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関数項級数の一様収束性 / Jin
Σ(-1)^(n)*(x+n)/n^(2)が任意の有界区間上で一様収束することを示せ。
という問題がわかりません。よろしくお願いします。

No.78533 - 2021/09/29(Wed) 17:57:25

Re: 関数項級数の一様収束性 / IT
まず、Σ(-1)^(n)*(x/n^(2)) と Σ(-1)^(n)/n に分けて考えると良いのでは?
No.78535 - 2021/09/29(Wed) 18:17:41

Re: 関数項級数の一様収束性 / Jin
なるほど。ありがとうございます。
No.78549 - 2021/09/30(Thu) 01:22:04
広義収束の収束判定 / Jin
これは本の問題でなく私の疑問です。次の主張が成立するか?するのならその証明が欲しいです。
c>0。[c,+∞)で連続な関数f, gがある。
∫(c→∞)f(t)dtが収束。あるT,M>0が存在して|g(t)|<M (t>T)。
この時、∫(c→∞)f(t)g(t) dtは収束する。

No.78523 - 2021/09/28(Tue) 23:27:21

Re: 広義収束の収束判定 / m
成立しません.
反例:
c=1
f(x) = (sin x)/x
g(x) = sin x

ちなみに,∫(c→∞) |f(t)| dt が収束することを仮定すればその結論は成り立ちます.

No.78524 - 2021/09/29(Wed) 00:14:56

Re: 広義収束の収束判定 / Jin
なるほど。ありがとうございます。g(t)=1/tの時証明できたのは特殊な場合だったんですね。
No.78525 - 2021/09/29(Wed) 00:53:55

Re: 広義収束の収束判定 / 高校三年生
∫(1→∞){(sin x)/x}dx

の収束は自明なのかな?

No.78527 - 2021/09/29(Wed) 03:51:35

Re: 広義収束の収束判定 / IT
> ∫(1→∞){(sin x)/x}dx
>
> の収束は自明なのかな?


手持の問題集では、問題として出題されてます。

No.78528 - 2021/09/29(Wed) 07:29:05

Re: 広義収束の収束判定 / m
大学数学では有名な積分です.

高校生用に誘導を付けてみました.興味があればどうぞ.


a_n = ∫[nπ, (n+1)π] (sin x)/x dx  (n ≧ 2)
b_n = ?納k=2, 2n+1] a_k  (n ≧ 1)
と定める.

(1) n≧2 に対して 2/((n+1)π) ≦ |a_n| ≦ 2/(nπ) を示せ.

(2) n≧1 に対して b_n ≦ 1/π が成り立つことと,数列 {b_n} が単調増加であることを示せ.

(3) lim[R→∞] ∫[2π, R] (sin x)/x dx が収束することを示せ.

No.78529 - 2021/09/29(Wed) 07:51:59

Re: 広義収束の収束判定 / 高校三年生
なるほど。

厳密に計算しないと駄目ですね。
各項の絶対値の和が調和級数になる交番級数で挟めるのか。
だから、サイクル毎では次数が一つ下がって「1/n^2」級の一般項をもつと。
単純に、
「1サイクル毎の面積比が n/n+2 程度だから、いずれにしても、
 調和級数に帰着するのでは?」
と思ってしまった・・・。oTL

皆さん、わざわざ、お手数かけさせてすみませんでした。m(_ _)m

No.78530 - 2021/09/29(Wed) 10:00:34
平面ベクトル / Nao
添付画像の問題の最後の「ベクトルOF」が解けません。
それ以外のベクトルは自分なりに解けましたので、別途手書き画像をアップします。
どなたか正答と解法をお教えいただけないでしょうか?
よろしくお願いいたします!

No.78517 - 2021/09/28(Tue) 23:04:28

Re: 平面ベクトル / Nao
解けたところまで画像でアップします。
どなたかよろしくお願いいたします!

No.78518 - 2021/09/28(Tue) 23:06:44

Re: 平面ベクトル / Nao
画像がうまくアップできなかったので再度アップします!
No.78519 - 2021/09/28(Tue) 23:07:49

Re: 平面ベクトル / ヨッシー
DEが違いますね。
ODまでは正しいです。

その先ですが、Fを直線DE上の点として、
DF:FE=t:(1−t) として、
OFをtの入った式で表す。
それが、OC上にあるようにtを決める。
という段取りになります。

No.78521 - 2021/09/28(Tue) 23:22:39

Re: 平面ベクトル / ヨッシー
OF=kOC とおいて、
3点DEFが一直線上にあるようにkを決める
という手順の方がいいかも。

No.78522 - 2021/09/28(Tue) 23:25:06

Re: 平面ベクトル / Nao
ヨッシーさま

ありがとうございます。
DEは再計算し、1/2a-1/6bになりました!

ただ、肝心のOFはまだ解けません。。
いただいた2つの助言については、実は投稿前に既にその考え方で解こうとしていたのですが、解くことができず、こちらに投稿した次第です。。

恐縮ですが、もう少し踏み込んだ解法までアドバイスいただけないでしょうか。

No.78543 - 2021/09/29(Wed) 22:45:21

Re: 平面ベクトル / ヨッシー
点FはDE上にあるので、
 OF=(1-t)OD+tOE (tは実数)
と置けます。計算して、
 OF=(1-t)(−/2+(3/2))+(4t/3)
  ={(t-1)/2}+{(9-t)/6}
これが
 OC=(1/4)+(3/4)
に平行になるには
 {(t-1)/2}:{(9-t)/6}=1:3
これより
 t=9/5
 OF=(2/5)+(6/5)
となります。

No.78552 - 2021/09/30(Thu) 05:52:58

Re: 平面ベクトル / Nao
ヨッシーさま

ありがとうございます!

ただ、イマイチ理解できていない点があり、もう少し教えてください。

?@28日のコメントにある「DF:FE=t:(1-t)とする」という点が理解できません。
 そうすると、EDが2t-1となり、何故そんな比率とするのか、その意図がわかりません。。
 通常であれば「DF」ではなく「DE」とし、「DE:FE=t:(1-t)」とおくのが一般的ではないかと思うのですが。。

?A上記に関連するのかもしれませんが、「点FはDE上にあるのでOF=(1-t)+tOEとおける」という理屈が理解できていません。

今まで、三角形の2辺(△ODFの場合、OF,OD)のベクトルからその内分線(同OE)を求める際に2辺を足す(tOF+(1-t)ODなど)ことはあったのですが、内分線と1辺を足して他の1辺を求めたことがなく、違和感を感じます。。

今回の場合、(1-t)ODが「-4/5OD」とマイナスとなるため、右下方向の2つのベクトルを足しても左下方向のOFに帰着(?)するという点は理屈では理解できるのですが、、釈然としません。。

No.78577 - 2021/09/30(Thu) 23:35:49

Re: 平面ベクトル / ヨッシー
たとえば、こちらのページの中程にある
「2点を通る直線のベクトル方程式」の
 =(1-t)+t
が一般的な公式です。
>EDが2t-1となり

>「DE:FE=t:(1-t)」とおく
は、内分しか頭にない場合の発想です。
1を超えるtや、マイナスのtを考えると
 =(1-t)+t
だけで、外分する点も表せます。

もちろん、
>「DE:FE=t:(1-t)」とおく
という方法でも解けますが、(どんな場合でも使えるという意味での)「一般的」ではありません。

その点では、78521 の
>DF:FE=t:(1−t) 
は誤解を生む表現かもしれませんが、
1:2に外分するのを、−1:2に内分すると、覚えている人なら
ピンと来るかもしれません。

No.78746 - 2021/10/10(Sun) 06:07:40
y=(1/10)^xの時の取りうる範囲 / 無限苦手
y=(1/10)^xとする
この時のyの取りうる範囲がわかりません

(私の考え)

?@y=a^x(0<a<1、a≠1)の時、yは正の数を常にとる
よってyの取りうる範囲は
0<y

?Axを無限に増えるときのことを考える
lim(x→∞){(1/10)^x}=0
xを無限に減る時のことを考える
lim(x→-∞){(1/10)^x}=∞
よってyの取りうる範囲は
0<=y

?@と?Aではyの取りうる範囲に0を含まれるのかどうかで別々の答えが出てしまいました
おそらくどちらかが答えだと思うのですが、誰かわかる人はいますか?
出来れば理由を添えて答えてくれたら嬉しいです

(この問題は私が独自で考えたもののため答えがなく、また数学はほぼ独学で勉強しているため、言葉の使い方が間違っているかもしれません)

No.78516 - 2021/09/28(Tue) 21:55:47

Re: y=(1/10)^xの時の取りうる範囲 / らすかる
極限は「取る値」ではなく、近づく値です。
実際、xに何を入れてもy=0となることはありません。
よって取る値は0<yです。

No.78520 - 2021/09/28(Tue) 23:15:15

Re: y=(1/10)^xの時の取りうる範囲 / 無限苦手
非常にわかりやすくて助かります!
ありがとうございました

No.78526 - 2021/09/29(Wed) 02:11:41
置換 / キリンさん
Snを1∼nの置換全体とする。
σ∈Snに対して、あるNが存在してσ^Nは単位置換になることを示せ。

が分かりません。教えてほしいです。

No.78511 - 2021/09/28(Tue) 17:12:53

Re: 置換 / ヨッシー
1〜nのn個の数字の並び方は n!通りです。
ある数字の並びからσを次々に行うと、
高々n!+1回の中には、同じ並びが2回現れます。
その1回目から2回目までにσを行った回数がNであり、
σ^Nは単位置換になります。

No.78512 - 2021/09/28(Tue) 17:56:08

Re: 置換 / キリンさん
助かりましたありがとうございました!
No.78514 - 2021/09/28(Tue) 18:59:25

Re: 置換 / ヨッシー
>高々n!+1回の中には、
は正確ではなかったですね。
>高々n!回行ってできるn!+1個の並びの中には、
1回行うと、並びは2つ出来ますからね。

No.78515 - 2021/09/28(Tue) 19:12:23
(No Subject) / 苦虫
計算&図形問題の証明が苦手
なので、教えて下さい

当の昔に学生は終了しています。

因数分解
?@9xの3乗+6xy+xyの2乗
?A64aの3乗+27bの3乗
?Bxの2乗+xy+x+y
?C2xの2乗+x=6
?D(x+3)の2乗-8(x*3)+16
?E(x-2)(x+6)+16

2次方程式
?F5xの2乗-3=0
?G3xの2乗+10x+3=0
?H4xの2乗+8x+2=0
?Ixの2乗+3x-28=0
?J2xの2乗-14x+12=0
?Kxの2乗=2(3x+8)=0
?L(x+1)(x+9)=4x
?Mxの2乗-4=0
?Nxの2乗-12=0
?O2xの2乗-10=0
?Pxの2乗-x=0
?Q3xの2乗+10x=0

式の展開
?R(x+4y-3)(x-4y)+3x-(y-3)

ある女子高で出題された過去問になります

?S-2の2乗+7×(7-9)-(3)の3乗+6(-3)
㉑5√6/√48-3√2-5/(√3+2)(√2-1)
㉒81xの2乗-36yの2乗
㉓2次方程式6/1xの2乗-3/2x-2=0

No.78510 - 2021/09/28(Tue) 16:17:17

Re: / ヨッシー
ひとつひとつ解説を加えていると終わりませんので、
ちょいちょいテクニックも交えながら、一気に行きます。

(1)9x^3+6xy+xy^2=x(9x^2+6y+y^2)
9x^3+6x^2y+xy^2 ではないかという気もします。
(2)64a^3+27b^3=(4a)^3+(3b)^3=(4a+3b)(16a^2-12ab+9b^2)
(3)x^2+xy+x+y=x(x+y)+(x+y)=(x+1)(x+y)
(4)式がおかしいです。
(5)(x+3)^2-8(x+3)+16 の誤りとすれば
 (x+3)^2-2・4(x+3)+4^2=(x+3-4)^2=(x-1)^2
(6)(x-2)(x+6)+16=(x-2)(x-2+8)+16=(x-2)^2+8(x+2)+16
 =(x-2+4)^2=(x+2)^2

(7)5x^2-3=0, x^2=3/5, x=±√(3/5)=±(√15)/5
(8)3x^2+10x+3=0, (3x+1)(x+3)=0, x=-1/3, -3
(9)4x^2+8x+2=0, 2x^2+4x+1=0, x=(-2±√2)/2
(10)x^2+3x-28=0, (x+7)(x-4)=0, x=-7, 4
(11)2x^2-14x+12=0, x^2-7x+6=0, (x-1)(x-6)=0, x=1, 6
(12)式がおかしいです。
(13)(x+1)(x+9)=4x, x^2+6x+9=0, (x+3)^2=0, x=-3
(14)x^2-4=0, (x+2)(x-2)=0, x=±2
(15)x^2-12=0, x^2=12, x=±√12=±2√3
(16)2x^2-10=0, x^2=5, x=±√5
(17)x^2-x=0, x(x-1)=0, x=0, 1
(18)3x^2+10x=0, x(3x+10)=0, x=0, -10/3

(19)(x+4y-3)(x-4y)+3x-(y-3)=(x+4y)(x-4y)-3(x-4y)+3x-y+3
  =x^2-16y^2-3x+12y+3x-y+3=x^2-16y^2+11y+3

(20)-2^2+7×(7-9)-(3)^3+6(-3)=-4+7×(-2)−27−18=−63
(21)5√6/√48-3√2-5/{(√3+2)(√2-1)}
  5√6/√48-(3√2-5/{(√3+2)(√2-1)} の区別を。
(22)81x^2-36y^2=(9x+6y)(9x−6y)
(23)2次方程式6/1x^2-3/2x-2=0
 6/1 は6分の1 のことでしょうか?
それなら 1/6 と書きます。

No.78513 - 2021/09/28(Tue) 18:26:53
積分の途中計算での疑問 / まりお
??(2x+5)/(x^2+4x+5)dx
=log|x^2+4x+3|+1/2log|(x+1)/(x+3)|+C

という答えになるところまではわかります。しかし、答えのlogをまとめるときに疑問が生まれたのですが、

=log|x+1|√{(x+1)(x+3)}+C

という答えになると教わったのですが、ほんとの答えは

=log|x+1|√(|x+1||x+3|)+C

というようにルートの中身に絶対値をつける必要があると思いました。どちらが正しいのか、どちらとも同じなのか、積分におけるlogの同値変形は特殊なのかよくわからないので教えて欲しいです。

補足です。
1/2log|x|⇄log|√|x| ではなくて
    ⇄log√|x| で合ってますか?
もし、下の同値変形が正しければ、上記の質問の下の答えが正しくなると思いました。

No.78503 - 2021/09/28(Tue) 10:15:57

Re: 積分の途中計算での疑問 / まりお
補足で誤植をしました。すみません。

二行目 ⇄log|√x|
   

No.78504 - 2021/09/28(Tue) 10:19:44

Re: 積分の途中計算での疑問 / らすかる
冒頭の式は
∫(2x+5)/(x^2+4x+3)dx
の間違いですよね?
本題の方はおっしゃる通りで、
log〔|x+1|√{(x+1)(x+3)}〕+C
は間違いで、
log〔|x+1|√|(x+1)(x+3)|〕+C
が正しいです。
※x+1とx+3のそれぞれに絶対値を付ける必要はありません

No.78506 - 2021/09/28(Tue) 10:54:09

Re: 積分の途中計算での疑問 / まりお
冒頭の式も誤植していました。笑

気になって気になって仕方がなかったので助かりました!
本当にありがとうございました!

No.78508 - 2021/09/28(Tue) 11:03:11
数学?V 極限 / りんごちゃん
A_n={n!/n^n}^(1/n)のとき,
(1) lim(n→∞)logA_n を求めよ。
(2) lim(n→∞)a_n を求めよ。

という問題で,(1)は区分求積法よりlog(1/e)と求まりました。

ここで質問です。

(2)の答えを求めるとき,(1)に比べ対数logがはずれた極限なので,答えは1/eと何もことわりを書かずに,答えても良いのでしょうか?
そもそも,こんな性質あるのか調べてみてもそれっぽいのが見つかりませんでした。

アドバイスよろしくお願いします。

No.78502 - 2021/09/28(Tue) 08:49:16

Re: 数学?V 極限 / らすかる
(1)の答えをlog(1/e)と書くと減点されると思います。
log(1/e)=-1なので、答えは-1にする必要があります。
(2)のa_nはA_nの間違いとして、
log{lim[n→∞]A_n}=lim[n→∞]log(A_n)=-1から
lim[n→∞]A_n=e^(-1)=1/e
ぐらい書いておけば安全かと思います。

No.78507 - 2021/09/28(Tue) 10:59:16

Re: 数学?V 極限 / りんごちゃん
訂正していただきありがとうございます。
助かりました。ありがとうございます。

No.78509 - 2021/09/28(Tue) 16:13:27
極限について / ぴーたろー
こんにちは。
画像の問題について、解説含めて理解はしていますが、そもそものスタートの段階で分母分子をnで割って

lim(n→∞)[2/{2-(1/n)]^(3n)

と考えてn→∞のとき1^∞より極限は1ではだめなのかと疑問を持ちました。
なぜだめなのか教えてください。よろしくお願いいたします。

No.78500 - 2021/09/28(Tue) 07:56:25

Re: 極限について / 高校三年生
おお!仲間がいた!

直観的には、「1」なんだよね。
私が納得した説明は、二項定理による級数展開。
ネイピア数は、

e = lim[n→∞]{(1+1/n)^n}

が元々の定義だけど、

e = 1 + 1/1! + 1/2! +・・・+ 1/n! +・・・

もよく使われる定義なんですよ。
あと、関数f(x)について、

f(x) = x・log(1+1/x)

の場合の、曲線 y=f(x)の漸近線が y= 1になるってのも、
理解の仕方の一つ。

と思うけど、間違ってたらごめんなさい。(-_-;)

No.78501 - 2021/09/28(Tue) 08:44:49

Re: 極限について / m
(気持ちはわかるが)1^∞ = 1 という直感はよくないかも.∞/∞ = 1 と同じくらいよくない!
例えば (2^(1/n))^(n) や (2^(1/n))^(n^2) も 1^∞ の形をしていますが,どちらも 1 に収束しません.

ところで不定形はご存じですか.n→∞ としたときに 0/0, ∞/∞, ∞*0, ... の形になるものをそう呼びます.
そして 1^∞ も不定形です.

形式的には log をとって
log(1^∞) = ∞ * log(1) = ∞ * 0
となるから不定形であると説明してもいいです.

No.78505 - 2021/09/28(Tue) 10:42:34
(No Subject) / ddd
連投すみません。
(3)なんですが、(2)で求めた答えの判別式を考える理由を教えてください。判別式の判別式を求めているようで違和感がありまして、、
よろしくお願いします。

No.78490 - 2021/09/27(Mon) 18:58:23

Re: / ddd
(3)の冒頭部分の理由です。
No.78491 - 2021/09/27(Mon) 18:59:43

Re: / X
(2)の結果から
(C[1],C[2]の両方に接する接線の数)=(tの二次方程式?Bの異なる実数解の個数)
となっていることから、まず
C[1],C[2]の両方に接する接線の数が2本
となるようなaの値の範囲を求めています。

何故こんな計算をしているのかというと
(1)の結果を満たすaの値の集合をA、
上記のaの値の範囲を満たすaの値の集合をB
とするとき
A⊇B
つまり条件を満たすaの値の範囲が
(1)の結果のaの値の範囲より狭くなる
可能性があるからです。

しかし結果は、模範解答の計算通り
A=B
となることが確かめられた、ということです。

No.78494 - 2021/09/27(Mon) 19:30:49

Re: / ddd
ありがとうございます。
では(3)はXさんの発想から
すぐ判別式を考える流れですかね?

No.78496 - 2021/09/27(Mon) 21:35:12

Re: / X
その通りです。
No.78497 - 2021/09/27(Mon) 22:36:35

Re: / ddd
ありがとうございます。
No.78531 - 2021/09/29(Wed) 14:53:32
(No Subject) / ddd
以下の問題の(3)の積分計算について対称的?な積分の形が出てきますが、何か理由があるのでしょうか?
No.78488 - 2021/09/27(Mon) 18:54:43

Re: / ddd
下から二行目の積分の形が対称的?な形になっていて理由があるのか気になりました。
No.78489 - 2021/09/27(Mon) 18:55:39

Re: / m
下から三行目の時点で"対称的"ですね.
y=(x+a)^2 と y=(x-a)^2 のグラフを描いて,積分で求まる面積を塗りつぶしてみてください.

手書きの図を付けます.上の水色部分を下の水色部分に変形しています.
これを見ると,対称的なのは必然かも.

No.78498 - 2021/09/27(Mon) 23:11:15

Re: / ddd
ありがとうございます。
何か公式などあるのでしょうか?

No.78532 - 2021/09/29(Wed) 14:54:54

Re: / m
3分の1公式というものがあります.
便利ですので,式変形だけでも覚えておくといいと思います.

参考:https://manabitimes.jp/math/796

No.78542 - 2021/09/29(Wed) 22:44:30

Re: / ddd
ありがとうございます。
No.78598 - 2021/10/01(Fri) 21:54:08
この問題がわかりません / (・∀・)(・∀・)
3

ある円形の路線上には4500mの r > 7 があります。 この路線 上を. ある列車が同じ長さの列車を何両かつなげて1周走ります。 列車を4両つなげて走るとき, この列車の一部または全部が見えて いる時間は36分46秒で, 列車がトンネル内に入っていてまったく 見えない時間は6分9秒でした。 また, 列車を8両つなげて走ると この列車がトンネル内に入っていてまったく見えない時間は6秒短 くなりました。 列車の速さは一定で, 列車と列車の間の長さは考え ないものとし、 何両つなげても速さは変わらないものとして次の 問いに答えなさい。

(1) 列車の速さは毎秒何mですか。

(2) この路線は1周何km ですか。

(1) ( 求め方 )

No.78485 - 2021/09/27(Mon) 17:49:08

Re: この問題がわかりません / ヨッシー
「r > 7 」と書いてトンネルと読むことにします。

(1)
「まったく見えない時間は6秒短 くなりました。」の件から、
4両分進むのに、6秒かかるとわかります。

列車の先端がトンネルに入って、トンネルを出るまでの時間は
 6分9秒+6秒=6分15秒=375秒
この間で、4500m 進むので、
 4500÷375=12  ・・・ 答え(1) 毎秒12m

(2)
毎秒12mで、
 36分46秒+6分9秒=42分55秒=2575秒
走ると1周なので、路線1周の長さは
 12×2575=30900(m)=30.9(km)

No.78486 - 2021/09/27(Mon) 18:01:30
言葉の意味について、理系1年 / みん
関数で、独立変数、従属変数という言葉があります。
線形代数で、一次独立、一次従属という言葉があります。

この独立や従属の意味は、関数においても線形代数においても同じなのでしょうか。

どうぞ宜しくお願いします。

No.78483 - 2021/09/27(Mon) 15:55:22
空間の内積 / kanji
No.13を教えてもらいたいです
No.78481 - 2021/09/27(Mon) 15:32:04

Re: 空間の内積 / ヨッシー
AP=tAB (0≦t≦1) と置きます。
AP=t{(-3,0,3)−(-2,2,6)}=t(-1,-2,-3)
PCACAP
  ={(-1,1,3)−(-2,2,6)}−t(-1,-2,-3)
  =(t+1,2t-1,3t-3)
APPC=(-t,-2t,-3t)・(t+1,2t-1,3t-3)
  =-14t^2+10t
  =-14(t^2−5t/7+25/196)+25/14
  =-14(t-5/14)^2+25/14
よって、APPC が最大となるのは、
t=5/14 のときで、これは 0≦t≦1 を満たし、このとき
AP
  =(-2,2,6)+t(-1,-2,-3)
  =(-t-2, -2t+2, -3t+6)
  =(以下略)

No.78482 - 2021/09/27(Mon) 15:51:21

Re: 空間の内積 / kanji
ありがとうございます!
No.78484 - 2021/09/27(Mon) 16:44:33
sin(nx)の性質について / 理系1年
-π/2<x<π/2の時、lim(n→∞)sin(nx)が存在しないことの数学的に厳密な証明が知りたいです。直感的には振動するとわかるのですが、厳密に証明となるとなかなかできません。よろしくお願いします。
No.78478 - 2021/09/27(Mon) 06:02:20

Re: sin(nx)の性質について / らすかる
x=0のとき極限は存在しますので証明できません。
No.78479 - 2021/09/27(Mon) 07:36:45
級数収束に関する問題 / Jin
Σan^(1/2)が収束するなら、Σ(an/n^(s))(s>1/2)は絶対収束する。
この問題がわかりません。

No.78477 - 2021/09/27(Mon) 04:27:24

Re: 級数収束に関する問題 / m
an は数列のことですよね.ここでは a[n] と書くことにします.
そして,a[n] は非負ですよね.

Σ[n=1, N] a[n] ≦ (?納n=1,N] a[n]^(1/2))^2
≦ (?納n=1,∞] a[n]^(1/2))^2 < ∞
と比較判定法から示されます.
s≧0 でいいように思うけど.問題を写し間違えている?

No.78480 - 2021/09/27(Mon) 08:16:42

Re: 級数収束に関する問題 / IT
微分積分学(笠原先生著) サイエンス社の演習問題なら

Σa[n]^2が収束するなら、Σ(a[n]/n^(s))(s>1/2)は絶対収束する。
です。

(類題)
Σa[n]^2が収束するなら、Σ(|a[n]|/n)は収束する。
 |a[n]|/n ≦(1/2)(|a[n]^2+(1/n^2)) を使う.

Σa[n]^2,Σb[n]^2,が収束するなら、Σ(a[n]b[n])は絶対収束する。

No.78487 - 2021/09/27(Mon) 18:14:48

Re: 級数収束に関する問題 / Jin
すみません。写し間違えてました。
Σa[n]^2が収束するなら、Σ(a[n]/n^(s))(s>1/2)は絶対収束する。

の証明をお願いします。

No.78492 - 2021/09/27(Mon) 19:21:46

Re: 級数収束に関する問題 / IT
78487 に挙げた類題を参考にされると出来るのでは?
No.78493 - 2021/09/27(Mon) 19:26:17

Re: 級数収束に関する問題 / Jin
nをn^(s)に変えるだけですね、ありがとうございます。
No.78499 - 2021/09/28(Tue) 03:27:43
収束性の証明 / Jin
Σ{(1+1/2+.....+1/n)*sin(nθ)}/log(nθ)^(p)がp>1の時、収束することを示せという問題がわかりません。よろしくお願いします。
No.78476 - 2021/09/27(Mon) 00:09:55

Re: 収束性の証明 / IT
転記ミス?
Σ[(1+1/2+.....+1/n)*{sin(nθ)/(log(n))^(p)}] デスネ??? log(nθ)ではなくlog(n)
#転記ミスが多いようです。少し違うだけでまったく違う問題になってしまいます。
書き込み後に再度確認されることをお勧めします。
(編集パスを設定すると、投稿後も修正可能です。)

 お使いの 「微積分学(サイエンス社)」3章 定理3.32 系 の例4を参考に考えると良いのでは。

例4 b[n]は単調に減少して0に収束する数列とする。
このとき Σb[n]sin(nx) (-π/2≦x≦π/2)は、つねに収束である。

No.78495 - 2021/09/27(Mon) 21:08:07
(No Subject) / けんけんぱ
蛇足かもしれませんが。
> 何故最初に二次関数を微分するのか
これは(?A)で必要になっています。(?@)の前にやるとわからなくなってしまいますか?

> 練習問題68も同じく最後こステップとして何故両辺で微分するのか
微分
すると、(∫[a→x]g(t) dt)' = g(x) なので、積分の中の関数が拾えるからです。(まあ、書いてある通りなんですが)

>この2つは何の為に。どのような操作を行なっているのか。を教えていただきたいです。
積分関数から積分という鎧を脱いで関数を出すために微分しています。

No.78472 - 2021/09/26(Sun) 21:01:02

Re: / けんけんぱ
やってしまいました。
この投稿は
No.78466 - 2021/09/26(Sun) 06:35:20
への返信です。

No.78473 - 2021/09/26(Sun) 21:03:45
任意の二次関数を求める定積分について / 7464
写真の練習問題69にて。

参考書の解説が大変分かりやすく解法は分かるのですが、何故最初に二次関数を微分するのか。と、練習問題68も同じく最後こステップとして何故両辺で微分するのか。の2つが分かりません。この2つは何の為に。どのような操作を行なっているのか。を教えていただきたいです。

宜しくお願い致します。

No.78466 - 2021/09/26(Sun) 06:35:20

Re: 任意の二次関数を求める定積分について / GandB
 何がわからんのか、さっぱりわからん(笑)。

 まさかとは思うが、解説で「公式」と称している

  (∫[a→x]g(t) dt)' = g(x)

がよくわかっていないということはあるまいね?

No.78467 - 2021/09/26(Sun) 08:44:01

Re: 任意の二次関数を求める定積分について / IT
GandB さんと同じ感想ですが、あえて回答してみます。
ピント外れなら無視してください。

> 写真の練習問題69にて。
>
> 参考書の解説が大変分かりやすく解法は分かるのですが、何故最初に二次関数を微分するのか。


>何の為に。どのような操作を行なっているのか

>何の為に。
簡単に言うと、「左辺の定積分(記号)をなくして普通の整式の表示にする為にxで微分している。」ということでしょうか?

>どのような操作を行なっているのか
質問の意味不明です。定積分の微分のことですか?
(「解法はわかる」と矛盾するのでは?)

もちろん、この問題ではf(x)=ax^2+bx+c とおいて、積分計算して解く方法もあります。その方法でやってみてください。

解説が大変分かりやすく解法が分かっていればそれで良いのでは?
問題を解くとき、どんな解法を使うかは「関連する定理や公式などの理解と記憶と応用の習熟」によると思います。

No.78468 - 2021/09/26(Sun) 09:19:51
数A / 確率
1, 2, 3, 4, 5, 6の番号をつけた6枚のカードがあり、片面は白, 片面は赤に塗られている.
はじめは, 1, 2, 3 のカードは白い面が表になるように, 4, 5, 6のカードは赤い面が表になるように置かれている.
サイコロを振って出た目の番号のカードを裏返す試行を繰り返す. 2n 回(偶数回)の試行後,白い面が表になっているカードの枚数について,3枚である確率を Pn, 1枚である確率を Qn, 5 枚である確率Rn とする.
(1) P1, R1, Q1を求めよ.
(2 n≧2に対して,Pn, Qn, Rn を求めよ.
(3) lim(n→∞) Pnを求めよ.

(1)はサイコロのます目の図を書いて求めたんですけど、(2)からどのようにして求めればいいのかわかりません。詳しい解説よろしくお願いします。

No.78461 - 2021/09/25(Sat) 19:51:55

Re: 数A / X
(2)
条件から偶数回の試行を何回繰り返しても
白い面の枚数は奇数
であることに注意して
{P[n]},{Q[n]},{R[n]}についての漸化式
を立てます。

まず{P[n]}について。
P[n+1]={(5/6)(2/6)+1/6}P[n]+(3/6)(2/6)Q[n]
整理をして
P[n+1]=(4/9)P[n]+(1/6)Q[n] (A)
次に{Q[n]}について。
Q[n+1]=(5/6)(4/6)P[n]+2(3/6)(4/6)Q[n]+(5/6)(4/6)R[n]
整理をして
Q[n+1]=(5/9)P[n]+(2/3)Q[n]+(5/9)R[n] (B)
最後に{R[n]}について。
R[n+1]=(3/6)(2/6)Q[n]+{1/6+(5/6)(2/6)}R[n]
整理をして
R[n+1]=(1/6)Q[n]+(4/9)R[n] (C)
(A)(B)(C)を(1)の結果である
P[1]=1/6 (D)
Q[1]=2/3 (E)
R[1]=1/6 (F)
の下での連立漸化式として解きます。
(A)-(C)より
P[n+1]-R[n+1]=(4/9){P[n]-R[n]}
∴P[n]-R[n]={P[1]-R[1]}(4/9)^(n-1)
=0
∴R[n]=P[n] (G)
(G)と全確率=1により
2P[n]+Q[n]=1
∴Q[n]=1-2P[n] (H)
(H)を(A)に代入すると
P[n+1]=(1/9)P[n]+1/6
P[n+1]-3/16=(1/9)(P[n]-3/16)
∴P[n]=(P[1]-3/16)(1/9)^(n-1)+3/16
これに(D)を代入して(G)を使うと
P[n]=R[n]=-(1/48)(1/9)^(n-1)+3/16
∴(H)により
Q[n]=(1/24)(1/9)^(n-1)+5/8

(3)
(2)の結果より
lim[n→∞]P[n]=3/16

No.78463 - 2021/09/25(Sat) 21:44:17

Re: 数A / 確率
>>xさんへ
自分はP[1]=2/3,Q[1]=1/6,R[1]=1/6になったのですが、やはり僕が間違っているのでしょうか?

No.78464 - 2021/09/25(Sat) 23:18:11

Re: 数A / ヨッシー
>P[1]=2/3,Q[1]=1/6,R[1]=1/6
で合ってます。
P,Q,R の順に1枚、3枚、5枚ではないところに注意ですね。

No.78465 - 2021/09/25(Sat) 23:37:33

Re: 数A / X
>>確率さんへ
ごめんなさい。ヨッシーさんの仰る通りです。
No.78463でP[n]とQ[n]の立場を入れ替えて
修正したものを再度アップしておきます。

(2)
条件から偶数回の試行を何回繰り返しても
白い面の枚数は奇数
であることに注意して
{P[n]},{Q[n]},{R[n]}についての漸化式
を立てます。

まず全確率が1であることから
P[n]+Q[n]+R[n]=1 (A)
次に{Q[n]}について
Q[n+1]=(3/6)(2/6)P[n]+{(5/6)(2/6)+1/6}Q[n]
整理をして
Q[n+1]=(1/6)P[n]+(4/9)Q[n] (B)
最後に{R[n]}について
R[n+1]=(3/6)(2/6)P[n]+{1/6+(5/6)(2/6)}R[n]
整理をして
R[n+1]=(1/6)P[n]+(4/9)R[n] (C)
(A)(B)(C)を(1)の結果である
P[1]=2/3 (D)
Q[1]=1/6 (E)
R[1]=1/6 (F)
の下での連立漸化式として解きます。
(B)-(C)より
Q[n+1]-R[n+1]=(4/9){Q[n]-R[n]}
∴Q[n]-R[n]={Q[1]-R[1]}(4/9)^(n-1)
=0
∴R[n]=Q[n] (G)
(G)を(A)に代入して
2Q[n]+P[n]=1
∴P[n]=1-2Q[n] (H)
(H)を(B)に代入すると
Q[n+1]=(1/9)Q[n]+1/6
Q[n+1]-3/16=(1/9)(Q[n]-3/16)
∴Q[n]=(Q[1]-3/16)(1/9)^(n-1)+3/16
これに(E)を代入して(G)を使うと
Q[n]=R[n]=-(1/48)(1/9)^(n-1)+3/16
∴(H)により
P[n]=(1/24)(1/9)^(n-1)+5/8

注)
解答の流れから{P[n]}についての漸化式を書くべきところですが
No.78463を見直すと、詳しく書いても結局
全確率=1
となる結果を導くことだけに使うことになり、過程が冗長
になるので、敢えて書かないように修正しました。


(3)
(2)の結果より
lim[n→∞]P[n]=5/8

No.78469 - 2021/09/26(Sun) 10:00:05

Re: 数A / 確率
xさん、ヨッシーさん、お二方とも丁寧に教えていただきありがとうございました。本当に助かりました。
No.78471 - 2021/09/26(Sun) 20:36:00
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