ヨッシーの八方掲示板（算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / あ

a1=0.03
a2=0.03(1-a1)
a3=0.03(1-a1-a2)
となる数列の1〜36項までの和はどうなりますか？

No.82974 - 2022/07/31(Sun) 10:12:57

☆ Re: / X

問題の数列の第n項をa[n],初項から
第n項までの和をS[n]とすると
条件から
a[1]=0.03 (A)
a[n]=0.03(1-S[n-1]) (B)
(B)からn≧3のとき
a[n-1]=0.03(1-S[n-2]) (C)
(B)-(C)より
a[n]-a[n-1]=-0.03a[n-1]
これより
a[n]=0.97a[n-1]
∴a[n]=a[2]・0.97^(n-2)
=0.03・0.97^(n-1) (E)
(E)はn=1,2のときも成立。
よって求める和は
S[36]=Σ[k=1～36]a[k]
=0.03・(1-0.97^36)/(1-0.97)
=1-0.97^36

No.82980 - 2022/07/31(Sun) 17:05:33

★ 解答 / とと

他の方の回答ですが、漸化式の意味がいまいち理解できません

No.82961 - 2022/07/29(Fri) 17:31:57

☆ Re: 解答 / IT

確かに良く分かりませんね、
最初のz[1]＝z[2]=1=z[4] は、なぜですかね？、場合分け？
また、「最後が0になる」の「最後」とは何ですかね？z[i]のことですかね？（z[i]を最後とは言いませんよね）

その回答者に確認された方が早いのではないですか？

No.82965 - 2022/07/30(Sat) 08:53:13

☆ Re: 解答 / IT

z[i]=1のとき　z[i+1]=1 となるのは
　1,1:p
　1,011;(1-p)p^2
　1,01011:((1-p)^2)p^3
　・・・
の場合なので、z[i]=1,z[i+1]=1 となる確率は　q[i]*p/(1+p-p^2)

z[i]=0のとき　　z[i+1]=1 となるのは
　0,11:p^2
　0,1011:(1-p)p^3
　0,101011:((1-p)^2)p^4
　・・・
の場合なので、z[i]=0,z[i+1]=1 となる確率は　(1-q[i])*p^2/(1+p-p^2)

よって、q[i+1]=q[i]*p/(1+p-p^2)　+　(1-q[i])*p^2/(1+p-p^2)
整理して一般項を求めると
　q[i]=q[0]r^i　+　(p^2/(1-p+p^2))(r^i-1)/(((p-p^2)/((1-p+p^2)-1)、
　ただし r=(p-p^2)/(1-p+p^2)でlim[i→∞]r^i = 0
よってlim[i→∞]q[i]=p^2/(1-2p+2p^2)

答えの結果は同じになるので、他の方の解答の書き方を変える（説明をきちんとする）と良いのかも知れませんね。

No.82975 - 2022/07/31(Sun) 10:40:44

★ 一次関数がよく分かりません / 青シャーペン

数学の一次関数が分からず苦戦しているので教えてください
図のように, 3点A(-10,0), B(0, 25 C30, 0) をとる。点Pが,点Aから毎秒1の速さでx軸上を点Cに向かって進む。点Pからy軸に平行な直線をひき、その直線と直線ABとの交点を Q とる。また、PQ=PR となるようなx軸上の点RをPの右側にとり, 正方形 PQSR を
つくるとき、次の問いに答えなさい。
1直線AB, BC の式をそれぞれ求めなさい。

2t秒後の点Qの座標を, f を使って表しなさい。
3正方形 PQSR が △ABC に内接するのは何秒後ですか。
無茶振りですが、3番は答えとともにやり方を添えて書いていただけるととてもありがたいです。ご協力お願いいたします。

No.82953 - 2022/07/29(Fri) 08:05:23

☆ Re: 一次関数がよく分かりません / 青シャーペン

訂正です
2. t秒後の点Qの座標をtを使い表しなさい
でした
申し訳ございませんでした

No.82954 - 2022/07/29(Fri) 08:07:38

☆ Re: 一次関数がよく分かりません / ヨッシー

1. が出来ないと話になりませんので、サクッと飛ばして、

2. ｔ秒後の点Ｐおよび点Ｑのｘ座標は t－10 であるので、これを、ＡＢの式に代入して、
　ｙ＝2.5t
　よって、点Ｑの座標は　(t－10, 2.5t)

3. 点Ｓのｘ座標は、点Ｒと同じで、
　t－10＋2.5t＝3.5t－10
　点Ｓのｙ座標は点Ｑと同じ 2.5t なので、
　よって、点Ｓの座標は(3.5t－10, 2.5t)
　これが、直線ＢＣにあるので、直線ＢＣの式に代入して、ｔについて解くと

　ｔ＝80/13　答え　80/13秒後

No.82956 - 2022/07/29(Fri) 11:35:07

☆ Re: 一次関数がよく分かりません / 青シャーペン

ありがとうございました

No.82957 - 2022/07/29(Fri) 14:28:48

★ ベクトル / @

問　|↑OA|=2、|↑OB|=1、|2↑OA-↑OB|=5 　　を満たす点O,A,Bがある。
　　|3↑OP-↑OA|=|↑OP+2↑OB|を満たす
　　点Pについて、
　　(1)点Pの集合が円であることを証明せよ
　　(2)その円の中心と半径を求めよ
どなたか解説よろしくお願いします。

No.82946 - 2022/07/28(Thu) 22:37:30

☆ Re: ベクトル / X

|↑OA|=2 (A)
|↑OB|=1 (B)
|2↑OA-↑OB|=5 (C)
とします。

|3↑OP-↑OA|=|↑OP+2↑OB|
の両辺を二乗して展開すると
9|↑OP|^2-6↑OA・↑OP+|↑OA|^2=|↑OP|^2+4↑OB・↑OP+4|↑OB|^2
これより
8|↑OP|^2-2(3↑OA+2↑OB)・↑OP=4|↑OB|^2-|↑OA|^2
|↑OP|^2-2{(3↑OA+2↑OB)/8}・↑OP=(1/2)|↑OB|^2-(1/8)|↑OA|^2
|↑OP|^2-2{(3↑OA+2↑OB)/8}・↑OP+(1/64)|3↑OA+2↑OB|^2=(1/2)|↑OB|^2-(1/8)|↑OA|^2+(1/64)|3↑OA+2↑OB|^2
|↑OP-(3↑OA+2↑OB)/8|^2=(9/16)|↑OB|^2+(1/64)|↑OA|^2+(3/16)↑OA・↑OB (D)
ここで(C)より
|2↑OA-↑OB|^2=25
左辺を展開して(A)(B)を代入すると
16-4↑OA・↑OB+1=25
∴↑OA・↑OB=-2 (C)'
(A)(B)(C)'を(D)に代入して
|↑OP-(3↑OA+2↑OB)/8|^2=9/16+1/16-3/8
|↑OP-(3↑OA+2↑OB)/8|^2=1/4
∴|↑OP-(3↑OA+2↑OB)/8|=1/2
∴Pの集合は
↑OQ=(3↑OA+2↑OB)/8なる点Qを中心とする半径1/2の円
です。

(2)
(1)の結果の点Qについて
↑OQ=(5/8)(3↑OA+2↑OB)/5
∴円の中心は
線分ABを2:3に内分する点をDとしたときの
線分ODを5:3に内分する点
又、(1)の結果から
半径は1/2
です。

No.82951 - 2022/07/29(Fri) 06:19:50

☆ Re: ベクトル / @

> |↑OA|=2 (A)
> |↑OB|=1 (B)
> |2↑OA-↑OB|=5 (C)
> とします。
>
> |3↑OP-↑OA|=|↑OP+2↑OB|
> の両辺を二乗して展開すると
> 9|↑OP|^2-6↑OA・↑OP+|↑OA|^2=|↑OP|^2+4↑OB・↑OP+4|↑OB|^2
> これより
> 8|↑OP|^2-2(3↑OA+2↑OB)・↑OP=4|↑OB|^2-|↑OA|^2
> |↑OP|^2-2{(3↑OA+2↑OB)/8}・↑OP=(1/2)|↑OB|^2-(1/8)|↑OA|^2
> |↑OP|^2-2{(3↑OA+2↑OB)/8}・↑OP+(1/64)|3↑OA+2↑OB|^2=(1/2)|↑OB|^2-(1/8)|↑OA|^2+(1/64)|3↑OA+2↑OB|^2
> |↑OP-(3↑OA+2↑OB)/8|^2=(41/64)|↑OB|^2-(1/16)|↑OA|^2+(3/16)↑OA・↑OB (D)
> ここで(C)より
> |2↑OA-↑OB|^2=25
> 左辺を展開して(A)(B)を代入すると
> 16-4↑OA・↑OB+1=25
> ∴↑OA・↑OB=-2 (C)'
> (A)(B)(C)'を(D)に代入して
> |↑OP-(3↑OA+2↑OB)/8|^2=41/64-1/4-3/8
> |↑OP-(3↑OA+2↑OB)/8|^2=1/64
> ∴|↑OP-(3↑OA+2↑OB)/8|=1/8
> ∴Pの集合は
> ↑OQ=(3↑OA+2↑OB)/8なる点Qを中心とする半径1/8の円
> です。
>
> (2)
> (1)の結果の点Qについて
> ↑OQ=(5/8)(3↑OA+2↑OB)/5
> ∴円の中心は
> 線分ABを2:3に内分する点をDとしたときの
> 線分ODを5:3に内分する点
> 又、(1)の結果から
> 半径は1/8
> です。

(D)の41/64はどこから出てきたのでしょうか。

No.82955 - 2022/07/29(Fri) 09:05:42

☆ Re: ベクトル / X

ごめんなさい。計算を間違えていました。
No.82951を直接修正しましたので
再度ご覧下さい。

No.82962 - 2022/07/29(Fri) 18:03:23

★ 複素数平面 / D

w=1/(3-z) zは中心2+2i,半径1の円周上を動く

答えが点(1+2i)/4を中心とする半径1/4の円を描く計算過程を申し訳ないですが、教えてください。自分の間違った答案と比較したいので。

No.82933 - 2022/07/27(Wed) 23:41:40

☆ Re: 複素数平面 / IT

Dさんのは、どんな答案ですか？

No.82936 - 2022/07/28(Thu) 03:31:32

☆ Re: 複素数平面 / D

普通にzについて求め、絶対値=1の形を同値を保って式変形していきました。答案は汚くて写してません。

No.82938 - 2022/07/28(Thu) 07:44:55

☆ Re: 複素数平面 / X

＞＞絶対値=1の形を
とありますが、代入先は
|z|=1
ですか？
もしそうであるなら間違っています。
代入先は
|z-(2+2i)|=1
です。

No.82940 - 2022/07/28(Thu) 19:41:41

☆ Re: 複素数平面 / X

もし、代入先を間違えていないのであれば
方針についてヒントを。

例えばzの共役複素数を\zと書くことにすると
|z-α|^2=(z-α)\(z-α)
=(z-α)(\z-\α)
=z\z-α\z-\αz+α\α
となります。

No.82941 - 2022/07/28(Thu) 19:43:53

☆ Re: 複素数平面 / C

ヒントに書かれていることもやったのですが、何故か答えに辿り着かなかったです。
全ての計算過程を書いてくれると助かります。

No.82944 - 2022/07/28(Thu) 21:14:40

☆ Re: 複素数平面 / IT

どうなりましたか？
全部が難しいなら、要所・要所を書き込まれると　どこで間違えたかご指摘できるかも知れません。

No.82945 - 2022/07/28(Thu) 22:32:04

☆ Re: 複素数平面 / D

とにかく、全ての計算過程を書いてくれると助かります。間違っているかはその模範解答を読んで確認したいからです。

No.82947 - 2022/07/28(Thu) 23:30:00

☆ Re: 複素数平面 / GandB

> 間違っているかはその模範解答を読んで確認したいからです。
　模範解答ではない。こういう問題はよく知らないので、もっとうまい方法があるかも。眠れないので暇つぶしに解いた（笑）。

No.82949 - 2022/07/29(Fri) 01:36:56

☆ Re: 複素数平面 / D

ありがとうございます。助かります！！

No.82950 - 2022/07/29(Fri) 01:42:01

☆ Re: 複素数平面 / D

すみません、最後に質問なのですが、自分の答案と比較して気づいたのですが、|1-2i-1/w|=1のまま両辺2乗して共役出して、その後、両辺w ×共役wをかけました。
何故この変形はだめなんでしょうか？

No.82963 - 2022/07/29(Fri) 22:00:22

☆ Re: 複素数平面 / X

その方針ではダメではなくて、単にDさんが途中計算を
間違えているだけだと思います。
(計算過程がアップされていないのでどの箇所か
は分かりませんが。)

No.82964 - 2022/07/30(Sat) 06:32:15

★ 積分 / nn

こちらの積分計算できる方、教えて頂けますでしょうか。
お願いいたします。

No.82924 - 2022/07/27(Wed) 15:51:01

☆ Re: 積分 / nn

これが私が計算したものです。

No.82925 - 2022/07/27(Wed) 16:13:49

☆ Re: 積分 / X

所々誤植があるのは置いておくとして、最下行の結果の
第二項が間違っています。
第二項の計算根拠をアップして下さい。

No.82927 - 2022/07/27(Wed) 18:19:47

☆ Re: 積分 / nn

ありがとうございます。
確認します。
そして打ち間違いに関してはすみませんでした…。

No.82929 - 2022/07/27(Wed) 18:30:36

★ ストークスの定理 / ストークス

写真の問題をストークスの定理を用いて解くにはどう解けばいいでしょうか？道筋だけでも教えていただけたら幸いです。

No.82923 - 2022/07/27(Wed) 14:37:26

☆ Re: ストークスの定理 / X

ストークスの定理により
(与式)=∫[C]↑A・d↑s
(但しC:x^2+y^2=1,z=1
で積分の向きはz≧1の側から見て時計回りの向き)
=∫[θ:2π→0]↑A・↑udθ
(但し,
↑A=(cosθ+sinθ,sinθcosθ,sinθcosθ)
↑u=(-sinθ,cosθ,0))
=∫[θ:2π→0]{-(cosθ+sinθ)sinθ+sinθ(cosθ)^3}dθ
=∫[θ:0→2π]{(1/2)sin2θ+(1/2)(1-cos2θ)-sinθ(cosθ)^3}dθ
=π

No.82930 - 2022/07/27(Wed) 18:34:13

★ (No Subject) / 流れ弾

AB・AC=5を満たす三角形ABCの外心をGとする。
7AO=AB+3ACのとき、三角形ABCの面積を求めよ

(AB・ACはABとACの内積のことです)
どなたか解説お願いします

No.82917 - 2022/07/27(Wed) 02:31:11

☆ Re: / ヨッシー

外心をＧとおいたのに、その後Ｇが出てこないのはどういうことですか？

No.82920 - 2022/07/27(Wed) 08:03:43

☆ Re: / 流れ弾

> 外心をＧとおいたのに、その後Ｇが出てこないのはどういうことですか？

7AGでした。

No.82921 - 2022/07/27(Wed) 08:31:48

☆ Re: / ヨッシー

７ＡＧ＝ＡＢ＋３ＡＣを変形して
－７ＧＡ＝ＧＢ－ＧＡ＋３ＧＣ－３ＧＡ
３ＧＡ＋ＧＢ＋３ＧＣ＝０
ここで、ＢＣを３：１に内分する点をＤとすると、
　ＧＤ＝(ＧＢ＋３ＧＣ)/４
より
　３ＧＡ＋４ＧＤ＝０
より、ＧはＡＤを４：３に内分する点となります。

ＢＣの中点をＭとし、ＧＭ＝ｘＤＣ　とすると、
　（ｘ^2＋１)：(ｘ^2＋４)＝９：１６
　16ｘ^2＋16＝9ｘ^2＋36
　7ｘ^2＝20
　ｘ＝√(20/7)
すると、△ＭＧＣは、３辺が、
　２：√(20/7)：√(48/7)＝√7：√5：2√3
の直角三角形となります。
一方、∠ＢＡＣ＝∠ＣＧＭであるので、
　cos∠ＢＡＣ＝cos∠ＣＧＭ＝√5/2√3
　sin∠ＢＡＣ＝√7/2√3

ＡＢ・ＡＣ＝５　より
　ＡＢ・ＡＣ＝５÷cos∠ＢＡＣ＝2√15
△ＡＢＣの面積は
　△ＡＢＣ＝(1/2)ＡＢ・ＡＣsin∠ＢＡＣ＝√15・√7/2√3＝√35/2

No.82922 - 2022/07/27(Wed) 13:06:47

☆ Re: / X

横から失礼します。
cos∠BACの求め方については別解があります。

↑GA=↑a,↑GB=↑b,↑GC=↑c
と置くと、条件から
|↑a|=|↑b|=|↑c|(=△ABCの外接円の半径) (A)
一方、
7↑AG=↑AB+3↑AC (B)
から、ヨッシーさんが計算されている通り
-3↑a=↑b+3↑c
両辺の絶対値の2乗を取って
9|↑a|^2=|↑b+3↑c|^2
右辺を展開し、(A)を使って
|↑b|,|↑c|を消去すると
↑b・↑c=-(1/6)|↑a|^2
∴cos∠BOC=(↑b・↑c)/{|↑b||↑c|}
=(↑b・↑c)/|↑a|^2
=-1/6
ここで(B)からGは△ABCの内部にあることに
注意すると円周角により
∠BAC=(1/2)∠BOC (D)
∴半角の公式により
(cos∠BAC)^2=(1+cos∠BOC)/2
=5/12
(D)より
0≦∠BAC≦π/2
∴cos∠BAC=√(5/12)=(√5)/(2√3)

No.82942 - 2022/07/28(Thu) 20:00:06

★ 広義積分の収束について / さくさ

写真の問題が分かりません。
f≦gでfが発散ならgが発散などを使うのでしょうか。方針が全く立たずちんぷんかんぷんです。
回答お願いします

No.82916 - 2022/07/27(Wed) 01:05:21

☆ Re: 広義積分の収束について / らすかる

(x^4-3x^3+x^2+1)/((x-8)(x-7)(x-6)(x-5)^2(x-4)^2)
=875/(96(x-8))-79/(2(x-7))+685/(8(x-6))-239/(6(x-5))-493/(32(x-4))
-46/(x-5)^2-27/(8(x-4)^2)
x=8付近で875/(96(x-8))の定積分は発散するがその他の項は収束するので、和は発散。
よって元の積分は発散。

No.82918 - 2022/07/27(Wed) 04:58:28

☆ Re: 広義積分の収束について / さくさ

回答ありがとうございます。
何故x=8付近のみ考えてるのですか？

No.82931 - 2022/07/27(Wed) 23:08:45

☆ Re: 広義積分の収束について / らすかる

発散する箇所を1箇所挙げればよいので、
x=7付近やx=6付近でも構いませんが、
1箇所だけで十分なので、
x=8付近を考えた場合は
x=7付近やx=6付近を考える必要はありません。

No.82932 - 2022/07/27(Wed) 23:24:27

☆ Re: 広義積分の収束について / さくさ

ありがとうございます。繰り返し質問申し訳ないですが、何故1箇所のみでいいのでしょうか。x=7、x=6、x=5、x=4付近で発散するものは積分区間に入っているのに無視していいのですしょうか

No.82934 - 2022/07/27(Wed) 23:48:53

☆ Re: 広義積分の収束について / さくさ

ありがとうございます。繰り返し質問申し訳ないですが、何故1箇所のみでいいのでしょうか。x=7、x=6、x=5、x=4付近で発散するものがありますが、それらの値が積分区間に入っているのに無視していいのでしょうか。

No.82935 - 2022/07/27(Wed) 23:50:16

☆ Re: 広義積分の収束について / らすかる

一部分でも発散する箇所があれば全体として発散だからです。
例えば
lim[x→+0](1/x) + lim[x→-0](1/x)
は発散ですよね？それと同じです。問題の式を広義積分でないように書くと、例えば
（見にくくならないように非積分関数をf(x)とします）
lim[a→4-0]∫[1～a]f(x)dx
+lim[a→4+0]∫[a～9/2]f(x)dx
+lim[a→5-0]∫[9/2～a]f(x)dx
+lim[a→5+0]∫[a～11/2]f(x)dx
+lim[a→6-0]∫[11/2～a]f(x)dx
+lim[a→6+0]∫[a～13/2]f(x)dx
+lim[a→7-0]∫[13/2～a]f(x)dx
+lim[a→7+0]∫[a～15/2]f(x)dx
+lim[a→8-0]∫[15/2～a]f(x)dx
+lim[a→8+0]∫[a～9]f(x)dx
+lim[a→∞]∫[9～a]f(x)dx
のように書けますよね。この中で一つでも収束しないものがあれば
和が計算できず「発散」ですから、このうち一つだけ示せば十分です。

No.82937 - 2022/07/28(Thu) 04:03:14

☆ Re: 広義積分の収束について / さくさ

丁寧に回答頂きありがとうございます。理解することができました。
本当にありがとうございました。

No.82939 - 2022/07/28(Thu) 12:43:21

★ 整数問題 / 名無し

2でも3でも割り切れない自然数nについて、n＾2－1は24の倍数であることを示せ。

方針として24の倍数を8の倍数かつ3の倍数と捉え、それぞれ示していこう、と考えたのですが、これは正しいでしょうか？

No.82908 - 2022/07/26(Tue) 21:53:25

☆ Re: 整数問題 / CR

2でも3でも割り切れないのならば、nを6a+1,もしくは6a-1と置いてみてはどうでしょうか

No.82909 - 2022/07/26(Tue) 22:04:20

☆ Re: 整数問題 / 名無し

ご回答ありがとうございます。

法を8とすると、
n≡1,5,7
いずれもn＾2－1≡0となるので8の倍数。

法を3とすると、
n≡1
このとき、n＾2ー1≡0となるので3の倍数。

よって8の倍数かつ3の倍数なので24の倍数である。

このやり方ではダメでしょうか？

No.82911 - 2022/07/26(Tue) 22:14:55

☆ Re: 整数問題 / CR

問題文より2でも3でも割り切れないと書いてあるのので、2の倍数である8を用いるのはまずいように感じます。

ですので、2でも3でも割り切れない＝2と3の最小公倍数である6でも割り切れないと考えるのが妥当かと。

No.82914 - 2022/07/26(Tue) 22:39:47

☆ Re: 整数問題 / 名無し

根本的に間違っていましたね笑
みなさん、ありがとうございます。まだまだ頑張ります。

No.82915 - 2022/07/26(Tue) 22:43:07

☆ Re: 整数問題 / らすかる

法を8とすると、
n≡1,3,5,7 ← ※3も必要
いずれもn^2-1≡0となるので8の倍数。
法を3とすると、
n≡1,2 ← ※2も必要
いずれもn^2-1≡0となるので3の倍数。
よって8の倍数かつ3の倍数なので24の倍数。

のようにすれば問題ないと思います。

No.82919 - 2022/07/27(Wed) 05:04:09