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★ (No Subject) / ダメ営業
このような数式を計算するように手渡されたました
評価方式による金額の差を求めるとかなんとか・・・
どのように正解を導き出したら良いのでしょうか？
No.83938 - 2022/11/18(Fri) 08:57:58
☆ Re: / らすかる
16-16×{(203650000-189000000)/(203650000-□)-1}^2=15.2
両辺から16を引く
-16×{(203650000-189000000)/(203650000-□)-1}^2=-0.8
両辺の符号を反転する
16×{(203650000-189000000)/(203650000-□)-1}^2=0.8
両辺を16で割る
{(203650000-189000000)/(203650000-□)-1}^2=0.8÷16=4/5÷16=1/20
両辺の平方根をとる
(203650000-189000000)/(203650000-□)-1=±1/√20=±1/(2√5)=±√5/10
両辺に1を加える
(203650000-189000000)/(203650000-□)=1±√5/10=(10±√5)/10
両辺の逆数をとる
(203650000-□)/(203650000-189000000)=10/(10±√5)=2(10±√5)/19　（複号逆順）
左辺の分母を計算する（最初に計算しておいた方が楽）
(203650000-□)/14650000=2(10±√5)/19
両辺に14650000を掛ける
203650000-□=2(10±√5)/19×14650000=29300000(10±√5)/19
両辺から203650000を引く
-□=29300000(10±√5)/19-203650000=(293000000±29300000√5)/19-3869350000/19
=(293000000-3869350000±29300000√5)/19=(-3576350000±29300000√5)/19
両辺の符号を反転する
□=(3576350000±29300000√5)/19
というわけで、□に入る数は
(3576350000+29300000√5)/19≒191677200
と
(3576350000-29300000√5)/19≒184780695
の二つです。
どういう条件があるかわかりませんが、
もし□が189000000より大きいならば前者、小さいならば後者となります。
No.83939 - 2022/11/18(Fri) 13:34:22
★ (No Subject) / yyd
大学数学、宿題でリスクの問題でわからないです。解説含め教えて頂きたいです。よろしくお願い致します。
No.83928 - 2022/11/17(Thu) 17:02:18
★ ガロア理論の問題について / alg
次の(2)(3)(4)について、解説をお願いします。
No.83924 - 2022/11/17(Thu) 01:11:18
☆ Re: ガロア理論の問題について / alg
> 次の(2)(3)(4)について、解説をお願いします。
No.83925 - 2022/11/17(Thu) 01:12:16
☆ Re: ガロア理論の問題について / ast
σ∈Gal(L/Q(ζ)), τ∈Gal(L/Q(α)) をそれぞれ σ(α):=αζ,τ(ζ):=ζ^5=ζ~ (複素共軛) から定まるものとすれば話が通ると思います.
No.83940 - 2022/11/19(Sat) 01:07:27
★ ランダウの記号 / あい
ランダウの記号の問題です。申し訳ございません。6問と多いですが、どうしても答えが分からないので過程とともに教えてもらてないでしょうか。何がどう分からないかと言われると困ってしまい、何も分からないという状態です。参考資料ではランダウの記号の意味しか読み取れませんでした。答えと過程を教えてもらい、この問題や類題を解けるようになりたいです
No.83915 - 2022/11/16(Wed) 19:42:13
☆ Re: ランダウの記号 / ast
資料には定義をどういう述べ方で記述してありますか? 例えば 1. は 「lim (2x+1)/x (as x→0) を求めよ」というのと本質的に (少なくとも計算レベルでは) 変わらないはずですが (その結果をオーダーの定義に照らして判定すればいいので).

> 参考資料ではランダウの記号の意味しか読み取れませんでした。
むしろ, ここはその意味が読み取れたなら十分な場面だと思いますが……. (というか, わからないということは (数学的な意味では) 実質的に読み取れていないのでは? と感じます)
No.83916 - 2022/11/16(Wed) 20:23:13
☆ Re: ランダウの記号 / あい
> 定義はどう書いてありますか? 例えば 1. は 「lim (2x+1)/x (as x→0) を求めよ」というのと本質的に (少なくとも計算レベルでは) 変わらないはずですが (その結果をオーダーの定義に照らして判定すればいいので).
>
> > 参考資料ではランダウの記号の意味しか読み取れませんでした。
> むしろここは, 意味が読み取れたなら十分な場面だと思いますが……. (というか, わからないということは (数学的な意味では) 読み取れていないのでは? と感じます)


問題に定義は書かれていませんでした。ランダウ記号の意味だけで、この問題の解き方も答えも分からないので教えてもらえないでしょうか
No.83917 - 2022/11/16(Wed) 20:36:56
☆ Re: ランダウの記号 / IT
＞ランダウ記号の意味だけで
横から失礼します。それを「定義」というのではないかと思いますが、どのように書いてありますか？
その問題集に「定義」が書いてなければ、講義のテキストに書いてあるか講義で説明されたのではないですか？
No.83918 - 2022/11/16(Wed) 21:25:28
☆ Re: ランダウの記号 / あい
説明はこれだけしかありませんでした
No.83919 - 2022/11/16(Wed) 21:29:08
☆ Re: ランダウの記号 / IT
１〜６　それぞれ　上記の条件を満たす適当な定数cとx[0] を見つけて、上記の条件を満たすことを示せば良いのでは？

少なくとも１，２は簡単に見つかると思いますが
No.83920 - 2022/11/16(Wed) 21:54:24
☆ Re: ランダウの記号 / あい
ありがとうございます。しかしこれだけで解けなかったので、過程と答えを教えて貰えないでしょうか。いかつすぎてわけわからないです
No.83921 - 2022/11/16(Wed) 21:57:59
☆ Re: ランダウの記号 / IT
少なくとも１，２は簡単に見つかると思いますが
No.83922 - 2022/11/16(Wed) 21:59:32
☆ Re: ランダウの記号 / ast
定義書いてありますね.
「任意の x≥x_0 に対して f(x)≤c×g(x) であること」
が定義, それを平易な表現にしたのが「x が十分大きければ〜定数倍以下に抑えられる」(これらの表現はいわゆるε-δ論法の典型的なものでもありますし, その意味が "f(x) と g(x) の比の極限" に関する条件だと認識することが「(数学的な意味で) 読み取れた」に相当すると考えます).

あとすみません, "x が十分大きければ" だからどうやら "as x→∞" が暗黙の諒解として省略された前提のようですね.
# "as x→0" も暗黙の諒解としてよくあるシチュエーションなので, 上ではそう誤認していました.
## 一般には "as x→?" の `?' の部分をいろいろにとったオーダーも考え得るので, たいていその旨明記します.
## また例えば, 特に自然数 n を変数にする (数列のオーダーを考える) ときの "O(n)" などは "as n→∞" 以外はまずないと思います.

本問において何をすべきかは No.83916 ですでに書いています (極限の行き先は訂正します) ので, とりあえずは繰り返しません.
No.83923 - 2022/11/16(Wed) 22:00:11
☆ Re: ランダウの記号 / IT
> ありがとうございます。しかしこれだけで解けなかったので、過程と答えを教えて貰えないでしょうか。

ちゃんとしたことは、ast さんのアドバイスなどを熟読していただくとして、この問題をなんとか解くだけなら

No.83919の条件を満たすc、 x[0]を見つける。（いくらでもありますのでてきとうな１組を見つければいいです）

１　例えば、c＝3　とおいて　y=2x+1 とy=cx のグラフを描いて、 x[0]を見つける。

２　c=4とおいて　１と同様にやる。

３　は c=1 でいいかな
No.83926 - 2022/11/17(Thu) 06:23:34
☆ Re: ランダウの記号 / あい
皆様ありがとうございます。1,2,3の問題は理解し、とくことが出来ました。星のついた難しい問題を解いてみたので合っているか見て貰えませんか。2番と3番は何か違和感を感じる答えになった気がします
No.83927 - 2022/11/17(Thu) 11:42:22
☆ Re: ランダウの記号 / IT
2　大学数学でLOGの底が省略されているときは10ではなくてe（自然対数）では？

あえて　c=1/10 とか 1/e とかにしなくて　c=1 でいいのでは？

また、不等式が成り立つことを微分法で増減を調べるなどして示す必要があると思います。

（１　は、　x≧2で　x(x-2)≧0で良いと思いますが）
No.83929 - 2022/11/17(Thu) 22:41:28
☆ Re: ランダウの記号 / あい
ありがとうございます。不等式が微分法で増減を調べるということはやったことがないので、調べてやってみます
No.83934 - 2022/11/18(Fri) 00:29:37
★ 等式の証明 / ゆ
この等式が成り立つことを証明してください。よろしくお願いします。
No.83906 - 2022/11/16(Wed) 13:40:04
☆ Re: 等式の証明 / 関数電卓
　I＝∫(0,∞)(x/(e^x−1))dx
1−e^(−x)＝u と置くと，x∈(0,∞) ⇔ u∈(0,1), x＝−log(1−u), dx＝du/(1−u)
∴ I＝…＝−∫(0,1)(log(1−u)/u)du
　　＝∫(0,1)(1＋x/2＋x^2/3＋…)du
　　＝1＋1/2^2＋1/3^2＋…
　 (＝π^2/6)
No.83913 - 2022/11/16(Wed) 18:45:04
☆ Re: 等式の証明 / ast
1/n^2 = ∫_[0,∞] xe^(-nx) (n=1,2,…) を示して辺々加え (, 右辺は無限和と積分を順序交換す) る.
No.83914 - 2022/11/16(Wed) 18:57:51
★ 不等式 / 学生
高校の不等式の問題です。成立するのか過程も含めて教えて下さい。よろしくお願いします。
No.83904 - 2022/11/16(Wed) 12:30:49
☆ Re: 不等式 / ヨッシー
0.5＝10/20＞1/3≒0.333　に対して a=10 とすると、
　20/30≒0.666　　11/13≒0.846
となり、右辺のほうが大きくなります。
No.83905 - 2022/11/16(Wed) 13:29:05
☆ Re: 不等式 / らすかる
x1,x2,y1,y2に特に条件がないなら
x1=y1=y2=1,x2=-1,a=2とすると考えやすいかと思います。
No.83907 - 2022/11/16(Wed) 14:23:41
☆ Re: 不等式 / 学生
x1>0, x2>0, y1>0, y2>0の条件がありました。
No.83908 - 2022/11/16(Wed) 15:32:01
☆ Re: 不等式 / ヨッシー
私の例はその条件に合ってますね。
No.83909 - 2022/11/16(Wed) 16:00:49
☆ Re: 不等式 / らすかる
分子分母に同じ数を足せば分数の値が1に近づきます。
そしてaが分子分母の値と比較して大きいほど、すなわち
分子分母の値がaと比較して小さいほど、より1に近くなります。
よって例えば1＞y1/x1＞y2/x2の場合、x1,y1よりもx2,y2の方が
十分小さければ、aを足したときにy2/x2の方がより早く1に近づきますので
大小関係が逆転する可能性があります。
そこでx1,y1の値の方がx2,y2より大きくてy1/x1とy2/x2が近く
1＞y1/x1＞y2/x2であるような分数を考えます。
例えばy1=3,x1=5,y2=1,x2=2,a=1とすれば
加算前 3/5＞1/2
加算後 4/6＝2/3
となり反例になります。
（a=2とすると不等号が＜になります）

もしy1/x1＞y2/x2＞1の例を考える場合は同様に
x1,y1が小さくy2,x2が大きければよいので、
上の例をそのままひっくり返してy1=2,x1=1,y2=5,x2=3,a=1とすれば
加算前 2/1＞5/3
加算後 3/2＝6/4
のように反例になります。
No.83910 - 2022/11/16(Wed) 16:18:25
☆ Re: 不等式 / IT
具体例では

ある時点から打率（勝率）10割だった場合の打率や勝率の動きを考えると良いかも知れませんね。

式で考えると
x1>0, x2>0, y1>0, y2>0,a>0 なので

y1/x1>y2/x2
⇔(x2y1-x1y2)>0

(y1+a)/(x1+a)>(y2+a)/(x2+a)
⇔(y1+a)(x2+a)-(y2+a)(x1+a)>0
⇔(x2y1-x1y2)+a(x2+y1-x1-y2)>0

なので、a(x2+y1-x1-y2)が負で絶対値がx2y1-x1y2以上なら逆転するということだと思います。
No.83911 - 2022/11/16(Wed) 16:41:32
☆ Re: 不等式 / 関数電卓
> x1＞0, x2＞0, y1＞0, y2＞0の条件がありました。

　y1/x1＞y2/x2 ならば 任意の a(＞0) について (y1＋a)/(x1＋a)＞(y2＋a)/(x2＋a)

がつねに成り立つような４正数 x1, x2, y1, y2 の条件を求めたいのであれば，

　x2−x1＋y1−y2≧0 (かつ y1/x1＞y2/x2)

となるようです。
No.83912 - 2022/11/16(Wed) 16:56:40
★ (No Subject) / John
数学?TAの問題です。
青のマーカーを引いた部分はどのようにして導いたのですか？
No.83898 - 2022/11/16(Wed) 10:35:17
☆ Re: / ヨッシー
Ｂの要素・・・・
の部分ですかね？

理由はａは自然数だからです。
No.83902 - 2022/11/16(Wed) 11:31:05
★ ラプラス変換 / 学生
模擬試験で解けなかった問題です、解いて貰えないでしょうか。
No.83896 - 2022/11/16(Wed) 09:49:18
☆ Re: ラプラス変換 / GandB
　成り立たない。
　　L[t] = 1/s^2
　　L[sin(t)] = 1/(s^2+1)
　　L[t･sin(t)] = 2s/(s^2+1)^2
No.83899 - 2022/11/16(Wed) 10:35:22
☆ Re: ラプラス変換 / 学生
> 　成り立たない。
> 　　L[t] = 1/s^2
> 　　L[sin(t)] = 1/(s^2+1)
> 　　L[t･sin(t)] = 2s/(s^2+1)^2

ありがとうございます！
No.83900 - 2022/11/16(Wed) 10:56:12
★ 線形代数 / 田中
大学の線形代数の課題です。
解き方が全くわからないので教えていただきたいです。
No.83893 - 2022/11/15(Tue) 22:30:04
☆ Re: 線形代数 / ヨッシー
行列式
| 2 -1 +a |
| 1 +2 -3 |
| 4 -2 -3 |
が０になるようにaを決める、というのが求められている
解法かと思います。

中学生レベルで求めるなら、この連立方程式を実際に解いてみて、
　０ｘ1＝５
のような不能な形になるようにａを求める、という方針でも出来ます。

(2) はただ解くだけです。

式中の「＋」は体裁を整えるためのもので、＋ａはａと同じ意味です。
| 2 -1 a |
| 1 2 -3 |
| 4 -2 -3 |
これだとズレが大きいので。
No.83894 - 2022/11/16(Wed) 08:13:11
☆ Re: 線形代数 / GandB
　中学生レベルを、大学生レベルに偽装した解法www
No.83895 - 2022/11/16(Wed) 08:46:06
★ 複素関数 / Youta
大学数学の問題です。
画像の問題なのですが解き方がさっぱりわからないので教えていただきたいです。よろしくお願いします。
No.83889 - 2022/11/15(Tue) 18:56:30
☆ Re: 複素関数 / Youta
解決しました。
No.83890 - 2022/11/15(Tue) 19:10:46
★ 高次偏微分 / あああ
左辺の計算式はこれであっているでしょうか？また、右辺の計算式を教えてください。
よろしくお願いします。
No.83885 - 2022/11/14(Mon) 14:39:29
☆ Re: 高次偏微分 / ast
ああ, 右辺をどうにかしようとしたから No.83828 みたいな意味不明な質問が出来上がったのか. そうすると「右辺は何も計算する必要ない (というかそもそもそれ以上計算しようがない) だろ, 左辺をちゃんと計算しないからそんなおかしな発想になる」くらいが真っ当な返答だと思います.

で, たぶんだけどその画像, "(左辺)=" のあと全然関係ない "r_[xx]+r_[yy]+r_[zz]" とか計算しようとしてるよね?
# というか, 偏微分は「どの変数に関する」ってのが重要なのに, 左辺の計算で変数の分からない
# プライム記法 (') を三カ所 (それも多分別々の意味で) 使っててまともに意味をとるのも困難にしてる
# ということ自体も相当ひどいのだが……
## (なお右辺のは一変数 r の函数 u に対する r に関する各階の微分だからプライム "'" を使うのは真っ当)

なんにせよ, 本来計算すべき "u_[xx]+u_[yy]+u_[zz]" じゃないことは, 合成函数 u=f(r(x,y,z)) を(偏)微分する計算のはずなのに, f や f' の類いが一切出てきてない時点で, 見るからに明らかでしょう (合成函数の偏微分をちゃんと踏まえていれば, 例えば u_x=∂u/∂x の計算には f'=df/dr や r_x=∂r/∂x などが出てくるはずと考えないはずがない).
# これだけでも
# > これであっているでしょうか？
# に対して「合ってない」と自ら気付ける要因は十分な状況ではあったはずです.
## まあそうは言っても, 変だと思いつつも訊いたのかそれとも思いもしなかった(合ってるつもりだった)かで,
## 質問の意味合いも意義も全然違うとは思うけど.
## (ただ質問文からは後者の臭いしかしてこないので, もし前者だったなら質問文はもっと推敲したほうがよい.)
No.83886 - 2022/11/14(Mon) 15:43:23
★ R^nの開集合 / ます
R^n をユークリッド空間として、MをR^nの部分集合とします。このときM^i(Mの内部)はR^nの開集合となることを示せ。


どなたかご教授願います。よろしくお願いします。
No.83870 - 2022/11/13(Sun) 17:48:08
☆ Re: R^nの開集合 / IT
M^i(Mの"内部")とR^nの"開集合"の定義は、それぞれどうなっていますか？
No.83871 - 2022/11/13(Sun) 19:00:19
☆ Re: R^nの開集合 / ます
返信ありがとうございます。
MがR^nの開集合⇔M^i=M となっています。
なので、M^i⊂MとM^i⊃Mの両方を示すことができれば題意は満たされると思いました。ただ、M^i⊂Mは明らかに成り立っていて自明ですが、M^i⊃Mの方の証明が分からないです。距離空間でなく、ユークリッド空間の範囲内で証明したいです。証明の指針はよさそうですか？またM^i⊃Mの方の証明を教えてください。
No.83872 - 2022/11/13(Sun) 19:09:38
☆ Re: R^nの開集合 / IT
＞なので、M^i⊂MとM^i⊃Mの両方を示すことができれば題意は満たされると思いました。

間違ってます。

＞MがR^nの開集合⇔M^i=M となっています。
ならば、
M^iがR^nの開集合である⇔ (M^i)^i=M^i ですね。
No.83873 - 2022/11/13(Sun) 19:13:07
☆ Re: R^nの開集合 / ます
＞M^iがR^nの開集合である⇔ (M^i)^i=M~i ですね

どうしてそれで、証明ができるのでしょうか。教えてください。
No.83875 - 2022/11/13(Sun) 19:29:23
☆ Re: R^nの開集合 / IT
> ＞M^iがR^nの開集合である⇔ (M^i)^i=M^i ですね
>
> どうしてそれで、証明ができるのでしょうか。教えてください。

質問の意味が分かりません。ますさんが書かれた開集合であることの定義をM^iにあてはめただけですが、
No.83877 - 2022/11/13(Sun) 19:42:55
☆ Re: R^nの開集合 / ます
あっそういうことなんですか。確かに開集合の定義に当てはめるとそうなりますね。てっきり、M^iがR^nの開集合になるときはどういうことかの証明をしないといけないものだと思っていました。よくよく見ると定義を証明しなさいという問題だと解釈するのは意味不明ですね。
それが、
＞
＞なので、M^i⊂MとM^i⊃Mの両方を示すことができれば題意は満たされると思いました。

間違ってます。


が間違っている理由なのですね！この解釈でよろしいでしょうか。
No.83878 - 2022/11/13(Sun) 19:58:24
☆ Re: R^nの開集合 / IT
＞　・・・　この解釈でよろしいでしょうか。
言っておられることが良く分かりませんが、証明すべきことが分かったのなら、それで前に進まれると良いのではないでしょうか。

（そもそも、MとM^i を混同しておられるのが間違いの元だと思います。）
No.83880 - 2022/11/13(Sun) 20:22:24
☆ Re: R^nの開集合 / ます
ありがとうございます！
No.83882 - 2022/11/13(Sun) 20:44:34
★ 数列の一般項の求め方 / 彩
どの問題もお手上げです。2，3問解ければ、それを手掛かりにある程度は行けるのかなと思いますが、解答していただけたら大変助かります。
No.83866 - 2022/11/13(Sun) 13:22:03
☆ Re: 数列の一般項の求め方 / IT
「れんしゅう」とありますから、例題などで、３項間の漸化式の解き方が出てきたのではないですか？その解き方を真似すれば解けるのではないでしょうか？

(5)は逆数を考えると　普通の３項間の漸化式になります。
No.83867 - 2022/11/13(Sun) 13:40:48
☆ Re: 数列の一般項の求め方 / 彩
ご回答ありがとうございました。
No.83868 - 2022/11/13(Sun) 13:59:49
☆ Re: 数列の一般項の求め方 / IT
特性方程式を使った一般的な解法を習っておられると思いますが、
個別にうまい変形を見つけて等比数列に帰着させることもできます。（一般的な解法とおなじことになりますが）
(1)両辺に-2a(k+1)を加えて
2a(k+2)-2a(k+1)=-a(k+1)+a(k)
No.83869 - 2022/11/13(Sun) 16:52:38
☆ Re: 数列の一般項の求め方 / 彩
アドバイスありがとうございます。

（5）は逆数を考えましたが、解けませんでした。
導き出し過程や解答をご教示いただけたらうれしいです。
No.83874 - 2022/11/13(Sun) 19:25:53
☆ Re: 数列の一般項の求め方 / IT
> （5）は逆数を考えましたが、解けませんでした。
できたとこまで書いてください。

逆数というのは、まず、左辺、右辺　それぞれ全体の分子と分母をひっくり返します。
（元の分子≠0の確認が必要です）
No.83876 - 2022/11/13(Sun) 19:32:11
☆ Re: 数列の一般項の求め方 / 彩
返信ありがとうございます。

合っているかは不明ですが、ここまではなんとかできました。
No.83879 - 2022/11/13(Sun) 20:04:28
☆ Re: 数列の一般項の求め方 / IT
なぜ、最初にa[n+1]=x とおくのか分かりません、不要だと思います。

まず、左辺、右辺　それぞれ全体の分子と分母をひっくり返します。
→３行目の式ですね。
ここで右辺を２つの項に分けて約分するとどうなりますか？
No.83881 - 2022/11/13(Sun) 20:30:43
☆ Re: 数列の一般項の求め方 / 彩
アドバイスありがとうございます。
このようになりました。
今日は遅いので、また後ほどやりとりできたら幸いです。
No.83883 - 2022/11/13(Sun) 21:35:22
☆ Re: 数列の一般項の求め方 / IT
そこで、b[n]=1/a[n] とおけば、b[n]についての普通の３項間の漸化式になります。
No.83884 - 2022/11/13(Sun) 22:17:28
☆ Re: 数列の一般項の求め方 / 彩
IT様が求めている解き方とは異なるかもしれませんが、画像のようになりました。
チェックしていただけると助かります。
No.83887 - 2022/11/14(Mon) 20:13:59
☆ Re: 数列の一般項の求め方 / IT
合っていると思います。適宜分母≠0の確認があった方が良いと思います。
No.83891 - 2022/11/15(Tue) 19:38:19
☆ Re: 数列の一般項の求め方 / 彩
アドバイスとチェックありがとうございます。

他の問題も解くので、また気がかりなことがあったら質問したいと思います。

そのときに、ご助言をいただけたらうれしいです。
No.83892 - 2022/11/15(Tue) 19:58:07
★ (No Subject) / John
数学２Ｂの問題です。
TPがx軸の正の部分となす角はθ−π/2というのは、どうしてですか？
No.83862 - 2022/11/12(Sat) 15:27:38
☆ Re: / けんけんぱ
ご自分で図を書いてみてください。
TPがx軸の正の部分となす角とはどこになるかを。
そして、その角をどんな式で表すのかも。
No.83864 - 2022/11/12(Sat) 17:07:27
☆ Re: / John
自分で再度考えてみました。
恐らく、なす角はここだと思うのですが、それだとπ／2−θになってしまいます…
なす角の場所が間違っているということですか？
No.83897 - 2022/11/16(Wed) 10:28:38
☆ Re: / GandB
> 恐らく、なす角はここだと思うのですが、それだとπ／2−θになってしまいます…
　それは TP方向 の角度を 0 にしたときの値。
　題意より「なす角」βは x 軸方向の角度を 0 として計る。角度の測り方は左回りがプラスなので、βはマイナスになる。条件は 0 ≦θ＜2πだが、とりあえず図に合わせて 0 <θ<π/2 で考えると
　　θ-β=π/2
　　∴β=θ-π/2＜0
No.83901 - 2022/11/16(Wed) 11:01:25
★ 同位角 / ゆかり
こんばんわ^^
今日学校で、平行線の錯角は等しいって定理の証明を教わったんですが、それなら、平行線の同位角も証明できるのか先生に聞いたら、平行線の同位角は定理じゃないから、証明はないって言われたんですが、理解できないです。定理って、定義から派生するものですよね？同位角を位置関係で定義したら、そこから生まれる性質は定理になるんじゃないでしょうか？？そもそも証明がないのに、なぜ平行線の同位角は等しいのですか？錯角では証明できたから、定理があるんですよね？意味不明過ぎです。😥
No.83855 - 2022/11/11(Fri) 22:37:59
☆ Re: 同位角 / IT
＞平行線の錯角は等しいって定理の証明

どんな証明ですか？
何年生ですか？

「定義、公理、公準」　などから　正しいと導かれるなら「定理」と呼ぶかどうかは別にして、「証明」はある。という、ゆかりさんの理解で良いと思います。
No.83856 - 2022/11/12(Sat) 08:40:37
☆ Re: 同位角 / ゆかり
おはようございます^^
中学2年生です。

錯角の定理の証明は、ちょっと伝わりにくいと思いますが、横に二本平行線lとmを引き、これらに交わる斜めな直線nを引きます。lとn、mとnが交わってできる角のうちで、lとnの右下(aとします)とmとnの左上(bとします)の角を錯角と呼ぶらしく、a=bになるそうです。lとnの左上(cとします)は同位角の定理で、b=c、対頂角の定理で、c=aから、a=bになるってことだと思います。

公理と公準は学校ではでてきませんでしたよ。教科書にも載ってないです。定理とは別物ですか？

証明があるのなら、平行線の同位角が等しいことはどうやってやるんでしょうか？？
No.83857 - 2022/11/12(Sat) 09:42:38
☆ Re: 同位角 / IT
中学校学習指導要領（平成 29 年告示）解説　数学編の108ページには下記の記述があります。
「平行線の同位角が等しいこと」は、平行線の「定義」（の一部）だという取り扱いですね。
なので「・・・は証明できない」という先生の説明は正しいですが、ていねいさが足りないかも知れません。


https://www.mext.go.jp/component/a_menu/education/micro_detail/__icsFiles/afieldfile/2019/03/18/1387018_004.pdf

中学校学習指導要領（平成 29 年告示）解説　数学編の108P抜粋

平行線や角の性質（アのア）
　平行線の性質，平行線になるための条件としては，通常，次の二つの事柄が取り
上げられ，中学校では，これらを証明の根拠とすることになる。
　・平行な２直線に他の直線が交わったときにできる同位角は等しい。
　・２直線に他の直線が交わってできる同位角が等しければ，この２直線は平行で
ある。
　平行については，小学校第４学年で取り上げられ，例えば，１本の直線に垂直な
２本の直線として捉えられている。その後，平行線をかくなど観察や操作，実験な
どの活動を通して，上の二つの事柄が直観的，実験的に認められてきている。小学
校算数科の学習では，同位角が等しいことと，２直線が平行であることは，同時に成り立っており，一方が他方の帰結ではない。
No.83858 - 2022/11/12(Sat) 11:13:10
☆ Re: 同位角 / IT
「公理」「公準（現在は公理と呼ばれる）」については下記などが分かり易いかもしれません。
厳密には大学数学（基礎論など）で学ぶことになると思います。

https://www.youtube.com/watch?v=K0HxDK5lZxc
https://kobetsujuku.co.jp/chukoikkan/column/ks191124
No.83859 - 2022/11/12(Sat) 11:22:45
★ 数列 / あー
(2)(3)が分かりません。
途中式を教えて欲しいです。
No.83851 - 2022/11/11(Fri) 00:09:17
☆ Re: 数列 / ヨッシー
(1) が a[n]＝n/2−9/2 であることを踏まえて、

(2)
b[n]−1/3＝４a[n]
b[n]＝４a[n]＋1/3
において、a[10]＝1/2 なので、
　b[10]＝41/2＋1/3＝7/3

(3)
b[n]＝４a[n]＋1/3＞2023
より、
　４a[n]＞2023−1/3
a[n]＝(n-9)/2 より
　４a[n]＝２n-9
２^10＝1024，2^11＝2048
より、求めるｎは　11＋9＝20
No.83852 - 2022/11/11(Fri) 08:08:12
☆ Re: 数列 / あー
解説ありがとうございます。
納得しました。
No.83860 - 2022/11/12(Sat) 13:14:01
★ (No Subject) / ふぇう
(中3）
自分で問題を作っていたのですが、数値設定で行き詰ってしまったのでお力をお借りしたいです。

次の二つの式が同時に有理数となるような実数nってありますか？
No.83838 - 2022/11/10(Thu) 17:45:16
☆ Re: / IT
n=0 以外ですよね。
No.83839 - 2022/11/10(Thu) 18:27:01
☆ Re: / IT
ないようですね

両者が0でない有理数と仮定すると
変形すると
n=(p/q)√2 = (s/t)√3 ,p/qとs/tは既約分数と書けて

両辺２乗すると　(p^2)(t^2)2=(s^2)(q^2)3
両辺の素因子2の偶奇が一致しないので矛盾
No.83840 - 2022/11/10(Thu) 18:41:12
☆ Re: / らすかる
差が(2√2)nなので、同時に有理数になるのはn=0のみです。
No.83841 - 2022/11/10(Thu) 19:53:01
☆ Re: / IT
らすかる さん
＞差が(2√2)nなので・・・
もう少し説明が必要ではないでしょうか？
No.83842 - 2022/11/10(Thu) 20:12:07
☆ Re: / らすかる
二つの有理数の差が無理数になることはないので、十分では？
説明を追加するとしても
「√2は無理数」
「無理数の有理数(除0)倍は無理数」
「有理数と有理数の差は有理数」
ぐらいだと思いますが、これらを既知としてはまずいということでしょうか。
というか、この質問は
「次の二つの式が同時に有理数となるような実数nがあるか？」
という問題を解いて欲しいわけではなく、単に自作問題の作成途中で
数値設定に困ったけど、両方有理数にすることはできないか？という
質問だと思いましたので、きちんとした証明は不要に思えました。
No.83843 - 2022/11/10(Thu) 21:11:32
☆ Re: / IT
＞差が(2√2)nなので・・・
＞二つの有理数の差が無理数になることはないので、十分では？
n=√2のとき　(2√2)n=4 有理数です。
もちろんこのときn(√3 + √2）、n(√3 - √2）どちらも無理数なのでダメですが。
No.83844 - 2022/11/10(Thu) 21:24:43
☆ Re: / らすかる
あ、ごめんなさい。ちゃんと読んでいませんでした。
nは整数と思い込んでいました。
大変失礼しました。
No.83845 - 2022/11/10(Thu) 21:34:49
☆ Re: / らすかる
では訂正です。
n≠0のとき2数の比が
{n(√3+√2)}/{n(√3-√2)}=5+2√6なので
両方とも有理数となることはありません。
No.83846 - 2022/11/10(Thu) 21:37:28
☆ Re: / IT
＞n≠0のとき2数の比が・・
それだと早いですね。
No.83847 - 2022/11/10(Thu) 21:40:30
☆ Re: / ふぇう
ありがとうございます
問題の数値設定ですので、ないことが分かっただけでありがたいです
皆さんありがとうございます。
No.83888 - 2022/11/14(Mon) 23:04:40
★ 極限　高校数学の範囲で / K
a(1)=0,a(n)=(1/2)√{a^2(n)+2a(n)+8}のとき、a(n)>=2-1/(2)^(n-2)を数学的帰納法で表せ

lim(n→∞)nx^k(0<=x<=1,kは自然数)の極限を求めよ

下の問題は1/nx^3の極限を0にしていたので何故だろうと思って質問しました。
No.83831 - 2022/11/10(Thu) 14:44:19
☆ Re: 極限　高校数学の範囲で / IT
> 下の問題は1/nx^3の極限を0にしていたので何故だろうと思って質問しました。
1/(nx^3) ですか？　x≠0のときだと思いますが、

kさんはlim(n→∞)　1/(nx^3)はいくらだと思ったのですか？
No.83848 - 2022/11/10(Thu) 22:46:00
☆ Re: 極限　高校数学の範囲で / K
一応、xは0より大きく1以下です。
2番目の問題の逆数なので、0を含みませんでした。
もし2番目の問題が解ければ、あとはxの範囲を少し変え、極限の割り算の形の基本公式で解けるから考えたからです。
有名なnx^nははさみうちの原理で解けますが、xの指数が任意の自然数の時どうやって解いたらいいかわからなかったので質問させてもらいました。
No.83849 - 2022/11/10(Thu) 22:59:21
☆ Re: 極限　高校数学の範囲で / IT
lim(n→∞)nx^k(0<x<=1,kは自然数)の極限を考えるときは
各,x,k 毎に固定して考えればいいので

　x^k = a （> 0 ）について　lim(n→∞)na を考えることになります。

例えば　x=0.5,k=2 のときは　a=0.25、x=0.1,k=10のときは　a=0.0000000001 です。
いずれの場合も　lim(n→∞)na ＝∞です。
No.83850 - 2022/11/10(Thu) 23:39:43
☆ Re: 極限　高校数学の範囲で / K
色々自分で試行錯誤したのですが、0<x<=1,kは自然数のような範囲でx→+0というのは考えないのですか(都合上、0<=x<=1,kは自然数のx=0は省きました)
というのも、x→+0ならばx=1/nとして書き換えられるので、n^(1-k)となり、k=1のとき、1 kが2以上のとき、0となるのでいずれの場合も∞になるとは思いませんでした
自分自身は定数も範囲があれば変数であり、場合によっては今回のようになる場合もあるという認識で考えました
No.83853 - 2022/11/11(Fri) 18:11:25
☆ Re: 極限　高校数学の範囲で / IT
> 0<x<=1,kは自然数のような範囲でx→+0というのは考えないのですか

この問題の場合は、x はそれぞれの値でいったん固定して考えて良いと思います。

大学数学では、「各点収束」といいます。これに対する概念として「一様収束」があります。

詳しくは、下記などご覧ください。

https://manabitimes.jp/math/1099
No.83854 - 2022/11/11(Fri) 19:18:51
★ 空間におけるベクトル方程式 / John
数学２Ｂの空間ベクトルの問題です。

初歩的な質問で申し訳ないのですが……
Aを通りBCに平行な直線は、OPではなくAPだと思うのですが、どうしてOPを求めるのですか？
No.83829 - 2022/11/10(Thu) 10:55:46
☆ Re: 空間におけるベクトル方程式 / ヨッシー
点Ｐの位置ベクトルＯＰが表す（ベクトルを用いた）方程式が、
点Ｐのベクトル方程式だからです。
No.83830 - 2022/11/10(Thu) 11:07:24
☆ Re: 空間におけるベクトル方程式 / John
ありがとうございます。
理解しました。
No.83861 - 2022/11/12(Sat) 15:25:22
★ 微積 / あああ
u=f(r)、r=√(x^2+y^2+z^2)のとき、
f'(r)+(2/r)f''(r)はどうなるのでしょうか。
導出過程も合わせてご解説頂けないでしょうか。
No.83828 - 2022/11/10(Thu) 09:52:12
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