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★ 順列 / 桜　高校2
こんばんは
よろしくお願いいたします。

５人に招待状を送るため、宛名を書いた招待状と、それを入れる宛名を書いた封筒を作成した。
招待状を全部間違った封筒に入れる方法は何通りあるか

という問題がありわかりませんでした。

よろしくお願いいたします。
No.3156 - 2008/10/10(Fri) 19:25:28
☆ Re: 順列 / ヨッシー
５人をＡＢＣＤＥとします。
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ 宛の封筒に入れた、招待状の送り先を
左から書き並べて(ＢＤＣＥＡ)のように書くことにします。
(ＢＤＣＥＡ)は、
Ａ宛の封筒にＢ宛の招待状、Ｂ宛の封筒にＤ宛の招待状
Ｃ宛の封筒にＣ宛の招待状、Ｄ宛の封筒にＥ宛の招待状
Ｅ宛の封筒にＡ宛の招待状が入っていることを表します。

全部違った入れ方をしたとき、
ＥＡＢＣＤ　や　ＢＤＡＥＣ　のように
Ｅの招待状はＡの封筒に(『Ｅ→Ａ』と略す)、Ａ→Ｂ
Ｂ→Ｃ、Ｃ→Ｄ、Ｄ→Ｅ　のように、５人が
　Ｅ→Ａ→Ｂ→Ｃ→Ｄ→Ｅ
のように、１つの大きな輪になっているものと
（ＢＤＡＥＣ　は　Ｂ→Ａ→Ｃ→Ｅ→Ｄ→Ｂ）
ＢＡＤＥＣ　や　ＣＤＡＥＢ　のように
Ｂ→Ａ→Ｂ　と　Ｄ→Ｃ→Ｅ→Ｄ　の２人と３人とで、
それぞれ輪になっているものとがあります。
（ＣＤＡＥＢ　は　Ｃ→Ａ→Ｃ　と　Ｄ→Ｂ→Ｅ→Ｄ）

５人が１つの輪になっている場合
Ａの招待状を入れるのは４通り。Ｗの封筒とします。
Ｗの招待状を入れるのはＡ，Ｗ以外の３通り。Ｘの封筒とします。
Ｘの招待状を入れるのはＡ，Ｗ，Ｘ以外の２通り。Ｙの封筒とします。
Ｙの招待状を入れるのはＡ，Ｗ，Ｘ，Ｙ以外の１通り。
残った招待状をＡに入れます。
以上４×３×２×１＝２４(通り)

２人と３人の輪が出来る場合
２人の選び方は　5Ｃ2＝10(通り)
２人の輪の作り方は１通り。ＡＢがＢＡになるだけです。
３人の輪の作り方は２通り。ＣＤＥがＤＥＣかＥＣＤになる２通り。
以上、１０×２＝２０(通り)

以上より、２４＋２０＝４４(通り)
No.3160 - 2008/10/10(Fri) 21:25:23
☆ Re: 順列 / DANDY　U
ｎ人の場合でのこのような方法の数を　Ｐ(n)とすると
Ｐ(n+2)＝(n+1){Ｐ(n+1)＋Ｐ(n)}
という漸化式がいえるようです。

すると　Ｐ(1)＝0 ,Ｐ(2)＝1　より
Ｐ(3)＝2 ,Ｐ(4)＝9 ,Ｐ(5)＝44 ,Ｐ(6)＝265 ,・・・・
と続きます。
このようなものを完全順列の数というそうです。
No.3164 - 2008/10/10(Fri) 22:15:07
★ 数の問題です、よろしくお願いします / Kay（高１女子）
【問題】
ａ，ｂ，ｃ，ｘ，ｙ，ｚは正の数で、ａ≠１とします。
ａ~x＝ｂ^y＝ｃ^z・・・?@
１／ｘ＋２／ｙ＝３／ｚ・・・?Aが成り立つとき、
ｃをａ，ｂで表しなさい。

代入法でいろいろやってみたのですが、堂々巡りでループ
に入ってしまうのです、何卒よろしくお願いします。
No.3154 - 2008/10/10(Fri) 17:34:47
☆ Re: 数の問題です、よろしくお願いします / ヨッシー
log を使えるなら、
?@ より
　ｘ＝ｚlogaｃ
　ｙ＝ｚlogbｃ
?Aに代入して
　1/ｚlogaｃ＋2/ｚlogbｃ＝3/ｚ
両辺ｚを掛けて
　1/logaｃ＋2/logbｃ＝3
　logａ/logｃ＋2logｂ/logｃ＝３
logｃを掛けて
　logａ＋2logｂ＝3logｃ
　logａｂ2＝logｃ3
よって、
　ｃ3＝ａｂ2
　ｃ＝3√(ａｂ2)
No.3155 - 2008/10/10(Fri) 18:19:57
★ 整数問題です / Kay（高１女子）
【問題】
５で割ると２余り、７で割ると４余る自然数の中で、小さい方から２０番目である数を求めなさい。

上の問題が、分かりません。よろしくお願いします。

一応、以下のように考えてみました。
求める数をｎ（ｎ：自然数）とおくと、
ｎ＝５ａ＋２・・・?@
ｎ＝７ｂ＋４・・・?A

?@、?Aの右辺を結んで、
５ａ＋２＝７ｂ＋４
５ａ＝７ｂ＋２
ａ＝（７ｂ＋２）／５
よって、７ｂ＋２は５の倍数。
７ｂ＋２＝５ｃ・・・?B

ここで止まってしまいました。

時間をかけて、小さい方からｂ＝１，ｂ＝２，，，と
代入していけば、力ずくで解けなくはありませんが、
２０番目までにたどり着くには、時間がかかりすぎるし、
もっときれいに解けるとおもうのですが、、、、

よろしくお願いします！
No.3152 - 2008/10/10(Fri) 17:28:53
☆ Re: 整数問題です / 七
n+3 を考えたらどうでしょう
No.3153 - 2008/10/10(Fri) 17:31:40
★ 数列 / け
数列｛αη｝について、α１=４、αη＋1=αη＋６η＋４とする。

αηをηの式で表せ。

が解りません?ｭ宜しくお願いします
No.3145 - 2008/10/10(Fri) 12:33:50
☆ Re: 数列 / ToDa
＃ギリシャ文字α,ηの表記がどうも馴染まないのでa,nを使います。

a_{n+1} = a_n + 6n + 4なので、a_nを移項したら
a_{n+1} - a_n = 6n + 4になります。すなわちa_nの階差数列になります。これで解けると思います。

よく分からないという場合、教科書の漸化式の部分から少し戻って階差数列を復習してみてください。
No.3147 - 2008/10/10(Fri) 13:39:16
★ 一次変換 / あき
またお願いします！いつもありがとうございます(^^)
http://p.pita.st/?m=mjcatdxq
なのですが
http://p.pita.st/?m=ueb3eegh
の部分がわからなくて、fを制限なしに両辺にとることが可能なんでしょうか？？(>_<)
教えて下さい…！
No.3143 - 2008/10/10(Fri) 11:03:40
☆ Re: 一次変換 / ヨッシー
海外の携帯では無理でした。（やはり）
携帯から、画像添付で、上記のメールアドレスに送ってもらえば、
対応しますが。

いっそ、ＰＣ用のアップローダーに、携帯からアップするとかいう手は
どうでしょう？
携帯用に飛ばされるかも知れませんが。
No.3144 - 2008/10/10(Fri) 11:51:38
☆ Re: 一次変換 / あき
今送りました！無事見れるといいのですが…
パソコン用のアップローダは携帯からだと画像がまずとりこめずうまくいきませんでした(^^;)色々試してるのですが…(>_<)
No.3148 - 2008/10/10(Fri) 13:41:08
☆ Re: 一次変換 / ヨッシー
まず、画像です。


No.3150 - 2008/10/10(Fri) 16:58:22
☆ Re: 一次変換 / ヨッシー
f は、ベクトルを変数にして、ある別のベクトルに
変換する一次変換です。
f(ＯＰ) は、ベクトルＯＰ が、一次変換ｆによって、
移った先のベクトルを表します。
f(ＯＤ＋ｔＯＢ−ｔＯＡ)は、ベクトルＯＤ＋ｔＯＢ−ｔＯＡ が、
一次変換ｆによって移った先のベクトルを表します。
　ＯＰ＝ＯＤ＋ｔＯＢ−ｔＯＡ
なので、それぞれが、ｆによって移った先のベクトルも等しいだろうと
いう式が、
　f(ＯＰ)＝f(ＯＤ＋ｔＯＢ−ｔＯＡ)
です。
No.3151 - 2008/10/10(Fri) 17:06:28
☆ Re: 一次変換 / あき
お返事ありがとうございます嬉しいです（*＾▽＾）

一般的にベクトルで等しいと成り立っているものの一時変換の移り先は等しいのでしょうか？？
No.3157 - 2008/10/10(Fri) 19:49:34
☆ Re: 一次変換 / ヨッシー
もちろんそうです。
なんといっても、同じベクトルなのですから。
No.3159 - 2008/10/10(Fri) 20:59:29
☆ Re: 一次変換 / あき
ありがとうございます（*＾▽＾）
No.3162 - 2008/10/10(Fri) 21:41:20
★ 有機化学 / みほ
なぜ酢酸のOH水素は、その他のCH水素のいずれよりも酸性であるのか。その理由をのべよ。

化学ですみません。
至急解答お願いします。
No.3142 - 2008/10/10(Fri) 10:20:50
☆ Re: 有機化学 / 数学マニア
化学ぐらい解けないでどうする？
No.3149 - 2008/10/10(Fri) 15:48:04
★ (No Subject) / kzkaki
「0は2で割れるから偶数だ」
と、うちの高校の先生が言っています。
違うと思うのですが…。

うちの高校は私立校ですが、県内でも有名な私立校なので、間違ったことを教える先生はいないと思うので、お聞きします。
No.3138 - 2008/10/10(Fri) 00:37:51
☆ Re: 0 / kzkaki
すみません。大事なことを付け忘れました。

私は、「0は偶数でも奇数でもない」と昔教わったことがあるので、どちらが正しいのかをお聞きします。
No.3139 - 2008/10/10(Fri) 00:41:25
☆ Re: 0 / ヨッシー
一言で言えば、０は偶数です。
「0は偶数でも奇数でもない」は、「０は正でも負でもない」と
混同していませんか？
No.3140 - 2008/10/10(Fri) 00:52:33
★ 整数問題 / トム
次の問題の合同式を使った解法を教えてください。

nを正の整数とする。次が成り立つことを示せ。
(1) n^2+1が５の倍数であることと，nを５で割ったときの
　　余りが２または３であることは同値である。

(2)aは正の整数であり，p=a^2+1 は素数であるとする。この
　とき，n^2+1がpの倍数であることと，nをpで割ったときの
　余りがaまたはp-aであることは同値である。

よろしくお願いします。
No.3132 - 2008/10/09(Thu) 20:46:12
☆ Re: 整数問題 / にょろ
(1)mod5とすると

n^2+1≡0
n^2≡4
∴
n≡2またはn≡3
∵4≡9

(2)も同様に出来ると思います。
No.3135 - 2008/10/09(Thu) 22:51:34
★ (No Subject) / あき
質問をさせてください('▽'*)
http://e-tomo.tv/f/1298695/
のかっこ2で、
http://e-tomo.tv/f/1298696/
の部分がわからなくて、PHの4/??3のところは4/??3cosθではないのでしょうか？
どなたか教えて下さい(>_<)
No.3124 - 2008/10/09(Thu) 19:11:38
☆ Re: / ヨッシー
http://e-tomo.tv/ 自体が、携帯ファイルアップローダー
と謳っているので、携帯中心のサービスなんですかね？
パソコンからはやはり見えませんし、海外からも、
無理そうですね。
というわけで、日本の方、よろしくお願いします。
No.3127 - 2008/10/09(Thu) 19:41:33
☆ 日本にいる嫁に取らせました。 / ヨッシー
まず、問題のアップ。
No.3128 - 2008/10/09(Thu) 20:04:49
☆ 日本にいる嫁に取らせました。 / ヨッシー
次に、解答。

No.3129 - 2008/10/09(Thu) 20:05:43
☆ Re: (No Subject) / あき
ヨッシーさんご丁寧に本当にありがとうございます(>_<)
どなたかご教授願います！
No.3130 - 2008/10/09(Thu) 20:14:31
☆ Re: / ヨッシー
ＰＨを求めるわけですが、絶対値は無視すると、
Ｈのｘ座標から、Ｐのｘ座標を引けばいいですね？
Ｈのｘ座標は4/√3 (準線)
Ｐのｘ座標は、Ａのｘ座標＋ＡからＰを見たときのｘ成分
　＝√3＋rcosθ
ですから、解答の通りで良いでしょう。
No.3131 - 2008/10/09(Thu) 20:25:25
☆ Re: (No Subject) / あき
4/??3を極座標に直すのではないのでしょうか？
なんだかよくわからなくなってきました…/(-_-)＼
No.3133 - 2008/10/09(Thu) 21:14:05
☆ Re: / ヨッシー
(4/√3，0) を極座標に直す、というのは出来ますが、
4/√3 は、ただの数値です。

また、ＰＨ＝・・・ で計算しているのは、すべて直交座標での話です。
rcosθ も、極座標を直交座標に直したものです。
No.3134 - 2008/10/09(Thu) 22:27:32
☆ Re: (No Subject) / あき
わかりました！
直交座標ですね(^^;)
ありがとうございます！
ちなみに携帯からパソコンからもみれるように画像をアップする方法というのはないものなのでしょうか…？？
No.3141 - 2008/10/10(Fri) 02:03:41
★ 重複組み合わせ / kzkaki
以前にもここでお世話になった者です。

いま、重複組み合わせがわかりません。高校の先生に聞いても完全には理解できないし、このサイトの重複組み合わせについての記事も読ませていただきましたが、それでも理解することはできませんでした。

「選べるケーキの種類は３通り。しかし、今日食べられるケーキは５個が限界。ケーキ５個の選び方は何通り？」

この問題が、7C5　を解くことでわかるのは理解できました。
ただ、 7!/5!2!　を解くことでわかるのは理解できないのです。
もちろん、 7C5=7!/5!2! であることはわかっています。しかしながら、その関係性なしに導くことができないのです。というのは、7!,5!,2!　自体の導き方、なぜ導くのかはわかるのですが、 7!　を 5!2! でなぜ割るのかがわからないのです。
No.3120 - 2008/10/09(Thu) 11:47:14
☆ Re: 重複組み合わせ / ヨッシー
これは、重複組み合わせの質問というより、
組み合わせの公式　nＣr＝n!/r!(n-r)! の意味についてですね。

7Ｃ5 は、７つのものから５つ選ぶ組み合わせです。
これのベースには、7Ｐ5(順列)があり、
　7Ｐ5＝7×6×5×4×3
です。これを階乗を使って書くと
　7Ｐ5＝7!/(7-5)!
です。7!＝7×6×5×4×3×2×1 に比べて、2×1 が無いので、
(7-5)!＝2! で割っています。
これについて、意味づけするなら、並べるのは５個までであり、
残りの２個の並び順は区別しないので、
７個を並べた７！では、２！通りずつ、同じ並び方が存在するので、
２！で割ります。

7Ｐ5 に対して、並び替えて同じになるものは区別しないのが
組み合わせですから、7Ｐ5 の中に、５！通りずつ、区別しない
組み合わせが存在し、それで割るので、
　7Ｐ5÷５！＝7!/2!÷5!
です。
No.3121 - 2008/10/09(Thu) 12:02:56
☆ Re: 重複組み合わせ / kzkaki
早速の返信、ありがとうございます。
式の成り立ちについては完全に理解することができました。
しかしながら、式の意味、というか日本語で表すことができません。

日本語で説明するのなら、どう説明するのでしょうか？
No.3123 - 2008/10/09(Thu) 17:58:58
☆ Re: 重複組み合わせ / ヨッシー
３種類のケーキの選び方は、
○○○○○●●
のボールの並べ方と同じです。
○○●○○○●
のように、ボールを並べて、
左の●よりも左にある白丸
２つの●の間にある白丸
右の●よりも右にある白丸
の数が、１種類目、２種類目、３種類目のケーキを食べる
個数と対応させると、両者は１対１に対応します。

○○○○○●●　を、ＡＢＣＤＥｆｇ とし、これら７文字を
並べることを考えます。
１字目の選び方は、７通りあります。
２字目の選び方は、１字目に選んだ字以外の６通りあります。
３字目の選び方は、１，２文字目で選ばれていない５通りあります。
４字目の選び方は、４通りあります。
５字目の選び方は、３通りあります。
６字目の選び方は、２通りあります。
７字目の選び方は、１通りあります。
以上よりこれら７つの文字を並べる方法は、
　７×６×５×４×３×２×１＝７！(通り)
あります。

ところが、
　ＡＢＣｆＤＥｇ
　ＡＢＣｆＥＤｇ
　ＢＣＤｆＥＡｇ
　ＥＤＣｆＢＡｇ
のように、ＡＢＣＤＥの間で、並び替えたものは
○●に直すと、すべて同じ並び方です。
このように、ＡＢＣＤＥ を並び替えたものは
　ＡＢＣＤＥ
の並べ方の場合の数　５！　（上の７!と同じ考え方)
だけあります。

また、
　ＡＢＣｆＤＥｇ
　ＡＢＣｇＤＥｆ
のように、ｆとｇを入れ替えたものは、○●に直すと、同じ並び方で、このようなものは、
　ｆｇ
の並べ方の場合の数　２！　だけあります。

以上より、文字の並べ方 ７！ 通りの中には、
ＡＢＣＤＥ を並べ替えた、あるいは ｆｇ を並べ替えた
　５！×２！(通り)
の、同じ○●の並びが存在します。

よって、○○○○○●● の並べ方は
　７！/５！２！(通り)
あります。

一方、○○○○○●● の並べ方は、
○○○○○○○　の７つの○から、２つ選んで●に変える方法
あるいは、●●●●●●●　の７つの●から、５つ選んで
○に変える方法と考えられるので、組み合わせを使って、
　7Ｃ2　または　7Ｃ5
と表すことも出来ます。

かなり、回りくどく書きましたが、どこまで理解できて、
どこからが理解できませんか？
または、kzkaki さんの言われる「日本語で表す」とは、
こういうこととは、別のことですか？
No.3125 - 2008/10/09(Thu) 19:29:36
☆ Re: 重複組み合わせ / kzkaki
ありがとうございました！
ようやく完全な理解に至りました。
　7!　という重複順列を、各々を順列から組み合わせに直す式で割ることで重複組み合わせにするのですね。

もう重複組み合わせの問題で困ることもありません。
長々とお付き合いいただき、大変ありがとうございました。
No.3137 - 2008/10/10(Fri) 00:33:03
★ 2次関数が全く解りません / 数学苦手
定義域a≦x≦a＋2（aは定数）のとき、関数f(x)=x^2-2x+3の最小値mを求めよという問題です。分かる方がいらっしゃいましたらご指導よろしくお願いします

No.3114 - 2008/10/09(Thu) 08:55:11
☆ Re: 2次関数が全く解りません / ヨッシー
こちらをまず、ご覧ください。

手順としては
y=x^2-2x+3 のグラフを描く
a=-2 つまり -2≦ｘ≦0 のとき
a=-1 つまり -1≦ｘ≦1 のとき
a=0 つまり 0≦ｘ≦2 のとき
a=1 つまり 1≦ｘ≦3 のとき
a=2 つまり 2≦ｘ≦4 のとき
それぞれについて、グラフのどの位置で最小になるかを調べます。

f(a) が最小になるとき、f(1) が最小になるとき、f(a+2) が
最小になるときに分かれると思いますので、
それらが、a の値でいうと、どの範囲に当てはまるかをまとめて
答えとします。

答えの一部は、
ａ＞１ のとき f(a)＝a^2-2a+3 が最小となるので、m=a^2-2a+3
となります。
ａ＜−１、−１≦ａ≦１ の場合は、自分で調べてみてください。
No.3115 - 2008/10/09(Thu) 09:42:34
★ 立体図形の体積 / 黒うさぎ
質問
4点A(-π,0),B(π,0),C(π,π^2),D(-π,π^2)を頂点とする長方形上に放物線P:y=x^2(-π≦x≦π)が描かれている。この長方形ABCDを半径1、高さπ^2の直円柱Eの側面に巻きつける。ただし、辺ABはEの底面Fの周に巻きつくものとする。底面Fに平行な平面HとEの側面上の放物線Pとの交点をQ、Rとするとき、Hの変化に伴い線分QRはある曲面を作り、直円柱Eを2つの部分に分ける。このとき、それぞれの体積を求めなさい。

体積の問題なのに分けられる立体の形がうまく図にできなくてどういう形をしているのかがわかりません。この問題の解き方を教えてもらえないでしょうか。お願いします。
No.3113 - 2008/10/09(Thu) 08:10:50
☆ Re: 立体図形の体積 / ヨッシー
円筒の底面の中心を原点、底面を含む面をｘｙ座標、高さ方向をｚ軸とします。
また、ｘｙ平面を、極座標表現することにします。
もとの放物線　ｙ＝ｘ2 において、
ｘの範囲が−π≦ｘ≦π なので、円筒に巻き付けると、
ｘがθ、ｒは常に１、ｙはｚに相当するので、もとの放物線上の点(ｘ，ｘ2)は、
(cosｘ, sinｘ, ｘ2) に相当します。

ある高さｚ(0≦ｚ≦π2)における点Ｑ、Ｒの座標は、
(cos√z, sin√z, ｚ), (cos√z, −sin√z, ｚ) になります。

半径１の円を直線ｘ＝cos√z で切るとき、(1,0,π2) を含む立体の体積を求めます。
0≦ｚ≦π2/4 のとき、
　半径１、中心角2√z の扇形から、２辺が１で、挟む角が2√z の二等辺三角形を引いたものが
　断面の面積となります。その面積は、
　　√z−(1/2)sin(2√z)
π2/4≦ｚ≦π2 のとき、
　半径１、中心角2√z の扇形に、２辺が１で、挟む角が(2π−2√z) の二等辺三角形を足したものが
　断面の面積となります。その面積は、
　　√z＋(1/2)sin(2π−2√z)＝√z−(1/2)sin(2√z)
となり、ｚの範囲にかかわらず、断面積は√z−(1/2)sin(2√z) となります。
これを、0≦ｚ≦π2 の範囲で積分して、
　Ｖ＝∫0〜π2{√z−(1/2)sin(2√z)}dz
ｔ＝√ｚ＝ｚ1/2 とおくと、
　dt/dz＝1/2√z
より、dz＝2ｔdt で、0≦ｚ≦π2 は、0≦ｔ≦π に相当するので、
　Ｖ＝∫0〜π2t{t−(1/2)sin(2t)}dt＝∫0〜π{2t2−ｔsin(2t)}dt
　Ｖ1＝∫0〜π2t2dt＝[(2/3)t3]0〜π＝2π3/3
　Ｖ2＝−∫0〜πｔsin(2t)dt＝∫0〜πｔ{(1/2)cos(2t)}’dt
　　＝[(t/2)cos(2t)]0〜π−∫0〜π(1/2)cos(2t)dt＝π/2−[(1/4)sin(2t)]0〜π
　　＝π/2
よって、求める体積Ｖは、
　Ｖ＝Ｖ1＋Ｖ2＝2π3/3＋π/2
もう一方の体積は、円柱の体積が π3 なので、
　π3−Ｖ＝π3/3−π/2
No.3119 - 2008/10/09(Thu) 11:43:47
★ お助けください / Jez-z
「nを自然数とする。
Sn=2^n+3^n+5が6の倍数である⇔(nは偶数）」・・・（※）
（※）が成り立つとき、Snは12の倍数ではないことが言えるか？

実験してみると、n=2,4,…のときは6(=2・3）の倍数になることはあっても、確かに12(=2^2・3）の倍数にはなりそうにないことはわかりました。

ご指導、お願いします。
No.3102 - 2008/10/08(Wed) 23:09:32
☆ Re: お助けください / rtz
22m＋32m＋5
＝4m＋9m＋5
＝4m＋(8＋1)m＋(4＋1)
＝4m＋(8m＋mC1・8m-1＋mC2・8m-2＋…＋mCm-1・8＋1)＋(4＋1)
＝4m＋8m＋mC1・8m-1＋mC2・8m-2＋…＋mCm-1・8＋4＋2
＝4・(4m-1＋2・8m-1＋2・mC1・8m-2＋2・mC2・8m-3＋…＋mCm-1・2＋1)＋2

まぁここまで式で通さなくても、
32mが4で割って1余ることを数学的帰納法で示すのでも構いません。
No.3104 - 2008/10/08(Wed) 23:18:33
☆ Re: お助けください / Jez-z
上の考え方は理解できました。帰納法はたとえば以下のようにすればよいのでしょうか？

[1]n=1のとき
3^2=9より4で割ったあまりは1

[2]n=kのとl+き
3^(2k)=4l+1(lは整数）と仮定する

3^(2k+1)=4(9l+2)+1

よりn=k+1のときも成り立つ

したがって与式はまとめて
4×（整数）+2と書けるのでSnは素因数2は高々1個しかもたない。これはすなわち、6の倍数となり得るが12の倍数とはなり得ないことを示している
（Q,E,D)
No.3106 - 2008/10/09(Thu) 00:39:32
☆ Re: お助けください / rtz
はい、問題ありません。
6の倍数が示してあるなら、
「4の倍数ではないので12の倍数にはなりえない」
くらいでもいいと思います。
No.3108 - 2008/10/09(Thu) 00:48:29
★ 数Ａ / 匿名
(1)異なる5枚の硬貨を同時に投げる時、表が3枚、裏が2枚でる場合は何通りあるか。
》これは同じものを含むと思うのですが、何で割ればいいのでしょうか?

(2)二項定理の問題です。
　 (x+2)^6+(x-2)^6
》これは何か工夫して解く問題なのでしょうか?


2問よろしくお願いします(･ω･)
No.3097 - 2008/10/08(Wed) 22:42:08
☆ Re: 数Ａ / rtz
(1)
割る、とは？

(2)
a3＋b3
＝(a＋b)(a2−ab＋b2)
＝(a＋b){(a−b)2＋ab}
No.3103 - 2008/10/08(Wed) 23:11:02
★ 解析・多変数関数・大学1年 / NABU
初めて質問させて頂きます<(_ _)>

A.以下の条件を満たす関数f(x,y)を示せ
(i)f(x,0)=f(0,y)=0
(ii)f(x,y)の直線x+y=k(kは定数)による断面はx=yの
点を頂点とする放物線である
(iii)f(x,x)=x^3
(ex)f(x,y)=xyは(i)(ii)を満たすが(iii)を満たさない
------------------------------------------------
はじめはf(x,y)=x^2*yやf(x,y)=x*y^2かと思ったんですが
(ii)の内容を満たすことを示すまでに至りません。
x+y=kの平面と答えになるf(x,y)の交点がでれば・・とは
思ったんですがうまくいきません。この問題はこの後に
-----------------------------------------------
B.条件(iii)をf(x,x)=x^n(n≧2)に一般化するとどうなるか
C.Bでn=1,n=0の場合はどうなるか、関数の定義域、
連続性なども含めて考察せよ
-----------------------------------------------
と続いてきます。
　f(x,y)とx+y=kの交点はどうやってだせるんでしょうか、
もしくはそこから示すこと自体間違ってるんでしょうか？

お助け願います〜
No.3095 - 2008/10/08(Wed) 21:25:57
☆ Re: 解析・多変数関数・大学1年 / 黄桃
問題文が x+y や x-y(x=y)に関する条件ばかり述べているので「基底」をx,y ではなく x+y, x-y とすると簡単になります。
大学入試で時々X=x+y, Y=x-y と置換すると楽になる問題がありますが、それと同じです。変数変換しないでもこれを意識して変形すればできますが、計算が煩雑です。

f(x,y)=g(X,Y) として、fに関する条件をgに関する条件に書き換えます。
(i)f(x,0)=g(x,x)=0, f(0,y)=g(y,-y)=0
(ii)直線y=x は直線Y=0 に対応するから、g(k,Y)=0 は 直線Y=0 上に頂点をもつ放物線(aY^2+bという形)
(iii) f(x,x)=g(2x,0)=x^3ですから、g(X,0)=(X/2)^3

(ii)より、g(X,Y)をYについての関数として整理すれば、
g(X,Y)=a(X)Y^2+b(X)
とかける、ということがポイントです。
これがわかれば、あとは簡単でしょう。
答はf(x,y)=xy(x+y)/2です。

B,Cは、b(X)=X^n/2^n の時にa(X)がどうなるか、ということです。Bは同様に解け、CはX^2で簡単に割れないので X=0 での考察が必要になる、ということです。ちなみに答はn=1なら定義域はR^2全体だが、X=0上で連続にならない、n=0の場合はX=0で定義されない、です(x,yに戻すのはご自分で）。

＃蛇足ですが、積分とか微分とか面倒なことが絡むときはX=(1/√2)(x+y) Y=(1/√2)(x-y)と、ヤコビアンが1になるような変換が安全です。

元々のご質問にも簡単に触れておきます。
>　f(x,y)とx+y=kの交点はどうやってだせるんでしょうか、
例えばy=k-x して、f(x,y)に代入した f(x,k-x)ですね。これがy=x すなわちx=k/2 で頂点をとる放物線ですから、ax(k-x)+bと書ける、ということになります。
No.3111 - 2008/10/09(Thu) 07:39:05
☆ Re: 解析・多変数関数・大学1年 / NABU
黄桃さん早い回答ありがとうございます、助かります。
変換して条件を置き換きかえるということはわかりました。
ところどころわからないところがあるので質問させて
ください。
・g(k,Y)=0というのはXY平面を表しているのでしょうか
・＞(ii)より、g(X,Y)をYについての関数として整理すれば、
＞g(X,Y)=a(X)Y^2+b(X)
Xの関数a(X),b(X)がどこから導かれるかどうしても
わかりません(_ _；)

なんだか私が考えてる全体像自体があっているのか
不安になったので変なグラフですが描いてみました。
赤枠が断面のつもりなんですが・・
よろしくお願いします。
No.3117 - 2008/10/09(Thu) 10:21:50
☆ Re: 解析・多変数関数・大学1年 / 黄桃
>g(k,Y)=0というのはXY平面を表しているのでしょうか
=0 は余計でした。z=g(k,Y)とするのが正しいです。

>＞g(X,Y)=a(X)Y^2+b(X)
>Xの関数a(X),b(X)がどこから導かれるかどうしても
>わかりません(_ _；)

Xを固定すると、Yだけの関数になります。それがY=0を対称軸にもつ放物線になっているのですから、aY^2+b という形をしているのはいいでしょうか？
ここでXを動かせば、どこがかわるでしょう？a,bがXの値に応じて変わりますね？X,Yは独立変数ですから、Yを固定してXを動かすこともできますから、Xが動いてもYの部分は変化しません。変化するのはa,bの部分だけです。つまりa,bはXだけの関数です。
No.3136 - 2008/10/10(Fri) 00:17:56
☆ Re: 解析・多変数関数・大学1年 / NABU
Xを動かすとa,bがXの値に応じて変わるというところで
理解できました、ありがとうございます！
2問目3問目も無事解くことができました。
返信どうもありがとうございました<(_ _)>
No.3146 - 2008/10/10(Fri) 13:16:39
★ 数?V / はる
曲線y=√（4−x）をCとする。2≦t≦3を満たすtに対して，曲線C上の点（t，√（4−t））と（0,0）および（t，0）の3つの点を頂点とする三角形の面積をS(t)とおく。

(1)tが2≦t≦3の範囲を動くとき，関数S(t)の最大値，最小値およびそのときのtの値を求めよ。

(2)区間［2，3］をn等分して，その端点と分点を小さいほうから順にto=2,t1,t2････，tn-1,tn-3とする。
このとき極限値lim(n→∞)1／n?煤ik=1からnまで）S(ｔk)を求めよ。

茨城大の過去問です。教えていただけると助かります。
宜しくお願いします。
No.3093 - 2008/10/08(Wed) 20:33:08
☆ Re: 数?V / X
(1)
題意から
S(t)=(1/2)t√(4-t) (A)
これの2≦t≦3における増減表を描きましょう。

(2)
t[k]=t[0]+k/n=2+k/n
ですので(A)を使うと
lim[n→∞](1/n)?納k=1〜n]S(t[k])
=lim[n→∞](1/n)?納k=1〜n](1/2)(2+k/n)√(2-k/n)
=…(区分求積法を使うと…。)
No.3100 - 2008/10/08(Wed) 23:00:53
★ ベクトル / あき
困っています。宜しくお願いします(>_<)
http://h.pic.to/125hzr
の問題の3番で私は
http://i.pic.to/1164ug
こうしたのですが、これで面積比とあわせて計算すると答えが合いませんでした。比の表記の仕方が間違えているのでしょうか…
どなたかどこが間違えているか教えてくださいませんか？
お願い致します(>_<)
No.3087 - 2008/10/08(Wed) 19:18:51
☆ Re: ベクトル / ヨッシー
◆大変申し訳ございませんが、ただいまの時間はPCでのアクセスを制限しております。
下記リンクより携帯端末にURLを送信してご利用ください。

だそうです。
日本国内の方、よろしくお願いします。
No.3089 - 2008/10/08(Wed) 19:25:09
☆ Re: ベクトル / rtz
UserAgentで判断してるのではないようですので、
時間が合わないと見れないようです。
No.3090 - 2008/10/08(Wed) 19:40:30
☆ Re: ベクトル / あき
すみません、みれないということでしょうか？？
No.3099 - 2008/10/08(Wed) 22:54:59
☆ Re: ベクトル / rtz
そのようです。
今現在も見れない状態です。
アップローダを変えてもらった方がいいかもしれませんね。
No.3101 - 2008/10/08(Wed) 23:08:01
☆ Re: ベクトル / あき
ごめんなさいアップローだとはなんでしょうか？？
No.3107 - 2008/10/09(Thu) 00:45:20
☆ Re: ベクトル / rtz
詳細は検索してもらえばいいですが、
要はファイルなどをネット上に公開して誰でも見れるようにするサービスです。
あきさんが利用したのもそのうちの1つです。
No.3109 - 2008/10/09(Thu) 00:57:28
☆ Re: ベクトル / あき
教えて下さってありがとうございます！
ピクト以外に方法はあるのでしょうか？
No.3110 - 2008/10/09(Thu) 01:54:57
☆ Re: ベクトル / あき
言われた通り変えてみました
http://e-tomo.tv/f/1295785/

http://e-tomo.tv/f/1295795/
です。みれますでしょうか？
お願い致します。
No.3116 - 2008/10/09(Thu) 10:00:47
☆ Re: ベクトル / あき
何度もすみません、一日たってもう一度考えたら自己解決しました(^^)
お騒がせしましたありがとうございます(^^)
No.3118 - 2008/10/09(Thu) 11:21:46
★ 二項定理 / 桜　高校2
こんばんは。
よろしくお願いいたします。

ＫnＣk=ｎ(n-1)Ｃ(k-1)
(ｎ≧2、Ｋ＝１、２・・・,ｎ)が成り立つことを証明せよ。

大きい文字は普通の文字で
小さい文字はＣにくっついている小さいものです。


nＣr=ｎ!/{ｒ!(ｎ−ｒ）!}を利用するように教えられたのですがなぜこのようになるのかわかりません。
そして問題ができません

教えてください
よろしくお願いいたします
No.3085 - 2008/10/08(Wed) 18:35:41
☆ Re: 二項定理 / ヨッシー
(左辺)＝k・n!/{k!(n-k)!}＝n!/{(k-1)!(n-k)!}
(右辺)＝n・(n-1)!/{(k-1)!(n-k)!＝n!/{(k-1)!(n-k)!}
で、等しくなります。

ｋ！÷ｋ＝(k-1)!
(n-1)!×ｎ＝ｎ!
が、使いこなせるかどうかですね。
No.3088 - 2008/10/08(Wed) 19:23:01
☆ Re: 二項定理 / 桜　高校2
ありがとうございます。
数学が苦手でさっぱり分かりませんでした。。

なぜ
(左辺)＝k・n!/{k!(n-k)!}＝n!/{(k-1)!(n-k)!}
(右辺)＝n・(n-1)!/{(k-1)!(n-k)!＝n!/{(k-1)!(n-k)!}

になるのでしょうか。
No.3091 - 2008/10/08(Wed) 20:16:29
☆ Re: 二項定理 / 魑魅魍魎
横から失礼致します。
nＣr=ｎ!/{ｒ!(ｎ−ｒ）!}
を利用します。
左辺=knＣk
＝k×nＣk
＝k×n!/{k!(n−k)!} rをkにした。

k!=1×2×3×････×(k-1)×k


なので

＝k×n!/{1×2×3×････×(k-1)×k×(n−k)!}

kで約分して

＝n!/{1×2×3×････×(k-1)×(n-k)!}

1×2×3×････×(k-1)=(k-1)!
より

＝n!/{(k-1)!(n-k)!}


右辺=ｎ(n-1)Ｃ(k-1)
ｎ×(n-1)Ｃ(k-1)
＝ｎ×(n-1)!/{(k-1)!(n-1-k+1）!} nをn-1、rをk-1にした
＝n!/{(k-1)!(n-k)!}
No.3092 - 2008/10/08(Wed) 20:28:47
☆ Re: 二項定理 / 桜　高校2
ありがとうございます。

数学が苦手でわからなすぎてなきたいくらいです；；

nＣr=ｎ!/{ｒ!(ｎ−ｒ）!}になるのでしょうか。
これは暗記でしょうか
No.3094 - 2008/10/08(Wed) 20:58:43
☆ Re: 二項定理 / 魑魅魍魎
覚えていたほうがいいと思います

nCr=nPr/r!
=n(n-1)(n-2)･･･(n-r+1)/r(r-1)(r-2)･･･2×1
=n!/{r!(n-r)!}
No.3096 - 2008/10/08(Wed) 21:39:57
☆ Re: 二項定理 / 桜　高校2
ありがとうごあいます。

n!/{r!(n-r)!}でn-rになっているのはどうしてでしょうか

すみませんよろしくおねがいいたします
No.3098 - 2008/10/08(Wed) 22:54:51
☆ Re: 二項定理 / 魑魅魍魎
n(n-1)(n-2)･･･(n-r+1)/r(r-1)(r-2)･･･2×1
=n!/{r!(n-r)!}
のところでしょうか？
(違うところでしたらまた質問して下さい)



n(n-1)(n-2)･･･(n-r+1)/r(r-1)(r-2)･･･2×1
=n(n-1)(n-2)･･･(n-r+1)/r!

分子分母に(n-r)!を掛けます
n(n-1)(n-2)･･･(n-r+1)×(n-r)!/{r!(n-r)!}

(n-r)!=(n-r)(n-r-1)(n-r-2)･･･3×2×1

なので分子だけみてみると

n(n-1)(n-2)･･･(n-r+1)×(n-r)!
=n(n-1)(n-2)･･･(n-r+1)×(n-r)(n-r-1)(n-r-2)･･･3×2×1
=n!
となるので

n(n-1)(n-2)･･･(n-r+1)/r(r-1)(r-2)･･･2×1
=n!/{r!(n-r)!}
が得られます。
No.3105 - 2008/10/08(Wed) 23:18:54
☆ Re: 二項定理 / 桜　高校2
ありがとうございました。
無事解決いたしました＾＾
No.3122 - 2008/10/09(Thu) 15:22:22
★ 式を教えてください。 / ふうか
小学校４年生です。１２０ｃｍのひもを長方形にして長い辺が、みじかい辺の３ばいの長さがあります。それぞれの長さを答えなさい。なのですが、答えはぐうぜん、わかってしまいました。１５センチと４５センチでした。でも、式がわかりません。教えてください。おねがいします。
No.3078 - 2008/10/08(Wed) 14:28:37
☆ Re: 式を教えてください。 / tobira
●使用する基礎事項
?@長方形の周囲･････････････(縦＋横)×２
?A長い辺が、短い辺の３倍･･･長い辺は、短い辺の３つ分

「１２０ｃｍのひもを長方形にする」
120÷2＝60(cm)　･･･　(長い辺)＋(短い辺)

「長い辺が、短い辺の３倍」
･･･(長い辺)＝(短い辺)×３　なので
(長い辺)＋(短い辺)＝(短い辺)×３＋(短い辺)＝60(cm)
★つまり、短い辺４つ分が　60(cm)
60÷(3＋1)＝15(cm)　･･･　(１つ分)
15×1＝15(cm)　･･･　(短い辺)
15×3＝45(cm)　･･･　(長い辺)
No.3079 - 2008/10/08(Wed) 15:29:53
☆ Re: 式を教えてください。 / ヨッシー
図のように、短い辺と同じ長さのぼうが、８本あると、
問題にあるような長方形が作れます。

じっさいは、１２０ｃｍのひもなので、
短い辺は
　１２０÷８＝１５(cm)
長い辺は
　１５×３＝４５(cm)
となります。
No.3084 - 2008/10/08(Wed) 17:32:32
★ 極座標 / あき
r=2sinθ
を直交座標に治せ

これは両辺にrをかけてといていいのでしょうか？それともかけてといてはだめなんでしょうか？


またx=4 の式における極座標はどうあらわせばよいのでしょうか？

どうかお願いします！
No.3076 - 2008/10/08(Wed) 13:43:12
☆ Re: 極座標 / ヨッシー
極座標と、直交座標の関係は、
　x=rcosθ, y=rsinθ
ですから、r=2sinθ より
　x=2sinθcosθ, y=2sin2θ
変形すると、
　x=sin(2θ)
　y=2-2cos2θ=1-cos(2θ)
よって、
　x2＋(y-1)2＝1
という円になります。

x=4 は、x=rcosθ より、rcosθ=4 となります。
No.3077 - 2008/10/08(Wed) 13:49:43
☆ Re: 極座標 / あき
返信ありがとうございます

一つ目の方ですが、他のかいほうを教えていただきましたが私のやり方では間違いかどうかはどうなのか教えていただけないでしょうか…？

No.3080 - 2008/10/08(Wed) 15:39:04
☆ Re: 極座標 / 七
r=2sinθ
両辺にrをかけて
r2＝2rsinθ
x2＋y2＝2y
よって、
x2＋(y−1)22＝1
と同じ答になります。
No.3082 - 2008/10/08(Wed) 16:47:23
☆ Re: 極座標 / 七
よって、
x2＋(y−1)2＝1
でした。
No.3083 - 2008/10/08(Wed) 16:48:04
☆ Re: 極座標 / あき
七さんありがとうございます！
答えは同じになるのですが勝手にrをかけていいのか不安でした(>_<)ありがとうございました。


No.3086 - 2008/10/08(Wed) 19:09:17
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