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複素数と方程式 / いさみ
3次式 f(x)=x^3+px+q=0 が複素数 a+i を解に持つという。ただし、p,q,aは実数で i=√-1とする。

 f(x)=0 の a+i 以外の解を a で表せ。
です。よろしくお願い致します。

No.1253 - 2008/06/22(Sun) 22:57:44

Re: 複素数と方程式 / ヨッシー
3次関数のグラフを思い浮かべてもらうと分かりますが、
x^3 の係数が正の場合、

のように、マイナスの方から上がってきて、くねくねと曲がって、
プラスの方に去っていきます。
ですから、実数解を少なくとも1つ持ちます。それをx=αとすると、
 f(x)=(x−α)(x^2+bx+c) (b、cは実数)
と因数分解されます。f(x)=0 の解の1つが虚数になるなら、
それは、x^2+bx+c=0 の解であるので、それが
 x=a+i
であるなら、他方は x=a−i です。
よって、解と係数の関係より
 x^2+bx+c=x^2−2ax+(a^2+1)
これに、(x−α)を掛けて、
 (x−α){x^2−2ax+(a^2+1)}=x^3−(2a+α)x^2+(a^2+1+2aα)x−α(a^2+1)
ここで、f(x) のx^2 の項がないことに注目して、
 2a+α=0
よって、
 α=−2a
よって、他の解は、a−i と −2a

No.1254 - 2008/06/22(Sun) 23:07:37

Re: 複素数と方程式 / いさみ
どうもありがとうございました。
本当にわかりやすい解答を有り難うございます。

No.1256 - 2008/06/22(Sun) 23:49:55
二次方程式 / 桜 高校2
こんばんは。
よろしくお願いいたします。

二次方程式x^2+2mx+m+2=0が異なる2つの負の解を持つとき、定数mの範囲を求めよ・

という問題がわかりません。

解説を交えて教えてくださると嬉しいです。
お願いいたします。

No.1249 - 2008/06/22(Sun) 19:16:46

Re: 二次方程式 / ヨッシー
2つの解をα、βとすると、解と係数の関係より
 α+β=-2m
 αβ=m+2
α<0、β<0 α≠β であることと、
α+β<0 かつ αβ<0αβ>0 かつ D>0 であることは
同値であるので・・・(以下略)

らすかるさん、ご指摘ありがとうございます。

No.1250 - 2008/06/22(Sun) 19:19:52

Re: 二次方程式 / らすかる
αβ<0 でなく αβ>0 ですね。
No.1251 - 2008/06/22(Sun) 22:36:21

Re: 二次方程式 / らすかる
別解
f(x)=x^2+2mx+m+2=(x+m)^2-(m-2)(m+1) のグラフで
頂点が第3象限にありf(x)>0であればよいので
m>0 かつ (m-2)(m+1)>0 かつ m+2>0

No.1252 - 2008/06/22(Sun) 22:49:32
3次方程式 / 礼花 高2
xの3次式P(x)=x^3-(k+3)x^2+(3k+1)x-3(kは実数)がある。
(1)P(3)の値を求めよ。また、P(x)を因数分解せよ。
(2)3次方程式P(x)=0の値がすべて実数になるようなkの値の範囲を求めよ。また、P(x)=0の3つの解をα,β,γとするとき、α^2β^2+β^2γ^2+γ^2α^2をkを用いて表せ。
(3)3次方程式P(x)=0の3つの解α,β,γがすべて正の数であるとき、α^2β^2+β^2γ^2+γ^2α^2の最小値を求めよ。また、そのときのkの値を求めよ。

続けての投稿、失礼します。
この問題で(1)は解けたのですが、(2)からがどうしても解けません。2問もすみませんが、教えてください。よろしくお願いします。

No.1246 - 2008/06/22(Sun) 18:59:24

Re: 3次方程式 / ヨッシー
(1)
P(3)=0 なので、P(x) は(x-3) で割り切れて、
 P(x)=(x-3)(x^2-kx+1)
と因数分解出来ます。
(2)
(1) より、x^2-kx+1=0 の解が実数であればよいので、
 D=k^2−4≧0
より、k≦−2、k≧2
解の1つはx=3 であり、これをαとし、
他の2つは x^2-kx+1=0 であり、それらをβ、γとします。
解と係数の関係より
 β+γ=k、βγ=1
 β^2+γ^2=(β+γ)^2−2βγ=k^2−2
よって、
 α^2β^2+β^2γ^2+γ^2α^2=α^2(β^2+γ^2)+(βγ)^2
  =3^2(k^2−2)+1
  =9k^2−17
(3)αはすでに正なので、β、γの両方が正であればよい。
x^2-kx+1=0 の 解と係数の関係より
 β+γ=k>0 かつ βγ=1>0 かつ D=k^2−4≧0
よって、k≧2 であり、このとき、
 α^2β^2+β^2γ^2+γ^2α^2=9k^2−17
の最小値は9・22−17=19

No.1255 - 2008/06/22(Sun) 23:19:59

Re: 3次方程式 / rtz
(2)後半は、
α^2β^2+β^2γ^2+γ^2α^2
=(αβ+βγ+γα)^2−2αβγ(α+β+γ)
=(3k+1)^2−2・3・(k+3)
=9k^2−17
でもいいかと思います。

No.1257 - 2008/06/23(Mon) 01:19:48
自分の解答 / Jez-z
どこが間違っているのかわからないので、教えてください。
まず、問題を書きます。
1〜9までの自然数が書かれたカードがそれぞれ1枚ずつある。この中から1枚ずつ計n回取り出す。このとき、取り出したn枚のカードに書かれているカードの和が3の倍数である確率を求めよ。

(解答)
題意より自然数を3で割ったあまりに注目して3つに分類する。つまり、
A={3,6,9} B={2,5,8} C={1,4,7}
このとき、Aから1枚、Bから1枚、Cから1枚取り出す確率はいずれも3/9=1/3である。
また、n回後の試行後、カードに書かれている数の和が3の倍数、3で割って1余る数、3で割って2余る確率をそれぞれ
a(n),B(n),C(n)とする。( a(n)+B(n)+C(n)=1 )
ここで、n+1回後にカードに書かれている数の和が3の倍数となるには、
(1)n回目で3の倍数、n+1回目にAから1枚取り出す
(2)n回目で3で割って1余る数、n+1回目にBから1枚取り出す。
(3)n回目で3で割って2余る数、n+1回目にCから1枚取り出す。

よって
a(n+1)=1/3{a(n)+b(n)+c(n)}
=1/3{a(n)+1-a(n)}
=1/3

となり、漸化式を立てるのに失敗してしまいました。
どなたかご教授ください

No.1233 - 2008/06/22(Sun) 16:22:36

Re: 自分の解答 / ヨッシー
カードを1回1回元に戻すと解釈して良いでしょうか?

であれば、何回目でも確率は1/3 なので、
 a(n+1)=1/3(一定)
となっても、不思議ではありません。

No.1235 - 2008/06/22(Sun) 17:04:08

Re: 自分の解答 / Jez-z
だとしたら、問題として成り立ちませんよね?
元に戻さないと解釈すべきですか?

・・・これは、口頭でメモったものなのでもしかしたらそこを間違えたのかも知れません。
少なくとも、ヨッシーさんなら「元に戻さない」ととりますか?

No.1236 - 2008/06/22(Sun) 17:28:37

Re: 自分の解答 / ヨッシー
普通は、戻すか戻さないか問題に指定されているので、
それに従います。

そうでない場合は、両方解いてみて、それらしい方と
解釈するしかありませんが、この問題はどうでしょう?

No.1240 - 2008/06/22(Sun) 18:09:06

Re: 自分の解答 / Jez-z
自分の聞き間違いだと仮定して次のような問題を想定しても
「1〜nが書かれたカードがある。(元に戻すものとする)」
これでは、剰余類が使えず、問題が挫折してしまいますよね?

No.1244 - 2008/06/22(Sun) 18:49:51

Re: 自分の解答 / ヨッシー
その場合は、nが9回以下に限られるので、nの数式にならなくとも
個別に答えを出せば良い話ですね。
 n=1 のとき 1/3
 n=2 のとき 1/3
のように。

No.1245 - 2008/06/22(Sun) 18:52:11

Re: 自分の解答 / Jez-z
たぶん、出題者はnの数式になるように作りたかったのだと想像しますが、つまり、a(n+1)=定数×a(n)
の形にもちこみたかったと考えられるのですが、この問題の設定では、どこをどう変えようとも「nの数式」
にすることは不可能でしょうか…?

(数学らしくない質問の連発ですいません)

No.1247 - 2008/06/22(Sun) 19:06:51

Re: 自分の解答 / ヨッシー
nの数式にしようと思えば出来ます。
nはたかだか1から9の9個の数なので、10次式をたてれば、
作れないことはありません。

それに、どれほどの意味があるかは別です。

No.1258 - 2008/06/23(Mon) 18:45:32
(No Subject) / 匿名 高1
いつもお世話になっています。

添付した画像の通りなのですが、
y=f(x)のグラフをy=αに関して対称移動すると
なぜ(x,y)が(x,2α-y)になるのでしょうか?
2α-yがよくわからないので教えて下さい。

No.1231 - 2008/06/22(Sun) 15:39:27

Re: / 七
A(x,y) の y=a に対して対称な点の座標を
A'(x,z) とすると
線分AA'の中点はy=a上にあり,(x,a)です。
したがって
(y+z)/2=2
z=2a−y

No.1232 - 2008/06/22(Sun) 15:52:39
微分 / ai
y=x^3/x^3-1の極値、凹凸、変曲点を調べグラフをかけ。

この問題の場合、yだけでなくy'も調べなくてはいけない理由を教えてください。

No.1230 - 2008/06/22(Sun) 13:19:02

Re: 微分 / ヨッシー
y' どころか y" も調べないといけません。

y' は、関数の増減は分かりますが、凹凸は分かりません。
たとえば、
 y=x^2
のグラフのx>0 の部分と、
 y=−x^2
のグラフの x<0 の部分とでは、両方単調増加ですが、
前者は下に凸、後者は上に凸で、凹凸が違います。
これは、y”を調べないと分かりません。

No.1234 - 2008/06/22(Sun) 16:51:13
(No Subject) / zambatra
以下の問題が分からないので分かる方がいれば教えてください

ある円が台形ABCDに内接している。いま、K,L,M,Nを対角線AC,BDと円との交点とする(ただし、KはAとLの間、MはBとNの間にあるものとする)。AK・LC=16、BM・ND=9/4であるとき、円の半径を求めよ.

No.1227 - 2008/06/21(Sat) 22:08:27
ベクトルその2 / Kay(高1女子)
何度もすみません。ベクトル2題目です。
よろしくお願いします。

No.1215 - 2008/06/21(Sat) 13:07:15

Re: ベクトルその2 / 七
とりあえず
○2の式は間違っています。
ベクトルを省略すると

OP=m・3OA+n・2OB

です
OP' にも見えるのですが
OP'であるのならばP'の説明が必要です。

No.1218 - 2008/06/21(Sat) 14:11:08

Re: ベクトルその2 / 七
面積についてはあっていますから省略します。
No.1221 - 2008/06/21(Sat) 17:14:03
ベクトル / Kay(高1女子)
ファイルを添付できなかったのでもう一度投稿します。
No.1214 - 2008/06/21(Sat) 13:01:55

Re: ベクトル / 七
A,Bの位置関係がKayさんの図と逆になっていますが
α≧0,β≧0の条件がありませんから
Pの存在範囲は図の青斜線部だと思います。

No.1222 - 2008/06/21(Sat) 17:45:52

Re: ベクトル / Kay
七さんへ
御礼遅くなりすみません。ありがとうございました。

No.1419 - 2008/07/05(Sat) 06:19:00
ベクトルその1 / Kay(高1女子)
次の2題よろしくお願いします。

一応自力で解答し、答えも合っているのですが、模範解答と
途中経過が異なり、これでいいのかがよく分かりません。

客観的に第三者の目から見てどこがどうおかしいか、足りないかなどアドバイスをお願いします。

No.1213 - 2008/06/21(Sat) 12:57:54
四面体 / pon
正四面体ABCDの側面の三角形ABCの内部及び周上の動点Pから面ABDに垂線PQを下ろし、Qから面BCDに垂線QRを下ろすとき、三角形PQRの面積を最大にする点Pの位置を求めよ。

ベクトルを使おうとしたんですけど、いまいちよく分かりませんでした・・・どなたか、よろしくお願いします!!

No.1204 - 2008/06/21(Sat) 00:02:20

Re: 四面体 / ヨッシー

正四面体の1辺を6とすると、1つの正三角形の高さは3√3となります。
この正四面体を、BDが重なって見える方向から見て、
図の左のような三角形を考えると、底辺3√3 に対して、高さは
2√6 になります。

今、図の方向は、△PQRの面積が、そのまま現れる方向です。
各PQRは一定なので、PQ×QRが最大になるところを見つけます。
今、右図において、BQ:QA=(1−s):s とします。
このとき、
 QR=(1-s)2√6
 QP=(3s/2)2√6
となり、これらの積は、
 36s(1-s)
となり、s=1/2 のときに最大になります。

このとき、AP:PC=(1/2):(1/6)=3:1 より、
ACを3:1に内分する点になります。

No.1207 - 2008/06/21(Sat) 00:35:35

Re: 四面体 / pon
ありがとうございます!!!
でもQPの出し方がよく分からないんですが・・・
どうすればよいのでしょうか?

No.1209 - 2008/06/21(Sat) 02:26:30

Re: 四面体 / DANDY U
横から失礼します。
ヨッシーさんの上の左の図において、CからAB(D)への垂線の足をHとします。

すると AH=2√3 またAQ=3√3×s=3√3s
∴ AH:AQ=2√3:3√3s=2:3s
△CAH∽△PAQだから
PQ=CH×(AQ/AH)=2√6×(3s/2)

と導かれますね。

No.1210 - 2008/06/21(Sat) 10:51:52

Re: 四面体 / pon
理解できました。ありがとうございました!!
No.1223 - 2008/06/21(Sat) 18:23:47
(No Subject) / 匿名 高1
2次関数の問題でわからないものがありました。

(1)放物線y=x^2-2x-3を原点に関して対称移動したのち、
 x軸方向に平行移動したもので、点(-1,0)を通る放物線の
 方程式を求めなさい。

 原点に対して対称移動した放物線の方程式は
 あっているかわかりませんがy=-x^2-2x+3と出ました。
 これを求めたあとはどうすればいいのでしょうか?


(2)放物線y=x^2を平行移動して、2点(1,1),(2,3)を
 通るようにした放物線の方程式を求めなさい。

 これは解き方が全くわかりません。


2問よろしくお願いします。

No.1203 - 2008/06/20(Fri) 23:43:24

Re: (No Subject) / hari
対称移動まではOKです。

y = - (x + 1)^2 + 4
と変形してから
y = - (x + a)^2 + 4
軸をaとおいてx軸方向の平行移動を考えます。
(-1, 0)を通るようにaを定めればOKです。


(2)
y = x^2 + bx + cにその2点を代入すればb, cが求まります。

No.1206 - 2008/06/21(Sat) 00:28:54

Re: / 匿名 高1
お返事ありがとうございます。
解き方がよくわかりました!
あとは自分で何回も解いてみようと思います。
本当にありがとうございました★

No.1228 - 2008/06/21(Sat) 22:39:47
無限級数の証明 / 白梅
こんばんは。前回は大変お世話になりました。
また質問させて下さい。

高校3年生の問題です。

無限級数Σ(n=1から無限大)anが収束するならば、
lim(n→無限大)an=0である。
この定理の逆は成立しない事を証明せよ。

解答としては Σ(n=1から無限大)an=βとすると、
「an=Σ(K=1からn)aKーΣ(K=1からn−1まで)aK→βーβ=0(n=無限大)」
とありました。

定理の逆が成り立たないような
反例を具体的に考える事が出来ず、
上記のカギ括弧の内容がよく分かりません。
もし、他の方法で証明できるのなら、
教えていただけませんでしょうか?

よろしくお願いします。

No.1200 - 2008/06/20(Fri) 23:14:58

Re: 無限級数の証明 / らすかる
有名な反例は a[n]=1/n
No.1201 - 2008/06/20(Fri) 23:20:50

考え直してみます / 白梅
深夜にも関わらず、素早い回答本当にありがとうございます。
an=1/n、盲点でした。
自分なりにもう1度試行錯誤して考え直してみます。
ありがとうございます^^

No.1205 - 2008/06/21(Sat) 00:08:07

Re: 無限級数の証明 / 0
鉤括弧内
> a_n = Σ_[k=1,...,n]a_k - Σ_[k=1,...,n-1]a_k → β - β = 0 (as n → ∞)
は問題の前半として書かれている定理
> 無限級数 Σ_[n=1,...]a_n が収束するならば lim_[n→∞]a_n = 0 である
の証明文なので、問題の後半(定理の逆における反例)を考えても
> 上記のカギ括弧の内容がよく分かりません
の解決には繋がらないと思うのだけども。

第 n-項までの部分和 S_n を使って第 n-項を a_n = S_n - S_[n-1] と表すのはよくやるテクニックで、「級数の収束」というのが S_n → β, S_[n-1] → β であることを必要とするので、それで当該の定理が証明できるという仕組み。

No.1211 - 2008/06/21(Sat) 12:22:43

なるほど / 白梅
数列の基本をもう一度振り返ると確かに0様の
仰る通りです。ようやく問題の内容が理解できました^^

らすかる様、0様、本当にありがとうございました^^

No.1220 - 2008/06/21(Sat) 16:08:53
(No Subject) / TO

平行四辺形ABCDにおいて、対角線BDを3:4に内分する点をEとし、点Fは辺CDの延長上にあり、CD=3DFを満たし、直線AEと直線CDの交点をGとする。
ベクトルAB=ベクトルb、
ベクトルAD=ベクトルdとおく。
ベクトルAGをベクトルb、ベクトルdを用いて表せ。


この前の問題でベクトルAE、ベクトルAFは求めたんですが…。よろしくお願いしますっ!

No.1199 - 2008/06/20(Fri) 23:03:47

(No Subject) / ヨッシー

点Fは、この問題には関係ないので、省きます。
AB:DG=BE:ED=3:4
より、DG=(4/3)AB
よって、
 AGADDG+(4/3)

No.1202 - 2008/06/20(Fri) 23:34:50

Re: (No Subject) / TO
ありがとうございましたm(_ _)m
No.1208 - 2008/06/21(Sat) 02:09:50
(No Subject) / 1年 KT
平面上のある点P(x,y)をx軸について対称な点に移し、さらに30度回転させたところ、もとの点に一致した。このときのxとyはどのような関係か。
自分では、x軸に対称な点は(x,-y)それを30度回転した座標は(√3/2x+1/2y,1/2x-√3/2y) まで解きました。

高校の範囲ではないかもしれませんがよろしくお願いします。

No.1196 - 2008/06/20(Fri) 20:30:29

Re: / 七
x=√3/2x+1/2y,またはy=1/2x-√3/2y
を簡単にすればいいですね。

念のため tan15°=2−√3 です。

No.1197 - 2008/06/20(Fri) 21:16:06

Re: / KT
連日方程式を作ればよかったんですね
ありがとうございます

No.1212 - 2008/06/21(Sat) 12:34:49

Re: / 七
連立ではありませんよ。
どちらの式も
y=(2−√3)x
になります。

No.1217 - 2008/06/21(Sat) 14:00:49

Re: / KT
それからtan15゚を使うんですよね

度々ありがとうございます

No.1224 - 2008/06/21(Sat) 19:32:26

Re: / 七
使うわけではありません。
y=(2−√3)x=xtan15°
だから
あってるなと思うだけです。

No.1225 - 2008/06/21(Sat) 20:40:33

Re: / KT
おかげさまで課題が終わりそうです
どうも本当にありがとうございました

No.1226 - 2008/06/21(Sat) 20:51:25
円の方程式 / 礼花 高2
いつもお世話になります。
点(1,-3)に関して、円x^2+y^2=1と対称な円の方程式を求めよ。

この問題の解き方を教えてください。よろしくお願いします。

No.1191 - 2008/06/19(Thu) 23:37:21

Re: 円の方程式 / にょろ
少し解説しやすいように回りくどい方法でいきます。
まず点(1,-3)(以下P)を原点に持って行きます。
つまり、X=x-1,Y=y+3という座標系を作ります。
これで、点PはXY座標の原点にきました。
(x,yに代入してみてください)

x=X+1,y=Y-3なので
円は(X+1)²+(Y-3)²=1になります。
つまり中心は(-1,3)にきます。
これを、原点に対称移動させて

中心(1,-3)半径1の円が求める円です。
つまり、(X-1)²+(Y+3)²=1
これにX=x-1,Y=y+3を代入すれば終了です。

一応二つの円を…

No.1193 - 2008/06/20(Fri) 00:00:45

Re: 円の方程式 / hari
(解法1)
半径は1とわかっているから、あとは中心を求めればいい。
今回は単に基準点を二倍した(2, -6)が中心となります。

(解法2)
x2 + y2 = 1上の点を(X, Y)、対称な円上の点を(x, y)とします。
基準点は中点だから(X, Y)と(x, y)の中点は(1, -3)です。
(X + x)/2 = 1, (Y + y)/2 = -3
をX2 + Y2 = 1に代入してX, Yを消去すれば求まります。

No.1195 - 2008/06/20(Fri) 00:26:23

Re: 円の方程式 / 礼花 高2
お二方の詳しい解説のおかげさまで、理解できました♪
にょろ様、hari様、詳しく解説してくださって本当に本当にありがとうございました。

No.1238 - 2008/06/22(Sun) 18:03:08
(No Subject) / テスト間近の高一……
高一の数?Tの不等式の問題です。

?@3≦x≦a
を満たす整数xが3個あるような定数aの値の範囲をもとめよ。
答え 5≦a<6

?A家から1000?b離れた駅までいくのに,はじめ分速60?bで歩き,途中から分速80?bに速度を増した。出発してから15分以内に駅に着くためには,分速80?bで歩く道のりを何?b以上にすればよいか。

答え 400?b以上

?B花子の父の年齢は現在49歳で,花子の年齢の3倍を上まわる。しかし,1年後には花子の年齢の3倍が父の年齢を上まわるという。花子は現在何歳であるか。

答え 16歳

No.1189 - 2008/06/19(Thu) 23:35:03

Re: / テスト間近の高一……
わからないので教えて下さい。
よろしくお願いします^^

No.1190 - 2008/06/19(Thu) 23:35:57

Re: / にょろ
(1)

整数xは3,4,5より
5≦a<6

(2)
分速60?bで歩く時間をxとおくと
60(m/min)x(min)+80(m/min)y(min)=1000(m)
x+y<15(min)
で出てくるxの範囲
()内は単位(minは分)

(3)

花子の年齢をxとすると


3x<49

3(x+1)>50
(∵一年たてば花子も父親も年齢が一つあがるから)

を解く
これぐらいは自分で

No.1192 - 2008/06/19(Thu) 23:51:35

(No Subject) / ヨッシー
(1)答えの通りです。
整数xとしては3,4,5 の3つがこの範囲に含まれる状態に
すればいいことになります。
x≦a なので、aが5より少しでも小さいと、x=5 が含まれません。
a=5 だと、x=5 が含まれます。
また、6まで行ってしまうと、x=6 まで含まれるので、
aは6よりわずかでも小さい必要があります。

(2)
80m/分でxm歩き、60m/分で1000−xm歩いたとすると、
かかる時間について、
 x/80+(1000−x)/60≦15
となればいいので、これを解いて x≧400

(3)
現在の花子の年齢をx歳とすると、条件より
 3x<49
 3(x+1)>50
これを同時に満たす整数xは、16。

No.1194 - 2008/06/20(Fri) 00:02:46

Re: / テスト間近の高一……
有難う御座いました^^
No.1229 - 2008/06/21(Sat) 22:50:59
(No Subject) / 空
aは定数でa>0とする。
曲線y=ax(1-x)とx軸で囲まれる部分の面積が
曲線y=x^2で2等分されるとき、
定数aの値を求めよ。


曲線y=ax(1-x)とx軸の、
交点x=0,1
面積a/6
と求めたのですが
その後が分かりません。
よろしくお願いします。

No.1177 - 2008/06/18(Wed) 21:14:28

(No Subject) / ヨッシー
y=ax(1-x) と y=x^2 とで囲まれた部分の面積は、
y=ax(1-x)-x^2 とx軸とで囲まれた部分の面積と等しいです。
 y=-(a+1)x^2+ax
より、交点のx座標は
 x=0、a/(a+1)
これとx軸とで囲まれた部分の面積は、こちらの公式より
 S=(a+1){a/(a+1)}^3/6
これがa/12 になるので、
 a^3/{6(a+1)^2}=a/12
これを解いて、
 a=1±√2
a>0 より a=1+√2

No.1182 - 2008/06/18(Wed) 23:47:14

Re: / 空
分かりました!
ありがとうございます。

No.1188 - 2008/06/19(Thu) 18:39:04
微分 / 高3
f(x)=2x^3-3(a+1)x^2+6axの0≦x≦1における最大値最小値およびxの値を求めよ。

f'(x)=0のときx=1,a

でとまってしまいました。お願いします

No.1174 - 2008/06/18(Wed) 18:29:26

Re: 微分 / ヨッシー
まず、x=1とx=a で極値を持ちます。

aの1との大小関係によって、上のような場合があります。
(1)a≧1のとき
 f(0)が最小、f(1) が最大
(2)0<a<1のとき
 f(a) が最大、f(0)とf(1) の大きくない方が最小。
(3)a≧1のとき
 f(1)が最小、f(0) が最大
となります。

No.1175 - 2008/06/18(Wed) 20:22:06

Re: 微分 / ヨッシー
a=1 のときは、極値とはなりませんが、単調増加なので、
(1)と同様、f(0)が最小、f(1) が最大 です。

No.1176 - 2008/06/18(Wed) 20:23:24
不等式の問題です / いさみ
次の不等式の証明をせよ。またその等式の成り立つのはどのようなときか。
?@ lal-lbl≦la+bl

lal<1、lbl<1、lcl<1のとき、次の不等式を証明せよ。
?@ ab+1>a+b
?A abc+1>a+bc
?B abc+2>a+b+c

です。宜しくお願いいたします。

No.1172 - 2008/06/18(Wed) 15:33:03

Re: 不等式の問題です / ヨッシー
下の方から、
(1)ab+1>a+b において、
(左辺)−(右辺)=ab-a-b+1=(1-a)(1-b)
であり、1-a>0、1-b>0 より、
 (左辺)−(右辺)>0
となり、ab+1>a+b が成り立ちます。
(2) |bc|<1 と(1) の結果より
 a(bc)+1>a+bc
(3)
(1) より、bc+1>b+c も成り立つので、これを、
(2) の結果 abc+1>a+bc の両辺に1を足した
 abc+2>a+bc+1
に適用すると
 abc+2>a+bc+1>a+b+c

No.1173 - 2008/06/18(Wed) 16:54:32

Re: 不等式の問題です / いさみ
稚拙な質問で恐縮ですが…
lbl<1、lcl<1からlbcl<1となるのは何故ですか?
絶対値が1以下である二つの数字を掛けて1以上になる事もあると思うのですが。1/2×2/3みたいに。

No.1180 - 2008/06/18(Wed) 22:10:49

Re: 不等式の問題です / ヨッシー
絶対値が1未満である二つの数字を掛けて1以上になる事はありません。
1/2×2/3が1/3であるように。

No.1181 - 2008/06/18(Wed) 23:02:28

Re: 不等式の問題です / いさみ
確かにその通りです。すみません、足し算してました。
申し訳ないです、本当に。

No.1185 - 2008/06/19(Thu) 07:50:33

Re: 不等式の問題です / 七
一つ目
|x+y|≧0,|x|+|y|≧0
(|x|+|y|)^2−|x+y|^2
=2(|xy|−xy)≧0
よって
|x+y|≦|x|+|y|(等号は|xy|=xyのとき成り立つ)
x=a+b,y=−b を代入して
|a|≦|a+b|+|−b|
|a|≦|a+b|+|b|
|a|−|b|≦|a+b|
等号は|−b(a+b)|=−b(a+b)
|b(a+b)|=−b(a+b) のとき成り立つ。

No.1186 - 2008/06/19(Thu) 10:45:43

Re: 不等式の問題です / 七
等号の成立条件は
b(a+b)≦0

あるいはもっと詳しく

b=0
または
a+b=0
または
b>0,a+b<0
または
b<0,a+b>0

とした方がいいかもしれません。

No.1187 - 2008/06/19(Thu) 11:18:27
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