ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 平方数の和に関して / 質問者

こんばんわ。
平方数の和を求める公式の証明について、1からｎ番目の平方数であるｎ^2までの和を求めることを通して解説していただけないでしょうか。
自身の力量不足もあり、初歩的な証明の仕方であれば幸いです。

No.10205 - 2010/05/04(Tue) 23:45:45

☆ Re: 平方数の和に関して / ヨッシー

まずは、変わり種ですがこちらなど。

No.10210 - 2010/05/05(Wed) 06:04:05

☆ Re: 平方数の和に関して / ヨッシー

一方、正統派。
Σ{k^3－(k-1)^3}＝Σ(3k^2-3k+1)
を考えます。範囲はｋ＝１～ｎです。
(左辺)＝(1-0)+(8-1)+(27-8)+・・・{n^3-(n-1)^3}＝n^3
(右辺)＝3Σk^2－3Σk＋n＝3Σk^2－(3n^2+n)/2
よって、
　3Σk^2＝n^3＋(3n^2+n)/2＝n(n+1)(2n+1)/2
　Σk^2＝n(n+1)(2n+1)/6
となります。

No.10211 - 2010/05/05(Wed) 07:03:24

☆ Re: 平方数の和に関して / 豆

その他では、
(n+2)(n+1)n=??((k+2)(k+1)k-(k+1)k(k-1))
　　　　　　　=3?婆^2+3?婆
∴?婆^2=(1/3)((n+2)(n+1)n-3?婆)
　　　　　=(1/3)( (n+2)(n+1)n-(3/2)(n+1)n)
　　　　　=(1/6)n(n+1)(2n+1)

No.10227 - 2010/05/07(Fri) 17:17:28

★ 高２数Bベクトル　京都大学　平面方程式の応用 / あいりん　高２

座標空間に４点A（２，１、０）、B（1,0,1）、C（0,1,2）、
D（1,3,7）がある。
３点A、B、Cを通る平面に関して点Dと対称な点をEとするとき、点Eの座標を求めよ。

解答「平面ABCの法線ベクトルをn→＝（a,b,c）とする。
AB→＝（-1,-1,1）、AC→＝（-2,0,2）であるから、
n→・AB→＝０、n→・AC→＝０より
-a-b＋c=0、-2a＋2c=0
よってb=0, c=a
ゆえに、n→＝（1,0,1）【適当に設定した】とすると、
平面ABCの方程式は
1・（x-2）＋０・（y-1）＋1・（z-0）＝０からx＋z-2=0
【Oを原点、ｋを実数とする。
点Dから平面ABCに垂線DHを下ろすと、
n→//DH→であるから
OH→＝OD→＋DH→＝OD→＋kn→＝（1＋k,3,7＋k）】
点Hは平面ABC上にあるから
（1＋k）＋（7＋k）-2=0
よって　k=-3　ゆえにOH→＝（-2.3.4）
よって【OE→＝2OH→-OD→＝2（-2,3,4）-（1,3,7）＝
（-5,3,1）
したがって　E（-5,3,1）】」
とあるのですが、
【Oを原点、ｋを実数とする。
点Dから平面ABCに垂線DHを下ろすと、
n→//DH→であるから
OH→＝OD→＋DH→＝OD→＋kn→＝（1＋k,3,7＋k）】
どうやったらこんな式がでてくるんですか？！

【OE→＝2OH→-OD→＝2（-2,3,4）-（1,3,7）＝
（-5,3,1）
したがって　E（-5,3,1）】この部分が全く分かりません
特にOE→＝2OH→-OD→という式はどこから・・・

だれかわかるかたおねがいしますm（＿　＿）m

No.10204 - 2010/05/04(Tue) 23:24:58

☆ Re: 高２数Bベクトル　京都大学　平面方程式の応用 / X

＞＞どうやったらこんな式がでてくるんですか？！
↑n//↑DHであるから
↑DH=k↑n(kはある実数)
と表すことができます。
従って…。

＞＞特にOE→＝2OH→-OD→という式はどこから・・・
題意から点Hは線分DEの中点ですので
↑OH=…
この式を変形すると…。

No.10206 - 2010/05/04(Tue) 23:55:31

☆ Re: 高２数Bベクトル　京都大学　平面方程式の応用 / あいりん　高２

> ＞＞どうやったらこんな式がでてくるんですか？！
> ↑n//↑DHであるから
> ↑DH=k↑n(kはある実数)
> と表すことができます。
> 従って…。
>
> ＞＞特にOE→＝2OH→-OD→という式はどこから・・・
> 題意から点Hは線分DEの中点ですので
> ↑OH=…
> この式を変形すると…。
中点の公式より
OH→＝1/2（OE→＋OD→）
両辺に２をかけてOEに関する式に変形すると
2OH→＝OE→＋OD→
OE→＝2OH→-OD→　ということですか？？

No.10209 - 2010/05/05(Wed) 01:37:14

☆ Re: 高２数Bベクトル　京都大学　平面方程式の応用 / X

その通りです。

No.10214 - 2010/05/05(Wed) 07:57:28

★ 高２　数学B　ベクトルの応用 / あいりん　高２

二点（0、0、1）、（2、2、5）を直径の両端とする球面をＳ１、二点（-1、0、3）、（3、4、1）を直径の両端とする球面をＳ２とし、Ｓ１、Ｓ２の交わりの円Ｃの中心Ｃの座標と半径を求めよ。

解答
「Ｓ１、Ｓ２の中心をそれぞれＯ１、Ｏ２、交わりの円Ｃ上の１点をPとする。球の中心は、直径の中点であるから
Ｏ１（１、１、３）、Ｏ２（１、２、２）
Ｓ１の半径はR１=ルート６
Ｓ２の半径はR２=３
また、△Ｏ１ＰＣ、△Ｏ２ＰＣは直角三角形である。
円Ｃの半径をR、ＣＯ１=x、ＣＯ２=yとすると
y±x=Ｏ１Ｏ２=ルート２であり
x＾２＋R＾２=６…(1)
y＾２＋R＾２=９…(２）
解いて、
y＾２-x＾２=３…(３)
以下計算
…………
R=ルート94／4
また、この時点Ｃは線分Ｏ１Ｏ２をx：y=１：5に外分する。
したがって
Ｃ(１、3／4、13／4)、半径ルート94／4」なのですがなぜ△Ｏ１ＰＣ、△Ｏ２ＰＣは直角三角形である。
とわかるのですか。
また、y±x= のところ
なぜ±なんですか？
そして最後の
点Ｃは～に外分する
なぜ外分？図は二通りあってひとつめ(上の）は内分の形になっていますよね？
誰かわかるかた教えてくださいお願いしますm(._.)m

No.10202 - 2010/05/04(Tue) 23:11:10

☆ Re: 高２　数学B　ベクトルの応用 / あいりん　高２

> 二点（0、0、1）、（2、2、5）を直径の両端とする球面をＳ１、二点（-1、0、3）、（3、4、1）を直径の両端とする球面をＳ２とし、Ｓ１、Ｓ２の交わりの円Ｃの中心Ｃの座標と半径を求めよ。
>
> 解答
> 「Ｓ１、Ｓ２の中心をそれぞれＯ１、Ｏ２、交わりの円Ｃ上の１点をPとする。球の中心は、直径の中点であるから
> Ｏ１（１、１、３）、Ｏ２（１、２、２）
> Ｓ１の半径はR１=ルート６
> Ｓ２の半径はR２=３
> また、△Ｏ１ＰＣ、△Ｏ２ＰＣは直角三角形である。
> 円Ｃの半径をR、ＣＯ１=x、ＣＯ２=yとすると
> y±x=Ｏ１Ｏ２=ルート２であり
> x＾２＋R＾２=６…(1)
> y＾２＋R＾２=９…(２）
> 解いて、
> y＾２-x＾２=３…(３)
> 以下計算
> …………
> R=ルート94／4
> また、この時点Ｃは線分Ｏ１Ｏ２をx：y=１：5に外分する。
> したがって
> Ｃ(１、3／4、13／4)、半径ルート94／4」なのですがなぜ△Ｏ１ＰＣ、△Ｏ２ＰＣは直角三角形である。
> とわかるのですか。
> また、y±x= のところ
> なぜ±なんですか？
> そして最後の
> 点Ｃは～に外分する
> なぜ外分？図は二通りあってひとつめ(上の）は内分の形になっていますよね？
> 誰かわかるかた教えてくださいお願いしますm(._.)m

画像はり忘れました＞＜

No.10203 - 2010/05/04(Tue) 23:11:57

☆ Re: 高２　数学B　ベクトルの応用 / X

＞＞なぜ△Ｏ１ＰＣ、△Ｏ２ＰＣは直角三角形である。
＞＞とわかるのですか。
問題の立体の点O1,O2を含む断面を考えると
点Pは
点O1を中心とする半径R1の円と点O2を中心とする半径R2の円
との二つの交点のうちの一つ
点Cは
上記の二つの交点を結ぶ直線(lとします)と直線O1O2との交点になっています(図を描きましょう)。
ここで
l⊥O1O2
ですので…。

No.10207 - 2010/05/05(Wed) 00:08:10

☆ Re: 高２　数学B　ベクトルの応用 / X

＞＞なぜ外分？図は二通りあってひとつめ(上の）は内分の形になっていますよね？

図にあるとおり点Cは
(i)線分O1O2の内分点となる場合
(ii)線分O1O2の外分点となる場合
の２つの可能性があります。
内分点となる場合は
y+x=O1O2=√2 (A)
外分点となる場合は
y-x=O1O2=√2 (B)
これらをまとめて
x±y=O1O2=√2
と解答では書いています。
ここからですが、(A)(B)それぞれの場合について
(1)(2)と連立して解き(x,y,R)を計算すると
(A)の場合
(x,y,R)=(-(1/4)√2,(5/4)√2,(1/4)√94)
∴x<0となり、不適。
(B)の場合
(x,y,R)=((1/4)√2,(5/4)√2,(1/4)√94)
となり点Cは線分O1O2を
(1/4)√2:(5/4)√2=1:5
に外分します。

ということで点Cは線分O1O2の外分点となっています。

No.10208 - 2010/05/05(Wed) 00:31:17

☆ Re: 高２　数学B　ベクトルの応用 / X

ごめんなさい。No.10208に誤りがありましたので直接修正しました。
再度ご覧下さい。
(x,yは長さなのに、比と混同していました。)

No.10215 - 2010/05/05(Wed) 08:04:37

★ 因数分解 / seki

x^3-(b-1)x^2+abx-ab(b-1)

いまいちわからずに悩んでいます。
わかる方がいらっしゃればよろしくお願いします。

No.10195 - 2010/05/04(Tue) 17:30:10

☆ Re: 因数分解 / Kurdt（かーと）

こんにちは。

(b-1) が共通していることに着目して、

-(b-1)x^2-ab(b-1) の部分を
= -(b-1)(x^2+ab)
としてみると何かが見えてくるでしょう。

No.10196 - 2010/05/04(Tue) 17:43:13

☆ Re: 因数分解 / seki

Kurdt（かーと）さん返信ありがとうございます。
すみません困ったことにさっぱり見えて来ませんでした。

x^3-(b-1)x^2+abx-ab(b-1)
(b-1)が共通しているので-(b-1)(x^2+ab)
との事でしたがx^3+abx-(b-1)(x^2+ab)となるのでしょうか？

No.10197 - 2010/05/04(Tue) 19:27:40

☆ Re: 因数分解 / ast

問題の式は x に関して 3 次, b に関して 2 次, a に関して 1 次なので, わたしならまず次数が一番低い a について整理することを薦めます. 1 次式がもし因数分解できるならば, 共通因数をくくりだす以外に選択肢はありませんし, 気にするべき文字が x と b のふたつに減って考えを整理しやすくなるはずです.

No.10198 - 2010/05/04(Tue) 19:58:10

☆ Re: 因数分解 / Kurdt（かーと）

x^3+abx-(b-1)(x^2+ab) の残っている部分を x でくくると、
x(x^2+ab)-(b-1)(x^2+ab) となって x^2+ab でくくれるようになりますね。

No.10199 - 2010/05/04(Tue) 20:59:22

★ 円錐曲線 / saito

こんにちは。いま古代の人の気持ちに立って幾何学的に円錐曲線の方程式を導びこうとしているのですが、双曲線の方程式に出てくるbを図中の何処に取れば良いのかで悩んでいます。
図というのは円錐(を二つ組み合わせたもの)に切断面を加えた、比較的良くある立体図です。最初なので、歪んでいない、頂点が底面(円)の中心から真上に位置する円錐を考えています。

切断面における2本の(双)曲線の頂点間の距離を2aと置きました。
楕円については、aもb長直径と短直径に当たるので分かりやすかったのですが、双曲線については手近な参考書を見てもbについての説明はあまり有りません…。

切断面が底面に垂直な場合は相似を使って上手く求めることが出来たのですが、(そのときbは、2aの中点と円錐の頂点とを結ぶ距離と置きました。)切断面を斜めにしてしまうと相似形が使えなくなって成り立ちません。

説明が下手で申し訳ありませんが、お教えいただけると嬉しいです。

No.10190 - 2010/05/04(Tue) 09:31:29

☆ Re: 円錐曲線 / saito

すみません、因みに焦点や準線は用いていません。
宜しくお願いいたします。

No.10191 - 2010/05/04(Tue) 09:34:21

★ (No Subject) / TKO

?@と書かれたカードが1枚、?Aと書かれたカードが2枚、?Bと書かれたカードが3枚、合計6枚のカードが袋の中に入っている。この中から無作為に1枚のカードを取り出し、その数字よりも大きなカードが袋の中にあればそれらをすべて取り除き、取り出したカードは袋の中にもどす、という操作をn回繰り返したあとで、袋の中に?@と?Aのカードが残っている（3のカードは残っていない）確率をPnとし、そのPnを求めよ。

n≧2のときn=2で?Bを取り出した時のPnの表し方がわかりません。
お願いします。

No.10188 - 2010/05/03(Mon) 23:00:26

☆ Re: / ヨッシー

ポイントは、
・?@を引いてはいけない
・?Aは少なくとも１回は引かなくてはならない
　?Aを引くと、?@?A?Aになるので、それ以降は?Aのみを引く
です。

ｎ回の試行をする場合
１回目に?Aを引いて、その後ｎ－１回?Aを引く確率
　(1/3)×(2/3)^(n-1)
１回目?B、２回目?Aを引いて、その後ｎ－２回?Aを引く確率
　(1/2)×(1/3)×(2/3)^(n-2)
ｋ－１回?Bを引き、ｋ回目に?Aを引いて、その後ｎ－ｋ回?Aを引く確率
　(1/2)^(k-1)×(1/3)×(2/3)^(n-k)
と書けます。実は、最後の
　(1/2)^(k-1)×(1/3)×(2/3)^(n-k)
だけで、ｋ＝１～ｎすべて表せています。変形すると、
　(1/2)^(k-1)×(1/3)×(2/3)^(n-k)
　＝2(1/2)^k×(1/3)×(2/3)^n×(3/2)^k
　＝(2/3)^(n+1)×(3/4)^k
これを、ｋ＝１～ｎで和を取れば
　Pn＝3・(2/3)^(n+1)－(1/2)^(n-1)
となります。

No.10189 - 2010/05/04(Tue) 07:39:21

★ 小学校算数より / 力不足

子どもに算数のことを聞かれいまだにうまく答えられません。ご存知の方がいらっしゃいましたらよろしくお願いいたします。
小学校の算数において「時刻と時間」を３年生で習います。
そこで時間において、「～時間～分」や「～分～秒間」などと習いますが、なぜ「～時間～分間」や「～分間～秒」などとは言わないのでしょうか。

子どもにもわかるように教えていただけると助かります。よろしくお願いいたします。

No.10183 - 2010/05/02(Sun) 01:42:43

☆ Re: 小学校算数より / ヨッシー

このへんに書いてある、算数と言うより日本語の問題というのに賛成です。

おおよその規則性は書き連ねられますが、いずれも、今現在
こう呼んでいるとかをまとめたものに過ぎず、大本の理由などは
よくわかりません。

No.10184 - 2010/05/03(Mon) 07:27:48

☆ Re: 小学校算数より / 力不足

返信ありがとうございます。
やはり明確な規定はないのですね？

いちよネットでは検索しましたので上記のような答えにもたどり着きました。しかしながらやはりパッとしなかったので、算数や数学の質問を行えるこちらにお願いをしたのですが、国語の問題なのですかね？

国語で調べてみたいと思います。
ありがとうございました。

No.10185 - 2010/05/03(Mon) 09:39:24

★ (No Subject) / JHA

a,b,cがxに関係ない実数（a＞0、c>0)で、
-ax^2+bx+c≦1-絶対値X　が任意で成り立つ時、曲線
ｙ＝-ax^2+bx+cとX軸で囲まれた面積Sの最大値をもとめよ。
幾何的に解くのでしょうか。おねがいします。

No.10179 - 2010/04/30(Fri) 23:30:54

☆ Re: / ヨッシー

幾何的にというか、グラフで考えるのが良いでしょうね。
Ｓが最大になるには、頂点が出来るだけ上に行きたいわけですが、
ｙ＝１－|ｘ| で、頭を押さえられているので、同じ形をした
２次関数であれば、ｙ軸対称で、ｙ＝１－|ｘ| に接する状態が
面積最大です。

そこで、ｙ＝－ａｘ^2＋ｃ　とおいて、ｙ＝１－ｘと接する状態を
考えると、両者連立させて、
　ａｘ^2－ｘ＋１－ｃ＝０
判別式は、
　Ｄ＝１－４ａ(１－ｃ)＝０
　ｃ＝１－１/4a　（ただし、ｃ＞０よりａ＞１/４）

－ａｘ^2＋１－１/4a＝０の、２解をα、－α(α＞０)とすると、
求める面積は　Ｓ＝ａ(２α)^3／６＝４ａα^3/３
実際に解くと、
　α＝√(1/a－1/4a^2)
なので、
　Ｓ＝(4/3)ａ(1/a－1/4a^2)^(3/2)
ａで微分して、
　dS/da＝(2/3)(1/a^2－1/a)√(1/a－1/4a^2)
√(1/a－1/4a^2)＞０より
　０＜ａ＜１で　dS/da＞０
　１＜ａで dS/da＜０であるので、
ａ＝１で、Ｓは最大値　(√3)/2 をとります。

No.10181 - 2010/05/01(Sat) 11:34:28

★ 助けてください・・・＞＜ / あいりん　高２

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail.php?qid=1440155639
ここでも質問したのですが・・・
結局理解できませんでした。

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail.php?qid=1340155803
こちらのほうもどうかよろしくお願いします。。

＜質問内容＞
白玉６個、赤玉３個合計９個の玉がある。
（１）この玉を円形にならべた場合何通りの並べ方があるか？
（２）この玉で数珠をつくると何通りになるか？
（1）円の並び方
赤3個の並び方は、3個とも隣り合う場合、2個隣り合い1個離れる場合、3個とも隣り合わない場合の3つのケースがあります。それぞれの場合の数を求めて合計した数が求める解になります。

（3個とも隣り合う場合）
これは、1通りしかありません。白6個が円になっているところへ、どこに赤3個が入っても、回転すれば皆、同じです。

（2個隣り合い1個離れる場合）
赤2個を固定して残りの赤1個を考えますと、右回りで間に白が何個入るかで分けられます。間の白の個数は、1～5までの5通りです。
（※6だと3個隣り合う場合になりますから5までです）

（3個とも隣り合わない場合）
赤の間に白玉を何個はさむかで右回りとして数え上げますと
（1、1、4）
（1、2、3）
（1、3、2）
（2、2、2）
の4通りになります。もっと多そうな気がしますけど、【回転すると一緒になってしまう】のです。

したがって円の並びの数は、合計して
1+5+4=10 通りになります。

（1,2,3）のときで
なぜ（1,2,3）にはもう１つ（1,3,2）の場合もあるのでしょうか？
（1,1,4）はなぜ１通りしかないのでしょうか？？

【回転すると一緒になってしまう】という意味がよくわからないのと
イメージがしづらいです。
誰か教えてください。おえがいします。。

No.10176 - 2010/04/30(Fri) 16:26:12

☆ Re: 助けてください・・・＞＜ / ヨッシー

図のように、(1,2,3) と (1,3,2) は、回転しても同じ並びに
ならないので、別物です。
図で、縦に並べた (1,2,3)(2,3,1)(3,1,2) が回転して同じになるものです。
他の２組も同じです。

No.10177 - 2010/04/30(Fri) 21:54:30

☆ Re: 助けてください・・・＞＜ / あいりん　高２

> http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail.php?qid=1440155639
> ここでも質問したのですが・・・
> 結局理解できませんでした。
>
> http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail.php?qid=1340155803
> こちらのほうもどうかよろしくお願いします。。
>
> ＜質問内容＞
> 白玉６個、赤玉３個合計９個の玉がある。
> （１）この玉を円形にならべた場合何通りの並べ方があるか？
> （２）この玉で数珠をつくると何通りになるか？
> （1）円の並び方
> 赤3個の並び方は、3個とも隣り合う場合、2個隣り合い1個離れる場合、3個とも隣り合わない場合の3つのケースがあります。それぞれの場合の数を求めて合計した数が求める解になります。
>
> （3個とも隣り合う場合）
> これは、1通りしかありません。白6個が円になっているところへ、どこに赤3個が入っても、回転すれば皆、同じです。
>
> （2個隣り合い1個離れる場合）
> 赤2個を固定して残りの赤1個を考えますと、右回りで間に白が何個入るかで分けられます。間の白の個数は、1～5までの5通りです。
> （※6だと3個隣り合う場合になりますから5までです）
>
> （3個とも隣り合わない場合）
> 赤の間に白玉を何個はさむかで右回りとして数え上げますと
> （1、1、4）
> （1、2、3）
> （1、3、2）
> （2、2、2）
> の4通りになります。もっと多そうな気がしますけど、【回転すると一緒になってしまう】のです。
>
>
> したがって円の並びの数は、合計して
> 1+5+4=10 通りになります。
>
> （1,2,3）のときで
> なぜ（1,2,3）にはもう１つ（1,3,2）の場合もあるのでしょうか？
> （1,1,4）はなぜ１通りしかないのでしょうか？？
>
>
> 【回転すると一緒になってしまう】という意味がよくわからないのと
> イメージがしづらいです。
> 誰か教えてください。おえがいします。。

理解できました！
ありがとうございます＞＜

No.10200 - 2010/05/04(Tue) 23:04:24

★ ご教授願います。 / あっ君

夜間大学の受験する為、数学の復習をしております。久しぶりで、かなりど忘れしてしまいました。以下の３問をご教授願います。問２と３は、添付ファイルを参照願います。

問１
次の関数に微分を利用して、極値と増減表を求めなさい。（途中の説明や式も書くこと。）
　ｆ（ｚ）＝２ｚ＾３＋３ｚ＾２－１２＋６

No.10175 - 2010/04/30(Fri) 11:18:19

☆ Re: ご教授願います。 / ヨッシー

問１
まず、微分は出来るのでしょうか？
それが出来ないと、極値も何もあったもんではありません。

あとは、とりあえず、図を載せておきます。

No.10178 - 2010/04/30(Fri) 23:06:02

☆ Re: ご教授願います。 / あっ君

ヨッシー様

ご連絡遅れてすいません。

問１について、微分ですが、高校の教科書を参考にしましたが、久しぶりの為、分かりませんでした。ヒントを下さい。

問２と３についても、現在苦戦中です。

No.10221 - 2010/05/06(Thu) 09:18:10

★ お願いします。 / レッド

因数分解の問題ですが、問１の問題で分からない問題があります。問題は、
（２）の　４ax－２a
（３）の　８a²b－４b²
（４）の　ax＋bx＋cx　が、
どうしても解けなくて、困っています。
解説をお願いします。

No.10170 - 2010/04/29(Thu) 21:34:29

☆ Re: お願いします。 / ヨッシー

因数分解の基本は、分配法則
　ａｂ＋ａｃ＝ａ（ｂ＋ｃ）
です。つまり、共通の数および文字でくくることです。

３ａｂ＋６ａｃ　なら　共通因数は　ａ　と考えて、
ａ（３ｂ＋６ｃ）　でも因数分解したことになりますが、
係数も考慮して、３ａ（ｂ＋２ｃ）　とした方が良いです。

No.10171 - 2010/04/29(Thu) 21:57:49

☆ (No Subject) / レッド

ありがとうございました。
また、よろしくお願いします。

No.10172 - 2010/04/30(Fri) 05:56:51

★ 流水算 / ゆき

次の問題がよくわかりません。２つの船の静水時での速さがちがう場合はどうしたらいいのでしょうか？教えてください。

静水での速さが時速20?qの船Ｘと、時速24?qの船Ｙがあります。船Ｘで川上のＡ町から川下のＢ町まで下ると３時間かかりました。船ＹでＢ町からＡ町まで上ると３時間36分かかりました。この川の流れの速さは時速何?qですか。

No.10156 - 2010/04/22(Thu) 21:30:08

☆ Re: 流水算 / ヨッシー

まずかかった時間の比を簡単にしておくと
　180分：216分＝５：６
よって、時速20km に川の流れの速さを加えた速さと、
時速24km から川の流れの速さを引いた速さの比が
時間の逆比の　６：５となります。

それを図で表すと、図のようになります。
Ｘの部分が、川の流れの速さです。

両方の図のＸの部分が重なるように並べると(下の図)、
全体の長さは、２０＋２４＝４４(km) であり、?D＋?E＝?J
となり、?@＝4km となります。
よって、?E＝24km となり、Ｘの部分は、4kmとなります。

No.10157 - 2010/04/22(Thu) 23:31:15

☆ Re: 流水算 / ゆき

ありがとうございます。図があったので、よくわかりました。

No.10166 - 2010/04/25(Sun) 00:08:28

★ (No Subject) / soraria

x^2+y^2+z^2=1のときN=（x+y+z)(x+y+z-1)の最大値とそのときのx、y、zを求めなさい。

という問題で、答えはｘ＝ｙ＝ｚ＝－１/√３のとき３+√３という答えですが、解き方が分かりません。ｙ、ｚを固定して、ｘを変数としてN=ｆ（ｘ）の最大値をｙ、ｚを用いて表し、次にｙを変数として最大値＝ｇ（ｙ）とおき、ｇ（ｙ）の最大値をｚを用いて表し・・・などとすると思うのですが、まずｘを変数としてN=ｆ（ｘ）の最大値をｙ、ｚを用いて表す、というのができません。ｆ（ｘ）は一次関数なのに変域がないし、単調増加か単調減少かも何も分かってないのです。
答えまでの一連の流れをどなたかご教授ください。よろしくお願いします。

No.10154 - 2010/04/22(Thu) 17:22:14

☆ Re: / のぼりん

こんにちは。
ｕ＝ｘ＋ｙ＋ｚとおけば、
　　　ｘ^２＋ｙ^２＋ｚ^２＝１　⇔　｜ｕ｜≦√３　…　?@
です。ｚ＝ｕ（ｕ－１）＝（ｕ－１/２）^２－１/４は、?@ の範囲で、ｕ＝－√３のとき最大値ｚ＝３＋√３を取ります。

No.10155 - 2010/04/22(Thu) 20:39:09

☆ Re: / soraria

｜ｕ｜≦√３　と変形できませんでした。どのようにやったのか知りたいです。また、そのときのｘ、ｙ、ｚの値もどうやって出すのか教えてください。

u^2=1＋2(xy+yz+zx)というのは分かりますが。。

No.10158 - 2010/04/23(Fri) 08:24:22

☆ Re: / ヨッシー

x^2+y^2+z^2=1 は、原点中心半径１の球ですので、
平面ｘ＋ｙ＋ｚ＝ｕが、原点から距離１以下であれば、その平面上に
x^2+y^2+z^2=1 の点があります。(平面と球の交線上の点がそれです)

平面ｘ＋ｙ＋ｚ＝ｕと原点の距離は、
　|ｕ|/√(1^2＋1^2＋1^2)＝|ｕ|/√3≦１
よって、｜ｕ｜≦√３　です。

No.10160 - 2010/04/23(Fri) 20:42:27