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★ 数学B 数列 3ヶ月は悩みました / おぷす
Ａ円をある年の初めに借り、その年の終わりから同額ずつn回で返済する。年利率をr(r>0)とし、１年ごとの複利法とすると、毎回の返済金額は何円であるか。

【解答】借りたA円のn年後の元利合計はA（1+r）^n 円
毎回の返済金額をx円とすると、n回分の元利合計はr＞0から
x+x（1+r）+x（1+r）^2+・・・・・・・+x（1+r）^n-1
=x｛（1+r）^n -1｝/（1+r）-1 ＝x｛（1+r）^n -1｝/r
よって、x{（1+r）^n -1}/r ＝ A（1+r）^nとすると
x=Ar（1+r）^n/（1+r）^n -1 （円）

※毎回の返済金額をx円とし、n年後の、借りたA円の元利合計と返済金額の元利合計が等しくなると考える。
また、まず
n年間まったく返済しないで, n年目にまとめて返す場合
A(1+r)^n円払わないといけません

これを基準に考えます

1年目にx円払うということは
残りn-1年でx円に掛かる筈だった利子も払うことになります
つまり, n年間で考えると
A(1+r)^nのうちの x(1+r)^(n-1)円分返したことになります
という回答を頂いたのですがいまいちよくわかりません。

もう3ヶ月以上これに悩まされています。
どんな解説をみても全く理解できません。
なんでこんな考え方するんですか？
暗記に走りかけています。
誰か教えてください。本当に・・・おねがいいたします。
No.10878 - 2010/07/18(Sun) 02:11:25
☆ Re: 数学B 数列 3ヶ月は悩みました / ヨッシー
こちらと同じような問題ですね。
この内容は、理解できるでしょうか？
No.10879 - 2010/07/18(Sun) 03:08:34
☆ Re: 数学B 数列 3ヶ月は悩みました / おぷす
すみません。やはりそちらもよくわかりません・・・
特に「１年目に銀行に預けたｘ円は、その先９年預けられるので、
返済時には、ｘ×1.05^9 円になります。」の部分が謎に近いです。
こういうのは本来なら一般常識なんですよね。
今まで本当の意味で勉強してこなかったツケがまわってきたようなきがします。
どうかヨッシーさん。私にこの問題を理解させてください。
いつでも良いのでご返事まっております。
本当にみなさんよろしくおねがいしますｍｍ
No.10880 - 2010/07/18(Sun) 03:39:07
☆ Re: 数学B 数列 3ヶ月は悩みました / ヨッシー
>「１年目に銀行に預けたｘ円は、その先９年預けられるので、
返済時には、ｘ×1.05^9 円になります。」
の部分だけについていえば、たとえば、1,000,000円を年利５％で
預けたとします。
１年後：1,000,000×0.05＝50,000 の利息が付いて 1,050,000円
　　　つまり、1,000,000×1.05 になります。
２年後： １年後の残高1,050,000円に対して、利息が付きます。
　　　1,050,000円×0.05＝52,500 の利息が付いて、1,102,500円
　　　つまり、1,000,000×1.05^2 になります。
このように、１年経つごとに、前年の1.05倍になりますので、
９年後には、元の額の 1.05^9 倍になります。
No.10881 - 2010/07/18(Sun) 03:55:06
☆ Re: 数学B 数列 3ヶ月は悩みました / おぷす
回答ありがとうございます！
やっとわかりました＞＜
が、最後にもう一つ・・・
【１年目に銀行に預けたｘ円は、その先９年預けられるので、
返済時には、ｘ×1.05^9 円になります。
２年目に銀行に預けたｘ円は、その先８年預けられるので、
返済時には、ｘ×1.05^8 円になります。
　・・・
10年目に銀行に預けたｘ円は、その日預けたばかりなので、
ｘ円のままです。
これらを足した
　ｘ(1.05^9＋1.05^8＋・・・＋1.05＋１)
が、返さずに置いておいた、100万円の10年後の元利込みの
　100万×1.05^10
に一致すればいいので、】とありますが、
これは
「１年目に銀行に預けたｘ円は、その先９年預けられるので、〜」の造作を10年目までやった金額の合計の価値（?）的なものが
一括で返済したA（1+r）^n 円と一致するということなんでしょうが、この部分がひっかかります。
最後にここだけ教えてください。お願いしますm（＿　＿）m
No.10883 - 2010/07/18(Sun) 12:03:28
☆ Re: 数学B 数列 3ヶ月は悩みました / ヨッシー
「価値」というのは、ある意味正しい理解です。
実際に、ｘ円ずつ返すときは、別途積み立てるようなことはしませんので、
毎年返していった、ｘ円の価値が増えたと考えて良いでしょう。
私の説明では、その分が目で見えるように、別途積み立てた金額と
相CENSOREDる形で説明しています。

実際、会社の経営では、「今日受け取る1000万円」と「５年後に受け取る1000万円」は価値が違うとされています。
No.10885 - 2010/07/18(Sun) 12:19:31
★ 整数問題 / 佐々木
nを自然数とする。219!は2^nで割り切れるが,2^(n＋1)では割り切れないとき,nの値を求めよ。
No.10876 - 2010/07/17(Sat) 22:52:48
☆ Re: 整数問題 / らすかる
219!=1×2×3×4×5×6×7×8×…×219
=(1)×(2)×(3)×(2×2)×(5)×(2×3)×(7)×(2×2×2)×…×(219)
のように分解して2がいくつあるか計算。
No.10877 - 2010/07/17(Sat) 23:07:52
☆ Re: 整数問題 / 佐々木
ありがとうございます。
計算してみると解がn＝213となりました。

合っているでしょうか？
No.10892 - 2010/07/18(Sun) 19:55:43
☆ Re: 整数問題 / らすかる
219÷2=109…1
109÷2=54…1
54÷2=27
27÷2=13…1
13÷2=6…1
6÷2=3
3÷2=1…1
109+54+27+13+6+3+1=213
合ってますね。
No.10894 - 2010/07/18(Sun) 20:19:39
★ 中２数学 / なお
宿題が分かりません。教えてください。

正四角すいO-ABCDがある。OB、ODの中点をそれぞれP,Qとし、A,P,Qを通る平面でこの正四角すいを切断する。
OCとの交点をRとしたとき、OR:RCを求めよ。

です。よろしくお願いします。
No.10868 - 2010/07/17(Sat) 16:19:14
☆ Re: 中２数学 / らすかる
Bが手前、Dが後ろになってBとDが重なるように横から見た図を描けば、
「二等辺三角形OACがあり、ACの中点をBとする。OBの中点をPとし、
直線APとOCとの交点をRとしたとき、OR：RCを求めよ。」
という平面上の問題になりますね。
No.10869 - 2010/07/17(Sat) 16:40:28
☆ Re: 中２数学 / ヨッシー
つまりこういうことです。


No.10870 - 2010/07/17(Sat) 16:57:12
☆ Re: 中２数学 / なお
> つまりこういうことです。

分かりました！
ありがとうございますm(__)m
No.10871 - 2010/07/17(Sat) 17:35:33
☆ Re: 中２数学 / なお
Pが中点ではなく、OP:PB=2:1のときはどうやって考えればよいですか？？
自分で解こうと思ったんですが、どうしてもできませんでした。何回もスミマセン。
No.10872 - 2010/07/17(Sat) 18:26:13
☆ Re: 中２数学 / らすかる
OP：PB=2：1 で OQ：QD=1：1 ということですよね？
その場合は、以下のように2段階に分ければ解けます。
(1) Aが手前、Cが後ろとなるような側面図を描いて、
PQとOH（Hは正方形ABCDの中心だが側面図ではA=C=H）の
交点をMとし、OM：MHを求めます。
(2) Bが手前、Dが後ろとなる側面図を描いて、
直線AMとOCとの交点をRとして同じように求めます。
No.10873 - 2010/07/17(Sat) 18:57:24
☆ Re: 中２数学 / ヨッシー
つまりこういうことです。


No.10874 - 2010/07/17(Sat) 21:40:47
★ (No Subject) / ka-mu
微分方程式の解を定数変化法を用いて求めよ
(dx/dt)+x=t

を教えてください

dx/dt+x=0の解はｘ＝Ce^(-t)までは分かっています。
よろしくお願いします。
No.10866 - 2010/07/16(Fri) 21:48:01
☆ Re: / ヨッシー
こちらなどに、詳しく書いています。

ｘ＝Ｃｅ-t　　　・・・(1)
において、Ｃがｔの関数だったとすると、ｔで微分して、
　dx/dt＝(dＣ/dt)ｅ-t−Ｃｅ-t　　・・・(2)
(1)(2) を (dx/dt)+x=t に代入して、
　(dＣ/dt)ｅ-t＝ｔ
　dＣ/dt＝ｔｅt
積分して、Ｃを求めると、
　Ｃ＝ｔｅt−ｅt＋Ｄ　（Ｄは積分定数）
(1) より、
　ｘ＝ｔ−１＋Ｃｅ-t　Ｃは積分定数（ＤをＣに置き換えました)
No.10867 - 2010/07/16(Fri) 23:30:36
★ 高2　数列 / みさ
高2 数学わかりません！＞＜。

第9項が5、第27項が17の等差数列{an}がある。
（1）anをnを用いて表せ。
a9=a+（n-1）×d=5
a27=a+（n-1）×d=17

として連立で解くのかな・・・？と思ったのですが
ここで疑問が・・
等差はどうやってもとめればいいのでしょうか；；

（2）数列｛an｝の整数の項を小さい順にならべたものを数列｛bｎ}とする。bnをnを用いて表せ。
（3）（2）のとき、nΣk=1 akbk nΣk=1 1/akbkをnを用いて表せ。

数学は一番苦手なので誰か分かる方教えてください。
おねがいします＞＜
No.10862 - 2010/07/16(Fri) 16:41:06
☆ Re: 高2　数列 / 七
> 第9項が5、第27項が17の等差数列{an}がある。
> （1）anをnを用いて表せ。
> a9=a+（n-1）×d=5
> a27=a+（n-1）×d=17

a9=a+（9-1）×d=5
a27=a+（27-1）×d=17
です。
これでaとdは出ます。
No.10863 - 2010/07/16(Fri) 16:58:55
☆ Re: 高2　数列 / みさ
回答ありがとうございます。
（１）はできました！
（２）なんですが、正直問題の意味がよくわかりません。
申し訳ないのですが、お時間があれば考え方だけでもいいので教えていただけないでしょうか＞＜
No.10864 - 2010/07/16(Fri) 17:56:20
☆ Re: 高2　数列 / スーパーカブ
（１）の結果から数列を順に書き出してみましょう。
すると分数の項やら整数の項が表れると思います。
その整数の項だけを拾っていったのをBnとしようじゃないかってことです。
No.10865 - 2010/07/16(Fri) 21:14:21
★ 因数分解 / 真癒
下の問題を教えて下さいｍ(_　_)ｍ

１、8x＾3+y＾3
２、x＾2-y＾2+2y-1
３、x＾2+aｘ-x-2a-2
４、ab-bc+b＾2-ac
５、x＾2+2x-(y-1)(y-3)
７、x^2-xy-6y＾2+3x+y+2
８、2x＾2-3xy-2y^2+5x+5y-3

です。おしえてくださいｍ(_　_)ｍ

問題数多くてすみません(汗)
No.10859 - 2010/07/15(Thu) 20:26:04
☆ Re: 因数分解 / ヨッシー
1. (2x)^3+y^3
2. x^2-(y-1)~2
3. x^2+(a-1)x-2(a+1) より 足して a-1、掛けて -2(a+1) に
　なる２数は？
4. a でくくる、残った部分も、ある数でくくる。
5. 足して 2、掛けて -(y-1)(y-3) になる２数は？
7. x^2+(3-y)x-6y^2+y+2＝x^2+(3-y)x-(3y-2)(2y+1) より
　足して 3-y、掛けて -(3y-2)(2y+1) になる２数は？
8. 2x^2+(5-3y)-2y^2+5y-3＝2x^2+(5-3y)-(2y-3)(y-1)
　あとはたすき掛け。
No.10860 - 2010/07/15(Thu) 21:37:53
☆ Re: 因数分解 / 真癒
返事遅くなってすみません。

ありがとうございました＾＾
No.11106 - 2010/08/04(Wed) 23:01:01
★ (No Subject) / 高一
No.10856の
回答ください(汗)
No.10857 - 2010/07/15(Thu) 20:03:55
★ 整数問題 / 幸一
整数問題です。

正の整数aにたいして、2^aを9で割ったときのあまりをr(a)で表す。
（1）r(3),r(6)の値をそれぞれ求めよ。
(2) 正の整数a,b,kに対して、次の(ア),(イ)が成り立つことを求めよ。
(ア）r(a)=1,r(b)=x(x=0,1,2…,8)ならばr(a+b)=x
(イ) r(a)=1ならばr(ka)=1

(3) r(2007)の値を求めよ。

という問題です。(1)は分かりますが、(2),(3)が分かりません。ご教授お願いします。
No.10848 - 2010/07/14(Wed) 21:30:35
☆ Re: 整数問題 / スーパーカブ
（２）のヒント

r(a)=1よりr^a=9m＋1などとおけますね？
同様にr(b)も式で表し
2^(a＋b)を9で割ったあまりをかんがえましょう。

(ィ)も似たような感じですが2^(ka)=(2^a)^kに注意して2項定理でも使いましょう
No.10852 - 2010/07/14(Wed) 22:34:46
☆ 訂正 / スーパーカブ
r(a)=1よりr^a=9m＋1などとおけますね？
↓
r(a)=1より2^a=9m＋1などとおけますね？
No.10861 - 2010/07/15(Thu) 22:03:47
★ (No Subject) / おのでら
図において角度αを求めろという問題です。
電卓の使用は可で、求め方をご教示してくださると大変助かります。

図はURLにあります。
No.10846 - 2010/07/14(Wed) 20:35:48
☆ (No Subject) / おのでら
図をあげなおしました。
引き続きお願いします。
No.10847 - 2010/07/14(Wed) 20:37:32
☆ Re: / らすかる
それだけの情報では角度は一意的に決まりませんので、
求めることは出来ません。
No.10849 - 2010/07/14(Wed) 22:00:17
☆ (No Subject) / おのでら
申し訳ありません。
間違った図を提示してしまいました。

問題は以下の図です。。
No.10850 - 2010/07/14(Wed) 22:29:34
☆ (No Subject) / おのでら
図です。
No.10851 - 2010/07/14(Wed) 22:31:04
☆ Re: / らすかる
もしAB⊥BC, DA//CB, EC//AB, DE//FGならば、この図はあり得ません。
もしDEとFGが平行でないならば、50がどこを測ったものかわかりません。
No.10853 - 2010/07/14(Wed) 22:52:16
☆ (No Subject) / おのでら
問題に記述はありませんでしたが、AB⊥BC, DA//CB, EC//AB, DE//FGです。
問題通りに図も記しましたので、問題の間違いでしょうか？

もしよければ、図のどのあたりがあり得ないのか教えていただけませんでしょうか？
No.10854 - 2010/07/14(Wed) 23:02:21
☆ Re: / らすかる
もし「50」がなければ図は成り立ちますが、この場合
DEとFGの幅は50より大きくなります。
もし「70」がなくても図は成り立ちますが、この場合
BGは70より大きくなります。
もし「50」と「70」が正しいとしたら、「10」「25」「126」「120」の
どれかが誤りです。
No.10855 - 2010/07/14(Wed) 23:33:43
★ (No Subject) / すーる
{sinx/（sinx+cosx)}'=１/(sinx^2+cosx^2)

{(1/2)log(a+x/a-x)}'=a/(a^2-x^2)

{arcsin(x/√（1+x^2))}'=1/(1+x^2)

∫sinx^2cosxdx=(1/3)sin^3(x)+C

∫x^2exp(-x)dx=(-x^2+2x+2)exp(-x)+C

∫√（2x+3)dx=(1/3)(2x+3)^(1/2)+C

これで合っているかどうか
誰か確認お願いします！＞＜
No.10844 - 2010/07/13(Tue) 07:57:33
☆ Re: / ヨッシー
(1) 分母がそれでは１になりますね。
(2)(3) 正解
積分は、右辺を微分してみれば、検算できるでしょう。
ちなみに、上から順に
○××
いずれも、単純なミスでしょう。
No.10845 - 2010/07/13(Tue) 07:58:28
★ (No Subject) / karu
y=(x-1)/xの積分ってどうやるか分かる人いませんか？
No.10842 - 2010/07/13(Tue) 06:26:14
☆ Re: / ToDa
y = (x-1)/x = 1 - (1/x)

で、以下略。
No.10843 - 2010/07/13(Tue) 07:42:40
★ 教えて下さい / ねるそん
　ｘ+２ｙ+３ｚ＝ｘｙｚを満たす自然数ｘ、ｙ、ｚの組を求めなさい
No.10834 - 2010/07/10(Sat) 22:24:10
☆ Re: 教えて下さい / angel
なかなか良い方法は思い浮かびませんが…

ひとまず、両辺にxをかけて整理すると、
　x^2+2xy+3xz=(xy)(xz)
　x^2+6=(xy)(xz)-3xz-2xy+6
　(xy-3)(xz-2)=x^2+6
で、y=z=1となる解がないことは簡単に調べられますから、
y≧1かつz≧2 もしくは y≧2かつz≧1
前者の場合、
　(左辺)≧(x-3)(2x-2)=2x^2-8x+6
後者の場合、
　(左辺)≧(2x-3)(x-2)=2x^2-7x+6＞2x^2-8x+6
いずれにせよ、(左辺)≧2x^2-8x+6
よって、2x^2-8x+6≦x^2+6 が必要、これを解いて 0≦x≦8
後は、x＝1〜8 に応じて (xy-3)(xz-2)=x^2+6 の解を虱潰しに調べる、でしょうか。
No.10835 - 2010/07/10(Sat) 23:40:09
☆ Re: 教えて下さい / ToDa
では、正統派ではない(？)答え方を。


まず、

X + Y + Z = XYZ/6　…　☆

をみたす自然数(X,Y,Z)の組を求める。

ここにX≦Y≦Zを仮定する。

XYZ/6 = X+Y+Z ≦ 3Z

ゆえ、XY ≦ 18 であり、X^2 ≦ XYであるから、
X^2 ≦ 18 したがってX = 1,2,3,4のいずれかに限られる。これらのそれぞれの場合を考える。

X=1のとき、☆; 1 + Y + Z = YZ/6 ∴ (Y-6)(Z-6) = 42で、Y-6,Z-6は整数なので、
(Y,Z) = (7,48),(8,27),(9,20),(12,13)を得る。

X=2,3,4の時も考えて(略)、結局、

(X,Y,Z) = (1,7,48),(1,8,27),(1,9,20),(1,12,13),(2,4,18),(2,6,8),(3,3,12),(3,4,7)
(ただし、仮定を排除するので、()内の順序は任意である)

を得る。

さて、☆において、X = x , Y = 2y , Z = 3zとすると、本来の題意に帰着されるので、(以下略)
No.10836 - 2010/07/11(Sun) 05:17:30
☆ Re: 教えて下さい / ねるそん
ありがとうございます。また質問した時はよろしくお願いします。
No.10837 - 2010/07/11(Sun) 09:30:04
★ 大１です。　位数と留数について質問させてください… / 鍵
∫[0→∞]sin^3x/x^3 dx

という問題ですが、f(z)=(3e^(iz)-e^(i3z)-2)/z^3 と置いてz=0を１位の極にして解いてました。

位数についてまだあまり理解しておらず、これが１位であることが直感でわかりません…
留数計算は、１位であることさえ分かれば何とか出来ました。

このような問題を解いていく上で、即座に位数がわかる方法があれば宜しくお願いします。
ローラン展開を利用すればいい、という記述を見つけましたが、これについてもまだ勉強が追い付いていなくて…　

宜しくお願いします!
No.10832 - 2010/07/10(Sat) 18:44:15
☆ Re: 大１です。　位数と留数について質問させてください… / のぼりん
どんなことでもそうですが、勉強せずに理解することは不可能だと思います。
畏れながら、先ずは、ローラン展開、留数、位数等の定義を確認し、関連定理等を十分理解して、それでも納得できなければ再質問された方が良いと思います。
No.10833 - 2010/07/10(Sat) 19:05:11
☆ Re: 大１です。　位数と留数について質問させてください… / 鍵
わかりました。
もう一度見返してきます。
No.10839 - 2010/07/11(Sun) 12:21:16
★ (No Subject) / a
{f(ax＋b)}´とf´(ax＋b)の違いを教えてください
No.10830 - 2010/07/10(Sat) 17:46:18
☆ Re: / 七
例えば
f(x)＝x＾2
のとき
f’(x)＝2x
ですから
f’(ax＋b)＝2(ax＋b)

f(ax＋b)＝a＾2x＾2＋2abx＋b＾2
ですから
{f(ax＋b)}’＝2a＾2x＋2ab
であろうと思います。
No.10831 - 2010/07/10(Sat) 18:22:43
★ (a_n)の規則性を調べよ。 / 御手洗景子
F(t)=(1+t)^2/(1-t^2-t^3)=Σ(n=0〜∞)(a_n)ｔ^nで(a_n)を定義する。
(a_n)の規則性を調べよ。
。

F(t)=(1+t)^2/(1-t^2-t^3)=Σ(n=0〜∞)(a_n)ｔ^nで(a_n)を定義する。
(a_n)の規則性を調べよ。
また，下記の表を作って，(ａ_ｎ)/(a_(n＋1))と「F(t)の分母=0」との関係を調べてみよ。

ｎ 　　(a_ｎ)　　 (a_(n+1)/a_n)
・ 　　　・　　　　　　 ・
・ 　　　・　　　　　　 ・
・ 　　　・　　　　　　 ・
・ 　　　・　　　　　　 ・

難しくて分からないので詳細に教えてもらえたらと思います。よろしくお願いします。
a_nの規則性は，基本だと思うのですが，分かりそうで分からないので教えてもらえませんか？
No.10828 - 2010/07/10(Sat) 17:03:15
☆ Re: (a_n)の規則性を調べよ。 / 小池イラたみ
「分かりそうで分からない」とは、どういう意味ですか？

丸投げをごまかすためなのか何なのか知らないけど、
「分かりそう」だなんて適当な嘘を言うもんじゃないよ。
なぜ嘘だと断言できるかというと、自分の手を動かして表を実際に作らない限り、規則性など分かるはずがないからです（そういう趣旨の出題です）。
No.11334 - 2010/08/26(Thu) 17:51:47
★ tanのｍ倍角の公式を作ってみよ。 / 御手洗景子
tanのｍ倍角の公式を作ってみよ。
tan(ｍθ)=(Σ_(ｊ)aｊ[tanθ]^j)/(Σ_(ｋ)bk[tanθ]^k)
ここで現れたaj，bkと2項係数との関係を調べよ。

tanの倍角は，２，３，４，５，６と求めることができたのですが，「tan(ｍθ)=(Σ_(ｊ)aｊ[tanθ]^j)/(Σ_(ｋ)bk[tanθ]^k)
ここで現れたaj，bkと2項係数との関係を調べよ。」のところが，よく分かりません。基本と思うのですが，教えてもらえませんか？
No.10827 - 2010/07/10(Sat) 17:01:43
★ tanの加法公式tan=（α＋β＋γ）=をつくれ / 御手洗景子
tanの加法公式tan=（α＋β＋γ）=をつくれ

(1)tanの加法公式tan=（α＋β＋γ）=＿＿＿＿＿をつくれ。
(2)(1)を使って，π/4=2arctan(1/3)＋arctan(1/7)を示せ。
(3)(2)にarctanのtaylor展開を適用して，πを計算せよ。下記のような表を作れ。

展開の次数　　有理数表示　　小数表示
…
…
厳密値

（１）の加法定理は作ることができたのですが（２）（３）にどう使っていったらよいのか分かりません。
教えてください。
No.10826 - 2010/07/10(Sat) 16:59:09
☆ Re: tanの加法公式tan=（α＋β＋γ）=をつくれ / パパ
（２）はα＝β＝arctan(1/3),γ＝arctan(1/7)とおいて，両辺のtanを考えれば当然左辺は１となり，右辺は（１）を用いて１となることがわかります。
（３）はテイラー展開に1/3と1/7を代入して計算して（２）の式からπの計算ができます。

といった感じでいいのではないでしょうか。
No.10841 - 2010/07/12(Mon) 22:59:30
★ 積分（高3） / tan
∫x√(2-x)dx
という問題なんですが、2-x = tとおいたときに、参考書の解答(√(2-x) = t　とおいた場合)と異なった答えが出てしまいます。どこが間違っているのか指摘していただけないでしょうか。
ルートの中身は隣に()でくくってある部分です

∫x√(2-x)dx
t = 2-x　とおく
x = 2-t
dx/dt = -1
dx = -dt
x = 2-tより
∫(t-2)*√(t)dt
=∫t^(3/2) - t^(1/2)dt
=(2/5)t^(5/2)-(2/3)t^(3/2) + c
=(2/15)(3t^(5/2) - 5t^(3/2)) + c
=(2/15)t√(t)*(3t-5) + c
ここでt = 2-xより
(2/15)(x-2)√(2-x)(3x-1) + c

が解答です
正しい答えは(3x-1)の部分が(3x+4)になっています。
宜しくお願いします。
No.10823 - 2010/07/10(Sat) 14:31:24
☆ Re: 積分（高3） / 雀
∫(t-2)*√(t)dt
=∫t^(3/2) - t^(1/2)dt

となっていますが

∫(t-2)*√(t)dt
=∫t^(3/2) - ２t^(1/2)dt
ですね。
No.10824 - 2010/07/10(Sat) 15:24:14
☆ Re: 積分（高3） / tan
あわわ、計算ミスだったなんてお恥ずかしい限りです。
どうもありがとうございました。
No.10829 - 2010/07/10(Sat) 17:37:57
★ (No Subject) / からす
ｙ’＝ｙ＾２cosx・・・?@
について考える。
１）?@の一般解を求めよ
２）初期条件ｙ（π/2)=１を満たす解を求めよ。

という問題ですが
１）はｙ＝０、ｙ＝−１/(sinx+c)
2)はｙ＝-1/(sinx+2)

で合っていますでしょうか？教えてください＞＜
No.10821 - 2010/07/10(Sat) 12:08:15
☆ Re: / 雀
(1)合っていると思います。
(2)　
y=-1/(sinx-2)
ですね。
No.10825 - 2010/07/10(Sat) 15:30:57
★ 三角関数（05弘前大学） / 文系
（１）sin5θ=16sin^5θ-20sin^3θ+5sinθを示せ。
（２）半径1の円に内接する正十角形の面積を求めよ。



というものです。分かる方教えてください。
No.10816 - 2010/07/10(Sat) 10:40:49
☆ Re: 三角関数（05弘前大学） / angel
(1)
sin5θ=sin(3θ+2θ) として、加法定理 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβを適用
その後、倍角・三倍角をそれぞれ処理
sin2θ=2sinθcosθ
cos2θ=1-2sin^2θ
sin3θ=3sinθ-4sin^3θ
cos3θ=4cos^3θ-3cosθ

最後に、cos^2θやcos^4θ=(cos^2θ)^2 が残るので、cos^2θ=1-sin^2θを使って全てsinに直す。

(2)
下の図のような三角形を考える。これは、正十角形を、外接円の中心をもとにして1/10に切り出したもの。
図にあるxは、方程式 x^2+x=1 の正の解として求められることから、この三角形の形状が分かる。
※二等辺三角形や相似の関係で、赤字の部分が分かる

そうすると、三角形の面積Sも求められる。
具体的には、S=1/2・x・√(1-(x/2)^2)
xの値を直接代入すると、二重根号が出てきて結構大変なので、両辺を平方した
S^2=1/4・x^2・(1-(x/2)^2) の形に直して整理するのが吉。
x^2+x=1 という関係があることから、x^2を消去して、xの一次式にまとめられる。

最終的に、正十角形の面積は 10S として計算できる。
No.10817 - 2010/07/10(Sat) 11:23:55
☆ Re: 三角関数（05弘前大学） / ToDa
(1)は、単に等式を示せばよいだけなので、sin5θ=sin(2θ+3θ)とでもして、地道に加法定理で展開しましょう。加法定理を使えるのであれば、実際にやってみればすぐに解けます。他にも方法はあると思いますがとりあえずこれが一番簡単だと思います。

(2)その正十角形は

の赤い三角形(中心角π/5)を10個集めたものなので、sin(π/5)の値が分かれば面積が出せるわけです。
この値を算出するために(1)の等式が誘導になっているわけですね。sin(π/5)を求めるのに都合が良くなるように(1)のθの値を調整してみましょう。

＃もっとも、この誘導に乗らなければならないという決まりはないわけで、元からsin(π/5)の値を知っていたり、他の求め方をご存じであれば誘導を無視しても構わないと思います。
No.10818 - 2010/07/10(Sat) 11:31:04
☆ Re: 三角関数（05弘前大学） / ヨッシー
こちらも参考にしてください。
No.10819 - 2010/07/10(Sat) 11:40:52
☆ Re: 三角関数（05弘前大学） / angel
ああそうか。5次方程式だけど、θ=36°とすれば実質2次方程式になるんですね。そっちの方が早いですね。
No.10820 - 2010/07/10(Sat) 11:52:21
☆ Re: 三角関数（05弘前大学） / 文系
有難うございます。
参考になります。
No.10822 - 2010/07/10(Sat) 13:44:11
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