないか、(**)を満たさないかのいずれかだから、取りうる範囲ではない。

No.88091 - 2024/05/20(Mon) 01:24:25

★ お知らせです / コクシムソウ

お知らせしたいことがあります。
じつは僕は前に利用していた数学掲示板で、
数学検定２級１次の模擬試験にチャレンジ
したいという話をしました。
模擬試験というのは、数検の過去問を本試験の
つもりで受けるというものです。
そのための勉強をしているのですが、今のところ
順調にはかどっています。
この調子なら、５月中に数検２級１次の模擬試験を
受けれるかもしれません。
合格できるかどうかは受けてみないとわかりませんが、
応援してくれている人もいるかもしれないので
頑張ります。
応援よろしくおねがいします。

No.88072 - 2024/05/17(Fri) 20:01:24

★ おねがいします / コクシムソウ

こんにちは。
僕は趣味で数学を勉強しているのですが、
前に利用していた数学の質問掲示板が利用できなく
なりました。
なので、ここのヨッシー先生の質問掲示板をこれから
利用してもよろしいでしょうか。
よろしくおねがいします。

No.88069 - 2024/05/17(Fri) 14:31:58

☆ Re: おねがいします / ヨッシー

普通、このようにことわりを入れてくる方は珍しいですが、
分かる範囲で答えさせていただきます。

No.88070 - 2024/05/17(Fri) 14:34:58

☆ Re: おねがいします / コクシムソウ

ヨッシー先生、ありがとうございます。

No.88071 - 2024/05/17(Fri) 14:36:54

☆ Re: おねがいします / IT

> 前に利用していた数学の質問掲示板が利用できなく
> なりました。
下記「考える葦」数学質問掲示板のことなら、復旧しているようです。
http://www2.ezbbs.net/34/eijitkn/

No.88077 - 2024/05/18(Sat) 16:21:08

☆ Re: おねがいします / コクシムソウ

そうなんですか？
ITさん、情報ありがとうございます。

No.88078 - 2024/05/18(Sat) 18:18:25

☆ Re: おねがいします / IT

> そうなんですか？
確かめて見られれば、分かるのでは？？

No.88080 - 2024/05/18(Sat) 19:32:45

☆ Re: おねがいします / コクシムソウ

確かめてみました。
確かに復旧していました。

No.88085 - 2024/05/19(Sun) 13:17:32

★ (No Subject) / 晴れ

ある生徒50名のクラスでは物理化学生物の3教科の選択授業が行われておりこのクラスの全生徒はこれらの科目のうち1科目以上の科目を履修する必要がある。次のことが分かっているとき科学と生物の2科目のみを履修する者の最大の人数は?

〇このクラスの生徒50名の履修する科目数を調べたところ1科目のみを履修するものは10名2科目のみ履修するものは40名であった

〇このクラスの生徒50名の履修する科目を調べたところ物理を履修するものは41名科学を履修するものは34名生物を履修するものは13名であった

No.88058 - 2024/05/14(Tue) 14:45:40

☆ Re: / ヨッシー

「科学」は「化学」のことですよね？
だとすると、問題の設定がおかしいです。

１つ目の条件から、３科目履修者は０であることがわかります。
一方、２つ目の条件から
　41＋34＋13＝88
　88－50＝38　・・・２科目履修者
で、１つ目の条件と矛盾します。

No.88059 - 2024/05/14(Tue) 15:26:30

☆ Re: / 晴れ

(誤)生物を履修するものは13名
→(正)生物を履修するものは15名

No.88067 - 2024/05/16(Thu) 13:14:05

☆ Re: / ヨッシー

化学履修者は34名なので、これらが全員2科目履修者とすると
物理と生物の両方履修しているものは6名であり、これより
少なくはなりません。

物理＋生物　6名　のとき
化学＋生物　は最大9名となり、このとき
物理＋化学　は25名で
物理のみ　10名
化学のみ　0名
生物のみ　0名
とすれば、実現できるので、化学＋生物の最大は９名です。

No.88068 - 2024/05/16(Thu) 15:52:27

★ (No Subject) / マコーレーカルキソ

logの最小値の問題です。

関数y=log1/3x + log1/3(6-x)　の最小値を求めよ。
（答え：yはx=3で最小値 -2 をとる）

という問題で、解説についての質問です。
解説では、真数条件による範囲設定が書かれた後、
y=log1/3(6-x)=log1/3(-(x-3)^2+9)
というグラフのための平方完成式を書いていました。
この場合、関数の前半のlog1/3xはなぜ一緒に計算しなくて良いのでしょうか。
ここが気になり、後の計算もなぜそうなるのか分からなかったので、合わせて全体を解説していただきたいです。お願いします！

No.88053 - 2024/05/12(Sun) 23:30:04

☆ Re: / X

解説の誤植ですね。
＞＞log1/3x
を含めて計算していないと
＞＞=log1/3(-(x-3)^2+9)
の形にはなりません。

No.88054 - 2024/05/13(Mon) 06:39:15

☆ Re: / らすかる

もしかして、
y=log1/3(6-x)=log1/3(-(x-3)^2+9)
はよく見ると
y=log1/3x(6-x)=log1/3(-(x-3)^2+9)
になってたりしませんか？
なってなければ、誤植ですね。

No.88055 - 2024/05/13(Mon) 07:33:28

☆ Re: / マコーレーカルキソ

今よく見てみたら
y=log1/3x(6-x)=log1/3(-(x-3)^2+9)

この形になっていたので、自分の見落としだったことに気づきました！
ご指摘ありがとうございました。

ただ、その後に
底1/3は1より小さいから、この時yは最小で、最小値はlog1/3 (9)
と書かれていました。

この時、なぜ最小値はlog1/3 (9)という形で表すことができるのでしょうか。

No.88056 - 2024/05/13(Mon) 14:01:46

☆ Re: / らすかる

底1/3は1より小さいからlog[1/3]○のグラフは単調減少
（すなわち○が大きいほどlog[1/3]○の値は小さい）
-(x-3)^2+9はx=3のとき最大値9をとるから
log[1/3](-(x-3)^2+9)はx=3のとき最小値log[1/3]9をとる

No.88057 - 2024/05/13(Mon) 17:57:45

★ z=xy，のときz0-z1=x0-x1+y0-y1は成り立つのか / 文系大学生

Z＝xyが成り立ちます。ポンド/円＝ポンド/ドル×ドル/円です。２００＝１００＊２のようなレートが存在します。
しかし損益は投資を始めた時点を０とし、回収の時点を１とすると、ｚつまりポンド円はｚ０ーｚ１ですが、
右辺は（ｘ０－ｘ１）＋（ｙ０－ｙ１）が損益になります。
たとえば昨日のポンド円が２００円、で今日が１９９円なら１円の損となります。ここで右辺の取引で１円のプラスを出すにはどうすればいいのでしょうか。つまりｚとｘｙで利益を相殺したいです。関係性積であらわされ、損益は和であらわされることに動揺しています。お願いします！

No.88051 - 2024/05/12(Sun) 05:43:21

☆ Re: z=xy，のときz0-z1=x0-x1+y0-y1は成り立つのか / ヨッシー

>右辺は（ｘ０－ｘ１）＋（ｙ０－ｙ１）が損益になります。
これが違うと思います。
　Z0＝200, Z1＝199 になるように
　X0＝2, Y0＝100, X1＝2, Y1＝99.5
とすると、
　(X0－X1)＋(Y0－Y1)＝0.5
となり、1 とはなりません。
　X0＝10, Y0＝20, X1＝10, Y1＝19.9
だと、0.1 であり、さらにかけ離れます。

単純に
　Z0－Z1＝X0Y0－X1Y1
であるだけです。

No.88052 - 2024/05/12(Sun) 16:25:50

★ (No Subject) / 有栖川

f(x) = e^(-x^2)が複接線（f(x)上にある二点以上と接する接線）をもたないことを示せ。

この問題の解説をお願いします。

No.88049 - 2024/05/11(Sat) 22:12:18

☆ Re: / らすかる

f'(x)=-2xe^(-x^2)から
x＜0で接するときの接線の傾きは正
x＝0で接するときの接線の傾きは0
x＞0で接するときの接線の傾きは負
よってx＞0とx＜0の両方で同時に接することはなく、
またx＝0での接線も1点でしか接しないので、
x＞0の範囲で複接線をもたないことを示せば十分。
f''(x)=2(2x^2-1)e^(-x^2)から、f(x)は
0＜x＜1/√2で上に凸
x＝1/√2が変曲点
1/√2＜xで下に凸
よって
0＜x＜1/√2の範囲での接線は変曲点(1/√2,e^(-1/2))よりも上を通り、
1/√2＜xの範囲での接線は変曲点(1/√2,e^(-1/2))よりも下を通るから、
0＜x＜1/√2の範囲と1/√2＜xの範囲の接線が一致することはない。
またx＝1/√2で接する接線は他の点の接線にならず、
0＜x＜1/√2の範囲内や1/√2＜xの範囲内で複数の点で接することもないから、
0＜xの範囲で複数の点で同時に接することはない。
従って複接線は存在しない。

No.88050 - 2024/05/12(Sun) 02:46:23

☆ Re: / 有栖川

返信ありがとうございます！

>> 0＜x＜1/√2の範囲内や1/√2＜xの範囲内で複数の点で接することもないから、

この部分ですが、x>0で単調減少するので自明として良いということでしょうか？

No.88060 - 2024/05/14(Tue) 23:15:11

☆ Re: / らすかる

「単調減少」では複数の点で接しないことにはなりません。
0＜x＜1/√2の範囲内で複数の点で接しないのは
「0＜x＜1/√2の範囲で上に凸」だからであり、
1/√2＜xの範囲内で複数の点で接しないのは
「1/√2＜xの範囲で下に凸」だからです。
単調増加や単調減少はあまり関係ありません。
例えばy=sinxの0＜x＜πでは単調増加でも単調減少でもありませんが、
「上に凸」なのでこの範囲内の複数の点で1本の直線が接することはありません。
また単調減少でもy=sinx-2xのようなグラフであれば複数の点で接する接線が引けます。

No.88063 - 2024/05/15(Wed) 01:15:25

☆ Re: / 有栖川

ありがとうございます。たしかに変曲点に注目すれば良いんですね。勉強になりました！

No.88066 - 2024/05/16(Thu) 08:32:02

★ (No Subject) / テントウムシ

0≦θ≦2πを満たす実数θに対してxyz空間内の点PとQを
P(cosθ,sinθ,1/2),Q(2cosθ+sinθ，2sinθ-cosθ,3/2)と定め条件（A）直線PQとzx平面が1つの点だけで交わる
を考える

(1)条件Aが成り立つようなθの値の範囲は?

点P，Qのそれぞれのy成分(sinθ，2sinθ-cosθ)が
sinθ＞0かつ2sinθ-cosθ<0
または
sinθ＜0かつ2sinθ-cos>0
を満たす時点P，Ｑのx座標の正負に関わらず直線PQはxz平面と一点に交わる。
よってsinθ・(2sinθ-cosθ)＜0

…答え全然合わない…何がいけないんでしょうか。解答解説よろしくお願いします

No.88043 - 2024/05/11(Sat) 15:16:56

☆ Re: / 黄桃

>直線PQ
とはP,Qを通る無限に長い直線。
（PQをPの側にもQの側にも無限に延ばす）

線分PQがzx平面と１つの点だけで交わる条件、とは全く違います。

No.88046 - 2024/05/11(Sat) 17:18:47

★ 立体を直線上に射影？？ / 高校３年生

ある古い問題集（年の離れた兄が塾で配布されたもの）において、「立方体Vをxy平面に正射影して得られる影の面積をS、z軸に正射影して得られる影の長さをhとする」という文言があります。
この文言のうち、後半の「z軸に正射影して得られる影の長さをhとする」という部分について、解釈ができません。
立体を直線上に射影するとはどのようなことを言っているのでしょうか。
ちなみに、問題集ですが、答えのみで解説はついていません。

No.88037 - 2024/05/10(Fri) 20:57:20

☆ Re: 立体を直線上に射影？？ / IT

正射影:
ある図形上の各点から、直線または平面上に下ろした垂線の足の集まり。となってます。

立方体Vのある点P(x,y,z) をz軸に正射影するとQ(0,0,z) になりますね。

No.88038 - 2024/05/10(Fri) 21:37:42

☆ Re: 立体を直線上に射影？？ / 高校３年生

なるほど。
ありがとうございました。
各点を飛ばすのですね。
初めての文言で意味が分かりませんでした。
どうもありがとうございました。

No.88039 - 2024/05/10(Fri) 21:44:06

★ (No Subject) / 有栖川

sin x + 3sin y = 1
を満たしながら実数x, yが動くとき、

z = cos x + 3cos y
のとりうる範囲を求めよ。

この問題の解説をお願いします。

No.88033 - 2024/05/10(Fri) 17:11:25

☆ Re: / Purple Sky

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q12297794132
↑ここに解説がありました。

No.88036 - 2024/05/10(Fri) 19:41:44

☆ Re: / 有栖川

これって最後どちらの方が正しいんですか？
αは定数？

No.88040 - 2024/05/10(Fri) 23:20:50

☆ Re: / X

横から失礼します。

＞＞これって最後どちらの方が正しいんですか？
√3≦a≦√15又は-√15≦a≦-√3
が答えです。
どちらか一方のみが正しいわけではありません。

＞＞αは定数？
三角関数の合成の際にαに対し
cosα=1/√(1+a^2)
sinα=a/√(1+a^2)
という条件が付きますので、
αはaの関数となります。
但し、計算途中で
|sin(x+α)|≦1
の条件を使ってαは消去されますので
ご質問の点を気にする必要はないと
思います。

No.88047 - 2024/05/11(Sat) 18:14:33

☆ Re: / 有栖川

ありがとうございます！理解できました

No.88048 - 2024/05/11(Sat) 19:37:00

★ (No Subject) / 晴れ

点A(1.0)を通る直線は円C X2+Y2＝4と異なる2点で交わる。C上の点Pに対してAを通る直線とCとの交点でPとは異なるものをQとする。PがC上を動く時線分PQの中点Mの軌跡はどのように表すことが出来るか。解答解説よろしくお願いします

No.88032 - 2024/05/10(Fri) 15:05:30

☆ Re: / 黄桃

あまり気は利かないけど誰でもできそうな解法を示します。

(1,0)を通る直線は、
(1) y軸に平行な直線 x=1
(2) 傾きtの直線 y=t(x-1)
に分けられます。
(1)の場合、Pは2点(1,±√3)のいずれかで、Qは(1,干√3)（複号同順）だから、いずれの場合も中点Mは(1,0)

(2)の場合、Pは y=t(x-1)とx^2+y^2=4 との交点だから、
交点のx座標は、連立して
(t^2+1)x^2-2t^2x+t^2-4=0
の解になります。Pでない方の交点がQだから、
P(px,py), Q(qx,qy)
とおけば、解と係数の関係から
px+qx=2t^2/(t^2+1) ...(3)
px*qx=(t^2-4)/(t^2+1)
です。
P,Qの中点Mの座標を(X,Y)とすれば、P,Qのx座標がどちらであっても、
X=(px+qx)/2
Y=(py+qy)/2=(t(px-1)+t(qy-1))/2=t(px+qy-2)/2
ですから、(3)を代入して整理すれば
X=t^2/(t^2+1)...(4)
Y=-t/(t^2+1) ...(5)
となります。
(4)より、0≦X<1 ...(6)
であり、したがって(X≠1だから)(4)より
t^2=X/(1-X)
t=±√(X/(1-X))...(7)
となります。
これを(5)に代入して整理すれば
Y=±√(X(1-X)) (ただし、X≠1)
となります。これより、X≠1の下で、
Y^2=X(1-X), つまり、
X^2-X+Y^2=0
(X-1/2)^2+Y^2=1/4 ...(8)
となります。
(X≠1の下で(7)によりtを決めれば(8)から順に上にたどっていって(4),(5)も言えるので)
以上から、
(2)の場合のMの軌跡は、(8)のうち、X=1の部分、つまり(1,0)を除いた部分です。
(1)の場合のMは(1,0)でしたから、両者を合わせて
Mの軌跡は中心が(1/2,0),半径1/2の円周上の点全体({(x,y)| (x-1/2)^2+y^2=1/4})である...答

No.88045 - 2024/05/11(Sat) 17:14:10