ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 数列 / taichi

S1、Sｎの一般項が与えられているとき
ｎ≧２のとき
Sn－Sn-1＝Anとして解いて
An＝＠＠
そしてこの後S１＝A1とからこれがn＝１でも成り立つか
調べます。

しかし、最初から(Sn+1)-Sn=(An+1)
として計算を進めていけばn≧２のとき
といった言葉は出て来ず、より楽ですよね？
（場合わけは必要ありませんよね？）

No.8151 - 2009/09/27(Sun) 15:32:57

☆ Re: 数列 / rtz

はい、私もそれで解いています。

ただ、
全くこの手段(S_n－S_n-1＝a_n)を知らないうちから、
S_n+1－S_n＝a_n+1
という式を出されても分かりにくいと思います。
(数列の一般項としてa_nを使っているので)

そうした意味で、S_n－S_n-1＝a_nが使われているのだと思います。

No.8152 - 2009/09/27(Sun) 15:38:56

☆ Re: 数列 / 七

S(n+1)-S(n)＝A(n+1)
を使っても
ｎ＝0のとき成り立つかどうかは調べなければなりません。
余計に面倒くさいと思います。

No.8153 - 2009/09/27(Sun) 16:54:49

☆ Re: 数列 / taichi

ｒｔｚさんと七さんはどちらが正しいんですか？
S(n+1)-S(n)＝A(n+1)
を使っても
結局場合わけ(n=1?n=0?)は必要なのですか？

よろしくお願いします。

No.8155 - 2009/09/27(Sun) 20:05:29

☆ Re: 数列 / らすかる

場合分けは必要ですから、S[n]-S[n-1]=A[n]をS[n+1]-S[n]=A[n+1]に
変えてもほとんど意味がありません。
実際、n=1の時だけa[n]の一般式に合わない場合があります。

No.8156 - 2009/09/27(Sun) 20:21:44

☆ Re: 数列 / ast

> ｒｔｚさんと七さんはどちらが正しいんですか？
べつにお二人のご意見が対立しているわけでは無いと思うんですが. rtz さんは, "n が自然数で 1 から開始するもの" という暗黙の諒解があるために n の代わりに n + 1 を使えば 2 からはじめるという意味を持たせることができて, 但し書きをつけなくても文句言われないだろうから楽だという意味で

> として計算を進めていけばn≧２のとき
> といった言葉は出て来ず、より楽ですよね？

という質問に対して肯定する趣旨のご発言をなさっているものと私には映ります. ここでは a_1 について別の考察を要するかどうかということには触れてらっしゃらないということに留意すべきでしょう.

さて,
> S(n+1)−S(n)＝A(n+1)
> を使っても
> 結局場合わけ(n=1?n=0?)は必要なのですか？

についてですが, 書き方は S_[n+1] − S_n = a_[n+1] でも, S_n − S_[n−1] = a_n (n ≥ 2) でも, 原義に戻れば "n が一番小さいときにわかる情報が S_2 − S_1 = a_2 である" ということに違いがありません (仮に, 同じように a_1 を知ろうと無理に推し進めても S_1 − S_0 = a_1 という意味の無い式が得られるにすぎません). a_1 を確定する情報はここには含まれていないということです. その意味で

> として計算を進めていけばn≧２のとき
> といった言葉は出て来ず、より楽ですよね？

というのは「場合わけを除去できる」という趣旨で述べることは完全に誤りであることが分るはずです.

No.8161 - 2009/09/27(Sun) 22:54:33

☆ Re: 数列 / 七

具体的な例を示しましょう
初項a₁から第ｎ項a_ｎまでの和S_ｎについて
S_ｎ＝ｎ²のとき一般項a_ｎを求めよ。
という問題で
S_ｎ+1－S_ｎ＝a_ｎ＋1を使うとすると

S_ｎ+1－S_ｎ＝a_ｎ＋1＝2ｎ+1＝2(ｎ+1)－1
よってｎ≧2のときa_ｎ＝2ｎ－1
ｎ＝1のときa₁＝S₁＝1
よってa_ｎ＝2ｎ－1

のようになると思うのですが…。もっといい方法があるのでしょうか？

S_ｎ＝ｎ²＋1のとき一般項a_ｎを求めよ。
であれば

a₁＝S₁＝2、ｎ≧2のときa_ｎ＝2ｎ－1

が答になります。
いずれにしろ｢ｎ≧2のとき…」に匹敵する言葉はなければ減点されます。

No.8165 - 2009/09/28(Mon) 07:04:41

☆ Re: 数列 / rtz

あ、確かに不十分な発言でした。
私の意図していたのはastさんの仰るとおりです。

ご質問されたtaichiさんをはじめ、
七さん、らすかるさん、astさん、大変ご迷惑をおかけしました。
申し訳ありません。

No.8167 - 2009/09/28(Mon) 22:28:17

★ 数列 / aki

こんばんは。
質問お願いします。
http://w.upup.be/?LVyzQo3CvU
の(2)ですが
bn=an－an－1
=(r^2an－1＋ran－2)－an－1
と変形していくときはn≧3のとき
と前置きすると思いますが、その変形が
=－rbn－1
と終わったとき
答えではn≧3のときではなくn≧2のとき
bn=b2(－r)^n－2
としていました。
なぜでしょうか？
n≧3のときに成立した式を使ったので当然最後もn≧3のときという条件になると思いました。
教えて下さい。お願いします

No.8142 - 2009/09/27(Sun) 01:30:31

☆ Re: 数列 / aki

聞き方の説明が悪いでしょうか…？
変形していったときはn≧3という条件の下で行なったにもかかわらずそれを使って最後答えのbnの式を出すときは正答ではn≧2のとき…という条件にかわっていたということです。
困っているのでどなたかお願いします。

No.8150 - 2009/09/27(Sun) 14:02:53

☆ Re: 数列 / ast

一般に, 初項 x, 公比 r の等比数列 {x_n} は x_2 = r * x_1, x_3 = r * x_2, ... という漸化式を満たします. これをまとめると, n ≥ 2 のとき x_n = r * x_[n−1] が x_n の満たす漸化式です. この等比数列の一般項は x_n = x * r^(n−1) ですが, これは n ≥ 1 で成立する等式であって, 漸化式の制約 n ≥ 2 とは無関係です.

解答の中で同じように添字に n を使うからと言って, それらの意味はその文節でそれぞれ違うものです. 一箇所で n ≥ 3 のような制約を課したからといって, それがそのまま他の文節における n にまで遺伝するわけでは在りません. 機械的な判断をしようとするのは危険です, きちんとその意味を確認しながら読み進めるべきです.

No.8163 - 2009/09/27(Sun) 23:37:27

☆ Re: 数列 / aki

astさんどうもありがとうございました。
これから気をつけてみます。
ありがとうございました。

No.8188 - 2009/10/01(Thu) 17:59:29

★ 三角関数 / 高二の父

よろしくお願いします。

tanx・((tanx)^2+1)／((tanx+1)(tanx-1))≦0
これを解くと
tanx＜-1、0≦tanx＜1　こうなることがわかりません。
教えていただけないでしょうか。
（0≦x＜2πです）

No.8130 - 2009/09/26(Sat) 23:00:08

☆ Re: 三角関数 / らすかる

tanx・((tanx)^2+1)／((tanx+1)(tanx-1))≦0
(tanx)^2+1は常に正なので両辺を(tanx)^2+1で割ると
tanx／((tanx+1)(tanx-1))≦0
-1＜tanx＜1 のとき分母は負なので、両辺に(tanx+1)(tanx-1)を掛けると不等号の向きが変わって
tanx≧0
∴0≦tanx＜1
tanx＜-1,tanx＞1 のとき分母は正なので、両辺に(tanx+1)(tanx-1)を掛けると不等号の向きは変わらず
tanx≦0
∴tanx＜-1
両者を合わせて tanx＜-1, 0≦tanx＜1

No.8133 - 2009/09/26(Sat) 23:18:16

☆ Re: 三角関数 / rtz

結局は同じことですが、
{(tanx+1)(tanx-1)}²をかけてしまうのも1つの手です。

No.8140 - 2009/09/27(Sun) 00:21:23

★ 数?Bの面積・体積です / ぽんた

次の2問をよろしく願いします

(1)2x^2+3y^2=6で囲まれた部分の面積を求めよ
(2)曲線x^2+y^2-4x=0で囲まれた部分を、x軸の周りにいっ回　転させてできる立体の体積?Xをもとめよ

答えは(1)(√6)π　(2)(32π)/3 です

No.8123 - 2009/09/26(Sat) 20:05:58

☆ Re: 数?Bの面積・体積です / rtz

(1)
楕円の面積の公式を利用する。

(2)
曲線が円を表していることを確認する。
どのような円か分からなければちゃんとグラフも描く。
x軸で回転させれば球になるのであとは球の体積の公式を利用する。

No.8125 - 2009/09/26(Sat) 21:04:46

☆ Re: 数?Bの面積・体積です / ぽんた

(1)はあくまで積分でとくつもりです

(1)(2)ともグラフ書いて面積や体積の公式にもっていきましたが、円であるせいか計算がうまくいきませんでした。
(2)は0になっちゃいました

No.8131 - 2009/09/26(Sat) 23:01:41

☆ Re: 数?Bの面積・体積です / rtz

ではどう考えてどうされたのか、
具体的に書いていただけますか。
どこが分からないのかがこちらとしては分かりませんので。

No.8139 - 2009/09/27(Sun) 00:19:34

★ 高1♀・さんの問題に関して / ハオ

１０m×m－n×n＝１を満たす自然数m,nの組で,n≧100を満たすものを一組求めよ｡　という問題に対して僕なりの解答を考えてみたのですが添削をしてくださる方はお願い致します。

解法)10m^2 –n^2=1について9m^2 –n^2=1-m^2と変形をすると(3m+n)(3m-n)=(1+m)(1-m)---?@と因数分解出来る。ここで3m+n=k 1+m=l (k,lは任意の整数)とおくと?@はk(3m-n)=l(1-m)---?Aとおけ、これより1-m=kx(xは任意の整数)なので?Aに代入すると?Aは
3m-n=xl⇔n=(3-x)m-x本問の方程式に代入して整理すると(m+1)x^2-6mx-(m-1)=0
を得る。これよりm=- (x^2+1)/x^2-6x-1 分子の次数を下げるとm=-｛1+ 2(3x+1)/x^2-6x-1｝
mが整数となる内考え得るのはx^2-6x-1が1又は-1になる場合。この内xも整数となるのはx=6でm=37の時。これより与えられた方程式に代入してn=117を得る。

この様な解法は如何でしょうか？

No.8121 - 2009/09/26(Sat) 17:51:02

☆ Re: 高1♀・さんの問題に関して / らすかる

なぜ 1-m=kx と言えるのですか？
また、解が無数にあるのにm=37しか得られないのは
解き方が正しくないからでは？

No.8124 - 2009/09/26(Sat) 20:53:25

☆ Re: 高1♀・さんの問題に関して / ハオ

k(3m-n)=l(1-m)より右辺はk(定数)の倍数、左辺はl(定数)の倍数なので(1-m)=kx（xの任意の整数)と言える、と思ったのですがk,kが互いに素を指摘しなければイケませんでしたか。
又、ラスカルさんのおっしゃる点はその点ですか。

解が無数にあるのは承知でしたが問題が1組求めよ、との事でしたので
>mが整数となる内考え得るのはx^2-6x-1が1又は-1になる場合と直ぐに思いつく場合しか考えませんでした。
厳密に吟味致しますと
>m=-｛1+ 2(3x+1)/x^2-6x-1｝
が整数になる最低条件は2(3x+1)≧x^2-6x-1⇔6-√39≦x≦6+√39 このxの範囲内における整数を代入していけばm(整数解)は得られると思います。ところでm=37はx=6を代入した時の値です。

No.8126 - 2009/09/26(Sat) 22:01:09

☆ Re: 高1♀・さんの問題に関して / ハオ

3行目　k,lが互いに素
4行目　らすかるさん　　　に訂正お願いします。

No.8127 - 2009/09/26(Sat) 22:16:32

☆ Re: 高1♀・さんの問題に関して / らすかる

なぜkとlが互いに素と言えるのですか？
実際、m=37,n=117のときkとlは互いに素ではありませんが。

また
m=-｛1+ 2(3x+1)/x^2-6x-1｝
この式のxに6-√39≦x≦6+√39の範囲内の整数を代入しても
解が有限個しか得られませんので、やはり問題があると思います。

No.8129 - 2009/09/26(Sat) 22:54:17

☆ Re: 高1♀・さんの問題に関して / ハオ

らすかるさん、有難う御座いました。この様な愚解を添削して頂き感謝致します。自分の未熟さがよく分かりました故。
しかしながら、とても楽しかったです。有難う御座います。

No.8147 - 2009/09/27(Sun) 08:14:33

★ 数学です / 高１♀

１０m×m－n×n＝１を満たす自然数m,nの組で,n≧100を満たすものを一組求めよ｡
とゆう問題なのですが解き方や方針が全く思い浮かびません｡
ヒントを頂けないでしょうか?

No.8109 - 2009/09/25(Fri) 21:43:13

☆ Re: 数学です / のぼりん

こんばんは。
　　　１０ｍ^２－ｎ^２＝１　…　☆
の様な整数方程式を、ペル方程式と言うそうです。同方程式には一般的解法がある様で（http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/pell/pell.htm 等参照）、これによると以下の答案が考えられます。

ｍ_１＝１、ｎ_１＝３は ☆ の解です。奇数ｋに対し、二項定理により（ｍ_１√１０＋ｎ_１）^ｋを展開し、
　　　（√１０＋３）^ｋ＝ｍ_ｋ√１０＋ｎ_ｋ　（ｍ_ｋ、ｎ_ｋは正整数）
となったとします。
　　　（√１０－３）^ｋ＝ｍ_ｋ√１０－ｎ_ｋ
だから、辺々かけ、
　　　１＝（√１０＋３）^ｋ（√１０－３）^ｋ
　　　＝（ｍ_ｋ√１０＋ｎ_ｋ）（ｍ_ｋ√１０－ｎ_ｋ）＝１０ｍ_ｋ^２－ｎ_ｋ^２
と、ｍ_ｋ、ｎ_ｋも ☆ の解になります。そこで、ｋ＝３とすると、
　　　（√１０＋３）^３＝３７√１０＋１１７
だから、ｍ＝３７、ｎ＝１１７は解です。

しかし、以上は技巧的で、本問には適さないと思われます。そこで、泥縄式に計算してみます。

ｎ^２＝１０ｍ^２－１の一の位は９です。
　　　０^２＝０、　１^２＝１、　２^２＝４、　３^２＝９、　４^２＝１６
　　　５^２＝２５、６^２＝３６、７^２＝４９、８^２＝６４、９^２＝８１
だから、ｎの一の位は３か７です。ｎ＝１０３，１０７，１１３，１１７，… と虱潰しして、
　　　ｍ＝√｛（ｎ^２＋１）/１０｝
も整数になるか確認してみます。
　　　√｛（１０３^２＋１）/１０｝＝√１０６１＝３２．５７…
　　　√｛（１０７^２＋１）/１０｝＝√１１４５＝３３．８３…
　　　√｛（１１３^２＋１）/１０｝＝√１２７７＝３５．７３…
　　　√｛（１１７^２＋１）/１０｝＝√１３６９＝３７
だから、ｍ＝３７、ｎ＝１１７が解であることが再びわかりました。

と解答しておいて何ですが、能のある解法とは言い難く、もっと上手いやり方がありそうです。

No.8113 - 2009/09/26(Sat) 01:28:03

☆ Re: 数学です / 高１♀

丁寧に教えて下さりありがとうございます｡１の位が３,７であることや式の変形をすることなど､なんとか理解することが出来ました｡

ここでもうひとつ質問なのですが√の中の数字が大きいときにスラスラと〇の二乗とわかる方法があるのでしょうか｡

No.8114 - 2009/09/26(Sat) 07:44:42

☆ Re: 数学です / ヨッシー

素因数分解して、２回掛けられているものをくくり出していく。
筆算で開平してみる。

２乗にならないことは、割と簡単に調べられます。
まず、１の位が、2,3,7,8 のものはまずダメです。
次に、たとえば、√35969 の場合、
　100²＜35969＜200²
　180²＜35969＜190²
程度まで絞り込んだら、可能性のある 183,187 を調べます。
この場合は、いずれも該当しないので、2乗にはなりません。

No.8115 - 2009/09/26(Sat) 10:07:07

☆ Re: 数学です / らすかる

この問題の場合は、nを増やすとmも増えていきますから、
√を計算するのではなく、逆に二乗を計算していくのが良いと思います。
(103^2+1)/10=1061
(107^2+1)/10=1145
(113^2+1)/10=1277
(117^2+1)/10=1369
(100^2+1)/10≒1000≒32^2ですから32から始めて
32^2=1024
33^2=1089
34^2=1156
35^2=1225
36^2=1296
37^2=1369
となって1369で初めて一致することがわかります。
さらに、二乗を順次計算するのは加算だけでできます。
32^2=1024
1024+32+33=1089
1089+33+34=1156
1156+34+35=1225
1225+35+36=1296
1296+36+37=1369

No.8118 - 2009/09/26(Sat) 12:06:53

☆ Re: 数学です / らすかる

3で割った余りを考えるとnは3の倍数とわかり、これと
nの一の位が3か7であることを合わせて考えると
最小の候補が117になりますね。

No.8135 - 2009/09/26(Sat) 23:36:05

★ 物理についてです。 / ハオ

今物理?Tで熱を勉強しているのですがそこで疑問に思ったのがボイルの法則、シャルルの法則を習い左記を纏めてボイル・シャルルの法則が完成したと授業中に習いました。教科書傍用問題集や友達の意見「え、ボイルの法則知らないの？問題集にそれ使う問題結構載ってたよ」等を聞いて実際それを解いていて思ったのですが、ボイル・シャルルの法則（PV/T ＝一定)だけ知っていれば大丈夫ではないでしょうか？皆さんの意見をお聞かせください。

No.8090 - 2009/09/24(Thu) 20:37:02

☆ Re: 物理についてです。 / ヨッシー

法則と公式だけ知っていても、使えないと意味ありません。
たとえば、PV/T＝ｋ(一定) に対して、問題には、P と V のことしか書いていないとき、
Ｔは一定として、即座に PV＝kT(一定) という、ボイルの法則に
持って行くことが出来る能力があるなら、ボイル・シャルルの法則
で十分と言えるでしょう。

No.8093 - 2009/09/24(Thu) 21:53:25

☆ Re: 物理についてです。 / ハオ

早急な回答感謝致します。ヨッシーさんが指摘してくださったとても大切な点を今一度確認する事が出来ました。

No.8095 - 2009/09/24(Thu) 22:19:37

★ 連続すいません / たかし

(1+√5)^n=an+√(5)bn
についてa(n+1)をanとbnをもちいてあらわせ

答え　an+5bn です
よろしくお願いします

No.8089 - 2009/09/24(Thu) 20:10:16

☆ Re: 連続すいません / ヨッシー

ａ_n，ｂ_n についての条件はありませんか？
有理数とか、整数とか。

No.8092 - 2009/09/24(Thu) 21:45:44

☆ Re: 連続すいません / たかし

整数です

No.8096 - 2009/09/24(Thu) 23:22:19

☆ Re: 連続すいません / らすかる

a[n+1]+(√5)b[n+1]={a[n]+(√5)b[n]}(1+√5)
=a[n]+5b[n]+(√5)(a[n]+b[n])
なので a[n+1]=a[n]+5b[n]

No.8097 - 2009/09/25(Fri) 00:31:19

☆ Re: 連続すいません / たかし

どういうことですか？
どうして(√5)b[n+1]=(√5)(a[n]+b[n])になるんですか？

No.8103 - 2009/09/25(Fri) 18:40:29

☆ Re: 連続すいません / rtz

どこにもそんなことは書いてありませんが…？

No.8104 - 2009/09/25(Fri) 19:05:01

☆ Re: 連続すいません / たかし

a[n+1]+(√5)b[n+1]={a[n]+(√5)b[n]}(1+√5)
=a[n]+5b[n]+(√5)(a[n]+b[n])
なので a[n+1]=a[n]+5b[n]

↑からいうとそういうことになりません？
とにかく僕の言いたかったのは↑がわからなかったということです

No.8105 - 2009/09/25(Fri) 19:43:23

☆ Re: 連続すいません / らすかる

a[n+1]+(√5)b[n+1]=a[n]+5b[n]+(√5)(a[n]+b[n])
a[n+1]-a[n]-5b[n]=(√5)(a[n]+b[n]-b[n+1])
左辺は有理数なので右辺も有理数、よって a[n]+b[n]-b[n+1]=0 となるので
a[n+1]-a[n]-5b[n]=0
従って a[n+1]=a[n]+5b[n]

No.8107 - 2009/09/25(Fri) 20:24:01

☆ Re: 連続すいません / ast

任意の n について
　　(1 + √5)^n := a_n + b_n * √5
というのが a_n, b_n の定義ですから,
　　(1 + √5)^(n+1) := a_[n+1] + b_[n+1] * √5
が a_[n+1], b_[n+1] の原義です. また, (1 + √5)^(n+1) = (1 + √5)^n * (1 + √5) ですから,

　　a_[n+1] + b_[n+1] * √5　= (a_n + b_n * √5) * (1 + √5)

でなければなりません. 右辺はもっと整理 (左辺と同じ √5 の一次式の形に) できるはずですよね. 整理できたなら, 係数が有理数で √5 が無理数なので, 係数比較をすることができます.

No.8108 - 2009/09/25(Fri) 21:07:51

☆ Re: 連続すいません / たかし

あ～なるほど～@(。・◇・)@
基礎知識だったなあ・・
丁寧な解説ありがとうございます

No.8110 - 2009/09/25(Fri) 22:25:44

☆ Re: 連続すいません / たかし

あ、でもつづきがありまして・・

また、c[n]=(a[n]^2)-5(b[n]^2)
とおいたとき、数列{c[n]}の一般項をnを用いてあらわせ

答え：(-4)^n

こちらもおねがいできますか？

No.8111 - 2009/09/25(Fri) 22:31:34

☆ Re: 連続すいません / ast

まず,
　c_n := (a_n)^2 − (b_n * √5)^2 = (a_n + b_n * √5)(a_n − b_n * √5)

ですから, a_n − b_n * √5 が何物なのかわかれば話がつきそうです. 結果から言えば (というか, 分っている答えから逆算すれば),

　(1 + √5)^n * (1 − √5)^n = (1^2 − (√5)^2)^n = (−4)^n

という関係式が鍵であることがわかるはずですから, 示すべきものは自ずと見えてくるでしょう.

No.8112 - 2009/09/25(Fri) 22:56:03

☆ Re: 連続すいません / ぽんた

どうやって(1-√5)^n=a[n]-b[n]√5
を示します？

No.8132 - 2009/09/26(Sat) 23:05:39

☆ Re: 連続すいません / ast

帰納法なりなんなりやり方はありそうだと思いますが, あなた自身はどうやって示したらよさそうか考えないのですか?

No.8136 - 2009/09/27(Sun) 00:00:42

★ 変な感じです。。 / あゆみ

xの関数f(x)=x^3-ax^2+bが０≦x≦１の範囲で
０≦f（x）≦１となるようなa,bの条件を求め
点(a,b)の存在範囲をab平面上に図示せよ。

解）グラフより０＜ｘ＜１の範囲に極大値はないから
０≦x≦１における最大値と最小値は
f(0),f(1),f(2a/3)の中にある。

これらが０以上１以下であることが必要十分より
a,bの満たすべき条件は
０≦f（０）≦１，０≦f（１）≦１
０≦ｆ（2a/3)≦１（ただし０≦2a/3≦１のとき）

とあるのですが、よくわかりません。
というか本当にこれで必要十分なの？って思います。
何かだまされている気がします。。

また解説に
０≦x≦１で０≦ｆ（ｘ）≦１となるための必要十分条件は
「ｆ（０）、ｆ（１）、０≦x≦１での極大極小値が全て０以上１以下」とあるのですが、これはグラフの形に限らず言えるんですか？理由もお願いします。

No.8084 - 2009/09/24(Thu) 13:38:01

☆ Re: 変な感じです。。 / ヨッシー

ある範囲の最大値、最小値について
　０≦最小値≦最大値≦１
であれば、その範囲内の、すべての値が
　０≦f(x)≦１
を満たすのは、明確ですね。ある値が０より小さかったり、
１より大きかったら、それの方が、最小値や、最大値になるはずですから。

おそらく、０≦f(x)≦１を、f(x) の最小値が０で、最大値が
１だと思っておられるのではないですか？
別に、f(x) が０から１を網羅する必要はありません。
最後の４行についても、この点で、引っかかってるのではないでしょうか？

No.8085 - 2009/09/24(Thu) 15:57:26

☆ Re: 変な感じです。。 / rtz

(拡張は出来ますが一応3次関数に限定しておきます)
0≦x≦1で0≦f(x)≦1⇔0≦f(0),f(1),[0≦x≦1での極大極小値]≦1

(1)0≦x≦1で極大極小値を持たない場合
この場合、0≦x≦1で単調増加或いは単調減少です。
つまり、
0≦x≦1ではf(0)≦f(x)≦f(1)かf(1)≦f(x)≦f(0)ですから、
0≦x≦1で0≦f(x)≦1⇔0≦f(0),f(1)≦1です。

(2)0≦x≦1で極大値を持つ場合
極大値を持つx＝αとすれば、
この場合、0≦x≦αで単調増加、α≦x≦1で単調減少です。
つまり、最大値はf(α)、最小値はf(0)或いはf(1)です。
よって、
0≦x≦1で0≦f(x)≦1⇔0≦f(0),f(1),[0≦x≦1での極大極小値]≦1
です。

(3)0≦x≦1で極小値を持つ場合
(2)同様です。
最小値が極小値、最大値はf(0)或いはf(1)に変わるだけです。

いずれにせよ冒頭の同値関係は成立します。

No.8086 - 2009/09/24(Thu) 16:01:31

★ 数学なんですが / マカロン

質問したいんですが、エックスの二乗とかってどうやって入力するんですか・・・。

No.8077 - 2009/09/23(Wed) 21:30:59

☆ Re: 数学なんですが / rtz

x²
のことですか？

No.8078 - 2009/09/23(Wed) 21:36:42

☆ Re: 数学なんですが / ast

x², x<sup>2</sup>, x^2, ...

Data Error
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No.8081 - 2009/09/23(Wed) 23:47:52

☆ Re: 数学なんですが / ヨッシー

回答者側からすると、x^2 と書いてもらうのがありがたいです。
ｘ² だと、コピーして貼り付けたときに、
ｘ2 になってしまい、直すのに手間がかかるからです。

No.8087 - 2009/09/24(Thu) 16:03:52

☆ Re: 数学なんですが / マカロン　高３

ありがとうございました。

No.8145 - 2009/09/27(Sun) 01:51:15

★ よろしくおねがいします / たかし

長方形ABCDがあり、AB=4である。辺BC上に点Qを、辺AB上に点Pをとり、線分PQを折り目として△PBQの部分を折り曲げ、短点Bが辺AD上にくるようにする。このとき、角PQB＝θとする。△PBQの面積が最小になるようなθの値とそのときの面積を求めよ。

おねがいします。

No.8074 - 2009/09/23(Wed) 12:17:47

☆ Re: よろしくおねがいします / to

長方形ＡＢＣＤ【ＡＢ＝4，ＢＣ＞4】
辺ＢＣ上に点Ｑを、辺ＡＢ上に点Ｐをとり、
線分ＰＱを折り目として点Ｂが辺ＡＤ上にくるようにする。
∠ＰＱＢ＝θとするとき、
△ＰＢＱの面積が最小になるようなθの値と、そのときの面積

hint一例
点ＢがＡＤ上にくるときの点をＤ，ＰＱとＢＤの交点をＥとすると
ＰＱはＢＤの垂直二等分線，△ＡＢＤ∽△ＰＢＱ，0＜θ≦45°
ＡＤ＝4tanθ，ＢＤ＝4/cosθ，ＢＥ＝4/cosθ，ＢＱ＝4/sin(2θ)，ＰＢ＝1/{cos(2θ)＋1}
θ＝30°のとき、最小値△ＰＢＱ＝32√3/3

No.8076 - 2009/09/23(Wed) 19:08:52

☆ Re: よろしくおねがいします / たかし

BE＝2/cosθですよね
sin2θ(cos2θ+1)
の最大値をもとめるんですよね
しょりできません涙

No.8091 - 2009/09/24(Thu) 21:28:17

☆ Re: よろしくおねがいします / ヨッシー

ＰＢ＝４/{cos(2θ)＋1}
ですね。いずれにしても
　△ＰＢＱ＝8/sin(2θ){cos(2θ)＋1}
なので、sin(2θ){cos(2θ)＋1} の最大を求めることになります。

　f(x)＝sinｘ(cosｘ＋1)　０＜ｘ≦90°
とでもおいて、微分してみますかね。
　f'(x)＝cos^2ｘ＋cosｘ－sin^2ｘ
　　＝2cos^2ｘ＋cosｘ－１
　　＝(2cosｘ－１)(cosｘ＋１)
よって、
　０＜ｘ＜60° で f'(x)＞０
　60°＜ｘ≦90°で f'(x)＜０
より f(x) は、ｘ＝60°で、極大かつ最大。

No.8098 - 2009/09/25(Fri) 08:50:32

☆ Re: よろしくおねがいします / たかし

なるほど。
補足ありがとうございます

No.8106 - 2009/09/25(Fri) 19:46:06

★ ﾍﾞｸﾄﾙの内積２ / 高二の父

よろしくお願いします。
一辺の長さが1の正三角形ＯＡＢで、辺ＡＢの3等分点を、Ａから近い順にＭ，Ｎとする。このときの、内積ﾍﾞｸﾄﾙＯＭ・ﾍﾞｸﾄﾙＯＮを求めたいのですが求め方を教えてください。

No.8073 - 2009/09/23(Wed) 11:18:44

☆ Re: ﾍﾞｸﾄﾙの内積２ / ヨッシー

ａ＝ＯＡ，ｂ＝ＯＢとおき、
ａ・ａ＝|ａ|²＝１
ｂ・ｂ＝|ｂ|²＝１，ａ・ｂ＝√3/2
まで押さえておきます。

ＯＭ＝(2/3)ａ＋(1/3)ｂ
ＯＮ＝(1/3)ａ＋(2/3)ｂ
の、内積を取って、
((2/3)ａ＋(1/3)ｂ)・((1/3)ａ＋(2/3)ｂ)
　＝(2/9)ａ・ａ＋(2/9)ｂ・ｂ＋(5/9)ａ・ｂ
に、上記の値を適用すれば出来ます。
答えは、(8＋5√3)/18 となります。

No.8080 - 2009/09/23(Wed) 22:24:18

☆ Re: ﾍﾞｸﾄﾙの内積２ / 七

aベクトルとbベクトルの内積は1/2ですよね。

No.8082 - 2009/09/24(Thu) 06:03:31

☆ Re: ﾍﾞｸﾄﾙの内積２ / ヨッシー

おや！
がーーーん！そうでした。

ａ＝ＯＡ，ｂ＝ＯＢとおき、
ａ・ａ＝|ａ|²＝１
ｂ・ｂ＝|ｂ|²＝１
ａ・ｂ＝1/2
まで押さえておきます。

ＯＭ＝(2/3)ａ＋(1/3)ｂ
ＯＮ＝(1/3)ａ＋(2/3)ｂ
の、内積を取って、
((2/3)ａ＋(1/3)ｂ)・((1/3)ａ＋(2/3)ｂ)
　＝(2/9)ａ・ａ＋(2/9)ｂ・ｂ＋(5/9)ａ・ｂ
に、上記の値を適用すれば出来ます。

答えは、13/18 となります。

でした。
ご指摘ありがとうございます。＞＞七さん

No.8083 - 2009/09/24(Thu) 10:00:06

☆ Re: ﾍﾞｸﾄﾙの内積２ / 高二の父

> よろしくお願いします。
> 一辺の長さが1の正三角形ＯＡＢで、辺ＡＢの3等分点を、Ａから近い順にＭ，Ｎとする。このときの、内積ﾍﾞｸﾄﾙＯＭ・ﾍﾞｸﾄﾙＯＮを求めたいのですが求め方を教えてください。

ヨッシーさん、七さん解法ありがとうございました。

No.8099 - 2009/09/25(Fri) 10:17:28

★ ベクトルの内積１ / 高二の父

よろしくお願いします。
二つのベクトル、ﾍﾞｸﾄﾙａとﾍﾞｸﾄﾙｂのなす角の求め方を教えてください。
ﾍﾞｸﾄﾙａ=（1,1)，ﾍﾞｸﾄﾙｂ=(-1,2+√3)のなす角

No.8072 - 2009/09/23(Wed) 11:13:57

☆ Re: ベクトルの内積１ / ヨッシー

２つのベクトル
　ａ＝(x,y)，ｂ＝(s,t)
の内積の２通りの求め方
　ａ・ｂ＝ｓｘ＋ｔｙ
　ａ・ｂ＝|ａ||ｂ|cosθ
θはａとｂのなす角ですが、これを使うと、
cosθ が求められ、それが典型的な値(1/2, √2/2 など)だと、
角度が数値で求まります。

上の場合だと、cosθ＝1/2 となり、θ＝π/3 となります。

No.8079 - 2009/09/23(Wed) 22:18:15

☆ Re: ベクトルの内積１ / 高二の父

ヨッシーさん、解法ありがとうございました。

No.8100 - 2009/09/25(Fri) 10:18:42

★ 教えてください / kouichi

白玉３個、赤玉４個あり、同じ色の玉は区別できない。
1.この７個の玉をA,Bの２つの箱に分けて入れる方法は何通り？ただしいずれの箱にも少なくとも１個は入れるものとする。
2.ABCDEFの６種類の箱が２つずつあり、度の箱にも玉を１個しか入れられないものとする。同じ種類の箱は区別しないものとすればこの箱のなかに上記７個の玉を分けて入れる方法は何通ですか？

No.8069 - 2009/09/22(Tue) 22:41:57

☆ Re: 教えてください / らすかる

1.
白玉をAにいくつ入れるかが4通り
赤玉をAにいくつ入れるかが5通り
よって空箱があっても良ければ4×5=20通り
このうち空箱があるのは「全部A」「全部B」の2通りなので、20-2=18通り

2.
白(2,1)赤(2,2)の場合：6C2×4P2=180通り
白(2,1)赤(2,1,1)の場合：6P2×4C2×4C1=720通り
白(2,1)赤(1,1,1,1)の場合：6C1×5C4×5C1=150通り
白(1,1,1)赤(2,2)の場合：6C2×4C3=60通り
白(1,1,1)赤(2,1,1)の場合：6C1×5C3×5C2=600通り
白(1,1,1)赤(1,1,1,1)の場合：6C4×6C3=300通り
よって全部で 180+720+150+60+600+300=2010通り

No.8070 - 2009/09/23(Wed) 08:46:40

☆ Re: 教えてください / kouichi

ご丁寧に教えていただき感謝です。
ありがとうございました！

No.8071 - 2009/09/23(Wed) 10:34:11