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★ 教えてください?ｫ / 高3
曲線C:(x^2/a^2)−(y^2/b^2)=1上の点をP(p,q)とし、原点をOとする。また、線分OPを直径とする円と曲線Cの2つの漸近線との交点をそれぞれQ,Rとする。ただし、a,bは正の定数とする。2つの線分PQ,PRの長さをそれぞれd,d'とするとき、積dd'は点P(p,q)の位置によらず一定であることを示せ。
No.9538 - 2010/01/25(Mon) 21:56:55
☆ Re: 教えてください?ｫ / ヨッシー
漸近線の式は、ｙ＝±(b/a)ｘ であり、
ＯＰは円の直径なので、∠ＯＱＰ＝∠ＯＲＰ＝90°です。
よって、ｄ、ｄ’は、点(p,q) から、ｙ＝±(b/a)ｘ までの
距離ということになります。

漸近線の式は、ａｙ±ｂｘ＝０　と書けるので、
距離の公式より
　ｄ^2＝(ａｑ−ｂｐ)^2/(ａ^2＋ｂ^2)
　ｄ’^2＝(ａｑ＋ｂｐ)^2/(ａ^2＋ｂ^2)
よって、
　(ｄｄ’)^2＝(a^2q^2−b^2p^2)^2/(ａ^2＋ｂ^2)^2
点Ｐは、漸近線Ｃ上の点なので、
　b^2p^2−a^2q^2＝a^2b^2
よって、
　(ｄｄ’)^2＝(-a^2b^2)^2/(ａ^2＋ｂ^2)^2
　　＝a^4b^4/(ａ^2＋ｂ^2)^2　・・・(一定)
となります。
No.9541 - 2010/01/26(Tue) 05:44:54
★ ふと思ったのですが。 / ハオ
球の体積を微分すると球の表面積(4πr^2)を得ます。
球の表面積を微分すると8πrが得られますが、この8πrの持つ数学的な意味は何でしょうか？何か意味がありそうな気がしてなりません。ご教授願います。
No.9535 - 2010/01/25(Mon) 21:18:13
☆ Re: ふと思ったのですが。 / ヨッシー
数学的というか、図形的に無理やりこじつけるなら、
球の表面積は、その球がピッタリ納まる円柱（底面の半径r、
高さ2r)の側面積と等しいのですが、
この側面積は、展開すると、2r×2πr の長方形になります。
πがついているとややこしいので、1/π 倍に縮めて
2r×2r の正方形にします。この面積を求めるに当たって、
正方形の周の長さ 8r を積分して、4r^2 となったと考えると、
8r が出てきます。

2r×2πr の長方形で考えると、微小変化量は8πrになるのですが、
周の長さと対応させられないので、(縦と横で、r の変化に対する
変化量が違うので)正方形に直してみました。
No.9542 - 2010/01/26(Tue) 06:07:41
☆ Re: ふと思ったのですが。 / √
> 球の表面積は、その球がピッタリ納まる円柱（底面の半径r、
> 高さ2r)の側面積と等しいのですが、
> この側面積は、展開すると、2r×2πr の長方形になります。

これを初めて知り感動しました。

「円柱の内接球の表面積は、その円柱の側面積に等しい」
ので
「地球の表面積を、長方形の面積として表すことができる」ので、
円筒図法（メルカトル図法）はコレを利用したものだったのですね？
No.9623 - 2010/01/31(Sun) 23:56:52
★ 速さの問題です / ユキ
よくわからないので、考え方もふくめて教えてください。

長さ210ｍの普通列車が、鉄橋をわたりはじめてからわたり終わるまでに50秒かかりました。同じ鉄橋を、長さ290ｍの急行列車が普通列車の1.5倍の速さでわたったら、わたりはじめてからわたり終わるまでに36秒かかりました。普通列車の速さは時速何kmですか。
No.9534 - 2010/01/25(Mon) 20:59:08
☆ Re: 速さの問題です / ヨッシー
もし、急行列車が、普通列車と同じ速さで進んだら、何秒かかるかを考えて見ましょう。
No.9537 - 2010/01/25(Mon) 21:24:49
★ 大学数学積分 / raruku
広義積分の問題なんですが、わからないので教えてください。

∫_{1}^{∞} sinx/(x^2) dx
この積分の収束か発散を調べる問題です。
No.9533 - 2010/01/25(Mon) 17:55:57
☆ Re: 大学数学積分 / だるまにおん
|sinx/x^2|≦1/x^2 優関数をかんがえましょう。
No.9545 - 2010/01/26(Tue) 10:25:00
☆ Re: 大学数学積分 / raruku
ありがとうございます。
-1≦sinx≦1を利用するんですね。
理解できました。
No.9551 - 2010/01/27(Wed) 11:16:30
★ 高校入試 / Aki
正の整数から2の倍数、3の倍数、5の倍数を除いて、残った倍数を小さい数から並べていく。

(1) 1から160までの中で残った数はいくつか。また、その総和はいくらか。

(2) 残った数で100番目の数はなにか。

と、言う問題が分かりません。
教えてください。
よろしくお願いします。
No.9531 - 2010/01/25(Mon) 17:16:45
☆ Re: 高校入試 / Aki
訂正です。
問題で、残った倍数ではなく、正しくは、残った数です。

すいません。
No.9532 - 2010/01/25(Mon) 17:18:30
☆ Re: 高校入試 / ヨッシー
(1)
２，３，５の最小公倍数は３０ですので、
たとえば、１は残る数のひとつですが、これに３０を次々に加えた
３１，６１，９１　なども残る数です。
７，３７，６７，９７・・・
１１，４１，７１，１０１・・・
も同様です。
このことから、１から３０までの数で、残った数の個数と
３１から６０までの数で、残った数の個数とは同じとわかります。
６１から９０まで、９１から１２０まででも同じです。

１から３０までで残る数は、
　1,7,11,13,17,19,23,29
の８個で、合計は１２０です。
３１から６０まででは、個数はやはり８個で、合計は
１個１個の数が、１から３０のときより３０ずつ大きいので、
　１２０＋２４０＝３６０
となります。

１から１６０では
　１２０+３６０＋６００＋８４０＋１０８０＝３０００
が、１から１５０までの合計で、あと１５１，１５７を加えて、
３３０８ となります。

(2)
　100÷8＝12　あまり４
なので、30×8＝２４０ までに、残った数は 8×12＝96(個)
あり、241,247,251,253 が100番目です。
No.9536 - 2010/01/25(Mon) 21:18:22
☆ Re: 高校入試 / Aki
ヨッシーさんありがとうございます。

(2)は、100番目は373ではないでしょうか？
30×8ではなく、30×12で、360までに96コあると思うのですが、どうですか？？
No.9539 - 2010/01/25(Mon) 22:19:13
☆ Re: 高校入試 / ヨッシー
あ、そうですね。
すみません。
No.9549 - 2010/01/26(Tue) 23:17:48
★ ある中学入試の問題 / rino
はじめまして。ある中学入試の問題だそうです。最後の問題がわからないので、教えてください。

ある小学校では、６年生が126人います。男子と女子の比は５：４です。６年生に対してめがねの調査を行いました。その結果は、めがねをかけている男子はめがねをかけている女子の２倍で、めがねをかけていない女子はめがねをかけている女子の７倍でした。

?@　男子は何人いますか。
　　　これは70人で間違いないと思います。
?A　めがねをかけていない男子とめがねをかけていない女子の人数の比を最も簡単な整数の比で答えなさい。
　　　これは、８：７じゃないかなあと思います。
?B　半年後、同じ６年生に２回目のめがねの調査を行いました。その結果は、めがねをかけている男子はめがねをかけている女子の２倍で、めがねをかけていない男子は、めがねをかけていない女子の比は９：８になりました。めがねをかけていない女子は何人になりましたか。
　　　これがわかりません。教えてください。お願いします。
No.9526 - 2010/01/24(Sun) 17:42:54
☆ Re: ある中学入試の問題 / Kurdt（かーと）
こんばんは。

(1)と(2)は合っています。

(3)
メガネありを有、メガネなしを無で書くことにします。
まず、有男：有女=2：1 ということがわかっています。
そこで、有男→?A、有女→?@ と書くことにします。

また、無男：無女=9:8 ということもわかっています。
そこで、無男→[9]、無女→[8] と書くことにします。

ところで、男子の人数は70人で、女子は56人でした。
これらをもとに男女の人数をメガネの有り無しで分けた線分図を書いてみます。
　　　　　　70人
├─┼─┼───────────┤　男子　（図1）
　　?A　　　　　　[9]
　　　　　　　56人
　　├─┼─────────┤　　　女子　（図2）
　　　?@　　　　　[8]
男子から女子を引いてみます。
　　14人
├─┼──┤　（図3）
　?@　[1]
今度は図2からさらに図3を引きます。
　　　　42人
├────────┤　（図2）−（図3）
　　　　[7]
ここから [1] は6人ということがわかります。
メガネをかけていない女子の数は [8] なので、6×8=48人ですね。
No.9527 - 2010/01/24(Sun) 21:27:30
☆ Re: ある中学入試の問題 / rino
ありがとうございます。よくわかりました。
No.9540 - 2010/01/25(Mon) 22:34:23
★ 収束or発散 / apfel
次のanについてΣanは収束するか？

an=sin(1/n)
an=sin^2(1/n)

よろしくお願いします
No.9525 - 2010/01/24(Sun) 15:49:34
☆ Re: 収束or発散 / 我疑う故に存在する我
正の定数 A, B が存在して
0 ≦ x ≦ 1 の時
Ax ≦ sin x ≦ Bx
となるから、比較判定法により、
前半は発散、後半は収束
No.9529 - 2010/01/24(Sun) 21:54:09
★ 方程式の解 / レイトン
一元三次方程式方程式はどのように求めるのでしょうか？
No.9521 - 2010/01/24(Sun) 12:22:07
☆ Re: 方程式の解 / ヨッシー
こちらをご覧ください。
No.9524 - 2010/01/24(Sun) 15:49:27
★ (No Subject) / レイトン
三乗根の求め方
No.9520 - 2010/01/24(Sun) 12:20:02
☆ Re: / ヨッシー
こちらをご覧ください。
No.9523 - 2010/01/24(Sun) 15:48:58
★ 特異二重積分 / １２３
∫∫dxdy/√(y-x)
(0≦x≦y≦1)
の積分についてy=xで無定義なのですが、どのように積分すればよいのでしょうか？？
No.9517 - 2010/01/24(Sun) 00:36:00
☆ Re: 特異二重積分 / X
広義積分として計算します。
(与式)=∫[x:0→1]∫[y:x→1]{1/√(y-x)}dydx
=∫[x:0→1]{lim[t→x+0]∫[y:t→1]{1/√(y-x)}dy}dx
=…
No.9518 - 2010/01/24(Sun) 05:39:16
★ 受験生 / nao
整数の２乗を７で割ったあまりは0.1.2.4.にかぎられることをしめせ

どのような整数ｎにたいしてもｎ＾２＋ｎ＋３は７で割
り切れないことを示せ


がぜんぜんわかりません
No.9512 - 2010/01/23(Sat) 19:41:56
☆ Re: 受験生 / X
一問目)
あまりスマートではないですが問題の整数をnとして
(i)n=7kのとき
(ii)n=7k+1のとき
(iii)n=7k+2のとき
(iv)n=7k+3のとき
(v)n=7k+4のとき
(vi)n=7k+5のとき
(vii)n=7k+6のとき
(いずれの場合もkは0または自然数)
に場合分けしてn^2を計算してみましょう。
No.9515 - 2010/01/23(Sat) 21:20:48
☆ Re: 受験生 / X
二問目)
n^2+n+3=n^2-6n+7n+3
=(n-3)^2+7n-6
=(n-3)^2+7(n-1)+1
と変形し一問目の結果を使います。
No.9516 - 2010/01/23(Sat) 21:32:17
★ (No Subject) / 微分
aを０でない実数とする。2つの曲線y＝eのx乗およびy=ax^2の
両方に接する接線の本数を求めよ。

お願いします
No.9509 - 2010/01/23(Sat) 10:53:28
☆ Re: / X
途中まで。

y=e^x (A)
よりy'=e^x
∴(A)上の点(t,e^t)における接線の方程式は
y=(e^t)(x-t)+e^t (B)
(B)と
y=ax^2 (C)
との交点のx座標について
(e^t)(x-t)+e^t=ax^2
∴ax^2-(e^t)x+(t-1)e^t=0 (D)
よって
「(D)の解の判別式をDとすると(B)(C)が接するためには
D=e^(2t)-4a(t-1)e^t=0 (E)」
∴問題はtの方程式(E)の実数解の個数を求めることに帰着します。
ここで(E)より
{e^t-4a(t-1)}e^t=0
e^t-4a(t-1)=0
∴(e^t)/{4(t-1)}=a
そこで
f(t)=(e^t)/{4(t-1)}
と置き、…

(接する条件として「」内の条件を使うことがこの問題を簡単に解くポイントだと思います。)
No.9513 - 2010/01/23(Sat) 21:16:17
★ (No Subject) / nao
円に内接する四角形ABCDにおいてAB-13　BC=14　CD=4　DA=13

４）線分ACとBDの交点をEとするとき線分AEのながさをもとめよ

AC=１５
sinABCの値１２/１３
四角形ABCDの面積１０８
No.9504 - 2010/01/22(Fri) 20:11:23
☆ Re: / 七
△ABEと△DCEは相似で相似比は13：4です。
No.9519 - 2010/01/24(Sun) 10:18:52
★ 三角関数 受験生 / nao
a=（2/５）πのときcos３a=cos2a
を示せ

２）cos（2/5）πの値をもとめよ


がわかりません

A+B+C＝π
sinA+sinB=2cos(c/2)cos(A-B)/2
の証明ができません
No.9503 - 2010/01/22(Fri) 20:07:37
☆ Re: 三角関数 受験生 / だるまにおん
cos(3a)=cos(6π/5)=cos(2π-4π/5)=cos(-4π/5)=cos(4π/5)=cos(2a)

cos(3a)=cos(2a)をcosaだけの式に変形すると、わかります。

sinA+sinB=2sin(A+B)/2*cos(A-B)/2 という公式を思いだしましょう。
No.9507 - 2010/01/23(Sat) 03:11:29
☆ Re: 三角関数 受験生 / nao
ありがとうございます
No.9511 - 2010/01/23(Sat) 19:39:06
★ (No Subject) / 受験生
方程式x^2-xy＋y^2=3の表す曲線をCとする。このとき、次の各問いに答えよ。

(1)曲線Cを原点の周りに-45℃回転した曲線の方程式を求め、それを利用して曲線Cの概形をかけ。

(2)曲線Cの第1象限にある部分が、x軸、y軸と囲む図形の面積を求めよ。
No.9501 - 2010/01/21(Thu) 18:28:46
☆ Re: / ヨッシー
(1)
回転前の座標を(X,Y)、回転後の座標を(x,y) とすると、
(X,Y) は(x,y) を45°回転した点なので、
　X=(√2x−√2y)/2
　Y=(√2x＋√2y)/2
(X,Y)は、曲線Ｃ上の点なので、
　X^2-XY＋Y^2=3
変形して (この変形は、代入を楽にするためのもので、別に
　　　　　元のまま代入しても構いません)
　(X+Y)^2-3XY=3
これに、上の変換式を代入して、
　(√2x)^2-3(x^2-y^2)/2=3
両辺２を掛けて
　4x^2-3x^2+3y^2＝６
　x^2+3y^2＝６
　x^2/6+y^2/2＝1
よって、Ｃは、この楕円を45°回転させたものになります。


(2)
求める部分は、右の図の青い部分ですが、これは、
中の図で、楕円と、ｙ＝ｘ、ｙ＝−ｘ で囲まれた部分になります。
これを、ｘ軸方向に1/√3 倍に縮めると、左の図のように
半径√2 の円と、y=√3x、y=−√3x になります。
つまり、青の部分は、中心角120°の扇形になります。
その面積は、2π/3 であり、√3倍して元に戻すと
　2π/√3
となります。
No.9522 - 2010/01/24(Sun) 15:42:49
★ 高１　２次関数 / あつき
よろしくお願いします。

放物線y=x^2を平行移動して、頂点がy=2x−5の上にくる
ようにした放物線をCとする。
Cとy軸との交点のy座標の最小値を求めよ。また、このときの
Cの方程式を求めよ。
No.9500 - 2010/01/21(Thu) 18:26:35
☆ Re: 高１　２次関数 / だるまにおん
頂点は(p,2p-5)とおける。よって
C:y=(x-p)^2+2p-5
Cとy軸との交点のy座標は
(0-p)^2+2p-5
なので、平方完成をすれば、最小値がわかります。
No.9508 - 2010/01/23(Sat) 03:40:14
☆ Re: 高１　２次関数 / あつき
よくわかりました！
ありがとうございました。
No.9514 - 2010/01/23(Sat) 21:16:22
★ 積分です / akasaka
問題
?@∫√(1-x^2)dx
?A∫{2x/(x^(2)+x+1)}dx
?B∫1/{x(1+x^(n))^2}dx
?C∫sin(logx)dx
?D∫{log(logx)}/xdx

答え
?@(1/2){x√(1-x^(2))+sin^(-1)x}+c
?Alog(x^(2)+x+1)-(2/√3)tan^(-1){(2x+1)/√3}+c
?B(1/n){1/(1+x^(n))+log|x^(n)/(1+x^(n))|}+c
?C(1/2)(sin(logx)-cos(logx))+c
?D(logx)log(logx)-logx+c

以上のものの計算式をお願いします
No.9499 - 2010/01/21(Thu) 17:21:44
★ こういうのを頭で考えることができません / 受験生
四辺の長さがそれぞれ６,５,４,３で少なくとも１つの内角が直角であるような四角形が何通りあるか？
またそのうち２つの内角が直角なものは何通りか？
また凸であるものは何通りか？
そして,これらすべての四角形のうち最小の面積はいくつか？

答えは上から　２０,２,１８,６です。
計算過程が知りたいです。
お願いします。
No.9498 - 2010/01/21(Thu) 16:52:03
★ 確率 / 弥里
入試の過去問です。
確率の問題について質問させて下さい。

目の出る確率が一様でないサイコロがある。
各目の出る確率は目の数に反比例する。このサイコロを振った時、偶数の目の出る確率は？

確率が一様でないサイコロについての問題をあまり解いたことがなかったので、目の出る確率が目の数に反比例する…からすでに良く分かりませんでした。
解答は５５／１４７になっていました。
解説お願いします。
No.9495 - 2010/01/21(Thu) 13:06:00
☆ Re: 確率 / らすかる
目の出る確率が目の数に反比例するということは、
1,2,3,4,5,6の出る確率の比が1：1/2：1/3：1/4：1/5：1/6に
なっているということです。
1の目の出る確率をkとおくと、合計の確率は1ですから
k+k/2+k/3+k/4+k/5+k/6=1 であり、求める確率は
k/2+k/4+k/6 となりますね。
No.9496 - 2010/01/21(Thu) 13:52:45
☆ Re: 確率 / 弥里
あ、、、解けた(≧▽≦)
らすかるさんありがとうございます。

まずはkを出してみて(k＝20/49)、k/2+k/4+k/6を足した11/12kに代入してみたら答えになりました。
だいじょうぶかな、これで・・・
入試が心配です＾＾；
No.9497 - 2010/01/21(Thu) 16:31:32
★ 確率 / 澪
箱の中に赤､青､黄の3色のｶｰﾄﾞが○それぞれ1枚ずつ入っている｡箱からｶｰﾄﾞを1枚取り出し､その色を確かめて箱の中に戻す｡この操作を4回行う｡
(1)4回とも同色のｶｰﾄﾞを取り出す確率を求めよ｡
(2)異なる2色のｶｰﾄﾞをそれぞれ2回ずつ取り出す確率を求めよ｡
(3)取り出したｶｰﾄﾞの色が全部でX種類であるとする｡X=2となる確率を求めよ｡また､Xの期待値を求めよ｡


○袋の中に､数字1が書かれた球が4個､数字2が書かれた球が2個､数字3が書かれた球が1個の計7個の球が入っている｡
(1)X=7である確率を求めよ｡
(2)Xが3の倍数である確率を求めよ｡
(3)Xの期待値を求めよ｡


計算式と答えをよろしくお願いします!
No.9494 - 2010/01/21(Thu) 11:02:05
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