ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 写像の個数 / zambara

M={1,2,3,…,n} (n≧4)とし,MからMの上への写像をfとする.
(1)f○fが恒等写像となるようなfの個数をg(n)とするとき,g(n)をg(n-1),g(n-2),nで表せ.
(2)f○f○fが恒等写像となるようなfの個数をh(n)とするとき,h(n)をh(n-1),h(n-3),nで表せ.

上の問題を自分なりに解いて(1)はg(n)=g(n-1)+(n-1)g(n-2),(2)はh(n)=h(n-1)+(n-1)(n-2)h(n-3)
と出たのですがいまいち自信がありません。どなたか分かりやすくご教授願います。

No.10399 - 2010/05/23(Sun) 18:51:38

☆ Re: 写像の個数 / 我疑う故に存在する我

それでよいと思います。

例えば (1) は g(n) 個のうち、 f(n) = n の場合が g(n-1) 個で、 f(n) = p ≠ n の場合は f(p) = n となるから、(n-1)g(n-2) 個となります。

No.10404 - 2010/05/24(Mon) 17:24:27

☆ Re: 写像の個数 / zambara

ありがとうございます。

No.10405 - 2010/05/24(Mon) 17:39:39

★ (No Subject) / たまごん

初めましてよろしくお願いします。

高校数学の問題で分からないところがありましたので、質問したいと思います

図のように、3つの円A、B、Cが外接し、円Aの半径は2、円Bの半径は4である。また、lは3つの円の共通接線で、P、Q,Rは接点である。このとき、円Cの半径を求めよ。

AとP、AとB、BとQを結び、AからBQに垂線ADをおろして、ADPQが長方形ということから、PQ＝ADということを導き出して、三平方の定理を ABDに適用し、ADを求めるところまでいったのですが、そこから何をどうすればいいのか分かりません。（ここまではヒントを参考になんとかいけました。）

どなたか教えていただけないですか？

よろしくお願いします

図が見にくい場合、以下にアップしておきましたのでご覧下さい。
http://imagepot.net/view/127460037467.jpg

No.10398 - 2010/05/23(Sun) 16:49:34

☆ Re: / ヨッシー

各円の中心をＡ，Ｂ，Ｃとします。
Ａ(0,0)、Ｂ(4√2,2) として、直線ＰＱを、ｙ＝－２とします。
円Ｃの半径をｒ、Ｃの座標を（ｘ、-2+r) とします。
　ＡＣ^2＝ｘ^2＋(r-2)^2＝(2+r)^2
　ＢＣ^2＝(4√2－ｘ)^2＋(4-r)^2＝(4+r)^2
それぞれ整理して、
　ｘ^2＝８ｒ
　(4√2－ｘ)^2＝１６ｒ
よって、
　(4√2－ｘ)^2＝２ｘ^2
０＜ｘ＜4√2 より
　4√2－ｘ＝√2ｘ
　(１＋√2)ｘ＝4√2
　ｘ＝4√2/(１＋√2)＝8－4√2
ｘ^2＝８ｒより
　ｒ＝12－8√2

No.10403 - 2010/05/23(Sun) 23:54:15

★ 求積の問題 / みぃ

問題と解答は画像のとおりです。
(処理が汚くてすいません。)

矢印１：いつの間にこのような計算式に
変換されたのかがわかりません。

矢印２：なぜ範囲がわかったら交点が
わかるのかがわかりません。

よろしくお願いいたします。

No.10394 - 2010/05/23(Sun) 13:46:50

☆ Re: 求積の問題 / ヨッシー

矢印１　合成の公式
　ａsinθ＋ｂcosθ＝√(a^2＋b^2)sin(θ＋α)
　sinα＝ｂ/√(a^2＋b^2), cosα＝a/√(a^2＋b^2)
を使います。
　cos2x＝sin2x　を移項して
　sin2x－cos2x＝０
合成公式より
　√2sin(2x－π/4)＝０
　・・・sinα＝-1/√2, cosα＝1/√2 となる角の１つは -π/4 です。

√2 で割って、sin(2x－π/4)＝０です。

矢印２
交点のｘ座標を求めるために、cos2x＝sin2x を解いているわけですね？
変形して、sin(2x－π/4)＝０まで来ました。
これの解は、
　2x－π/4＝0, π, 2π, 3π・・・
より、
　ｘ＝π/8, 5π/8, 9π/8, 13π/8・・・
など無数にあります。このうち π/8≦ｘ≦5π/8 を満たすのは、
　ｘ＝π/8, 5π/8
です。

No.10395 - 2010/05/23(Sun) 15:25:49

☆ Re: 求積の問題 / みぃ

合成のやり方を
忘れていました(>_<)

両方とも理解できました!
ありがとうございました。

No.10400 - 2010/05/23(Sun) 20:20:25

★ (No Subject) / 静

数学複利法２回目

大至急お願い致します数学複利法

ある年の初めに100万円を借り入れた、翌年から毎年の初めに一定額を返し、ちょうど10回目で返済を完了するためには、毎年の返済金をいくらにすればよいか。ただし、年利率5％の複利法で計算するものとし、1000円未満を四捨五入して答えよ。また、必要があれば、1、05'10＝1、63を用いてもよい。

解説では返済終了時点での価値に注目して式を立てて、まず借り入れたお金100万円は一切返済せずにほうっておいたら、年利率5％の複利法で計算するので10回目の返済時に
10＾6×1、05＾10 (円)
になる。一方Ｋ回目に返済したX円は、10回目の返済時には、それまでに10－Ｋ年間経過しているわけですから、その分の利子がついて
X × 1、05＾10－Ｋ
＝1、05＾10－Ｋ (円)となる
とあるのですがいくら考えてみても理解できません(半日は悩まされました…
誰か分かるかた教えてください
よろしくお願いいたします

ちなみに
http://www.zkai.co.jp/z-style/sukkiri/select.asp?cd=&usr=6551
高校発展コース数学２年
数列1（等差・等比数列）
練習問題H【6】複利法の考え方
からこの問題の解説がみれるのですがなんど読んでもいまいち理解できません。
特に図のところとか謎です・・
誰か分かる方おしえてください。おねがいします；

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail.php?qid=124...
でもすでに質問しなんとなくですが理解できました。
ですがまだ図の意味がわからないのでもう一度こちらに新しく立てました。
どうして1回目の返済分は9年間年利率5%複利で運用されることになっているのでしょうか？
２回目以降もよくわかりません。
最後によろしくおねがいします＞＜

誰か分かる方教えてください；；

No.10389 - 2010/05/23(Sun) 11:30:37

☆ Re: / 静

すみません。私は高２です。この問題は数学Ｂの数列のところです。

No.10390 - 2010/05/23(Sun) 11:31:53

☆ Re: / ヨッシー

毎年ｘ円返すのを、返さずに、銀行口座に年５％で預けておいて、
10年経ったところで、一気に返すと考えます。
返さずに余計についた利息は、銀行に預けた利息と相殺されるので、差し引きゼロです。

１年目に銀行に預けたｘ円は、その先９年預けられるので、
返済時には、ｘ×1.05^9 円になります。
２年目に銀行に預けたｘ円は、その先８年預けられるので、
返済時には、ｘ×1.05^8 円になります。
　・・・
10年目に銀行に預けたｘ円は、その日預けたばかりなので、
ｘ円のままです。
これらを足した
　ｘ(1.05^9＋1.05^8＋・・・＋1.05＋１)
が、返さずに置いておいた、100万円の10年後の元利込みの
　100万×1.05^10
に一致すればいいので、
　100万×1.05^10＝ｘ(1.05^9＋1.05^8＋・・・＋1.05＋１)
となります。

No.10391 - 2010/05/23(Sun) 12:37:11

☆ Re: / ヨッシー

まともに計算すると、
１年にｘ万円ずつ返すとき、
最初　100(万円)
１年後の利息(万円)　100×0.05
１年後の残高(万円)　100×1.05－ｘ
２年後の利息(万円)　(100×1.05－ｘ)×0.05
２年後の残高(万円)　(100×1.05－ｘ)×1.05－ｘ
　　　　　　　　　　＝100×1.05^2－1.05ｘ－ｘ
３年後の利息(万円)　(100×1.05^2－1.05ｘ－ｘ)×0.05
３年後の残高(万円)　(100×1.05^2－1.05ｘ－ｘ)×1.05－ｘ
　　　　　　　　　　＝100×1.05^3－1.05^2ｘ－1.05ｘ－ｘ
　・・・・
10年後の残高(万円)は、
　100×1.05^10－(1.05^9＋1.05^8＋1.05^7＋・・・＋1.05＋1)ｘ
となり、これが０になれば完済なので、
　　100×1.05^10－(1.05^9＋1.05^8＋1.05^7＋・・・＋1.05＋1)ｘ＝０
より
　100×1.05^10＝(1.05^9＋1.05^8＋1.05^7＋・・・＋1.05＋1)ｘ
となり、同じ式になります。

No.10392 - 2010/05/23(Sun) 12:51:19

☆ Re: / ヨッシー

あ、こちらの解法も載ってましたね。

No.10393 - 2010/05/23(Sun) 12:57:12

☆ Re: / 静

ありがとうございました！

No.10408 - 2010/05/24(Mon) 23:57:02

★ 高校入試の問題に関して / ももも

はじめまして
今就活中の者なのですがテストで神奈川の高校の独自入試の問題がでます。

そこで問題を解いていたのですが解けない問題があり、教えていただきたく来ました。

このサイトの
横須賀高校の問４が解けません；

http://www.kanaloco.jp/st/sp/entry_exam_test20100218/

解説していただける方お願いします

また出来たら神奈川の独自入試の解説を行っているサイトを知っていたら教えてください

No.10373 - 2010/05/22(Sat) 13:37:56

☆ Re: 高校入試の問題に関して / ヨッシー

まず(1)です。
展開図を描くと正三角形ＡＣＤと直角二等辺三角形ＣＤＥ
とがくっついたものになります。
Ａ－Ｉ－Ｅが一直線になるときが、長さは最小であり、そのとき
ＡＩ＝2√3、ＥＩ＝２となります。

No.10374 - 2010/05/22(Sat) 14:44:58

☆ Re: 高校入試の問題に関して / ヨッシー

(1) ではなくて(ア)でした。
では、(イ)です。
平面Ｐ上の図を考えると、図のようになります。

メネラウスの定理
　(ＣＪ/ＪＡ)(ＡＨ/ＨＥ)(ＥＫ/ＫＣ)＝１
より、ＣＫ：ＫＥ＝１：２
ＫからＡＢに垂線ＫＬを下ろすと、ＡＬ：ＬＦ＝１：２
以上より、
　ＦＬ＝4/3，ＬＫ＝10/3
三平方の定理よりＫＦ＝2√29/3
また、ＫＧ＝ＫＦ＝2√29/3，
中点連結定理より　ＦＧ＝２

つづく・・・
　

No.10376 - 2010/05/22(Sat) 15:05:00

☆ Re: 高校入試の問題に関して / ヨッシー

すると、△ＦＧＫは、図のようなものになります。
ＦＧの中点をＭとすると、△ＦＫＭにおける三平方の定理より
　ＫＭ＝√109/3
これが、ＦＧを底辺としたときの高さとなり、△ＦＧＫの面積は
　2×√109/3÷2＝√109/3
となります。

No.10377 - 2010/05/22(Sat) 15:10:53

☆ Re: 高校入試の問題に関して / ももも

本当にありがとうございました（＾ｕ＾）

ほんとーに
ほんとーに
助かりました！！！

また質問しにきますｗ

No.10385 - 2010/05/23(Sun) 02:57:58

★ 方程式と連立方程式について / 玉串純一

ヨッシーさま。はじめましてです。早速なんですが質問ですが方程式は「？次方程式」まであるのですか？
ウィキペディアによると「楕円モジュラー関数を用いた解の公式は複雑なため、概略にとどめる。チルンハウゼン変換により、五次方程式は x5 − x − A = 0 と変形される（五次方程式の一般形）。一方、楕円関数の 5 次の変換により得られるモジュラスの 4 乗根は、モジュラー方程式と呼ばれる六次方程式となる。」とあります。「３次～１０次方程式の
略解法　和田　久範【著】近代文芸社（1998年）」という本が出版される以上は十次方程式まであるのでしょうか？
それから連立方程式は一次の連立方程式がほとんどだと思い
ますが「二次式の連立方程式」というのはあるのでしょうか？または「三次以上の連立方程式」というのはあるの
でしょうか？教えてください。
よろしくお願いします。

No.10369 - 2010/05/22(Sat) 06:00:54

☆ Re: 方程式と連立方程式について / 七

ご質問の意図に合っているかどうか分かりませんが
(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)(x-7)(x-8)(x-9)(x-10)(x-11)=0
はxについての11次方程式で解は
x＝1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 です。
ただ,一般の11次方程式に解の公式があるかどうかは知りません。
「二次式の連立方程式」,「三次以上の連立方程式」もあります。

No.10371 - 2010/05/22(Sat) 06:34:39

☆ Re: 方程式と連立方程式について / らすかる

＞方程式は「？次方程式」まであるのですか？
今ちょっと検索しただけで↓2009次方程式が出てきました。
http://micci.sansu.org/suugaku/math-088.htm
作ろうとすればいくらでも高い次数の方程式が作れます。
たとえば x^1000000-1=0（百万次方程式）など。

No.10372 - 2010/05/22(Sat) 12:49:29

☆ Re: 方程式と連立方程式について / 我疑う故に存在する我

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%96%A2%E5%AD%9D%E5%92%8C
ここに、1458次方程式が出て来ます。

x^10000000 = 0 は一千万次方程式です。

No.10380 - 2010/05/22(Sat) 18:25:44

★ 組み合わせの問題 / つよし

高校３年です。次の命題Ｐの証明が分からず悩んでいます。

命題Ｐ「ｐ、ｑ、ｒを任意の自然数とするとき、
Ｓ＝ｒＣｒ＊（ｒ＋１）Ｃｒ＊・・・＊（ｒ＋ｑー１）Ｃｒは
Ｔ＝（ｐ＋ｒ－１）Ｃｒ＊（ｐ＋ｒ）Ｃｒ＊・・・＊
　　　（ｐ＋ｒ＋ｑー２）Ｃｒ
を割り切る」

帰納法ではうまくいかず、組み合わせ論的な解釈も試みましたが、うまいアイディアが出てきていません。どなたか教えていただけないでしょうか。お願いします。

No.10368 - 2010/05/22(Sat) 00:34:03

☆ Re: 組み合わせの問題 / つよし

自分で考えた末、なんとか示すことができましたので、ご報告します。もし考えてくださった方がいらっしゃいましたら、ありがとうございました。

No.10375 - 2010/05/22(Sat) 14:52:44

★ 極限の問題がわかりません・・・ / リオ

次を調べよ
１．lim x→0+0 sin1/x
２．lim x→a sin(x-a)/x^2-a^2
３．lim x→0±0 x[x]

４．Θで場合分けして、lim r→1-0 1-r^2/1-2rcosΘ+r^2
を求めよ。

・・・という問題なのですが、どうやっていいのかわかりません・・・。教えていただけるとありがたいです。

No.10362 - 2010/05/20(Thu) 22:30:05

☆ Re: 極限の問題がわかりません・・・ / BossF

何が分からないかもっと具体的にお願いします

2.4は　θ→0　でsinθ/θ→1 でできます

No.10363 - 2010/05/21(Fri) 01:42:54

☆ Re: 極限の問題がわかりません・・・ / リオ

１.lim x→0+0 sin1／x＝lim t→∞ sint極限なし

２.１／x+a * sin（x‐a）／x‐a →１／2a（a≠0）
a＝0のとき1／x * sinx／x左右の極限が一致しないので極限なし

３.0＜x＜1ではx[x]＝0，‐1＜x＜0ではx[x]＝‐xより、lim x→0±0 x[x]＝0

４.θ＝(偶数×π)のとき、1‐r^2／1‐2r+r^2＝1+r／1‐r→∞
θ≠(偶数×π)のとき、1‐cosθ≠0より、1‐r^2／1‐2rcosθ+r^2→0／2（1‐cosθ）＝0

・・・これが解答なのですが、途中の式の立て方がわかりません。

わかりづらくてすいません…

No.10364 - 2010/05/21(Fri) 08:23:55

☆ Re: 極限の問題がわかりません・・・ / 七

途中式とのことですが
解答に書かれている分だけで十分だと思います。

No.10370 - 2010/05/22(Sat) 06:11:10

★ ガウス関連の問題（極限） / Ｋ

よろしくおねがいいたします。高３極限の問題です。

問題）
実数xに対し　n≦x　を満たす最大の整数ｎを〔x〕で表す。
このとき
１）lim(n→∞）〔e~n〕/e~n　を求めよ。
２）自然数ｎに対して　等式、〔logｋ〕＝ｎが
成立するような整数ｋの個数をｆ(n)とする。
このときlim(n→∞）ｆ(n)/e~n を求めよ。

１）は分かりましたが、２）の解答が理解できません。
解答には
-----------------------------------------
一般に実数ｘに対して〔ｘ〕＝ｎのときｎ≦ｘ＜ｎ＋１
が成り立つので
ｘ＝logｋとおくと
ｎ≦logｋ＜ｎ＋１となる。よって
e~n≦ｋ＜e~n+1　･･･?@

ゆえに、ｋ＝〔e~n〕＋１，〔e~n〕＋２，･･･〔e~n+1〕
よって?@をみたす自然数ｋの個数ｆ(n)は
ｆ(n)＝〔e~n+1〕－{〔e~n〕＋１}＋１
ｆ(n)＝〔e~n+1〕－〔e~n〕
となる。
---------------------------------------
このｋ＝〔e~n〕＋１，〔e~n〕＋２，･･･〔e~n+1〕
がわかりません。
〔e~n〕＋１は整数なのですか？
〔e~n+1〕も含まれるのですか？

考え方を教えてください。よろしくお願いいたします。

No.10355 - 2010/05/20(Thu) 19:12:14

☆ Re: ガウス関連の問題（極限） / Ｋ

n乗の記号を間違えてしまいました。

e~n　→ e~n はeのｎ乗の意味です。
すみませんでした。

No.10356 - 2010/05/20(Thu) 19:24:49

★ 「２」を超えない理由 / √

教えてください。　算数です。

１１９／７５
１２３／７７
１２７／７９
　　　・
　　　・
　　　・
このように、分子が４づつ、
　　　　　　　分母が２づつ、　増えていきます。

すると、この値は限りなくＡに近づき、
　　　　　　　　　　　また、Ａを超えることはありません。

このＡの値（答え）は「２」です。
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

「２」になる理由ですが、

（１１９＋４ｘ∞）／（７５＋２ｘ∞）
となるので、
元の１１９と７５の値が関係無くなってくるので、
（４ｘ∞）／（２ｘ∞）＝２
と考えればよろしいでしょうか？

それと、「２」を超えることは無い
の理由が、よく分からないので教えてください。

よろしくお願い致します。

No.10350 - 2010/05/20(Thu) 14:12:12

☆ Re: 「２」を超えない理由 / らすかる

(119+4×○)/(75+2×○)
=(150+4×○-31)/(75+2×○)
=(150+4×○)/(75+2×○)-31/(75+2×○)
=2-31/(75+2×○)
です。
○が大きくなれば「31/(75+2×○)」の分母が大きくなりますので
「31/(75+2×○)」は小さくなって全体は2に近づきますが、
2は超えませんね。

No.10354 - 2010/05/20(Thu) 18:11:36

☆ Re: 「２」を超えない理由 / √

らすかるさん

分りました。
有り難うございました。

２－（分子）／○
の形にもっていく知恵が私にはありませんでした。

No.10359 - 2010/05/20(Thu) 20:28:14

★ 二次方程式 / りく

問題
x^2-5x+c=0の二つの解の差が1であるとき、cの値は？

答え
6

α＋β=-b/a 　αβ=c/a この式を使うのでしょうか・・？
解き方を教えてください。

No.10349 - 2010/05/20(Thu) 08:49:17

☆ Re: 二次方程式 / rtz

それら(解と係数の関係)に加えて
(α-β)^2＝(α+β)^2-4αβ を使います。

この式はこの先しょっちゅう出てきますので、
覚えておくとよいでしょう。

No.10351 - 2010/05/20(Thu) 15:32:57

☆ Re: 二次方程式 / りく

rtzさんありがとうございます。
（解と係数の関係）をどう使うのかまだわかっていません。
α＋β=5　　αβ=c ...？

No.10353 - 2010/05/20(Thu) 17:20:27

☆ Re: 二次方程式 / ToDa

>二つの解の差が1である

との事なので、この2解をk,k+1とでもすれば、
k+(k+1) = 5 なので2解は2,3と分かります。あとはすぐですね。

No.10358 - 2010/05/20(Thu) 19:43:53

☆ Re: 二次方程式 / rtz

私の方針で続けるなら
α-β＝±1ですから(α-β)²＝1ですので、cが求まります。

ただ、ToDaさんの方針の方が速いですね。

No.10360 - 2010/05/20(Thu) 20:46:57

☆ Re: 二次方程式 / りく

ToDaさん、rtz さんアドバイスありがとうございました。
理解できました。

No.10361 - 2010/05/20(Thu) 21:33:14