2点A(3,-2,4)B(1,5,0)と直線(x,y,z)=(0,1,1)+t(1,1,-1)がある。
直線上の動点Pに対して、AP+PBの最小値とその時の点Pの座標を求めよ。
この問題が分かりません。空間なので、対称点がとっても意味がないため困っています。
解法をよろしくお願いします。
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No.9631 - 2010/02/02(Tue) 02:01:46
| ☆ Re: / 地下水 | | | ABを通る直線Sと、Pを通る問題の直線Tと、両方と直交する直線が、直線Sと交わる点をH、直線Tを交わる点をQとすると、動点PはQの時にAP+PBが最小になる。
直交条件より次の内積が0になる。以下ﾍﾞｸﾄﾙを省略。
HP･AB=0
HP･(1,1,-1)=0
以下計算
AB=OB-OA=(1,5,0)-(3,-2,4)=(-2,7,-4)
OH=OA+sAB=(3,-2,4)+s(-2,7,-4) (sは媒介変数)
OP=(0,1,1)+t(1,1,-1)
HP=OP-OH=(0,1,1)+t(1,1,-1)-(3,-2,4)-s(-2,7,-4)
=(-3+t+2s,3+t-7s,-3,-t+4s)
HP･AB=39+9t-69s=0
HP･(1,1,-1)=3+3t-9s=0
s=5/7,t=8/7
OP=OQ=(0,1,1)+8/7(1,1,-1)=(8/7,15/7,-1/7)･･･Pの座標
AP=OP-OA=(-13/7,29/7,-29/7)
PB=OB-OP=(-1/7,20/7,1/7)
|AP|+|PB|=(√1851+√402)/7･･･最小値
解法の流れは以上ですが、計算は検算していません。
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No.9634 - 2010/02/02(Tue) 19:21:43 |
| ☆ Re: / だるまにおん | | | P(x,x+1,-x+1)とおくと
PA+PB=√(3x^2+6x+27)+√(3x^2-12x+18)
=√{3(x+1)^2+24}+√{3(x-2)^2+6}
≧√{(3√3)^2+(3√6)^2}=9
等号はx=1のときに成立する。
おなじことですが、√(3x^2+6x+27)+√(3x^2-12x+18)が何をあらわしているか、とかんがえてもとけます。
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No.9636 - 2010/02/02(Tue) 20:51:31 |
| ☆ Re: / 地下水 | | | 間違えたようで、すいません。だるまにおんさんので、何故解けるのかわかりません。もう少し教えて下さい。
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No.9641 - 2010/02/02(Tue) 22:11:40 |
| ☆ Re: / 地下水 | | | すいません。最後の式変形がわかりません。教えて下さい。
√{3(x+1)^2+24}+√{3(x-2)^2+6}
≧√{(3√3)^2+(3√6)^2}=9
等号はx=1のときに成立する。
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No.9655 - 2010/02/03(Wed) 12:16:02 |
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