ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 数学オリンピック / えっとう

数学オリンピックってどんぐらいむずいのですか？

No.87260 - 2024/01/22(Mon) 16:57:32

☆ Re: 数学オリンピック / IT

難易度は、主観的なものなので現物をご覧になって、ご自分で感じるしかないのでは？

検索すると問題や日本の（予選？）参加者数・合格者数、平均点などが載ってますよ。

No.87263 - 2024/01/22(Mon) 19:45:31

★ (No Subject) / 数学初心者

微分のテストがありましたが、以下の解答であってますか？
高校生です。

No.87257 - 2024/01/22(Mon) 16:07:35

☆ Re: / らすかる

(5)は合っていないと思います。
他は多分合ってます。

No.87258 - 2024/01/22(Mon) 16:11:43

☆ Re: / WIZ

(8)の「In x」とは何でしょう?
微分して1/xになるのだったら自然対数関数だと思いますが、
だとすると「ln x」の書き間違い?
つまり質問者さんは「大文字のアイ」と「小文字のエル」を混同している?

更に(7)の「log x」も微分して1/xになるらしいから自然対数関数ということになりますが、
小問の並びで自然対数関数を「log」にしたり「ln」にしたりするのは不自然な気がするので、
「log」は常用対数関数の可能性もある?
もし(7)が常用対数関数なら、y' = 1/(x*ln(10))となる?

No.87261 - 2024/01/22(Mon) 17:49:54

☆ Re: / らすかる

(7)の答えは
log(e)/x
とかけば底によらず通用しますね。
（このlogの底は問題のlogの底と同じ）

No.87265 - 2024/01/23(Tue) 06:21:29

★ (No Subject) / あああ

この問題に関して、答えしか載っていなかったため考え方がよく分からずにいます。
答えは(π-(1/2)sinh2π)iなのですが、私の解答のどこが誤りであるか教えてください。
そもそも解き方が全然違うというようでしたら、正しい解放を教えて頂けると幸いです。
よろしくお願い致します。

No.87255 - 2024/01/22(Mon) 15:35:34

☆ Re: / あああ

すみません。写真が載せられていませんでした。よろしくお願い致します。

No.87256 - 2024/01/22(Mon) 15:37:26

☆ Re: / X

積分範囲を間違えています。
-π≦t≦π
ではなくて
-π/2≦t≦π/2
ですね。

No.87259 - 2024/01/22(Mon) 16:51:35

☆ Re: / あああ

あ、、、、、本当ですね。ありがとうございました。

No.87262 - 2024/01/22(Mon) 19:18:25

★ 数2 不等式 / 山田山

△PBCと△CDQの相似条件が分かりません。回答お願いします。

No.87247 - 2024/01/22(Mon) 02:35:43

☆ Re: 数2 不等式 / 山田山

角PBCと角CDQが等しい事は分かっています。

No.87249 - 2024/01/22(Mon) 02:44:07

☆ Re: 数2 不等式 / WIZ

線分BPは辺ABを延長した直線上にあるので、BP//CDです。
PQは直線(線分)ですから、∠BPCと∠DCQは平行線の同位角となり∠BPC = ∠DCQです。

同様に、線分DQは辺ADを延長した直線上にあるので、DQ//BCです。
よって、∠DQCと∠BCPは平行線の同位角となるので∠DQC = ∠BCPです。

三角形の内角の和は180°ですから、
180°-∠BPC-∠BCP = 180°-∠DCQ-∠DQC
⇒ ∠PBC = ∠CDQ

以上から、3個の角がそれぞれ等しいので△PBCと△CDQは相似と言えます。

No.87251 - 2024/01/22(Mon) 08:54:43

☆ Re: 数2 不等式 / WIZ

AD//BCかつAPは直線(線分)だから、平行線の同位角ということで∠PBC = ∠BAD
AB//CDかつAQは直線(線分)だから、平行線の同位角ということで∠CDQ = ∠BAD
以上から、∠PBC = ∠CDQ
・・・とした方が三角形の性質を直接は使ってないので良いかも。

No.87253 - 2024/01/22(Mon) 09:34:12

☆ Re: 数2 不等式 / 山田山

回答ありがとうございます。盲点でした。もう一度中学からやり直してみます。本当にありがとうございました。

No.87266 - 2024/01/23(Tue) 14:35:58

★ (No Subject) / リン

なぜ両辺に√3をかけると、四角で囲んでいる式になるのでしょうか。
教えていただけると幸いです。

No.87246 - 2024/01/21(Sun) 23:33:16

☆ Re: / 山田山

Xについて整理する為に両辺に√3をかけて分母を払っています。

No.87248 - 2024/01/22(Mon) 02:39:13

☆ Re: / リン

分母を払うことを忘れていました。
教えていただきありがとうございます😊

No.87250 - 2024/01/22(Mon) 06:15:38

★ (No Subject) / 数学苦手すぎる

直線BAがあり、点Bから直線BCがあります。点Dがあるとするとき、四角形ABCDのAB、BC、CD、DAのそれぞれの中点をP、Q、R、Sとします。四角形PQRSが平行四辺形となるように点Dを作図しなさい。また、長方形となるように点Dを作図しなさい。先にPQRSを作ってはいけません。
という問題で

平行四辺形・・・中点連結定理よりどこに点Dを置いてもかまわない。
長方形・・・四角形ABCDをひし形にする。

とあっさりした解説のみだったのですが、それでは全然分かりません。このような作図証明問題が出た時に、最初のとっかかり、どのような説明から入ったらよいのか教えていただきたいです。

No.87239 - 2024/01/21(Sun) 11:58:30

☆ Re: / ヨッシー

その説明でピンと来ていないということは、中点連結定理が
何かをよく分かっていないのだと思います。
中点連結定理の意味を調べた上で下の図を見れば、わかるでしょう

点ＤをどこにとってもＰＱＲＳが平行四辺形になるということが
分かった上で、それが長方形になるにはどうすれば良いかを考えれば、
点Ｄの存在する場所が分かります。

それにしても、稚拙な問題ですし、解答も間違っているし
どこで出された問題ですか？
さらに言うと、
>先にPQRSを作ってはいけません。
もナンセンスです。

No.87244 - 2024/01/21(Sun) 17:15:04

☆ Re: / 数学苦手すぎる

すごく分かりやすい図を付けてくださりありがとうございました。
解答はこちらが見間違えてました。
あまり良い問でないことはわかりました。
証明の説明は自分で考えてみます。
どうもありがとうございました。

No.87245 - 2024/01/21(Sun) 18:27:38

★ (No Subject) / 算数

○ウです。

b/a+bの所までを計算すると○エの三角形の面積になるのは理解できましたがそこからなぜ○ウが計算出来るのかがわかりません

No.87233 - 2024/01/21(Sun) 11:23:23

☆ Re: / 算数

言葉の訂正します。
b/a+bの所までを計算すると○エの三角形の面積になるではなくて○エというよりは細長い三角形の方です。

No.87234 - 2024/01/21(Sun) 11:27:09

☆ Re: / X

(ご質問の三角形の面積)+ア=(○1)×1/2
はよろしいですか？
後は平行四辺形のa[cm],b[cm]で分けられた辺を
三角形の底辺と見て考えてみましょう。

No.87236 - 2024/01/21(Sun) 11:34:41

☆ Re: / X

返信をする場合は新しいスレを立てない方がいいですよ。

添付写真の右下の図を見ると、ウの一部とエの一部が
鉛筆で黒ずんでいるように見えますが、
＞＞○エというよりは細長い三角形の方
が

その黒ずんでいるウの一部とエの一部
を合わせてできている三角形

を指しているものとして
回答しています。

では改めて質問ですが、
(ご質問の三角形の面積)+ア
=(平行四辺形を対角線1本で分けた三角形の面積)
=(○1)×1/2
はよろしいですか？

No.87240 - 2024/01/21(Sun) 12:19:34

☆ Re: / GandB

　aとbの分点に、AD//MNとなるような線分MNを引いて考えればよい。

No.87242 - 2024/01/21(Sun) 12:53:25

☆ Re: / 三国協商

GIF動画にしてみました。まあまあわかりやすいと思います。

No.87243 - 2024/01/21(Sun) 13:14:19

★ (No Subject) / 数学初心者

以下の合成関数の微分がどこで間違っているのか教えて下さい。

No.87227 - 2024/01/20(Sat) 13:11:51

☆ Re: / 数学初心者

展開しないで合成関数で微分する方法を教えて下さい。

No.87228 - 2024/01/20(Sat) 13:13:26

☆ Re: / GandB

　　y = (x^2+1)^2･x

　　f(x) = (x^2+1)^2
　　g(x) = x

と見なし積の微分公式を使う。

　y' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
　　 = ((x^2+1)^2)'x + (x^2+1)^2･x'
　　 = 2(x^2+1)2x･x + (x^2+1)^2
　　 = (x^2+1)(4x^2+x^2+1)
　　 = (x^2+1)(5x^2+1)

No.87231 - 2024/01/20(Sat) 13:36:02

☆ Re: / ヨッシー

ｙ＝ｕｘ　だと、ｙがｕ（だけ）の関数になっていないので、
　dt/dx＝(dy/du)(du/dx)
はそのままは使えません。

　ｙ＝(ｘ^2＋１)^2・ｘ
において、ｕ＝(ｘ^2＋１)^2　さらに　ｖ＝ｘ^2＋１　とおくと、
　ｕ＝ｖ^2
であり、合成関数の公式
　du/dx＝(du/dv)(dv/dx)
が使え、
　du/dx＝2v・2x＝4(ｘ^2＋１)ｘ
これを、積の微分
　ｙ’＝ｕ’ｘ＋ｕｘ’
に適用し、
　ｙ’＝4(ｘ^2＋１)ｘ・ｘ＋(ｘ^2＋１)^2
　　　＝(ｘ^2＋１)(4x^2＋x^2＋1)
　　　＝(ｘ^2＋１)(5x^2＋1)
　　　＝5x^4＋6x^2＋1
となります。

　

No.87232 - 2024/01/20(Sat) 13:44:04

★ (No Subject) / あああ

問1について、写真に書いたような式変形をするまでは分かったのですが、∫∫szdxdyの部分の求め方がよく分かりません。どなたか解説をお願い致します。

No.87224 - 2024/01/20(Sat) 02:04:35

☆ Re: / X

∫∫[S[z]]dxdy=(半径zの円の面積)
です。

No.87225 - 2024/01/20(Sat) 06:36:47

☆ Re: / あああ

確かにその通りですね、、、すみませんありがとうございました。

No.87230 - 2024/01/20(Sat) 13:31:19

★ 微分係数と導関数 / ken

微分係数と導関数で以下のことがわかりませんので教えてください。

x=aにおける微分係数
f'(a)=lim[h→0] { f(a+h)-f(a)}／h　…(1)

x=aにおける微分係数
f'(a)=lim[x→a] {f(x)-f(a)}／(x-a)　…(2)
(1)(2)の右辺でaの値は変わらないでｘが変化するとして平均変化率を求めていますか？

導関数を作るために、
(1)にa=xを代入すると導関数　
f'(x)=lim[h→0] {f(x+h)-f(x)}／h　　…(3)
はわかるのですが、

同じように
(2)にa=xを代入すると
f'(x)=lim[x→x]｛f(x)-f(x)｝／(x-x)　…(4)
つまり　f'(x)=lim[x→x]　0／0　…(5) ?

(4)の導関数は(2)のように
f'(a)=lim[　 ] {f(□)-f(x)}／(□-x)…(5)
は作れないのですか？

No.87220 - 2024/01/19(Fri) 16:11:05

☆ Re: 微分係数と導関数 / らすかる

xはlimの中だけで通用する仮変数として使われていますので、
混ざらないように他の文字を使う必要があります。
あるいは、もしxを使いたいのであればlimの中の変数を変更してから
aにxを代入すればうまくいきます。
f'(a)=lim[x→a]{f(x)-f(a)}/(x-a)
f'(a)=lim[y→a]{f(y)-f(a)}/(y-a) （意味は1行目と全く同じです）
a=xとして
f'(x)=lim[y→x]{f(y)-f(x)}/(y-x)
のようになります。

No.87222 - 2024/01/19(Fri) 18:16:41

☆ Re: 微分係数と導関数 / ken

「もしxを使いたいのであればlimの中の変数を変更してから
aにxを代入すればうまくいきます。」

とてもわかりやすいです！！

ありがとうございました。

No.87223 - 2024/01/19(Fri) 23:48:58

★ 二次関数 / 谷

四角2の問題の解き方全てを教えて頂きたいです。お願いします。

No.87218 - 2024/01/19(Fri) 12:05:50

☆ Re: 二次関数 / 谷

問題です。

No.87219 - 2024/01/19(Fri) 12:06:36

☆ Re: 二次関数 / ヨッシー

ｙ＝f(x) のグラフを、概略でも良いので描いてみてください。
話はそれから。

No.87221 - 2024/01/19(Fri) 17:15:44

☆ Re: 二次関数 / 谷

合っていますか？

No.87226 - 2024/01/20(Sat) 11:00:50

☆ Re: 二次関数 / ヨッシー

式は正しいですが、グラフが違います。
両方とも、（ｘ－3/2）^2 があるので、
頂点はｘ＝3/2 のときになります。

No.87229 - 2024/01/20(Sat) 13:30:47

☆ Re: 二次関数 / 谷

こうですか？

No.87252 - 2024/01/22(Mon) 09:29:09

☆ Re: 二次関数 / ヨッシー

描くべきグラフはそれでいいですが、両方とも有効ということは
あり得ないので、ｘの範囲によって、どちらのグラフが有効かを、実線と破線で区別するなどします。

さて問題ですが、
(1)
ｙ＝f(x) のグラフと、ｙ＝ｋのグラフの交点が、ｋの値によって、
どう変わるかを調べます。

(2)
ｙ＝f(x) のグラフと、ｙ＝ａｘのグラフのｘ＝０以外の交点が、傾きａの値によって、
存在するかどうかを調べます。

(3)
ｙ＝ａ（ｘ－ｂ）において、ｂを固定してａを変化させたとき、
ａの値によって、交点がどう変わるかを調べます。

(4)
ｙ＝ｇ（ｘ）は(3, 0) を必ず通るので、傾きａがいくつのときに
２重解と別の実数解を持つかを調べます。

(5)
g(x) は恒等的に０なので、図のようになります。

No.87254 - 2024/01/22(Mon) 10:51:10

☆ Re: 二次関数 / 谷

分かりやすいグラフありがとうございます。それぞれの問での範囲が理解出来ました。
ご丁寧にありがとうございました＾＾

No.87264 - 2024/01/22(Mon) 23:03:18

★ 軟化式 / えっとう

軟化式について教えてください

No.87212 - 2024/01/18(Thu) 16:25:37

☆ Re: 軟化式 / ヨッシー

それだけのご質問（？）では、教科書の１単元を書き上げる覚悟で答えないといけませんので、
ここでは、まず教科書または参考書をご覧ください、と言っておきます。

No.87213 - 2024/01/18(Thu) 16:45:53

☆ Re: 軟化式 / えっとう

教科書、、、僕中学生です

No.87214 - 2024/01/18(Thu) 17:06:39

☆ Re: 軟化式 / えっとう

とりあえずしグマはわかります

No.87216 - 2024/01/18(Thu) 17:13:31

☆ Re: 軟化式 / 三国協商

漸化式(ぜんかしき)とは、
数列の、各項の関係を表したものです。
数列はその名の通り数の列で、{an}(nはaの右下につける)で表されるんですけど、例えば3項目の数字はa_3とか6項目はa_6と表します。
漸化式は、以下のような式です。この場合、a1=4で、n=1を代入すると、a2=a1+7となるので、2項目は11,3項目はn=2を代入して18と求められます。

No.87217 - 2024/01/18(Thu) 17:19:53

★ (No Subject) / みかん

今年の大学入試共通テストのIAの問5の問題の(2)の(iii)でこの星の図形においてさらにCR＝RS=SE=3となることが分かるというところがあるのですがどうやったらCR=RS=SE=3って求めることが出来るのでしょうか？CR=RSは三角形ACSと曲線BDからメネラウスの定理を用いることと方べきの定理を用いて
CR/RS=1かつ3・6=CR・CS=CR・2CRからCR=3
だけどCS=3ってどうやったら求まるのでしょうか。解答よろしくお願いします

入試問題は「共通テスト 2024解答速報」って検索してもらえば河合とか東進とかが問題をホームページに載せてくれているのでそちらか見てください。よろしくお願いします

No.87210 - 2024/01/18(Thu) 10:29:02

☆ Re: / ヨッシー

ＣＲ＝ＲＳ＝３は明らかですので、
知りたいのはＥＳ＝３ですよね？

メネラウスの定理より
　(CE/ES)(ST/TA)(AP/PC)＝１
から
　ＣＥ：ＥＳ＝３：１
が得られます。
これと　ＣＲ＝ＲＳ＝３　とから
　ＥＳ＝３
が得られます。

No.87211 - 2024/01/18(Thu) 11:20:51

★ 積分について / 三国協商

赤線の部分で、x^2が(x^3)/3になるのはわかるけど、なぜr^2がr^2・xになるのか教えてほしいです。

No.87207 - 2024/01/17(Wed) 19:41:07

☆ Re: 積分について / 三国協商

問題は、球の体積を求めるために、y=√(r^2-x^2)を１回転した立体の体積を求めるところです。

No.87208 - 2024/01/17(Wed) 19:42:22

☆ Re: 積分について / X

r^2は定数だからです。

No.87209 - 2024/01/18(Thu) 06:15:23

☆ Re: 積分について / 三国協商

あっほんとだ！
ありがとうございました。

No.87215 - 2024/01/18(Thu) 17:09:58

★ (No Subject) / 板

関数f(x)は、?@0≦x<1のとき、f(x)=x^3,?A任意の実数xに対してf(x+1)=f(x)+3x^2+3xを満たしている。

f(x)+f(-x)を求めよ。

No.87204 - 2024/01/14(Sun) 23:34:09

☆ Re: / 板

文字化けは無視していただいて構いません。

No.87205 - 2024/01/14(Sun) 23:34:59

☆ Re: / WIZ

べき乗演算子^は四則演算子より優先度が高いものとします。

0 ≦ x < 1に対して、f(x) = x^3・・・(1)
任意の実数xに対して、f(x+1) = f(x)+3x^2+3x・・・(2)
と解釈して回答します。

(2)より、
f(x+1)+(x^3+1) = f(x)+3x^2+3x+(x^3+1) = f(x)+(x+1)^3
⇒ {f(x+1)-(x+1)^3}+1 = {f(x)-x^3}

g(x) = f(x)-x^3とおくと、
g(x+1)+1 = g(x)・・・(3)

(1)より、0 ≦ x < 1ならばg(x) = 0となりますので、
(3)より、1 ≦ x+1 < 2で、g(x+1) = -1となります。

また(3)でxをx-1で置き換えると、
g(x)+1 = g(x-1)
⇒ g(x-1)-1 = g(x)・・・(4)

(1)より、0 ≦ x < 1ならばg(x) = 0となりますので、
(4)より、-1 ≦ x-1 < 0で、g(x-1) = 1となります。

以上を繰り返し適用することで、kを整数、0 ≦ x < 1としてg(x+k) = -kと言えます。
ガウスの記号を使えば、g(x+k) = -[x+k]です。

yを任意の実数とし、yを超えない最大の整数をk、y-k = xとすると、0 ≦ x < 1となります。
y = x+kより、[y] = kです。
また、x = 0ならば[-y] = -k, 0 < x < 1ならば[-y] = -k-1です。

よって、
f(y) = g(y)+y^3 = y^3-[y]
⇒ f(y)+f(-y) = {y^3-[y]}+{(-y)^3-[-y]} = -[y]-[-y]
となります。

以上から、
yが整数ならばf(y)+f(-y) = -y-(-y) = 0
yが整数でないならばf(y)+f(-y) = -y-(-y-1) = 1
となります。

No.87206 - 2024/01/15(Mon) 01:50:16

★ 確率 / そら

3.4が分かりません
解説お願いします🙇‍♀️

No.87199 - 2024/01/14(Sun) 13:23:44

☆ Re: 確率 / X

X=k(k=0,1,2,3,4)となる確率を
P[X=k]
と書くことにします。

(1)
A,B共に0のカードを引く確率なので
P[X=0]=(2/5)(3/5)=6/25

(2)
前半)
A,Bのカードの一方が1,他方が0になればよいので
P[X=1]=(2/5)(3/5)+(2/5)(1/5)
=8/25
後半)
A,Bのカードの
一方が2,他方が0
又は
両方が1
となればよいので
P[X=2]=(1/5)(3/5)+(2/5)(1/5)+(2/5)(1/5)
=7/25

(3)
(2)の結果から、1回の試行でX=1又はX=2となる確率は
8/25+7/25=3/5
よって求める確率は
(4C2){(3/5)^2}{(1-3/5)^2}
=216/625

(4)
4回の試行で
3回目までにX=1,2となることがちょうど1回
かつ
4回目でX=1となる確率は(2)の結果により
(8/25)・(3C1)(3/5)(1-3/5)^2
=(8/25)・3・(3/5)(2/5)^2
=288/(625・5)
∴(3)の結果から求める条件付き確率は
{288/(625・5)}/(216/625)=4/15

No.87203 - 2024/01/14(Sun) 19:11:17