ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ お願いします / やい

絶対値の面積の求め方が
わからないです ^^;
ぜひ教えて下さい。

aはa＞0をみたす定数とする。
f(x)=|x^2-x|-axとするとき次の問いに答えよ。

(1) y=f(x)とx軸が囲む面積S(a)を求めよ。
但しy=f(x)とx軸が囲む部分が2つある場合は、2つの部分の面積の和をS(a)とする。

(2)S(a)の最小値とそのときのaの値を求めよ。

お願いします。

No.8752 - 2009/11/06(Fri) 18:27:40

☆ Re: お願いします / ヨッシー

f(x) とｘ軸とで囲まれる部分の面積は、
ｙ＝|x^2－x| と y＝ax とで囲まれる面積と同じです。
ｙ＝|x^2－x| のグラフと、原点を通る直線のグラフ y=ax
を描いて、どのようなときに、囲む部分が出来るかをよく
考えましょう。

No.8753 - 2009/11/06(Fri) 23:04:10

★ 中学生の四角すいの問題です / マオ

次の問題がわからないので、教えてください。
底面が１辺６?pの正方形で、側面が１辺６?pの正三角形からなる四角すいＰ－ＡＢＣＤである。辺ＰＡ、ＰＢを２：１に分ける点をそれぞれＥ、Ｆ、また、辺ＰＣ、ＰＤを１：２に分ける点をぞれぞれＧ、Ｈとする。

四角すいＰ－ＥＦＧＨの体積を求めなさい。

ＥＦ：ＧＨ＝２：１、線分ＧＦ＝２√３?p、斜線部の面積＝３√11c?uと求める問題の後に出てきました。前の３問はわかったのですが…。

No.8740 - 2009/11/04(Wed) 18:51:49

☆ Re: 中学生の四角すいの問題です / ヨッシー

AB, CD, EF, GH の中点を J, K, L, M として、△JPK で切った断面を考えるとき、△LPM の LM を底辺としたときの、P までの高さが四角錐の高さになります。

No.8742 - 2009/11/04(Wed) 23:37:17

☆ Re: 中学生の四角すいの問題です / マオ

すみません。よくわからないのですが…

No.8748 - 2009/11/05(Thu) 22:18:31

☆ Re: 中学生の四角すいの問題です / ヨッシー

図のＰＮが四角錐Ｐ－ＥＦＧＨの、台形ＥＦＧＨを底面としたときの
高さになるということです。

No.8750 - 2009/11/06(Fri) 09:04:45

☆ Re: 中学生の四角すいの問題です / マオ

だいぶ時間がかかってしまいましたが、ようやくわかりました。ありがとうございます。

No.8783 - 2009/11/09(Mon) 18:31:28

★ 数列 / 蜜柑

すべての自然数nについて、a1=1,a1+a2+…+an=3n^2-knが成り立つとき、k=2であり、この数列{an}の一般項はan=6n-5である。
また、a1+a3+…+a2n+1=6n^2+7n+1である。

解き方が全く分かりません。

なぜk=2と一般項がこのようになったのか、そして6n^2+7n+1というようになったのか解説をお願い致します。

No.8738 - 2009/11/04(Wed) 17:10:51

☆ Re: 数列 / 豆

添え字を明確に書きましょう。
与式でn=1を代入してk=2は明らか
3n^2-2n=f(n)とすれば、
定義より、a[n]=f(n)-f(n-1)　これからa[n]も容易
a[2k+1}=6(2k+1)-5　をk=1→nまで足し算

No.8739 - 2009/11/04(Wed) 17:19:49

☆ Re: 数列 / 蜜柑

申し訳ありません。訂正します。

すべての自然数nについて、a_1=1,a_1+a_2+…+a_n=3n^2-knが成り立つとき、k=2であり、この数列{a_n}の一般項はa_n=6n-5である。
また、a_1+a_3+…+a_2n+1=6n^2+7n+1である。

すみません。いまいち理解出来ません。
もう少し詳しく教えて頂けるとありがたいです。

No.8741 - 2009/11/04(Wed) 21:16:08

☆ Re: 数列 / 豆

一つ目から分かりませんか？

No.8744 - 2009/11/05(Thu) 07:08:25

☆ Re: 数列 / 蜜柑

1つ目は3n^2-knにn=1を代入ってことですか？

No.8745 - 2009/11/05(Thu) 07:53:40

☆ Re: 数列 / ast

豆さんが仰っておられるのは, a_1 + a_2 + … + a_n = 3n^2 − kn という式は n = 1 のときどういう条件を表しているのか考えよ, ということですよ.

No.8746 - 2009/11/05(Thu) 15:11:01

☆ Re: 数列 / 蜜柑

分かりました！勘違いしてました。
つまり1=3(1)^2-1kとなりk=2になるんですね。

No.8747 - 2009/11/05(Thu) 20:49:30

☆ Re: 数列 / 豆

はい。
では次にf(n)-f(n-1)がどういうことか、手を動かしながら考えましょう。

No.8749 - 2009/11/06(Fri) 06:38:46

☆ Re: 数列 / 蜜柑

次の問題もおかげ様でやっと分かりました。
ありがとうございました。

No.8763 - 2009/11/07(Sat) 15:10:21

★ 大学生ですが質問させてください! / クロカ

f'(x)=3f(x)+1 これの求め方は

「f(0)=2であれば、f'(0)3×2+1であるから、オイラー法によって、f(Δx)=2+7×Δx と求まっていく。 f(2Δx)は求まった f(Δx)を使えばよい。」

と書いてありますが、
さっぱり意味がわかりません。
それで、解く必要のある問題は

「実際にこのもんだいをオイラー法を用いて解き、f(3)を求めなさい。また、解析解と比較せよ。」

です。
どなたか、よろしくお願いします

No.8735 - 2009/11/04(Wed) 11:44:33

☆ Re: 大学生ですが質問させてください! / 雀

オイラー法は
f'(x)≒{f(x+Δx)-f(x)}/Δx
と近似する方法です。
今回の問題に当てはまれば
{f(x+Δx)-f(x)}/Δx＝3f(x)+1
f(x+Δx)＝{3f(x)+1}Δx+f(x)
となります。
あとは自分でΔxの値を決めて求めます

Δx=1/2とした場合
xに0,1/2,2/2,3/2,･････を代入すれば次のような式になり
f(1/2)＝{3f(0)+1}(1/2)+f(0)
f(1)＝{3f(1/2)+1}(1/2)+f(1/2)
f(3/2)＝{3f(1)+1}(1/2)+f(1)
・
・
・
f(3)＝{3f(5/2)+1}(1/2)+f(5/2)

f(0)が分かっているのでf(3)まで求めることができます。

Δxを小さくとれば解析解に近い値がでます。

No.8737 - 2009/11/04(Wed) 12:39:48

★ 数２？ / ぽんた

aを１より大きい定数とする。区間０≦ｘ≦πにおいて、常に不等式
　acosx+1≧log(cosx+a)+loga
が成り立つようなaの値の範囲を求めよ。ただし、対数は自然対数とする。

上のもんだいなんですが、不等式を
　e^(acosx+1)-a(cosx+a)≧o
に変形して増減を求め最小値≧0としようとしたところ、最小値がe^(1-a)-a^2+aになってしまいました。
これって処理できますか？
　それとも根本から間違ってますか？
　よろしくお願いします

No.8729 - 2009/11/03(Tue) 15:05:17

☆ Re: 数２？ / 雀

最小値が違うかと思います。
f(x)=e^(acosx+1)-a(cosx+a)
f'(x)=0となるxはどうなりましたか？

No.8730 - 2009/11/03(Tue) 20:19:37

☆ Re: 数２？ / ぽんた

増減表とｘ＝０のときの値との比較から最小値はｘ＝πのときになりました

No.8733 - 2009/11/03(Tue) 21:40:28

☆ Re: 数２？ / 雀

f(x)=e^(acosx+1)-a(cosx+a)
f'(x)=-asinxe^(acosx+1)+asinx
　　=-asinx{e^(acosx+1)-1}

なので
f'(x)=0
sinx=0またはe^(acosx+1)-1=0
です。

No.8734 - 2009/11/03(Tue) 22:06:18

★ 数C 式と曲線 / 神無月

今晩は。
数Cの式と曲線の範囲の問題で、
点Aの極座標を(3,0)とする。極ｏを焦点、Aを通り始線に垂直な直線を準線とし、離心率eが次のような二次曲線の極方程式を求めよ。
(1)e=1
(2)e=1/2
(3)e=3/2
というものなのですがどうやって求めれば良いのでしょうか？
どなたか宜しくお願いします。

No.8721 - 2009/11/02(Mon) 22:33:59

☆ Re: 数C 式と曲線 / rtz

まずは
直交座標で方程式を出し、極方程式に直す
という手段でやってみては如何。

No.8723 - 2009/11/02(Mon) 22:52:24

☆ Re: 数C 式と曲線 / 神無月

ありがとうございます!またまた質問なのですが、
(3)の曲線を直交座標の座標平面上に書けという問題があって、
2 √x^2+y^2 =3(3-x)を平方して双曲線の式を出すと
(x-27/5)^2 / (18/5)^2 =y^2/ (9 √5 /5)^2=1
となるらしいのですが、私が平方してみると
5x^2-54x-4y^2=-81
となりそれらしい式が出てきそうもないのですがどのように解いたらいいのでしょうか？
よろしかったらご指導お願いします。

No.8724 - 2009/11/03(Tue) 00:23:21

☆ Re: 数C 式と曲線 / rtz

xを平方完成
→右辺を1にするために右辺の数字で割る
(その際、(x-k)²/a²＋…を目標にするため、
割ったものはそのまま分母として、分数で表すこと)
→(x-k)²、y²の係数を1にするために、それぞれの係数で割って分母へ組み込む
→分母を何かの2乗になるようにする

ちなみにこの計算をする際、
いちいちすべて計算するのではなく、27²などは残しておき、
81=9²や27²＝(9*3)²＝9²*9などを考えられるようになると、
計算量が減らせることは覚えておいてもいいでしょう。

No.8725 - 2009/11/03(Tue) 00:49:38

☆ Re: 数C 式と曲線 / 神無月

解くことができました!
細かく丁寧に教えて下ってありがとうございました!
とても分かりやすかったです。
また何かありましたら宜しくお願いします!

No.8728 - 2009/11/03(Tue) 13:32:14

★ 面積 / ななか

放物線ｙ＝Ｘ＾2－２と
直線ｙ＝ａＸの二つの交点をＡ、Ｂとする。

２点Ａ、Ｂの間の放物線上にＣをとり放物線と線分ＡＣで囲まれた面積をＳ1、
放物線と線分ＢＣで囲まれた面積をＳ2とする。

Ｓ1＋Ｓ2の最小値をａを用いて表せ。

よろしくお願いいたします

No.8707 - 2009/11/02(Mon) 00:24:43

☆ Re: 面積 / rtz

放物線と直線に囲まれた部分の面積をS₃とすれば、
S₃＝S₁＋S₂＋△ABCですから、
S₁＋S₂が最小⇔△ABCが最大

あとはABを底辺とみて、Cがどのような位置にあればいいか考えましょう。

No.8708 - 2009/11/02(Mon) 01:03:15

☆ Re: 面積 / ななか

ありがとうございます

ということゎＣが一番遠い位置にあればいいのですよね

No.8709 - 2009/11/02(Mon) 01:09:42

☆ Re: 面積 / rtz

そうですね。

No.8711 - 2009/11/02(Mon) 06:36:46

☆ Re: 面積 / ななか

ということは頂点のところですか

No.8715 - 2009/11/02(Mon) 18:16:25

☆ Re: 面積 / rtz

違います。
ちゃんと図を描いて考えましょう。

ヒント：
線分ABと平行な直線上にCがあるとすると、その直線上のどこにCあっても、
線分ABと直線の距離が高さになるので、△ABCは一定です。
つまりCが線分ABと平行で、かつ最も離れた直線上にあればよいことになります。

No.8717 - 2009/11/02(Mon) 20:16:46

☆ Re: 面積 / ななか

アドバイスありがとうございます
しかし
どうやっていけばよいかわかりません

すいませんがよろしくお願いいたします

No.8718 - 2009/11/02(Mon) 20:35:37

☆ Re: 面積 / rtz

本当に図を描いていますか？
http://b4.spline.tv/study777/?command=GRPVIEW&num=704

No.8717で言ったAB(赤)に平行な直線の例が緑です。
この場合△ABCも△ABC'も面積は同じです(等積変形)。
では△ABCの高さが大きい＝緑が赤から一番離れるのは緑がどういうときか考えてください。

そこから先は計算だけでしょう。

No.8722 - 2009/11/02(Mon) 22:43:47

★ 数１、お願いします / あつき

２次関数f(x)＝２x^2－２ax＋b(a、bは定数)があり、y＝f(x)の
グラフの頂点のy座標は－1である。－1≦x≦２におけるf(x)の
最大値をＭ、最小値をｍとする。

（１）ｂをａを用いて表せ。

（２）Ｍをａを用いて表せ。

（３）ａ＞０とする。Ｍ－ｍ＝８ａを満たすａの値を求めよ。

　　考えてみましたが　わかりませんのでよろしくお願いします

No.8695 - 2009/11/01(Sun) 21:35:57

☆ Re: 数１、お願いします / Ｂｏｂ

（１）まずは平方完成です
　ｙ＝２｛ｘ－（ａ／２）｝＾２－（ａ＾２／２）＋ｂ

ここから頂点のｙ座標が
－（ａ＾２／２）＋ｂ　だから・・・・・・

（２）グラフを書いて考えましょう

No.8703 - 2009/11/01(Sun) 23:35:20

☆ Re: 数１、お願いします / あつき

答えは見つかりましたが解き方がまだわかりませんので
教えてください。

（１）　ｂ＝（ａ^2/２）－１

（２）（ａ^2/２）－４ａ＋７（ａ＜１のとき）

　　　（ａ^2/２）＋２ａ＋１（ａ≧＝１のとき）

（３）　ａ＝１２－８√２

No.8704 - 2009/11/02(Mon) 00:01:03

★ 数１です / あつき

答えはわかっているのですが(３)の解き方をお願いします。

ｘについての２つの方程式

　　　ｘ^2－３ｘ＋２ｋ＝０…?@
　　　５ｘ－３ｋ＝３ｘ－２ｋ…?A　
がある。ただし、kは定数である。

(１)ｋ＝－１のとき、方程式?@の解を求めよ。

(２)ｋ≠０とする。方程式?Aの解が方程式?@を満たすとき、
　　ｋの値を求めよ。

(３)(２)のとき、方程式?Aの解をαとする。ｘ＝α、x＝α＋４が
　　ともに不等式　３｜x－p｜＋｜x｜≦１０…?B
　　を満たすような整数pの値をすべて求めよ。

　　*?Bの式に記しています縦棒は絶対値を表しています

　　答え (１)２/３±√１７(解き方もわかっています)

(２)k＝－２(解き方もわかっています)

　　　　　(３)p＝1、２
　　　　　　(解き方がわかりませんので教えてください)

　　　　　　　　　　　よろしくお願いします。

No.8691 - 2009/11/01(Sun) 21:08:26

☆ Re: 数１です / X

(2)の結果と(2)式より
5α-3・(-2)=3α-2・(-2)
∴α=-1
これにより(3)式は
x=α=-1のとき
3|-1-p|+1≦10 (4)
x=α+4=3のとき
3|3-p|+3≦10 (5)
(4)(5)を連立して解き、まずpの値の範囲を求めましょう.

No.8692 - 2009/11/01(Sun) 21:22:12

☆ Re: 数１です / あつき

教えていただきましたおかげでよくわかりました
どうも有難うございました。

No.8698 - 2009/11/01(Sun) 22:08:30

★ 矩形中の傾いた矩形 / あらじい

指定された矩形（Ａ）の中に傾いた矩形（Ｂ）が有るのですが、Ｂの短辺のみが与えられたとき、Ｂの長辺の最大値は、どのようにして求めたらよいでしょうか？
４０年に工学部を卒業した６２歳のじじいより、お願い致します。

No.8690 - 2009/11/01(Sun) 20:31:43

☆ Re: 矩形中の傾いた矩形 / rtz

・Aの長辺、短辺の長さ
・Aに対するBの傾きの角度
がなければ分かりません。

Bの短辺の長さのみで一般化というのは
面倒な上に長引くと思います。

No.8694 - 2009/11/01(Sun) 21:29:01

☆ Re: 矩形中の傾いた矩形 / らすかる

Bの短辺の他にAの辺しか与えられていない場合は、
どうも４次方程式を解かなければならないようですね。

No.8706 - 2009/11/02(Mon) 00:09:42

☆ Re: 矩形中の傾いた矩形 / あらじい

rtz様、ラスカル様
ご返事有難うございました。
なかなかやっかいなのですね。
ＣＡＤで適当に作図して実用値で済ませることに
致します。
どうもありがとうございました！

No.8714 - 2009/11/02(Mon) 11:20:55

★ 媒介変数表示の積分 / けん

x=2cost+cos2t
y=2sint-sin2t
(0≦t≦2π)
で表される曲線Cが囲む部分の面積を求めよ。
という問題で
t=0～2π/3までとt=2π/3～πで関数の形が変化するので
∫(-3/2から3)ydx-∫(-3/2から-1)ydxという式を立てたのですが、これをｔの積分に置換すると
∫(2π/3から0)f(t)dt-∫(2π/3からπ)f(t)dt
となり∫f(t)をF(t)とおくと
F(0)-F(2π/3)-(F(π)-F(2π/3))=F(0)-F(π)
で計算すると値がπとなり明らかおかしいのですが...
どこでおかしくなったのでしょうか？？

No.8688 - 2009/11/01(Sun) 18:33:09

☆ Re: 媒介変数表示の積分 / 雀

0≦t≦2π
なのでその答えの2倍になります。

No.8693 - 2009/11/01(Sun) 21:23:14

☆ Re: 媒介変数表示の積分 / けん

対称性から２倍するのはわかります
今まで積分の問題を経験してきて
F(0)-F(2π/3)-(F(π)-F(2π/3))=F(0)-F(π)
となるパターンは初めてで
F(0)-F(2π/3)-(F(2π/3)-F(π))=F(0)-2F(2π/3)+F(π)
となるのが普通だと思ってきたので
違和感があるんですけど

No.8697 - 2009/11/01(Sun) 21:58:06

☆ Re: 媒介変数表示の積分 / 雀

いろんな問題を解けば違和感はなくなるかと思います。

今回の問題はそのように出来るということ以外、私は分かりません。すみません。

No.8699 - 2009/11/01(Sun) 22:13:49

☆ Re: 媒介変数表示の積分 / けん

それだと結局
πから0までf(t)を積分することと同値なので変だと思ったのですが

No.8700 - 2009/11/01(Sun) 22:50:11

☆ Re: 媒介変数表示の積分 / 雀

念のためですが、f(t)のグラフは元のグラフではないです。

No.8705 - 2009/11/02(Mon) 00:06:43

★ 三次関数 / ひ-こ

はじめまして。

全くわからないので ‥^^;
良かったら教えてください。

点(a、b)から曲線y=x^3-xへ異なる3本の接線が引けるとする。このような点
(a、b)の存在する範囲を求めよ。

です。

No.8674 - 2009/11/01(Sun) 11:47:17

☆ Re: 三次関数 / rtz

どこぞで書いたものをはりつけますか(やや改良版)。
ブームなんでしょうかこの問題は。

点(t,f(t))における接線の方程式はy=f'(t)(x-t)+f(t)
これがP(a,b)を通るとすると、f'(t)(a-t)+f(t)-b=0
(これはtに関する3次方程式)

点(a,b)からy=f(x)に対し接線が3本引ける。
⇔先ほどの3次方程式f'(t)(a-t)+f(t)-b=0が3つの相異なる実数解を持つ。
(要は、それぞれ異なる3つのtが接点のx座標であり、
Pを通るので、条件を満たす接線が3本ということ)

あとは3次方程式が3つの相異なる実数解を持つ条件を考えればいいでしょう。

No.8678 - 2009/11/01(Sun) 15:20:34

☆ Re: 三次関数 / ひ

3つの解をもつ条件がわかりません。

2t^3-3at^2+a+b=0 となって
どう解いたらいいか
わかりません

No.8713 - 2009/11/02(Mon) 11:12:10

☆ Re: 三次関数 / ヨッシー

図形的に理解するなら、３次関数のグラフを図のように変曲点で
２つに分けたとき、左図の点々の部分は、青の部分に１本の接線が
引ける領域、斜線の部分は、青の部分に２本の接線が引ける領域です。
右図は赤の部分について、青と同様です。

青の部分に向けて２本、赤の部分に向けて１本引ければ接線は３本です。
赤に２本、青に１本でも同じです。

No.8751 - 2009/11/06(Fri) 11:40:22

★ 確率です / さやえんどう

確率の問題でも場合の数と同様に同じ色の玉は区別が無いものとして扱わなければならない、とならっていたのですが
私が買った問題集に
確率の問題においては
同じ色の玉や同じ数字のカードや人などの区別の有無は同様に確からしいのであれば自分の都合のいいように決めてよい。（ただしその際に分母と分子を同じ基準で考えるということを忘れないようにすること！）

とあるのですがこれは本当でしょうか？
どなたかよろしくおねがいします。

No.8657 - 2009/10/31(Sat) 14:34:09

☆ Re: 確率です / ヨッシー

本当です。
「同様に確からしいのであれば」というところがポイントで、
その条件を満たす限り、区別してもしなくても確率は同じです。

雑な例ですが、赤玉３個（ＡＢＣとします）、青玉３個（ＤＥＦとします）
がある時、
１個選んで、赤である確率
　区別あり：玉の取り方は６通り、赤は３通りなので、確率１／２
　区別なし：赤か青かの２通り、赤は１通りなので、確率１／２
これは、赤を取るのと青を取るのが同様に確からしいのでどちらも同じです。

これが、赤３個、青２個だとそうはいきません。

また、赤３個、青３個でも、２個取って、赤赤の確率
　区別あり：玉の取り方は 6Ｃ2＝15（通り）　そのうち赤赤は 3Ｃ2＝3（通り）　確率は 1/5
　区別なし：赤赤、赤青、青青の３通りのうちの1つなので確率１／３（誤り）
これは、赤赤、赤青、青青の出方が３，９，３と同様に確からしくないので、
区別なしの考え方では正しく計算できません。

上の例のように、確率は、すべて区別して扱うのが基本ですが、
「区別が無いものとして扱わなければならない」とは妙ですね。

No.8658 - 2009/10/31(Sat) 15:01:06

☆ Re: 確率です / さやえんどう

そうなんですか！とても助かりますｗ

ところで、
これは、赤赤、赤青、青青の出方が３，９，３と同様に確からしくないので、
区別なしの考え方では正しく計算できません。

とありますが、一般に、その同様に確からしいかどうかを求めるにはまず区別して数えてみるということですか？

No.8661 - 2009/10/31(Sat) 15:18:04

☆ Re: 確率です / ヨッシー

同様に確からしいことを調べるために、区別して数えるのなら、
最初から区別して確率を求めた方が早いので、区別して確率を出す
ことの方が多いと思います。

No.8667 - 2009/10/31(Sat) 18:38:35

★ お願いします / ゆり

2問あるのですが ‥ 。
お願いします。

[A]

幅1の細長いテープのすみBを、かどがテープのふちに重なるように折り返し、重なった点をB'とする。
折り目をP、Q とした時、次の問いに答えよ

1)?猶QB=θとしたとき、PQの長さをθを用いて表せ。

2)PQの最小値を求めよ

‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥

[B]
△ABCの周上を動く点Pがある。
ある時刻にPが△ABCの頂点の１つにいるとき、1秒後には他の2つの頂点のいずれかにそれぞれ確率1/2で移動している。最初、Pが頂点にいるとする。

Pがn秒後にAにいる確率を求めよ。但しnは0以上の整数とする。

No.8656 - 2009/10/31(Sat) 14:20:56

☆ Re: お願いします / ヨッシー

［Ａ］

こういうことでしょうか？
たぶん違うと思いますが（これでは解けないので）

［Ｂ］
最初、Ｐはどこにいますか？

No.8659 - 2009/10/31(Sat) 15:15:16

☆ Re: お願いします / ゆり

あ ‥ すみません。

図の方は、上の角(B'の上)のがくっつくんです。

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│　　　＼　
└────━━━━

こんな感じ ‥ と言って
伝わるでしょうか ?

すみません ‥
わかりにくくて ‥ 。

あ ‥ 、最初はAにいます

No.8664 - 2009/10/31(Sat) 17:36:55

☆ Re: お願いします / ゆり

あ ‥ すみません。

図の方は、上の角(B'の上)のがくっつくんです。

　　　　B'
A　┏━━━━━━━━
　┃／　＼
P　│　　　＼　
B　└────━━━━
　　　　　　Q

こんな感じ ‥ と言って
伝わるでしょうか ?

すみません ‥
わかりにくくて ‥ 。

あ ‥ 、最初はAにいます

No.8665 - 2009/10/31(Sat) 17:38:39

☆ Re: お願いします / ヨッシー

では、点ＰはＡＢ上（点Ａを含む）にあると限定して考えます。
θの範囲は　０＜θ≦π/4 です。

Ｂ’から、ＢＱに垂線をおろし、ＢＱとの交点をＨとします。
　ＢＱ＝Ｂ’Ｑ＝1/sin2θ
　ＰＢ＝ＰＢ’＝ＢＱtanθ＝tanθ/sin2θ
△ＰＢＱにおける三平方の定理より
　ＰＱ²＝ＢＱ²＋ＰＢ²
　　＝(1＋tan²θ)/sin²2θ
　　＝1/cos²θsin²2θ
０＜θ≦π/4 では cos²θ＞０ sin²2θ＞０であるので
　ＰＱ＝1/cosθsin2θ＝1/2(sinθ-sin³θ)
ｘ＝sinθとし、f(x)＝ｘ－ｘ³ とおくと、
　f'(x)＝１－３ｘ²
より、ｘ＝1/√3 で、f(x) は極大で、０＜θ≦π/4 に相当する
０＜ｘ≦1/√2 で最大となります。
　ＰＱ＝1/{2f(x)}
であるので、f(x) が最大の時、ＰＱは最小になり、その長さは
　1/{2f(1/√3)}＝3√3/4

No.8669 - 2009/10/31(Sat) 20:55:48

☆ Re: お願いします / ヨッシー

[B] です。
Ｐがｎ秒後にＡにいる確率をＰ_n とすると、
ｎ秒後にＢまたはＣにいる確率は、１－Ｐ_nです。
ただし、Ｐ₀＝１です。
ｎ＋１秒後には、Ｐがｎ秒後にＢまたはＣにいたときに、
その１／２の確率でＡにいるので、
　Ｐ_n+1＝(１－Ｐ_n)/2
という関係があります。変形して
　Ｐ_n+1－1/3＝(-1/2)(Ｐ_n－1/3)
Ｑ_n＝Ｐ_n－1/3 とおくと、
Ｑ_n は初項-1/3、公比-1/2 の等比数列となり、
　Ｑ_n＝(-1/3)(-1/2)^n-1
よって、
　Ｐ_n＝(-1/3)(-1/2)^n-1＋1/3

No.8670 - 2009/10/31(Sat) 21:03:28

☆ Re: お願いします / ゆり

丁寧にありがとうございます★
最初の問題の方の、
最後の最小値の求め方がよくわからないのですが ‥

No.8673 - 2009/11/01(Sun) 11:14:13

★ メネラウスの定理 / たっくん

メネラウスの定理が使えないときってあるんですか？
あるとしたら、どんな状況のときなんでしょうか？
以前、垂直が絡んだときにって聞いた気がするんですが・・・
教えてください。

No.8651 - 2009/10/31(Sat) 00:06:38

☆ Re: メネラウスの定理 / ヨッシー

三角形を直線が横切っているような状態で、その直線が
三角形のどの辺とも平行でなく、どの頂点も通らないのであれば、
いつでも使えると思います。

No.8652 - 2009/10/31(Sat) 00:11:11

☆ Re: メネラウスの定理 / たっくん

つまり、三角形のある辺と平行だったり、頂点を直線が通ると使えないということでしょうか？

No.8653 - 2009/10/31(Sat) 00:43:07

☆ Re: メネラウスの定理 / rtz

平行なら相似が使えますね。

直線が頂点→内部→対辺を通る場合は、
特別なときには各々定理が使える場合もあります。
一般的な場合なら高校での三角比までお預けです。

直線が頂点を通るだけで内部を通らないなら関係ないですね。
(もっとも、接弦定理など、ないわけではありませんが)

No.8655 - 2009/10/31(Sat) 02:33:55