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情報解析学 / NNM
この問題が全く分からないです。
教えて下さい、宜しくお願いします。

No.76771 - 2021/07/19(Mon) 09:29:29

Re: 情報解析学 / WIZ
記号「¬≡」は「不合同」の意味とします。
n が合成数であると仮定して矛盾を導きます。

前提条件
(A) 整数 a, n は共に 1 より大きいとする。
(B) a^(n-1) ≡ 1 (mod n)
(C) n-1 の任意の(正の)約数 m (ただし m ≠ n-1) に対して a^m ¬≡ 1 (mod n)

先ず、n-1個の自然数 {a^1, a^2, ・・・, a^(n-1)} は法 n で全て不合同であることを証明します。

自然数 i, j が 1 ≦ i < j ≦ n-1 であるとき、a^i ≡ a^j (mod n) だったと仮定します。
1 ≦ j-i < n-1 で a^(j-i) ≡ 1 (mod n) となります。
e[1] = j-i とおくと、(C)より e[1] は n-1 の約数ではありません。
従って、ある自然数 k[1] が存在して、k[1]e[1] < n-1 < (k[1]+1)e[1] となります。

e[1] > 1 ならば、a^e[1] ≡ 1 (mod n) かつ(B)より、
a^((n-1)-k[1]e[1]) = (a^(n-1))((a^e[1])^(-k[1])) ≡ 1 (mod n) です。
e[2] = (n-1)-k[1]e[1] とおくと、e[2] < e[1] かつ a^e[2] ≡ 1 (mod n) であり、
(C)より e[2] も n-1 の約数ではありません。

e[2] > 1 ならば、同様に k[2]e[2] < n-1 < (k[2]+1)e[2] となる自然数 k[2] が存在して、
e[3] = (n-1)-k[2]e[2] < e[2] かつ a^e[3] ≡ 1 (mod n) とでき、
以下、e[1] > e[2] > e[3] > ・・・ e[x] = 1 と減少する数列を構成できます。(x は自然数)
e[x] = 1 は(C)と矛盾します。

また e[x-1] > 1 かつ e[x] = 0 と 1 を飛び越えて減少することもありません。
何故なら、e[x] = 0 = (n-1)-k[x-1]e[x-1] と e[x-1] が n-1 の約数となり(C)と矛盾しているからです。

以上から、 1 ≦ i < j ≦ n-1 であるとき、a^i ≡ a^j (mod n) だったという仮定が誤りで、
{a^1, a^2, ・・・, a^(n-1)} は法 n で全て不合同で、
剰余類としては {1, 2,・・・, n-1} を並び変えただけのものと言えます。

つまり、
Π[k = 1, n-1](a^k) ≡ Π[k = 1, n-1]k (mod n)
⇒ a^((n-1)n/2) ≡ (n-1)! (mod n) ・・・・・(D)

次に n が 4 以外の合成数ならば、(n-1)! は n で割り切れることを示します。
n = 4 に対して題意を満たす a が存在しないことは容易に示せると思うので省略します。

自然数 p, q が 1 < p < q で n = pq の場合、1 < p < q < n となるので、
p と q は 1, 2, ・・・, n-1 の異なるどれかと一致しますので、(n-1)! は pq で割り切れます。

自然数 p が 1 < p で n = p^2 の場合、n ≠ 4 なので p > 2 で、1 < p < 2p < p^2 = n となるので、
p と 2p は 1, 2, ・・・, n-1 の異なるどれかと一致しますので、(n-1)! は p*2p で割り切れます。
つまり、(n-1)! は p^2 でも割り切れます。

以上から、 n が 4 以外の合成数ならば (n-1)! ≡ 0 (mod n) となりますが、
a^((n-1)n/2) ¬≡ 0 (mod n) なので、(D)は矛盾です。
従って、n が(4以外の)合成数ならば題意は成立しません。
素数に関する原始根の存在とその性質を既知とすれば、(A)より n は素数といえます。
# n = 2 は素数ですが、題意を満たしていると言えるのかは微妙ですが。

No.76819 - 2021/07/20(Tue) 16:47:26

Re: 情報解析学 / 高校三年生
混乱してきた。整理すると、

@「aの素因数にnの素因数がスッポリ入るとき」→「aの塁乗数でいずれは割れる。a^(n-1)ならより確実。」

A「aの素因数にないものがnの素因数にあるとき」→「aの塁乗数では割れない。」

Aについてさらに分割すると、

[@]「nが素数のとき」→「aの塁乗数の余りは、n-1通りのすべてを取り得る。ひと回りするまで重複しない。」

[A]「nが合成数のとき」→「aの塁乗数の余りには、取り得ない数が存在する。ひと回りするまでに重複する。」

こんな感じですか?
しかし、[A]のケースでたまたま、

a^(n-1) ≡ 1 (mod n)

が取り得て、かつ重複しない余りという可能性はないのかな?
合成数の場合の余り方のパターンを詳しく知りたいな。

No.76825 - 2021/07/20(Tue) 23:10:22

Re: 情報解析学 / 高校三年生
あっ!高校数学範囲だ。
東大入試で出てもおかしくない。

{a,a^2,・・・,a^(n-1)}のうち、合同なものが少なくとも1組存在するなら、
0<i<j<nを満たす整数組(i,j)に対し、

a^i・{a^(j-i) - 1}≡0 (mod n)かつ
a^i ¬≡0 (mod n)

を満たすものが存在し、そのとき{a,a^2,・・・,a^(n-2)}のうち、余りが1となるものが少なくとも一つは存在する。
これは題意を満たさないので、{a,a^2,・・・,a^(n-1)}の余りは、相異なるn-1通りの余りをもつ。
また、題意より、0<k<nを満たす整数kに対し、

a^(ℓ(n-1)+k)≡a^k・{a^(n-1)}^ℓ≡a^k (mod n)(ℓ=1,2・・・)

なので、連続するn-1個のaの塁乗数を元とする集合Uℓを、

Uℓ = {a^(ℓ(n-1)+1),a^(ℓ(n-1)+2),・・・,a^((ℓ+1)(n-1))} (ℓ=0,1,2・・・)

と定めると、結局、

Uℓ≡{1,2,・・・,n-1} (mod n)(ℓ=0,1,2・・・)

となり、

Π[k = 1, n^2-1](a^k) ≡ Π[k = 1, n-1]k^(n+1) (mod n)
⇒ a^((n^2-1)n^2/2) ≡ [(n-1) !]^(n+1) (mod n)

ここで、nを合成数と仮定しても、重複する素因数の個数は、高々n/2以下なので、
共に1でないnの約数pとqに対して、

n = pq ⇒ {p,q}⊆{1,2,・・・,[(n-1) !]^(n+1)}

よって、

[(n-1)!]^(n+1)≡0 (mod n)
⇒ a^((n^2-1)n^2/2) ≡0 (mod n)
⇒ {a^(n-1)}^((n+1)n^2/2) ≡0 (mod n)

これは題意に矛盾。結局、nは素数。

No.76832 - 2021/07/21(Wed) 09:02:25

Re: 情報解析学 / WIZ
高校三年生さんへ

> しかし、[A]のケースでたまたま、
>
> a^(n-1) ≡ 1 (mod n)
>
> が取り得て、かつ重複しない余りという可能性はないのかな?


自然数 n が合成数で、n と互いに素である任意の整数 a に対して a^(n-1) ≡ 1 (mod n)
となる n は存在し、カーマイケル数と呼ばれています。
しかし、「重複しない余りという可能性」はありません。
何故なら、a が n と互いに素なので、a の累乗も n と互いに素であり、
法 n の零因子(n と互いに素でない整数)と a の累乗が合同になることはないからです。
# 自然数 u, v が 1 < u < n, 1 < v < n, n = uv だったとして、
# 自然数 s, t に対して、a^s ≡ u (mod n) つまり a^s = u+tn = u(1+tv) となるが、
# (a, uv) = 1 より (a^s, u) = 1 なので矛盾。
オイラーの定理 (a, n) = 1 ならば a^(φ(n)-1) ≡ 1 (mod n) を調べてみると良いでしょう。

> を満たすものが存在し、そのとき{a,a^2,・・・,a^(n-2)}のうち、余りが1となるものが少なくとも一つは存在する。
> これは題意を満たさないので、{a,a^2,・・・,a^(n-1)}の余りは、相異なるn-1通りの余りをもつ。


題意は「n-1 の任意の(正の)約数 m (ただし m ≠ n-1) に対して a^m ¬≡ 1 (mod n)」なので、
余りが1となる a の指数が n-1 の約数でないのなら、直ちに「題意を満たさない」とは言えないですよね?
というか、上記が矛盾である(題意を満たさない)ことを証明するのが、この問題のキモなんだと思います。
なので、私の解法では余りが1となる a の指数が n-1 の約数ではないとことから、
ユークリッドの互助法的に a の指数を小さくしていって、最後は指数が 1 になり、
n-1 の約数である 1 が指数となったという矛盾を導いている訳です。

> 共に1でないnの約数pとqに対して、
>
> n = pq ⇒ {p,q}⊆{1,2,・・・,[(n-1) !]^(n+1)}


p = q ならば {p, q} ⊆ {1,2,・・・,[(n-1) !]^(n+1)} とは言えないのでは?
(n が素数の2乗で、1より大きい異なる2個の自然数の積に表せない場合)
おそらく、p < 2p < [(n-1) !]^(n+1) だから、
{p, 2p} ⊆ {1,2,・・・,[(n-1) !]^(n+1)} と間接的に示すことになるのでは?

No.76838 - 2021/07/21(Wed) 12:46:09

Re: 情報解析学 / 高校三年生
WIZ さん、返信ありがとうございます。

>オイラーの定理 (a, n) = 1 ならば a^(φ(n)-1) ≡ 1 (mod n) を調べてみると良いでしょう。

なるほど。調べてみます。

>直ちに「題意を満たさない」とは言えないですよね?

仰るとおりです。(T_T)

>p = q ならば {p, q} ⊆ {1,2,・・・,[(n-1) !]^(n+1)} とは言えないのでは?

情け無いです。この式自体、大嘘ですね。書くなら、

p = q ならば {p, q} ⊆ {φ|φは「(n-1以下の素因数)の塁乗数」同士の積で表せる[(n-1) !]^(n+1)以下の整数}

こんな感じじゃないと。これなら、どんな素因数に対しても、少なくともn+1個以上は含まれますので。
ところで、n が素数の2乗なら、上式の右辺の元になるのではないでしょうか?
やばいのは、n=2^k の場合ですが、それでもkは高々n/2以下かと。

No.76840 - 2021/07/21(Wed) 14:41:06

Re: 情報解析学 / WIZ
高校三年生さんへ

実は、76832の書き込みの
> また、題意より、0<k<nを満たす整数kに対し、
以降とか、

76840の書き込みの
> p = q ならば {p, q} ⊆ {φ|φは「(n-1以下の素因数)の塁乗数」同士の積で表せる[(n-1) !]^(n+1)以下の整数}
以降は、私にとって殆ど意味不明です。
特に、上記の「素因数」はどの整数の素因数ですか? n の? n-1 の? (n-1)! の? それ以外?

本問題の私や高校三年生さんの解法のアウトラインは、
(1) n が4以外の合成数であると仮定すると、
 題意の a に対して {a^1, a^2, ・・・, a^(n-1)} は法 n の 0 以外の代表剰余類となる。
 Π[k = 1, n-1](a^k) ≡ (n-1)! (mod n) となるが、右辺は 0 に合同で、左辺は 0 に不合同なので矛盾。
 だから n は合成数ではない。
(2) n が素数ならば題意が満たされることを示す。
・・・となります。

私の解説では、(2)については素数の原始根の性質から示せるとだけ書いていて、詳細は述べていません。
真面目にやろうとすると、原始根の存在証明をすることになり厄介(!)ですからね。
但し、高校三年生さんの「n を合成数と仮定すると矛盾するから n は素数だ!」みたいな早とちりはだめですよ。
n が素数でも題意を満たさないかもしれないし、題意を満たすというなら、それを証明しないといけません。

もうひとつ、集合の包括関係に対する誤解があるように思えます。
通常の集合(set)は同一の要素を重複して含みません。
プログラミング言語なら、同一の要素を重複して含む多重集合(multiset)というのがありますが。
「p = q ならば {p, q} ⊆ {φ|φはナンタラ・・・}」の集合 {φ|φはナンタラ・・・} は重複した整数を含みませんよね?
なので、上記の包括関係は成立しません。
それとも、高校三年生さんは {2, 2} ⊆ {1, 2, 3, 4, 5} と思っているのですか?

失礼しました。

No.76845 - 2021/07/21(Wed) 21:14:22

Re: 情報解析学 / 高校三年生
WIZ さん、返信ありがとうございます。

> {2, 2} ⊆ {1, 2, 3, 4, 5} と思っているのですか?

いえ、思ってません。
WIZ さんの解法は理解しているつもりです。

{2, 2} ⊆ {1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5}

これは成立しますよね?
a^(n(n-1)/2)はとても小さな値で、余りをたった「一巡」しかできません。

具体例)

n=4

a・a^2・a^3≡1・2・3≡2 (mod n)
a・a^2・a^3・a^4・a^5・a^6≡1・2・3・1・2・3≡0 (mod n)

2巡目で割り切れました。a^21 について、集合表記で、

{n}⊆{1, 2, 3, 2^2, 6, 3^2, 12 ,18, 36}

です。右辺は「(3以下の素因数)の塁乗数」同士の積で表せる36以下の整数です。

No.76848 - 2021/07/22(Thu) 02:57:13
(No Subject) / たな
すみません。質問があります。
この質問者は数学的知識があまりありません。

                                  an+2 = an+1 +an

これはフィボナッチ数列を漸化式で表した式ですが、

                                 an = an-1 + an-2

という形に自分で移項させることができません。
解き方を教えていただけないでしょうか?

No.76767 - 2021/07/19(Mon) 06:25:00

Re: / らすかる
a[n+2]=a[n+1]+a[n] (n≧1)
n=m-2とおけばm≧3となるので
a[m]=a[m-1]+a[m-2] (m≧3)
mをnという文字に変えれば
a[n]=a[n-1]+a[n-2] (n≧3)
となります。
「移項」は関係ありません。

No.76769 - 2021/07/19(Mon) 09:25:30
ロピタルの定理 / のあ
自力で解いてみたら(1)1 (2)1/2 (3)e (4)0 という解が出たのですが不安なので合っているか見て頂きたいです。
また、(5)は分からなかったので解き方と解を教えていただきたいです。

No.76764 - 2021/07/18(Sun) 21:28:25

Re: ロピタルの定理 / X
>>(1)〜(4)0
こちらの計算でも同じ結果になりました。

(5)
(与式)=lim[x→∞]{arcsin(1/x^2)}/(1/x^2)
と変形してロピタルの定理を適用します。

No.76765 - 2021/07/19(Mon) 05:55:35

Re: ロピタルの定理 / のあ
確認ありがとうございます。
(5)について、私もそこまで考えたのですが、arcsin(1/x^2)の微分で詰まってしまって出来ませんでした…。arcsin(1/x^2)は微分したらどのようになりますか?

No.76768 - 2021/07/19(Mon) 08:20:30

Re: ロピタルの定理 / ヨッシー
y=asin(x) (asin は sin の逆関数)
とすると、
 x=sin(y)
 dx/dy=cos(y)
 dy/dx=1/(dx/dy)=1/cos(y)
x=sin(y) の定義域は -π/2≦y≦π/2 なので、cos(y)≧0
よって、
 cos(y)=√(1−x^2)
 dy/dx=1/√(1−x^2) ←これは公式
これを用いて、
 asin(1/x^2)=(-2/x^3)/(1−1/x^4)
また
 (1/x^2)’=-2/x^3
よって
 (与式)=lim[x→∞]1/(1−1/x^4)=1

No.76772 - 2021/07/19(Mon) 09:53:35

Re: ロピタルの定理 / WIZ
(5)についてはロピタルの定理を使う程でもないと思うけど、
「使え」と指示されているのなら、ヨッシーさんの解法になるかな。

以下の解法の方が見通しが良いかも。

y = arcsin(1/(x^2)) とおくと、sin(y) = 1/(x^2) つまり、x^2 = 1/sin(y) です。
逆正弦関数の値域は代表値をとって -π/2 ≦ y ≦ π/2 とすると、
x→∞ のとき sin(y)→+0 つまり y→+0 だから、
lim[x→∞]{(x^2)arcsin(1/(x^2))} = lim[y→+0]{y/sin(y)} = 1
# lim[y→+0]{y/sin(y)} = lim[y→+0]{1/cos(y)} としてロピタルの定理を使ったことにするとか。

あと、ヨッシーさんの書き込みで、重箱の隅ですが幾つか指摘させてください。

> x=sin(y) の定義域は -π/2≦y≦π/2 なので、cos(y)≧0
逆正弦関数の値域の代表値を取っているのだと思いますので、
「x=sin(y) の定義域」という表現に違和感があります。
「y=asin(x) (asin は sin の逆関数)」の直後ぐらいに代表値である旨記述すべきでは?

> asin(1/x^2)=(-2/x^3)/(1−1/x^4)
「asin(1/x^2)'=(-2/x^3)/(1−1/x^4)」の書き間違いですよね?

失礼しました。

No.76773 - 2021/07/19(Mon) 13:00:08

Re: ロピタルの定理 / ヨッシー
あ、色々すみません。
No.76787 - 2021/07/19(Mon) 20:01:53

Re: ロピタルの定理 / のあ
なるほど!理解しました、詳しいご説明ありがとうございます!
No.76794 - 2021/07/19(Mon) 21:21:38
複素解析 / コーヒー
D=B(2i,4)とする。
D~(バー)上でf(z)=|e^(z^2-2iz)|を考える。f(z)の最大値と最小値を求めよ。
この問題が分かりません。宜しくお願い致します。

No.76763 - 2021/07/18(Sun) 20:15:06
(No Subject) / UI
すいません、この問題について質問です。

n 次正方行列 A に対して定義される関数 f(A) が多重線形性と交代性を満たすならば,
ある数 λ が存在して
f(A) = λ det(A)
となることを証明せよ。

というものなのですが、
ei = [0 · · ·
i
1 · · · 0]
として、f(A)を展開して、その係数をもとめて、江体制を使いやいのですが、

一般のnでやるのが結構難しくて、どなたかアドバイスもしくは解答のヒント・解答などお願いします。

No.76760 - 2021/07/18(Sun) 16:27:49

Re: / IT
有名な定理なので、たいていの線形代数学のテキストには、載っていると思いますので調べられると良いかと思います。

(確認した3冊いずれにも載ってます)
斎藤正彦「線型代数学」(東京図書)
斎藤正彦「線型代数入門」(東京大学出版会)
笠原こう司「線形代数学」(サイエンス社)

下記にも載っています。
https://www.u-tokai.ac.jp/uploads/sites/12/2021/03/PP92-99.pdf

No.76761 - 2021/07/18(Sun) 17:50:07

Re: / UI
ありがとうございます!!
参考にがんばってみます。

No.76770 - 2021/07/19(Mon) 09:26:05
斜交座標 / りんご
平面ベクトルで斜交座標という考え方がありますよね。これを空間で応用するにはどのように考えればよいのでしょうか?
抽象的な質問すみません。

No.76759 - 2021/07/18(Sun) 16:08:35

Re: 斜交座標 / ヨッシー
応用するというのがどういうことを指すのかわかりませんが、
空間でも、斜交座標は定義できます。

No.76762 - 2021/07/18(Sun) 17:54:04
2変数関数の極値 / ハンマ
kを0でない定数とする。このとき2変数関数f(x,y)=x³-3kxy+y³の極値を求めよ。

大学数学の問題なのですが、どうか解説頂けないでしょうか。

No.76758 - 2021/07/18(Sun) 15:58:05
n次導関数 / 母
f(x)=arctan2xとする。自然数nに対しf(0)のn次導関数を求めよ。

よろしくお願いします

No.76757 - 2021/07/18(Sun) 15:57:01
(No Subject) / りょう
解けないです。教えてください
No.76752 - 2021/07/18(Sun) 12:02:12

Re: / IT
まず、各括弧内を計算します。
No.76754 - 2021/07/18(Sun) 12:15:02
指数関数 / あ
√64の三乗根はなぜ4になるのですか?なぜ2ではないのですか?
No.76741 - 2021/07/18(Sun) 08:25:23

Re: 指数関数 / X
√64=8=2^3
なので2で正解です。

No.76742 - 2021/07/18(Sun) 09:00:26

Re: 指数関数 / あ
これが問題で
No.76743 - 2021/07/18(Sun) 10:01:42

Re: 指数関数 / あ
こっちが答えです
No.76744 - 2021/07/18(Sun) 10:02:27

Re: 指数関数 / あ
2であっているという事は答えが間違っているという事ですか?
No.76745 - 2021/07/18(Sun) 10:03:45

Re: 指数関数 / IT
64の3乗根なので4ですね
No.76746 - 2021/07/18(Sun) 10:22:24

Re: 指数関数 / あ
√ は無視するという事ですか?
No.76748 - 2021/07/18(Sun) 10:24:15

Re: 指数関数 / IT
√を無視する。ということではないです。3と√がセットで一つの記号です。

その記号(3と√の組み合わせ)について、教科書で確認してください。

No.76750 - 2021/07/18(Sun) 10:45:11

Re: 指数関数 / あ
ありがとうございます
No.76751 - 2021/07/18(Sun) 12:00:18
集合 / 数学
高校1年です。

「A⊂B」⇔「x∈A ならば x∈B」
のx∈AのxはAの要素全てのことを表しているのでしょうか?
また、「x∈A ならば x∈B」の意味は「Aに含まれている全ての要素xはBに含まれている」でしょうか?

No.76737 - 2021/07/17(Sat) 22:59:37

Re: 集合 / ヨッシー
いずれも、そういう意味ととらえて差し支えありません。
No.76740 - 2021/07/18(Sun) 07:08:13
(No Subject) / 数学苦手
前も聞いてしまった問題なのですが…すいません。
No.76729 - 2021/07/17(Sat) 19:01:19

Re: / 数学苦手
この解説の3:√3から√3:1にどうやってなるのか分かりませんでした
No.76730 - 2021/07/17(Sat) 19:02:40

Re: / ヨッシー
6:3 が 2:1 になる、つまり
 6:3=2:1
であることはわかりますか?

わからない→小学校算数から復習してください
わかる→以下の問いに答えてください
6:3を2:1にするとき、どういう操作をしていますか?
 6:3 の6と3の両方を○○している
という言い方で答えてください。

No.76732 - 2021/07/17(Sat) 19:31:33

Re: / 数学苦手
両辺÷√3してるってことですかね

〇〇は÷3しているです!

No.76733 - 2021/07/17(Sat) 20:37:23

Re: / 数学苦手
割っても結局√が出てきてますが必要なんですね
No.76735 - 2021/07/17(Sat) 22:02:27

Re: / 数学苦手
割って有利化して…まあ、ルールみたいなもんなんでしょうね。
No.76739 - 2021/07/18(Sun) 02:01:05

Re: / 数学苦手
√や分数があったら、とりあえず割るのが鉄則ですね。
No.76749 - 2021/07/18(Sun) 10:30:52
命題 ならばの否定 高校1年 / 数学
高校1年です。
「AならばB」という命題の否定が
「AであってBではないものがある」になる理由を詳しく説明していただきたいです!
いろんな解説を見ても「それはそうなるのだ。」みたいな、
説明もなしに公式のように書かれていて、納得がいきません。
どうか、お願いします!

No.76725 - 2021/07/17(Sat) 15:55:04

Re: 命題 ならばの否定 高校1年 / ヨッシー
こちらにもあるように、「ならば」の否定は説明が厄介です。

1年1組の生徒はテストで80点以上だった
という命題では、
Aが「1年1組の生徒」Bが「テストで80点以上」です。
つまり
「1年1組の生徒」ならば「テストで80点以上」
となりますが、この裏には
1年1組の生徒は「全員」テストで80点以上だった
という言葉が隠れていると言うことを忘れてはいけません。
この命題が正しくないようになるには
1年1組の生徒は「全員」テストで80点未満だった
という必要はなく
1年1組の生徒は「少なくとも1人が」テストで80点未満だった
が言えれば十分です。

この辺を踏まえて、もう一度、
>「AならばB」という命題の否定が
>「AであってBではないものがある」

の関係を見直してみてください。

No.76731 - 2021/07/17(Sat) 19:26:36
(No Subject) / バーぽ
画像の積分計算は、ガンマ関数に帰着させるため、s^(y-1)*(1-s)^(1-x)の積分の形になるように変数変換を実行しています。

赤で囲んだ部分の置換をするとうまくいくのは分かるのですが、自力で短時間で思いつくのは難しいと感じました。
自力で思いつくための手がかりなどはありますか?それとも単に試行錯誤するしかないのでしょうか

No.76724 - 2021/07/17(Sat) 15:19:16
関数とグラフ / りょう
高1
解き方がわかりません教えてください

No.76719 - 2021/07/17(Sat) 10:36:22

Re: 関数とグラフ / りょう
19、20、21番です。多いかもしれませんがお願いします
No.76720 - 2021/07/17(Sat) 10:37:51

Re: 関数とグラフ / りょう
すいません19解けましたので20.21番よろしくお願いします
No.76722 - 2021/07/17(Sat) 11:10:14

Re: 関数とグラフ / X
19.
条件から求める方程式は
y=ax^2 (A)
と置くことができます。
∴条件の平行移動をした後の放物線の方程式は
y=a(x+1)^2+1 (B)
これが点(1,0)を通るので
4a+1=0
∴a=-1/4
このとき(B)は点(-3,0)を通るので題意を満たします。
よって求める放物線の方程式は
y=-(1/4)x^2

21.
問題の二次方程式を(A)とします。
まず、(A)の解の判別式をDとすると
(A)は異なる二つの実数解を持つので
D=k^2-4(k-1)>0 (B)
次に解と係数の関係から(A)の
定数項について
k-1<0 (C)
(B)(C)を連立して解き
k<1

No.76723 - 2021/07/17(Sat) 13:09:37

Re: 関数とグラフ / ヨッシー
20
移動した後の放物線は
 y=a(x+3)(x-1)
と書けます。これを逆にx軸方向に1、y軸方向に−1
平行移動した放物線の式は
 y+1=a(x+2)(x-2)=a(x^2−4)
これが原点を通るので、
 1=−4a
 a=−1/4
よって、求める式は
 y+1=(-1/4)(x^2−4)
 y=−x^2/4

No.76726 - 2021/07/17(Sat) 18:35:06
調和数列と等比数列との差 / 高校三年生
『自然数 n に対し、有理数列 {Sn} を

 Sn = 1+1/2+1/3+・・・+(1/2^n)-[1/2+(1/2^2)+(1/2^3)+・・・+(1/2^n)] (n=1,2,・・・)

 と定める。
 このとき、Snが整数値を取るような n をすべて求めよ。』

夏休みの宿題第2弾です。
素数が 2^(n-1) から 2^n の間に、少なくとも一つあれば行けそうですが、
その証明は、高校数学の範疇を超えそうです。

この問題の解法をご教示ください。m(_ _)m

No.76712 - 2021/07/16(Fri) 22:40:41

Re: 調和数列と等比数列との差 / らすかる
n=1のときSn=1は整数
n=2のときSn=4/3は非整数
n>2のとき、1/(3×2^(n-2))の項だけ分母に2^(n-2)を含み、
他の項の和は分母に2^(n-2)を含まないのでSnは整数にならない。
よってSnが整数になるのはn=1のみ。

No.76713 - 2021/07/17(Sat) 00:07:44

Re: 調和数列と等比数列との差 / 高校三年生
らすかる さん、返信ありがとうございます。

なるほど。
素因数 2 に注目すればよかったんですね。
参考になりました。m(_ _)m

No.76715 - 2021/07/17(Sat) 06:09:38
数2の積分 / ささみ
I (x+α)^n dx を部分積分で解くとどうなりますか?
No.76710 - 2021/07/16(Fri) 22:19:54

Re: 数2の積分 / IT
なぜ「部分積分」を使うのですか?
No.76714 - 2021/07/17(Sat) 05:31:42

Re: 数2の積分 / ヨッシー
普通に
 ∫(x+α)^ndx=(x+α)^(n+1)/(n+1)
と解けるものを、なぜ部分積分したいのかはわかりませんが、一応
 ∫(x+α)^ndx=∫(x+α)^r(x+α)^(n-r)dx
  =∫{(x+α)^(r+1)/(r+1)}’(x+α)^(n-r)dx
  ={(x+α)^(r+1)/(r+1)}(x+α)^(n-r)−∫{(x+α)^(r+1)/(r+1)}(n-r)(x+α)^(n-r-1)dx
  =(x+α)^(n+1)/(r+1)−(n-r)/(r+1)∫{(x+α)^n}dx
移項して整理すると
 ∫(x+α)^ndx+(n-r)/(r+1)∫{(x+α)^n}dx=(x+α)^(n+1)/(r+1)
 (n+1)/(r+1)∫{(x+α)^n}dx=(x+α)^(n+1)/(r+1)
 ∫(x+α)^ndx=(x+α)^(n+1)/(n+1)
なお、積分定数は省略しました。

循環論法的な香りはしますが、r=1 とすれば、
若干薄らぐでしょう。

No.76716 - 2021/07/17(Sat) 06:49:43
フーリエ変換の計算 / バーぽ
画像の上の式の3つ目の=について
e^x(k-iξ)などの指数は虚数となっているのですが、積分するときは指数が実数のときと同じように考えてよいのでしょうか

また広義積分で
e^x(k-iξ)→0 (x→∞)
e^-x(k+iξ)→0 (x→∞)
も使っていると思うのですがこれはどのようにして分かるのでしょうか

No.76709 - 2021/07/16(Fri) 21:02:18

Re: フーリエ変換の計算 / X
1つ目の質問)
それで問題ありません。
気持ち悪いのであれば、問題の被積分関数を
オイラーの公式で実部と虚数部に分離して
複素関数での積分の定義通り積分して
確かめてみるとよいでしょう。

2つ目の質問)
f(x)=e^{-x(k-iξ)}
と置くと、
lim[x→∞]|f(x)|=lim[x→∞]e^(-kx)=0 (∵)k>0
∴lim[x→∞]f(x)=0
e^{x(k-iξ)}についても同様です。
(こちらはx→-∞を考えるので
x=-t
と置き換えて考えます。)

No.76717 - 2021/07/17(Sat) 09:07:22

Re: フーリエ変換の計算 / バーぽ
よくわかりました。ありがとうございます。
No.76721 - 2021/07/17(Sat) 10:43:08
因数分解ー応用問題 / りさ
6x^3 -27x^2 +5x +6 を因数分化しなさい。

答えは(3x+1)(2x-1)(x-6)ですが、解き方がわかりません。助けてください!

No.76705 - 2021/07/16(Fri) 19:51:34

Re: 因数分解ー応用問題 / りさ
> すみません問題書き間違えました。
正しい問題>>

6x^3 -37x^2 +5x +6 を因数分化しなさい。
>
> 答えは(3x+1)(2x-1)(x-6)ですが、解き方がわかりません。助けてください!

No.76706 - 2021/07/16(Fri) 19:53:30

Re: 因数分解ー応用問題 / ヨッシー
f(x)=6x^3 -37x^2 +5x +6
とおいて、f(α)=0 となるような α を探します。
一般にxについての整式の最高次の係数a、定数項bであるとき、
 ±(bの約数)/(aの約数)
がαの候補となります。この場合、
 ±(1,2,3,6)/(1,2,3,6)
の組み合わせとして
 1/6, 1/3, 1/2, 2/3, 3/2, 1, 2, 3, 6
およびその−1倍が挙げられます。
例えば f(6)=1296−1332+30+6=0 なので、f(x) は x-6 で割り切れて、
 f(x)÷(x-6)=6x^2−x−1=(3x+1)(2x−1)
となり、
 f(x)=(3x+1)(2x-1)(x-6)
が得られます。

No.76707 - 2021/07/16(Fri) 20:32:31
二次関数 / 数弱
判別式の意味についてなのですが、

D>0…異なる二つの解を持つ
D=0…重解を持つ
D<0…実数解を持たない(虚数)
だと思うのですが、
D≧はD>0と、D≦0はD<0とそれぞれ何が違うのでしょうか?
なんか具体例がなく、すごくとんちんかんな質問になってしまいましたが、判別式のそれぞれの意味を教えていただけたら嬉しいです。よろしくお願いします。

No.76704 - 2021/07/16(Fri) 19:35:16

Re: 二次関数 / ヨッシー
D≧0 はもとの2次方程式が実数解を持つ必要十分条件(異なる2つ、または重解)
D>0 は異なる2つの実数解を持つ必要十分条件。

D<0 は虚数解を持つ必要十分条件
D≦0 は重解または虚数解を持つ必要十分条件です。

もちろん、D=0 と D>0 が同時に起こることはなく
D≧0 はどちらか一方が起こる、ということを表しています。

問題には大抵、「異なる2つの」とか「少なくとも1つの実数解」などと
書かれているので、状況に応じて使い分けます。

No.76708 - 2021/07/16(Fri) 20:41:09
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