ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / 国崎

数学確率【至急お願い致します】

次のような硬貨投げの試行を考える。
はじめに３枚の硬貨を投げて１回目とし、そのとき表のものがあれば、表のでたこうかのみをなげて２回目とする。
そのとき表のものがあれば、それらを投げる。
ある回で裏のみがでた場合、この試行は終了する。このとき、次の問いに答えよ。

（１）１回目でこの試行が終了しない確率
自分の考え：１枚のコインを１回投げたとき、そのコインがなくなる確率は1/2・・・?@（つまり裏がでればいい）
題意は３枚のコインを投げるのだから
３枚のコインについて?@がおこればいいので、１回目で終了する確率は（1/2）^3＝1/8
よって１回目で終了しない確率は1-（1/8）＝7/8

（2）２回目でこの試行が終了する確率

２回目でこの試行が終了する＝【２回以内で試行が終了】-【1回目（１回以内）で試行が終了】を考えるというのはわかったのですが
解答に１枚のコインが２回以内でなくなるためには２回のうち少なくとも１回裏がでればいいのでその確率は1-（1/2）^2=3/4
とあったのですが
ようするにこれは
本来３枚のコインで考えるところを簡単にするためにとりあえず１枚のコインで考えて
そして１枚のコインを投げて表がでるか裏かでるかを考えているんですよね？
今考えているコインは１枚だけなのでこれが２回以内つまり１回目で裏がでればそれで試行は終了
１回目は表がでて２回目で裏がでれば２回目で試行が終了ということで↑のような記述になっているのですよね？
答えは19/64です。

（３）２回投げても終了しない確率
これは２回以内で終了する＝２回目で終了するの余事象であると考えて
1-27/64=37/64 ということですよね？

（４）２回目で表が１枚だけでる確率

解答には２回目で表が１枚だけになる場合は２枚が２回以内でなくなり、１枚が表→表であればいいので
２回目で表が１枚だけになる確率は
3Ｃ2（3/4）^2（1/4）＝27/64
とあるのですが（４）はこの解答を何度見ても理解できません。
日本語の意味が理解できていないです。
あとなぜ反復試行の公式が利用できるのかも謎です。
一番の謎は【２回目で表が１枚だけになる場合は２枚が２回以内でなくなり、１枚が表→表であればいいので】の部分です。
特に１枚が表→表というのはどういうことなんでしょうか？
だれかわかるかた教えてください。
おねがいします。（長文すみません；

No.10723 - 2010/07/01(Thu) 07:44:23

☆ Re: 高２ / 国崎

すみません高２です

No.10724 - 2010/07/01(Thu) 07:44:51

☆ Re: / angel

「至急」と言われましてもねぇ…
それに応える義務は恐らく誰にも無くて。
見も知らぬ人から「至急やって」と言われてどう思われるか、ちょっと想像はした方が良いと思いますね。

もし時間が経つと意味が無くなるということなら、期限を切るのは悪くないと思いますがね。勿論、回答が必ず来るかどうかは保証の限りでない、ということは大前提として。

No.10734 - 2010/07/01(Thu) 22:39:51

☆ Re: / angel

まあ、既に手遅れかも知れませんが。
(1)
特に問題ないでしょう

(2)
> 本来３枚のコインで考えるところを簡単にするためにとりあえず１枚のコインで考えて

まあそうとも言える…かな?
次のページ辺りにあるNo.10647が類題になるのですが、コインに名前を付ける ( つまり個々を区別する ) と見通しが良くなるのです。
例えば、A,B,Cと名づけましょうか。
それぞれ、何回目で彼らが脱落する ( 裏が出て、以降投げられる対象から外れる ) か、という見方をすると、A単独で、2回目までに脱落する確率が 3/4
A,B,C全てが、2回目までに脱落する確率は (3/4)^3
A,B,C全てが、1回目で脱落する確率は (1/2)^3
なので、(3/4)^3-(1/2)^3=27/64 という計算になります。

(3)
特に問題ないでしょう

(4)
上で言った通り、A,B,Cというように、コインを区別する考えで行ってみましょう。
2回目で表が1枚だけ、ということは、もし3回目があったとして、そこで投げられるのが1枚だけ。それがA,B,Cのどれなのか、というのでまず3C1通り。
例えばAが残ったとして。Aは残っているのだから、表-表と来ているはずなので、確率1/4
その場合B,Cはいずれも2回目までに脱落しているので、(2)で出た通り、それぞれ確率3/4
これを全部かけると、3C1×1/4×3/4×3/4 となります。

No.10736 - 2010/07/01(Thu) 22:59:29

★ (No Subject) / brabus

A、B、Cの三人でじゃんけんをする。一度じゃんけんで負けた者は、以後のじゃんけんから抜ける。残りが一人になるまでじゃんけんを繰り返し、最後に残ったものを勝者とする。ただしあいこの場合も一回のじゃんけんを行ったと数える。そのとき、次の確立を求めよ。
（1）一回目のじゃんけんで勝者が決まる確率
（2）二回目のじゃんけんで勝者が決まる確率
（3）三回目のじゃんけんで勝者が決まる確率

高校一年生です。先生の配った解説はありますが全くもって理解不能ですのでこちらに投稿させていただきました。
どうかわかりやすい解説を宜しくお願いします。

No.10721 - 2010/07/01(Thu) 04:58:59

☆ Re: / angel

> 先生の配った解説はありますが全くもって理解不能ですので
…いや、そこは理解する努力を放棄しちゃダメでしょ。せめてどこまで理解できて、どこで詰まるか整理しないと…。
※誰かが解説をつけても、全く同じ状況になるんじゃない?

とりあえず、「じゃんけんで勝者が決まる」という漠然とした記述を具体的に書き出すこと。

(1)一回目のじゃんけんで勝者が決まる
これはもう、チョキ-パー-パーのような独り勝ちのケースしかない。

(2)二回目のじゃんけんで勝者が決まる
次の2通りが考えられる。
(2)-1 一回目があいこで、二回目で勝者が決まる。
一回目のあいことは、3人がグー・チョキ・パーのばらばらの手を出すこと。もしくは3人が全て同じ手を出すこと。
※独り勝ちでも独り負けでもない、と考える手もある。
二回目で勝者が決まるのは、(1)と同じ、独り勝ち。
(2)-2 一回目で独り負け、二回目で勝者が決まる。
一回目は独り負けなので、独り勝ちの裏返し。( 確率としては同じ )
二回目はもう2人勝負になっているので、同じ手でなければ勝者が決まる。

(3)三回目のじゃんけんで勝者が決まる
まじめに分類するなら、
(3)-1 3人あいこ-3人あいこ-独り勝ち
(3)-2 3人あいこ-独り負け-2人勝負で決着
(3)-3 独り負け-2人あいこ-2人勝負で決着
ただ、(3)-1と(3)-2をまとめて考えれば、3人あいこ-残り2回で決着、なので、(2)の結果を流用する事も可能。

それぞれの確率は、
(1) 1/3
(2)-1 1/9
(2)-2 2/9
(2)合計で 1/3
(3)-1 1/27
(3)-2 2/27
(3)-3 2/27
(3)合計で 5/27

No.10737 - 2010/07/01(Thu) 23:25:05

★ できれば，解説も加えて教えてください。 / 御手洗景子

[cosφ -sinφ]
[sinφ cosφ]=D(φ)，

[cosφ sinφ]
[sinφ -cosφ]=G(φ)としたとき，

G(2φ)=D(φ)・M・D(-φ)なる行列Mを求めよ。

No.10718 - 2010/06/30(Wed) 23:34:47

☆ Re: できれば，解説も加えて教えてください。 / ヨッシー

Ｄ(φ) は原点周りφの回転を表す行列。
なので、Ｄ^-1(φ)＝Ｄ(－φ)
また、Ｇは、Ｄにｘ軸対称の行列Ｂ＝(1 0)(0 -1) を右から掛けたものなので、
ｘ軸に対して対称移動して、原点周りにφ回転させる行列。

G(2φ)=D(φ)・M・D(-φ)の左からＤ^-1(φ)＝Ｄ(-φ)
右からＤ^-1(－φ)＝Ｄ(φ) を掛けて、
　Ｍ＝Ｄ(－φ)Ｇ(2φ)Ｄ(φ)
Ｇ(2φ)＝Ｄ(2φ)Ｂ＝Ｄ²(φ)Ｂ　より
　Ｍ＝Ｄ(φ)ＢＤ(φ)
となり、原点周りにφ回転し、ｘ軸対称に移動し、φ回転させる
行列なので、結局ｘ軸対称に移動しただけとなる。
　Ｍ＝Ｂ
となります。

No.10719 - 2010/07/01(Thu) 00:32:13

☆ Re: できれば，解説も加えて教えてください。 / 御手洗景子

ありがとうございます。
回転，ってイメージしにくいですね。
「左からＤ-1(φ)＝Ｄ(-φ)
右からＤ-1(－φ)＝Ｄ(φ) を掛けて」なんですが，左からとか，右からとかいうところがわからないので教えてもらえませんか？すいません。

No.10726 - 2010/07/01(Thu) 09:11:26

☆ Re: できれば，解説も加えて教えてください。 / ヨッシー

行列Ａに、行列Ｂを
左から掛ける　ＢＡ
右から掛ける　ＡＢ
です。

No.10739 - 2010/07/01(Thu) 23:44:14

★ 空間ベクトル / 高校3年です

四面体OABCでOAを２：１に内分する点をP、ABを３：１にする点をQ、BCを4：１にする点をRとする。
平面OQCと直線PRの交点をSとする。このときベクトルOSをベクトルOA,OB,OCで表しなさい。

過程を書いていただけるとありがたいです。
お願いします。

No.10717 - 2010/06/30(Wed) 22:57:35

☆ Re: 空間ベクトル / ヨッシー

ａ＝ＯＡ
ｂ＝ＯＢ
ｃ＝ＯＣとします。
条件より
　ＯＰ＝(2/3)ａ
　ＯＱ＝(ａ＋３ｂ)/４
　ＯＲ＝(ｂ＋４ｃ)/５
ＳはＰＲ上の点なので、
　ＯＳ＝(1-s)ＯＰ＋sＯＲ
　　＝2(1-s)ａ/3＋(s/5)ｂ＋(4s/5)ｃ
またＳは平面ＯＱＣ上の点であるので、
　ＯＳ＝ｔＯＱ＋ｕｃ
　　＝(t/4)ａ＋(3t/4)ｂ＋uｃ
と書けます。(s,t,uは実数)
ａ、ｂ、ｃは独立なベクトルであるので、
　2(1-s)/3＝t/4
　s/5＝3t/4
　4s/5＝u
これらを解いて、s=10/11, t=8/33, u=8/11
よって、
　ＯＳ＝(2/33)ＯＡ＋(2/11)ＯＢ＋(8/11)ＯＣ

No.10720 - 2010/07/01(Thu) 00:48:52

☆ Re: 空間ベクトル / 高校３年です

わかりやすい解答

係数比較するんですね(^o^)

ありがとうございましたm(_ _)m

No.10729 - 2010/07/01(Thu) 15:38:32

★ 二次不等式について / 高校２年生

すべての実数ｘに対して不等式x^2+ax+2a-3>0が成り立つように、定数aの範囲を定めよ。

この問題は頂点のy座標が＞０と考えればいいというのはわかります。
ですが、問題集の解説に
「はじめからD<0としても良いが、不等式では平方完成するのが望ましい」と書いてありました。
どうしてですか？

No.10707 - 2010/06/29(Tue) 22:46:13

☆ Re: 二次不等式について / angel

>「はじめからD<0としても良いが、不等式では平方完成するのが望ましい」

それは好みがあると思いますので、話半分でとらえるのが良いと思います。

ただ、判別式の正負で話を進めようとすると、形式的な解き方に陥り、記憶に頼らざるをえない ( 記憶違いがあったら即アウト ) というリスクがある、という考え方はあるかもしれません。

逆に、平方完成で行けば。
例えば今回の例だと、
　x^2+ax+2a-3＞0
　⇔ (x+a/2)^2 - 1/4・(a-2)(a-6)＞0
ですから、見たまんま (a-2)(a-6)＜0 を解いて 2＜a＜6 ということが分かりますから、確実かも知れませんね。

まあ、自分がどの解き方にどれくらい自信があるかでしょうか。

No.10709 - 2010/06/29(Tue) 23:13:57

☆ Re: 二次不等式について / 高校２年生

angelさん、ありがとうございました。

No.10914 - 2010/07/19(Mon) 10:20:23

★ 一次方程式 / キング

中１　数学

男子の数が１６人、女子の数が２０人のクラスでテストをしたところ、男子の平均点は６５点、女子の平均点は６８点だった。この時、女子の平均点はそのままでクラス全体の平均点を２点上げるには、男子の平均点を何点上げればよいか答えなさい。

方程式を使わないで解くことはできるのですが、方程式を使った解き方がわかりません。
よろしくお願いします。
テストが近いので、あせっています。

No.10705 - 2010/06/29(Tue) 22:27:46

☆ Re: 一次方程式 / ヨッシー

たいていは、求める数量をｘと置きますね。
この場合は、男子の平均をｘ点上げるとします。

元々の平均(クラス全体)は、
　(16×65＋20×68)÷(16＋20)
ｘ点上げたあとの平均は
　{16×(65＋ｘ)＋20×68}÷(16＋20)
これが、２点上がるので、
　{16×(65＋ｘ)＋20×68}÷(16＋20)＝(16×65＋20×68)÷(16＋20)＋２

これを解きます。

No.10706 - 2010/06/29(Tue) 22:43:18

☆ Re: 一次方程式 / キング

答えは４.５点になるのですが、方程式がよくわかりません。
１６×６５＝１０４０
（１６＋２０）×２＝７２
１０４０＋７２＝１１１２
１１１２÷１６＝６９．５
６９．５－６５＝４.５
というように出してしまって、なぜかとっさに方程式が浮かびません。

No.10710 - 2010/06/30(Wed) 00:05:45

☆ Re: 一次方程式 / キング

ヨッシー先生の方程式の途中の計算（数字）を教えて下さいませんか？

No.10714 - 2010/06/30(Wed) 00:40:52

☆ Re: 一次方程式 / angel

方程式を作る場合には、ある数字に着目して2通り(以上)の解釈をしてみること。
どの数字に着目するかは時によりけりで、また1つに決まる訳でもないですが…、キングさんが計算した中で 1112 という数に着目してみましょうか。

1112 は何かというと、点数を上げた時の男子の点数の合計。
なので、

・合計に着目すると
　1112 = (元の男子の点数の合計) + (上げる必要のある点数の合計)

・平均点に着目すると
　1112 = ( (元の男子の平均点) + x ) × (男子の人数)
　※ x を求める答、「男子の平均点を何点上げれば良いか」としています

ということは、1112 という数字が分かっていなかったとしても、

　(元の男子の点数の合計) + (上げる必要のある点数の合計)
　= ( (元の男子の平均点) + x ) × (男子の人数)

という関係ができているわけで、これが方程式です。
それぞれ、キングさんの計算式の中から引っ張ってきて当てはめると

　16×65 + (16+20)×2 = (65+x)×16
　↑1040　　↑72　　　　↑1112÷16の逆

となります。
答を出す式が出せるのなら、それを組み替えることで方程式は作れるはず。

No.10716 - 2010/06/30(Wed) 03:14:15

☆ Re: 一次方程式 / キング

angel先生

ありがとうございました。
おかげさまで、昨日のテストは満点をとることができました。

No.10722 - 2010/07/01(Thu) 07:32:19

★ 高２　数学 / 国崎

数学三角関数のグラフ

関数 y=|sin2θ|+2sin2θのグラフを書け。

僕はまず、sin2θ≧0のときy=3sin2θ・・・?@
sin2θ＜0のときy=sin2θ・・・?A

?@、?Aのグラフを書けばOK？とおもったのですが
グラフが上手くかけません・・・
正直グラフを書くのは苦手です＾＾；
交わる点とかどうやってもとめたらいいんですか？；
誰か分かりやすく書き方を教えていただけないでしょうか？；；

また、1) sin2θ≧0、すなわち、0 + 2πn ≦θ≦π/2 + 2πn、π+ 2πn≦θ≦3/2・π+ 2πn（ただしnは整数）とあったのですが、これはどういうことなのでしょうか？

No.10701 - 2010/06/28(Mon) 23:41:40

☆ Re: 高２　数学 / X

問題の解説が分かりにくいようであれば、
y=|sin2θ|+2sin2θ
の周期がπであることから、まず
0≦θ≦π (A)
の範囲でグラフを描くことを考えましょう。

その際、(A)の範囲から更に
sin2θ≧0のとき
sin2θ＜0のとき
の場合のθについて場合分けしてグラフを描きましょう。

No.10703 - 2010/06/29(Tue) 15:14:20

★ 有理関数を積分せよ　という問題 / マリリン

∫1/(x^4-1)dx
という問題です。
部分積分にして考えましたが、再考せよとのこと。
何か、ヒントがありましたら、教えていただけるとありがたいです。
よろしくお願いします。

No.10694 - 2010/06/27(Sun) 14:32:37

☆ Re: 有理関数を積分せよ　という問題 / X

再考せよ、とは計算間違いをしているという意味でしょうか？。
そう解釈して、回答を。

1/(x^4-1)=1/{(x^2-1)(x^2+1)}
=(1/2){(x^2+1)-(x^2-1)}/{(x^2-1)(x^2+1)}
=(1/2)/(x^2-1)-(1/2)/(x^2+1)
=(1/4){(x+1)-(x-1)}/{(x-1)(x+1)}-(1/2)/(x^2+1)
=(1/4)/(x-1)-(1/4)/(x+1)-(1/2)/(x^2+1)
∴(与式)=(1/4)ln|(x-1)/(x+1)|-(1/2)arctanx+C
(C:積分定数)

No.10695 - 2010/06/27(Sun) 14:49:48

☆ Re: 有理関数を積分せよ　という問題 / マリリン

素早い回答ありがとうございます。

先ほどの質問の部分で、
「部分積分」ではなく、「部分分数に分けること」でした。
この「部分分数に分けること」自体を「再考すること」のようでした。
実は、自分で計算して
-(1/2)arctanx+log{(x-1)/(x+1)}^1/4+C　
と書き、「誤り」とコメントされました。

No.10697 - 2010/06/27(Sun) 16:50:05

☆ Re: 有理関数を積分せよ　という問題 / X

それは計算過程に部分分数を使うことではなくて
計算結果に誤りがあるということではないでしょうか？。
マリリンさんの計算結果の第２項ですが
>>log{(x-1)/(x+1)}^1/4
ではなくて
log|(x-1)/(x+1)|^1/4
としなければいけません。
(そうでないとx<1の場合に計算結果が実数でなくなり、
矛盾します。)

No.10702 - 2010/06/29(Tue) 15:06:27

☆ 玉川ではないですか？ / 黄桃

「再考せよ」
「コメントされました」
とあるのは、99%玉川大学通信教育部のレポート問題ですが、これもそうではないですか？
レポートの一部であっても、人に聞いた答を書き写すのは学則に反すそうです。当然、レポート自体も不正レポートで無効（カンニング扱い）になるそうです。
ここまで回答を書かれてしまうと困るように思うのですが、いいのですか？

＃この問題の通りなら部分分数に分けるのは普通だと思いますが、
＃『「部分分数に分けること」自体を「再考すること」』となると、
＃実は問題が違っている、なんてオチではないでしょうね？

No.10715 - 2010/06/30(Wed) 02:05:09

★ 組み合わせの問題 / 少女B

[問] nの√n以上の全ての約数とnを2つの0か自然数の平方の差s^2-t^2として表す全ての組合せとの間に1対1対応がある事を証明せよ。
(例えば,15には√15以上の6,15という約数を持ち,また15=4^2-1^2=8^2-7^2と書ける)

という問題なのですが問題の意味からしてよく分かりません。
√15以上の15の約数って5と15しかないと思うのですが6はプリントミスなのでしょうか?

あと,どのような手順で証明をすればいいのでしょうか?

No.10690 - 2010/06/27(Sun) 04:57:36

☆ Re: 組み合わせの問題 / 少女B

n=ab (但し,0<b≦a)と因数分解できたとすると
s:=(a+b)/2,t:=(a-b)/2とすれば
ab=s^2-t^2となるのかなあとも思いましたが

例えば,n=20,a=5,b=4とすると
s=(5-4)/2=1/2でsは自然数になりませんよね。

どうすればいいのでしょうか?

No.10691 - 2010/06/27(Sun) 06:14:38

☆ Re: 組み合わせの問題 / 我疑う故に存在する我

2 は √2 以上の 2 の約数になるが、平方数 0, 1, 4, 9, ..... の差にならない。

No.10693 - 2010/06/27(Sun) 08:31:24

☆ Re: 組み合わせの問題 / 少女B

> 2 は √2 以上の 2 の約数になるが、平方数 0, 1, 4, 9, ..... の差にならない。

すいません。それはそうでしょうが,

例えば,n=20,a=5,b=4とすると
s=(5-4)/2=1/2でsは自然数になりませんよね。

のケースでは私は何を勘違いしているのでしょうか?

No.10698 - 2010/06/28(Mon) 01:12:40

☆ Re: 組み合わせの問題 / 少女B

すいません。

nは奇数という条件がついておりました。これで解けました。
どうもお騒がせ致しました。

No.10699 - 2010/06/28(Mon) 03:09:17

★ 物理?T / ハオ

宜しくお願いします

No.10683 - 2010/06/26(Sat) 16:35:40

☆ Re: 物理?T / ハオ

空欄(3)が分かりません。
解答では(1)で導いた式を漸化式に見立てて解を出しています。
確かにその方法は合っていると思いますが
僕の解き方のいけない部分が分かりません。
何処が間違っていますか。教えて下さい。
又画像を添付する際に300Kbに直すと文字が見づらくなってしまいます。光学の為に良い添付の仕方を教えて下さい

No.10684 - 2010/06/26(Sat) 16:41:05

☆ Re: 物理?T / ヨッシー

パソコン＋スキャナでしょうか？

解像度200DPI 位はないと、ちょっと読めないですね。特に添え字が。
解像度重視で、色を落としていく方法で、容量落とせばいいでしょう。
最悪、モノクロでも。

No.10685 - 2010/06/26(Sat) 18:57:28

☆ Re: 物理?T / angel

とりあえず、見た範囲で。
(3)では、複数の立方体Aを繋ぐ複数の糸がある中で、一本の糸だけ張力を増して、立方体が動き出す直前の状況を考えているのだと読み取りました。

そうすると、その「一本の糸」に引かれている立方体は、強い張力・摩擦力を受けますが、そこから離れる毎に張力・摩擦力は弱まっていくことが想定されます。
※数珠繋ぎになった車を、先頭車両だけ引っ張って動かす時と似たようなもの

しかしながら、ハオさんの解き方を見ていると、特に摩擦力が全て共通の想定で計算しているように見えます。そこが問題ではないでしょうか。

(1)で、T2=αT1 のような関係を見つけているのだから、(3)に応用すると、
　Tn=αTn-1, Tn-1=αTn-2, …, T2=αT1
　つまり、Tn=α^(n-1)・T1
となると考えられます。

後、(2)で、既にθの値を求めているので、(3)の答からは、θを消去しなければなりません。( 途中まではθで良いけど )

という所で計算し直してみてはいかがでしょうか。

No.10708 - 2010/06/29(Tue) 23:04:17

☆ Re: 物理?T / ハオ

返信遅くなって申し訳ありません。テスト期間中であったもので。
次回からはモノクロで挑戦してみます！
angelさん見にくい中わざわざ解読してくださり感謝致します。摩擦力の件が間違っているという指摘はズバリそのものでした。有難う御座います。

No.10748 - 2010/07/02(Fri) 07:11:38

★ 高２　数?U　対数 / あつき

よろしくお願いします。
なお、「log10の2」という書き方は、１０が底にあたる数字で、２が真数にあたる数字のことです。

(１)(1/125)＾2を小数で表したとき、少数第42位に初めて０でない数字が現れる。その値は何か。ただし、log10の2=0.3010とする。

(２)a＞1のとき、(logaのｘ)^2-4≧-log(ax^3)+logaのｘを満たすｘの値の範囲を求めよ。

ちなみに、解答は(１)１で、(２)0＜x≦1/a^3,a≦xです。

　

No.10676 - 2010/06/24(Thu) 23:28:46

☆ Re: 高２　数?U　対数 / ヨッシー

(1) (1/125)^2=0.0000064 なので、問題に誤りがあります。

(2) log(ax^3) は、何が底ですか？

No.10679 - 2010/06/25(Fri) 22:46:10

☆ Re: 高２　数?U　対数 / あつき

失礼しました。

(１)(1/125)^2→(1/125)^20

(２)log(ax^3)→logaの(ax^3)

の誤りでした。

No.10686 - 2010/06/26(Sat) 19:12:55

☆ Re: 高２　数?U　対数 / ヨッシー

(1)
　(1/125)^20＝5^(-60)＝10^(-60)×2^60
10^(-60) は、位を移動するだけなので、
2^60 の最上位の数を調べます。
対数を取って、
　log₁₀2^60＝60log₁₀2≒18.06
一方、
　log₁₀2^59＝59log₁₀2≒17.759
なので、2^59→2^60 のところで、桁が１つ上がっています。
よって、最上位の数は１です。

(2)
(log_aｘ)²－４≧-log_a(ax^3)＋log_aｘ
ですね。
　log_a(ax³)＝log_aa＋log_ax³
　　＝１＋３log_aｘ
より、log_aｘ＝Ｘとおくと、
　Ｘ²－４≧－１－３Ｘ＋Ｘ
より、
　Ｘ²＋２Ｘ－３≧０
　(Ｘ－１)(Ｘ＋３)≧０
よって、　Ｘ≦－３　または　Ｘ≧１
ａ＞１より、
log_aｘ≦－３＝log_aａ^-3
より
ｘ≦ａ^-3＝1/a³

log_aｘ≧１＝log_aａ
より
ｘ≧ａ

これらに、真数条件を考慮して、
　０＜ｘ≦1/a³または　ｘ≧ａ

No.10688 - 2010/06/26(Sat) 23:54:12

☆ Re: 高２　数?U　対数 / あつき

いつも本当にありがとうございます。
非常に分かりやすいです。

No.10696 - 2010/06/27(Sun) 16:21:10

★ サイコロに関する確率 / ヒロ

1から6までの数が書いてある同様のサイコロを3個振るとき、出た数の積が8の倍数となる確率の求め方を教えてください。

No.10669 - 2010/06/23(Wed) 21:49:03

☆ Re: サイコロに関する確率 / ヨッシー

目の出方は全部で６³＝216(通り)

３個とも奇数なのは　３³＝27(通り)
１個が偶数で２個が奇数なのは　３×３³＝81(通り)
２個が２または６で１個が奇数なのは　３×２×２×３＝36(通り)
合計144通りが、8の倍数にならない場合で、残り72通りは8の倍数となる。
確率は 1/3

No.10670 - 2010/06/23(Wed) 22:23:04

☆ Re: サイコロに関する確率 / ヒロ

明解な説明、ありがとうございます。
なお、引き続きで申し訳ありませんが、同じ状況で「3つの数の積が12の倍数になる確率」については、どうなるか。ご説明いただければ幸いです。

No.10671 - 2010/06/23(Wed) 23:06:35

☆ Re: サイコロに関する確率 / ヨッシー

奇数３つ　２７通り
奇数２つと２または６　３×３×３×２＝５４
奇数２つ（１または５）と４　３×２×２×１＝１２
奇数１つ（１または５）と偶数２つ（２か４）　３×２³＝２４
偶数３つ（２か４）　２³＝８
合計１２５が12の倍数にならない場合で、残り91通りが12の倍数。
確率は、91/216

No.10672 - 2010/06/24(Thu) 00:32:22

★ 面積比の問題 / 神　純一郎

三角形ABCの辺BC、CA、ABをそれぞれ２：１に内分する点をD、E、Fとする。AとD、BとE、CとFを結んだとき、三角形ABCと真中にでき三角形の面積比を求めよという問題です。分野は多分チェバメネラウスだと思うのですが、高校数学は勉強し終えたので、どのような解答でも大丈夫です。よろしくお願いします。

No.10660 - 2010/06/22(Tue) 22:27:08

☆ Re: 面積比の問題 / ヨッシー

どこぞの中学入試であったと思います。

図のように、中央の小さい三角形と合同な三角形をいっぱい作ることが出来ます。
３つの平行四辺形は、小さい三角形４つ分で、△ＡＢＣの
内部にあるのは、その半分で２つ分。
それが３つ分と、中央の白い三角も含めて、△ＡＢＣは、
小さい三角形の７倍ということになります。

No.10661 - 2010/06/22(Tue) 22:46:41

☆ Re: 面積比の問題 / ヨッシー

実際の入試ではなく、
ブルーバックス　中村義作著『解ければ天才！算数１００の難問・奇問』
の問題３７で、想定問題として掲載されていました。

No.10662 - 2010/06/22(Tue) 22:50:23

☆ Re: 面積比の問題 / 神　純一郎

ありがとうございました。３時間くらい考えても分からなかったのですが、すっきりしました。

No.10677 - 2010/06/25(Fri) 10:37:01

★ (No Subject) / あつき

度重なる質問、申し訳ございません。

　Ａ，Ｂ２人が次のようなゲームをする。
１枚の硬貨を１回投げるごとに、表が出るとＡが１点得点し、裏が出るとＢが１点得点する。どちらか一方が４点になったときに硬貨投げを止め、４点得点した方を勝者とし、もう一方を敗者とする。このとき、

(１)Ａの得点が１点かつＢの得点が２点という状況を経て、
　　Ａがこのゲームの勝者となる確率を求めよ。

(２)Ａの得点がＢの得点より多いか、または同点であるとい　　う状態を、ゲームの始めから終わりまで保ちながら、Ａ　　がこのゲームの勝者となる確率を求めよ。

(３)このゲームの勝者が決まるまでの、硬貨を投げる回数の　　期待値を求めよ。また、敗者の期待値の得点を求めよ。

明日までの宿題です。参考書を見ても分からず、考え方からさっぱりです。
よろしくお願いします。

No.10656 - 2010/06/22(Tue) 19:45:02

☆ Re: / ヨッシー

(1)
まず、Ａ１点Ｂ２点になる確率は、
ＡＢＢ，ＢＡＢ，ＢＢＡの順に得点する３通りがそれぞれ
1/8 ずつ起こるので、3/8。
その先、
ＡＡＡと点を入れるのが 1/8
ＡＡＡＢ，ＡＡＢＡ，ＡＢＡＡ，ＢＡＡＡと点を入れるのが1/16 ずつ４通りで 1/4。
合計 3/8 で、全部の確率は、3/8×3/8＝9/64

(2)
まず、この図を見てください。

これは、左下の両者０点の位置からスタートして、上向きがＡの勝ち、
右向きがＢの勝ちとして、どちらかが４勝するまでのパターンを
道筋で示したものです。
道を１つ進むごとに確率は1/2倍され、
Ａが４点連続して取るのは１通りで、確率は道４つ分で1/16。
Ａ４点Ｂ１点で勝負が付くのは４通りで、確率は1/32 で、計1/8。
Ａ４点Ｂ２点で勝負が付くのは１０通りで、確率は1/64 で、計 5/32
Ａ４点Ｂ３点で勝負が付くのは２０通りで、確率は1/128 で、計5/32
Ｂが勝つのは、Ａの場合を逆にしたものとなります。

これを、Ａがリードか同点に限った図を描くと、このようになります。

確率は、
　1/16＋3/32＋5/64＋5/128＝35/128

(3) (2)の前半で書き並べた確率を使うと、
Ａが勝つ場合
　４回で決まる　1/16
　５回で決まる　1/8
　６回で決まる　5/32
　７回で決まる　5/32
で、期待値は、
　4/16＋5/8＋30/32＋35/32＝93/32
Ｂが勝つのも同じだけあるので、合計の期待値は 93/16(回)

No.10658 - 2010/06/22(Tue) 22:21:35

☆ Re: / ヨッシー

敗者の得点の期待値
　０点で負ける　1/16
　１点で負ける　1/8
　２点で負ける　5/32
　３点で負ける　5/32
なので、
　1/8＋10/32＋15/32＝29/32

No.10659 - 2010/06/22(Tue) 22:23:32

☆ Re: / あつき

ありがとうございました！
きちんと宿題を提出することができました。　

No.10667 - 2010/06/23(Wed) 18:19:51