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★ 図がかけません / かなこ
平面上にOA=2,OB=3、OA・OB=５を満たす3点OABがある。直線OAに対して点Bと対称な点をC、角AOBの二等分線が線分ABと交わる点をD、直線ABと直線OCの交点をEとする。
という問題なんですが、図がかけません。
答え（図がどのようになるか）
は知っているので
図の描き方を教えてください。
困っています。どうかよろしくお願いします
No.8061 - 2009/09/21(Mon) 21:37:57
☆ Re: 図がかけません / ヨッシー
図の描き方とは、すごく正確にということでしょうか？
だとすると、∠ＡＯＢをきちんと書かないといけませんが、
だいたいでよければ、こんな感じです。


No.8062 - 2009/09/21(Mon) 22:10:19
☆ Re: 図がかけません / 都
＃OA・OBというのはベクトルの内積だと勝手に解釈します。

OA・OB=|OA||OB|cos∠AOB=2・(|OB|cos∠AOB)=5なので|OB|cos∠AOB=2.5ですから、(OBのOAに対する正射影を考えて)
半直線OA上にOP=2.5なる点PをとってそのPを通ってOAに垂直な直線を引けば、その直線上にBがあることになりますね。
No.8066 - 2009/09/22(Tue) 02:58:46
★ 三角関数４ / 高二の父
よろしくお願いします。
0≦X＜2πのとき不等式tan2X≧tanXの解法を教えてください。
No.8060 - 2009/09/21(Mon) 20:56:15
☆ Re: 三角関数４ / ヨッシー
グラフを描くのが、色々小細工なくて良いです。

図の青がy=tanｘ, 赤がy=tan２ｘです。
赤の方が上になる部分をグラフから読み取ります。
No.8063 - 2009/09/21(Mon) 22:29:12
☆ Re: 三角関数４ / 豆
普通に式で解けば(小細工？)、
2tanx/(1-(tanx)^2)≧tanx
tanx(1+(tanx)^2)/((tanx+1)(tanx-1))≦0
tanx＜-1　、0≦tanx＜1
∴　0≦x＜π/4　、π/2＜x＜3π/4　、π≦x＜5π/4　、3π/2＜x＜7π/4
No.8067 - 2009/09/22(Tue) 08:55:20
☆ Re: 三角関数４ / 高二の父
ヨッシーさん、豆さん　解答ありがとうございました。
No.8101 - 2009/09/25(Fri) 10:20:00
★ 数学についての質問です。 / ハオ
数学の孤高の美しさ等数学で感動した話を掲載した書籍を知っている方は題名を教えてください。
数学に関係ない話で非常に恐縮ですが。
No.8058 - 2009/09/21(Mon) 13:47:14
★ 格子点 / aki
こんばんは(^o^)
宜しくお願いします。
http://r.upup.be/?o9rCc55fTD
の(2)ですが(1)を利用し
http://y.upup.be/?UFAbNlFGs2
のように式を立てて計算したら(3n^2)/2＋(3n/2)−1となりましたが答えは最後の1の係数が＋でした。
何度も見直しましたがどうやっても−になりました。
最初の式のたてかたを間違えてしまったのでしょうか。

ちなみに(1)は全体ね格子点から面積を三つに分けた時の一番左の格子点を2倍したものを引きました。

宜しくお願いします。
No.8054 - 2009/09/20(Sun) 19:36:14
☆ Re: 格子点 / 都
実験してみるのはどうでしょう。もっとも簡単な場合をこんな風に想定して



で、S3nを求めるときに使った考え方がそのままこれを数え上げるときに使えるのかを考えてみましょう。
No.8056 - 2009/09/20(Sun) 21:09:56
☆ Re: 格子点 / aki
一応(1)をうけて、できると判断してしまったのですが、できないということでしょうか？
No.8075 - 2009/09/23(Wed) 16:39:37
☆ Re: 格子点 / 都
原点(0,0)の扱いはどうなっていますか？

No.8117 - 2009/09/26(Sat) 10:20:38
☆ Re: 格子点 / aki
原点の扱いを忘れていました。
−1＋2でできました。

ありがとうございました。
No.8122 - 2009/09/26(Sat) 18:01:32
★ 二次曲線 / CYB
点(1/2 , 1/2)を焦点とし、直線x+y=0を準線とする放物線の方程式を求めよ。
という問題です。

自分では放物線の定義を使って求めましたが、回転行列を使う別の解法もあると聞いたので、できればそれを教えてください。
No.8044 - 2009/09/20(Sun) 14:23:59
☆ Re: 二次曲線 / ヨッシー
求める図形を45°回転すると、(√2/2, √2/2) が焦点で、
ｘ軸が準線の放物線になります。
その式は、ｙ＝√2x^2＋√2/4 となります。
求める図形上の点を(x,y), ｙ＝√2x^2＋√2/4 上の点を(x', y') とすると、
　x'＝ｘcos(π/4)−ｙsin(π/4)
　y'＝ｘsin(π/4)＋ｙcos(π/4)
の関係があるので、これを、ｙ＝√2x^2＋√2/4 に代入して、
　(1/√2)(ｘ＋ｙ)＝√2(1/2)(ｘ−ｙ)2＋√2/4
両辺√2を掛けて
　ｘ＋ｙ＝(ｘ−ｙ)2＋1/2
これを展開すればできあがりです。
No.8046 - 2009/09/20(Sun) 15:15:01
☆ Re: 二次曲線 / CYB
点(1/2 , 1/2)を45°回転すると、(0, 1/√2)になってしまうんですが・・・
すみません、(√2/2, √2/2) はどうやって出すんですか。
No.8048 - 2009/09/20(Sun) 16:47:15
☆ Re: 二次曲線 / らすかる
(√2/2, √2/2) は多分 (0, √2/2) の書き間違いだと思います。
No.8049 - 2009/09/20(Sun) 17:13:33
☆ Re: 二次曲線 / ヨッシー
あ、そうです。
(0, √2/2) でした。(0, 1/√2) でも同じです。
あとは合ってると思います。
No.8050 - 2009/09/20(Sun) 17:14:39
☆ Re: 二次曲線 / CYB
なるほど、できました！
ご丁寧にありがとうございました！
No.8052 - 2009/09/20(Sun) 17:28:23
★ 三角関数３ / 高二の父
α，β，γは鋭角で、tanα＝√3/7，tanβ＝√3/6，tanγ＝2-√3のとき、α＋β，α＋β＋γの値を求める問題です。
tan（α＋β）＝√3/3，0＜α＋β＜πよってα＋β＝π/6とありますが、｢よって｣の部分を解説していただけないでしょうか。
tan（α＋β）＝√3/3は求められました。α，βは鋭角から0＜α＋β＜πも理解できます。よろしくお願いします。
No.8040 - 2009/09/20(Sun) 12:10:48
☆ Re: 三角関数３ / のぼりん
こんにちは。
正接 ｔａｎ は、（０，π） から （−∞，０）∪（０，∞） の上への一対一の対応を与えます。
ｔａｎ（π/６）＝１/√３ です。
よって、α＋β＝１/√３ です。
No.8042 - 2009/09/20(Sun) 12:24:31
★ 三角関数 / 高二の父
0≦α＜π，0≦β＜π，tanα＝1/2，tanβ＝1/3のとき、α＋βの値を求める問題で、α＋β＝π/4又は5π/4となりましたが、解答ではπ/4のみです。条件から0≦α＋β＜2πとはならないのでしょうか？（解答には0＜α＜π/2，0＜β＜π/2と理由がありますが）
No.8037 - 2009/09/20(Sun) 10:43:20
☆ Re: 三角関数 / らすかる
π/2＜α＜π のとき tanα＜0 ですからこれはあり得ません。
βも同様です。
No.8039 - 2009/09/20(Sun) 11:03:39
☆ Re: 三角関数 / 高二の父
ありがとうございました。
No.8041 - 2009/09/20(Sun) 12:11:19
★ 空間図形 / まりも　は高3
空間において、平面z=10の上にある中心Z(0,0,10)、半径1の円周Cの上を光源が回っている。2点P(-1,1,8)、Q(3,5,0)を結ぶ線分がxy平面に張られたスクリーン上に落とす影全体をxy平面に図示し、その面積を求めよ。

やり方が分からないです。教えてください。
No.8034 - 2009/09/20(Sun) 01:07:10
☆ Re: 空間図形 / 都
ではたとえば、光源が(1,0,10)に固定されている場合の影は分かりますか？
No.8035 - 2009/09/20(Sun) 02:09:22
☆ Re: 空間図形 / roro
１つのイメージです。
No.8036 - 2009/09/20(Sun) 06:09:03
☆ Re: 空間図形 / まりも　は高3
図を見せてくれてありがとうございます。でもやっぱりやり方が分からないので教えてもらえないでしょうか？
No.8051 - 2009/09/20(Sun) 17:23:38
☆ Re: 空間図形 / 都
ではもっと単純化して。

光源が点Z'(1,0,10)に固定されているとき、点Pがxy平面上のスクリーンに落とす影の座標は分かりますか？

頑張って考えてください。これが第一歩です。

＃どの段階まで分かっていてどの段階からが分からないのか、それが分からないと教えられないので、どこまで考えたのかを教えてください。
No.8053 - 2009/09/20(Sun) 18:28:36
☆ Re: 空間図形 / 都
とりあえずヒントはこんなところで。

＃roro氏のヒントと同じことではあるのですが。
No.8055 - 2009/09/20(Sun) 19:53:53
★ (No Subject) / ねねこ
ある正の実数aに対しy≧ax^2が成り立つ
の否定が
全てのa（＞０）についてｙ＜ax^2

の部分で、なんでaだけ否定しないのかが分かりません。
つまりaが正の否定はaが０または負ではないのか
ということです。
　
教えてください。よろしくお願いします。
No.8032 - 2009/09/19(Sat) 19:13:32
☆ 「ある〜に対して」の否定 / angel
「ある a に対して P が成立する」を言い換えると、「P が成立する a が存在する」です。

なので、その否定は、
「P が成立する a が存在しない」言い換えると、「全ての a に対して『Pの否定』が成立する」
となります。

今回は、「ある正の実数 a に対して〜」なので、否定形は「全ての正の実数 a に対して…」となるのです。
No.8033 - 2009/09/19(Sat) 19:38:26
★ 三角関数 / 高二の父
半径２の円O１と半径√２の円O２があり、その中心距離は１＋√３。この２円の重なり部分の、面積と弧の長さを求めたいのですが、よろしくお願いします。
No.8030 - 2009/09/19(Sat) 18:00:30
☆ Re: 三角関数 / ハオ
後学の為に僕なりの解答方法を記しますが、解答例の1つとして見て頂ければ幸いです。全くの私的理由によるものなので無視されても構いません。

円O1の中心座標を(0,0)円O2の中心座標を(1+√3,0)とおいても題意の一般性は失われない。
円O1の方程式はx^2+y^2=4---?@
円O2の方程式は(x-1-√3)^2+y^2=2---?A と書ける。
円O1,O2の交点のx座標を?@?Aを連立させて求めると
x=√3を得る。交点の上方、下方をそれぞれP,Q、円O1の中心をA、円O2の中心をBとおくと、
扇形APQの面積=π*2^2*60°/360°--?B
(ここで扇形APQの中心角は△APHが1:2:√3の特別角の三角形による。Hは直線PQとx軸の交点。)
重なりの部分(左側)の面積=?B-△APQ=2/3π-√3---?C
又、重なりの部分(右側)の面積=扇形BPQ-△BPQ
=π*√2^2*90°/360°-√2*√2*1/2=1/2π-1---?D
ここで扇形BPQの中心角は△BPHが1:1:√2の特別角の三角形による。HB=AB-AH=1+√3-√3=1）
?C?DよりS=7/6π-(1+√3)

弧の長さl=2π*2*60°/360°+2π*√2*90°/360°
　　　　=2/3π+√2/2π
No.8031 - 2009/09/19(Sat) 18:51:02
☆ Re: 三角関数 / 高二の父
> 半径２の円O１と半径√２の円O２があり、その中心距離は１＋√３。この２円の重なり部分の、面積と弧の長さを求めたいのですが、よろしくお願いします。

解答ありがとうございました。
No.8038 - 2009/09/20(Sun) 10:50:04
☆ Re: 三角関数 / 高二の父
> 半径２の円O１と半径√２の円O２があり、その中心距離は１＋√３。この２円の重なり部分の、面積と弧の長さを求めたいのですが、よろしくお願いします。

何度も申し訳ありません。この問題、下記考え方での解法も教えていただけないでしょうか。
2円の交点をA、Bとし、ABとO1、O2との交点をHとすると、面積＝扇形O1AB＋扇形O2AB−△O1AB−△O2ABで求められる･･･。よろしくお願いします。
No.8059 - 2009/09/21(Mon) 19:35:18
★ 高3です / 晴美
lx-al+ly-bl=rを
ｘ−ｙ平面で表すと
対角線の長さが２ｒの正方形
ができるみたいなんですが
これの書き方を
教えてください。
No.8026 - 2009/09/19(Sat) 15:10:17
☆ Re: 高3です / 都
|x|+|y|=rの表す図形は描けますか。これがまずできなければなりません。
No.8027 - 2009/09/19(Sat) 15:17:58
☆ Re: 高3です / 晴美
第１，２，３，４象限で其々場合分けで
絶対値をはずす、でいいですか？
No.8045 - 2009/09/20(Sun) 15:14:08
☆ Re: 高3です / 都
ええ、大体そんな感じです。
でその図形をx軸方向にa,y軸方向にbだけずらしましょう。
No.8047 - 2009/09/20(Sun) 16:06:17
★ グラフの書き方 / なつみ
f(x)=f(x+p)(p≠０）が成り立つとき
f(x)はｐを周期とする周期関数とあるのですが
f(x)はｘ＝p/2に関して対称と言い換えてもいいんでしょうか。

困っています。どなたか教えてください。
No.8011 - 2009/09/18(Fri) 16:25:55
☆ Re: グラフの書き方 / 雀
f(x)=sinxは周期2πの周期関数ですがx=πに関して対称ではありません。
No.8013 - 2009/09/18(Fri) 16:36:02
☆ Re: グラフの書き方 / ヨッシー
図のようなグラフの関数は、周期関数ですが、
どんな直線についても対称ではありません。
No.8017 - 2009/09/18(Fri) 21:04:53
★ 高１です。 / さくら
教えて下さい(>_<)

２次関数y=-2x＋4ax＋a(0≦x≦2)を考える。
(1)最大値をaで示せ。
(2)最大値が40となるようなaの値を求めよ。

2xとaは二乗です。
No.8006 - 2009/09/18(Fri) 00:55:51
☆ Re: 高１です。 / ヨッシー
y=-2x^2+4ax+a^2 ですね？

f(x)=-2x^2+4ax+a^2 とおきます。さらに、
f(x)=-2(x-a)^2+3a^2 と変形しておきます。
(1)
範囲が限られているので、
頂点(a,3a^2) が 0≦ｘ≦2 にあれば、頂点の f(a)=3a^2 が最大　・・・(i)
a＜0 だと、f(0)＝a^2 が最大　・・・(ii)
a＞2 だと、f(2)＝a^2+8a-8 が最大　・・・(iii)
です。
(2)
(i) の場合
0≦3a^2≦12 なので、最大値が40とはならない。
(ii) の場合
a^2=40 かつ a＜0 より a=-2√10
(iii) の場合
a^2+8a-8＝40 かつ a＞2 より a=4
No.8008 - 2009/09/18(Fri) 13:46:23
★ △ / aki
こんばんは
いつもお世話になっておりますお久し振りです。
今までちょっと見れない状況下にいました。
また宜しくお願いします。
http://t.upup.be/?QPJOgjSFSo
の問題ですが、まず△OPQが鋭角というのは角OPQが鋭角ということをさしますよね？

この解答では角POQが鋭角であるかどうかを証明していたので、そもそもの疑問が浮かんでしまいました。
どなたかすみませんがお願いします。

また6747の記事の質問を書き込みましたのでどなたか見てくださると助かります。
宜しくお願いします。
No.8004 - 2009/09/17(Thu) 23:25:34
☆ Re: △ / ast
問題と画像との関係がちょっと理解できませんが, 三角形が鋭角である（鋭角三角形）というのは, 全ての角が鋭角であるようなものをいいます.
No.8005 - 2009/09/17(Thu) 23:31:47
☆ Re: △ / aki
三つの角が鋭角だと180度にならないと思うのですが…
No.8018 - 2009/09/18(Fri) 23:17:57
☆ Re: △ / 都
一つお尋ねしますが、あなたの使っている「鋭角」とはどういう意味ですか？
No.8020 - 2009/09/19(Sat) 00:21:07
☆ Re: △ / ヨッシー
http://t.upup.be/?QPJOgjSFSo
は、6747 の関連記事に貼るべき画像ですね。

でも、正しい問題の画像はなくとも、この質問は解決するでしょう。
No.8023 - 2009/09/19(Sat) 06:34:34
☆ Re: △ / aki
ヨッシーさんいつもすみません…
問題はhttp://r.upup.be/?iruGEB3xDN
です。
鋭角は90度以下なので確かに全部が90以下は有り得ますね。
ただこの問題の場合全ての角が鋭角であることを導く事はしていないのですが… 一つの角だけです。
No.8024 - 2009/09/19(Sat) 13:12:05
☆ Re: △ / 都
内角のうちどれか一つでも90°以上だったらそれはどう頑張っても鋭角三角形にはならないわけです。

で、∠POQについて考えてみて、これが鋭角にならないようだったらほかの角を考える必要はありませんね。
No.8025 - 2009/09/19(Sat) 13:57:38
☆ Re: △ / aki
そうですね、すみませんでした。

前の6747の記事にあと一つだけ気になって仕方がない疑問があり書き込みましたので、すみませんがどなたかお助けくださいお願いします。
No.8029 - 2009/09/19(Sat) 17:56:55
★ 面積の二等分 / ikura
放物線y=x^2と直線y=2x+8で囲まれた領域をDとし、Dが直線y=axで二等分されるときのaの値を求めよという問題なんですが領域Dは３６と出たんですがaの値を求める公式がわかりません。解説よろしくお願いします。
No.7992 - 2009/09/17(Thu) 20:34:16
☆ Re: 面積の二等分 / ヨッシー
y=ax が(4,16) を通る状態(a=4)より、傾きが大きいか小さいかによって、
計算方法が違ってきます。
a=4 のとき
y=4x と y=x^2 で囲まれた部分の面積は、32/3 なので、
二等分するには、もっと傾きは大きくないといけません。

図の黄色の部分の面積は 28/3 なので、直線で囲まれた
青い部分が、26/3 になるようにａを決めます。
ｙ軸上の長さ８の辺を底辺とすると、高さは13/6 になるので、
y=2x+8 と y=ax は、x座標が 13/6 の(13/6,37/3) で交わります。
よって、ａ＝74/13 となります。
No.7994 - 2009/09/17(Thu) 21:17:02
☆ Re: 面積の二等分 / ikura
ありがとうございます。あと、計算式なんかも教えていただけるとありがたいです。
No.8002 - 2009/09/17(Thu) 23:00:27
☆ Re: 面積の二等分 / ヨッシー
>y=4x と y=x^2 で囲まれた部分の面積は、32/3
は、4x-x^2 のx=0から4までの積分
>図の黄色の部分の面積は 28/3
は、2x-8-x^2 のx=-2から0までの積分です。
No.8009 - 2009/09/18(Fri) 13:54:49
★ 無理関数 / die
こんばんは。
また簡単なことですが、つまついておりますので宜しくお願いします。
√A>Bのときの同値変形はどういう条件になるのでしょうか？
A>０
A＞B^2
だけでよいのでしょうか？？
お願いします＞＜
No.7989 - 2009/09/17(Thu) 18:19:27
☆ Re: 無理関数 / 七
簡単ですか？
√2＞-2　ですが
2＞(-2)^2 ではありません。
No.7990 - 2009/09/17(Thu) 19:58:51
☆ Re: 無理関数 / die
基本的なことと思いまして・・・
それではB＞０も必要であると言うことでしょうか？
No.7993 - 2009/09/17(Thu) 21:16:34
☆ Re: 無理関数 / rtz
元の式はB＜0でも成り立ちますね。
No.7996 - 2009/09/17(Thu) 22:15:23
☆ Re: 無理関数 / die
七さんはB＝−２のときは成り立たない　つまり府のときは成り立つとは限らないとおっしゃっているのではないのでしょうか？？？
No.7997 - 2009/09/17(Thu) 22:34:51
☆ Re: 無理関数 / ast
元の式は B < 0 でも成り立つのだから, A > 0 かつ A > B^2 とは同値ではない, と七さんはおっしゃっていますね.
No.8001 - 2009/09/17(Thu) 22:59:38
☆ Re: 無理関数 / 七
そもそも、なぜこれを同値変形しようと思ったのでしょうか？
そういう問題があるのですか？
失礼かもしれませんが、ただ単に同値変形マニアなのですか？

もし、√A>Bを条件とするような問題があるのなら
私なら
「場合分けが必要かな？」とは思いますが
同値変形しようとは思いつきません。
No.8007 - 2009/09/18(Fri) 13:32:07
☆ Re: 無理関数 / 匿名
数学には色々な目的がありますが
少なくとも大学受験ということに関しては
時間的な制限がありますので
この同値変形は必須でしょう。

結論から申しますと

a≧０のもとで
「√a>b⇔a>bまたはb<0」となります。

この本質を理解するにはｂの正負で
場合分けすることになりますが
試験場でこんなことをやるのは
時間がもったいないです。
（厳密に議論すると
実は結構面倒です）

例えば
√(22-2x)>x+1
⇔22-2x≧０かつ「22-2x＞(x+1)^2またはｘ＋１＜０」

となります。

参考までに説明します。
ｂ≧０のとき2乗の同値変形が使えて√a⇔ｂ＾２

ｂ＜０のとき√a≧０＞ｂとなるので√a>bはそもそも成りたちます。よって
√a>b⇔（b≧０かつa>b^2）または（ｂ＜０）
⇔a＞b^2またはｂ＜０（この変形は真理集合を考えれば分かります）
No.8014 - 2009/09/18(Fri) 16:56:30
☆ 訂正です / 匿名
a≧０のもとで
「√a>b⇔a>b^2またはb<0」

でした。
No.8015 - 2009/09/18(Fri) 17:03:56
☆ 訂正２ / 匿名
ｂ≧０のとき2乗の同値変形が使えて
√a＞ｂ⇔a＞ｂ＾２

ちなみに2乗の同値変形とは
０≦a,0<bのもとで
a<b⇔a^2<b^2というものです

ｙ＝ｘ＾２のグラフのx≧０の部分を考えれば分かるでしょう。
No.8016 - 2009/09/18(Fri) 17:09:51
☆ Re: 無理関数 / die
言いおくれましたが、大学受験生です。
ですので、難問は特にこういう計算はさっさと正確にやってしまうのが前提なのでなるべくコンパクトにシンプルにやらなければいけないと思いまして＞＜

匿名さん、お助けありがとうございました。
皆さんありがとうございました。
No.8019 - 2009/09/18(Fri) 23:37:22
☆ Re: 無理関数 / 七
受験生ならなおさら
同値や同値変形にこだわりすぎるのは危険です。
問題によっては同値であることさえ求めていないものもあります。
No.8021 - 2009/09/19(Sat) 01:00:04
★ 分数関数 / die
こんにちは。
簡単ですが質問よろしくお願いします。

2/(x+3)=x+4の方程式を同地変形を使って解こうとしたとき、
解説ではわざわざ通分してから
右辺ー左辺＝０
のようにして
（x^2+7x+10)=(x+3)
としているのですが、
x+3≠０がわかっているので
最初から
２=(x+3)(x+4)のように変形してといてもよいのでしょうか？

ものすごく気になっております。お願いします。
No.7985 - 2009/09/17(Thu) 16:02:27
☆ Re: 分数関数 / ヨッシー
（x^2+7x+10)=(x+3)
が合っているかはともかくとして、
両辺 x+3 を掛けて
　2＝(x+3)(x+4)
で良いでしょう。
滅多にないことですが、x=-3 が解として出てきたら、
そこで考えればいいことです。
No.7986 - 2009/09/17(Thu) 17:13:50
☆ Re: 分数関数 / die
わかりました。
どうもありがとうございました。
No.7988 - 2009/09/17(Thu) 18:17:08
★ フーリエ変換 / たかし
質問です。e^jω(0)t ←(0)とはオメガの右下に付いてる小さい数字

のフーリエ変換で答えが、

2πδ(ω(0)−ω)=2πδ(ω−ω(0)) ってなってました。 この等式の右辺と左辺は複素共役ですがなぜイコールとできるのですか？
No.7984 - 2009/09/17(Thu) 14:51:33
☆ Re: フーリエ変換 / たかし
誰かお願いします。
No.8068 - 2009/09/22(Tue) 20:02:03
★ 三角関数 / na nagi
０＜ｘ＜ｙ＜πのとき，sinｘ＋sinｙと２sin（ｘ＋ｙ／２）の大小を比較せよという問題で，２sin(ｘ＋ｙ／２）−（sinｘ＋sinｙ）
＝２sin(ｘ＋ｙ／２){１−cos(ｘ＋ｙ／２）}までやったのですが，そこからどうやって解けばいいのか分かりません．

また，私は和→積の公式でやってみましたが，他に良い方法があれば教えていただけないでしょうか？

宜しくお願いしますm(u_u)m
No.7977 - 2009/09/16(Wed) 23:39:03
☆ Re: 三角関数 / angel
sinx+siny=2sin((x+y)/2)cos((y-x)/2) ですね。
※sinx+siny=2sin((x+y)/2)cos((x-y)/2) でも良い

なので、
2sin((x+y)/2)-(sinx+siny)
= 2sin((x+y)/2)( 1 - cos((y-x)/2) )

あとは、sin,cosの中身の範囲を見ること。
0＜x＜π, 0＜y＜π のため、0＜(x+y)/2＜π、よって sin((x+y)/2)＞0
x＜y より y-x＞0、0＜x,y＜π より y-x＜π、あわせて 0＜(y-x)/2＜π/2、よって 0＜cos((y-x)/2)＜1

ということで、2sin((x+y)/2)( 1 - cos((y-x)/2) )＞0 ですね。
No.7979 - 2009/09/17(Thu) 00:25:38
☆ Re: 三角関数 / rtz
もし三角関数の微分を既習なら、
f(θ)＝sinθとすると、題意は、
(1/2){f(x)＋f(y)}とf((1/2)(x+y))の大小ですから、
f"(θ)＝-sinθ＜0から上に凸ですから、
必ず(1/2){f(x)＋f(y)}＜f((1/2)(x+y))になります。

未修なら、
「グラフ上で、2つの中点より、グラフ上の点の方が上」程度でいいです。

http://b4.spline.tv/study777/?command=GRPVIEW&num=688
No.7980 - 2009/09/17(Thu) 00:30:22
★ 不定積分 / たかし
∫（2x-3）/(x^2-2x+2)dx
のやりかたをおしえてください
No.7969 - 2009/09/16(Wed) 20:05:54
☆ Re: 不定積分 / ヨッシー
Ｘ＝ｘ−１ とおきます。
ｄｘ＝ｄＸ なので、
∫（2x-3）/(x^2-2x+2)dx＝∫(2X-1)/(X^2+1)dX
　＝∫2X/(X^2+1)dX−∫1/(X^2+1)dX
第１項は、log(X^2+1) です。
Ｘ＝tanθ とおくと、dX/dθ＝1/cos^2θ
1/(X^2+1)＝cos^2θ より
　∫1/(X^2+1)dX＝∫dθ＝θ＝arctanX
以上より、
　∫(2x-3)/(x^2-2x+2)dx＝log(x^2-2x+2)−arctan(x-1)＋Ｃ
No.7971 - 2009/09/16(Wed) 20:26:54
☆ Re: 不定積分 / たかし
ありがとうございました
すごいっすね
No.7978 - 2009/09/16(Wed) 23:51:05
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