ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / ⅠAⅡB

x,y,aを実数とする。
-x^2+(a+2)x+a-3<y<x^2-(a-1)x-2…?@を考える。
(1)どんなxに対してもそれぞれ適当なyを取れば?@が成り立つためのaの値の範囲を求めよ。
(2)適当なyを取ればどんなxに対しても?@が成り立つためのaの値の範囲を求めよ。

解説よろしくお願いします。

No.85342 - 2023/05/01(Mon) 17:52:58

☆ Re: / X

方針を。
(1)
求める条件はxの不等式
-x^2+(a+2)x+a-3＜x^2-(a-1)x-2
の解が任意の実数となる条件
となります。

(2)
f(x)=-x^2+(a+2)x+a-3
g(x)=x^2-(a-1)x-2
と置くと、求める条件は
(f(x)の最大値)＜(g(x)の最小値)
となります。

No.85351 - 2023/05/02(Tue) 00:06:15

☆ Re: / ヨッシー

グラフの位置関係としてはこうです。
(i) は(1)も(2)も満たす。
(ii) は(1)だけ満たす。
(iii) はどちらも満たさない。

(1) は各ｘに対してｙを変えてもいい
(2) はｙを一旦決めたら変えてはいけない。

No.85355 - 2023/05/02(Tue) 07:00:41

★ (No Subject) / ?TA?UB

ax^2+y^2+az^2-xy-yz-zx≧0が任意の実数x,y,zについて常に成り立つような定数aの値の範囲を求めよ。
解説よろしくお願いします。

No.85341 - 2023/05/01(Mon) 17:44:52

☆ Re: / X

問題文の
＞＞ax^2+y^2+az^2-xy-yz-zx≧0
は
ax^2+ay^2+az^2-xy-yz-zx≧0
のタイプミスということはありませんか？

No.85354 - 2023/05/02(Tue) 01:25:13

☆ Re: / ⅠA2B

ay^2ではなくy^2です。

No.85356 - 2023/05/02(Tue) 07:40:40

☆ Re: / X

問題の不等式から
y^2+(z+x)y+ax^2+az^2-xz≧0 (A)
∴y^2+(z+x)y+ax^2+az^2-xz=0
をyの二次方程式と見たときの解の判別式を
D[1]とすると、(A)を満たすyが任意の実数
であることから
D[1]=(z+x)^2-4(ax^2+az^2-xz)≦0
これより
(4a-1)z^2-6xz+(4a-1)x^2≧0 (B)
(i)4a-1≦0、つまりa≦1/4のとき
題意を満たさないので不適。
(ii)4a-1＞0、つまり1/4＜aのとき
(4a-1)z^2-6xz+(4a-1)x^2=0
をzの二次方程式と見たときの解の判別式を
D[2]とすると(B)を満たすzが任意の実数で
あることから
D[2]/4=9x^2-{(4a-1)^2}x^2≦0
これより
(4a+2)(4a-4)x^2≧0
これが任意の実数xに対して成立するので
(4a+2)(4a-4)≧0
∴a≦-1/2,1≦a
1/4＜aとの共通範囲を考えて
1≦a

以上から求めるaの値の範囲は
1≦a
となります。

No.85357 - 2023/05/02(Tue) 10:11:45

☆ Re: / X

上記の方針は、問題の不等式をx,y,zいずれかに注目した
二次不等式と見て、解が任意の実数であるときの条件を
使って順番に文字を減らしていく、といったものです。

今回は文字を減らす順番が
最初がy,続いてz,x
となっていますが、この順番である必要は
何もありません。
只、x^2,y^2,z^2の係数を見ると、y^2の係数だけ
aを含まない定数(1ということですが)であり、
係数の符号による場合分けが不要ですので、
最初に処理した、というだけです。

No.85361 - 2023/05/03(Wed) 09:37:15

★ (No Subject) / ⅠAⅡB

a,bを実数とする。cos2x+acosx+b=0が0≦x<2πの範囲で2個の異なる実数解を持つためのa,bに関する条件を求めよ。
解説よろしくお願いします。

No.85339 - 2023/05/01(Mon) 17:38:03

☆ Re: / X

cosx=t (A)
と置くと
0≦x＜2π (B)
より
-1≦t≦1 (C)
であり、また
-1＜t＜1のとき、tの一つの値に対し、xの値が2つ対応する (D)
t=1,-1のときtの一つの値に対し、xの値が1つ対応する (D)'
ことに注意します。
このとき問題の方程式は
1-2t^2+at+b=0
∴
2t^2-at-b-1=0 (E)
よって問題は
tの2次方程式(E)が
-1＜t＜1の範囲で実数解を一つのみ持つ (P)
又は
(E)の解がt=1,-1となる (Q)
条件を求めることに帰着します。
ここで
f(t)=2t^2-at-b-1
と置くと、横軸にt、縦軸にf(t)を取ったグラフは
軸の方程式が
t=a/2
である、下に凸の放物線。
よって求める条件は、次のいずれかになります。
(i)f(-1)f(1)≦0
(ii)(E)の解の判別式をDとしたとき
-1＜a/2＜1かつD=0
注)(Q)は(i)に含まれます。

(i)のとき
(-a-b+1)(a-b+1)≦0
(b+a-1)(b-a-1)≦0 (F)
(ii)のとき
a-b+1=0かつ-a-b+1＜0
⇔b=a+1かつ-a-b+1＜0
⇔b=a+1 (0＜a＜2) (G)

ここで
(F)を満たす点(a,b)の領域の境界線上に
(G)を満たす点(a,b)が存在する
ことが分かりますので、求める条件は
(b+a-1)(b-a-1)≦0
となります。

No.85347 - 2023/05/01(Mon) 23:33:08

☆ Re: / ヨッシー

cos(2x)＝2cos^2ｘ－1 より、与式は
　2cos^2ｘ＋ａcosｘ＋ｂ－１＝０
と書けます。Ｘ＝cosｘとおくと、この式はさらに
　2Ｘ^2＋ａＸ＋ｂ－１＝０
と書けます。これを解いたときの解が
　Ｘ＝１　ならば　元の式の解は　ｘ＝０　の１つ
　Ｘ＝－１　ならば　元の式の解は　ｘ＝π　の１つ
　－１＜Ｘ＜１　ならば　元の式の解は　２つ
　それ以外の場合は、実数解はなし。
以上より、２個の異なる実数解を持つには
2Ｘ^2＋ａＸ＋ｂ－１＝０　の解が
1)ｘ＝１とｘ＝－１
2)－１＜ｘ＜１　の範囲に１個と、Ｘ＜－１またはＸ＞１の範囲に１個
3)－１＜ｘ＜１　の範囲に重解
のいずれかとなります。
　

No.85348 - 2023/05/01(Mon) 23:38:07

★ (No Subject) / ⅠAⅡB

点(a,b)からy＝x^3-3xのグラフに引ける接線の本数をnとする。
(1)n=3を満たすような点(a,b)の範囲を図示せよ
(2)-3a<bかつn≦2を満たすように点(a,b)が動く時、 b-3aの最小値を求めよ

No.85338 - 2023/05/01(Mon) 17:35:44

☆ Re: / X

y=x^3-3x (A)
より
y'=3x^2-3
∴(A)上の点(t,t^3-3t)における接線の方程式は
y=(3t^2-3)(x-t)+t^3-3t
これが点(a,b)を通るので
b=(3t^2-3)(a-t)+t^3-3t
これより
b=(3t^2-3)a-2t^3
2t^3-3at^2+3a+b=0 (B)
ここで
f(t)=2t^3-3at^2+3a+b
と置くと
f'(t)=6t^2-6at=6t(t-a)

(1)
f'(t)=0の解がt=0,aであることに注意すると
求める条件は
a≠0 (C)
f(0)f(a)＜0 (D)
(D)より
(3a+b)(-a^3+3a+b)＜0
(b+3a)(b-a^3+3a)＜0
図示すると下のようになります。
(但し、境界含まず)

No.85350 - 2023/05/02(Tue) 00:01:49

☆ Re: / X

(No.85350の続き)

(2)
方針を。
(1)の結果から題意を満たす点(a,b)の領域は
下の図のようになります。
但し、境界は直線b=-3a上の点を含まず、
それ以外の境界は含みます。)
よって
b-3a=k (E)
と置くと、問題は下図の領域と
直線(E)が共有点を持つときのkの最小値を求める
ことに帰着しますので、kの最小値は

曲線b=a^3-3aの傾き3の接線の方程式と
等価になる(E)のkの値

のうち、小さい方
となります。

No.85352 - 2023/05/02(Tue) 00:34:28

★ 線形微分不等式 / ぐっち

実数上で定義され、実数に値をとる、2次までの連続な導関数をもつ関数f(x)が条件f''(x)≧f(x)を満たすとき、
f(x)≧1/2{e^x+e^(-x)}*f(0)+1/2{e^x-e^(-x)}*f'(0)
となることを示せ、という問題があって、解説のところに
α,βを実数とするとき、D=d/dxとして
(D-α)(D-β)f(x)≧0(α>β)
も同様にして解ける、と書いてあったので計算した結果、
(α-β)f(x)
≧(αe^(βx)-βe^(αx))f(0)+(e^(αx)-e^(βx))f'(0)
という結果を得ました。
解説に、さらに高階も同様に導くことができる、と書いてあるのですが、自分ではこれ以上の議論ができなくて、どういう式が導けるのか導出過程とともに知ることができればと思い、投稿しました。ご教授よろしくお願いいたします。

No.85332 - 2023/04/27(Thu) 18:03:41

☆ Re: 線形微分不等式 / ぐっち

具体的には
(D-α)(D-β)(D-γ)f(x)≧0(α>β>γ)
さらに一般的に
(D-α[1])(D-α[2])…(D-α[n])≧0(α[1]>α[2]>…>α[n])
を解いたらどうなるかが知りたいです。よろしくお願いします。

No.85333 - 2023/04/27(Thu) 22:17:28

☆ Re: 線形微分不等式 / ぐっち

すいません。訂正です。
(D-α[1])(D-α[2])…(D-α[n])≧0(α[1]>α[2]>…>α[n])
↓
(D-α[1])(D-α[2])…(D-α[n])f(x)≧0(α[1]>α[2]>…>α[n])

No.85334 - 2023/04/27(Thu) 22:19:25

☆ Re: 線形微分不等式 / 黄桃

一般の場合に簡単に示す方法があるかもしれませんが、とりあえず。

なお、まじめにやると計算が面倒なので、ミスがあるかもしれません。流れは合っていると思いますが、細かいところは自分で確認してください。

f'''(x)-(a+b+c)f''(x)+(ab+bc+ca)f'(x)-abcf(x)≧0
を変形すれば、
f'''(x)-(a+b)f''(x)+abf'(x)-c(f''(x)-(a+b)f'(x)+abf(x))≧0
で、今までと同様に e^(-cx)(>0)を両辺にかけて、0からxまで積分すれば、
(f''(x)-(a+b)f'(x)+abf(x))e^(-cx)-(f''(0)-(a+b)f'(0)+abf(0))≧0
となります。e^(cx)をかけると、
f''(x)-(a+b)f'(x)+abf(x)-((f''(0)-(a+b)f'(0)+abf(0)))e^(cx)≧0 ...(*)
となります。これを変形すると
f''(x)-af'(x)-b(f'(x)-af(x))-((f''(0)-(a+b)f'(0)+abf(0)))e^(cx)≧0
だから、再びe^(-bx)をかけて0からxまで積分すれば
(f'(x)-af(x))e^(-bx)-(f'(0)-af(0))-((f''(0)-(a+b)f'(0)+abf(0)))/(c-b)(e^((c-b)x)-1)≧0
となります。まったく同様に、これを整理して e^(bx)をかけると（多分）
f'(x)-af(x)+(f''(0)-(a+c)f'(0)-acf(0))/(c-b) * e^(bx)-(f''(0)-(a+b)f'(0)+abf(0))/(c-b) *e^(cx)≧0
となります。再び e^(-ax)をかけて 0からxまで積分し、 e^(ax)をかけて整理すると（おそらく）
f(x)≧(f''(0)-(b+c)f'(x)+bcf(0))/((a-b)(a-c)) *e^(ax)+(f''(0)-(a+c)f'(0)+acf(0))/((b-a)(b-c))*e^(bx)+(f''(0)-(a+b)f'(0)+abf(0))/(c-a)(c-b))*e^(cx)
となります。

仕掛けがわかれば、高階になっても同じで、したがって、
e^(ax)の部分の係数は、 (f^(n)(0)-(a以外の1次対称式)f^(n-1)+...+(a以外のn-1次対称式)f(0))/((a-b)(a-c)...) （分母は (a-(a以外)) のすべての積) ...(**)
となるでしょう。

一般の場合にちゃんと計算はしてませんが、上で見たように、e^(cx)の部分の係数は、(*)から始めて進むにつれて分母に(c-a),(c-b),...が次々とかかっていきます。
なので、おそらく、どういう順番で計算しても答は同じでしょうから、cではなく、最初にa,bから始めれば(**)がいえると思われます。
興味があればご自分で厳密な証明をしてみてください。

＃3階の場合にx=0とすると、いわゆる「オイラーの分数式」が出てきそうです。

No.85335 - 2023/04/30(Sun) 08:41:17

☆ Re: 線形微分不等式 / ぐっち

3階の計算の規則が見えなくて、自分だけでは絶望的だったので、視界が開けました。オイラーの分数式と関係性があるとするととても興味深いです。ちょっとそちらの方向でも研究してみます。ありがとうございました。

No.85336 - 2023/04/30(Sun) 18:10:39

★ 2変数関数 / 884

問)実数x,yがx^2＋y^2＝1を満たしながら動く時、(2x+y+1)/(3x+y+5)の最大値と最小値を求めよ

解説お願いします。

No.85326 - 2023/04/25(Tue) 19:22:27

☆ Re: 2変数関数 / らすかる

x=cosθ, y=sinθ, t=tan(θ/2) （-π＜θ＜π）とおくと
x=(1-t^2)/(1+t^2), y=2t/(1+t^2) なので
(2x+y+1)/(3x+y+5)
={2(1-t^2)/(1+t^2)+2t/(1+t^2)+1}/{3(1-t^2)/(1+t^2)+2t/(1+t^2)+5}
={2(1-t^2)+2t+(1+t^2)}/{3(1-t^2)+2t+5(1+t^2)}
=(-t^2+2t+3)/(2t^2+2t+8)
f(t)=(-t^2+2t+3)/(2t^2+2t+8) とおくと
f'(t)=-8(t+5)(3t-1)/{(2t+1)^2+15}^2 なので
t＜-5で減少、-5＜t＜1/3で増加、1/3＜tで減少
またf(-5)=-2/3, f(1/3)=2/5
lim[t→±∞]f(t)=-1/2なので
f(t)の最大値は2/5、最小値は-2/3
θの範囲にないx=-1,y=0のときは-1/2なので最大最小とは無関係
t=1/3のときx=4/5, y=3/5
t=-5のときx=-12/13, y=-5/13
従って(2x+y+1)/(3x+y+5)は
(x,y)=(4/5,3/5)のとき最大値2/5
(x,y)=(-12/13,-5/13)のとき最小値-2/3
をとる。

No.85330 - 2023/04/26(Wed) 11:02:13

☆ Re: 2変数関数 / 黄桃

図形的に解くなら次のようになります(微分を使いません）。

(仮定より、x,y≧-1 だから、 3x+y+5≧-3-1+5=1 なので、分母は0になることはない)

(2x+y+1)/(3x+y+5)=k
とおけば、
(3x+y+5)k=2x+y+1
となるから、この直線が円 x^2+y^2=1 と交わるような k　の範囲の最大、最小が求めるもの。
変形すると
(3k-2)x+(k-1)y+5k-1=0
となる。kの条件はこの直線と点(0,0)との距離が１以下だから、
点と直線の距離の公式により
|5k-1|/√((3k-2)^2+(k-1)^2)≦1
となる。

これを解くと　-2/3≦k≦2/5 となるので、
求める最大値は2/5, 最小値は-2/3

＃最大最小は点(-4,7)から円x^2+y^2=1に引いた接線に対応します。
＃(-4,7)は 3x+y+5=0 かつ 2x+y+1=0 の交点で、
＃(3x+y+5)k=2x+y+1　はこの交点を通る直線（3x+y+5=0を除く）を表しています。

No.85331 - 2023/04/26(Wed) 23:17:09

★ 数学3 複素数平面 / 山田山

なぜ両辺をZ-1で割れるのでしょうか？

No.85320 - 2023/04/25(Tue) 15:45:16

☆ Re: 数学3 複素数平面 / IT

どこかにZ≠1という条件があるのでは？
その解答は不十分ですね。
（問題文を書かずに質問されても的確な回答は無理です。）

No.85321 - 2023/04/25(Tue) 15:59:30

☆ Re: 数学3 複素数平面 / 山田山

不十分な質問ですみません。前問でz^6-1=0の解について求めた際、Z=1が1の6乗根解であると証明したのでよくわかりません。

No.85322 - 2023/04/25(Tue) 16:42:08

☆ Re: 数学3 複素数平面 / IT

○２、〇３は、ｚについての恒等式ですね。

No.85323 - 2023/04/25(Tue) 17:01:34

☆ Re: 数学3 複素数平面 / 山田山

恒等式は両辺の因数を割る際の制約などは無いのでしょうか？

No.85324 - 2023/04/25(Tue) 17:23:45

☆ Re: 数学3 複素数平面 / IT

「恒等式」というより「整式」の積の性質と考えた方が分かり易いのではないでようか？

整式P(x)とQ(x)について、P(x)Q(x)=0 となるのはどういう場合か？（恒等式とも言えますが）

No.85327 - 2023/04/25(Tue) 20:08:14

☆ Re: 数学3 複素数平面 / 山田山

つまりこの場合z-1≠0ということで大丈夫ですね。ご回答ありがとうございました。

No.85328 - 2023/04/25(Tue) 21:26:56

★ 高校数学 / まほ

0≦x≦π/2
y=|(1-cosx)b+1|
by平面に図示してください

写真で回答していただけると助かります

No.85313 - 2023/04/24(Mon) 16:42:08

☆ Re: 高校数学 / X

条件から求める領域は
0＜y≦|b+1|又はy=1又は(b,y)=(-1,0)
図示をすると、下のようになります。
(但し、実線は領域に含まれますが
点(-1,0)以外の点線上の点は領域に含みません。)

No.85315 - 2023/04/24(Mon) 19:01:03

☆ Re: 高校数学 / らすかる

例えばx=π/3,b=-1のときy=1/2となりますので
その領域にはならないのでは？

No.85316 - 2023/04/24(Mon) 19:15:03

☆ Re: 高校数学 / X

＞＞らすかるさんへ
ご指摘ありがとうございます。
＞＞まほさんへ
ごめんなさい。らすかるさんの仰る通りです。
平行移動の考え方を間違えていました。
改めて回答を。

xの値を固定したときの問題の方程式のby平面上のグラフは
定点(0,1)を必ず通る、b軸上に頂点を持つV字型のグラフ
となります。
ここで
x=π/2
からスタートしてグラフの形状の変化を考えると
xの値の減少に伴い、
グラフの頂点は点(-1,0)からb軸上を負の向きに移動し
又、グラフの形状はV字の形が開くように変化します。

以上から求める領域は
0≦y≦-b-1 (b≦-2)
0≦y≦1 (-2＜b≦-1)
b+1≦y≦1 (-1≦b≦0)
1≦y≦b+1 (0≦b)
図示すると下のようになります。
(但し、境界は含みます)

No.85318 - 2023/04/24(Mon) 22:47:02

☆ Re: 高校数学 / まほ

Xさん、らすかるさんありがとうございます。

No.85329 - 2023/04/26(Wed) 00:16:13

★ 次の計算式を、TH＝の式に変えてください。 / 福ちゃん

ＰＨ＝ＴＨ±(ｉ・x^2/200/L)という式があります。
これを移項して、TH=何々の式に変更してください。
ＰＨ：計画高(m)
ＴＨ：接線高(m)
ｉ：勾配代数差(％)
ｘ：バーチカル始点からの距離(m)
Ｌ：縦断曲線長(m)
のことです。

No.85307 - 2023/04/23(Sun) 15:16:53

☆ Re: 次の計算式を、TH＝の式に変えてください。 / らすかる

±(i・x^2/200/L)を移項して
PH±(i・x^2/200/L)=TH
すなわち
TH=PH±(i・x^2/200/L)
です。

No.85308 - 2023/04/23(Sun) 17:16:11

☆ Re: 次の計算式を、TH＝の式に変えてください。 / 福ちゃん

ありがとうございます。
今のは土木の専門分野になるのですが、バーチカルカーブと言って、
道路の勾配を突然変えるのではなく、緩和勾配と言って、
徐々に徐々に勾配を変えていったら、車や電車が地面にぶつかったり、逆に道路や線路から激しく逸脱するのを防止するための、処置として設計段階で、設置されるものだそうです。
難しい話は置いといて、
この手の計算で、バーチカルの接線高から、バーチカルの半分の個所のいわゆる計画高を求める話はよく話題に上がるものの、逆に、計画高から接線高を求める話がなかったので、今回投稿させていただきました。
非常に助かりました。

No.85309 - 2023/04/23(Sun) 19:02:19

★ (No Subject) / kwsk

0≦p≦q≦r、p+q+r=6を満たす実数p,q,rについて、pq,qr,rp,pq+qr+rpの最大値を求めよ。

式の形から三次関数の解と係数の関係かなとは思うのですが…
どなたかお願いします。

No.85303 - 2023/04/22(Sat) 22:04:59

☆ Re: / らすかる

pq
0≦p≦q＜r,p+q+r=6のときa=(r-q)/2としてqにaを足してrからaを引いても
p+q+r=6は変わらずpqは大きくなるから、pqが最大のときq=r
このときp+2q=6なのでpq=p(6-p)/2={9-(p-3)^2}/2となり
6=p+q+r≧3pからp≦2なので最大値は{9-(p-3)^2}/2でp=2とした4
（このときp=q=r=2）

qr
0＜p≦q≦r,p+q+r=6のときa=pとしてrにaを足してpからaを引いても
p+q+r=6は変わらずqrは大きくなるから、qrが最大のときp=0
このときq+r=6なのでqr=q(6-q)=9-(q-3)^2となり、最大値はq=3のときの9
（このときp=0,q=r=3）

rp
0≦p＜q≦r,p+q+r=6のときa=(q-p)/2としてpにaを足してqからaを引いても
p+q+r=6は変わらずrpは大きくなるから、rpが最大のときp=q
このとき2p+r=6なのでrp=(6-2p)p={9-(2p-3)^2}/2となり、
最大値は2p-3=0すなわちp=3/2のときの9/2
（このときp=q=3/2,r=3）

pq+qr+rp
pq+qr+rp=pq+(p+q)r=pq+(p+q)(6-p-q)
=12-{(p-q)^2+3(p+q-4)^2}/4
なのでp-q=0,p+q-4=0すなわちp=q=r=2のときに最大値12をとる

No.85304 - 2023/04/23(Sun) 00:21:04

★ (No Subject) / Kevin

画像の問題の(2),(3)お願いします(＞人＜;)

No.85299 - 2023/04/21(Fri) 10:40:21

☆ Re: / X

(2)
A[n],B[n](n=1,2,3,4)を二次正方行列とするとき

M{(A[1],A[2]),(A[3],A[4])}・M{(B[1],B[2]),(B[3],B[4])}
=M{(A[1]B[1]+A[2]B[3],A[1]B[2]+A[2]B[4])
,(A[3]B[1]+A[4]B[3],A[3]B[2]+A[4]B[4])}

であることが既知であるなら、数学的帰納法により
X^n=M{(B^n,nB^(n-1)),(O,B^n)} (A)
となることは容易に証明できます。
(但し、B^0=Eと定義しておきます。)

((A)の証明)
(i)n=1のとき
成立は明らか。
(ii)n=kのとき(A)の成立を仮定すると
n=k+1のとき
X^n=X^(k+1)=(X^k)X=…

(3)
xy平面上で、原点中心にθの回転移動の変換をする
行列をM(θ)とすると
Z=M{(M(2π/3),E),(O,M(2π/3))}
∴(2)の結果から
Z^40=M{({M(2π/3)}^40,40・{M(2π/3)}^39),(O,{M(2π/3)}^40)}
=M{(M(80π/3),40・M(26π)),(O,M(80π/3))}
=M{(M(26π+2π/3),40・M(26π)),(O,M(26π+2π/3))}
=M{(M(2π/3),40・M(0)),(O,M(2π/3))}
=M{(M(2π/3),40E),(O,M(2π/3))}

No.85305 - 2023/04/23(Sun) 09:46:49

★ 高校数学 / ともや

1から教えてください。
(1)cos2kπ/9+isin2kπ/9

No.85295 - 2023/04/20(Thu) 16:52:34

☆ Re: 高校数学 / X

x^6+x^3+1=0 (A)
とします。

(1)
(A)の両辺にx^3-1をかけて左辺を展開すると
x^9-1=0 (B)
ここで(A)は
x^3=1 (C)
を満たしませんので、(A)の解は
(B)の解から(C)の解を除いたもの
となります。
よって求める解は
x=cos(2nπ/9)+isin(2nπ/9)
(但し、n=1,2,4,5,7,8)

(2)
複素平面に置ける単位円上に、偏角が
2nπ/9 (但しn=1,2,4,5,7,8)
となる点を打っていき、これらを頂点とする
多角形を作ります。
(これはご自分でどうぞ。)

(3)
z[n]=cos(2nπ/9)+isin(2nπ/9) (D)
と置くと(1)の結果から
x^6+x^3+1=(x-z[1])(x-z[2])(x-z[4])(x-z[5])(x-z[7])(x-z[8])
これにx=1を代入すると
(1-z[1])(1-z[2])(1-z[4])(1-z[5])(1-z[7])(1-z[8])=3
両辺の絶対値を取って
|1-z[1]||1-z[2]||1-z[4]||1-z[5]||1-z[7]||1-z[8]|=3 (E)
∴問題の命題は成立します。

(4)
(D)において
z[4]=cos(8π/9)+isin(8π/9)
=cos(π-π/9)+isin(π-π/9)
=-cos(π/9)+isin(π/9)
z[5]=cos(10π/9)+isin(10π/9)
=cos(π/9+π)+isin(π/9+π)
=-cos(π/9)-isin(π/9)
∴例えば、zの共役複素数を\zと書くことにすると
z[5]=\z[4] (F)
同様にして
z[7]=\z[2] (G)
z[8]=\z[1] (H)
(G)の両辺の複素共役を取ることにより
z[2]=\z[7] (G)'
(F)(G)'(H)を(E)に代入すると
{|1-z[1]|^2}{|1-z[4]|^2}{|1-z[7]|^2}=3
((注)|1-\z|=|\(1-z)|=|1-z|)

これより
[{1-cos(2π/9)}^2+{sin(2π/9)}][{1-cos(8π/9)}^2+{sin(8π/9)}][{1-cos(14π/9)}^2+{sin(14π/9)}^2]=3
[]内を展開して整理をすると
[2{1-cos(2π/9)}][2{1-cos(8π/9)}][2{1-cos(14π/9)}]=3
両辺8で割って
{1-cos(2π/9)}{1-cos(8π/9)}{1-cos(14π/9)}=3/8

No.85301 - 2023/04/22(Sat) 18:00:28

☆ Re: 高校数学 / X

ごめんなさい。
No.85301の(4)に誤りがありましたので
直接修正しました。
再度ご覧下さい。

No.85319 - 2023/04/24(Mon) 22:55:10

★ 数列 / なゆ

まったくわからないので教えてください！

異なる素数の積で表すことができる自然数全体の集合をPとし，Pの部分集合P(ｎ)を
　　　　　P(ｎ)：＝{ｘ∈Ｐ｜ｘ≦ｎ}
と定める。数列(Ｓ_ｎ)の第ｎ項を
　　　　　Ｓ_ｎ：＝Σ_{ｘ∈P(ｎ)}(1/√x)
とするとき，
　　　　　Ｓ_ｎ≧a_ｎ　かつ　lim_{ｎ→∞} a_ｎ＝∞
を満たす数列{a_ｎ}を一つ求めよ。

No.85293 - 2023/04/19(Wed) 21:06:19

☆ Re: 数列 / IT

Pに1,2,3,4,5,7,8は含まれない。6,10,は含まれる。ことは分かりますが、12はどうでしょうかね？問題文が曖昧な気がします。条件を満たすa(n)が存在するなら
a(n)=S(n)も答えの一つになるのでは？
出典はなんですか？どのレベルですか？

No.85294 - 2023/04/20(Thu) 14:58:43

★ 数学3 微分法 / 山田山

(1)の極限においてx/e^x^2はx/e^xと同じになるのはなぜでしょうか？

No.85288 - 2023/04/19(Wed) 01:24:45

☆ Re: 数学3 微分法 / らすかる

探しても見当たらないのですが、
「x/e^x^2はx/e^xと同じ」とどこかに書かれているのですか？

No.85289 - 2023/04/19(Wed) 01:31:04

☆ Re: 数学3 微分法 / 山田山

lim (x→∞)e^x/x=∞よりlim(x→∞)x/e^x=0
つまりlim(x→∞)x/e^x^2=0と解釈しました。
ですが証明が出来ないので教えていただけると助かります

No.85297 - 2023/04/20(Thu) 22:01:52

☆ Re: 数学3 微分法 / らすかる

lim[x→∞]x/e^x=0 を使ってよいとして
lim[x→∞]x/e^(x^2)=0 を示せばよいのですね？
lim[x→∞]x/e^(x^2)=0でx=√tとおけば
lim[x→∞]x/e^(x^2)
=lim[t→∞]√t/e^t
=lim[t→∞]t/e^t・1/√t
=0×0=0
となります。

No.85298 - 2023/04/20(Thu) 22:29:04

☆ Re: 数学3 微分法 / 山田山

とてもわかりやすかったです。ありがとうございました。

No.85300 - 2023/04/21(Fri) 16:58:22