xyz空間において、yz 平面上の放物線z =y^2, x=0をz軸のまわりに一回転して得られる曲面上を動く点Aと、点(2, 3, -1)を通りベクトル(1, 0, 2)に平行な直線上を動く点Bがある。
ABの長さの最小値と、その時のA、Bの座標を求めよ。
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No.89274 - 2024/11/08(Fri) 17:43:49
| ☆ Re: / らすかる | | | 直線上の点は (2,3,-1)+k(1,0,2)=(k+2,3,2k-1)
この点とz軸を含む平面で切ってその平面をtz平面とすると
放物面の断面は放物線z=t^2
（※tz平面の向きはkによって変化していく）
直線上の点はt＞0として(√(k^2+4k+13),2k-1)となるので
この点の軌跡はtz平面上ではt=√(z^2+10z+61)/2
t'=(z+5)/(2√(z^2+10z+61))なので
t=√(z^2+10z+61)/2上の点(√(k^2+4k+13),2k-1)における接線の傾きは
2√(k^2+4k+13)/(k+2)
放物線z=t^2においてz'=2tなので
この放物線上の点(s,s^2)における接線の傾きが2√(k^2+4k+13)/(k+2)となるとき
s=√(k^2+4k+13)/(k+2)
よってそのときの接点は
(√(k^2+4k+13)/(k+2),(k^2+4k+13)/(k+2)^2)
この点と(√(k^2+4k+13),2k-1)を通る直線の傾きは
{(2k-1)-(k^2+4k+13)/(k+2)^2}/{√(k^2+4k+13)-√(k^2+4k+13)/(k+2)}
=(2k^3+6k^2-17)/{(k+1)(k+2)√(k^2+4k+13)}
これが接線と直交しなければならないので
(2k^3+6k^2-17)/{(k+1)(k+2)√(k^2+4k+13)}・2√(k^2+4k+13)/(k+2)=-1
これを解いて k=1
k=1のとき直線上の点は(3,3,1)
s=√(k^2+4k+13)/(k+2)=√2なので放物線上の点は(√2,2)
k=1のときの断面はx=yなので放物面上の点は(1,1,2)
よってABが最小となるとき A(1,1,2), B(3,3,1), AB=3
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No.89275 - 2024/11/09(Sat) 10:14:10 |
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