著作権の観点から問題を掲載する事は違法との事ですが、試験基準日から日が経ちましたので問題を掲載させて頂きます。もし、問題がある様でしたら即刻削除させて頂きます。
2つの3次方程式(x-1){x^2+(a+3)x+3}=0---?@
x^3+(a+4)x^2+4x+b=0---?Aがある。但しa,bは実数の定数とする。
(1)x=2iが?Aの解である時、?@の解がすべて実数であり?@,?Aがただ1つの共通な解をもつとする。このときaの値、および?@と?Aに共通な解を求めよ。
模範解答ではaの存在範囲を求めたあとbをaで表し
(b=4a+16)その値を?Aに代入その式---?A'がx=2i,-2iを解に持つので?A’はx^2+4で割り切れる。
よって?A'⇔(x+a+4)(x^2+4)=0これより実数解はx=-a-4に定まる。として解いていっています。
僕はこの手の定石、共通解をαとおいて?@に代入。
α=1,-(a+3)±√(a^2+6a-3) /2
(i)α=1の時a=-5（不適)
ここでα=-(a+3)+√(a^2+6a-3) /2---?Bを代入するのは酷なので?Aにおいて根と係数の関係よりαとmの関係を導き
?Bとの連立方程式で解きました。
ここで質問なのですが、よく高次方程式の問題で与えられた高次方程式を思いも寄らぬ式（丁度割り切れる式）で割り正解に到達する模範解答を見るのですが、その様な発想は理不尽ではありませんか？
共通解＝αと置く方針で解けない問題はありますか？
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No.8536 - 2009/10/22(Thu) 21:21:58
| ☆ Re: 高2進研模試(7月)の問題 / ast | | | お書きになられている内容からは, 模範解答は素直に因数定理を利用して余分な因子を取り除いて話を整理することができているというふうに窺えるため, 一体ハオさんはどの辺りを「思いもよらぬ」・「理不尽」と評されているのかがどうもピンと来ません (むしろハオさんの実力からすると思いもよらないということは考えにくい).
お手間をとらせることになって申し訳ないのですが, 因数定理を利用すれば上手くいきそうだ, 因数定理を利用したらどうやらうまくいった, という発想や論理展開のどの辺が理不尽と感じるのかもう少し詳しく説明していただけませんか?
# 基本的に指導要領を逸脱することができない受験数学では,
# 因数分解が可能であるか複二次式のように
# 本質的に二次以下の簡単な式に帰着して考えることができるもの以外の
# 高次方程式を扱うことが実質的に禁止されています.
# ゆえに, そのような帰着を志向するのはむしろ自然なものといえませんか.
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No.8544 - 2009/10/22(Thu) 23:33:58 |
| ☆ Re: 高2進研模試(7月)の問題 / ハオ | | | astさん、態々有難う御座います。正直申しますと、相手にされないのでは？と心配でした。
因数定理を利用する方針はとても高貴な解答であると僕自身思います。次数を下げるというのはとても大切な考え方であるとも思います。しかし、コレ又Benesse関係の問題で
P(x)=x^3-x^2+(2-4a^2)x+5a(aは正の定数)がある。
(1)x=1+iの時のP(x)の値をaを用いて表せ。
という問題がありました。
僕は計算ゴリ押しで解きました。然程煩雑な計算には思えなかったので。
しかし解答では、P(x)をx^2-2x+2で割ると
P(x)=(x^2-2x+2)(x+1)+(2-4a^2)x+5a-2
ところでx=1+iの時x^2-2x+2=0なので
P(1+i)=(2-4a^2)(1+i)+5a-2
と概要はこの通りです。
しかし、僕の洞察力が至らないのかx^2-2x+2で割る理由も分かりません。しかし何か問題作成者の頭だけに帰結している様にとても感じました。それ以来高次方程式は定石だけで解くようになってしまいました。
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No.8555 - 2009/10/23(Fri) 17:22:56 |
| ☆ Re: 高2進研模試(7月)の問題 / ToDa | | | 例えば、剰余定理や因数定理を習う際の基本的な練習問題で
多項式P(x)について、P(x)を(x-2)で割ると余りは1で、(x-3)で割ると余りは2であるという。
このとき、P(x)を(x^2-5x+6)で割った余りを求めよ。
といった問題がよくあります。で、これまた基本的な解答例としては、
P(x)を(x^2-5x+6)(=(x-2)(x-3))で割った商をQ(x)とすると、
P(x)=(x-2)(x-3)Q(x) + ax + bのように置けるから…
といった感じで、次数を下げるようになっています。こんな感じで次数下げの威力を知るわけです。
で、
:P(x)=x^3-x^2+(2-4a^2)x+5a(aは正の定数)がある。
:(1)x=1+iの時のP(x)の値をaを用いて表せ。
この問題の場合、直接代入してはならないと言われているわけでもないので、別にそうやって解いてもいいのですが、それだと時間が掛かるしミスもするでしょう。そういうわけで、何か別の方法はないかと考えます。少なくとも、出題者は私たちの処理能力や忍耐強さを試しているわけではないのだろうと私なら考えます。
そして、次数を下げたらよさそうだと考えるのですが、じゃあ何で割ってみようかということで、{x-(1+i)}を因数に持つ二次式を引っ張り出すことになるのですが、その二次式に複素数が含まれたままだと割り算の段階でパニックに陥ってしまうので、実数係数のものを考えれば都合がよいわけです。
……などという事を考えた末に、{x-(1+i)}{x-(1-i)}=x^2-2x+2が出てくるのはさほど不自然でもないと思うのですが、どうでしょうか。
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No.8556 - 2009/10/23(Fri) 18:03:17 |
| ☆ Re: 高2進研模試(7月)の問題 / phaos  | | | i を消そうと思って
x = 1 + i
x - 1 = i
(x - 1)^2 = i^2
x^2 - 2x + 1 = -1
x^2 -2x + 2 = 0
と考えているんではないのだろうか。
結果としては ToDa さんと同じ事になるのだが。
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No.8557 - 2009/10/23(Fri) 18:20:32 |
| ☆ Re: 高2進研模試(7月)の問題 / ハオ | | | 成程です。僕の考えが至らなかった様です。
今後は上記の事を頭に入れたうえで問題に当たってみようと思います。
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No.8558 - 2009/10/23(Fri) 18:29:24 |
| ☆ Re: 高2進研模試(7月)の問題 / ast | | | 既に解決済みの状況で蛇足になりますが,
ToDa さんがお書きになっていることと本質的に同じことなのですが, P(x) が x の多項式で x = α のときの P(α) を求めよといわれたときに, 剰余定理 "P(x) を x − α で割ったときの余りは P(α)" を思いつくようにはなっておいたほうがよいと思います. 剰余定理は割る多項式を高次にしたバージョンもあって, それは例えば "P(x)=Q(x)(x − α) + R(x) と書けるならば P(α) = R(α) となる" というような形に述べることができます.
また, phaos さんの仰ることと重なるかもしれませんが, 受験数学で扱う無理数や複素数は必ず "整数係数の二次の多項式" の根として得られるものばかりなので (特に複素数は自身の共軛複素数との和・積が実数になるため必然的にそうなります), このような代入を必要とする作業の中で複雑な多項式を "二次式で割る" という操作は受験数学の世界では王道といっても言い過ぎではないくらいの定石ではないかと感じます. まあ, たとえば 1 の虚立方根 ω などだと x^2 + x + 1 の根と考えるよりは ω^3 = 1 のほうが簡素な式なので使い勝手が良かったりはしますが.
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No.8560 - 2009/10/23(Fri) 20:45:35 |
| ☆ Re: 高2進研模試(7月)の問題 / ハオ | | | astさん、蛇足などとは思いません程の的を得たアドバイス有難う御座います。明日は模試なので頑張ります。
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No.8561 - 2009/10/23(Fri) 21:30:24 |
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