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化学(無機分野) / ハオ
今、化学の復習をしていて間違った問題があります。
アルカリ金属元素の融点は( a )く、以下続く
aに適語を入れろというものです。
僕は化学?T?Uの新研究という参考書で
Liの融点は180℃,Naの融点は98℃と記憶していて勝手な判断でしたが、水の融点が0℃なので高いと判断してしまいたが
答えは低いでした。
ここで疑問なのですが何を以てして融点を低いと定め又は高いと定めるのでしょうか?ご教授の程お願いいたします。

No.7692 - 2009/08/30(Sun) 11:45:36

Re: 化学(無機分野) / ハオ
追記です。
angelさん物理の質問についての返答感謝いたします。
ここは投稿しても上がらないので一応ここにも書いておきます。下の方に詳しくお礼を書いておいたので見てください。

No.7693 - 2009/08/30(Sun) 11:47:48

Re: 化学(無機分野) / angel
まあ、問題文が曖昧だと言ってしまえば終わりなのですが、単体の金属の話をしているところなので、「単体の金属同士の比較」で考えるものでしょう。
※水は化合物ですからね

で、単体の金属の場合、価電子が少ないと結合が弱くなりますので、融点が低くなります。また軟らかくもなりますね。
※単体のNaなんて、ナイフで切れたりしますから

P.S. お礼拝見しました。丁寧にありがとうございます。問題の解説を、元の質問の続きとして載せましたので、ご覧下さい。もし更に疑問が出てきたら、今度は新しく質問を挙げなおして頂いた方が良いかもしれません。

No.7694 - 2009/08/30(Sun) 12:38:49

Re: 化学(無機分野) / ハオ
本当に感謝致します。
物理の件は素晴らしすぎて office wordに保存させて頂きました。
化学についても納得する事ができました。
これからも何卒よろしくお願い致します。

No.7699 - 2009/08/30(Sun) 17:20:18
数?V / 英

おはようございます。

積分法の面積の範囲なのですが、
x^3-3x=2 つまり (x+1)^2(x-2)=0
となっているのですが、因数定理を使ってもうまく出来なかったのですが、どのように分解すればいいのでしょうか?
どなたかご指導宜しくお願いします。

No.7690 - 2009/08/30(Sun) 10:30:36

Re: 数?V / angel
x^3-3x=2
⇔ x^3-3x-2=0
⇔ (x+1)^2・(x-2)=0

という因数分解の所でしょうか?
定数項が -2 なので、約数である ±1, ±2 を代入してみると、ちょうど方程式が成立するのが x=-1, 2 となります。
ということで、(x+1), (x-2) を因数に持つと分かり、因数分解ができると思いますが…。
※因数定理そのままですね。

No.7695 - 2009/08/30(Sun) 12:49:00

Re: 数?V / 英

なるほど!
あっさり解けました!
本当にありがとうございます!!

No.7702 - 2009/08/30(Sun) 18:59:38
解けませんでした。。 / ラージX
問題)k,mを実数とする。
2次方程式x^2+kx+m=0が異なる二つの実数解α、βをもち
α^2+β^2<6を満たすとしたときkのとりうる範囲を求めよ。

解)異なる2実解をもつのでD>0⇔m<k^2/4・・?@

解と係数の関係より
α^2+β^2<6⇔k^2/2-3<m・・・?A

ここで?@?Aを満たす実数k、mが存在するためのkの条件が
?Aの左辺<?@の右辺となることがわかりせん。

不等式を?Aの左辺<?@の右辺とできるのは確かに中学生でもできます。(私は高校生ですが)
一目瞭然で分かります。

しかし?@?Aを満たす実数k、mが存在するためのkの条件が
?Aの左辺<?@の右辺となることがわからないのです。
数学?V・Cも終え、重要問題は一通り全て解きあげ
自信がついたと思ったのですが、正直分かりません。
簡単な問題集の問題なので出題者としては簡単な問題としているのかもしれませんが、これは突き詰めるとある意味難問だと思います。どなたか教えてください。

No.7684 - 2009/08/30(Sun) 07:14:55

Re: 解けませんでした。。 / ヨッシー
以下、k、mは実数とします。

m<k^2/4・・?@
k^2/2-3<m・・・?A

?@?Aを満たすk、mが存在するなら、
 k^2/2-3<m<k^2/4
より、明らかに
 k^2/2-3<k^2/4
です。(ここまでは蛇足です)
また、
 k^2/2-3<k^2/4
を満たすkが存在すれば、
 k^2/2-3<m<k^2/4
を満たすmが必ず存在します。

ひょっとして、どんなmについても、条件を満たすk
と考えていませんか?

No.7686 - 2009/08/30(Sun) 07:52:44

Re: 解けませんでした。。 / らーじX
ちょっとよく分からないです。
例えば他の問題でkのとりうる範囲を求めよとあって
(kの式)<何らかの式<kの式
とあれば即座にこれを答えとしていいのですか?
必要条件に過ぎないのではないかという疑問があります。

No.7705 - 2009/08/30(Sun) 20:13:26

Re: 解けませんでした。。 / ヨッシー
(kの式1)<m^2<(kの式2)
なんかだと、
(kの式1)<(kの式2)
だけではダメで、
 0≦(kの式1)<(kの式2)
のようなことになります。

この問題は、上の
>k^2/2-3<k^2/4
>を満たすkが存在すれば、
> k^2/2-3<m<k^2/4
>を満たすmが必ず存在します。

が十分性の説明ですが、
 k^2/2-3<k^2/4
だけで、必要十分になります。

No.7712 - 2009/08/30(Sun) 21:51:07

Re: 解けませんでした。。 / らーじX
(kの式1)<m^2<(kの式2)
なんかだと、
(kの式1)<(kの式2)
だけではダメで、
 0≦(kの式1)<(kの式2)
のようなことになります。

とありますが、なぜですか?(kの式2)が0以上というのは分かりますけど。。

No.7714 - 2009/08/30(Sun) 22:55:22

Re: 解けませんでした。。 / ヨッシー
あ、間違えました。
(kの式1)<(kの式2)
かつ
0<(kの式2)
です。

No.7716 - 2009/08/31(Mon) 06:50:45
おかしいです / yatsuhashi
xの方程式(x+1)(x^2-2ax+(2/5)a^2+(4/5)a+3)=0が重解を持つようなaの値を求めよ。

略解)
x^2-2ax+(2/5)a^2+(4/5)a+3=0・・・?@
1)重解がx=-1のとき
?@にx=−1を代入してa=-2,-5
2)重解がx≠ー1のとき
?@の判別式=0よりa=-3,-5/3
でいきなりこれが答えになっているのですが
2)は本来ならD=0かつ(?@にx=−1を代入した値)≠0
なのでa=-3,-5/3(a≠-2,-5をみたす)と書くべきですよね??つまり逆にすれば

1)重解がx≠ー1のとき
?@の判別式=0より計算してa=-3,-5/3
(?@にx=−1を代入した値)≠0より計算して
a≠-2,-5

よってa≠-2,-5をみたすのでa=-3,-5/3

2)重解がx=-1のとき
1)?@にx=−1を代入してa=-2,-5(ただし1)より)

とできますよね?教えてください

No.7682 - 2009/08/30(Sun) 06:28:11

Re: おかしいです / ヨッシー
1)重解がx=-1のとき
2)重解がx≠ー1のとき
と分けると、確かにそう言うことになりますね。

普通は、
1)?@がx=−1 を解に持つとき
2)?@が重解になるとき
で分けます。x=−1 が?@の重解である時は、同じaの値が
求められるだけです。

No.7685 - 2009/08/30(Sun) 07:40:20
4次方程式?? / グレープ
方程式√lx-1l=lx−klが異なる4つの実数解を持つとき実数の定数kのとりうる値の範囲を求めよ

両辺を二回二乗して
二次方程式の積に因数分解してみましたが
其々の判別式を>0としても
一致する解が出てくるため
これだけでは不十分のようです。

回答解説をどうかよろしくお願いします。

No.7674 - 2009/08/29(Sat) 08:51:52

Re: 4次方程式?? / 七
y=√lx-1l
のグラフが描けるなら
これと
y=lx−kl
のグラフが異なる4つの共有点をもつ場合を考えてはどうですか?

No.7675 - 2009/08/29(Sat) 10:02:14

Re: 4次方程式?? / angel
> 其々の判別式を>0としても
> 一致する解が出てくるため
> これだけでは不十分のようです。

いえ、それだけでも実は解けます。
ただし、k=1 だけは除かなければなりません。

k=1 の場合、x=1 が一致する解になるためN.G.なのですが、k≠1 であれば、一致する解はでてきません。その理由を考えてみて下さい。
※y=x-1、y=1-x、y=(x-k)^2 のグラフを、k>1、k<1 それぞれで場合分けして描いてみるのも良いでしょう

No.7678 - 2009/08/29(Sat) 21:51:27

Re: 4次方程式?? / グレープ
わかりません。。
No.7704 - 2009/08/30(Sun) 19:57:39

図を描いてみましょう / angel
まず前提として。
方程式を平方した形 |x-1|=(x-k)^2 というのは、
 x-1 = (x-k)^2 または 1-x = (x-k)^2
と同値です。
ということは、グラフとしては、
 放物線 y=(x-k)^2 と直線 y=x-1
 同じ放物線と直線 y=1-x
の交点に着目することになります。
今、それぞれの方程式の判別式が正、つまりそれぞれ2実数解を持つ、という状況を考えます。

ということで、k>1 の場合のグラフを描いてみます。
すると、放物線と y=x-1 の交点 ( 図中の青い点 ) は、x>1 つまり 1 より右側にできています。
逆に、放物線と y=1-x の交点 ( 図中の赤い点 ) は、x<1 つまり 1 より左側にできています。

なぜなのか? それは、放物線の位置関係からして、y>0 の領域 ( x軸の上側 ) にしか交点ができないためです。
それぞれの直線で x軸の上側にある部分は…と考えれば良いです。

これより、交点同士が一致することはありません。 かたや1より大、かたや1より小なのですから。

ただ、k=1 の時はこの話が成立しませんので、注意してください。
あくまで、k≠1 のおかげで、x=1,k で交点ができない、という条件があるため成立しているのです。

なお、k<1 の場合の図については、ご自分で描いて確かめてみてください。

No.7715 - 2009/08/30(Sun) 23:21:33
全然分かりません・・ / 数学をがんばりたい人
pが3より大きい素数のとき、p2-1は24の倍数であることを、証明せよ。

 解)p2−1=(p−1)(p+1)
 pは2で割り切れないので、
  p−1≡0、p+1≡2 (mod 8) このとき (p−1)(p+1)≡0 (mod 8)
 または p−1≡2、p+1≡4 (mod 8) このとき (p−1)(p+1)≡8≡0 (mod 8)
 または p−1≡4、p+1≡6 (mod 8) このとき (p−1)(p+1)≡24≡0 (mod 8)
 または p−1≡6、p+1≡0 (mod 8) このとき (p−1)(p+1)≡0 (mod 8)
 よって、いずれの場合も (p−1)(p+1)≡0 (mod 8)
 pは3で割り切れないので、
  p−1≡1、p+1≡0 または p−1≡0、p+1≡2 (mod 3)
 であり、いずれの場合も、(p−1)(p+1)≡0 (mod 3)
 以上より、 p2−1 は8でも3でも割り切れるので、24の倍数である

とありますが、
pは2で割り切れないので〜、と
pは3で割り切れないので〜以降の
合同式の作り方が全般的にわかりません。
(pは3で割り切れないからといってなんで
  p−1≡1、p+1≡0 または p−1≡0、p+1≡2 (mod 3)なのか、など)

(合同式の計算法則は知っています)

どうかよろしくお願いします。

No.7671 - 2009/08/29(Sat) 06:17:21

Re: 全然分かりません・・ / ヨッシー
合同式は、何で割っていくつ余るということを、確認しながら
式を作りましょう。

pは2で割れないので、8で割ると、余りは1,3,5,7のいずれかです。
pを8で割ったときに、
 1余るとき p−1は割り切れ、p+1は2余ります。
 3余るとき p−1は2余り、p+1は4余ります。
 5余るとき p−1は4余り、p+1は6余ります。
 7余るとき p−1は6余り、p+1は割り切れます。
pは3で割り切れず、そのときの余りは、1か2です。
pを3で割ったときに、
 2余るとき p−1は1余り、p+1は割り切れます。
 1余るとき p−1は割り切れ、p+1は2余ります。
これらのことを、合同式で書いたのが上の解答です。

No.7672 - 2009/08/29(Sat) 08:13:41

Re: 全然分かりません・・ / 数学をがんばりたい人
ありがとうございました。そのことは理解しました。

別の疑問点ですが
なぜpが2で割り切れないことと
3で割り切れないことに着目したのですか?
何か理由があるのですか?
それとも適当に小さい数から順番に2,3としたのですか?
(1ではどれも割れるので次に2,3といった風に)

よろしくお願いします。

No.7673 - 2009/08/29(Sat) 08:41:05

Re: 全然分かりません・・ / ヨッシー
24で割れることを示したいので、その素因数である、
2と3について調べます。
たとえば、5で割れても割れなくても、24で割れることとは
何の関係もありません。

No.7677 - 2009/08/29(Sat) 13:41:32

Re: 全然分かりません・・ / グレープ
24で割れることを示したいので、その素因数である、
2と3について調べます、の理由が分かりません。
p^2-1が2で割れてかつ3で割れてもpが24で割れるとは限りません。

よろしくお願いします。

No.7681 - 2009/08/30(Sun) 02:07:59

Re: 全然分かりません・・ / ヨッシー
目標は8でも3でも割り切れることです。
8で割り切れることを調べるときに、
pが8で割って、
 割り切れるとき
 1余るとき
 2余るとき
 3余るとき
 4余るとき
 5余るとき
 6余るとき
 7余るとき
と調べるのが、もっとも愚直な方法ですが、
pは2で割り切れないので、
 割り切れるとき
 2余るとき
 4余るとき
 6余るとき
は、あり得ないのです。ここのところで、2を使っているだけで、
解答の本質は、8で割れるかを調べています。

No.7683 - 2009/08/30(Sun) 07:06:17

Re: 全然分かりません・・ / 数学をがんばりたい人
わかりました。ありがとうございました。
ところでpは5以上の素数なので
pは2、3、4で割り切れない
pは5で割り切れるかはわからない(p=5のときのみ割り切れる)
pは6で割り切れれるかはわからない(p=6のときのみ割り切れる)

pは7で割り切れるかはわからない(p=7のときのみ割り切れる)
pは8で割り切れるかはわからない(p=8のときのみ割り切れる)
といった状況ですよね?

No.7691 - 2009/08/30(Sun) 10:46:12

Re: 全然分かりません・・ / angel
> pは6で割り切れれるかはわからない(p=6のときのみ割り切れる)
> pは8で割り切れるかはわからない(p=8のときのみ割り切れる)

pが素数であれば、6でも8でも割り切れませんよ。
5,7については合っていますが。

No.7696 - 2009/08/30(Sun) 13:11:45
平面図形 / cup
以前この掲示板で平面図形の公式というか計算結果的なものの一覧(扇形とか台形とか色々ありました)を紹介してあったのを思い出したのですが、
覚えている方がいれば教えてもらえないでしょうか。

No.7666 - 2009/08/29(Sat) 00:21:11

Re: 平面図形 / ヨッシー
こちらで紹介した、これでしょうか?
No.7670 - 2009/08/29(Sat) 04:52:17
特別な平面の方程式 / たく
空間にA(−2,0,0)B(0,2,0)C(0,0,2)D(2,-1,0)がある。
点Dから平面ABCに下ろした垂線の足Hを求めよ

これをx/a+y/b+z/c=1(x軸、y軸、Z軸のy切片がa,b,cの平面)と点と平面の距離の公式を使った解法を教えてください。問題集などにはこの解法はなかなか載っていないので
途中を省略せずに解答解説の流れを一通り最初から最後まで書いてもらえると助かります。よろしくおねがいします。

No.7661 - 2009/08/28(Fri) 21:14:04

Re: 特別な平面の方程式 / ヨッシー
まず、ABCを通る平面の式は、上の公式通り、
 -x/2+y/2+z/2=1
です。両辺2を掛けて
 -x+y+z-2=0 ・・・(1)
としておきます。また、この平面の法線ベクトルの1つは
(-1,1,1) で、その大きさは√(1^2+1^2+1^2)=√3 です。

一方、点Dから、(1) までの距離は、距離の公式より、
 |-2-1+0-2|/√3=5/√3=(5/3)√3
よって、求める点Hは、点Dから、平面(1) の法線方向に
(5/3)√3進んだ位置にあります。
法線方向で、大きさ(5/3)√3のベクトルは
(-1,1,1) の 5/3 倍なので、
(-5/3,5/3,5/3) または (5/3,-5/3.-5/3)
点D(2,-1,0) にこれらを足した
 (1/3,2/3,5/3)、(11/3,-8/3,-5/3)
のうち、平面(1)上にあるのは、(1/3,2/3,5/3)・・・答え

No.7663 - 2009/08/28(Fri) 23:35:33

Re: 特別な平面の方程式 / たく
ヨッシーさんありがとうございました。ところで、
x/a+y/b+z/c=1(x軸、y軸、Z軸のy切片がa,b,cの平面)
が使えるときはこの回答が最速ですか?(距離の公式を無理やり使うというくくりを無くした場合は、という意味です)

どうかよろしくお願いします。

No.7664 - 2009/08/28(Fri) 23:48:37

Re: 特別な平面の方程式 / angel
解答としての書きやすさを考えるなら、ベクトルの計算に持ち込んだ方がやりやすそうですが…。

 平面ABCの方程式は、-x+y+z-2=0、法線ベクトル ↑n=(-1,1,1)
 ↑DH=t↑n なる t が存在するため、↑OH=↑OD+↑DH=(2-t,t-1,t)
 Hが平面ABC上にあるため、-(2-t)+(t-1)+t-2=0 ゆえに t=5/3
 これより H の座標は (1/3,2/3,5/3)

結局やっていることは似ていますけどね。
解の候補が2つあるところから削るよりは、最初から解が1つなのでわかり易い、というのもあります。
※距離の公式を使う場合でも、解を最初から1つに絞ることはできるのですが、解答として説明を書くが面倒くさそう

No.7668 - 2009/08/29(Sat) 01:17:29
(No Subject) / ラスカル
図をクリックしてください
No.7657 - 2009/08/28(Fri) 18:17:28
(No Subject) / ラスカル
y=(x/2-π/6)+1のグラフを描け。
これはy=tanxをx軸方向にπ/3、y軸方向に1、平行移動させたもの。
周期はーπ<x<πになる
ここまではわかるんですけど、グラフのx座標がなぜーπ/6になるかわかりません。y座標は1−1/√3はなんとかわかります。図を送ります

No.7656 - 2009/08/28(Fri) 18:15:44

Re: / ラスカル
訂正   y=(x/2-π/6)+1のグラフを描け→y=tan(x/2-π/6)+1」のグラフを描け
No.7658 - 2009/08/28(Fri) 18:31:40

Re: / ラスカル
訂正 y=tanxをx軸方向・・・→tanX/2x軸方向・・・
すいません

No.7659 - 2009/08/28(Fri) 18:50:22

Re: / ラスカル
訂正 y=tanxをx軸方向・・・→tanX/2をx軸方向・・・
「を」を忘れました

No.7660 - 2009/08/28(Fri) 18:53:20

Re: / 七
y=tan(x/2-π/6)+1のグラフが
x軸と交わる点のx座標ならば
tan(x/2-π/6)=-1になるxを求めればいいですね。
たとえばx/2-π/6=-x/4などがあります。

No.7662 - 2009/08/28(Fri) 21:37:10

Re: / 七
うっかりしていました。
x/2-π/6=-π/4
です。

No.7669 - 2009/08/29(Sat) 02:55:22
高3です / wind
確率の問題なのですが、kやらnやらが出てくるともうお手上げ状態です。
問題文自体の意味もよく分かりません…
解説お願いします!!


kを2以上の整数とする。硬貨を繰り返し投げて、表の出た回数がk回になるか、
あるいは裏の出た回数がk回になった時点で終了する。

(1)k≦n≦2k-1を満たす整数nに対して、ちょうどn回で終了する確率P[n]を求めよ。

(2)k≦n≦2k-1を満たす整数nに対して、P[n+1]/P[n] を求めよ。

(3)P[n]を最大にするnを求めよ。

No.7644 - 2009/08/27(Thu) 17:18:19

Re: 高3です / ヨッシー
(1)
表、裏と書かれたカードをn枚並べるとします。
並べ方は 2^n(通り)
このうち、n回目で、表がk回出て終了するのは、
最後の表以外のn−1枚が、
表k−1枚、裏n−k枚で、これらの並べ方が、
 (n-1)C(k-1)=(n-1)!/(k-1)!(n-k)! (通り)
n回目で裏が出て終了するのも
 (n-1)!/(k-1)!(n-k)!通り
よって、
 P[n]=(n-1)!/(k-1)!(n-k)!2^(n-1)

(2)
(1)の結果より
P[n+1]/P{n]=n/2(n+1-k)

(3)
(2) の結果において、2(n+1-k)>0 である。
 n=2(n+1-k)
となるのは、n=2k-2 であり、
n<2k-2 のとき P[n+1]/P{n]>1 より P[n+1]>P{n]
n=2k-2 のとき P[n+1]/P{n]=1 より P[n+1]=P{n]
n>2k-2 のとき P[n+1]/P{n]<1 より P[n+1]<P{n]
よって、n=2k-2 と n=2k-1 のときにP[n]は最大になります。

No.7649 - 2009/08/27(Thu) 21:31:06
高2 / みかげ
点(3,2)から円(x^2)+(y^2)=4に引いた接線の方程式を求めよ。

2円 (x^2)+(y^2)ー4x-5=0,(x^2)+(y^2)+2y-15=0について2つの交点と原点を通る円の方程式を求めよ。

次の2円が接するとき、定数rの値を求めよ。ただし、r>0とする。
(x+1)^2+(y-2)^2=4,(x-3)^2+(y+1)^2=r^2

aの値が変化するとき、放物線y=x^2-4axー6aの頂点Pの軌跡を求めよ。

放物線y=x^2と直線y=m(xー1)は異なる2点P,Qで交わっている。
(1)定数mの値の範囲を求めよ。
答 m<0,4<m
(2)mの値が変化するとき、線分PQの中点Mの軌跡を求めよ。

不等式|x+2y|≦2の表す領域を図示せよ。

★(x^2)+(y^2)≦4,y≧0のとき、ーx+yの最大値と最小値を求めよ。

等式(1ーtan^2θ)cos^2θ+2sin^2θ=1を証明せよ。

大量にすみません。よろしくお願いします。

No.7638 - 2009/08/27(Thu) 01:48:04

Re: 高2 / たく
高校生ですが力試しのつもりで解いてみました。
ご指摘があればプロの方どうかよろしくお願いします。

問い1)接線の一つは図より明らかにy=2。
接点を(a,b)と置くと
公式よりax+by=4
(3,2)を通るので3x+2y=4
接点は円上の点より
a^2+b^2=4

よってa=24/13,b=-14/13より
(答え)12x-7y=26、y=2

No.7639 - 2009/08/27(Thu) 04:47:49

素人ながら・・・ / たく
第二問)二円の交点を通る円は

x^2+y^2-4x-5+k(x^2+y^2+2y-15)=0(k≠-1)と置ける
原点を通るのでk=-1/3
代入して
(x-3)^2+(y-1/2)^2=37/4

何かご指摘があればプロの方よろしくお願いします。

No.7640 - 2009/08/27(Thu) 04:57:49

第3問 / たく
2円が内接するとき、と外接するとき
2円の中心間の距離はそれぞれ2+r,r-2
より25=(2+r)^2、または25=(r-2)^2
r>0よりそれぞれr=3,7

No.7641 - 2009/08/27(Thu) 05:13:01

Re: 高2 / ヨッシー
No.7639 ですが、
>(3,2)を通るので3x+2y=4
は、(3,2)を通るので3a+2b=4
ですね。
他は良いと思います。

No.7643 - 2009/08/27(Thu) 17:08:02

Re: 高2 / ヨッシー
>aの値が変化するとき、放物線y=x^2-4axー6aの頂点Pの軌跡を求めよ。
頂点の座標は、(2a, -4a^2-6a) より
 y=−x^2−3x

>放物線y=x^2と直線y=m(xー1)は異なる2点P,Qで交わっている。・・・
連立させて、
 x^2−mx+m=0
判別式より m^2-4m>0
これを解いて、m<0 または m>4

x^2−mx+m=0 の2解をα、βとすると、P,Qの座標は、
(α, α^2−mα+m)、(β, β^2−mβ+m) で、これの中点は、
((α+β)/2, (α^2+β^2)/2−m(α+β)/2+m)
解と係数の関係より
 α+β=m,αβ=m
 α^2+β^2=m^2−2m
よって、PQの中点の座標は、
(m/2, (m^2−2m)/2−m^2/2+m)
 =(m/2, 0)
より、求める軌跡は y=0

>等式(1ーtan^2θ)cos^2θ+2sin^2θ=1を証明せよ。
(1-tan^2θ)cos^2θ=cos^2θ−sin^2θ
より、
 (与式)=cos^2θ+sin^2θ=1

No.7645 - 2009/08/27(Thu) 17:20:03

Re: 高2 / ヨッシー
>不等式|x+2y|≦2の表す領域を図示せよ。
|x+2y|≦2 は、
 x+2y≧0 かつ x+2y≦2 または
 x+2y<0 かつ x+2y≧−2
なので、図のようになります。(座標は省略)

No.7646 - 2009/08/27(Thu) 17:25:23

Re: 高2 / ヨッシー
>x^2+y^2≦4,y≧0のとき、-x+yの最大値と最小値を求めよ。
 -x+y=k
と置くと、y=x+k より、ある x,y の値に対して、kは
点(x,y) を通り、傾き1の直線のy切片として表されます。
x^2+y^2≦4,y≧0 の領域の点から、傾き1の直線を引いたとき
y切片が最大になるのは、
x=-√2、y=√2 のときの 2√2

No.7647 - 2009/08/27(Thu) 17:45:37

Re: 高2 / みかげ
ヨッシーさん、たくさんどうもありがとうございました。

最後の問題は途中まで解いたのですが、y切片
最大値をとるときの、x、yの出し方が分からなかったので
そこを教えていただけると有難いです。
お願いします。

No.7650 - 2009/08/27(Thu) 22:22:45

Re: 高2 / ヨッシー
はい。
たくさんにも、お礼を言ってくださいね。

No.7647 の図の、直線が一番上に行ったときが、
y切片最大です。
直線が円にギリギリ触れているときのy切片です。

No.7651 - 2009/08/27(Thu) 22:25:42

Re: 高2 / らすかる
>たくさんにも、お礼を言ってくださいね。
言っているように見えます。
後から修正されたとか?
つまらないことで失礼しました。

No.7652 - 2009/08/27(Thu) 22:38:45

Re: 高2 / だるまにおん
www

たく さん
沢山

No.7654 - 2009/08/27(Thu) 23:39:41

Re: 高2 / ヨッシー
いえ、私の見間違いです。
すみません。

No.7655 - 2009/08/28(Fri) 06:43:04

Re: 高2 / みかげ
>ヨッシーさん
よく分かりました。ありがとうございます。

あとはからずも駄洒落みたいになってた事をお詫びします

No.7667 - 2009/08/29(Sat) 00:30:34
急に自信がなくなりました / なつみ
急に数学に自信がなくなりました。

3x+5/(x+1)=3x+7⇔3x+5=(3x+7)(x+1)かつx≠−1
なんでしょうか?今まで分母を払うとき何も気にせず払っていたのですが・・・

3x+5/(x+1)≦3x+7⇔(3x+5)(x+1)≦(3x+7)(x+1)^2かつx≠−1
という正答を見てはっと不安になりました。
どうか教えてください。

No.7630 - 2009/08/26(Wed) 20:09:57

Re: 急に自信がなくなりました / らすかる
左辺が 3x+5/(x+1) でなく (3x+5)/(x+1) ならば、そのとおりです。
No.7632 - 2009/08/26(Wed) 22:56:27

Re: 急に自信がなくなりました / angel
分母を払うというのは、結構気を遣うものです。
等式の場合でも、(分母)≠0 を意識し続ける必要がありますし、不等式の場合は、分母の正負によって不等号の向きが変わりますし。

そのため、あえて分数の形のまま対処することも良くあります。

例1:
 A = B/C
 ⇔ AC/C = B/C
 ⇔ (AC-B)/C = 0
 ⇔ AC-B=0 かつ C≠0
例2:
 A>B/C
 ⇔ AC/C>B/C
 ⇔ (AC-B)/C>0
 ⇔ C(AC-B)>0  (∵両辺にC^2>0をかけても同値)
 ⇔ ( AC-B>0 かつ C>0 ) または ( AC-B<0 かつ C<0 )

※今気付いたのは儲けものだと思います

No.7633 - 2009/08/26(Wed) 23:11:16
二次関数 / 桜 高3
先ほどはありがとうございました。

kを定数とし、0≦x≦1で定義されたxの二次関数
y=3x^2-4(k-1)x+k-1
をグラフGとする。

(3)グラフGが0≦x≦1の範囲でx軸と少なくとも1つの共有点をもつ範囲はk≦( ) (/)≦kである。

という問題が分かりませんでした。
設問はこの問題に2つありまして、1つはk=2のときの最大値と最小値。
2つめはグラフGの最小値の場合わけでした。


ありがとうございます。

No.7629 - 2009/08/26(Wed) 19:00:38

Re: 二次関数 / 桜 高3
f(1)f(0)≦0

f(0)≧0
f(1)≧0
0≦(軸)≦1
判別式D≧0

がk≦1 ,7/4≦k
になるのか分かりませんでした。

No.7642 - 2009/08/27(Thu) 15:37:08

Re: 二次関数 / ヨッシー
f(x)=3x^2-4(k-1)x+k-1
とおくと、
 f(0)=k-1, f(1)=-3k+6
f(1)f(0)≦0 より
 k≦1 かつ k≦2 または k≧1 かつ k≧2
以上より k≦1 または k≧2 ・・・(1)

f(0)≧0 より k≧1 ・・・(2)
f(1)≧0 より k≦2 ・・・(3)
軸は x=2(k-1)/3 より
 0≦2(k-1)≦3
 1≦k≦5/2 ・・・(4)
判別式
 4(k-1)^2−3(k-1)≧0
 (k-1){4(k-1)-3}≧0
 (k-1)(4k-7)≧0
より、k≦1 または k≧7/4 ・・・(5)
(2)(3)(4)(5) より
 7/4≦k≦2 ・・・(6)
(1)または(6) より
 k≦1 または 7/4≦k
となります。

No.7648 - 2009/08/27(Thu) 20:48:10

Re: 二次関数 / 桜 高3
ありがとうございました
感謝しております

No.7805 - 2009/09/03(Thu) 14:46:41
数学1 / 桜 高3
こんにちは。
いつもありがとうございます。

aは整数とする。2/(a-√5)の整数部分が2であるとき、
a=( ? )である。

求め方が分かりませんでした
よろしくお願いいたします。

No.7623 - 2009/08/26(Wed) 17:34:15

Re: 数学1 / angel
「Xの整数部分が2である」ということは,Xとしては,2.0…とか,2.99とかの数が候補となるので,
 2≦X<3
ということになります.

なので,今回の問題は,
 不等式 2≦2/(a-√5)<3 を解け
と同じことです.

No.7624 - 2009/08/26(Wed) 18:09:28

Re: 数学1 / 桜 高3
ありがとうございます(^^)o
2≦2/(a-√5)<3
2(a-√5)≦2<3
からとき方がわかりません。。
よろしくおねがいたします

No.7626 - 2009/08/26(Wed) 18:12:33

Re: 数学1 / ヨッシー
まず、a-√5>0 であることを確認して、
2≦2/(a-√5)<3
より
2(a-√5)≦2<3(a-√5)
です。
2(a-√5)≦2 と 2<3(a-√5)
の連立不等式になります。

No.7627 - 2009/08/26(Wed) 18:14:50

Re: 数学1 / 桜 高3
ありがとうございます☆
おかげさまで分かりました^^。

嬉しいです!!
感謝しております。

No.7628 - 2009/08/26(Wed) 18:18:15
(No Subject) / 小次郎
関数√3sinθ+√3cosθの最大値、最小値は?

上で求めた、最大値、最小値をとるときのθの値は?


最初の問題は加法定理にあてはめるのだと思うのですが、どのように式を変形すればよいのかわかりません・・・

No.7620 - 2009/08/26(Wed) 00:18:37

Re: / にょろ
題名ぐらいは入れましょう

√3sinθ+√3cosθ=√3(sinθ+cosθ)
         =√3*√2(cos(π/4)sinθ+sin(π/4)cosθ)
        

ここまで式変形してみます。
考えてみてください

No.7622 - 2009/08/26(Wed) 02:48:06

Re: / 小次郎
> 題名ぐらいは入れましょう

すみません
>
> √3sinθ+√3cosθ=√3(sinθ+cosθ)
>          =√3*√2(cos(π/4)sinθ+sin(π/4)cosθ)


どうしてこのようになるのですか?

No.7631 - 2009/08/26(Wed) 20:48:16

Re: / にょろ
sinθ+cosθ=√2*(1/√2)(sinθ+cosθ)
=√2((1/√2)*sinθ+(1/√2)*cosθ)
となります。
1/√2=cos(π/4)=sin(π/4)
ですので成り立ちます

No.7634 - 2009/08/26(Wed) 23:35:19

Re: / ヨッシー
合成の公式
 asinθ+bcosθ=√(a^2+b^2)sin(θ+α)
 ただし、cosα=a/√(a^2+b^2) sinα=b/√(a^2+b^2)
というのを、習ったことありませんか?
たいてい、加法定理のすぐあとに出てくるはずですが。

加法定理
 sinαcosβ+cosαsinβ=sin(α+β)
は知ってますよね?
で、asinθ+bcosθ において、
 a=cosα、b=sinα
を満たすαがあれば、直ちに
 asinθ+bcosθ=sinθcosα+cosθsinα=sin(θ+α)
と変形できるのですが、普通はそううまくいきません。
なぜなら、sin^2α+cos^2α=1 に相当する
 a^2+b^2=1
が成り立つとは限らないからです。
それならと、asinθ+bcosθ を√(a^2+b^2) で割って、
 {a/√(a^2+b^2)}sinθ+{b/√(a^2+b^2)}cosθ
とし、割った分を掛け戻して
 √(a^2+b^2)[{a/√(a^2+b^2)}sinθ+{b/√(a^2+b^2)}cosθ]
とします。
 {a/√(a^2+b^2)}sinθ+{b/√(a^2+b^2)}cosθ
の部分は、
 cosα=a/√(a^2+b^2) sinα=b/√(a^2+b^2)
と置けば、今度は、cos^2α+sin^2α=1 も成り立ち、
そういうαが存在し、
 {a/√(a^2+b^2)}sinθ+{b/√(a^2+b^2)}cosθ
 =sinθcosα+cosθsinα=sin(θ+α)
と変形できます。あとは、掛けておいた、√(a^2+b^2) を掛けて、
 √(a^2+b^2)sin(θ+α)
となります。

No.7635 - 2009/08/26(Wed) 23:37:29

Re: / 小次郎
なるほど。ありがとうございます。
No.7653 - 2009/08/27(Thu) 23:26:08
わかりません / かずや
問題)3角形abcの辺abを2:3に内分する点をd、辺acを3:2に内分する点をeとし、線分beとcdの交点をpとする。さらに直線apと辺bcの交点をfとする。3角形def:3角形abcを求めよ。

ad:db=2:3
ae:ec=3:2
bf:fc=9:4
と求めて結果36:325
になったのですが何度やっても
答えの72:325になりません。
答えの間違いでしょうか?教えてください

No.7613 - 2009/08/25(Tue) 18:30:02

Re: わかりません / 七
36:325
になった経過を書いて見てください。

No.7616 - 2009/08/25(Tue) 19:14:33

Re: わかりません / かずや
天秤法の添え字()がd(10),e(15),f(13),a(6),b(4),c(9)
より、?囘ef:?兮bc=6・4・9:10・15・13=36:325

(マーク式問題として)

No.7617 - 2009/08/25(Tue) 20:00:45

Re: わかりません / ヨッシー
三角天秤法というのは、私もよく知りませんが、
とりあえず、この問題に使えそうな公式を作ってみました。



図の△ABCと△DEFの面積比を求めるとき、
△ABCの面積を1とすると、
 △AEF=af/(a+b)(e+f)
 △BDF=bc/(a+b)(c+d)
 △CDE=de/(c+d)(e+f)
より、
 △DEF=1−af/(a+b)(e+f)−bc/(a+b)(c+d)−de/(c+d)(e+f)
  =(ace+bdf)/(a+b)(c+d)(e+f)
よって、
 △DEF:△ABC=(ace+bdf):{(a+b)(c+d)(e+f)}
となります。

この問題で言うと、
 ace+bdf=2・9・2+3・4・3=72
 (a+b)(c+d)(e+f)=5・13・5=325
より 72:325 となります。

たぶん、天秤法の使い方に誤りがあると思います。

No.7619 - 2009/08/25(Tue) 22:24:23
誰か教えてください。 / tama
関数f(x)=2x^3-3x^2+4ax+bが極大値と極小値をもち
その差が27であるときaの値と求めよ。

答え)a=3

解き方と解説をどうか教えてください。

No.7606 - 2009/08/24(Mon) 22:57:45

Re: 誰か教えてください。 / ヨッシー
f(x)=2x^3-3x^2+4ax+b

f'(x)=6x^2-6x+4a=0 の解を x=α, β (α<β) とすると、
f(α)が極大値、f(β)が極小値であり
 f(α)−f(β)=2(α^3−β^3)−3(α^2−β^2)+4a(α−β)=27
因数分解して整理すると、
 f(α)−f(β)=(α−β){2(α^2+αβ+β^2)−3(α+β)+4a}
  =(α−β){2(α+β)^2−2αβ−3(α+β)+4a}=27

解と係数の関係より
 α+β=1, αβ=2a/3
これより
 (α−β)^2=(α+β)^2−4αβ=1−8a/3
α−β<0 より
 α−β=−√(1−8a/3)
以上より
 f(α)−f(β)=−√(1−8a/3)・(−1+8a/3)={√(1−8a/3)}^3=27
実数の範囲で解くと、
 √(1−8a/3)=3
 1−8a/3=9
 a=−3
です。
a=3 は誤りです。

No.7611 - 2009/08/25(Tue) 10:38:19

別件ですが / tama
答案では
αが極値を持つ→f(α)=oより
f'(x)=6x^2-6x+4a=0 の解を x=α, β (α<β) とすると、
の後に増減表を書いて
十分性を確認した方がbetterですか?

No.7614 - 2009/08/25(Tue) 18:54:40

訂正 / tama
f'(α)=0です
No.7615 - 2009/08/25(Tue) 18:55:46

Re: 誰か教えてください。 / rtz
増減表まで持ち出さずとも、

3次関数f(x)が極大値,極小値を持つ
⇔f'(x)=0が相異なる2つの実数解を持つ
⇔f'(x)=0の判別式D>0
⇔D/4=9−24a>0
⇔a<3/8

程度で。

No.7618 - 2009/08/25(Tue) 21:58:57
高1 / みかげ
★|x|>a⇔x<-aまたはa<x

★(ax^2)+bx+c>0の解はx<α,β<x
(a>0,α<βのとき)

教科書を見るとこう書かれているのですが、
不等式の解を表記するときの「または」と「,」は何か違いがあるのでしょうか?

No.7600 - 2009/08/24(Mon) 01:33:21

Re: 高1 / BossF
同じです

二次方程式の答え「x=1 または x=2」を「x=1,2」と書くのと同様に数学では「,」を「または」の意味でよくつかいます

参考 論理学の記号では 「または」=「∨」「かつ」=「∧」です ←数学の答案に使っても構わないようです

No.7601 - 2009/08/24(Mon) 04:02:56

Re: 高1 / みかげ
分かりました!
ありがとうございます。

No.7603 - 2009/08/24(Mon) 08:20:41

Re: 高1 / らすかる
「,」は文脈によって「または」になったり「かつ」になったりしますので御注意下さい。

x<1, x>2 → x<1 または x>2 (と解釈される場合が多い)
x<1, y>2 → x<1 かつ y>2 (と解釈される場合が多い)

No.7604 - 2009/08/24(Mon) 15:48:11
質問 / らっしゅ
この掲示板は数学だけでなく物理の質問もOK
なんでしょうか?

No.7594 - 2009/08/23(Sun) 20:32:16

Re: 質問 / ヨッシー
質問すること自体は、OKです。

適切な回答が得られる確率は、数学よりは落ちると思います。

No.7612 - 2009/08/25(Tue) 10:39:41
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