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★ (No Subject) / ばんだ
上三角行列の行列式は対角成分の積に等しいことを示せ。が分かりません。誰か分かる人いませんでしょうか。
No.10149 - 2010/04/20(Tue) 21:58:28
☆ Re: / rtz
k×kのとき成り立つとして、
(k+1)×(k+1)について第1列で余因子展開すれば
同様に成り立つことが分かるので以下略。
No.10150 - 2010/04/21(Wed) 17:17:07
☆ Re: / ばんだ
もう少し詳しくお願いします
No.10152 - 2010/04/22(Thu) 04:34:52
☆ Re: / ヨッシー
３次の場合の余因子展開が上の式です。
これが、上三角行列だと、下のようになります。

No.10153 - 2010/04/22(Thu) 05:44:21
☆ Re: / soraria
3-3の行列式では確かにそうなりますが一般の場合を教えてほしいです。
No.10159 - 2010/04/23(Fri) 19:35:52
☆ Re: / ヨッシー
ｋ次の上三角行列をＡとします。
これに、上と左に１行１列加えて、k+1次の上三角行列Ｂにします。
このとき加えた要素を、
第１行を左から、
ｂ1,1、ｂ1,2・・・ｂ1,n+1
第１列を上から
ｂ1,1、ｂ2,1・・・ｂn+1,1
とします。ただし、
　ｂ2,1＝ｂ3,1＝・・・＝ｂn+1,1＝０
です。

Ｂのｉ行ｊ列の余因子をＢi,jとします。
特に、Ｂ1,1＝|Ａ| です。
Ｂを第１列で余因子展開すると
　|Ｂ|＝ｂ1,1Ｂ1,1＋ｂ2,1Ｂ2,1＋ｂ3,1Ｂ3,1＋・・・＋ｂn+1,1Ｂn+1,1
　　＝ｂ1,1|Ａ|＋０・Ｂ2,1＋０・Ｂ3,1＋・・・＋０・Ｂn+1,1
　　＝ｂ1,1|Ａ|
よって、|Ａ| がＡの対角成分の積であれば、|Ｂ|はＢの
対角成分の積となります。
No.10161 - 2010/04/23(Fri) 21:06:33
★ 大学の数学?T / ぽんた
次の問題なのですが、どうやってとけばいいのかわかりません。よろしくおねがいします。

実数xに対し、|x|=max{a,-a}と定める。R（実数）の元a,bに対して次の(1)〜（４）が成り立つことを確認せよ。
（１）|a|≧0. |a|=o⇔a=0
（２）|a+b|≦|a|+|b|
（３）|ab|=|a||b|
（４）||a|-|b||≦|a-b|
No.10145 - 2010/04/18(Sun) 11:35:13
☆ Re: 大学の数学?T / ヨッシー
|x|＝ｘ　(ｘ＞０)
　　０　（ｘ＝０）
　　−ｘ（ｘ＜０）
と、定義し直しましょう。時には、
|x|＝ｘ　(ｘ≧０)
　　−ｘ（ｘ＜０）
も使います。

(1)
ａ≧０ のとき、|a|＝ａ≧０
ａ＜０ のとき、|a|＝−ａ＞０　より　|ａ|≧０
ａ＝０ のとき、|ａ|＝０
ａ＞０ のとき、|ａ|＝ａ≠０
ａ＜０ のとき、|ａ|＝−ａ≠０
以上より、|a|＝０⇔ａ＝０
(2)
ａ≧０　かつ　ｂ≧０ のとき　ａ＋ｂ≧０　より
　|ａ＋ｂ|＝ａ＋ｂ、|ａ|＝ａ、|ｂ|＝ｂ　より
　|ａ＋ｂ|＝|ａ|＋|ｂ|
ａ≧０　かつ　ｂ＜０ かつ　ａ＋ｂ≧０　のとき
　|ａ＋ｂ|＝ａ＋ｂ、|ａ|＝ａ、|ｂ|＝−ｂ　より
　|ａ＋ｂ|＝|ａ|＋|ｂ|＋２ｂ＜|ａ|＋|ｂ|
ａ≧０　かつ　ｂ＜０ かつ　ａ＋ｂ＜０　のとき
　|ａ＋ｂ|＝−ａ−ｂ、|ａ|＝ａ、|ｂ|＝−ｂ　より
　|ａ＋ｂ|＝|ａ|＋|ｂ|−２ａ≦|ａ|＋|ｂ|
ａ＜０　かつ　ｂ≧０ の時も同様。
ａ＜０　かつ　ｂ＜０　のとき　ａ＋ｂ＜０　より
　|ａ＋ｂ|＝−ａ−ｂ、|ａ|＝−ａ、|ｂ|＝−ｂ　より
　|ａ＋ｂ|＝|ａ|＋|ｂ|
以上より、|ａ＋ｂ|≦|ａ|＋|ｂ|
等号成立は、ａ、ｂが同符号か、少なくとも一方が０のとき。
(3)
ａ，ｂの少なくとも一方が０の時は明らかに成り立つ。
ａ＞０　かつ　ｂ＞０　のとき
　|ａｂ|＝ａｂ、|ａ|＝ａ、|ｂ|＝ｂ　より
　|ａｂ|＝|ａ||ｂ|
ａ＞０　かつ　ｂ＜０　のとき
　|ａｂ|＝−ａｂ、|ａ|＝ａ、|ｂ|＝−ｂ　より
　|ａｂ|＝|ａ||ｂ|
ａ＜０　かつ　ｂ＞０　のとき
　|ａｂ|＝−ａｂ、|ａ|＝−ａ、|ｂ|＝ｂ　より
　|ａｂ|＝|ａ||ｂ|
ａ＜０　かつ　ｂ＜０　のとき
　|ａｂ|＝ａｂ、|ａ|＝−ａ、|ｂ|＝−ｂ　より
　|ａｂ|＝|ａ||ｂ|
(4)
　０≦|ａ|≦|ｂ| より　|ａ|≦|ｂ| と ａ^2≦ｂ^2 は同値であるので、
　(|ａ|−|ｂ|)^2≦(ａ−ｂ)^2
を示します。
　(右辺)−(左辺)＝(ａ^2−２ａｂ＋ｂ^2)−(|a|^2−2|a||b|＋|b|^2)
|a|^2＝ａ^2 であるので、
　(右辺)−(左辺)＝２|a||b|−２ａｂ＝２(|ａｂ|−ａｂ)
|a|≧ａ であるので、
　(右辺)−(左辺)≧０
よって、
　(|ａ|−|ｂ|)^2≦(ａ−ｂ)^2
であり、
　||a|−|b||≦|a−b|
等号は、ａ，ｂが同符号の時。
No.10146 - 2010/04/18(Sun) 16:47:15
☆ Re: 大学の数学?T / ぽんた
丁寧な解説ありがとうございました。
とてもわかりやすかったです！
No.10162 - 2010/04/23(Fri) 23:09:42
★ (No Subject) / きら☆　高1
高校数学 2次関数と2次不等式の応用

f（x）＝-2x^2＋12x-16とおくとき
（1）f（x）の最大値とそのときのxの値を求めよ。
答え、2 x=3

（2）不等式｛f（x）｝^2 -4f（x）＜0の解（xの値の範囲）を求めよ。
解説には、
「｛f（x）｝^2 -4f（x）＜0
⇔f（x）{ｆ（x）-4｝＜0
0ここで、f（x）=-2x^2＋12x-16
＝-2（x-2）（x-4）
より、このグラフとx軸との交点の座標は（2,0）、（4,0）
よって求めるxの値の範囲は2<x<4」
とあるのですが、?@を求めた理由がわかりません？
f（x）はグラフでいうy座標にこの問題ではあたっていますよね？
それが0<f（x）<4っていうことはf（x）の取り得る値ってのは整数だけでみると1.2,3しかないじゃないですか。
なのに、なぜ答えではこのグラフとx軸との交点の座標は（2,0）、（4,0）とf（x）=0が含まれているのでしょうか？
また、グラフとx軸の交点の座標は-2（x-2）（x-4）という形にすることによって求めることができるのでしょうか？
なんだかよくわかりません・・・（〜。〜：：）

（3）方程式-｛f（x）｝＋af（x）-a＋6=0
が異なる3個の実数解をもつような定数aの値とそのときの実数解を求めよ。

解答には
「（1）の結果より、f（x）が
f（x）>2をみたすとき、xは0個
f（x）=2をみたすとき、xは1個
f（x）<2をみたすとき、xは2個」
とあるのですが
なぜそうなるかわかりません。
なんで（1）の結果が利用できるのでしょうか？
本当にわかりません・・・

誰か分かりやすく教えてください。
お願いしますm（_ _）m
No.10142 - 2010/04/17(Sat) 13:10:47
☆ Re: / ヨッシー
(2)
f（x）{ｆ（x）-4｝＜0　より
　０＜f(x)＜４
ですが、(1) より f(x)≦２ は確定なので、
　０＜f(x)
を満たすｘの範囲を求めればいいことになります。
その解が、２＜ｘ＜４　です。
ｘ＝２　や　ｘ＝４ は含まれていないので、f(x)＝0 には
なりません。


図は、y=f(x) のグラフですが、f(x)＝０ の解と、
ｘ軸との交点が一致するのは、見ての通りです。
ｘ軸というのは、ｙ＝０ ですから、これと、ｙ＝f(x)を
連立させたものが、f(x)＝０ であり、その解が両グラフ
（y=f(x) と ｙ＝０）の交点になることは、自然なことです。

(3)は
　-｛f（x）｝^2＋af（x）-a＋6=0
でしょう。

(1) より f(x)≦2 であり、グラフは、

このようになるので、
f(x)＞２ （ａの場合）となるようなｘは存在しない
f(x)＝２ （ｂの場合) となるようなｘはｘ＝３ の１個
f(x)＜２ （ｃの場合) となるようなｘはα、βの２個
それぞれ存在します。

よって、　-｛f（x）｝^2＋af（x）-a＋6=0　がf(x) について、
異なる２つの解を持って、片方がf(x)＝２ 他方がf(x)＜２
であれば、ｘとしての解は３つになります。
No.10143 - 2010/04/18(Sun) 06:26:21
★ 中学入試の問題らしいのですが… / マオ
１つ答えは出てきたような気がしたのですが、答えが複数あるのか、何なのか、いったいどういう問題なのかよくわからなくなってしまったので、教えてください。問題１は解けました。おそらく35?pだと思います。問題２は、アは３倍、イは４倍、ウは26?pになりました。ですが、他にもいっぱい出てくるような気がします。これは規則性があるのでしょうか？合っているかどうかも自信がありません。

問題１　プール１には７?pの水が入っていて、プール２には水が入っていません。それぞれのじゃ口から、最初に調べたときの水の量で、同時に水を入れ始めます。時間がたってから、二つのプールの水の深さを測ってみると同じになりました。このときの水の深さは何?pですか。

問題２　それぞれのプールに二つのじゃ
No.10137 - 2010/04/15(Thu) 19:57:20
☆ 中学入試の問題らしいのですが… / マオ
すみません。途中で切れてしまいました。
問題２　それぞれのプールに二つのじゃ口ＡとＢで水を入れます。それぞれのじゃ口から出る水の量を下に書かれているようにするとき、ア、イ、ウにあてはまる整数を書きなさい。ただし、水の深さはプールの深さ50?pをこえないものとします。

　プール１は、７?pの水が入っている状態から、じゃ口Ａから出る水の量は変えずに、じゃ口Ｂから出る水の量を最初のア倍にして水を入れます。
　プール２は、水のない状態から、じゃ口Ａから出る水の量を最初のイ倍にして、じゃ口Ｂから出る水の量を最初の２倍にして水を入れます。
　同時に水を入れ始め、時間がたってから二つのプールの水の深さを測ってみると、ウ?pのときに同じになりました。
No.10138 - 2010/04/15(Thu) 20:06:17
☆ Re: 中学入試の問題らしいのですが… / Kurdt（かーと）
こんばんは。

問題1はそれでいいですね。

問題2
水の深さが同じになればいいので、
プール1とプール2のだぶっている部分を簡単にします。

じゃ口Bはプール2に水を入れないと考えるかわりに、
プール1に水を ア-2 倍入れていると考えてあげます。
また、この ア-2 を エ としておきます。

じゃ口Aはプール1に水を入れないと考えるかわりに、
プール2に水を イ-1 倍入れていると考えてあげます。
また、この イ-1 を オ としておきます。

すると、問題は次のように簡単になります。
プール1：7cm+5×[エ]
プール2：4×[オ]
（[エ]と[オ]は比を表しています）

プール1のほうは 7,12,17,22,・・・ と1の位が7か2になります。
プール2は1の位が偶数にしかならないので、
1の位が2になるとうまく行くことがわかります。

すると、[オ] は 3,8,13,18・・・ となり、
[エ] は 1,5,9,13,・・・ となることがわかります。

あとは ウ が50cmをこえないようにすればいいですね。
No.10139 - 2010/04/15(Thu) 21:54:51
☆ Re: 中学入試の問題らしいのですが… / Kurdt（かーと）
問題2はこの説明だけだと十分でないかもしれませんね。
よりくわしく調べると答えは8つあるようです。
26,19,14,13 と 46,39,34,33 になりますね。

[エ]と[オ]の比は上に書いた 1：3 と 5：8 が使えます。
それ以上は50cmをこえてしまうのでダメなようです。

とりあえず簡単に考えるために、
じゃ口Aは1分で4cm、Bは1分で5cmの高さになるとします。

さて、上に書いたのはあくまで エ と オ の比でした。
なので、この比さえ守ればどこかでうまくいきます。
まずは エ：オ=1：3 のときを考えてあげます。

プール2の水の高さをもう少しくわしく見ます。
すると 4×オ×(分)+14×(分) になることがわかります。
そこで エ=1 、オ=3 とすると、線分図などを利用して (分)=1 がわかります。
すると水の高さは 4×3+14=26 cm となります。

さらに エ=2 、オ=6 とするとどうでしょう。
このときは (分)=1/2 となって、水の高さは 19cm になります。
エとオを2倍すると (分) は逆に 1/2倍になるわけです。

さて、水の高さが整数になるには 14×(分) が整数にならないといけません。
それを考えるとエとオは1倍、2倍、7倍、14倍の4つが使えます。
ちなみに 4×オ×(分) の部分はエとオの比が同じなら
何倍しても数字は変わりません。
（オが7倍されると、(分) が1/7になり、結果として同じになります）
なので、14×(分) のところだけが変わります。

まとめると次のようになります。
エ：オ=1：3 のとき

エ=1 , オ=3　→　高さ 12+14=26cm
エ=1×2 , オ=3×2　→　高さ 12+7=19cm
エ=1×7 , オ=3×7　→　高さ 12+2=14cm
エ=1×14 , オ=3×14　→　高さ 12+1=13cm
（エとオは最後にアとイに直しておきましょう）

エ：オ=5：8 のときも同じようにできます。
エ=5 , オ=8　→　高さ 32+14=46cm
エ=5×2 , オ=8×2　→　高さ 32+7=39cm
エ=5×7 , オ=8×7　→　高さ 32+2=34cm
エ=5×14 , オ=8×14　→　高さ 32+1=33cm

おそらくこれで全部ではないかと思います。
No.10141 - 2010/04/16(Fri) 10:10:53
☆ Re: 中学入試の問題らしいのですが… / マオ
かーとさん、ありがとうございます。何だかとても難しくて、考えこんでしまいました。が、意味はわかりました。私は２つしか答えが出せなかったのですが、確かに他のもあてはまりますね。もう一度よく考えてみたいと思います。
No.10147 - 2010/04/18(Sun) 22:48:09
☆ Re: 中学入試の問題らしいのですが… / Kurdt（かーと）
おはようございます。

プール1：7cm+5×[エ]
プール2：4×[オ]

この部分をもう少しくわしく説明してみますね。
ここが誤解をまねきやすい説明になっていたようです。

プール2 は1分で 4×オ [cm] の高さになります。
なので、□ [分]だけ水を入れたときの高さは 4×オ×□ になります。
プール1 も同じように考えると 7cm+5×エ×□ になります。

プール1：7cm+5×エ×□
プール2：4×オ×□

すなわち、[エ] というのは エ×□[分] のことで、
[オ] というのは オ×□[分] のことなわけですね。

そして、エ×□ と オ×□ が
　[エ]=エ×□=1　,　[オ]=オ×□=3 と
　[エ]=エ×□=5　,　[オ]=オ×□=8
のときに高さが同じになるということでしたね。

そこで エ×□=1 , [オ]=オ×□=3 について考えました。
エ=1 , オ=3 なら □=1 とすれば上手くいきます。
エ=1×2 , オ=3×2 なら □=1/2 とすれば上手くいきます。
エ=1×3 , オ=3×3 なら □=1/3 と・・・
というふうに、答えはいくらでも考えられます。

でも、プールの高さをよく見るとそこまでうまくはいきません。
プール1 もプール2 の高さも本当は 14cm×□ がつくからです。

プール1：7cm+5×エ×□ +14×□
プール2：4×オ×□ +14×□

青い部分が同じ整数になるだけなら エ=1×5 , オ=1×5 でも、
エ=1×190 , オ=1×190 でも □ を 1/5 や 1/190 にすれば上手くいきます。
でも、そうすると赤い部分が整数にならないときが出るので、
ウ の部分が整数になってくれないのですよね。

そこで、赤い部分が整数になるためには
　□ = 1 , 1/2 , 1/7 , 1/14
のどれかにしてあげないといけないわけです。

すなわち、次の両方を満たしてあげないといけないのですね。
　エ×□=1 , オ×□=3
　□ = 1 , 1/2 , 1/7 , 1/14 のどれか

すると、答えは次の4つになるわけです。
□=1 のとき エ=1 , オ=3
□=1/2 のとき エ=1×2 , オ=3×2
□=1/7 のとき エ=1×7 , オ=3×7
□=1/14 のとき エ=1×14 , オ=3×14

これは [エ]=エ×□=5　,　[オ]=オ×□=8 でも同じなので、
答えは全部で8種類ということになります。
No.10148 - 2010/04/19(Mon) 06:05:12
★ 中学入試の速さの問題 / まりな
次の問題を途中まで考えてみたのですが…途中でわからなくなってしまったので教えてください。お願いします。

Ａ町から、峠をこえてＢ町へ向かう坂道があります。ともひろ君は、上り坂は時速２?q、　下り坂は時速６?qの速さで歩きます。ともひろ君がＡ町からＢ町へ行くのに２時間20分、Ｂ町からＡ町へ帰るのに３時間かかります。ただし、と中で休息したり止まったりしないものとします。次の❶〜❺に、あてはまる数を入れなさい。

ともひろ君が１?q歩くのにかかる時間は、登り坂のほうが下り坂より❶分よけいにかかるので、峠からＡ町までの道のりは、峠からＢ町までの道のりより❷?q短いことが分かります。また、ともひろ君がＡ町からＢ町まで往復したとき、平均すると時速❹?qで歩いたことになります。したがって、Ａ町からＢ町までの片道の道のりは❸?qあります。以上のことから、峠からＡ町までの道のりは❺?qです。

❶　１?qの坂道を上るのにかかる時間は、60÷２＝30(分)
　　１?qの坂道を下るのにかかる時間は、60÷６＝10(分)
　　よって、上り坂のほうが下り坂より、１?qあたり、30−10＝20(分)よけいにかかる。

❷以降がよくわからないのです。１?q往復するのにかかる時間は、30＋10＝40(分)　１往復するのに、５時間20分かかっているので、Ａ町からＢ町までの道のりは、320÷40＝８(?q）と、突然❹が出てしまうのですが、❷と❸の出し方がよくわかりません。ちなみに、❺は、❹があっていれば、(８−❷)÷２で出てくるような気はするのですが…。
No.10132 - 2010/04/14(Wed) 18:56:19
☆ Re: 中学入試の速さの問題 / Kurdt（かーと）
おはようございます（*ﾟーﾟ）

?@はそれでいいですね。

?Aはまず峠がAとBのまん中にあると考えてみます。
このときはもちろん行きも帰りもかかる時間は同じです。

ここで峠をまん中からAに1kmだけ近づけてみます。
すると行きはその1km分が下りになり、帰りは上りになります。
すなわち、?@で出したように 20分 だけ帰りの時間が長くなります。

実際は行きよりも帰りが40分長くなっています。
なので、40÷20=2 (km) だけ峠はまん中よりもAに近い場所にあります。

次に平均の時速を考えます。
行きと帰りを合わせて考えると往復全体としては、
上りの距離も下りの距離も結局は同じになります。

なので、平均の時速は 1km上って1km下るときの平均の時速と同じです。
このときにかかる時間は 40分で、歩いた距離は2kmなので時速は 3km になります。

そして平均時速3kmで往復に320分かかったので、
往復の距離は 320×(1/20)=16(km) で、片道は 8km です。

?D についてはまりなさんの考え方でいいですね。
No.10134 - 2010/04/15(Thu) 05:54:03
☆ Re: 中学入試の速さの問題 / ヨッシー
問題文の(3)と(4)が逆ですね。


行きの上り坂は帰りには下りになり、行きの下り坂は帰りは上りになります。
峠が、ＡＢのちょうど真ん中にあれば、行きも帰りも同じ時間ですが、
峠からＢまでの方が長いので、その分帰りに時間がかかります。
その長さは、40分余計に時間がかかるだけの距離ですから、
　40÷20＝2(km)　・・・(2)の答え

(3)では、平均の速さを聞いているので、
　1km往復＝2km 進むのに40分かかるので、
　平均　2÷40×60＝3(km) ・・・(3)の答え

(4)は、上の方法でも良いですし、(3)を使って、
　往復320分×3÷60＝16(km) ・・・往復の距離
　片道は8km
としても出ます。

(5) の出し方は上の通りで良いです。
No.10135 - 2010/04/15(Thu) 06:05:45
☆ Re: 中学入試の速さの問題 / まりな
かーとさん、ヨッシ―さん、ありがとうございます。大変よくわかりました。問題の番号は間違えました。すみません。図も書いていただいたので、すごくイメージしやすかったです。
No.10136 - 2010/04/15(Thu) 19:01:39
★ 教えてください?ｫ / 浪人生
数列a[1],a[2],a[3],a[4],……,a[k],……を次のように,第n群が2^(n-1)個の項を含むように分ける。

(問)a[k]=1/k^2のとき,第1群から第n群までのすべての項の和は2を超えないことを示せ。

第n群の初項はa[2^(n-1)]、末項はa[2^n-1]と求めたのですがこれを使うのでしょうか？
No.10126 - 2010/04/12(Mon) 20:49:20
☆ Re: 教えてください?ｫ / のぼりん
こんばんは。
　　　１/１＋１/２２＋…＋１/ｎ２＜１＋∫１ｎ ｄｘ/ｘ２＝１−〔１/ｘ〕１ｎ＝２−１/ｎ＜２
です。
No.10128 - 2010/04/12(Mon) 21:11:50
☆ Re: 教えてください?ｫ / 浪人生
数列の末項がどうして1/n^2となるんですか？?ｫ
No.10129 - 2010/04/12(Mon) 23:14:47
☆ Re: 教えてください?ｫ / のぼりん
No.10128 の ｎ は、第 ｎ 群の ｎ ではなく、任意の ｎ という意味です。
与えられた数列の項を幾ら多く足し合わせても ２ より小さいのだから、第 １ 群から第 ｎ 群までのすべての項を足したところで、２ 未満です。
No.10130 - 2010/04/12(Mon) 23:57:53
☆ Re: 教えてください?ｫ / 浪人生
分かりました！

ありがとうございます.
No.10131 - 2010/04/13(Tue) 08:24:30
☆ Re: 教えてください?ｫ / らすかる
1/1+1/2^2+1/3^2+…+1/n^2
＜1+1/(1・2)+1/(2・3)+…+1/{(n-1)n}
=1+(1/1-1/2)+(1/2-1/3)+…+{1/(n-1)-1/n}
=2-1/n
＜2
という方法もありますね。
No.10133 - 2010/04/14(Wed) 22:24:32
★ 個数の / 囲碁
ｎ桁の自然数のうち、ちょうど２種類の数字から成り立っているものの個数を求めよ。ただし、ｎは２以上とする。

どうか教えて下さい。
No.10124 - 2010/04/12(Mon) 12:36:55
☆ Re: 個数の / rtz
つ http://www3.rocketbbs.com/603/bbs.cgi?id=aoki&mode=res&resto=11538
No.10125 - 2010/04/12(Mon) 18:21:06
★ 二次関数の最大・最小問題 / チェルシー
この問題をお願いします。
２変数x、yが0≦x≦y≦3をみたしながら変わる時、
Z＝3x^2-2xy-8x+2y+1の最大値、最小値を求めよ。
No.10123 - 2010/04/10(Sat) 11:36:08
☆ Re: 二次関数の最大・最小問題 / のぼりん
こんばんは。 ｘ を ０≦ｘ≦３ の範囲で固定します。
　　　Ｚ＝３ｘ２−２ｘｙ−８ｘ＋２ｙ＋１＝２（１−ｘ）ｙ＋３ｘ２−８ｘ＋１
を ｙ の（一次）関数と見ると、ｘ≦ｙ≦３ の範囲で値域 Ｒ（ｘ） は閉区間です。
　　　ｆ（ｘ）＝２（１−ｘ）ｘ＋３ｘ２−８ｘ＋１＝ｘ２−６ｘ＋１＝（ｘ−３）２−８
　　　ｇ（ｘ）＝２（１−ｘ）３＋３ｘ２−８ｘ＋１＝３ｘ２−１４ｘ＋７＝３（ｘ−７/３）２−２８/３
とおくと、０≦ｘ≦１ のとき、Ｒ（ｘ）＝〔ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）〕、１≦ｘ≦３ のとき、Ｒ（ｘ）＝〔ｇ（ｘ），ｆ（ｘ）〕 です。 ０≦ｘ≦１ のとき、ｆ（ｘ） の最小値は ｆ（１）＝−４、ｇ（ｘ） の最大値は ｇ（０）＝７ です。 １≦ｘ≦３ のとき、ｇ（ｘ） の最小値は ｇ（７/３）＝−２８/３、ｆ（ｘ） の最大値は ｆ（１）＝−４ です。 よって、Ｚ の値域は、閉区間 〔−２８/３，７〕 です。
No.10127 - 2010/04/12(Mon) 21:03:47
☆ Re: 二次関数の最大・最小問題 / チェルシー
のぼりんさん、丁寧なご回答ありがとうございました★
おバカな私でも、すごくわかりやすい解答でした♪（*^_^*）
No.10140 - 2010/04/16(Fri) 08:41:27
★ 漸近線 / 九医脂肪
はじめまして。
大学受験数学の数?Vの問題からです。
ある問題集をやっていて、その解説が分かりません。
具体的なことは画像にあります。宜しくお願いします。
No.10116 - 2010/04/06(Tue) 11:35:48
☆ Re: 漸近線 / 豆
x＜0の場合を考えてください
No.10117 - 2010/04/06(Tue) 15:08:53
☆ Asymptote / 九医脂肪
I have already thought of the case when x is less than 0, but I couldn't really understand it. However, looking at the formula carefully again, I realized that I should think of whether x is more than 0 or not. Thanks a lot! Oops, you are Japanese... OK, you can just read here. ありがとうございました。
No.10119 - 2010/04/06(Tue) 23:12:20
★ 質問 / ひみこ
簡単な問題なのでしょうが、答えをお聞きしたいです。

10%の食塩水と、30%の食塩水を混ぜて 15%の食塩水を300g作る時、
10%の食塩水は何g必要ですか？

という問いなのですが、求めたい量をＸとして、
1/10Ｘ + 3/10(300-Ｘ) ＝ 300×(←掛)0.15＝45
1/10Ｘ + 90 - 3/10Ｘ ＝ 45
-2/10(-1/5)Ｘ ＝ -45
Ｘ ＝ 45 × 5 ＝ 225
よって10%食塩水は225g

と、導きだしたのですが、適当に出したものなので 自身はありません・・。
合ってますでしょうか？
No.10111 - 2010/04/05(Mon) 20:50:48
☆ Re: 質問 / X
それで問題ないと思います。
No.10112 - 2010/04/05(Mon) 23:27:57
☆ Re: 質問 / ひみこ
ありがとうございました。

安心致しました。
No.10121 - 2010/04/08(Thu) 10:02:51
★ (No Subject) / 木村
問題は以下です

円に内接する四角形ABCDがあり、直線ADと直線BCの交点をFとする。また、△ABFと直線ACの交点をG,△DBFの外接円と直線DCとの交点をHとするとき、(?@)4点A,D,G,Hは同一円周上にあること、(?A)3点F,G,Hは同一直線上にあることをそれぞれ証明せよ。

(?@)は∠DACと∠FAGが共通なことと円周角の定理を使って∠DAG=∠DHGを示し証明できました。
(?A)についてはそもそもどのようにして証明するのかも分かりません。


説明お願いします
No.10108 - 2010/04/05(Mon) 20:20:27
☆ Re: / 木村
済みません
高校数学平面図形の問題です
No.10109 - 2010/04/05(Mon) 20:23:09
☆ Re: / tk
(?A)
(?@)と円周角の定理より、
∠DHG=∠DAG=∠DBF=∠DHF
よって、∠DHG=∠DHF　であるから3点F,G,Hは同一直線上にある

でどうでしょう
No.10113 - 2010/04/06(Tue) 06:26:37
☆ Re: / 木村
自力で解決できました。
気付けば何でもないことでした・・・

弧AFに対する円周角なので∠ABF=∠AGF
弧AHに対する円周角なので∠ADH=∠AGH
四角形ABCDは円に内接するので∠ABC+∠ADC=180°⇔∠ABF+ADH=180°
よって∠AGH+∠AGF=180°なので、点Gは線分HF上にある。
したがって3点F,G,Hは同一直線上にある。
No.10115 - 2010/04/06(Tue) 09:54:46
★ ２次方程式 / 狗羽


２次方程式の問題がわかりません

aを定数とするとき次の二次不等式を解け
x^2＋（a＋2）x＋2a=0
No.10107 - 2010/04/05(Mon) 18:51:09
☆ Re: ２次方程式 / 木村
方程式のx^2の係数をa,xの係数をb,定数をcとおき、
解の公式 x={-b±√(b^2-4ac)}/2a に代入します。
x=[{-(a+2) ± √{(a+2)^2-4(a+2)*1}] / 2
No.10110 - 2010/04/05(Mon) 20:34:14
☆ Re: ２次方程式 / 七
x^2＋（a＋2）x＋2a=0
ならば
(x＋a)(x＋2)＝0
x＝−a,−2

x^2＋（a＋2）x＋2a＞0
ならば
(x＋a)(x＋2)＞0
−a＞−2,つまりa＜2のときx＜−2,−a＜x
−a＝−2,つまりa＝2のときxは−2以外のすべての実数
−a＜−2,つまりa＞2のときx＜−a,−2＜x

x^2＋（a＋2）x＋2a≧0
ならば
(x＋a)(x＋2)≧0
−a＞−2,つまりa＜2のときx≦−2,−a≦x
−a＝−2,つまりa＝2のときxはすべての実数
−a＜−2,つまりa＞2のときx≦−a,−2≦x

x^2＋（a＋2）x＋2a＜0
ならば
(x＋a)(x＋2)＜0
−a＞−2,つまりa＜2のとき−2＜x＜−a
−a＝−2,つまりa＝2のとき解なし
−a＜−2,つまりa＞2のとき−a＜x＜−2

x^2＋（a＋2）x＋2a≦0
ならば
(x＋a)(x＋2)≦0
−a＞−2,つまりa＜2のとき−2≦x≦−a
−a＝−2,つまりa＝2のときx＝−2
−a＜−2,つまりa＞2のとき−a≦x≦−2
No.10114 - 2010/04/06(Tue) 08:04:26
★ 高校平面図形 / 庄之介
下の問題が分かりません。
(1)は理解できます
(2)について教えてください
よろしくお願いします


原点をOとするxy平面上にOA=3,OB=2の△OABがあり、Aはx軸の正の部分、Bは第一象限内におかれていて、∠OAB=θとする。

(1)(?@)辺ABの長さ、(?A)△OABの面積、(?B)△OABの外接円の半径をsinθやcosθを含む式で表せ。

(2)△OABをOの周りに回転し、点Bがy軸の正の部分にくるようにしたとき、A,Bが移った点をそれぞれA',B'とする。点Cを四角形BCA'B'が平行四辺形になるようにとる。
このとき、(?@)∠ABC,(?A)△ABCの面積Sをθの式で表せ。(ABの延長とA'B'との交点Dを考えろとのヒントがあります。)
また、0°≦θ≦90°の範囲でθが変化するときSの最大値を求めよ。

解答です
(1) √(13-12cosθ) , 3sinθ , √(13-12cosθ)/(2sinθ)
(2) 90°-θ , S=-6cos^2θ+13/2cosθ , 169/96
No.10106 - 2010/04/05(Mon) 18:03:38
☆ Re: 高校平面図形 / ヨッシー
∠ＯＡＢ＝θ　ではなく　∠ＢＯＡ＝θ　ですね。

△ＯＡＢが△ＯＡ'Ｂ' になるまで、90°−θだけ回転しますが、
この角度は、ＯＡとＯＡ'、ＯＢとＯＢ'、ＡＢとＡ'Ｂ' の
間の角に現れます。
ＡＢとＡ'Ｂ' の交点をＤとすると、
　∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＡ'＝90°−θ
となります。
あとは、ＢＣ＝Ｂ'Ａ'＝ＢＡ であるので、
　Ｓ＝(1/2)ＡＢ^2sin(90°−θ)
　　＝(1/2)(13-12cosθ)cosθ
cosθ の２次式になるので、最大値は求められるでしょう。
No.10120 - 2010/04/07(Wed) 06:58:51
☆ Re: 高校平面図形 / 庄之介
よくわかりました。
どうもありがとうございました。
No.10122 - 2010/04/09(Fri) 20:42:26
★ 接線 / でっていう
接点が与えられてない接線を求める方法は
3つ全部覚えたほうがいいんですか？
No.10101 - 2010/04/04(Sun) 14:26:07
☆ Re: / ヨッシー
３つとは、何と何と何ですか？
また、何に対する接線ですか？
No.10102 - 2010/04/04(Sun) 17:06:59
☆ Re: / でっていう
すみません、円に対する接線です。
3つとは、接線の公式を利用する方法と、
判別式を使う方法と、中心と接線の距離を使う方法です。
No.10103 - 2010/04/04(Sun) 17:50:43
☆ Re: 接線 / FC3S
覚えるってのはずれてる気がします。
それに理解してれば接線の公式以外は覚えるものではないかと(合成関数の微分ができれば接線公式も簡単に導けますが)
それぞれに長所短所があります。
No.10104 - 2010/04/05(Mon) 01:04:26
★ 三角関数 / tk
△ABCの辺の間に、(a+c)c=b^2(bの2乗) が成り立っているとき、△ABCはどのような三角形か。

をお願いします。
No.10098 - 2010/04/04(Sun) 03:13:55
☆ Re: 三角関数 / ヨッシー
展開して、ac+c2＝b^2
余弦定理　b2＝a2＋c2-2accosB と連立させて、
　a2＝ac＋2accosB
両辺a(＞0) で割って、
　a＝c(1＋2cosB)
1＋2cosB＞0 より 0＜Ｂ＜120° であるとして、
a=c である、直角二等辺三角形を含む、いろんな形の
三角形を取るように思います。
No.10099 - 2010/04/04(Sun) 07:32:33
☆ Re: 三角関数 / tk
解説有難うございます。

元の問題は、(a+c)c=b^2(bの2乗)ならば∠B=2∠C　を証明せよ

だったみたいなのですが、この式から導けるものでしょうか？
No.10100 - 2010/04/04(Sun) 13:42:38
☆ Re: 三角関数 / tk
自己解決しました。
No.10118 - 2010/04/06(Tue) 18:35:45
★ 表し方 / ソラとカナ
高校の先生でsin2xをわざわざsin(2x)とかいたりlog2xをわざわざlog(2x)と書いてて、角度の部分が文字のときなんかは
sin(x(x-2))とか書いてるんですがわざわざこのように書かないと駄目なんでしょうか。問題集ではsin2xcos3xは見てもsin(2x)cos(3x)と書いてるのは見たことがありません。実際のところどうなんでしょうか。
No.10096 - 2010/04/03(Sat) 04:18:15
☆ Re: 表し方 / らすかる
sinと乗算のどちらを先に計算するかはきちんと定義されていないと思います。
sin2xと書くとsin(2x)と解釈されることが多いので、
カッコを付けない人は「sin(2x)と解釈してくれるだろう」と考えて
付けないわけですが、(sin2)xという可能性もありますので
間違えて解釈される可能性が0ではありません。
# 例えば、手書きで2とxの隙間が大きくなってしまった場合は
# (sin2)xと解釈される可能性が少し高くなりますし、
# 2が少し上に寄っていたりすると(sinx)^2と誤解される可能性もあります。
それに対して sin(2x) のようにカッコを付ければ、他の意味に
解釈されることがありませんので、厳密な表現と言えます。

sin(x(x-2)) を sinx(x-2) と書くと、(sinx)(x-2) の意味と思われる可能性が
高いと思います（文脈によります）。
No.10097 - 2010/04/03(Sat) 09:46:19
★ 教えてください?ｫ / 浪人生
A､B､Cの3人でじゃんけんをする。一度じゃんけんで負けたものは、以後のじゃんけんから抜ける。残りが１人になるまでじゃんけんを繰り返し、最後に残ったものを勝者とする。ただし、あいこの場合も1回のじゃんけんを行ったと数える。

(2)2回目のじゃんけんで勝者が決まる確率を求めよ。
No.10094 - 2010/04/01(Thu) 22:39:25
☆ Re: 教えてください?ｫ / ヨッシー
３人でじゃんけんをすると、
　１人勝ち、２人勝ち、あいこ
それぞれ 1/3 の確率で起こります。
２人でじゃんけんをすると、
　どちらかが勝ち　2/3、あいこ　1/3
の確率で起こります。

１回目あいこ、２回目１人勝ちの確率
　1/3×1/3＝1/9
１回目２人勝ち、２回目どちらかが勝ちの確率
　1/3×2/3＝2/9
あわせて、1/3 です。
No.10095 - 2010/04/01(Thu) 23:00:50
★ 中学入試の問題 / あみ
図のような方眼紙があり、点Ｐははじめ点Ａにあります。さいころを振って、１または２の目が出るとＰは右に一目盛り進み、３または４の目が出ると上に一目盛り進みます。５または６の目が出るとＰは動きません。さいころを５回振って、５と６の目は１度も出なかったとき、Ｐが到達する可能性のある点は全部で何個ありますか。
また、ふたたび点Ａか始めて、さいころを10回振ったとき、Ｐが到達する可能性のある地点は全部で何個ありますか。

最初の答えは６のような気がするのですが…。全部数えていくとしたらですが。次の問題はどのように考えていけばよいのでしょうか。教えてください。
No.10088 - 2010/03/31(Wed) 21:51:07
☆ Re: 中学入試の問題 / Kurdt（かーと）
こんばんは。

サイコロで無理に考えようとすると難しいですね。

(1)は全部で5目盛り移動するということと、
動く方向が上か右かということだけ考えればいいです。

すると(上5,右0)〜(上0,右5)までの6通りですね。

(2)は5,6が出なければ全部で10目盛り移動します。
すると(上10,右0)〜(上0,右10)までの11通りですね。

でも5,6によって移動する目盛りの数は減っていきます。
最大は10目盛りですが、0まで減ることもあります。
なので、(上10,右0)〜(上0,右10)よりも内側の範囲にも全て行けます。

計算すると1+2+3+・・・+10+11になるんじゃないですかね。
No.10091 - 2010/03/31(Wed) 23:27:23
☆ Re: 中学入試の問題 / あみ
かーとさんありがとうございます。そうやって考えればよかったんですね。よくわかりました。66通りなりました。
No.10093 - 2010/04/01(Thu) 22:18:31
★ 三角比 / syooo
△ABCにおいて、(sinA)/6=(sinB)/5=(sinC)/4 が成り立っている。　３辺の比a：b：cを求めよ。　　　　　
（小文字は、対応する大文字の角の対辺）

この問題の解き方を教えてください。お願いします。
No.10084 - 2010/03/31(Wed) 19:04:58
☆ Re: 三角比 / ヨッシー
正弦定理はご存知でしょうか？
というか、それを理解させるための問題なのでしょう。

△ＡＢＣの外接円を描き、ＢＣを固定して、点Ａを円周に沿って、
ＡＢが直径になるまで動かします。
角Ａは、円周角なので、変化しません。
このとき、sinＡ＝ＢＣ/(円の直径) より、
　sinＡ/ＢＣ＝1/(円の直径)
という関係があります。
同様に、ＡＢを固定して点Ｃを動かす場合、ＣＡを固定して、
点Ｂを動かす場合を考えると(以下略)

正弦定理は、通常
　ＢＣ/sinＡ＝・・・＝(円の直径)
という形で表されます。
No.10086 - 2010/03/31(Wed) 19:58:03
☆ Re: 三角比 / syooo
正弦定理はわかります。
その後はどうやって解けばいいのでしょう？
No.10089 - 2010/03/31(Wed) 22:07:07
☆ Re: 三角比 / ヨッシー
正弦定理を逆数で表した
　(sinA)/a=(sinB)/b=(sinC)/c
と
　(sinA)/6=(sinB)/5=(sinC)/4
を比較してみると・・・
No.10092 - 2010/03/31(Wed) 23:58:28
★ 数列 / ﾜﾜﾜﾜｯｼｮｰｲ
Σ[k=0,n](2n+1)=?
これはどうしてn(2n+1)ではないのですか？
解答には(2n+1)(n+1)と書いてあったのですが…
よろしくお願いします。
No.10081 - 2010/03/31(Wed) 16:46:59
☆ Re: 数列 / rtz
0〜nだからです。

1〜nならn個ですが、0〜nならn+1個ですね。
No.10082 - 2010/03/31(Wed) 17:28:47
☆ Re: 数列 / ﾜﾜﾜﾜｯｼｮｰｲ
では、Σ[k=0,n](2k)=?
でも１を足す必要があるのですか？
No.10083 - 2010/03/31(Wed) 18:57:19
☆ Re: 数列 / ヨッシー
最初の問題ですが、
　Σ[k=0,n](2k+1) ではなく Σ[k=0,n](2n+1)
なので、単に 2n+1 を n+1 回足すだけです。

Σ[k=0,n](2k) は、0+2+4+・・・+2n であるので、
等差数列の和の公式
　{(初項)＋(末項)}×(項数)÷２
より、(0+2n)×(n+1)÷2＝n(n+1) となります。

ちなみに、Σ[k=0,n](2k+1) は、
　{1+(2n+1)}×(n+1)÷2＝(n+1)^2
です。
No.10085 - 2010/03/31(Wed) 19:43:33
☆ Re: 数列 / ﾜﾜﾜﾜｯｼｮｰｲ
理解できました！
ありがとうございます。
No.10087 - 2010/03/31(Wed) 20:36:30
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