ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 高3　行列 / 匿名

1次変換fによって点(1,0)が点(1,3)に、
合成変換f,fによって点(0,1)が点(0,4)に移される。
fを表す行列を求めよ。

式?を2つたててみたのですが、
どうすればよいかわかりませんでした。

よろしくお願いします！

No.10429 - 2010/05/26(Wed) 22:48:09

☆ Re: 高3　行列 / ヨッシー

ｘ＝ａｘ＋ｂｙ
ｙ＝ｃｘ＋ｄｙ
とします。

（１，０）は、（ａ，ｃ）に移りますから、
ａ＝１，ｃ＝３です。

そこで、
ｘ＝ｘ＋ｂｙ
ｙ＝３ｘ＋ｄｙ
と置き直します。

（０，１）は（ｂ，ｄ）に移り、さらに（ｂ＋ｂｄ，３ｂ＋ｄ^2）に移ります。
よって、
　ｂ＋ｂｄ＝０
　３ｂ＋ｄ^2＝４
これを解いて、
　ｂ＝０、ｄ＝±２　または　ｂ＝１、ｄ＝－１
となります。

No.10430 - 2010/05/26(Wed) 23:27:33

☆ Re: 高3　行列 / 匿名

丁寧な説明ありがとうございます！

さらに（ｂ＋ｂｄ，３ｂ＋ｄ^2）に移る
とありますが、どういうことでしょうか…？

No.10436 - 2010/05/27(Thu) 17:40:47

☆ Re: 高3　行列 / ヨッシー

ｘ＝ａｘ＋ｂｙ
ｙ＝ｃｘ＋ｄｙ
の右辺に（ｂ，ｄ）を代入したものです。

No.10437 - 2010/05/27(Thu) 18:10:55

☆ Re: 高3　行列 / 匿名

あ、理解できました！

本当にありがとうございました。

No.10446 - 2010/05/27(Thu) 23:15:10

★ 複素平面の方程式教えてください。 / 御手洗景子

複素平面の方程式教えてください。

(1)ｘ＾３－１＝０の解を求め複素平面上に書け。
(2)ｘ＾４－１＝０の解を求め複素平面上に書け。
(3)ｘ＾ｎ－１＝０（ｎ：整数＞０）の解はどうなるか説明せよ。

どうやって解いたらいいのか，また複素平面上にはどうやって書いたらよいのか分からないので教えてください。

No.10428 - 2010/05/26(Wed) 22:37:38

☆ Re: 複素平面の方程式教えてください。 / ヨッシー

私のページのミニ講座の「複素数と複素数平面」を
まずご覧ください。

No.10431 - 2010/05/26(Wed) 23:31:26

☆ Re: 複素平面の方程式教えてください。 / 御手洗景子

ありがとうございます。ミニ講座大変役に立ちました。
これからも参考にさせてもらいます。

No.10445 - 2010/05/27(Thu) 22:40:53

★ 証明？教えてください。 / 御手洗景子

(1) （1-i）＾ｎ，（ｓｑｒｔ（３）-i）＾ｎを整数ｎ≧０に対して計算せよ。一般のｎで，どのようにかけるのか説明せよ。

(2) ω＝cos（２π/３）＋i＊sin（２π/３）のとき，（１＋ω）＾ｎを整数ｎ≧０に対し計算し，一般のｎでどうなるのか理由を説明せよ。

この2つを証明したいのですが分からないので教えてください。

No.10427 - 2010/05/26(Wed) 22:37:09

☆ Re: 証明？教えてください。 / ヨッシー

上と同じですが、
私のページのミニ講座の「複素数と複素数平面」を
まずご覧ください。

No.10433 - 2010/05/27(Thu) 06:17:43

☆ Re: 証明？教えてください。 / 御手洗景子

ありがとうございます。ミニ講座大変役に立ちました。
これからも参考にさせてもらいます。

No.10440 - 2010/05/27(Thu) 21:41:14

★ ｘ，ｙ，ｚ，ｔ∈Ｒ（実数）のとき，解を求めよ / 御手洗景子

ｘ，ｙ，ｚ，ｔ∈Ｒ（実数）のとき，解を求めよ。
（1+i）x＋（1+2i）y＋（1＋3i）ｚ＋（1+4i）ｔ＝１＋5i
（3-i）x＋（4-2i）y＋（1+i）ｚ＋4it＝2-i
どういう風にしたらいいか分からないので教えてください。

No.10425 - 2010/05/26(Wed) 22:35:53

☆ Re: ｘ，ｙ，ｚ，ｔ∈Ｒ（実数）のとき，解を求めよ / ヨッシー

連立ですか？

ｉでまとめると、
(ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｔ)＋(ｘ＋２ｙ＋３ｚ＋４ｔ)ｉ＝１＋５ｉ
(３ｘ＋４ｙ＋ｚ)＋(－ｘ－２ｙ＋ｚ＋４ｔ)ｉ＝２－ｉ
ｘ、ｙ、ｚ、ｔは実数なので、
　ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｔ＝１
　ｘ＋２ｙ＋３ｚ＋４ｔ＝５
　３ｘ＋４ｙ＋ｚ＝２
　－ｘ－２ｙ＋ｚ＋４ｔ＝－１
これを解けばいいでしょう。

No.10432 - 2010/05/27(Thu) 06:09:18

★ 数学の高校入試 / あみ

次の問題がわかりません。教えてください。よろしくお願いします。

?@　約分すると２/３になる分数がある。この分数の分子から３をひき、分母から22をひいて約分すると３/２になる。もとの分数を求めなさい。

?A　２時から３時までの間で、時計の短針と長針でできる角が11時と５時を結ぶ線で二等分されるときの時刻を求めなさい。

No.10420 - 2010/05/26(Wed) 18:28:25

☆ Re: 数学の高校入試 / X

(1)
題意から元の分数は
(2x)/(3x)(xは自然数) (A)
と置くことができます。
(A)の分子から３をひき、分母から22をひいて約分すると
３/２になることから
(2x-3)/(3x-22)=3/2
これを解いてxを求めて(A)に代入します。

(2)
求める時刻を２時x分であるとすると
１２時を基準にして時計回りで角度を考えたとき
短針の角度は60+30t/60[°]、つまり60+x/2[°]
長針の角度は360x/60[°]、つまり6x[°]
更に11時と５時を結ぶ線でできる角度は
５時側で見た場合150°
以上のことからxについての方程式を立てます。

No.10423 - 2010/05/26(Wed) 21:33:36

☆ Re: 数学の高校入試 / あみ

ありがとうございます。２問ともわかりました。

No.10441 - 2010/05/27(Thu) 22:10:20

★ (No Subject) / 高校２年生

数学?Tしかとっていません。
下の問題がどうしてもわからないので教えてください。

ｆ（ｘ）＝ｘ＾2+ｋｘ+ｋ＾2-2ｋ-4について考える。
（１）二次不等式ｆ（ｘ）＜0を満たすｘの値が存在するような
　　　ｋの値の範囲を求めよ。
（２）二次方程式ｆ（ｘ）＝０の１つの解が0と1の間にあり、
　　　もう１つの解が1と2の間にあるようなｋの値の範囲を求めよ。
（３）二次関数ｙ＝ｆ（ｘ）のグラフの頂点はｋの値が変化するとき、
　　　曲線ｙ＝（あ）ｘ＾2＋（い）ｘ-（う）　上を動く

No.10415 - 2010/05/25(Tue) 20:59:58

☆ Re: / rtz

(1)
f(x)＜0を満たすxが存在する
⇔f(x)の最小値が0未満である
⇔y＝f(x)の頂点のy座標が0未満である

(2)
y＝f(x)のグラフがどうなっていれば0＜x＜1と1＜x＜2に解を持つか。
そのときのf(0),f(1),f(2)の値は？

(3)
頂点の座標をkで表し、x座標をX、y座標をYなどとし、
YをXで表せばよい。

No.10418 - 2010/05/26(Wed) 03:10:53

★ 高２　数学?U / 静

整式P(x)を(x-1)(x＋2)で割ったときの余りが7x、ｘ－３で割ったときの余りが１のとき、Ｐ（ｘ）を（ｘ－１）（ｘ＋２）（ｘ－３）で割ったときの余りを求めよ。

解説に
「Ｐ（ｘ）を（ｘ－１）（ｘ＋２）（ｘ－３）で割った余りを、更に（x-1）（x＋2）で割った余りを考えると、条件から7xである。
よって次のようにおいて解いてもよい。
P（x）＝（x-1）（x＋2）（x-3）Q（x）＋a（x-1）（x＋2）＋7x 」
とあるのですが全く意味がわかりません。

整式f（x）をx＾2＋６でで割ったときの余りがx-5、x－1で割ったときの余りが3であるという。
f（x）を(x＾2＋6)（x-1）で割ったときの余りを求めよ
という問題でも「f（x）＝（x^2＋6）g（x）＋x-5･･･?@とおく。
g（x）＝（x-1）h（x）＋pとおき、?@に代入すると、
f（x）＝（x^2＋6）（x-1）h（x）＋【p（x^2＋6）＋x-5】・・・?A
?Aの両辺のx=1を代入するとf（1）＝3=7p-4 、 p=1 ?Aの下線部が余りだから、（x^2＋6）＋x-5＝x^2＋x＋1
とあるのですが、
これも前者の問題の解説のいう解き方と同じ方法なのでしょうか？
両者ともなぜこのような解答になるのか全く検討がつきません。３時間考えたのですが・・・さっぱりです。
誰か分かる方本当にお願い致します。
教えてください。
よろしくおねがいします

No.10407 - 2010/05/24(Mon) 23:56:30

☆ Re: 高２　数学?U / rtz

理屈はどちらも同じ。
上だと、
(x-1)(x+2)(x-3)で割った余りは2次以下であり、一般にax²+bx+cとおける。
P(x)＝(x-1)(x+2)(x-3)Q(x)+ax²+bx+cを(x-1)(x+2)で割った際、(x-1)(x+2)(x-3)Q(x)は割り切れるので余りに関与しない。
ax²+bx+cを(x-1)(x+2)で割ると、何れも2次式であり、互いの2次の係数から商はaである。
また問題文より余りは7xであったから、ax²+bx+c＝a(x-1)(x+2)+7xである。
即ちP(x)＝(x-1)(x+2)(x-3)Q(x)+a(x-1)(x+2)+7xとおける。

No.10409 - 2010/05/25(Tue) 02:42:03

★ 定積分 / みぃ

問題と解答は画像のとおりです。
cosxsin^4xが偶関数である理由がわかりません。
よろしくお願い致します。

No.10401 - 2010/05/23(Sun) 21:37:04

☆ Re: 定積分 / ToDa

偶関数の定義はご存じですか。

No.10402 - 2010/05/23(Sun) 22:13:16

☆ Re: 定積分 / みぃ

とても返事が遅れてしまいました。
申し訳ありません。

偶関数の定義は
f(-x)=f(x)だと
思っています。

No.10435 - 2010/05/27(Thu) 13:33:08

☆ Re: 定積分 / ヨッシー

では
　f(x)＝cosxsin^4x
としたときに、
　f(-x)＝f(x)
が成り立つか調べればいいですね。

No.10438 - 2010/05/27(Thu) 19:29:10

☆ Re: 定積分 / みぃ

そうなのですが…
cos^-xをどう処理すれば
よいのかがわからなくて(>_<)

No.10449 - 2010/05/28(Fri) 05:58:35

☆ Re: 定積分 / ToDa

＞cos^-x

は登場しません。f(x)の偶関数性は、

cos(-x)=cos(x)
sin(-x)=-sin(x)
を使えばすぐに分かります。
これは、覚えること云々という意味ではなく、三角関数の定義からすぐに分かることです。

あなたの他の質問なども見ていると、三角関数の扱いをとても苦手としているように思います。この問題においては積分や偶関数という以前の問題なので、数IIの範囲の三角関数を学習し直すことをおすすめします。

No.10459 - 2010/05/29(Sat) 20:30:57

☆ Re: 定積分 / みぃ

cos(-x)=cos(x)
sin(-x)=-sin(x)を使えばよかったんですね。
sin^4のときもこれが通用するのですか?

三角関数もさることながら数学全般が
致命傷です。夏までになんとか?UBまでは
一通り克服しようとしていますが
なかなか難しいです…。

No.10460 - 2010/05/29(Sat) 22:34:20

☆ Re: 定積分 / ヨッシー

目標は、
　f(x)＝cosxsin^4x
としたときに、
　 f(-x)＝f(x)
であることを示すことですよね？ですから、まず
　f(-x)＝cos(-x)sin^4(-x)
とします。次にやることは
cos(-x) をどう変形するか？sin(-x) をどう変形するか？
ですから、
　cos(-x)=cos(x)
　sin(-x)=-sin(x)
を使います。

何に向かって、式変形しているか？
どういう式が得られたら、解答したことになるか？
を常に考えましょう。

ちなみに、
　sin^4(x)＝sin(x)×sin(x)×sin(x)×sin(x)
ですから、sin(-x)＝-sin(x) が使えます。

No.10461 - 2010/05/29(Sat) 23:29:21

☆ Re: 定積分 / ToDa

うーむ？

念のため確認です。
問題文に使われているsin^4(x)というのは、(sin(x))^4　すなわち

(sin(x))*(sin(x))*(sin(x))*(sin(x))

の意味である、というのはご存じでしょうか？

No.10462 - 2010/05/29(Sat) 23:31:26

☆ Re: 定積分 / みー

>ヨッシーさん
>ToDaさん

sin^4(x)＝sin(x)×sin(x)×sin(x)×sin(x)
だったんですか!
sin^4 と (x)を別物に
考えていました(;･_･)

それなら通用するのも
当たり前ですよね。

やはり知識の穴が相当
ひどいようです。
なんとか復習頑張ります。
ありがとうございました。

No.10463 - 2010/05/30(Sun) 06:34:43

☆ Re: 定積分 / ToDa

まだお読みでしたら、他の方に教える時の参考にしたいので教えてください。

この度のsin^4(x)と同じような表記は、三角関数では絶対に避けて通れない基本の公式、

sin^2(x) + cos^2(x) = 1

などにも登場しているわけですが、これのsin^2(x)とはどういう意味であると考えていましたか？

No.10464 - 2010/05/30(Sun) 07:15:46

☆ Re: 定積分 / みぃ

多分その式で登場するときは
「sin(x)の二乗」という認識をしています。
それがsin^3(x)以上になると何故か
別物だと思ってしまうのです。
二乗までは慣れ親しんでいるのですが、
三乗からは自分の中で「三乗が出た！」と
身構えてしまい、当たり前の考え方が
できなくなってしまいます。

No.10466 - 2010/05/30(Sun) 21:43:25

★ 写像の個数 / zambara

M={1,2,3,…,n} (n≧4)とし,MからMの上への写像をfとする.
(1)f○fが恒等写像となるようなfの個数をg(n)とするとき,g(n)をg(n-1),g(n-2),nで表せ.
(2)f○f○fが恒等写像となるようなfの個数をh(n)とするとき,h(n)をh(n-1),h(n-3),nで表せ.

上の問題を自分なりに解いて(1)はg(n)=g(n-1)+(n-1)g(n-2),(2)はh(n)=h(n-1)+(n-1)(n-2)h(n-3)
と出たのですがいまいち自信がありません。どなたか分かりやすくご教授願います。

No.10399 - 2010/05/23(Sun) 18:51:38

☆ Re: 写像の個数 / 我疑う故に存在する我

それでよいと思います。

例えば (1) は g(n) 個のうち、 f(n) = n の場合が g(n-1) 個で、 f(n) = p ≠ n の場合は f(p) = n となるから、(n-1)g(n-2) 個となります。

No.10404 - 2010/05/24(Mon) 17:24:27

☆ Re: 写像の個数 / zambara

ありがとうございます。

No.10405 - 2010/05/24(Mon) 17:39:39

★ (No Subject) / たまごん

初めましてよろしくお願いします。

高校数学の問題で分からないところがありましたので、質問したいと思います

図のように、3つの円A、B、Cが外接し、円Aの半径は2、円Bの半径は4である。また、lは3つの円の共通接線で、P、Q,Rは接点である。このとき、円Cの半径を求めよ。

AとP、AとB、BとQを結び、AからBQに垂線ADをおろして、ADPQが長方形ということから、PQ＝ADということを導き出して、三平方の定理を ABDに適用し、ADを求めるところまでいったのですが、そこから何をどうすればいいのか分かりません。（ここまではヒントを参考になんとかいけました。）

どなたか教えていただけないですか？

よろしくお願いします

図が見にくい場合、以下にアップしておきましたのでご覧下さい。
http://imagepot.net/view/127460037467.jpg

No.10398 - 2010/05/23(Sun) 16:49:34

☆ Re: / ヨッシー

各円の中心をＡ，Ｂ，Ｃとします。
Ａ(0,0)、Ｂ(4√2,2) として、直線ＰＱを、ｙ＝－２とします。
円Ｃの半径をｒ、Ｃの座標を（ｘ、-2+r) とします。
　ＡＣ^2＝ｘ^2＋(r-2)^2＝(2+r)^2
　ＢＣ^2＝(4√2－ｘ)^2＋(4-r)^2＝(4+r)^2
それぞれ整理して、
　ｘ^2＝８ｒ
　(4√2－ｘ)^2＝１６ｒ
よって、
　(4√2－ｘ)^2＝２ｘ^2
０＜ｘ＜4√2 より
　4√2－ｘ＝√2ｘ
　(１＋√2)ｘ＝4√2
　ｘ＝4√2/(１＋√2)＝8－4√2
ｘ^2＝８ｒより
　ｒ＝12－8√2

No.10403 - 2010/05/23(Sun) 23:54:15

★ 求積の問題 / みぃ

問題と解答は画像のとおりです。
(処理が汚くてすいません。)

矢印１：いつの間にこのような計算式に
変換されたのかがわかりません。

矢印２：なぜ範囲がわかったら交点が
わかるのかがわかりません。

よろしくお願いいたします。

No.10394 - 2010/05/23(Sun) 13:46:50

☆ Re: 求積の問題 / ヨッシー

矢印１　合成の公式
　ａsinθ＋ｂcosθ＝√(a^2＋b^2)sin(θ＋α)
　sinα＝ｂ/√(a^2＋b^2), cosα＝a/√(a^2＋b^2)
を使います。
　cos2x＝sin2x　を移項して
　sin2x－cos2x＝０
合成公式より
　√2sin(2x－π/4)＝０
　・・・sinα＝-1/√2, cosα＝1/√2 となる角の１つは -π/4 です。

√2 で割って、sin(2x－π/4)＝０です。

矢印２
交点のｘ座標を求めるために、cos2x＝sin2x を解いているわけですね？
変形して、sin(2x－π/4)＝０まで来ました。
これの解は、
　2x－π/4＝0, π, 2π, 3π・・・
より、
　ｘ＝π/8, 5π/8, 9π/8, 13π/8・・・
など無数にあります。このうち π/8≦ｘ≦5π/8 を満たすのは、
　ｘ＝π/8, 5π/8
です。

No.10395 - 2010/05/23(Sun) 15:25:49

☆ Re: 求積の問題 / みぃ

合成のやり方を
忘れていました(>_<)

両方とも理解できました!
ありがとうございました。

No.10400 - 2010/05/23(Sun) 20:20:25

★ (No Subject) / 静

数学複利法２回目

大至急お願い致します数学複利法

ある年の初めに100万円を借り入れた、翌年から毎年の初めに一定額を返し、ちょうど10回目で返済を完了するためには、毎年の返済金をいくらにすればよいか。ただし、年利率5％の複利法で計算するものとし、1000円未満を四捨五入して答えよ。また、必要があれば、1、05'10＝1、63を用いてもよい。

解説では返済終了時点での価値に注目して式を立てて、まず借り入れたお金100万円は一切返済せずにほうっておいたら、年利率5％の複利法で計算するので10回目の返済時に
10＾6×1、05＾10 (円)
になる。一方Ｋ回目に返済したX円は、10回目の返済時には、それまでに10－Ｋ年間経過しているわけですから、その分の利子がついて
X × 1、05＾10－Ｋ
＝1、05＾10－Ｋ (円)となる
とあるのですがいくら考えてみても理解できません(半日は悩まされました…
誰か分かるかた教えてください
よろしくお願いいたします

ちなみに
http://www.zkai.co.jp/z-style/sukkiri/select.asp?cd=&usr=6551
高校発展コース数学２年
数列1（等差・等比数列）
練習問題H【6】複利法の考え方
からこの問題の解説がみれるのですがなんど読んでもいまいち理解できません。
特に図のところとか謎です・・
誰か分かる方おしえてください。おねがいします；

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail.php?qid=124...
でもすでに質問しなんとなくですが理解できました。
ですがまだ図の意味がわからないのでもう一度こちらに新しく立てました。
どうして1回目の返済分は9年間年利率5%複利で運用されることになっているのでしょうか？
２回目以降もよくわかりません。
最後によろしくおねがいします＞＜

誰か分かる方教えてください；；

No.10389 - 2010/05/23(Sun) 11:30:37

☆ Re: / 静

すみません。私は高２です。この問題は数学Ｂの数列のところです。

No.10390 - 2010/05/23(Sun) 11:31:53

☆ Re: / ヨッシー

毎年ｘ円返すのを、返さずに、銀行口座に年５％で預けておいて、
10年経ったところで、一気に返すと考えます。
返さずに余計についた利息は、銀行に預けた利息と相殺されるので、差し引きゼロです。

１年目に銀行に預けたｘ円は、その先９年預けられるので、
返済時には、ｘ×1.05^9 円になります。
２年目に銀行に預けたｘ円は、その先８年預けられるので、
返済時には、ｘ×1.05^8 円になります。
　・・・
10年目に銀行に預けたｘ円は、その日預けたばかりなので、
ｘ円のままです。
これらを足した
　ｘ(1.05^9＋1.05^8＋・・・＋1.05＋１)
が、返さずに置いておいた、100万円の10年後の元利込みの
　100万×1.05^10
に一致すればいいので、
　100万×1.05^10＝ｘ(1.05^9＋1.05^8＋・・・＋1.05＋１)
となります。

No.10391 - 2010/05/23(Sun) 12:37:11

☆ Re: / ヨッシー

まともに計算すると、
１年にｘ万円ずつ返すとき、
最初　100(万円)
１年後の利息(万円)　100×0.05
１年後の残高(万円)　100×1.05－ｘ
２年後の利息(万円)　(100×1.05－ｘ)×0.05
２年後の残高(万円)　(100×1.05－ｘ)×1.05－ｘ
　　　　　　　　　　＝100×1.05^2－1.05ｘ－ｘ
３年後の利息(万円)　(100×1.05^2－1.05ｘ－ｘ)×0.05
３年後の残高(万円)　(100×1.05^2－1.05ｘ－ｘ)×1.05－ｘ
　　　　　　　　　　＝100×1.05^3－1.05^2ｘ－1.05ｘ－ｘ
　・・・・
10年後の残高(万円)は、
　100×1.05^10－(1.05^9＋1.05^8＋1.05^7＋・・・＋1.05＋1)ｘ
となり、これが０になれば完済なので、
　　100×1.05^10－(1.05^9＋1.05^8＋1.05^7＋・・・＋1.05＋1)ｘ＝０
より
　100×1.05^10＝(1.05^9＋1.05^8＋1.05^7＋・・・＋1.05＋1)ｘ
となり、同じ式になります。

No.10392 - 2010/05/23(Sun) 12:51:19

☆ Re: / ヨッシー

あ、こちらの解法も載ってましたね。

No.10393 - 2010/05/23(Sun) 12:57:12

☆ Re: / 静

ありがとうございました！

No.10408 - 2010/05/24(Mon) 23:57:02