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数学的帰納法 / 桜 高校2
こんばんは。
よろしくお願いいたします。
できるところまでやってみたので教えてください。

数学的帰納法を用いて次の等式を説明せよ。
(1)1・2+2・3+3・4+・・・+n(n+1)=(1/3)n(n+1)(n+2)

n=1のとき
左辺=2 右辺=2よってn=1成り立つ

1・2+2・3+3・4+・・・+k(k+1)=(1/3)k(k+1)(K+2)
と仮定する。

このあとn=k+1のとき
なぜn=k+1を代入しないで足すんですか??


教えてください
よろしくおねがいいたsます

No.1090 - 2008/06/12(Thu) 23:40:41

Re: 数学的帰納法 / 魑魅魍魎
n=k+1のとき
左辺=1・2+2・3+3・4+・・・+k(k+1)+(k+1)(k+2)

仮定より↑式は

1・2+2・3+3・4+・・・+k(k+1)+(k+1)(k+2)
=(1/3)k(k+1)(K+2)+(k+1)(k+2)
=(k+1)(K+2){(1/3)k+1}
=(1/3)(k+1)(K+2)(k+3)

よってn=k+1のときも成り立つ。

No.1091 - 2008/06/13(Fri) 00:02:53

Re: 数学的帰納法 / にょろ
↑ので証明は大丈夫ですが

桜さんの疑問の答え

どちらでも結局かわらないからかと

だって、定義式の左辺にk+1を代入するのも
左辺に足すのも同じことでしょ?

No.1092 - 2008/06/13(Fri) 00:38:51

Re: 数学的帰納法 / s0
むしろ、「証明の文章は堅苦しいかもしれないけれどもラフに言えば

> だって、定義式の左辺にk+1を代入するのも
> 左辺に足すのも同じことでしょ?


という理屈を書いてあるのだ」と言ったほうがいいかもしれませんね。

数学的帰納法の二段目には、「n=k の場合が正しいときにはどんなことが言えるか」ということが書いてあります。このとき、n=k+1 のときはまだ正しいかどうか分らないので代入してもわからないまま、つまり全然意味がありません。そこでは「これは n=k+1 とした場合と同じだ」ということを結論として述べたいのです。そして、そのときに使える材料(つまり仮定)は n=k のときの式(←これが正しい場合だけを考えているので使っていいわけです)と、一般に成り立つ事実だけです)。「仮定」から「結論」を理詰めで導かないといけません。n=k+1 を代入するのは示すべき結論を仮定することであり、理屈として正しくありません。

No.1094 - 2008/06/13(Fri) 22:07:20

Re: 数学的帰納法 / 桜 高校2
お返事おくれてすみません。
とっても参考になりました!!☆
ありがとうございましたo

No.1248 - 2008/06/22(Sun) 19:13:59
平面図形で・・・。 / さくら(高1)
初めまして、こんばんは。
平面図形で分からない
問題が出てきたので質問させて
下さい。

△ABCの内接円の辺ABと
接する点をPとする。
AB=14、BC=15、CA=11
の時、線分BPの長さを求めよ。

というものです。
考えても解き方が分からないので、
よろしくお願いします。

No.1086 - 2008/06/12(Thu) 19:27:03

Re: 平面図形で・・・。 / ヨッシー

図のように、各接点をP、Q、Rとし、
BP=BQ=x、AP=AR=y、CQ=CR=z
とすると、
 x+y=14
 x+z=15
 y+z=11
全部足して2で割ると、
 x+y+z=(14+15+11)÷2=20
 x=(x+y+z)−(y+z)=20−11=9
ちなみに、y=5,z=6 です。

No.1087 - 2008/06/12(Thu) 19:44:46

Re: 平面図形で・・・。 / さくら(高1)
丁寧に教えていただき、
ありがとうございます!!
図もあって分かりやすかったです。
そうやれば解けるんですね!
今度は自力で頑張ってみますね。
それでは本当にありがとうございました。

No.1088 - 2008/06/12(Thu) 20:17:02
証明したい… / Jez-z
いろいろ、式をいじくっているうちに次のような事実を発見しました。(事実は言いすぎかもしれません、「予想」に過ぎないので)
整式P(x)を整式Q(x)で割りきれる
⇔P(x)-Q(x)がQ(x)で割りきれる。
(具体例)
9は3で割り切れる
⇔9-3=3*2

x^2+2x+1はx+1で割り切れる
⇔x^2+2x+1-(x+1)=x*(x+1)

このことを、一般に証明したいのですが、どのようにすれば証明できるのでしょうか?どなたか指針を提示していただけませんか?
ご指導、よろしくお願いします。

No.1079 - 2008/06/11(Wed) 20:03:33

Re: 証明したい… / ヨッシー
AがBで割り切れるということは
 A=C×B
と書けるCがあるということです。
(整数の話ならCは整数ですし、整式の話ならCは整式です)
このとき、
 A−B=CB−B=(C−1)B
と書けるので、・・・

No.1080 - 2008/06/11(Wed) 20:15:25

Re: 証明したい… / Jez-z
それで、証明できますね!
ちなみに、上の考え方って役に立つ(利用するときある)ものなのですかね?
上で求めたことを利用するような問題ありましたら教えて(紹介して)いただけませんか?(虫のよい話ですいません)

No.1084 - 2008/06/11(Wed) 21:24:03

Re: 証明したい… / ヨッシー
nの倍数と、別のnの倍数の和は、nの倍数である。
 An+Bn=(A+B)n
これって、分配法則や、因数分解と同じですね。

No.1085 - 2008/06/11(Wed) 22:47:53

Re: 証明したい… / にょろ
与えられた式をいじくるのって楽しいですよね。
特に教科書のはうまく数選んでるから少しでも数かえると
下手すると一学年どころか進学するぐらいの勢いで複雑になりますよね。
特に小学校の問題は「-」がないから特に顕著で

No.1093 - 2008/06/13(Fri) 00:44:14
実数 / シャイア(高一)
こんにちは。 スイマセン、また分からない問題が出来てしまって…。

問題:√2/√2-1の整数部分をa、小数部分をbとする。次の値を求めよ。

1、a

3、a+b+b^2

解き方がさっぱり分かりません。
お願いしますm(_ _)m

No.1075 - 2008/06/11(Wed) 17:45:07

Re: 実数 / ヨッシー
√2/(√2-1) だと勝手に解釈します。
普通にやったのでは、a=b=0 ですから。

√2≒1.4 なので、
 √2/(√2-1)≒1.4/0.4=3.5
より、a=3 です。もとの、√2/(√2-1) からaを引いたものがbです。
 b=√2/(√2-1)−3={√2−3(√2-1)}/(√2-1)
  =(3−2√2)/(√2-1)=(3−2√2)(√2+1)
  =√2−1

ちなみに、もとの数も、
 √2/(√2-1)=√2(√2+1)=2+√2
と、有理化しておけば、a+b+b^2 の計算が楽でしょう。

  

No.1076 - 2008/06/11(Wed) 17:53:23

Re: 実数 / シャイア(高一)
ありがとうございます!!
√2/(√2-1)はaとbだから、√2/(√2-1)からaをひいたらbが出るんですね〜!
二つ目の問題は有理化して計算すると5-√2でOKですよね?

No.1077 - 2008/06/11(Wed) 18:20:04

Re: 実数 / ヨッシー
5-√2でOKです。
No.1081 - 2008/06/11(Wed) 20:17:00

Re: 実数 / シャイア(高一)
ありがとうございます!!
明日、数学のテスト頑張ります!

No.1082 - 2008/06/11(Wed) 20:31:42
十分条件 / Jez-z
実数x,yに対して2つの条件
p:│x+y│+│x-y│≦2
q:x^2+y^2≦r^2
がある。rは正の整数とする。
このとき、pがqであるための十分条件を求めよ。

というものなのですが、pのあらわす図形が分からないので行き詰ってしまいました。(絶対値が2つあるので、4つに場合分けして「または」で結んだのですが、とりとめのない図形で収拾がつかなくなってしまいました)

ご指導ください。よろしくお願いします。

No.1067 - 2008/06/10(Tue) 21:42:20

Re: 十分条件 / 七
│x+y│+│x-y│≦2
x+y≧0,x−y≧0
つまり y≧−x,y≦x のとき x≦1
x+y≧0,x−y<0
つまり,y≧−x,y>x のとき y≦1
x+y<0,x−y≧0
つまり y<−x,y≦x のとき y≧−1
x+y<0,x−y<0
つまり y<−x,y>x のとき x≧−1

No.1069 - 2008/06/10(Tue) 22:07:21

Re: 十分条件 / Jez-z
ありがとうございます。
No.1078 - 2008/06/11(Wed) 19:55:49
(No Subject) / シャイア(高一)
すいません、もう一問質問させてもらいます。

この問題を解いてみたのですが、解き方が間違っていたみたいで答えが合いませんでした。

問題:0,1,2,3,4,5の6個の数字を1個ずつ使って3桁の数をつくる。次のような数は何個作れるか。

1、0を含む数
   百の位が0以外数の5通り
   十の位は0を含む、百の位の数を除いた数の5通り
   一の位は0を含む、百・十の位の数を除いた数の4通り
 …として、5×5×4=100個としたのですが、答えは20通りで間違えてしまいました。

2、偶数
 答え:52個

3、300より小さい数
 答え:40個

2・3も1と同じように解いてみたのですが、間違えていました。

正しい解き方を教えて下さい。
よろしくお願いしますm(_ _)m

No.1061 - 2008/06/10(Tue) 17:52:44

Re: / シャイア(高一)
すいません、ちなみに順列です。
No.1062 - 2008/06/10(Tue) 17:54:18

Re: / 七
1、0を含む数
0は十の位か一の位の2通り,そのそれぞれについて残りの2カ所に1〜5を適当に入れればいいので
2・5・4=40 個ではありませんか?
2、偶数
偶数になるのは一の位が0,2,4になるときですが
一の位が0になるときと,一の位が2,4になるときであとの計算が変わってきます。

3、300より小さい数
百の位が1か2であればいいですね。

No.1063 - 2008/06/10(Tue) 18:51:40

Re: / シャイア(高一)
ありがとうございます!

1は、確かに40個でした^^; スイマセンでした・・・。
1って、0は十・一の位のどちらかに入れることが出来るから、
2P1で2で、残りの2カ所に1〜5を入れるから、5P2で5・4で、この2つをかけて2・5・4=40個・・・ということですよね??

2は、一の位が0のときは1P1で1で、残りの2ヵ所に1〜5を入れることが出来るから、
5P2で5・4だから、この2つをかけて1・4・5=20個。
一の位が2,4のときは2P1で2で、残りの2ヵ所は百の位は1〜5で十の位は0と百の位で選んだ数を除いた数0(5通り)この3つをかけて2・5・5=50個。
20+50=70個・・・でOKなんでしょうか?

3は、百の位が1のとき1P1で1で、残りの2カ所は0〜5を入れることが出来るから、
6P2で6・5で、この2つをかけて1・6・5=30個。
百の位が2のとき2P1で2で、残りの2ヵ所は0〜5を入れることが出来るから、
6P2で6・5で、この2つをかけて2・5・6=60個。
30+60=90個でOKですか??

長くなってしまってスイマセンm(_ _)m

No.1065 - 2008/06/10(Tue) 20:52:06

Re: / 七

例えば,一の位が2のときは
残りの0,1,3,4,5
のうち百の位には0以外の4通り,
そのそれぞれについて十のくらいのは残りの4通りずつ
1・4・4=16 通り
一の位が4のときも同様だから
20+16・2=52 個


百の位が1のとき,残りの2カ所は0,2,3,4,5を入れることが出来るから、
5P2で 1・5・4=20個
2のときも同様
20・2=40個
です。

No.1066 - 2008/06/10(Tue) 21:22:56

Re: / シャイア(高一)
あっ、そうなんですか!
ありがとうございます^^
明日の数学のテスト頑張ります!!

No.1074 - 2008/06/11(Wed) 17:29:23
順列 / シャイア(高一)
こんにちは、初めまして。 
いま数学で順列を習っているのですが、全く分からなくて困っています。

問題:男子3人と女子3人が一列に並ぶ時、次のような並び方は何通りあるか。

1、男女が交互に並ぶ

出来れば順列のとき方のコツ等も教えて欲しいです。

よろしくお願いしますm(_ _)m

No.1054 - 2008/06/10(Tue) 14:10:40

Re: 順列 / ヨッシー
男女が交互に並ぶのは、
 男女男女男女 または 女男女男女男
の順に並ぶ場合です。男だけを取り出すと、
男の入るべき3つの場所に実際に3人の人を並べる方法は
 3×2×1=6通り
女についても、6通りで、男女男女男女 の形に並ぶ並び方は、
 6×6=36
女男女男女男 の場合も、36通りなので、合わせて72通りです。

No.1057 - 2008/06/10(Tue) 16:03:06

Re: 順列 / シャイア(高一)
ありがとうございます^^

男と女の並べる方法は分かったのですが、
男女男女男女の形に並ぶときになんで6×6をするのかが分かりません・・・。

私は足すのだと思っていました(汗

No.1058 - 2008/06/10(Tue) 16:14:41

Re: 順列 / ヨッシー
男をABC、女をabcとします。
男女男女男女 の男の並べ方は
A女B女C女
A女C女B女
B女A女C女
B女C女A女
C女A女B女
C女B女A女
の6通りです。このうち、A女B女C女 の女の並べ方は、
AaBbCc
AaBcCb
AbBaCc
AbBcCa
AcBaCb
AcBbCa の6通り、
同様に
A女C女B女 の女の並べ方も6通り
B女A女C女 の女の並べ方も6通り
B女C女A女 の女の並べ方も6通り
C女A女B女 の女の並べ方も6通り
C女B女A女 の女の並べ方も6通り
で、合計6×6=36(通り)です。

No.1059 - 2008/06/10(Tue) 16:56:06

Re: 順列 / シャイア(高一)
なるほど!!! すごくスッキリです^^

分かりやすいです〜。 本当にありがとうございました!

また質問させてもらうこともあるかもしれませんが、よろしくお願いしますm(_ _)m

No.1060 - 2008/06/10(Tue) 17:34:38
円の中心の座標 / 鈴 (高1)
 半径 50mm の円と40mm の円が 中心間 20mm 隔てて交わっている。 交わった内側に 半径 30mm の円が内接している。その中心の座標を求めよ。 何度計算しても解けませんでした。    
図を 書き直しました。  お願いします。

No.1052 - 2008/06/10(Tue) 12:03:29

Re: 円の中心の座標 / らすかる
他の円の位置がわからないと、「座標」を求めるのは不可能です。
No.1053 - 2008/06/10(Tue) 12:54:20

Re: 円の中心の座標 / 鈴 (高1)
 らすかるさん 有難うございます。
左端を原点にして、円の方程式で交点を求めようとしたのですが、どうもうまくいきませんでした。
両方の円に接しなくて。 もうしこし頑張ってみます。

No.1055 - 2008/06/10(Tue) 14:32:27

Re: 円の中心の座標 / 七
半径 50mm の円の中心をA
半径 40mm の円の中心をB
求める円の中心をCとすると
AC=2,BC=1 となります。
A,Bの座標が分かれば
例えばC(x,y)として
求めることが出来ます。

No.1056 - 2008/06/10(Tue) 15:59:25

R:Re: 円の中心の座標 / 鈴 (高1)
有難うございます。  七さん。

でも AC = 20mm 、BC = 10mm 
この結果は 半径 と 中心の間隔 の 差 ですね。
任意 の 半径 の ときにも 応用 が できますね?

 点A を 原点 として 考 えてみました。 図 を描いて
みたら 見事 に 内接 しました。 有難 うございました。

   Y= 9.7 、Y=−9.7  X = 20 − 2.5 = 17.5 ( 20mm として計算しました。)

 内接円 は Y軸方向 の −側 、+側 に きます。

 訂正 しました。 よく みていませんでした。

No.1068 - 2008/06/10(Tue) 21:59:45

Re: 円の中心の座標 / 七
AC=20mm,BC=10mm です。
yの値は2通り出るはずです。

No.1072 - 2008/06/11(Wed) 01:54:41

Re: 円の中心の座標 / 七
半径がそれぞれr,r'の2つの円の中心間の距離をdとすると
2つの円が外接するときd=r+r'
内接するときd=|r−r'| です。
この問題では円Cが円Aに内接するから
AC=50−30=20mm,
同様に円Cが円Bに内接するから
BC=40−30=10mmです。

図形を考えることが可能な範囲でなら任意です。

A(0,0),B(20,0),C(x,y)とすると
AC=20 より
x^2+y^2=400 … (1)
BC=10 より
(x−20)^2+y^2=100 … (2)
(1)−(2)より
40x−400=300
x=35/2
y^2=375/4
y=±(5/2)√15 [(5/2)√15≒9.7]
したがって(35/2,(5/2)√15),(35/2,−(5/2)√15)

座標を使わずに表すなら
線分ABを7:1に内分する点をHとすると
Hを通り,直線ABに垂直な直線上のHからの距離が(5/2)√15mmである2点
のような表現が出来ます。

No.1073 - 2008/06/11(Wed) 10:31:41

Re: 円の中心の座標 / 鈴 (高1)
 ・・・・・・・ 凄い。 論理がぎっしりですね。

この解答例を見本にします。 内分,外分で考えることまでは
及びませんでした。 僕は 図形が描ければ良しとしてまし
た。  凄すぎます。 ほんとうに良い 解答 です。
また難問にぶつかったら( 僕にとってですけど )教えて下さい。 
  有難うございました。  

No.1083 - 2008/06/11(Wed) 20:57:33
(No Subject) / Π(高2)
2つの正の整数a,bの間に等式
 1/a+5 + 1/b+5 = 3/k …?@ が成立している。
(1)k=15のとき,abのとりうる値を求めよ。
(2)k=30のとき,abの最小値を求めよ。

よろしくお願いします。

No.1048 - 2008/06/09(Mon) 20:04:54

Re: / rtz
{1/(a+5)}+{1/(b+5)}=3/kですか?
適宜括弧を補って下さると分かりやすいです。

間違っていましたので修正しました。申し訳ありません。

No.1049 - 2008/06/09(Mon) 20:27:09

Re: / X
>>rtzさんへ
>>⇔k(b+5)+k(a+5)=(a+5)(b+5) (両辺にk(a+5)(b+5)をかける)

ですが
⇔k(b+5)+k(a+5)=3(a+5)(b+5)
の誤りではありませんか?

(2)の別解を載せておきます。
問題の等式をk=30のときrtzさんと同様の方法で変形すると
3ab-15(a+b)-225=0
∴ab-5(a+b)-75=0 (A)
さてここからですが
方針1)
(A)を満たす自然数の値の組(a,b)を求めます。
方針2)
a>0,b>0ですので相加平均と相乗平均の関係から
a+b≧2√(ab) (B)
(等号成立はa=bのとき)
∴√(ab)=tと置くと(A)(B)より
t^2-10t-75≧0かつt>0
これを解いてまずtの値の範囲を求めます。
但し、不等号の下の等号成立条件に注意しましょう。

No.1050 - 2008/06/09(Mon) 20:29:33

Re: / rtz
>Xさん
あ、本当ですね。
以下のように修正します。

{1/(a+5)}+{1/(b+5)}=3/k
⇔3k(b+5)+3k(a+5)=9(a+5)(b+5) (両辺に3k(a+5)(b+5)をかける)
⇔9(a+5)(b+5)−3k(b+5)−3k(a+5)=0
⇔{3(a+5)−k}{3(b+5)−k}=k2
⇔{3a−(k-15)}{3b−(k-15)}=k2
まで式変形すれば、

(1)
k=15を代入すればabが出ます。

(2)
(3a−15)(3b−15)=900⇔(a−5)(b−5)=100で、a-5,b-5≧-4です。
(-4)2=16<100なので、正の候補だけ考えます。
(a−5)(b−5)=100⇔ab=5(a+b)+100
ですから、abが最小のとき、a+bも最小です。
a+bが最小なら、a+b−10=(a−5)+(b−5)も最小です。
よって、相加相乗を使えば(a−5)+(b−5)の最小値が出せます。

No.1051 - 2008/06/09(Mon) 21:22:34

Re: / Π
回答ありがとうございます。

Xさんの方針1は
(a-5)(b-5)=100,a-5≧-4,b-5≧-4 より、これを満たす
(a-5,b-5)の組は
(1,100),(2,50),(4,25),(5,20),(10,10)
であるから
(a,b)=(6,105),(7,55),(9,30),(10,25),(15,15) であり
abの最小値は(a,b)=(15,15)の時で
 15×15=225(答)

 というやり方でいいですか? 

No.1064 - 2008/06/10(Tue) 20:16:23

Re: / X
大筋ではそれで問題ありません。
答もそれで正しいと思います。
只、a,bの間に大小関係の条件はありませんので
(a-5,b-5)の組は
(1,100),(2,50),(4,25),(5,20),(10,10)
,(100,1),(50,2),(25,4),(20,5)
となります。

No.1071 - 2008/06/11(Wed) 01:49:23
確率 / 礼花 高2
Aが持っている袋には赤玉が3個と白玉が1個入っている。また、Bが持っている袋には赤玉が2個と白玉が2個入っている。A、Bが各自の袋から同時に2個の袋を取り出す。
(1)Aが赤玉1個と、白玉1個を取り出し、かつ、Bが赤玉2個を取り出す確率を求めよ。
(2)A、Bが取り出す赤玉の個数が等しい確率を求めよ。

(1)は一応、 (3C1/4C2)×(2C2/4C2)=1/6と答えが出たのですが、この計算式は正しいでしょうか?
(2)は、どうやって求めたらいいのか分かりません。2問も続けて投稿して申し訳ありませんが、よろしくお願いします。

No.1044 - 2008/06/09(Mon) 02:41:49

Re: 確率 / 七
赤玉の個数と白玉の個数を(赤,白)とすると
Aは(0,2)となることはないので
A,Bともに(1,1),(2,0)となる確率を求めて
足せばいいです。(この2つは互いに排反ですから。)

No.1046 - 2008/06/09(Mon) 08:14:53

Re: 確率 / 礼花 高2
返信、とても遅くなってしまって本当に申し訳ありませんでした。
七さまのアドバイスから、5/12と答えが出ました!
教えてくださってありがとうございました。

No.1132 - 2008/06/16(Mon) 19:50:07
2次関数 / 礼花 高2
いつもお世話になります。

2次関数f(x)=x^2-2kx+9について、次の問いに答えよ。ただし、kは定数とする。
(2)関数y=f(x)のグラフとx軸が異なる2点で交わるときのkの値の範囲を求めよ。
(3)(2)のとき、関数y=f(x)のグラフがx軸から切り取る線分の長さが8となるようにkの値を求めよ。

この問題で、(3)がわかりません。(2)は一応計算して k<-3,3<k と答えを出せたのですが、これをどう(3)に生かしたらいいのか分かりません。よろしくお願いします。

No.1043 - 2008/06/09(Mon) 02:32:45

Re: 2次関数 / 七
f(x)=x^2-2kx+9
=(x−k)^2−k^2+9
y=f(x)のグラフが図のようになればいいので
例えば
(x−k)^2−k^2+9=0 の解が x=k±4 となればいいですね。

No.1045 - 2008/06/09(Mon) 07:38:14

Re: 2次関数 / 礼花 高2
遅くなってしまい申し訳ありません。

(x−k)^2−k^2+9=0 の解が x=k±4 となればいい、というのは分かったのですが、そこから先、どうやって計算して答えを求めればいいのか分かりません。すみませんが、もう一度教えてください。よろしくお願いします。

No.1089 - 2008/06/12(Thu) 23:37:51

Re: 2次関数 / 七
(x−k)^2−k^2+9=0 のxに x=k+4またはk−4 を代入して
16−k^2+9=0
k^2=25
k=±5 (k<−3,3<kに適する。)

No.1097 - 2008/06/14(Sat) 13:24:47

Re: 2次関数 / 礼花 高2
理解できました!
いつも丁寧に教えてくださってありがとうございます。
本当に助かっています。また、よろしくお願いしますね!

No.1133 - 2008/06/16(Mon) 19:54:35
よろしくお願いします / KEY
nを2以上の整数とする。2つの曲線C1:y=x^nとC2:y=n^xについて、次の問いに答えよ。
(1)C1とC2はx<0において、ただ1つの点Pnで交わることを示せ。
(2)C1とC2の交点の個数を求めよ。
(3)Pnのn→∞のときの極限の位置を求めよ。

なんとなく答えはイメージできるのですが、解答が書けなくて…
よろしくお願いします><

No.1042 - 2008/06/09(Mon) 02:21:27

Re: よろしくお願いします / ヨッシー
たとえば、n=3 のとき、
x<0 において、
 x^n<0
 n^x>0
なので、交わらないと思いますが。

No.1047 - 2008/06/09(Mon) 12:03:47

Re: よろしくお願いします / KEY
回答ありがとうございます。

すいません。nは2以上の偶数でした…。

もう一度お願いできますか?

No.1070 - 2008/06/10(Tue) 22:53:39
複素積分 / sisin
1/2πi∫c(e^z/zdz)の値を求めよ。
cは原点の周りを回る円周の場合と回らない場合について解け。

回る場合はコーシーの積分公式からf(z)=e^zとおいて解いて求める値は1になると思います。しかし回らない場合はどう考えていいかわかりません。よくわからないので教えてください。

No.1036 - 2008/06/07(Sat) 20:04:03

Re: 複素積分 / 我疑う故に存在する我
あちらにも書いたが、コーシーの積分定理より 0 になります。
No.1038 - 2008/06/08(Sun) 04:42:32

Re: 複素積分 / sisin
それでは、いきなりコーシーの積分定理より0とかいて、途中式とか何もなくてOKですか。
No.1039 - 2008/06/08(Sun) 11:59:00

Re: 複素積分 / 我疑う故に存在する我
何も書く必要はないが、強いて書くなら
「与えられた関数が、原点以外で正則だから」
を付け加えればよいでしょう。
これはコーシーの積分公式以前の話ですよ。この定理を知っていないのはおかしい。

No.1040 - 2008/06/08(Sun) 17:12:46

Re: 複素積分 / sisin
わかりました。ありがとうございました。

すいません。この定理は知っていましたが、理解できていなかったです。面目ない。

No.1041 - 2008/06/08(Sun) 23:37:42
実数 / ロレーヌ
a=3、b=-2のとき、次の式の値を求めよ。
?@│a││b│
?A│ab│
?B│-a│
?C│b^2│

これらの計算過程を教えてください。

No.1034 - 2008/06/07(Sat) 18:25:31

Re: 実数 / ヨッシー
その前に
|b| はいくつかわかりますか?

No.1035 - 2008/06/07(Sat) 18:29:10
三角関数 / 高2

y=2asin2θ-4a(sinθ-cosθ)+1
(0≦θ<2π)・・・・・・・?@

  π
θ=ーーのとき
  2
y= 【アイ】a+【ウ】である。

次にsinθ-cosθ=tとすると
sin2θ=【エ】-t^2である。


?[この 問題の解き方
詳しく教えてください?ホ

No.1029 - 2008/06/07(Sat) 05:52:44

Re: 三角関数 / ヨッシー
θ=π/2 のとき
 sin2θ=sinπ=0、sinθ=1、cosθ=0
を代入します。答え:y=−4a+1

sinθ−cosθ=t の両辺を2乗して
 sin2θ+cos2θ−2sinθcosθ=t2
 1−2sinθcosθ=t2
一方、sin2θ=2sinθcosθ より、(以下略)

No.1030 - 2008/06/07(Sat) 07:12:48

Re: 三角関数 / 高2
よくわかりました
ありがとうございます

No.1033 - 2008/06/07(Sat) 11:53:52
順列 / kry
「5個の数字0,1,2,3,4を使って作った各位の数がすべて異なる5桁の整数を小さいものから順に並べる。
(1)43210は何番目になるか。
(2)90番目の数は何か。
(3)30142は何番目になるか。
(4)70番目の数は何か。」

0があるため正確に式が立てられません。
よろしくお願いします。

No.1024 - 2008/06/06(Fri) 23:38:50

Re: 順列 / ヨッシー
(1)
最小のものは 10234 で、10000台の数は 4!=24(個) あります。
同様に 20000台、30000台、40000台の数が24個ずつあります。
43210 は、その中で最大の数なので、
 24×4=96(番目)
(2)
90番目の数は、43210 の6つ前なので、
 43210, 43201, 43120, 43102, 43021, 43012, 42310

(3)
30124 は、30000台の最小の数なので、
 24+24+1=49(番目)
その次が 30142 なので、50番目。

(4)
30000台の最大の数 34210 は 24+24+24=72(番目)で、
その2つ前は 34210, 34201,34120

No.1027 - 2008/06/06(Fri) 23:49:27

Re: 順列 / kry
「〜台」というのを目安にして解くのですね。
 解説していただきありがとうございました。

No.1028 - 2008/06/06(Fri) 23:55:26
テスト課題が・・・ / m 高校2
AB=3、AC=5、cos∠BAC=3分の1を満たす△ABCを底面とし、頂点をPとする四面体PABCが半径3の球面に内接している。
?@変BCの長さを求めよ。また、外接円の半径を求めよ。
?A点Pが球面上を動き、辺APの長さが最大となる時、辺BPの長さを求めよ。
?B点Pが球面上を動く時、四面体PABCの体積の最大値を求めよ。

この問いの?B番ですが、
四面体の体積ということで、3分の1×底面積×高さで求めたいけれど高さが分かりません。
教えてくださいお願いします!

No.1022 - 2008/06/06(Fri) 23:28:15

Re: テスト課題が・・・ / ヨッシー

図の実線は△ABCを含む面で、rが(1)で求めた外接円の半径になります。
図のPの位置に来るときが、高さ最大なので、三平方の定理等で
高さを求めることが出来ます。

No.1023 - 2008/06/06(Fri) 23:35:55
解と係数の関係 / 礼花 高2
2次方程式x^2+2(3a-1)x+9a^2-4=0が次のような実数解をもつとき、定数aの値の範囲を求めよ。
(1)解がともに正
(2)解がともに負
(3)正と負の解

この問題を、
判別式D≧0より、a≦5/6
2解をα・βとすると、解と係数の関係より、α+β=-6a+2、αβ=9a^2-4
というふうに解いたのですが、そこから先が3問とも分かりません。解説をよろしくお願いします。

No.1018 - 2008/06/06(Fri) 23:05:33

Re: 解と係数の関係 / ヨッシー
(1)解がともに正
ということは、α>0、β>0 ということですね?
そのとき、α+β および αβ は、どんな範囲になりますか?
(2)(3)も同様に考えましょう。

No.1019 - 2008/06/06(Fri) 23:07:44

Re: 解と係数の関係 / 礼花 高2
早々にありがとうございます。

(1)で、D≧0,α>0、β>0を解いて、一応a≦5/6、a<1/3、a<-2/3,2/3<a と答えが出たのですが、これでは共通範囲が出ませんでした。共通解の求め方を教えていただけませんか?よろしくお願いします。

No.1021 - 2008/06/06(Fri) 23:20:09

Re: 解と係数の関係 / ヨッシー
(1)
3つめの解は、 a<-2/3 または a>2/3 なので、共通範囲は
 a<-2/3
になります。

No.1025 - 2008/06/06(Fri) 23:41:54

Re: 解と係数の関係 / にょろ
少し勘違いしてませんか?
その計算が合っていれば
条件は
a≦5/6
かつ
a<1/3
かつ
(a<-2/3または2/3<a)
これだと範囲でると思うんですけど?

四つ同時はムリですよ…

あと、α、β以外にも
f(0)と頂点の座標の符号が違う
頂点のx座標が+と言う条件でもいけると思います。

No.1026 - 2008/06/06(Fri) 23:46:18

Re: 解と係数の関係 / 礼花 高2
数直線が間違っていました…。すみませんでした。
ちゃんと計算し直したところ、
(1)a<-2/3 (2)2/3<a≦5/6 (3)-2/3<a<2/3 と、ちゃんと答えが出ました。

教えてくださったヨッシー様・にょろ様、どうもありがとうございました。

No.1037 - 2008/06/07(Sat) 22:24:38
(No Subject) / ラディン.ms
a<b<c,bc+1≦abc≦bc+ca+ab を満たす自然数の組(a,b,c)をすべて求めよ。

よろしくお願いします。

No.1015 - 2008/06/06(Fri) 22:30:43

Re: / rtz
bc<bc+1≦abc≦bc+ca+ab<3bcとa,b,c自然数から
aはすぐ分かりますね。

あとはabc≦bc+ca+abに代入し、左辺に移項して、
(b−?)(c−?)≦?の形にしてから、
b,c自然数とaの値などから考えるとよいでしょう。

No.1017 - 2008/06/06(Fri) 22:56:34

Re: / ラディン.ms
ありがとうございます。
じっくり考えてみます。

No.1031 - 2008/06/07(Sat) 07:22:52
場合も数です / いさみ
正n角形の対角線の総数をf(n)とすると
f(5)=?@  f(6)=?A  f(n)=?B
正n角形の3つの頂点を結んで出来る三角形のうち、正n角形と辺を共有しないような三角形の総数をg(n)とすると
g(6)=?C  g(7)=?D  g(n)=?E
?@〜?Eを答えなさい
         という問題です。
宜しくお願いいたします。

No.1011 - 2008/06/05(Thu) 22:00:19

Re: 場合も数です / ヨッシー
正n角形のの1つの頂点から、引ける対角線は、
n個の頂点のうち、自分自身と、両隣を除いた、n−3本です。
そういうのが、n個の頂点について言えるので、
 n×(n−3)
ところが、たとえば、正5角形ABCDEにおいて、
対角線ACは、Aのときにも、Cのときにも数えられているので、
 n×(n−3)
では、対角線を2回ずつ数えたことになります。
よって、2で割って、
 n×(n−3)÷2
が、n角形の対角線の数です。
あとは、nに、5,6を代入すれば、?@?Aが出ます。

n個の頂点から、3つを選べば3角形が出来ます。
その選び方は、nC3=n(n-1)(n-2)/6 個
正n角形と、2辺を共有する三角形は、頂点を1つ選べば
1つ決まるので、n個。
正n角形と、1辺を共有する三角形は、辺を1つ選べば
その辺の両端の点、およびその隣の点の4点を除いた
n−4個の頂点と結んだ、n−4個の三角形ができます。
よって、n(n−4)個
これらを除いた、
 n(n-1)(n-2)/6−n−n(n−4)=(n^3-9n^2+20n)/6(個)
あとは、nに6,7を代入すれば、?C、?Dが出ます。

No.1012 - 2008/06/05(Thu) 23:31:20

Re: 場合も数です / いさみ
どうもありがとうございました。
あんなに悩んでいたのが嘘のように感じてしまう、
凄くわかりやすい解答を本当に有り難うございます。

No.1020 - 2008/06/06(Fri) 23:14:22
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