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不定積分(高2です) / hiro
f(x)+2xf´(x)=7x^3-5x^2+2…?@
を満たすとき、f(x)を求めよ、という問題ですが、
解き方がわかりません。
よろしくお願いします・・・!

No.2822 - 2008/09/21(Sun) 23:40:48

Re: 不定積分(高2です) / rtz
f(x)は整式か多項式かそのようなことが書いてありませんか?
そうでないと
f(x)=C・x-2+(求められているであろう答え)
になりますので(多分)。


f(x)の最高次の項を、axnとします。
すると、f'(x)の最高次の項はan*xn-1となります。
これと元の条件式から、nとaが求まります。

f(x)の最高次が分かりますので、
それ以下の次数も適当な文字をおいた上で、
元の条件式に当てはめて係数比較すればよいでしょう。

No.2825 - 2008/09/22(Mon) 00:09:35

Re: 不定積分(高2です) / hiro
f(x)はn次の関数で、この問は(2)で、(1)でn=3ということを求めました。

f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + dとすると、
f´(x)=3ax^2+2bx+c とおける。
よって、f(x)+2xf´(x)=7ax^3+5bx^2+3cx+d
元の式と係数比較して、・・・

という感じでしょうか。
特に積分を使わないのですが、いいのですかね?

No.2829 - 2008/09/22(Mon) 00:29:04

Re: 不定積分(高2です) / rtz
その方針で問題ありません。
整式なり多項式なり書いてあるなら積分は必要ではないと思います。

それから、この掲示板では特に記述はありませんが、
マルチポストされるなら、その掲示板の規則にはきちんと従ってくださいね。
(正直私としてはあまり気分がいいものではありません)

No.2834 - 2008/09/22(Mon) 01:09:50

Re: 不定積分(高2です) / hiro
はい、すみません。少し焦っていて・・・。
恥ずかしながら、マルチポストの意味もしらなかたっです・・・
これからは気を付けます(-_-;)
ありがとうございました。

No.2835 - 2008/09/22(Mon) 01:29:06
(No Subject) / 匿名
画像の丸で囲った部分の式についてです。
計算を楽にするために式変形を行ったようなのですが
なぜこう変形できるのでしょうか?

説明宜しくお願いします!

No.2820 - 2008/09/21(Sun) 22:58:11

Re: / らすかる
通分してるだけですよ。
No.2821 - 2008/09/21(Sun) 23:00:57

Re: / 匿名
ほんとですね!
難しく考えすぎてました( ‥`)
ありがとうございました★

No.2853 - 2008/09/23(Tue) 20:04:01
数列 / 空
10
Σ2^K‐1
K=1

の解き方が解りません。教えて下さい

No.2819 - 2008/09/21(Sun) 22:45:28

Re: 数列 / とおりすがり
?狽フ中身が2^kなのか2^(k-1)なのかは分かりませんが,(普通は前者かな)
?狽フ意味を考えましょう.
?納n=1,m] a[n]はa[n]の初項から第m項までの総和を表してますね.
すると今回はどうなるでしょうか?
?狽フ中は等比数列ですよね?
なので・・・

No.2823 - 2008/09/21(Sun) 23:47:10

Re: 数列 / 空
スミマセン?ホ
Σの中身は2^(K‐1)です。

No.2840 - 2008/09/22(Mon) 09:04:39
(No Subject) / dai
関数f(x)は微分可能で、すべてのx,yについて次の等式 2f((x+y)/2)=f(x)+f(y)    問f(0)=0のときf(x)をもとめよ
No.2818 - 2008/09/21(Sun) 22:36:42
食塩水 / ピーマン
お願いします。5年生です。
(1) A,B,C 3つの容器があり、Aには10%の食塩水が120g、Bには3%の食塩水が100g、Cには水が115g入っています。今、Aの中の一部をBに移してよくかき混ぜた後、Bの中の一部をCに移したところ、A、B、Cの食塩水に含まれる食塩の量が全て等しくなりました。Cには何%の食塩水ができましたか。

(2)10%の食塩水を100g作るのに、誤って10gの食塩を100gの水に溶かしてしまいました。そこで、食塩水を何gか捨て食塩を新たに何gか溶かして、予定通りの食塩水にしました。捨てた食塩水と新たに溶かした食塩は、それぞれ何gですか。

(3)A、B、C 3つの容器があり、Aには2%の食塩水、Bには水、Cには10%の食塩水がそれぞれ100gずつ入っています。今、次の2つの操作を続けて行います。

操作1・・・AとCから食塩水を□gずつBに移し、よくかき混ぜる。
操作2・・・Bから食塩水を□gずつAとCそれぞれに戻し、よくかき混ぜる。

操作2が終わると、AとBの容器の食塩水は同じ濃度になります。
?@操作1のあとBの食塩水の濃度は何%になっていると考えられますか。
?A□にあてはまる数を求めなさい。(□には、100でない共通の数が入るとします)

解いてみたのですが、全然自信がありません。

No.2817 - 2008/09/21(Sun) 21:41:17

Re: 食塩水 / rtz
出した答えを書いてみてください。
No.2824 - 2008/09/21(Sun) 23:57:45

Re: 食塩水 / ピーマン
> 出した答えを書いてみてください。

(1) 2.5%
(2) 11g、1g
(3) ?@2% ?A25g
自信ありません。

No.2830 - 2008/09/22(Mon) 00:33:46

Re: 食塩水 / rtz
全部正解です。

それから、上の間違えて立てたスレッドは消しておいてください。

No.2833 - 2008/09/22(Mon) 01:02:05

Re: 食塩水 / ピーマン
答えは、正解なのですね。
でも、式がよくわかりません。
当てはめのような方法で解いてしまいました。
小学生の私でもわかる方法で教えてもらえたら、お願いします。

No.2841 - 2008/09/22(Mon) 15:36:11

Re: 食塩水 / ヨッシー
(1)
食塩水の濃度ではなく、食塩の量が等しいと言っているので、
Aに入っていた食塩12gと、Bに入っていた食塩3gの
あわせて15gが、5gずつ分けられます。
最初に、Aのうちの
 120×(7/12)=70(g)
をBに移し、Bは、170g(そのうち10gが食塩)になります。
その後、Bの半分をCに移すと、食塩の量は5gずつになるので、
Bからは 85gの食塩水がCに移り、Cは
200g(そのうち5gが食塩)になるので、Cの濃度は
 5÷200×100=2.5(%)

(2)
10%の食塩水100gは、水90g食塩10gなので、
最初の食塩水(水100g食塩10g)から、水10g分を除かないといけません。
水10g除くと、一緒に食塩1gも、付いていくので、
捨てる食塩水は11g(水10gと食塩1g)
残った食塩水99g(水90g食塩9g)に、食塩1gを加えて
出来上がりです。

(3)
操作1の後、AとBの濃度に違いがあると、
操作2の後、AとBの濃度は同じにならないので、
操作1の後BはAと同じ2%になっているはずです。

操作1で、BとCが混ざって2%になったところに
A(2%)が入ると考えます。そのためには、
Cは25g必要で、Aはそれに合わせて25g入れるだけです。

No.2860 - 2008/09/24(Wed) 06:59:20
三角関数 / 礼花 高2
こんにちは。お世話になります!!

0≦x<2πで定義された関数y=cos2x+2αsin(x/2)cos(x/2)+1(aは定数)があり、x=π/2のとき、y=2である。
(1)aの値を求めよ。
(2)sinx=tとおく。このとき、yをtの式で表せ。また、yの最大値を求めよ。
(3)方程式y=cos2x+2αsin(x/2)cos(x/2)+1=k(kは定数)の解が、0≦x<2πの範囲にちょうど2個存在するとき、kの満たす条件を求めよ。

模試か何かの問題のようです。(1)から全く分かりません;すみませんが、教えて下さい。よろしくお願い致します。

No.2809 - 2008/09/21(Sun) 14:37:43

Re: 三角関数 / hari
(1) x=π/2を代入するとy = aなのでa = 2

(2) 半角と倍角の公式より y = - 2t^2 + 2t + 2(=f(t)とおく)(-1≦t≦1)

(3) t = sinx (0≦x<2π)なのでt=±1ならば1つ、-1<t<1ならば2つのxの値があります。
よってy = f(t)とy = kの交点の様子を調べ、xが2つ解を持つようなkの範囲を求めます。

代表的な部分は-1<t<1でy = f(t)とy = kの交点が1点であるとき。
図を見るとkの動く部分はピンクの部分であるとわかります。(点線は含まない)



ちなみにk = 2ではxは3つ、k = -2ではxは1つの解を持ちます

No.2813 - 2008/09/21(Sun) 19:10:08

Re: 三角関数 / 礼花 高2
hariさん、ありがとうございます。
画像を使って解説してくださって、感激しました!

(3)がちょっと難しくて…。
「t = sinx (0≦x<2π)なのでt=±1ならば1つ、-1<t<1ならば2つのxの値があります。」
とありますが、まずなぜそうなるかが分かりません。すみませんが、教えて下さい。よろしくお願いします。

No.2814 - 2008/09/21(Sun) 19:52:39

Re: 三角関数 / hari
単位円(0≦x<2πなので一周分)とy = tの交点を考えるとその鍵かっこになります。

仮に、0≦x<4πの場合では2周分なのでt=±1で2つ、-1<t<1で4つです。

No.2816 - 2008/09/21(Sun) 21:05:08

Re: 三角関数 / 礼花 高2
なるほど!だんだん分かってきました。
自分でもうちょっと頑張って解いてみようと思います。
また質問するかもしれませんが、よろしくお願い致します。
教えて下さって本当にありがとうございました!

No.2828 - 2008/09/22(Mon) 00:27:34
おねがいします! / あやか
高校1年生です!
教えてください(>_<)

【問題】
区別ができない赤玉10個を区別ができない4個の箱に分ける方法は何通りあるか。
※空箱があってもよい

No.2807 - 2008/09/21(Sun) 12:58:43

Re: おねがいします! / ヨッシー
箱を区別するなら、重複組み合わせですが、
箱も区別しないと、個数で
10 0 0 0, 9 1 0 0, 8 2 0 0, 8 1 1 0
のように、数え上げるしかありません。
答えは20通りです。

No.2811 - 2008/09/21(Sun) 17:15:15

Re: おねがいします! / らすかる
答えは23通りです。
No.2812 - 2008/09/21(Sun) 18:19:52

ありがとうございます! / あやか
教えてくださってありがとうございました(≧∀≦)
助かりました!!

No.2815 - 2008/09/21(Sun) 20:55:56
整数 / yasu
こんばんは。
いくつか質問があるのですがすみませんが宜しくお願いします。

p,qが互いに素な整数であるとき
q^n/pが整数になるためにはp=±1 でなければならない
らしいのですが、なぜ−1もはいるのでしょうか?
+1だけだと私は思ったのですが・・・
互いに素 というものの定義は1以外に共通の公約数をもたない だから+だけだと思いました。
なぜそうなるのか教えて下さい。

Xについての二次方程式11x^2+mx+3=0が有理数のかいを持つように偶数m>0の値をもとめよ。
という問題なのですが、これはm=2nとおかなくてもとめるのでしょうか?
一応やってみたら答えは合ったのですが、問題点があるかもしれなくて
かいの公式から√(m^2-132)をMとおいたとき
途中で(m+M)(m-M)=132という式ができてこの
(m+M)、(m-M)は整数の掛け算とみなせないのでしょうか?みなせると思って解くと正答は最後に出てくるのですが
Mは自然数で整数だけど、mは整数かわからないので
分数かける分数のかたちで132 になる ということも考えられるのかと思いました。
そしたらこの解法だとできないのでやはり絶対m=2nとおかないとだめなのかとよくわからなくなりました。

教えてくださいお願い致します><。

No.2801 - 2008/09/21(Sun) 03:25:10

Re: 整数 / rtz
1つ目
p=-1なら、
qn/p=qn/(-1)=-qn
で実際に"整数"になりますね。


2つ目
Mは解が有理数であることから整数(0以上)であり、
またmは問題文中の偶数より整数です。
よってm+M、m−Mともに整数ですね。

ちなみに、m=2n(>0)とおいても過程はあまり変わりませんが、
m+Mが2n+M、m−Mが2n−Mですから、
(m+M)+(m−M)=(2n+M)+(2n−M)=4n(>0)となり、
「積が132で、和が4の倍数の、2つの正の整数(和4n>0と積132>0から共に正)」
と条件が絞りやすくなりますね。

No.2802 - 2008/09/21(Sun) 04:36:23

Re: 整数 / yasu
そうですねよくわかりました!
親切にどうもありがとうございます!

No.2857 - 2008/09/24(Wed) 03:00:10
(No Subject) / ラディン.ms
aは定数で0<a<1とする。
放物線y=x2と2直線y=ax,x=1で囲まれる図形(赤で塗った部分)の面積Sを最小にするaの値を求めよ。

a=√2/2だと思うのですが,この問題を微積分を使わずに解く方法はあるのでしょうか。
もしあるなら,教えてください。
よろしくお願いします。

No.2794 - 2008/09/20(Sat) 18:01:15

Re: / らすかる
テストで○を貰えなくてもよい解法なら…

aを0から1まで微小量ずつ変化させると、底辺がx=1上にあり
頂点が原点である細長い三角形がたくさんできます。
面積Sが最小となるのは、この三角形の面積が二等分される位置
ですので、(交点のx座標)=a=√(1/2)=√2/2となります。

# それよりaが大きくなると、三角形のy=x^2より左側が
# 三角形の面積の1/2より大きいので赤い部分の増加分が減少分より
# 多くなることで面積は増え、aが小さくなると三角形のy=x^2より
# 右側が三角形の面積の1/2より大きいので、同様に赤い部分の
# 増加分が減少分より多くなって面積が増えます。

No.2803 - 2008/09/21(Sun) 05:51:14

Re: / ラディン.ms
ありがとうございます。
No.2806 - 2008/09/21(Sun) 11:50:37
ベクトル / 桜 高校2
こんにちは。
よろしくお願いいたします。

平面上の定点A(a→)と任意の点P(p→)に対し、次のベクトル方程式で表される円の中心の位置ベクトルと半径を求めよ

(1)|p→-2a→|=1
(2)|2p→+a→|=4

この円のベクトル方程式がまったくわからず、困って
います(>_<)
これはいったいどうやればよいのでしょうか。
Q1,(1)はそのままでいいらしいですが、(2)は手を加えないと
いけないらしいです。この違いはなんでしょうか。

Q2,何を基準に式を変形すればよいのでしょうか。
Q3,求め方がわかりません

教えてください
すみませんよろしくお願いいたします。

No.2790 - 2008/09/20(Sat) 17:11:32

Re: ベクトル / rtz
円ですから、中心からの距離が一定です。
つまり、中心をBとでもすれば、
|↑BP|=r⇔|↑OP−↑OB|=r⇔|↑p−↑b|=r
の形になっていれば円ですね(rは半径)。

中心の位置ベクトルは↑bを、半径はrを求めればいいわけですから、
式全体を何倍かして、先ほどの形になるようにすればよいでしょう。
(2)は|↑t|=|−↑t|を利用しましょう。

No.2792 - 2008/09/20(Sat) 17:56:26

Re: ベクトル / 桜 高校2
ありがとうございます。^^

中心の位置ベクトルが↑bになるのはなぜでしょうか。
円の位置ベクトルはOのことでしょうか。

(2)が全然わかりませんでした・・・

すみまsんよろいくおねがいいたします

No.2795 - 2008/09/20(Sat) 18:42:54

Re: ベクトル / rtz
Oは位置ベクトルの始点です。

↑bは↑OBと同じです。
別に↑OBのままでもいいですが、表記をあわせただけです。

>(2)は|↑t|=|−↑t|を利用しましょう。
と書いたとおり|2↑p+↑a|=4⇔|−2↑p−↑a|=4です。

No.2796 - 2008/09/20(Sat) 19:19:19

Re: ベクトル / 桜 高校2
ありがとうございますo
(2)は位置ベクトル-a→ 半径2でよいでしょうか

数学が苦手なものですみません。

No.2797 - 2008/09/20(Sat) 21:45:37

Re: ベクトル / rtz
ちょっと違いますね。
|2↑p+↑a|=4⇔|2↑p−(-↑a)|=4
の方が分かりやすいでしょうか。

これを|↑p−↑b|=rとするには式全体を2で割ればいいですね。

No.2798 - 2008/09/20(Sat) 22:07:25

Re: ベクトル / hari
横から失礼します。

太字はベクトルです。
|p - b| = r・・・(A)というのはPとBの間の距離がrで一定ということを示す式です。(線分BP = r)
|(円周上の点)−(中心)| = (半径)
図を見てイメージをわかせてください。



(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2・・・(B)
という式もP(a, b)からB(x, y)への距離がrということを表す式です。
(ピタゴラスの定理を使えば導けます。)


実際、p = (x, y), b = (a, b)として式(A)に代入すると式(B)が導けます。


PS.二個下の問題の別解をあげときました。

No.2799 - 2008/09/21(Sun) 01:04:44

Re: ベクトル / 桜 高校2
お返事遅れてしまってすみません。

rtzさん、hariさん
どうもありがとうございました。
感謝しております。

もっとがんばろうとおもいました。

No.2810 - 2008/09/21(Sun) 14:53:54
(No Subject) / しょう
ありがとうございます!!

あと、もうひとつお願いします

No.2781 - 2008/09/19(Fri) 20:17:38

Re: / hari
(1)
左辺をf(x)とおきます。
x - 1で割ると-4あまるから、商をA(x)とおくと
f(x) = (x - 1)A(x) - 4
x - 2で割ると割り切れるから、商をB(x)とおくと
f(x) = (x - 2)B(x)
とかけます。すると
f(1) = -4, f(2) = 0というa, bに関する連立方程式が導かれます。
(A(x), B(x)の項を0にするようなxを代入しています。)


(2)
このような式を見たときは = kとおくとうまくいくことがあります。
x + y = 3k ・・・(あ)
y + z = 4k ・・・(い)
z + x = 5k ・・・(う)
全部足すと
x + y + z = 6k・・・(え)
(え) - (あ), (え) - (い), (え) - (う)でx, y, zがkで表せます。
[6], [7]は求まったx, y, zを代入して整理すれば導けます。

No.2784 - 2008/09/19(Fri) 21:57:30

Re: / しょう 高3
ありがとうございます!!
No.2786 - 2008/09/20(Sat) 00:17:01
ベクトル / 桜 高校2
こんばんは
よろしくお願いいたします。

2直線のなす角θをそれぞれ求めよ。
0°<θ≦90°

x-y-1=0 (√3+1)x+(√3-1)y-1=0

という問題がわかりませんでした。
2つのグラフはかけました。
n→(法線ベクトル)の書き方がわかりません。
どこから始まってどこで終わるのでしょうか。

教えてください
y炉しくお願いいたします

No.2779 - 2008/09/19(Fri) 17:59:52

Re: ベクトル / hari
法線ベクトルは関係あるのでしょうか・・・?

x - y - 1 = 0とx軸のなす角をα
(√3 + 1)x + (√3 - 1)y - 1 = 0とx軸のなす角をβ
とおくと
tanα = 1, tanβ = -(2 + √3)
で、タンジェントの加法定理で
tan(β-α) = (tanβ - tanα)/(1 + tanαtanβ) = √3

∴β - α = 60°

※式の区切りにはコンマをおいたほうがいいですよ、

No.2782 - 2008/09/19(Fri) 21:40:28

Re: ベクトル / 桜 高校2
ありがとうございました
No.2789 - 2008/09/20(Sat) 17:06:09

Re: ベクトル / hari
内積を使うのかな?

x - y - 1 = 0の法線ベクトルは(1, -1)
(√3 + 1)x + (√3 - 1)y - 1 = 0の法線ベクトルは(√3 + 1, √3 - 1)

※ax + by + c = 0の法線ベクトル(の一つ)は(a, b)

内積の関係から
cosθ = a・b/|a||b|
から
cosθ = 1/2
ゆえにθ = 60°

No.2800 - 2008/09/21(Sun) 02:43:44
不定積分 / のり
次の不定積分どうなるでしょうか
但しxは定数と考えてください。
∫(y^2―2y+1―x^2)/(y^2―2y+1+x^2)^2dy
宜しくお願いいたします。

No.2778 - 2008/09/19(Fri) 13:34:02

Re: 不定積分 / hari
{(y - 1)^2 - x^2}/{(y - 1)^2 + x^2}
= 1 - 2x^2/{(y - 1)^2 + x^2}
= 1 - 2/{((y - 1)/x)^2 + 1}

なので
y - 2xtan-1((y - 1)/x) + 積分定数
となります。

No.2783 - 2008/09/19(Fri) 21:47:53

Re: 不定積分 / のり
なるほどきれいに積分できますね。
ありがとうございました。

No.2785 - 2008/09/19(Fri) 22:39:35

Re: 不定積分 / 豆
分母の2乗はいいのかしら?
No.2787 - 2008/09/20(Sat) 06:53:42

Re: 不定積分 / のり
そういえば抜けていますね。
入れた場合どうなりますか。
第1項の答えがxtan^-1{(y - 1)/x}ですね。
第2項はy―1=xtanθとおいて計算すると
(y―1)/ {x^2+(y―1)^2}―(1/x)tan^−1{(yー1/x}
となりましたが・・・あっていますか。

No.2788 - 2008/09/20(Sat) 09:54:58

Re: 不定積分 / hari
すいません。^2を見逃してしまいました。
でしたら、
(1 - y)/{(y - 1)^2 + x^2} + 積分定数
となります。

No.2804 - 2008/09/21(Sun) 08:21:29

Re: 不定積分 / のり
最初にy-1=xtanθと置けばいいのですね。
結果、「hari」さんの答えになりました。
遠回りをしましたが、おかげで計算力がつきました。
ありがとうございました。

No.2805 - 2008/09/21(Sun) 09:48:56
(No Subject) / こやまっくす
初項222,公差dの等差数列の第n項anと,初項3,公比2の等比数列の第n項bnの値が等しく,その等比数列の初項から第n項までの和Snが6141であるとき,n=□かつnがその値のときan=bn=□であり,また公差d=□である.


という問題なんですが
解き方を教えて下さい。

No.2776 - 2008/09/19(Fri) 09:58:26

Re: / 七
初項222,公差dの等差数列の第n項
an=222+(n−1)d
初項3,公比2の等比数列の第n項
bn=3・2^(n−1)
Sn=3・(2^n−1)
an=bn より
222+(n−1)d=3・2^(n−1) … (1)
Sn=6141 より
3・(2^n−1)=6141
2^n=2048=2^11
よって n=11
(1) に代入して
222+10d=3・2^10=3072=an=bn
10d=2850
d=285
計算は間違っているかも知れません。

No.2777 - 2008/09/19(Fri) 10:12:23
二次関数・数と式 / しょう 高3
はじめまして、よろしくお願いします。
No.2774 - 2008/09/19(Fri) 02:03:33

Re: 二次関数・数と式 / ヨッシー
(1)
y=−x2+2x+3
のグラフで、y≧0 の部分は、図の通りです。

また、5x+y=k とおくと、
 y=−5x+k
より、傾き−5の直線が、上のグラフの実線部分(両端を含む)と
交点を持ちつつ動くとき、k(y切片)が最大となるのは、
x=3,y=0 のときの k=15

(2)
2+2=ax
より、2つのグラフ
 y=x2+2、y=ax
を考えます。

2つのグラフが、−3≦x≦−1 の範囲で、交点を持つように
a(傾き)を変化させると、
aの最小は、点(-3,11) を通るときの -11/3
aの最大は、y=ax が接線となるときで、
 判別式=a2−8=0
 a<0より a=-2√2

No.2775 - 2008/09/19(Fri) 09:10:24
対数 / 礼花 高2
お久しぶりです。よろしくお願いします!

Log102=0.3010, log103=0.4771とする。次の数は、小数第何位に初めて0でない数字が現れるか。
1.(1/2)100
2.{1/(√2)25}
3.(3)√(0.06)10

分かりにくくてすみません。この3問がどうやって解いたらいいか分かりません。よろしくお願い致します。

No.2763 - 2008/09/18(Thu) 18:56:51

Re: 対数 / ヨッシー
log101=0
log100.1=−1
log100.01=−2
ですから、ある数の常用対数(底が10の対数)をとって、
 0未満-1以上 ・・・ 小数第1位に初めて0以外の数
 -1未満-2以上 ・・・ 小数第2位  〃
 -2未満-3以上 ・・・ 小数第3位  〃
のように判断できます。

(以下 log は常用対数です)
1.log(1/2)100=log2-100=-100log2
2. log{1/√225}=log2-25/2
3.log(3)√0.0610=log0.0610/3
  =10/3log(2・3/100)=10/3(log2+log3−log100)
というふうに変形して、最後は、
 log2=0.3010, log3=0.4771
より、近似値を出します。

No.2766 - 2008/09/18(Thu) 19:49:09

Re: 対数 / 礼花 高2
ヨッシーさん、ありがとうございます。

近似値までは出せたのですが、そこから先の解き方が全く分かりません。もう少し詳しく教えて頂けませんか?よろしくお願いします!

No.2767 - 2008/09/18(Thu) 21:34:23

Re: 対数 / ヨッシー
たとえば、log をとった近似値が、-1.35 だったら、
 -1未満-2以上 ・・・ 小数第2位に初めて0以外の数
に該当しますので、答えは、小数第2位です。
同様に、近似値が、-1230.24 だったら、
 -1230未満-1231以上 ・・・ 小数第1231位に初めて0以外の数
に該当しますので、答えは、小数第1231位です。

No.2769 - 2008/09/18(Thu) 22:12:05

Re: 対数 / にょろ
例えば
1234は4桁の数字です。
1000<1234<10000です。
log10をとってみると

log101000=4<log101234<log1010000=5

なので、1234は104以上105未満
つまり4桁と分かります。

No.2772 - 2008/09/18(Thu) 23:34:25

Re: 対数 / 礼花 高2
理解できました♪
物分かりが悪くて、申し訳ありませんでした;
ヨッシーさん・にょろさん、分かりやすく解説してくださってありがとうございました。

No.2808 - 2008/09/21(Sun) 14:28:30
数列 / 白梅
お久しぶりです。宜しくお願い致します。

(問題)nを自然数とする。
    座標平面上の2n+2個の点からなる集合
L={(x,y)|x,y は整数、0≦x≦n , 0≦y≦1}
のうち3点を頂点とする三角形を全て考える。
   これらの三角形の面積の総和を求めよ。

答えは(1/6)*n*(n+1)^2*(n+2)
なのですが、解法が分かりません。
どこかの1点を固定して考えたのですが、
回答と答えが合致しません。
どのように考えれば良いのでしょうか。

宜しくお願い致します。

No.2761 - 2008/09/18(Thu) 17:46:04

Re: 数列 / ヨッシー
x軸(y=0)上と、y=1上にn+1この点が並んだ形です。
x軸上から2点とy=1上から1点選びます。
高さは必ず1であり、底辺はx軸上で選ぶ2点の間隔になります。
点(0,0) と、それより上のもう1点を選ぶと、底辺は、
 1,2,3・・・n のn通り出来ます。
点(0,1) と、それより上のもう1点を選ぶと、底辺は、
 1,2,3・・・n-1 の n-1通り出来ます。
以下、
点(0,n-1) と、それより上のもう1点を選ぶと、底辺は、
 1 の 1通り出来ます。
これらの和(底辺の和)をもとめると、
 (1+2+3+…+n)+(1+2+3+…+n-1)+・・・・+(1+2)+(1)
=Σk=1〜nk(k+1)/2=Σk=1〜n(k2+k)/2
=n(n+1)(2n+1)/12+n(n+1)/4=n(n+1)(n+2)/6

1つの底辺について、y=1 上の点はn+1個あるので、
同じ底辺から、三角形がn+1個出来ます(面積は同じ)
よって、
 n(n+1)(n+2)/6×(n+1)×1÷2
これが、x軸上に2点を取ったときの三角形の面積の和です。
y=1 上に2点、x軸上に1点を取ったときも、同じだけの三角形ができるので、
三角形の面積の和は
 n(n+1)(n+2)/6×(n+1)×1÷2×2=n(n+1)2(n+2)/6

No.2762 - 2008/09/18(Thu) 18:10:40

素晴らしい!^^ / 白梅
ヨッシ−様、非常に素早く、
大変分かりやすい解説をして下さって
ありがとうございます!^^

予備校で何回も個別に質問して
先生に説明してもらいましたが、
ヨッシー様の説明はそれをはるかに上回る
大変分かりやすい解説です。
1度目を通しただけですぐに理解することが
出来ました。ヨッシー様は本当に説明が上手ですね。
ヨッシー様は素晴らしい人です^^
ありがとうございました。

補足ですが1カ所ヨッシー様の説明の中で
条件にあわない表現があったのですが、
解答として試験の時に書く時にはその点を
修正して書きますので、その点お伝えしておきます。

ありがとうございました^^

No.2764 - 2008/09/18(Thu) 19:09:59

Re: 数列 / ヨッシー
あぁ、点(0,0) はともかく、
点(0,1)、点(0,n-1) が、x、y逆ですね。

最初しばらく、y軸と直線x=1 と思っていたので。

それと、それより上というのも、それより右の誤りですね。
x軸が右に向かって大きくなる、よく見かける座標軸での話ですけど。

No.2765 - 2008/09/18(Thu) 19:36:33

ありがとうございます。 / 白梅
ヨッシー様、わざわざレスを付けて下さって
ありがとうございます。

お忙しい中わざわざ回答して頂けるだけで
私はとても嬉しいです。
なので諸処の箇所については特に
気にせずにこれからも機会があれば
どうぞ宜しくお願い致します。

No.2768 - 2008/09/18(Thu) 21:42:25
「×」と「÷」の優先順位 / √
よろしく、お願い致します。
小学生レベルの初歩的な質問で申し訳ありません。


?@
○×△÷□ の場合は、
「×」「÷」どちらを先に計算しても答えは同じになりますが、

?A
○÷△×□ の場合は、
「÷」を先に計算するか、「×」を先に計算するかで答えが
異なってしまいます。
この場合は、当然、「左から順番に」「左側優先」ですよね。

では、
?@、?Aを考えると
「×」と「÷」の混合計算において、
「×」よりも、「÷」を優先して計算すれば間違いは無いと考えてよろしいでしょうか?

全ての優先順位を書くと、下記の順位でよろしいでしょうか?
( ),÷ ,×

No.2752 - 2008/09/18(Thu) 01:27:00

Re: 「×」と「÷」の優先順位 / にょろ
いいえ
計算順位は(),×÷です。
○×△÷□を分数で表すと
(○×△)/□です。

○÷△×□は
(○×□)/△
です。
が、
△×□を先にやると
○/(△×□)
で誤りになります。

優先順位は
(),×÷,+−の順です。
更に同順位の場合→の順に計算します。

No.2753 - 2008/09/18(Thu) 01:38:54

Re: 「×」と「÷」の優先順位 / にょろ
というより
割り算とかけ算は「同じ物」なので優先順位って…

No.2754 - 2008/09/18(Thu) 01:40:07

Re: 「×」と「÷」の優先順位 / らすかる
>「×」と「÷」の混合計算において、
>「×」よりも、「÷」を優先して計算すれば
>間違いは無いと考えてよろしいでしょうか?

はい。通常の計算では問題ありません。
ただし、一般的な定義では「÷」と「×」が同順位です。

No.2756 - 2008/09/18(Thu) 03:26:33

Re: 「×」と「÷」の優先順位 / √
らすかるさん 有り難うございます。

> はい。通常の計算では問題ありません。
> ただし、一般的な定義では「÷」と「×」が同順位です。


「÷」と「×」の混合計算では、
『必ず、左側から順番に計算していく(左側優先)』
又は、
『「÷」を優先する』
を守っていれば大丈夫ということですね。 
らすかるさん 意図を分かってくださり有り難うございました。



にょろさん 有り難うございます。
にょろさんの、おっしゃりたい事の意味は理解できました。

No.2758 - 2008/09/18(Thu) 09:43:09

Re: 「×」と「÷」の優先順位 / ヨッシー
+と−でも同じことが言えます。
5+4−3 を 5+(4−3) と書いても答えは変わりません。
( )を付けても良いということは、優先させても良いということです。

5−4+3 と 5−(4+3) はダメです。
引き算より足し算を優先させてはいけません。

5−4−3 と 5−(4−3) もダメです。
原則左から、を守らないといけません。

おなじことを、×と÷に当てはめれば、分かると思います。

ただし、「原則左から」さえ守れば、÷を優先するは気にしなくても
良いので、あまり、取りざたされていません。しかし、
 37×24÷4
を左からやるのではなく、24÷4を先にするようなことは、
実際には行われています。

No.2759 - 2008/09/18(Thu) 09:55:26

Re: 「×」と「÷」の優先順位 / √
ヨッシーさん 有り難うございます。

> ただし、「原則左から」さえ守れば、÷を優先するは気にしなくても
> 良いので、あまり、取りざたされていません。


そうですね。
昔、「×」と「÷」は同順位と習ったはずなのに、
順番を変えると答が異なる場合があるので、ふと疑問に思ってしまいました。
有り難うございました。

No.2760 - 2008/09/18(Thu) 10:54:43
(No Subject) / creampuff
多項式の列
P0(x)=0,P1(x)=1,P2(x)=1+x,・・・・・,Pn(x)=Σ_[k=0,n-1]x^kを考える。

正の整数m,nに対して、Pn(x)をPm(x)で割った余りは、
P0(x),P1(x),・・・・・,Pm-1(x)のいずれかで
あることを証明せよ。

この問題を教えてください。

No.2749 - 2008/09/18(Thu) 00:14:23

Re: / ヨッシー
n<m のときは、あまりは Pn(x) であり、明らかに
P0(x),P1(x),・・・・・,Pm-1(x) のいずれかである。

n=m のとき、あまりは P0(x) である。

n>m のとき、
 Pn(x)=Pm(x)・xn-m+xn-m-1+xn-m-2+・・・+1
と書け、あまりは Pn-m となります。

No.2750 - 2008/09/18(Thu) 00:20:57

Re: / creampuff
ありがとうございました。どうも。
No.2770 - 2008/09/18(Thu) 22:36:12
本当に初歩的な問題ですが・・・。 / 亜希子 社会人(簿記受験中)
初めまして。

なぜか全く展開式が浮かばず解答が理解出来ません。
どうか宜しくお願い致します。

(5000x × 0.45 + 8,295,000)×0.04÷0.6

解答は 150x-553,000

になるようなのですが、150xがどうして出るのか分かりません・・・。

初心者のような質問で大変申し訳ありませんが
教えて下さい。
宜しくお願いいたします。


No.2747 - 2008/09/17(Wed) 22:01:00

Re: 本当に初歩的な問題ですが・・・。 / ヨッシー
5000x×0.45×0.04÷0.6=150x
です。

No.2748 - 2008/09/17(Wed) 22:16:04

Re: 本当に初歩的な問題ですが・・・。 / √
余計な事ですが・・・

> 解答は 150x-553,000
          ↑
          +では?

簿記は楽しいですよね。
頑張ってください。



No.2751 - 2008/09/18(Thu) 00:28:47

Re: 本当に初歩的な問題ですが・・・。 / 亜希子 社会人(簿記受験中)
回答ありがとうございました。
本当に初歩的な質問ですみません。
もう一度良いでしょうか?

>5000x×0.45×0.04÷0.6=150x になるのは
分かったのですが、8,295,000 にも同じ ×0.04÷0.6
をかけてわって、553,000が出ますよね?

括弧内の数字を計算してから、×0.04÷0.6
だと思っていたのですが、どうして二つの数字に
同じ、×0.04÷0.6 をかけわりするのでしょうか?
本当に無知ですみません。

>√さん
すみません。+でした。
数学得意ではないまま(出来ないまま)一級に
突入してしまい工業簿記の方程式で苦しんでます。
(楽しいんですけれど)
ありがとうございました。

No.2755 - 2008/09/18(Thu) 02:32:56

Re: 本当に初歩的な問題ですが・・・。 / ヨッシー
たとえば、
 (x+4)×3
を考えます。3を掛けるのは3回足すことですから、
 (x+4)×3=(x+4)+(x+4)+(x+4)
  =x+x+x+4+4=4
  =x×3+4×3
のように、xにも4にも3が掛けられます。

一般に
 (a+b)c=ac+bc
となり、これを分配法則といいます。

No.2757 - 2008/09/18(Thu) 05:51:32

Re: 本当に初歩的な問題ですが・・・。 / 亜希子 社会人(簿記受験中)
回答ありがとうございました。

・・・いわゆる自乗(実際は× 0.04÷0.6)のような扱いなのでしょうか?
他の括弧内の計算

?@例えば
x-x×(1-0.2)2(←自乗と呼んでください)=9,000
の式だと
x-0.64x=9,000
0.36x=9,000
x=25,000
ですよね。

?Aもう一つの例えばだと
a=0.2b+0.1c+117,000
b=0.1a+0.1c+144,000
c=108,000

代入して
a=0.2b+0.1×108,000/10,800+117,000
b=0.1a+0.1×108,000/10,800+144,000

で、
a=0.2b+10,800+117,000
a=0.2b+127,800

b=0.1a+10,800+144,000
b=0.1a+154,800

あわせると
a=0.2(0.1a+154,800)+127,800
a=0.02a+30,960+127,800
0.98a=158,760
a=162,000
b=171,000

になると思うのですが、この式との意味の違いが(分配配列を使用する時)が分かりません・・・。

例えば(3-1)2 
だったとしたら、2の自乗で答えは4なんですよね?
一番はじめに質問した


(5000x × 0.45 + 8,295,000)×0.04÷0.6

この×0.04÷0.6の部分が自乗と同じ意味に当たるんでしょうか?
もし仮にこの部分に括弧がついていたとしたら
意味は違うんでしょうか?

(5000x × 0.45 + 8,295,000)×(0.04÷0.6)
(2250x+8,295,000)×0.07(四捨五入だとしたら)
これだと括弧が外れるから
=1575x+580,650
となるのでしょうか?

xも値を求めるから、それぞれの数字に(5000x×0.04÷0.6)?
これがxがないとしたら
(5000×1(仮に1として)×0.45 +8,295,000)×0.04÷0.6
8,297,250×0.04÷0.6
=553,150?

総数に対して ×0.04÷0.6は総数に対して加わる(かけわり)が行われるから、
5000x×0.45 と 8,295,000両方にかけるということなのでしょうか?

今まで代入法とかxを求める計算で、この分配法則を使用したことがなかったので
(だから今まで躓かず解いてこられたと思うのですが・・・)
なぜ今回のこのような式だけ、両方の値にかけるのか・・・、
なんだかピンと来ず、考えれば考えるほど深みにはまって行っております・・・。

このような幼稚な質問で何度も本当に申し訳ありませんが
どうかご教授ください。お願いいたします。


私には難しい事も解けない問題も沢山ありますが
やればやるほど数学って面白くなってきますね。

No.2771 - 2008/09/18(Thu) 23:24:14

Re: 本当に初歩的な問題ですが・・・。 / ヨッシー
質問されたのは
(3+4)×2
の×2は、3だけでなく4にまで掛けるのはなぜ?
ということだったと思います。それはまさに、

> 総数に対して ×0.04÷0.6は総数に対して加わる(かけわり)が行われるから、
> 5000x×0.45 と 8,295,000両方にかけるということなのでしょうか?

ということです。

(3+4)×2 が 3×2+4
では、片手落ちですよね?

No.2773 - 2008/09/18(Thu) 23:41:59

Re: 本当に初歩的な問題ですが・・・。 / 亜希子 社会人(簿記受験中)
回答ありがとうございました。
質問の意図が悪くて申し訳ありません。

先日質問した内容は、同じような括弧式なのに、
分配法則を使用する時としない時があるのか?
と言うことがいまいち分からず
括弧の前にかける数字がある時や、
自乗等の数字が括弧についている時との
違いが理解出来なかったので
違う配列の時はと言う意味で質問してしたつもりでおり、
代入式の解答を聞きたい、等と言う意図では
ありませんでした。
(5000x × 0.45 + 8,295,000)×0.04÷0.6
だと5000x × 0.45 を計算した段階で
括弧が外れると思っていたんです。

誤解をさせるような質問で申し訳ありませんでした。

No.2780 - 2008/09/19(Fri) 18:56:47
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