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★ 確率と微積 / Ｔｏｎ
1、正しいものは○ちがうものはバツをつける
○×問題が６問あり解答者がまったくでたらめに印をつける。

（１）全部正解の確率
　　１／６４　　であってますか？

（２）5個以上正解である確率
　　　これが分かりません
（３）少なくとも半分正解の確率　
　　　これも分かりません


２、放物線ｙ＝ｘ＾２＋２ｘ−２とｙ＝ａｘで囲まれる
図形の面積をＳ（ａ）とする

（１）Ｓ（ａ）をａで表せ・・・
　　　これが分かりません　
一応出ましたが、指数とかが出てきて・・・


（２）Ｓ（ａ）が最少になるときのａとそのときのＳ（ａ）は？
これもできませんでした・・・・


どなたかスマートなやりかたをおねがいします
No.8474 - 2009/10/18(Sun) 23:11:44
☆ Re: 確率と微積 / ヨッシー
(1) はそれで合っています。
(2) は、(1) に、５問正解の確率を足したものです。
　５問正解の確率は、どの５問を正解するかの選び方が 6Ｃ5＝6(通り)
　１つにつき1/64 の確率で起こるので、
　　6×1/64＝6/64
　(1) と足して、答えは、7/64 になります。
(3) ３問正解の確率は、
　6Ｃ3×1/64＝20/64＝5/16
　(1 + 5/16)÷2＝21/32
または
　5/16＋(1−5/16)÷2＝21/32
もちろん、４問正解の確率 6Ｃ4×1/64＝20/64 を出して
　1/64＋6/64＋15/64＋20/64＝42/64＝21/32
としても出ます。
No.8483 - 2009/10/19(Mon) 09:20:10
☆ Re: 確率と微積 / ヨッシー
積分の方は、こちらの一番目の公式を使いましょう。

ｙ＝ｘ＾２＋２ｘ−２とｙ＝ａｘを連立させた、
　ｘ^2＋(２−ａ)ｘ−２＝０
の解をα、β(α＜β)とすると、
　S(a)＝(β−α)^3/６
となります。
解と係数の関係　α＋β＝ａ−２、αβ＝−２　より
　(β−α)^2＝(α＋β)^2−4αβ＝(ａ−２)^2＋８＝ａ^2−４ａ＋１２
よって、
　S(a)＝(ａ^2−４ａ＋１２)^(3/2)/６

ａ^2−４ａ＋１２は常に正で、これが最小の時S(a) も最小なので、
　ａ^2−４ａ＋１２＝(ａ−２)^2＋８
より、ａ＝２のとき最小で、
　S(2)＝8√8/6＝8√2/3

微分でも出来ます。
S(a)を a で微分して、
　S'(a)＝(3/2)(2a-4)(ａ^2−４ａ＋１２)^(1/2)/６
ａ^2−４ａ＋１２は常に正なので、S'(a) は
　ａ＜２ で負、ａ＞２で正、ａ＝２で０
となり、ａ＝２で、極小かつ最小になります。
S(2)＝・・・(以下同じ)
No.8484 - 2009/10/19(Mon) 09:35:08
☆ Re: 確率と微積 / Ｔｏｍ
ありがとうございます
このレベルの問題はどういった問題集に載ってますか？
No.8504 - 2009/10/20(Tue) 23:46:57
☆ Re: 確率と微積 / ヨッシー
これ！といってドンピシャのはわかりませんが、
確率の方は、割と基本的なので、大抵のものには載っているでしょう。
積分のほうは、(β−α)^3/6 の公式は、普通の教科書傍用の
問題集に出ています。その後を解と係数で解くか、解の公式で
解くかは、微妙(難易度に大差ない)ですが、どちらかの方法は
載っているでしょう。

いずれにしても、さほど突飛な問題ではないと思います。
No.8510 - 2009/10/21(Wed) 12:58:45
☆ Re: 確率と微積 / Ｔｏｍ
ありがとうございます
No.8519 - 2009/10/22(Thu) 10:59:47
★ 初めまして / かえる
大学生です。
家庭教師のアルバイトで教えている高３生徒からの質問が分からず、助けて頂きたいです。

α=(3+√5)/2とする。数列{An}を、
　　An=α^n+1/α^n (n=1,2,3…)
と定める。
(1)A1,A2,を求めよ。
(2)An+2=3An+1-An (n=1,2,3…)
(3)α^n (n=1,2,3…) にもっとも近い整数を４で割った余りを求めよ

という問題で、(1)(2)は何とか解けたのですが、(3)が分かりませんでした。
誘導問題だと思いますが、乗れず。
よろしくお願いします(*_ _)
No.8472 - 2009/10/18(Sun) 21:25:37
☆ Re: 初めまして / rtz
A1〜A6あたりまで調べてみるといいでしょう。
あとは数学的帰納法などで証明が可能です。
No.8473 - 2009/10/18(Sun) 22:52:09
★ ベクトル / いっぴー
(1)s+t=1,s≧0,t≧0のとき、(OP→)=s(OA→)+t(OB→)をみたす点Pの存在範囲を図示しなさい。
(2)s≧0,t≧0のとき、(OP→)=s(OA→)+t(OB→)をみたす点Pの存在範囲を図示しなさい。
(3)3s-2t≦1,s≧0,t≧0のとき、(OP→)=s(OA→)+t(OB→)をみたす点Pの存在範囲を図示しなさい。

(1)は内分点の公式から直線になるとすぐ分ったんですが、(2)と(3)の解き方がさっぱり分からないです。やり方を教えてください。お願いします。
No.8462 - 2009/10/18(Sun) 15:16:36
☆ Re: ベクトル / ヨッシー
この手の問題を理解する一つの方法として、
ＯＡ＝(1,0)、ＯＢ＝(0,1) とすると、
ＯＰ＝(s,t) となるので、ｓ≧０，ｔ≧０ のときに
座標(s,t) が表す領域を考えれば、わかりやすいです。
No.8464 - 2009/10/18(Sun) 16:38:50
☆ Re: ベクトル / いっぴー
(2)はOA方向には長さs、OB方向には長さtの長方形になるということでしょうか？

(3)のほうはやっぱわからないです。
No.8466 - 2009/10/18(Sun) 19:06:25
☆ Re: ベクトル / ヨッシー
(2) は、およそ正しいですが、s,t は、0以上で、いくらでも大きい
値を取れるんですよね。
何とか象限という言い方をするとどうなるでしょうか？

(3) は、S=3s T=-2t とおくと、
　ＯＰ＝(S/3)ＯＡ＋(-t/2)ＯＢ
となりますから、
　ＯＣ＝ＯＡ/3, ＯＤ＝ＯＢ/(-2)
とおくと、
　ＯＰ＝SＯＣ＋TＯＤ
　S+T≦1
となり、(1)や(2) と同じ問題になります。

こちらもあわせてご覧ください。
No.8470 - 2009/10/18(Sun) 21:15:25
★ はじめまして。 / あき

2点、A(a-??3、2a-3)
B(a+6-??3、2a+9)と
曲線 y=(x^3/3)-X-3 がある。

線分AB(両端含む)上の任意の点Pから曲線に異なる3本の接線が引けるためのａについての条件を求めよ。


よろしくお願いします。



No.8459 - 2009/10/18(Sun) 12:11:55
☆ Re: はじめまして。 / rtz
[1].y=(1/3)x^3-x-3に対し、接線が3本引けるような点の存在範囲を求める。
[2].直線ABを式で表し、y=(1/3)x^3-x-3との位置関係をグラフに表す。
[3].直線ABの区間幅6の全ての点が[1]で求めた範囲に入っているような区間を考え、その条件をaで表す。
No.8461 - 2009/10/18(Sun) 14:58:47
☆ Re: はじめまして。 / あき

レスありがとうございます★

1) の 点の存在範囲とは
どう求めたら良いのですか?
No.8465 - 2009/10/18(Sun) 16:55:12
☆ Re: はじめまして。 / rtz
f(x)=(1/3)x^3-x-3

点(x,y)からy=f(x)に対し接線が3本引ける
⇔y=f(x)上の点(t,f(t))における接線が点(x,y)を通るとしたとき、tに関する3次方程式が3つの相異なる実数解を持つ。
⇔3次方程式y=f'(t)(x-t)+f(t)が3つの相異なる実数解を持つ。
No.8467 - 2009/10/18(Sun) 19:22:57
☆ Re: はじめまして。 / あき


すみません ‥
まだよくわからないです。

y=-(2/3)t^3+xt^2-x-3
となるわけですか ?


それ以降、どうすれば良いのでしょうか?

質問ばかりですみません
No.8481 - 2009/10/19(Mon) 08:27:58
☆ Re: はじめまして。 / rtz
どの部分が分からないか具体的に書いていただけますか？

＞点(x,y)からy=f(x)に対し接線が3本引ける
＞⇔y=f(x)上の点(t,f(t))における接線が点(x,y)を通るとしたとき、tに関する3次方程式が3つの相異なる実数解を持つ。
＞⇔3次方程式y=f'(t)(x-t)+f(t)が3つの相異なる実数解を持つ。

の部分は理解されたと考えてよろしいのですか。
No.8490 - 2009/10/19(Mon) 23:13:36
★ 不等式の問題についてです / ゆりか

x^log{a}x＞(x/a)^a

はどのようにして
解くのですか ‥ ?


No.8458 - 2009/10/18(Sun) 11:14:58
☆ Re: 不等式の問題についてです / ゆりか

すみません。
a＞0 です 。
No.8460 - 2009/10/18(Sun) 12:12:32
☆ Re: 不等式の問題についてです / rtz
両辺とも底aで対数をとればよいでしょう。
aの値に気を付ければ、2次不等式に帰着します。
No.8463 - 2009/10/18(Sun) 15:56:44
☆ Re: 不等式の問題についてです / ゆりか


説明ありがとうございます


両辺とも底aで対数を取るとは、どういうことですか?


No.8468 - 2009/10/18(Sun) 19:30:00
☆ Re: 不等式の問題についてです / ヨッシー
x^log{a}x＞(x/a)^a
に対して、
　loga(x^log{a}x)
と
　loga(x/a)^a
を考えるということです。
　loga(x^log{a}x)＞loga(x/a)^a
になるか
　loga(x^log{a}x)＜loga(x/a)^a
になるかは、状況によって違います。
No.8471 - 2009/10/18(Sun) 21:18:50
☆ Re: 不等式の問題についてです / ゆりか


ありがとうございます！
わかりました 。
No.8479 - 2009/10/19(Mon) 07:40:12
★ 証明問題 / ｸﾙﾄﾝ
http://www.dotup.org/uploda/www.dotup.org264072.jpg_sS234CC7e46duIPSTlWg/www.dotup.org264072.jpg
高1です
この図形でP,O,D,Eが1つの円周上にあることを方べきの定理の逆を用いて証明したいんですけど
よくわかりません

CP*CO=CD*CEを証明すればよいと思うのですが
CA*CB=CD*CEまでしかわかりません
次はCP*CO=CA*CBを示せばよいのかなとは思うのですがもう手詰まりです
どうしたらいいでしょうか
No.8454 - 2009/10/15(Thu) 22:43:14
☆ Re: 証明問題 / だるまにおん
四角形APBOは円に内接しますね。　
No.8455 - 2009/10/15(Thu) 23:56:33
★ (No Subject) / タレス　
ありがとうございます！
No.8453 - 2009/10/15(Thu) 22:13:20
★ メネラウスの定理の逆 / タレス　
二回目の質問です。三角形ＡＢＣにおいて、∠Ａの外角の二等分線が辺ＢＣの延長と交わる点をＰとし、∠Ｂ、∠Ｃの二等分線が辺ＣＡ、ＡＢと交わる点をそれぞれＱ、Ｒとする。このとき、３点Ｐ、Ｑ、Ｒが一直線上にあるのはどう証明すればいいんでしょうか？お願いします！
No.8451 - 2009/10/15(Thu) 19:42:34
☆ Re: メネラウスの定理の逆 / rtz
表題の通りです。

どこを使えばメネラウスの定理の逆が適用できるか考えましょう。
なお、角の二等分線の性質(内角、外角)が必要になります。
http://kurihara.sansu.org/theory/kaku2bun.html
http://kurihara.sansu.org/theory/kaku2bun2.html
No.8452 - 2009/10/15(Thu) 21:21:17
★ (No Subject) / ぽんた
0<t<1で1/(t+a)+1-1/a≧0
をといたら　a≧(√5-1)/2
になります？
　　　　　　
No.8440 - 2009/10/14(Wed) 23:05:27
☆ Re: / らすかる
なりません。
t=1/2、a=-2 でも不等式が成り立ちます。
No.8442 - 2009/10/15(Thu) 01:27:15
★ 確率 / aki
こんばんは。
続けて失礼します。
また簡単な質問で申し訳ないです。

3このサイコロを同時に投げるとき2種類の目が出る確率を求めよ

余事象を使わないで考えたいのですが、
6C2×3C2/6^3=5/24
と思いましたが、正答は5/12でした。

2種類の目の組合せ×その2種類が3このサイコロのうちのどれか

という考え方をしました。

間違いのご指摘をいただけないでしょうか、宜しくお願いします。
No.8430 - 2009/10/14(Wed) 18:37:02
☆ Re: 確率 / rtz
2種類の目の組合せ(例：1&2)
その2種類が3このサイコロのうちのどれか(例：112 or 121 or 211)

221、212、122はどこで数えたのでしょうか。
No.8432 - 2009/10/14(Wed) 18:47:37
☆ Re: 確率 / aki
3C2の部分で数えたつもりです…
3P2/2!の意味です…


No.8434 - 2009/10/14(Wed) 20:17:46
☆ Re: 確率 / ヨッシー
rtzさん：「１と２を選んだとき、目の出方は 112,121,211,221,212,122 の６通りなのに
３つしか数えていませんね。」
akiさん：「はい、3Ｃ2＝３ ですから、ちゃんと数えています」

これでは、話が続きません。

また、なぜ、余事象を使わないのですか？
No.8438 - 2009/10/14(Wed) 21:42:41
☆ Re: 確率 / aki
rtzさんのおっしゃる意味が分かっていませんでした。
日本語が理解できていませんでした。
ごめんなさい。

やっと理解しました。ありがとうございました。

余事象を使わなかったのは確かめをしたかったからです。
No.8444 - 2009/10/15(Thu) 14:14:21
★ じゅず / aki
こんばんは。
今日も質問お願いします！

基礎的な問題ですみませんがお願いします

白玉4こ 黒玉3こ 赤玉一個 を円形に並べてさらにこれらの玉に紐を通して輪を作る方法は何通りか

まず円の並べ方は35でした。
次に左右対称のものを考えると三つありました。
ここからなのですが、この左右対称なものが35の内に2こずつ含まれていると思い
35−2×3で29と答えにしましたが、正答は違うようで、左右対称のものを35からひいて2で割っていて、私とは考え方が逆のようでした。

1年生のとき理解したのに、またわからなくなり悲しいです。
手持ちの参考書で類題を見つけられませんでしたので、どなたか易しく教えて下さい、宜しくお願いします。


No.8429 - 2009/10/14(Wed) 17:51:58
☆ Re: じゅず / rtz
目的が何なのか理解していますか？

ダブったものを排除するためですよね？
もっと言えば
「左右対称でないものは裏返すことで必ずダブりが出るから一方は取り除く」んですよね？
本当に35通りの中に"左右対称で、かつダブってるもの"はありますか？


そもそも2個ずつ含まれているというなら、
1個は残しておかなければならないのですから、
2倍を引く意味は何なのでしょうか。

よく考えてみてください。
No.8431 - 2009/10/14(Wed) 18:44:38
☆ Re: じゅず / ヨッシー
いきなり８個だと荷が重いので、
白２個、黒１個、赤１個くらいで考えればどうですか？

No.8437 - 2009/10/14(Wed) 21:33:39
☆ Re: じゅず / aki
理解できました。
非対称のものにダブりがありますね。
本当にありがとうございました。
No.8445 - 2009/10/15(Thu) 15:17:09
★ 分数で与えられた漸化式の一般項 / 涼流
漸化式の一般項を求める問題です。

a[1] = 4 …… #1,
a[n+1] = (4a[n] - 9)/(a[n] - 2) …… #2
のような漸化式ならば、#2を満たす数列をf[n] = kと置いて、
k = 3を導いて解けたのですが、

a[n+1] = (2a[n] - 1)/(a[n] + 1) …… #3
だと虚数解が出て来てしまい、解けません。

調べてみると、
a[5] = -0.11111111111111123;
a[6] = -1.3750000000000007;
a[7] = 9.999999999999986;
a[8] = 1.7272727272727268;
a[9] = 0.8999999999999999;
a[10] = 0.4210526315789473;
が繰り返している数列のようです。
#2の漸化式では3に収束するような形でした。

このように、より一般的な分数の形の漸化式を解く方法はないのでしょうか?
入試には出ないかも知れませんが、色々と考えたのですが分からないので
出来ればヒントなど参考になる方法をご教授願いたいと思います。

お時間がありましたら、どうか宜しくお願いします。
No.8422 - 2009/10/13(Tue) 22:48:06
☆ Re: 分数で与えられた漸化式の一般項 / らすかる
虚数解が出たら、虚数解のまま解いていけばよいのでは？
数列が実数でも一般項に虚数が登場することはあります。
No.8423 - 2009/10/14(Wed) 00:18:32
☆ Re: 分数で与えられた漸化式の一般項 / ast
一次分数変換 (メビウス変換) はガウス平面 (に無限遠点を加えたもの) や上半平面で考えるのが自然なので, その不動点である特性方程式の解が一般に複素数となることにそれほど驚かなくても大丈夫です.

とりあえず行列を使うことに抵抗が無いのであれば, 適当に検索してみたところ入試レベルの解説で手ごろそうなのが, たとえばこのへんとかこのへんあたりに見つかります (いずれもPDFファイルですので誤クリック注意) . まあきっちり読みこなそうと思えば大学初年度級の線型代数の知識があったほうがいいと思いますが.
No.8427 - 2009/10/14(Wed) 04:18:28
☆ Re: 分数で与えられた漸化式の一般項 / 涼流
どうも分かり易いサイトを紹介いて頂き、ありりがとうございました。

複素数がでてしまっても、解き進めれば一往解が出るのですね^^;
唯、余りにも複雑すぎて途中で挫折しました;

云われてみれば、兎に角計算して実数になればいいので複素数が出てもおかしくはないですよね。

どうもありがとうございました。これからも躓いた時に助けて頂けると嬉しいです
No.8441 - 2009/10/15(Thu) 00:21:32
★ (No Subject) / ぽんた
空間図形の問題です
ヒントだけでもいただけたら幸いです
　
xyz空間に、連立不等式
　x^2+y^2+z^2≦1
z≧0
であらわされる領域Dと点A(1,0,√3)がある。
　点PがD全体をくまなく動くとき、線分APが通過してできる領域の体積を求めよ。
　
　ヒントだけでもおねがいします。
　
No.8419 - 2009/10/13(Tue) 20:56:59
☆ Re: / ヨッシー

図は、ｙ軸の方向から見た図です。
このように、半球に、円すいの帽子をかぶせたような形になります。
円すいは、底面の半径が√3/2、高さ3/2。
円すいは、球に、半径の半分まで食い込んでいます。
No.8420 - 2009/10/13(Tue) 21:56:17
☆ Re: / ぽんた
図はイメージできたんですが、これがきれいで歪んでない円錐だということはどうやって自分のなかであきらかにできますか？どうして底面が（そもそも面になること自体が理屈では確信持てません）円になるとわかるのでしょうか？
少し角度を変えて見てみようとすると、頭の中での処理に困るのです。
No.8421 - 2009/10/13(Tue) 22:12:41
☆ Re: / ヨッシー
上の図を少し変えました(Ｂ、Ｃを追加)

この問題、点Ａから、球に向かって引いた接線の集合で出来る
円すいがポイントというところまでは良いですか？
（円すいであるかどうかは、今から説明します）
球がｘｙ平面で半分に切られますが、円すいにはギリギリ触れないので
とりあえず無視します。

Ａから球に引いた任意の接線の、球との接点をＢとすると
ＯＡ＝２、ＯＢ＝１（半径）、∠ＡＢＯ＝90°
より、ＡＢ＝√3
Ｂから、ＡＯに引いた垂線の足をＣとすると、
　ＡＣ：ＣＯ＝ＡＢ^2：ＯＢ^2＝３：１
より、ＯＣ＝1/2 また、ＣＢ＝√3/2
これは、点Ｂがどの位置にあってもなりたつので、
点Ｂは点Ｃを通り、ＡＯに垂直な平面上で、点Ｃを中心とした
半径√3/2 の円上にあります。
No.8426 - 2009/10/14(Wed) 03:54:49
☆ Re: / ぽんた
点Ｂがどの位置にあってもなりたつ」んですか？
それと、ＡＣ：ＣＯ＝ＡＢ^2：ＯＢ^2＝３：１
とありますが、なぜでしょうか
AC:CO=OA:OBならわかるんですが
No.8435 - 2009/10/14(Wed) 20:55:18
☆ Re: / ヨッシー
点Ｂがどこにあっても成り立ちます。
点Ｂ（点Ａから球に引いた接線の接点）を適当にとって、
ＡＯＢを通る平面で切ると、上のような図になります（ｘ軸、ｚ軸は違いますが）。

△ＡＣＢと△ＢＣＯは相似なので、
　△ＡＣＢ：△ＢＣＯ＝ＡＢ^2：ＯＢ^2
（面積比は、相似比の２乗）
一方、
　△ＡＣＢ：△ＢＣＯ＝ＡＣ：ＣＯ
（高さ＝ＣＢ共通の時、面積比は底辺比）
より、
　ＡＣ：ＣＯ＝ＡＢ^2：ＯＢ^2
です。わかりにくければ、実際の長さで、
ＯＢ＝１，ＯＡ＝２，ＯＣ＝ＯＢ÷２＝0.5
ＡＣ＝ＯＡ−ＯＣ＝1.5
よって、ＡＣ：ＣＯ＝1.5：0.5＝3：1
としても良いです。

ちなみに、AC:CO=OA:OB は誤りです。
No.8436 - 2009/10/14(Wed) 21:23:46
☆ Re: / ぽんた
わかりました
丁寧な解説ありがとうございました
No.8439 - 2009/10/14(Wed) 23:03:32
★ 対称性 / ガイジン
こんにちは！
2変数関数に対する疑問があります。

z=f(x,y)
の関数で、関数zの偏微分から
g1(x,y)=(∂z/∂x)
g2(x,y)=(∂z/∂y)
と定義したとする。

g1とg2の間には対称性（面対称/線対称/点対称 etc)があると思いますか?
解説もあれば助かります。
よろしくお願いします！
No.8414 - 2009/10/13(Tue) 17:23:39
☆ Re: 対称性 / らすかる
例えばf(x,y)=x^3とすると
g1(x,y)=3x^2
g2(x,y)=0
対称性はまったくないですね。
No.8418 - 2009/10/13(Tue) 19:07:07
★ 三角形の相似の証明 / いか
中学レベルの問題です。
問題は画像の通り△ABI∽△AGFの証明です。

線分AIは∠Aの二等分線なので
∠BAI = ∠GAF
は明らかですが、もう一組の角が等しいとどうしても言えません。
教えていただけませんか？
No.8407 - 2009/10/13(Tue) 00:47:41
☆ Re: 三角形の相似の証明 / らすかる
∠AIB=∠AID+∠DIB
=(90°-∠DAI)+((1/2)∠DIE)
=(90°-∠FAI)+(∠DFE)
=(∠AFD)+(∠DFE)
=∠AFE
となりますね。
No.8409 - 2009/10/13(Tue) 01:33:22
☆ Re: 三角形の相似の証明 / いか
なるほど〜。
角を２つに分けてそれぞれについて考えていくんですね。
このような考え方はしていなかったので、大変勉強になりました。
どうもありがとうございました！！
No.8410 - 2009/10/13(Tue) 01:52:22
★ 証明 / aki
こんばんは！
いつもありがとうございます。
宜しくお願いします。
関数y=f(x)の第二次関数f''(x)の値が常に正とする
このとき実数a b t (a＜b 0≦t≦1)について不等式f((1−t)a＋tb)≦(1−t)f(a)＋tf(b)が成り立つことを示せ
また等号が成り立つのはどのような場合か

まずg(t)=(1−t)f(a)＋tf(b)−f((1−t)a＋tb)とおき0≦t≦1でg(t)≧0を示そうとすると
g'(t)=−f(a)＋f(b)＋(a−b)f((1−t)a＋tb)
g''(t)=(−a＋b)f''((1−t)a＋tb)＞0
(b−a＞0とf''(x)＞0より)
まで証明しました。
ここから単調増加を使っていこうとしましたが、
g''(0)=(−a＋b)f''(a)＞0
g''(1)=(−a＋b)f''(b＞0)
でg'(t)は単調増加

g'(0)=−f(a)＋f(b)＋(a−b)f'(a)
まで考えましたが、ここから立ち止まってしまいました。

まずこの考え方で答えは導けるのでしょうか？そしてここからどうしたらよいのでしょうか？
すみませんが宜しくお願いします。
No.8406 - 2009/10/13(Tue) 00:47:25
☆ Re: 証明 / 雀
g''(t)の計算が間違っています。


あとはf''(x)の値が常に正よりf'(x)が増加関数ということを
使うとできると思います。
No.8413 - 2009/10/13(Tue) 06:53:50
☆ Re: 証明 / aki
どう間違っているか教えていただけないでしょうか？
見直しましたが、わかりませんでしたので…

また、この続きですが、g''(t)が単調増加と分かってもg'(0)=−f(a)＋f(b)＋(a−b)f'(a)となり単調増加の境目がわからないので、この先が解答できません。

教えて下さい(>_<)
No.8415 - 2009/10/13(Tue) 17:27:47
☆ Re: 証明 / ヨッシー
g'(t) も、よく見たら、f' ではなく f になってますね。

　g'(t)=−f(a)＋f(b)＋(a−b)f'((1−t)a＋tb)
であるとして、
f'((1−t)a＋tb) を微分するといくつですか？
No.8416 - 2009/10/13(Tue) 18:32:04
☆ Re: 証明 / aki
本当ですね！
g'(t)のfはf'の間違いでした。
ごめんなさい。

f'((1−t)a＋tb)も、係数が消えていました、(a−b)(−a＋b)f''((1−t)a＋tb)で＜0です。

そうすると単調減少となりましたが、g'(0)は前の解答と変わらないので、やはり立ち止まってしまいました。
この先どうしたらよいのでしょうか？
No.8425 - 2009/10/14(Wed) 03:00:29
☆ Re: 証明 / 豆
まず、この問題は単なる式の大小問題ではなく、凸関数の重要な性質を
表した問題という認識をすることが大切だと思います。
そうすれば、感覚的に（グラフを思い浮かべて）この式が成立する、という
ことが分かると思いますし、
例えば、
『A,B,Cを三角形の内角とした時、sinA+sinB+sinCの最大値を求めよ』
などという問題も一発で解けることになります。

さて、このままのやり方で行くなら、
g'(0)=(b-a)([(f(b)-f(a))/(b-a)]-f’(a))
ここで、平均値の定理より、[　]=f’(c)なるcがa＜c＜bに存在する。
f’(x)は単調増加なので、f'(c)-f'(a)＞0
g'(0)＞0
同様にして、g’(1)＜0
g'(x)は単調減少なので、0＜d＜1なるdでg’(d)=0
g(0)=0　増加　g(d)=極大　減少　g(1)=0
よって、g(t)≧0　　(t=0,1で等号成立)

平均値の定理を最初から当てはめる方法
t=0,1で等号成立するので、0＜t＜1で考える。
a＜(1−t)a＋tb＜bなので、
a＜c＜(1−t)a＋tbなるcに対して、
(f((1−t)a＋tb)-f(a))/( (1−t)a＋tb-a)=f’(c)なるcが存在する
整理すると、
(f((1−t)a＋tb)-f(a))/(t(b-a))=f’(c)
また、(1−t)a＋tb＜d＜bなるdに対して、
(f(b)- f((1−t)a＋tb))/(b- ((1−t)a＋tb))=f’(d)　なるdが存在する
整理すると、
(f(b)- f((1−t)a＋tb))/((1-t)(b-a))=f’(d)
f'(x)は単調増加なので、f'(c)＜f’(d)
上式を当てはめれば、不等号の成立が確認できる。

bを変数で考えるやり方（手順としてはこれが最速か）
g(b)=(1−t)f(a)＋tf(b)−f((1−t)a＋tb)　として、a,tは定数扱い
bで微分、
g'(b)=tf'(b)-tf’((1-t)a+tb)=t(ｆ’(b)-f’((1-t)a+tb))
a＜bとすれば、f'(b)は単調増加なので、g'(b)＞0
g(b)は単調増加　g(a)=0より　g(b)＞0　　(0＜t＜1に対して)
No.8428 - 2009/10/14(Wed) 16:43:12
☆ Re: 証明 / aki
豆さん
三つも解答下さってありがとうございます(>_<)
最初から平均値の方法ですが、まず
a＜(1−t)a＋tb＜bはなぜそうわかるのでしょうか？
お願いします(>_<)
No.8433 - 2009/10/14(Wed) 20:15:03
☆ Re: 証明 / 豆
こういう質問が出るということは、最初に書いたこの式の凸関数としての
重要な性質ということが分からないのでしょうね。
掲示板を見ると、いろんな問題に手当たりしだいチャレンジしているようですが、
こういう基本的な事象を押えずに、色々解いても結局余り力が付かないのでは
ないでしょうか？先ずは基本的な問題がすらすら解けることを目指した方が
良いような気がしますが、如何でしょう？

さて、ご質問の基本的なことに関しての回答は　『内分点』　です。
No.8443 - 2009/10/15(Thu) 07:19:16
☆ Re: 証明 / aki
そんなに基本的なことができていないでしょうか？基本パターンの暗記しかできていないのかもしれませんが。

a b t 1の位置関係が分からない気がします。もう少しこの問題に関して詳しく教えていただけると助かります。

No.8446 - 2009/10/15(Thu) 15:31:37
☆ Re: 証明 / aki
すみません。自分が基本的な質問ばかりしているのは重々承知ですので、この問題を解けるようになりたいので、宜しくお願いします。
No.8447 - 2009/10/15(Thu) 16:36:19
☆ Re: 証明 / 豆
少なくとも、このレベルの問題を解くというのなら、基本的なことの
理解は出来ていないと私は思いますよ。
一旦、頭の中から度忘れしていても『内分点』と言われたら、
なるほどそうだった、と来るくらいでないと、この問題を解くレベル
まで来ていないのではないかと思います。
a＜b　とあるからa,bの位置関係を意識するのは分かりますが、
それに1やtが絡んでくるというのは全く頓珍漢です。
1やtは言わば比例係数的な値ですので、a,bとの位置関係
などという発想は出て来得ません。
どんなことでも少し躓くと、直ぐ教えてくださいでは、その時分かった
積りでも1週間、間違いなく1ヶ月すれば頭から消えてしまっている
と思います。
趣味でやっているならともかく、受験などのためにやっているのだったら
勉強の仕方というのを考え直した方が良いのではないかと思います。
厳しい言い方になったかもしれませんが、余りにも夥しい質問が
毎日のようにアップされ、それで見かけ上、数だけはこなせているので
力が付いているような錯覚にでも陥っているのでは、と敢えて
書かせていただきました。

なお、本件の回答に関しては、内分のところのテキストなりをご自分で
復習されることを期待いたします。
No.8449 - 2009/10/15(Thu) 17:04:51
☆ Re: 証明 / aki
位置関係と書いたのは数直線をイメージしたときの意味で、 tは長さだと思っていいましたが、位置関係という言い方はおかしいかもしれません申し訳ありませんでした。

教えていただいている立場ですので、何も言いません
No.8450 - 2009/10/15(Thu) 17:34:15
☆ Re: 証明 / aki
こんばんは。
内分をこの場合どのように適用していいのかまだわかりません。
最後に教えてもらえないでしょうか？
よければお願いします。
No.8469 - 2009/10/18(Sun) 20:44:47
☆ Re: 証明 / 豆
a,b　(a＜b)　をp：qに内分（内分だから当然p,q＞0）する点cは
c=(qa+pb)/(p+q)　　　これはいくらなんでも自分でやってください
　=(q/(p+q))a+(p/(p+q))b
ここで、q/(p+q)=t　とおけばp/(p+q)=1-tなので、
c=ta+(1-t)b　　もちろんtと1-tは入れ替えてもOK
この式は内分では頻出の式で、このレベルの問題を解く人
にとっては常識レベルのはず。

0＜t＜1としておけば、t+(1-t)=1　で分母が1になるから、
最初から、a,bを(1-t)：tに内分する点で考えても良い。
No.8485 - 2009/10/19(Mon) 11:55:01
☆ Re: 証明 / aki
ありがとうございます。

すみませんが、その計算はわかるのですが、根本的にa＜bと0≦t≦1が今分かっていてもa＜bにおけるtの位置はわからないので、q/p＋qを勝手にtとおけるのがわからないのです…

うまく伝わるとよいのですが(>_<)
変な疑問かもしれませんが、教えていただけると助かります。

宜しくお願いします。
No.8553 - 2009/10/23(Fri) 14:48:44
★ 概日リズム / aki
こんばんは
いつもお世話になっております。
今回生物を聞きたいのですが、よろしいでしょうか？あまり生物的なことではないのでどなたか教えていただきたいです。
http://u.upup.be/?xAiADaQWAv
問い2です。
恒暗条件下からですので、20日目からはあと十日後を考えればよいので、地道に一時間ずつずらしながら数えて、7時から18時と考えましたが、正答は6時からだそうです。
何回数えても十日後は七時からになるので、本当に困ってしまいました。考え方自体のどこかに欠点があるのかもしれません。
すみませんが、分かる方宜しくお願いします。
No.8400 - 2009/10/12(Mon) 20:26:35
☆ Re: 概日リズム / ヨッシー
図の通り25日目は、６時から１８時が休息です。

No.8404 - 2009/10/12(Mon) 21:22:13
☆ Re: 概日リズム / aki
ありがとうございます。
24日目と25日目がずれていないような気がしますが、もしかすると概日リズムが25時間であるから、そこはずれないということでしょうか？
No.8408 - 2009/10/13(Tue) 00:56:09
☆ Re: 概日リズム / Kurdt
活動時間について少し勘違いをされているのですかね。

25日目の活動時間は25日目の18時〜26日目の7時まで続きます。
図では26日目が省略されてはいますが。

この26日目の6時〜7時までの活動時間が
25日目の6時〜7時にかかると考えてしまってるような気がします。

活動時間に着目すると、
23日目は16時〜5時までの13時間、
24日目は17時〜6時までの13時間、
25日目は18時〜(26日目の)7時までの13時間、
となるので、25日目の6時〜7時は活動時間には入りませんね。
No.8411 - 2009/10/13(Tue) 04:58:03
☆ Re: 概日リズム / ヨッシー
こういうグラフを、書くなり、頭に思い描くなりして、
地道に一時間ずつずらしながら数えたんですよね？

まさか、15日目(問題文の20日)が21時から休息なので、
　16日　22時〜
　17日　23時〜
　18日　24時＝0時〜
　19日　1時〜
　20日　2時〜
　21日　3時〜
　22日　4時〜
　23日　5時〜
　24日　6時〜
　25日　7時〜
としたのではないですよね？

7時から18時と、休息時間を11時間と答えている点も気になりますが。
No.8412 - 2009/10/13(Tue) 06:44:20
☆ Re: 概日リズム / aki
ありがとうございます。
携帯で見ていたのでヨッシーさんの図がずれていないように見えましたが、パソコンを使えたのでそれで見たらずれておりました。 勘違いしていました。
Kurdtさんのおっしゃるとおりです。次の日の分も考えてしまっていました。
全く気がつきませんでした、ごめんなさい。
本当に助かりましたありがとうございました！
No.8424 - 2009/10/14(Wed) 02:51:08
★ お世話になります / 受験生
数列{ａn}はａ1＝１　ａ2＝４
ａn＋2＝４ａn＋1−４ａn＋１(ｎ≧１)と定める

問い　K=1?馬 ａKを求めよ　　　　　　　n−2
ちなみにａnの一般項はａn＝３(ｎ−１)２ ＋１です

式等々がみにくくなってしまい申し訳ありません
この問いの解き方を教えてください　お願いします
No.8387 - 2009/10/12(Mon) 12:03:22
☆ Re: お世話になります / 受験生
ａnの一般項を言葉で言うと
サンかっこエヌひくイチかけるニのエヌひくニじょうたすイチとなります
わかりづらくて申し訳ありません
No.8388 - 2009/10/12(Mon) 12:07:47
☆ Re: お世話になります / X
回答する前に数学の記号の表記の仕方について。
数列の項のサフィックスは[]でくくると見易いです。
例えば
a[n],a[n-1]
と言うように。
またべき乗は^を使うのが一般的です。
例えば
2のn乗は2^n
2のn-1乗は2^(n-1)
と言うように。
別の方のレスを参考にして、掲示板上での数式の書き方を
勉強しましょう。

で、回答ですがヒントだけ
題意から
a[n]=3(n-1)2^{(n-1)-1}+1
ここで例題として
S[n]=Σ[k=1〜n]k・2^(k-1) (A)
を求めることをまず考えます。
これは
2S[n]=Σ[k=1〜n]k・2^k
=Σ[k=2〜n+1](k-1)・2^(k-1) (A)'
(k+1を改めてkと置いた)
で(A)'-(A)を計算すると容易に求められます。
同様の方針で問題の和を計算すると…。
No.8389 - 2009/10/12(Mon) 13:38:56
☆ Re: お世話になります / 受験生
xさん　投稿ありがとうございます


2S[n]=Σ[k=1〜n]k・2^k
=Σ[k=2〜n+1](k-1)・2^(k-1) (A)'
こちらの計算式がなぜこのようになるかが分かりません
お手数ですがこの部分の詳しい説明をお願いできますか
No.8391 - 2009/10/12(Mon) 13:51:43
☆ Re: お世話になります / 七
こちらの書き方のほうが見慣れているかもしれません
S[n]=Σ[k=1〜n]k・2^(k-1)
＝1・1+2・2+3・2＾2+4・2＾3+…+ｎ・2＾(ｎ-1)
2S[n]= 1・2+2・2＾2+3・2＾3+…+(n-1)・2＾(n-1)+n・2＾ｎ
上の式から下の式を引いて
-S[n]＝1+2+2＾2+2＾3+…+2＾(n-1)-ｎ・2＾ｎ
　　 ＝2＾(ｎ)-1-ｎ・2＾ｎ
　　 ＝(1-ｎ)2＾(ｎ)-1
よって
S[n]＝(ｎ-1)2＾(ｎ)+1　　
No.8396 - 2009/10/12(Mon) 16:27:52
☆ Re: お世話になります / 受験生
よく分かりました　七さんありがとうございます

しかし僕が問いの式で同様の計算をしたら複雑になり分からなくなっていまいました
できれば問いの式で上記のような計算をしてもらえませんか
お願いします
No.8398 - 2009/10/12(Mon) 18:56:51
☆ Re: お世話になります / 七
ｋ＝1、ｎは省略します。
?狽≠求?3?狽求E2＾（ｋ-2）-3??2＾（ｋ-2）+??1
です。
?狽求E2＾（ｋ-2）の部分だけに使います。
No.8401 - 2009/10/12(Mon) 20:32:42
★ 複素数についてです。 / ハオ
{1-i+√(8-6i)}/2と共役な複素数は何でしょうか？
iは虚数単位とします。
No.8385 - 2009/10/12(Mon) 10:37:34
☆ Re: 複素数についてです。 / ヨッシー
(1-i)/2＋{√(8-6i)}/2 ですから、まず、√(8-6i) とは
何かを考えます。
２乗して 8-6i になる複素数は±(3-i) ですが、√(8-6i) が
どちらを取る定義になっているかで、答えは変わってきます。
No.8386 - 2009/10/12(Mon) 11:31:36
☆ Re: 複素数についてです。 / ハオ
回答有難う御座います。
お陰さまで問題を解く事が出来ました。
No.8399 - 2009/10/12(Mon) 19:15:16
★ 平面図形 / し
よろしくお願いします。


平行四辺形ABCDにおいて、CDを1：2に内分する点をE,AEとBDの交点をFとし、AEの延長とBCの延長の交点をGとする。

?@AF＝aとしたとき、FE,EGをaで表し、AF：FE：EGを求めよ。
No.8384 - 2009/10/12(Mon) 10:05:20
☆ Re: 平面図形 / ヨッシー
△ＡＢＦと△ＣＤＦの相似より
　ＡＦ：ＦＥ＝ＡＢ：ＥＤ
△ＡＤＥと△ＧＣＥの相似より
　ＡＥ：ＥＧ＝ＤＥ：ＥＣ
を使います。
No.8390 - 2009/10/12(Mon) 13:39:40
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