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けいさん / こっく
7x-18/(-3x+10)=x
⇔7x-18=x(-3x+10)
ですか?
x≠10/3も付け加えた
⇔7x-18=x(-3x+10)(x≠10/3)
が正しいですか?
分母を払ったら断り書きが居るのですか?
また、それが計算結果に影響を及ぼす場合があるんですか?
問題集は(x≠10/3)など書かないで進めてあるので
不安です。教えてください。

No.7881 - 2009/09/08(Tue) 15:00:10

Re: けいさん / らすかる
>7x-18/(-3x+10)=x
>⇔7x-18=x(-3x+10)
>ですか?
7x-18/(-3x+10)=x⇒7x(-3x+10)-18=x(-3x+10) です。

>分母を払ったら断り書きが居るのですか?
場合によります。
必要条件だけ求まればよい場合や元々分母が0にならないとわかっているような場合は
断り書きは不要です。

>また、それが計算結果に影響を及ぼす場合があるんですか?
あります。

No.7882 - 2009/09/08(Tue) 15:55:13

Re: けいさん / こっく
必要条件だけ求まればよい場合や元々分母が0にならないとわかっているような場合とは
具体的にどんな場合ですか?

No.7883 - 2009/09/08(Tue) 16:20:09

Re: けいさん / こっく
蛇足ですが(7x-18)/(-3x+10)=x
ですね

No.7884 - 2009/09/08(Tue) 16:22:39

Re: けいさん / らすかる
>必要条件だけ求まればよい場合
例えばそれ以前に両辺を二乗していて既に同値関係が崩れている場合。

>元々分母が0にならないとわかっているような場合
例えば「x<0」という条件が最初からある、あるいは途中で得られたような場合とか、
xが実数で分母がx^2+1であるような場合。

No.7886 - 2009/09/08(Tue) 16:36:36
(No Subject) / ピーナッツ
楕円ax^2+by^2=1(a>,b>0)を極方程式で表わせ。

この問題をよろしくお願いします。

No.7877 - 2009/09/07(Mon) 19:35:37

Re: / ヨッシー
こちらで、良いのかな?
No.7885 - 2009/09/08(Tue) 16:34:25
数学IA / 桜 高3
いつもありがとうございますo

片方を白、もう一方の面を赤にぬった四枚のカードを用意し、4枚とも白い面を表にしてテーブルの上に横一列に並べておく。
さいころをふり、5または6が出た時は、並べられた四枚のカードをすべて裏返す。
またk(k=1,2,3,4,)の目が出た時は左からk番目のカードのみ裏返す。

3回目の試行が終わったとき、4枚とも同じ色である確率は何でしょうかo

という問題がわかりませんでした。
解答は{1}3回とも5,6 2^3=8とおり
{2}1〜4のうちいずれか1つの目が2回、5または6の目が1回出る。3*4*2=24

8+24/6^3=4/27
ですが、{2}の3*4*2=24の式の意味がわかりませんでした。

ありがとうございます。
よろしくお願いいたします。

No.7875 - 2009/09/07(Mon) 18:26:04

Re: 数学IA / ヨッシー
4*2 は、1〜4 のどれが出るかで4通り、5,6 のどれが出るかで2通り、
さらに、たとえば、1と5だとして、
115,151,511 の出方があるので、3を掛けます。

No.7876 - 2009/09/07(Mon) 18:37:23

Re: 数学IA / 桜 高3
ヨッシーさん、
とってもわかりやすい解説ありがとうございました!★
感謝しております^^♪

No.7878 - 2009/09/07(Mon) 20:28:22
「大きな数」の読み方 / √
「大きな数」の読み方について教えてください。

千百十一   千百十一   千百十一   千百十一
兆兆兆兆   億億億億   万万万万

必ず、右から【4つづつ】区切って、次に進みますが、

前は、「千億」の次には「万億」があり、
    「千兆」の次には「万兆・億兆」があると思っていた時がありました。
これは、間違いですよね。

「兆」の次は「ケイ」「ガイ」「ジョ」と続きますが、

数が、どんなに大きくなっても【4つづつ】で区切り、
必ず【千まで】で次の単語に移行すると考えて良い(決まっている)のでしょうか?

小学生レベルですみません。
よろしくお願い致します。
 

No.7871 - 2009/09/07(Mon) 12:59:11

Re: 「大きな数」の読み方 / らすかる
>これは、間違いですよね。
はい、(現行の通常の考え方においては)間違いです。

>数が、どんなに大きくなっても【4つづつ】で区切り、
>必ず【千まで】で次の単語に移行すると考えて良い(決まっている)のでしょうか?
決まってはいません。途中から8つずつなどの考え方もあります。
ただし、現在、通常はそのように4つずつで考えるようです。

参考ページ
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%87%8F%E5%A4%A7%E6%95%B0

No.7872 - 2009/09/07(Mon) 13:45:15

Re: 「大きな数」の読み方 / √
らすかるさん

有り難うございました。

No.7873 - 2009/09/07(Mon) 14:02:21
中学生の問題です(・ω・`;) / keiko
√37 の少数部分をaとする時、a(a+12)の値を求めよ。
ただし0<a<1 とする。

すみません。
こんな簡単なやり方を忘れてしまいました。
よろしくお願いします。

No.7865 - 2009/09/06(Sun) 23:43:43

Re: 中学生の問題です(・ω・`;) / ハオ
こんばんは。僕でよければ後学の為に解いたので解答を見てくださいませ。
6<√37<7より√37の整数部分は6なので
小数部分は√37-6=a後は代入をして頂いて
(√37-6)(√37+6)=37-36=1となります。

No.7867 - 2009/09/06(Sun) 23:48:50

Re: 中学生の問題です(・ω・`;) / keiko
とても分かりやすい解答
ありがとうございましたm(_ _)m

No.7868 - 2009/09/07(Mon) 00:15:11
数列 / まっちょ
Σ10~k=1 k(k+1)(k+2)

この和は一体どうやって
求めればいいのでしょう?

No.7863 - 2009/09/06(Sun) 23:10:59

Re: 数列 / らすかる
k(k+1)(k+2)(k+3)-(k-1)k(k+1)(k+2)
=k(k+1)(k+2){(k+3)-(k-1)}
=4k(k+1)(k+2)
なので
Σ[k=1〜10]k(k+1)(k+2)
=(1/4)Σ[k=1〜10]k(k+1)(k+2)(k+3)-(k-1)k(k+1)(k+2)
=(1/4){(1*2*3*4-0*1*2*3)+(2*3*4*5-1*2*3*4)+…+(10*11*12*13-9*10*11*12)}
=(1/4)(10*11*12*13)
=4290
となります。

No.7864 - 2009/09/06(Sun) 23:26:21
高1数学 / み
平面図形についての問題です。

2点A.Bは点Pから円Oに引いた接線の接点で、点Cは線分POと孤ABとの交点である。

(1)∠PAC=∠CABであることを証明せよ。


これを△PAO≡△PBOを示してから求める方法だとどのようになりますか?全くわかりません。
解き方よろしくお願いします。

No.7859 - 2009/09/06(Sun) 21:52:42

Re: 高1数学 / ハオ
こんばんわ。さることながら僕の解答はゴリ押しです。参考程度にして頂ければ幸いと存じます。
解答例)
PA=PB(2本の接線の性質より)
∠PAO=∠PBO=90°
AO=BO(同一円の半径)
以上よりニ辺夾角相等より△PAO≡△PBO
△PAO≡△PBOより
∠APO=∠BPO---?@
また△AOC,△BOCは∠AOP=∠BOPを低角とする二等辺三角形より∠ACO=∠BCO---?A
ところで∠PAC=∠ACO-∠APO
    ∠PBC=∠BCO-∠BPO なので
?@?Aより∠PAC=∠PBC

No.7861 - 2009/09/06(Sun) 22:16:53

Re: 高1数学 / み
△AOCと△BOCがどうして二等辺三角形になるとわかるのですか?あと、低角になるのはどこからわかるのですか?
No.7862 - 2009/09/06(Sun) 23:02:47

Re: 高1数学 / ハオ
恥ずかしい限りです。御免なさい、申し訳ありません。
御免なさい。混乱させてしまいましたね。
△AOC,△BOCはそれぞれOA=OC OB=OCの二等辺三角形です。
合同条件より∠AOC=∠BOCそれと上記より∠OAC=∠OBC
∠PAC=∠PAO-∠OAC
∠PBC=∠PBO-∠OBC
これらより∠PAC=∠PBC
です。本当にすいません。

No.7866 - 2009/09/06(Sun) 23:45:14

Re: 高1数学 / angel
あれ?
目的は、
> (1)∠PAC=∠CABであることを証明せよ。
ですよね。

PAが接線、△ABCが内接する三角形であることから、∠PAC=∠ABC
△PAC≡△PBCであることから、AC=BC のため、△ABCは二等辺三角形、∠CAB=∠ABC
よって、∠PAC=∠CAB

でしょうか。

No.7869 - 2009/09/07(Mon) 01:26:09

Re: 高1数学 / み
やっとわかりました!
みなさんありがとうございました。

No.7870 - 2009/09/07(Mon) 05:24:48

Re: 高1数学 / ハオ
angelさんとても助かりました。
みさん本当に申し訳御座いません、まだまだ僕の力はついていません事が改めて自覚されました。感謝致します。

No.7874 - 2009/09/07(Mon) 16:50:50
三角関数 / 秋
aは0
(1)方程式f(θ)=0の解θをaを用いて表せ。更に、この解θがsin(θ-a)=1/2を満たすときのaの値を求めよ。

この問題の解き方が分かりません。よろしくお願いします。

No.7849 - 2009/09/06(Sun) 14:11:35

Re: 三角関数 / 秋
すいません最初のところ消えてました。

aは0
です!

No.7850 - 2009/09/06(Sun) 14:16:39

Re: 三角関数 / rtz
問題文代筆

aは0<a<πを満たす。
0≦θ≦πの範囲で関数f(θ)=sin(θ-a)-sinθを考える。
(1)方程式f(θ)=0の解θをaを用いて表せ。
更に、この解θがsin(θ-a)=1/2を満たすときのaの値を求めよ。

No.7852 - 2009/09/06(Sun) 15:57:29

Re: 三角関数 / rtz
f(θ)を和積変換公式で積に直せばよいでしょう。
一方は0にはなり得ませんから、もう片方が0です。
あとはθとaから範囲を絞ればすぐです。

後半はf(θ)=0からsin(θ-a)=sinθですから、
具体的にθを出せばよいでしょう。

No.7853 - 2009/09/06(Sun) 16:07:03

Re: 三角関数 / 秋
問題消えてしまってすみませんでした。ありがとうございます!
No.7879 - 2009/09/07(Mon) 21:09:23

Re: 三角関数 / angel
不等号の<>を半角文字(ASCIIコード1バイト文字)で書くと、特殊文字としてWebブラウザソフトに解釈されてしまい、表示が消えてしまうことがあるようです。
全角文字(2バイト文字)の<>を使う方が紛れがないようです。

No.7880 - 2009/09/07(Mon) 22:29:05
鋭角三角形になるための条件 / 麻生
長さ2sの円周上に3点A、B、Cをとる。ここでAからBまでの左回りの弧の長さをx、AからCまでの右回りの弧の長さをyとする。
三角形ABCが鋭角三角形となるための(x,y)の存在範囲を求め図示しなさい。

解答にいきなり
(?@)0<x<s、0<y<s、s<x+y
(?A)s<x<2s、s<y<2s、x+y<3s
がでてくるんですが、この不等式がどうやって出てきたのかが全然わからないです。教えてください。お願いします。

No.7841 - 2009/09/06(Sun) 00:06:44

中心角と円周角 / angel
まず、扇形の中心角は、(弧の長さ)÷(円周)×360°です。
次に、円周角は (中心角)÷2 です。

なので、円周の半分の長さの弧(半円)に対する円周角はちょうど90°です。

今回、A,B,Cがこの順に左回り(反時計回り)に位置しているのであれば、∠ACBは弧ABの円周角ですから、
 弧AB<円周の半分 ⇔ ∠Cが鋭角
が言えます。これは(i)のケースであり、y<s は∠Bの鋭角条件、s<x+y ( ⇔ 2s-(x+y)<s ) は∠Aの鋭角条件です。

なお、(ii)はA,B,Cの順序が(i)と逆になるパターンです。
図を描いて(i)との違いを確認してみましょう。

いずれにしても、0<x<2s, 0<y<2s は前提となりますので、忘れずに。

No.7845 - 2009/09/06(Sun) 02:26:10

Re: 鋭角三角形になるための条件 / 麻生
お詳しい解説をありがとうございました。
0<x<s、0<y<s、s<x+yとs<x<2s、s<y<2sの意味はよくわかったんですが、x+y<3sの条件がよくわからないです。これも∠Aが鋭角の条件だと思いますが、どうしてこういうし気になるのか分からないです。3sってどうやって求めるんですか?

No.7855 - 2009/09/06(Sun) 18:28:10

Re: 鋭角三角形になるための条件 / angel
> x+y<3sの条件がよくわからないです。

私が(i)のケースで挙げた
> s<x+y ( ⇔ 2s-(x+y)<s ) は∠Aの鋭角条件です。

と見比べてください。
(ii)では、x+y-2s<s が∠Aの鋭角条件です。整形すると x+y<3s になります。

No.7856 - 2009/09/06(Sun) 18:39:09
定積分を用いた不等式の証明 / Kay(高2女子)
下記の問題の<と≦の区別について細かいニュアンスがよく分かりません。できるだけ詳しく教えて下さい。よろしくお願いします。

[問題]
0≦x≦1 のとき 1≦1+x^2≦1+x^3 であることを用いて不等式(π/4)<∫[0,1]{1/(1+x^3)}dx<1 を証明せよ。

[模範解答]
条件より、
0<1/(1+x^2)≦1/(1+x^3)≦1 が成り立つ。
また、0<x<1 で等号は成り立たない。・・・*
よって、
∫[0,1]{1/(1+x^2)}dx<∫[0,1]{1/(1+x^3)}dx<∫[0,1]dx・・・?@

?@の左端の項について、
x=tanθ とおくと、(dx/dθ)=(tanθ)'=(1/cos^2θ) より
dx=(1/cos^2θ)dθ

また、x=0 のとき、tanθ=0 より θ=0
x=1 のとき、tanθ=1 より θ=π/4 であるから、
?@の左端の項=∫[0,π/4]{1/(1+tan^2θ)}(1/cos^2θ)dθ
=∫[0,π/4][1/{1/(cos^2θ)}](1/cos^2θ)dθ
=∫[0,π/4](cos^2θ)(1/cos^2θ)dθ
=∫[0,π/4]dθ
=[θ][0,π/4]
=π/4

また、?@の右端の項=∫[0,1]dx=[x][0,1]=1

以上より 
(π/4)<∫[0,1]{1/(1+x^3)}dx<1

[質問]
1.問題の条件では、不等号に等号を含んだ≦を使っていますが、*では、<を用いています。
これは、与えられた式を証明するためですから、理解できるのですが、x=0,x=1 の時について、言及しなくてよいのですか。

2.上記1と似たような内容ですが、?@の不等式の3つの項はいずれも積分区間の下端が0、上端が1 の定積分ですから、厳密に言えば積分区間は閉区間1[0,1]となると思います。
ところが、*で0<x<1 とわざわざ断っているのですから、
開区間(0.1)のときの?@の証明をしているという印象を受けます。

不等式の証明の<と積分区間の≦がごちゃごちゃになって混乱しています。微妙なニュアンスがわからないので、どなたか分かりやすく教えて下さい。

No.7839 - 2009/09/05(Sat) 21:51:14

Re: 定積分を用いた不等式の証明 / angel
まず、定積分の性質として、連続関数 f,g、実数 a,b ( a<b ) に対して
 1.区間[a,b]で f(x)≦g(x) ⇒ ∫[a,b] f(x)dx≦∫[a,b] g(x)dx
 2.区間[a,b]で f(x)<g(x) ⇒ ∫[a,b] f(x)dx<∫[a,b] g(x)dx
というのがあります。
これらは、不等号が≦か<はそれぞれ一致している形です。

ところが、今回の問題では 2. はそのまま使うことはできません。区間の端で値が一致してしまい、「[a,b]でf(x)<g(x)」にならないからです。
では、1. を何とかしてみるわけですが、「∫[a,b]f(x)dx≦∫[a,b]g(x)dx」では、不等号についた=が邪魔です。
しかしながら、ここで、∫[a,b]f(x)dx≠∫[a,b]g(x)dx という条件が加われば、めでたく、
 ∫[a,b]f(x)dx≦∫[a,b]g(x)dx かつ ∫[a,b]f(x)dx≠∫[a,b]g(x)dx のため、
 ∫[a,b]f(x)dx<∫[a,b]g(x)dx
ということができます。

ここまで来ると、「0<x<1 で等号は成り立たない」の意図が見えるでしょうか。これは、∫[a,b]f(x)dx≠∫[a,b]g(x)dx を説明するためのネタなのです。

f(x)≦g(x)のように大小関係が決まっている状況では、∫[a,b]f(x)dx=∫[a,b]g(x)dx となるのは、「区間[a,b]で常にf(x)=g(x)」しかありません。( 1.の等号成立条件 )
そのため、どこか一部分でも良いので、等しくない ( f(x)<g(x)となっている ) 箇所があれば、「区間[a,b]で常にf(x)=g(x)」が否定でき、「∫[a,b]f(x)dx≠∫[a,b]g(x)dx」が示せます。

というわけで、0<x<1 には深い意味はありません。0.4<x<0.6 とかでも良いのです。あくまで、「部分的に等号が成立しない箇所がありますよ」という話ができれば良いのです。

No.7840 - 2009/09/05(Sat) 23:10:43

Re: 定積分を用いた不等式の証明 / kay(高2女子)
angelさんへ
すんごく分かり易い解説でありがとうございます。本当に、「うんうん」といちいちうなずきながら読んでしまいました。説明が少しずつ段階的で教科書よりもずっとわかり易いです。感謝^2!です。

No.7846 - 2009/09/06(Sun) 08:57:45
高校入試の問題です / rino
空間図形がものすごく苦手なので、少し細かく教えていただけると嬉しいです。

図のように1辺が1cmの立方において、4つの点A、C、F、Hを結ぶと正四面体ACFHができる。

(1) 正四面体ACFHの体積を求めよ。
    △AFHが正三角形であるのはわかるのですが、高さをどう求めていいのかがわかりません。

(2) 4つの点B、D、E、Gを結ぶと、2つ目の正四面体BDEGができる。正四面体ACFHと、正四面体BDEGの共通する部分の体積を求めよ。
    
(3) 立方体の底面の4辺EF、FG、GH、HEの中点をそれぞれP、Q、R、Sとする。このとき、6つの点A、C、P、Q、R、Sを結んでできる立体と、正四面体ACFHの共通する部分の体積を求めよ。

頭で想像できず、どのような形になるのかがいまいちわかりません。やさしめに教えていただけると助かります。どうかよろしくお願いします。

No.7838 - 2009/09/05(Sat) 20:53:54

とりあえず(1),(2) / angel
取り敢えず図を描いて、想像できない部分は図から読み取れる事実を元に補完していくしかないですね。

(1)については、元の立方体から、正四面体以外の部分を除いて行く考え方がわかり易いです。
添付の図のように、Bを含む角 ( 三角錐ABCF ) を取り除くと、正四面体の1つの面△ACFが現れます。
同様に、E,G,Dを含む角を取り除くと、残りは正四面体だけとなります。
ということは、正四面体の体積は、立方体から三角錐を4個引いたもの、と計算できます。

(2)については、正四面体同士の共通する部分なんてなかなか想像できないので、見えるところから攻めます。
それは、正四面体の辺同士の交点です。丁度、立方体の各面に1個ずつ交点があることが分かります。
すると、結局できる図形はそれらの交点を頂点とする図形…つまり、正八面体です。
体積としては、正四角錐2個分として計算できます。

No.7842 - 2009/09/06(Sun) 00:24:03

(3)について / angel
最後の(3)は少しややこしいですね。
ストレートに解く方法が見当たらなかったので、段階的にいきます。

(2)と同じように、見える所に着目して、共通部分を割り出します。
今回は着目するのは底面、そこで判明する2交点X,Yを元にすると、添付の図のピンク部分が求める共通部分だと分かります。

この共通部分の体積は、図の青部分から、2個の四角錐を引いたものと計算できるのですが、では青部分の体積は? という計算が残ります。

青部分は、(1)と同じように、立方体から余分な周辺部分を除いて行く考え方で計算したいのですが、立体ABC-PFQ ( ACD-SRHも同様 ) をどうするか、が問題です。
ここで、立体ABC-PFQが、三角錐ZABCから三角錐ZPFQを除いた形だと気付けばO.K.です。

これでネタは全て出揃いましたので、答えが計算できます。

No.7843 - 2009/09/06(Sun) 01:14:29

Re: 高校入試の問題です / rino
丁寧に説明していただいてありがとうございます。(1)はまわりの三角錐4つが同じ形で、(2)は正八面体だったんですね。この2つの答えはわかりました。(3)はとても難しく感じます。どの立体の体積が同じかはよくわかりましたので、頭を整理しつつ解き進めてみようと思います。
No.7858 - 2009/09/06(Sun) 20:08:05
指数関数 / ふぁ
log{x底}y(log{x底}y+2)(log{x底}yー4)>0
のとき方がわかりませんおねがいしますmm

No.7837 - 2009/09/05(Sat) 18:40:31

Re: 指数関数 / angel
z=log[x]y と置いてあげれば、問題の不等式は

 z(z+2)(z-4)>0

となりますから、z(z+2)<0 または z-4>0 と解けます。
後は、z=log[x]y=(logy)/(logx) を適用しましょう。
そこからは、不等式なので、通常安易に分母を払ってはいけませんが、今回 (logx)^2>0 をかける分には安全です。
ただし、x≠1 ( logx≠0 ) は予め断っておきます。
そうすると、
 (logy)(logy+2logx)<0 または (logx)(logy-4logx)>0
 (logy)(log(yx^2))<0 または (logx)(log(y/x^4))>0

最後に。一般に logZ と 0 との大小は、底eが1より大きいため、Z と 1 との大小に一致しますから、logを使わない形に書き換えることができて、
 (y-1)(yx^2-1)<0 または (x-1)(y/x^4 -1)>0
 ※ただし、いずれも x≠1 かつ x>0 かつ y>0
これをまとめて、
 x>0 かつ y>0 かつ、以下の(1)〜(4)のいずれか
 (1) y>1 かつ y<1/x^2
 (2) y<1 かつ y>1/x^2
 (3) x>1 かつ y>x^4
 (4) x<1 かつ y<x^4
 ※x≠1はいずれも自動的に満たしていますので、省略します

No.7844 - 2009/09/06(Sun) 01:47:32
数列の極限 / パラドックス
n=3m,3m±1 で場合分けして考えたのですがうまくいきません。よろしくお願いします。
No.7829 - 2009/09/04(Fri) 19:17:45

Re: 数列の極限 / のぼりん
こんにちは。
   cos(2nπ/3)=1(n≡0 mod 3)、=−1/2(前記以外)
   ??k=1cos(2nπ/3)=0(n≡0 mod 3)、−1/2(n≡1 mod 3)、=−1(n≡2 mod 3)
   ??k=1(1/2)k−1=2{1−(1/2)
   ??m=1??k=1(1/2)k−1=2〔n−{1−(1/2)}〕
と地道に計算を進めれば、先が見えてきませんか?

No.7834 - 2009/09/05(Sat) 10:03:13

Re: 数列の極限 / パラドックス
回答ありがとうございます。

2行目の計算が分かりません・・・
詳しくお願いします。

No.7836 - 2009/09/05(Sat) 18:21:54

Re: 数列の極限 / rtz
cos{(2/3)*1*π}=?
cos{(2/3)*2*π}=?
cos{(2/3)*3*π}=?
cos{(2/3)*4*π}=?
cos{(2/3)*5*π}=?


順に足し合わせていくと?

No.7851 - 2009/09/06(Sun) 15:55:36

Re: 数列の極限 / パラドックス
n
Σcos(2nπ/3)=1+1+1… (n≡o mod3)
k=1

n
Σcos(2nπ/3)=-1/2-1/2-1/2… (n≡1 mod3)
k=1

とはならないのでしょうか?

また、n=1,2,3…で

n
Σcos(2nπ/3)=0 ? となるから場合分けは必要だった
k=1         のでしょか?

No.7857 - 2009/09/06(Sun) 19:31:34

Re: 数列の極限 / rtz
なぜそのような結論になったのか、ちょっと理解できかねますが…。

Σ[k=1,n]cos(2nπ/3)
=cos{(2/3)*1*π}+cos{(2/3)*2*π}+cos{(2/3)*3*π}+cos{(2/3)*4*π}+cos{(2/3)*5*π}+cos{(2/3)*6*π}+…+cos{(2/3)*n*π}
=[ cos{(2/3)*1*π}+cos{(2/3)*2*π}+cos{(2/3)*3*π} ]
+ [ cos{(2/3)*4*π}+cos{(2/3)*5*π}+cos{(2/3)*6*π} ]
+…+cos{(2/3)*n*π}

で3つずつ区切れば明らかだと思いますが。

No.7860 - 2009/09/06(Sun) 21:59:54
もう一問お願いします / 浪人生
力学ですが水平面となす角θの斜面上の点pから斜面の最大傾斜線に平行で上向きに速さvで質量mの質点Aを打ち出した。Aは斜面にそって運動をして斜面上のQに到達したあと斜面上の直線PQを今度はQからPに向って下降しはじめた。重力加速度g、静止摩擦係数μ、動摩擦係数μ’。
Qに到達した後Qから下降してきてPを通過する瞬間の質点Aの速さはいくらか。

誤答例)エネルギー保存より
1/2mv^2-μ'mgcosθ=mgh
mgh-μ’mgcosθ=1/2mV^2

よってV^2=v^2-4μ’gcosθ

となるのですが

実際の答えが
V=v√sin-μ’cos/sin+μ’cos

で全然といっていいほど違います。何ででしょうか。理由も添えて教えてください。

No.7823 - 2009/09/04(Fri) 13:10:25

Re: もう一問お願いします / 豆
エネルギ保存則よりとある、最初と2番目の式でエネルギ
でない項をエネルギに修正すれば終わりです。

No.7825 - 2009/09/04(Fri) 15:56:19

Re: もう一問お願いします / ヨッシー
運動方程式を使います。

斜面を上がるときの加速度をα(斜面下向き)とすると
 mα=mgsinθ(重力の斜面方向成分)+μ’mgcosθ(摩擦力:斜面下向き)
よって、
 α=g(sinθ+μ’cosθ)
初速vが、停止するまでの時間sは
 s=v/α
この間に進む距離Lは、等加速度運動なので、
 L=(1/2)vs=(1/2)v^2/α

一方、斜面を下がるときの加速度をβ(斜面下向き)とすると
 mβ=mgsinθ(重力の斜面方向成分)−μ’mgcosθ(摩擦力:斜面上向き)
よって、
 β=g(sinθ−μ’cosθ)
L進んだときの速度をVとすると、上と同様に
 L=(1/2)v^2/β
よって、
 (1/2)V^2/β=(1/2)v^2/α
より、
 V=v√(β/α)=v√{(sinθ−μ’cosθ)/(sinθ+μ’cosθ)}
となります。

No.7827 - 2009/09/04(Fri) 16:11:20

Re: もう一問お願いします / 浪人生
エネルギ保存則よりとある、最初と2番目の式でエネルギ
でない項をエネルギに修正すれば終わりです。
どういうことでしょうか。

No.7830 - 2009/09/04(Fri) 22:10:52

Re: もう一問お願いします / 浪人生
豆さんの指摘の意味が分かりました。7830は無視してください。解決しました。ヨッシーさんもありがとうございます。
No.7832 - 2009/09/04(Fri) 22:27:04
物理 / 浪人生
問題)真横から見た形状が底辺AB,斜辺ACの直角三角形をしている屈折率n(>1)の物質でできた薄膜がある。辺ABの長さはL,辺BCの長さはdである。空気中にこのうすまくをおき、面ABと垂直にAC側(上側)から観察すると明暗の縞模様が見られた。ただし空気の屈折率を1とする。薄膜を屈折率がN(>n)の液体中に固定して観測する場合となりあう明線の感覚はどのようになるか。三択で答えは変化しない。

自分の解答のどこが悪かったのか分かりません。教えてください。よろしくお願いします。

薄膜の周りが空気のとき
うす巻く内の波長をλ’とすると
公式より1・λ=n・λ’

角Aの角度をθとおく
(1/2)(λ'/n)=xtanθ
x=Lλ/(2nd)・・・?@

薄膜の周りが液体のとき
薄膜内の波長をλ’’とすると
公式よりNλ=nλ’’から
λ’’=Nλ/n

?@のλにλ’’を代入するとN>nより代入する前よりもxは大きくなる。よって答えは広くなる。

なお、ここでいう公式とは俗に言う
n12=sinθ/sinφ=v1/v2=λ1/λ2=n2/n1です

No.7821 - 2009/09/04(Fri) 11:28:17

Re: 物理 / ヨッシー
第一感なのですが、薄膜ということは、ACを通ったら、
一度空気や液体を経て、ABに向かうのですよね?

No.7824 - 2009/09/04(Fri) 13:10:35

Re: 物理 / 浪人生
はい
No.7831 - 2009/09/04(Fri) 22:16:52

Re: 物理 / angel
他のサイトで恐縮ですが、
http://www12.plala.or.jp/ksp/wave/interferences2/
の「くさび型空気層による干渉」の状況だと思います。

明線のできる条件が、「2枚の薄膜AC,ABの間の空気層を通る分の光路の差」に依存するわけなので、空気の代わりに別の媒質を満たしても光路の差に変化はなく、結果明線の状況も変わらない、となります。

No.7833 - 2009/09/04(Fri) 23:15:15
誰か。。 / 大和
虫食い算と覆面算とは何か知ってる人が居たら教えてください。ユークリッドの互除法のような知っていたら得する技法ですか?
No.7818 - 2009/09/04(Fri) 09:59:16

Re: 誰か。。 / ヨッシー
 □5□
+ □3
--------
1□52
のようなのが虫食い算。□に入る数字を見つけます。

 SEND
+MORE
----------
MONEY

のようなのが覆面算。同じ文字には、同じ数字が入ります。

いずれも、パズルの一種です。

No.7822 - 2009/09/04(Fri) 12:43:24
問題 / daruma
正四面体の隣り合う2つの面のなす角を θ とするとき cos θ の値を求めよ。の解答解説をお願いします。方針がまず立ちません。
No.7813 - 2009/09/03(Thu) 23:59:31

Re: 問題 / DANDY U
正4面体をP-ABC とし、ABの中点をDとします。
AD=[1] とおくと、PD=CD=[√3] ,PC=[2] となります。
(また)

∠PDC=θ ですから、 △PDC において余弦定理を用いればどうでしょう。

[追記] 中学までの範囲でなら、Pから面ABCに垂線PHを下ろすと、Hは△ABCの重心より
DH=(1/3)*DC を使えばよいでしょう。

No.7815 - 2009/09/04(Fri) 00:26:47

Re: 問題 / angel
「平面同士のなす角度」の定義に忠実に。
また、絵を描いて考えることです。

No.7816 - 2009/09/04(Fri) 00:34:27

Re: 問題 / らすかる
DからPCに垂線を下ろすとただちにsin(θ/2)がわかりますので、
それを使ってcosθを求めるという手もありますね。

No.7819 - 2009/09/04(Fri) 10:03:25

Re: 問題 / 都
△PABと、それを△ABCに正射影したものの面積の比を計算するというのはどうでしょう。
No.7854 - 2009/09/06(Sun) 17:36:24
数学I / 桜 高3
いつもありがとうございます。

x^2-3x-4<0 ....(1)
x^2+(a-5)x+4-a<....(2)

(1)(2)を同時に満たす整数xがちょうど1つとなるようなaの値の範囲を求めよ。

という問題がわかりませんでした。
こたえは
a>4, 1≦a<2です。

No.7806 - 2009/09/03(Thu) 14:49:30

Re: 数学I / 桜 高3
訂正です。
以下が正しいです
x^2+(a-5)x+4-a<0....(2)

よろしくおねがいいたします。

No.7807 - 2009/09/03(Thu) 14:50:41

Re: 数学I / ヨッシー
(1) を解くと −1<x<4
(2) は
 (x−1)(x+a−4)<0
と書けるので、
 a>3 のとき 4−a<x<1
 a<3 のとき 1<x<4−a

a>3 のとき
 整数xとして考えられるのはx=0であるので、
 4−a<0 であれば、4−a<x<1 は、解にx=0 を
含み、x=−1 以下の整数は、(1) に含まれないので、
 4−a<0 より a>4

a<3 のとき
 整数xとして考えられるのは、x=2 です。
 (1) には、x=3 も含まれるので、(2) がx=3 を
 含まないようにしないといけません。
 1<x<4−a が2を含んで、3を含まないようにするには、
  4−a>2 かつ 4−a≦3
 よって、
  1≦a<2
となります。

No.7808 - 2009/09/03(Thu) 15:58:44

Re: 数学I / 桜 高3
ヨッシーさん、
ありがとうございます。

ずっとわからなかった問題が、おかげさまで理解ができました!!
感謝の気持ちでいっぱいです★

No.7811 - 2009/09/03(Thu) 17:03:05
対数 / りか
log_{x}y+2log_{y}x<3
を満たす点(x,y)の存在範囲を,xy平面上に図示せよ.

どうしたらいいですか?

No.7800 - 2009/09/03(Thu) 00:49:03

Re: 対数 / ヨッシー
真数条件と、底の条件から、
 x>0,y>0,x≠1,y≠1
0<x<1 かつ y>1
x>1 かつ 0<y<1 では、
logxy<0 logyx<0
なので、logxy+2logyx<3 は成り立ちます。
それ以外のとき、
 logxy=X>0
とおくと、logyx=1/X なので、
 X+2/X<3
両辺Xをかけて、
 X^2−3X+2<0
 1<X<2
よって、
 logxy>1=logx
 logxy<2=logx2
0<x<1 のとき
 x2<y<x
x>1 のとき
 x<y<x2

となり、下のようなグラフになります。
ただし、境界線上の点は含みません。

No.7802 - 2009/09/03(Thu) 07:16:27

Re: 対数 / りか
ヨッシーさんありがとうございます。
No.7828 - 2009/09/04(Fri) 17:18:15
(No Subject) / たかし
Pn+1=(−1/3)Pn+1/3−(1/6)(1/2)^n
をみたすPnって求めれますか?
おねがいします

No.7788 - 2009/09/02(Wed) 22:35:24

Re: / ヨッシー
P1 が定義されないと、正確には求められません。
No.7789 - 2009/09/02(Wed) 22:50:07

Re: / たかし
P1=1/6 P2=7/36
でした すいません

No.7791 - 2009/09/02(Wed) 23:14:01

また大地震? / √
> P1 が定義されないと、正確には求められません。

横から失礼します。

本日、
また、インドネシアで大きな地震、死傷者多数のニュースがありましたが、
この時間で返信があったということは、
ヨッシーさんは大丈夫だったということですね。

取り合えず、安心しています。

No.7794 - 2009/09/02(Wed) 23:21:37

Re: / ヨッシー
あ〜〜〜。
ご心配いただいて、申し訳ありません。

今年4月で、帰国しています。

No.7796 - 2009/09/02(Wed) 23:29:46

失礼致しました / √
ヨッシーさん

> 今年4月で、帰国しています。

ありゃ、そうでしたか。失礼致しました。
でも、良かったです。

それにしも、インドネシアは大きな地震が多いなぁ〜

No.7798 - 2009/09/02(Wed) 23:50:12

Re: / ヨッシー
さて、問題の方ですが、
n+1=(-1/3)Pn+1/3−(1/6)(1/2)n
が、
n+1+a(1/2)n+1+b=(-1/3){Pn+a(1/2)n+b}
と書けたとします。
展開して整理すると、
n+1=(-1/3)Pn−4b/3−(5a/6)(1/2)n
となり、a=1/5, b=-1/4 となります。そこで、
n=Pn+(1/5)(1/2)n−1/4
とおくと、Qnは、初項が
 Q1=1/60
で、公比 -1/3 の等比数列になります。つまり、
 Qn=(1/60)(-1/3)n-1
よって、
 Pn=Qn−(1/5)(1/2)n+1/4
  =(1/60)(-1/3)n-1−(1/5)(1/2)n+1/4
となります。

ちなみに、P2=7/36 は蛇足です。
(漸化式から導けるので)

No.7799 - 2009/09/02(Wed) 23:59:31

Re: / たかし
一応確認のために配慮したつもりでした。
誘導の過程ででていたものですから。
丁寧な解説かりだとうございました!

No.7803 - 2009/09/03(Thu) 10:59:40
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