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★ 集合論 / ちゅり
ある集合に含まれる2k個の要素をk個の非順序対に分ける方法は、積の法則より
(2k-1)(2k-3)……5・3・1
通りある。

なぜこうなるかがわからないので教えてください。
No.10046 - 2010/03/25(Thu) 18:08:39
☆ Re: 集合論 / らすかる
2k個の中の特定の要素（例えば“最大の”要素）に注目すると、
それと対になる要素は2k-1通りです。
残りの2k-2個の中の特定の要素と対になるものは2k-3通り、
残りの2k-4個の中の特定の要素と対になるものは2k-5通り、
・・・
となりますので、全体では (2k-1)(2k-3)・…・5・3・1 通りとなります。
No.10049 - 2010/03/25(Thu) 22:06:12
☆ Re: 集合論 / ちゅり
なるほど！　ありがとうございます。　あと、

2kＣ2・2k-2Ｃ2・2k-4Ｃ2・・・・・・4Ｃ2・2Ｃ2

通りではだめですかね。
No.10052 - 2010/03/26(Fri) 12:50:24
☆ Re: 集合論 / ヨッシー
{2kＣ2・2k-2Ｃ2・2k-4Ｃ2・・・・・・4Ｃ2・2Ｃ2}/k!
ならいいですね。

k=2 のときで考えれば、わかると思います。
No.10055 - 2010/03/26(Fri) 14:42:35
☆ Re: 集合論 / ちゅり
確かに同じになりました！
お２人ともありがとうございました。
No.10056 - 2010/03/26(Fri) 21:22:12
☆ Re: 集合論 / ヨッシー
「確かに同じになりました！」が、ちょっと引っかかったので。

計算結果が同じだというだけでなく、なぜ ｋ！ で割らないといけないかを
理解してくださいね。
No.10060 - 2010/03/27(Sat) 09:17:51
★ 高校生です / zabu
数列｛A(n)},2A(1)=x>0,2A(n+1)=(A(n))^2+1

１）x≠２⇒A1<A2<A3＜・・・＜An＜・・・


２)x＜２⇒A(n)<1

このとき正数εを１−（ｘ/2）より小となるように取って
A1,A2,・・・、Anまでが１−ε以下となったとすれば
個数ｎについて２−ｘ＞ｎε＾２を示せ

という問題を友達に出されたのですが、
これは高校の範囲で解けるのでしょうか？
大学の知識でもいいのでどういう方針だとか、
また、どこが出した問題なのか（数学オリンピックなど）
些細なことでもいいので、何か情報をください＞＜
よろしくお願いします。

（示し方が分かるのでしたらなお、うれしいですが）
No.10043 - 2010/03/25(Thu) 12:16:49
☆ re / だるまにおん
ぜんぶ高校の範囲でとけるとおもいます。

(1)
・x≠2⇒A[1]＜A[2]＜A[3]＜…
帰納法ですぐにわかります。

(2)
・x＜2⇒A[n]＜1
帰納法ですぐにわかります。

・個数nについて2-x＞nε^2
n=1のときは、あたりまえです。
n≧2のとき、A[n]=A[1]+?納k=1,n-1](A[k]-1)^2/2
それゆえ、1-ε≧x/2+(n-1)ε^2/2
ちょっといじれば、2-x＞nε^2
No.10045 - 2010/03/25(Thu) 15:01:41
★ 証明について / レッド
どうしても、証明の問題を間違えてしまいます。
どこから解いていいのか分からなくて、困っています。

証明を解くコツを教えてください。
No.10042 - 2010/03/25(Thu) 07:21:01
☆ Re: 証明について / フリーザ
抽象的な質問なので難しいと思いますよ
No.10044 - 2010/03/25(Thu) 12:30:26
☆ Re: 証明について / うう
> 証明を解くコツを教えてください。

模範解答を丸写しすることがひとつの方法
No.10151 - 2010/04/22(Thu) 01:11:55
★ 複素数平面　数学?U / さとう　ひとみ
Z=cosθ+isinθ（0≦θ＜2π）のとき、
［z+(1/iz)］（←絶対値です）の最小値を求めよ。

という問題なのですが、解説で
［z+(1/iz)］＝［(iz^2+1)/iz)］＝［iz^2+1］と変形されていました。ここから先の解説は分かったのですがこの式の変形が分かりません。
　　
もし他の解き方があれば教えてください。
No.10040 - 2010/03/24(Wed) 19:02:57
☆ Re: 複素数平面　数学?U / rtz
|(iz2+1)/iz|＝|(iz2+1)|/|i||z|＝|iz2+1| (∵|i|＝|z|＝1)
です。
No.10041 - 2010/03/24(Wed) 19:08:03
★ 数学?V　積分方の応用 / シーブック
一辺の長さ2aの立方体の中心をOとする。この立方体の表面および内部の点Pで、OPの長さがPから正方形の各面におろした垂線の長さより長くないという条件を満たすもの全体が作る立体の体積Ｖを求めよ。

回転体だと思って、xz平面で考えて、P(s,t)に対して、OP＜1-s、OP＜1-tの領域を求めて計算しているんですが、なんどやっても答えが合いません。正しい解き方が分からないです。詳しく教えてください。どうかお願いします。
No.10038 - 2010/03/23(Tue) 23:50:19
☆ Re: 数学?V　積分方の応用 / ヨッシー
「答えが合いません」ということは、正しい答えがあるわけですね？
No.10054 - 2010/03/26(Fri) 14:05:31
☆ Re: 数学?V　積分方の応用 / シーブック
答えといっても数値のみで、”(10-9√3+2π)a^3”となっています。途中の過程もヒントも何もわからないです。
πが入っていない項があるということは、回転体ではないということなのでしょうか？
z軸に垂直な平面での切り口も考えてみましたが、円弧の一部分が出てくるなどで、積分計算できない感じです。xやyに変えても同じことでした。
断面を考えても無駄、回転体でもない、でもうお手上げです。
どうしたらよいでしょうか。詳しく教えてはもらえませんか。お願いです！
No.10061 - 2010/03/27(Sat) 22:57:47
★ (No Subject) / なつ
お願いします
nを自然数とするとき
不等式
∫x^n/(1-x)dx≦2^-n/(n＋1
)を証明せよ
（∫は定積分で0から1/2)

見にくくてごめんなさい

私的には帰納法で解くと思うんですが
どうやってすればいいのか
わかりませんorz
解き方を教えてください。
No.10037 - 2010/03/23(Tue) 23:12:41
☆ Re: / フリーザ
この手の問題は帰納法ではなくインテグラルの中の関数を簡単な関数で評価します。
a≧ｂで　f(x)≧g(x)ならば
∫f(x)dx≧∫g(x)dx　になることを使います
(積分区間はa≧b)
また逆はもちろん成り立ちません。
感覚的には、ある関数fが関数gよりa≧bで大きければx軸と囲まれた面積も当然fで囲まれたほうが大きいということです。

さて評価ですが積分計算が簡単に行なえる形に持ち込むのが課題です。そこで分母の1-xを簡単に(証明すべき式の不等号に注意して関数を大きく評価します）しようと思い

0≦x≦１/2で

(1-x)≧1/2より
1/(1-x)≦2となるので
x^n/(1-x)≦2x^nです
したがって
∫x^n/(1-x)dx≦∫2x^ndx
この不等式の右辺はすぐに計算できますね。
それで目標となる不等式を得ます
No.10039 - 2010/03/24(Wed) 00:02:16
★ クリアー数学演習　割り算 / しぇぱーど
初めまして。
新高3のしぇぱーどと言います。

整式Pをx−1で割ったときの余りが5、
(x−1)^2で割ったときの余りがx−8であるとき、
Pを(x−1)(x＋1)^2で割ったあまりを求めよ。

という問題なのですが、
Hintに
『求める余りは二次以下の多項式または0で
c(x＋1)^2＋x−8と表される。』

とあるのですが、Hintの後半の式
がよくわかりません。
解説をしていただけますか。
No.10034 - 2010/03/22(Mon) 17:14:07
☆ Re: クリアー数学演習　割り算 / rtz
余りは2次以下ですから、cx2+bx+aとおけますが、
この式を(x-1)2＝x2-2x+1で割ると、
2次の係数から商はcになり、また余りは問題文よりx-8です。

よって、この余りは、
cx2+bx+a＝c(x-1)2 + (x-8)
とも表されます。

別に一般の2次式でもいいのですが、文字が1つに減り、
かつ剰余の定理を用いてすぐに答えが出るという利点があります。
No.10035 - 2010/03/22(Mon) 17:34:40
☆ Re: クリアー数学演習　割り算 / しぇぱーど
ナルホド、そういうことだったんですか。
スッキリしました。
ありがとうございます!!
No.10036 - 2010/03/22(Mon) 21:16:55
★ 確率 / Ton
１から１２の１２枚の番号札がある
３枚を１度に取り出すとき
（１）最大数が８以下で最小数が３以上の確率
　　１２C３＝２２０
　　　３〜８のなかから３つ選べばいいので
　　　　６C３＝２０
　　２０／２２０＝１／１１

（２）がやり方わかりません
　最大数が９以上で最少数が２以下である確率

これを教えてください
No.10030 - 2010/03/21(Sun) 10:30:14
☆ Re: 確率 / ヨッシー
(1) の確率をＡ
最大数が８以下、最小数が１以上の確率をＢ
最大数が１２以下、最小数が３以上の確率をＣ
とすると、１−Ｂ−Ｃ＋Ａ が求める確率になります。
No.10031 - 2010/03/21(Sun) 22:06:51
☆ Re: 確率 / Ton
32/55であってますか？
No.10032 - 2010/03/21(Sun) 23:48:18
☆ Re: 確率 / ヨッシー
(220-56-120+20)/220＝64/220＝16/55 のはず。

最小、最大について、書き並べてみると
最小１，最大９　７通り
最小１，最大10　８通り
最小１，最大11　９通り
最小１，最大12　10通り
最小２，最大９　６通り
最小２，最大10　７通り
最小２，最大11　８通り
最小２，最大12　９通り　の６４通りです。
No.10033 - 2010/03/22(Mon) 07:13:06
★ 立方体の頂点 / 西田
xyz空間内の1辺の長さ1の立方体OABC-DEFGについて考える。
Oを原点、Fを(√3,0,0)におく。このとき、残りの頂点について、B、Dをxy平面上に来るようにおくとき、残りの頂点を求めなさい。ただしDのy座標は正とする。

B(2/√3,-√2/√3,0)、D(1/√3,√2/√3,0)の2点は何とか求められましたが、ここから先がさっぱり分からないです。図のイメージも湧かないです。
どうやればよいのでしょうか。教えてください。お願いします。
No.10024 - 2010/03/20(Sat) 22:01:50
☆ Re: 立方体の頂点 / ヨッシー
ＢとＤがわかっているので、
Ｂをｘ軸周りに120°回転した点がＧ、-120°回転した点がＥ。
Ｄをｘ軸周りに120°回転した点がＡ、-120°回転した点がＣ。
となります。


No.10025 - 2010/03/21(Sun) 00:55:44
☆ Re: 立方体の頂点 / rtz
OBDFがxy平面上にあるから、
面OABCや面DEFGはxy平面と垂直に交わる。

このことから、
A,Cからxy平面上におろした垂線の足は、OBの中点と一致する。
E,Gも同様。
No.10026 - 2010/03/21(Sun) 00:57:41
☆ Re: 立方体の頂点 / 西田
早速の御回答ありがとうございます。
ヨッシー様のごヒントを参照に残りの座標を計算したら、

A(√2/2√3,-√2/2,0)
C(√2/2√3,√2/2,0)
G(-√2/2√3,√2/2,0)
E(-√2/2√3,-√2/2,0)

となりましたが、この結果はあっていますでしょうか。

それと再度質問ですが、
『Ｂをｘ軸周りに120°回転した点がＧ、-120°回転した点がＥ。
Ｄをｘ軸周りに120°回転した点がＡ、-120°回転した点がＣ。』
こうなる理由が分からないです。どうやって見つけられたのでしょうか。その過程をもう少し教えていただけないでしょうか。お願いします。


rtz様
『面OABCや面DEFGはxy平面と垂直に交わる。』
これは間違っていませんでしょうか。自分の図が間違っているのかもしれませんが…
No.10027 - 2010/03/21(Sun) 01:43:48
☆ Re: 立方体の頂点 / rtz
あ、ホントですね。
思いっきり考え違いをしていました。
申し訳ありません、私の分は忘れてください。
No.10028 - 2010/03/21(Sun) 04:22:51
☆ Re: 立方体の頂点 / ヨッシー
上に貼り付けた図の、上の方向（点Ｏと点Ｆが重なる方向）から見ると、
点Ｆから辺ＦＢ、辺ＦＥ、辺ＦＧがそれぞれ、均等な方向に伸びています。
よって、対角線ＯＦ(ｘ軸)を中心に120°ずつの関係になります。
どちらが120°で、どちらが-120°かは、図を描いて判断するのが
良いでしょう。
No.10029 - 2010/03/21(Sun) 05:20:54
★ おはようございます / あみ
次の問題がよくわかりません。途中までは考えてみたのですが、とらえ方もあっているのかどうかわからなくなってしまったので、教えてください。

整数の書かれた20枚のカードが横一列に並んでいます。左端のカードには１が書かれており、右に行くほど数は大きくなり、となりどうしのカードに書かれた数の差は３か８です。また、奇数の書かれたカードと偶数の書かれたカードは10枚ずつあります。

?@　奇数の書かれたカードと偶数の書かれたカードが交互に並んでいるとき、右端のカードに書かれている数は何ですか。
　　　奇数と偶数が交互に並ぶので、差が８で並ぶと、２番目が９(奇数)となるから、ダメだと考えました。差が３なら、右端は58になると思います。

?A　となりどうしの差が１か所だけ３になるとき、左から12枚目のカードに書かれている数は何ですか。
　　　この問題からよくわからなくなってきました。差が３になると、偶数にかわるのですかね？10枚目までは奇数と考えていいのでしょうか？そうすると、84になるとは思うのですが…。考え方が合っているのか全く自信がありません。

?B　となりどうしの差が２か所だけ３になり、書かれている数のうちもっとも大きい偶数ともっとも小さい偶数の和が112のとき、もっとも大きい偶数が書かれたカードは左から何枚目にありますか。
　　　まったくわかりません。どういうことなのか想像ができません。
No.10020 - 2010/03/20(Sat) 07:55:47
☆ Re: おはようございます / ヨッシー
ポイントは３が奇数、８が偶数と言うことです。

３か８か考える前に、奇数を並べたいか、偶数を並べたいか
を考えましょう。
たとえば、
　奇偶偶偶偶偶奇奇奇奇・・・
と並べたいとして、奇→偶　または　偶→奇　となっている部分は、
３を足し、奇→奇　または　偶→偶　となっている部分は
８を足せばいいのです。

(1)左端は奇数なので、
　奇偶奇偶奇偶奇偶奇偶奇偶奇偶奇偶奇偶奇偶
で、すべて３を足したことになります。よって、
　１＋３×１９＝５８
で正解です。

(2)
３が１カ所で、奇数偶数１０個ずつなので、
　奇奇奇奇奇奇奇奇奇奇偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶
となり、１２枚目は
　１＋８×９＋３＋８＝８４
で正解です。

ここまで、考え方は合っていますね。

(3)
２カ所３なので、１回偶数になって、また奇数になって終わるパターンです。
つまり、
　奇偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶奇奇奇奇奇奇奇奇奇
　奇奇偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶奇奇奇奇奇奇奇奇
　奇奇奇偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶奇奇奇奇奇奇奇
　奇奇奇奇偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶奇奇奇奇奇奇
　奇奇奇奇奇偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶奇奇奇奇奇
　奇奇奇奇奇奇偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶奇奇奇奇
　奇奇奇奇奇奇奇偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶奇奇奇
　奇奇奇奇奇奇奇奇偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶奇奇
　奇奇奇奇奇奇奇奇奇偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶奇
のどれかです。
一番小さい偶数と、一番大きい偶数の差は８×９＝７２
なので、和差算より、一番小さい偶数は
　(１１２−７２)÷２＝２０
すると、その左は１７，９，１ となり、２０は４番目
一番大きい偶数である９２は、１３番目となります。
No.10021 - 2010/03/20(Sat) 09:04:37
☆ Re: おはようございます / あみ
大変詳しくありがとうございました。よくわかりました。
No.10023 - 2010/03/20(Sat) 18:29:10
★ 中学入試問題 / まお
おはようございます。次の問題の最後の問題がわかりません。教えてください。

直方体の大きな水そうＡ、Ｂ、Ｃがあり、底面積は、ＢはＡと等しく、ＣはＡの３倍です。ＡとＢには水が入っていて、その水を同時にポンプでくみ出してＣに入れます。ＡとＢからくみ出される水の量の比は７：５です。水そうの底から水面までの高さを水位を求めなさい。ただし、最初のＡとＢの水位は200?pで、Ｃには水は入っていないものとします。

?@　Ａの水位が158?pになるときのＣの水位
　　　ＡとＢの下がった水位分Ｃに入ったと考えたら、24?pになりました。

?A　ＡとＢの水位の比が９：10になるときのＢの水位
　　　Ｂの水位が❶下がったと考えて、ＡとＢの水位の比を考えたら、Ｂは40?p下がったので、水位は160?pとなるような気がします。

?B　Ｃの水位がＡの水位よりも31?p高くなるときのＡの水位
　　　すみません。これがわかりません。お願いします。
No.10018 - 2010/03/20(Sat) 06:59:34
☆ Re: 中学入試問題 / ヨッシー
(1) の結果から、
Ａで下がった水位と、Ｃで上がった水位の比は７：４です。
最初は、Ａの方が200cm高くて、それが逆転して、Ｃが31cm
高くなります。
（ここからは旅人算の考え方と同じです)
231cm を、７：４で分けると、147cm と 84cm となり、
Ａは147cm分減ったことになり、水位は 53cm です。
No.10019 - 2010/03/20(Sat) 07:29:15
☆ Re: 中学入試問題 / まお
ヨッシーさん、ありがとうございました。よくわかりました。旅人算ですかあ、そこまで頭がまわりませんでした。類題をチェックしてみようと思います。
No.10022 - 2010/03/20(Sat) 12:49:56
★ 小学生です / なつき
次の問題の解き方がわかりません。教えてください。

ボールを仕入れ値の６割増しで売りました。仕入れた数の半分より80個多く売れたところで、そこまでの売り上げの合計が、仕入れるのにかかった金額と同じになりました。仕入れたボールは何個ですか。方程式を使わずにときなさい。
No.10008 - 2010/03/18(Thu) 20:35:03
☆ Re: 小学生です / ヨッシー
売れた分をもし仕入れた値段と同じ値段で売ったら、
その金額は、仕入れた金額の
　１÷１．６＝0.625
です。そこから、半分を引いた 0.125 が80個に当たるので、
仕入れた数は、
　80÷0.125＝640(個)
となります。
No.10010 - 2010/03/18(Thu) 20:44:40
☆ Re: 小学生です / なつき
ありがとうございます。問いが、ボールの個数だったので、頭を悩ませてしまいました。最初の仕入れ値を１とおいて、売値を1.6とすればよかったんですね。もし…仕入れたままの値段で売ったならばの発想ができませんでした。がんばって勉強を続けていこうと思います。ありがとうございました。
No.10012 - 2010/03/18(Thu) 21:05:26
★ 分数 / yuki
分子が分母より２大きい、もうこれ以上約分できない分数があります。分母だけ60大きくすると、約分できない分子が１になりました。最初の分数はいくつになりますか。

この問題は、分母と分子の差が２になるということだと思うのですが…よくわかりません。どうすればいいのでしょうか？教えてください。
No.10007 - 2010/03/18(Thu) 20:17:19
☆ Re: 分数 / yuki
すみません、一部間違えました。
約分できない分子が１に　→　約分できて分子が１に
No.10009 - 2010/03/18(Thu) 20:36:39
☆ Re: 分数 / ヨッシー
約分する前は、分母が分子より58大きい分数になっていて、
分子は４以上と考えられます。
これを約分して分子が１になるので、５８は分子で割りきれます。
よって、分子は２９か５８。

元の数は、29/27 か 58/56 ですが、58/56 はさらに約分できるので、
答えは 29/27 です。
No.10011 - 2010/03/18(Thu) 20:50:24
☆ Re: 分数 / yuki
ありがとうございます。よくわかりました。
No.10016 - 2010/03/18(Thu) 22:01:38
★ (No Subject) / ぽこ
ｎは自然数である。このときN＝ｎ(7n-5)となるNの正の約数の個数が１０個となるようなNを全て求めよ

の答えが分かりません。Nが２以上となるのは分かるのですが・・
No.10005 - 2010/03/18(Thu) 15:21:20
☆ Re: / BossF
a,bをprime(=素数)とすると

N=ab ⇒約数は　1,a,b,N　の4個
N=a^2⇒約数は　1,a,N　の3個

では約数が10個とはどんな形なのか考えてみてください
No.10006 - 2010/03/18(Thu) 18:44:31
★ 数学B　ベクトル / あかり（高１）
ベクトル 神戸大

http://www.densu.jp/kobe/06kobelprob.pdf#search

２００６年神戸大学の大問１のベクトルの問題の（２）の解答で、

「ODの中点をAとして、Dを定義すると」とありますが

なぜこのように定義できるのでしょうか？図形的性質でもあるのでしょうか？

また、よくベクトル問題を解いてるときに

「中点をMとすると」や「重心Ｇとすると」など解答の中で定義しているものがありますが、これらは今回の問題も含めて
なにかコツがあるのでしょうか？


そこさえわかればと言う感じです・・・

誰か、なぜこのように定義できるのか分かる方

理解力のない私にも理解できるよう解説してください。

よろしくお願いいたしますm（_ _）m
No.10001 - 2010/03/18(Thu) 00:37:36
☆ Re: 数学B　ベクトル / 七
「ODの中点をAとして、Dを定義する」
というのは単に
「OAのAの向きへの延長上にOD＝2OAとなる点Dをとる」
というほどの意味です。

問題を解くのに好都合であればこういう点を想定したり,
補助線などを考えたりするのは自由です。
No.10003 - 2010/03/18(Thu) 07:07:00
☆ Re: 数学B　ベクトル / あかり（高１）
回答ありがとうございます(*´ω｀*)
ということは、ＡＤ＝５ となるようにＤをとって計算しても
同じ結果が得られるということですよね？
ですが、何度計算してもAD＝５だと同じ答えになりません・・・

最後にこれだけ教えてください・・・
お願いします！
No.10004 - 2010/03/18(Thu) 11:33:58
☆ Re: 数学B　ベクトル / ヨッシー
ＡＤ＝２と取った場合
前半の答えより
　ｐ＝ｔ(ａ/2＋ｂ/3)　・・・(1)
また、
　ＡＰ＝ｓ(ＡＤ/2＋ＡＢ/4)
　　＝ｓ{ａ/2＋(ｂ−ａ)/4}
　　＝ｓ(ｂ＋ａ)/4
より
　ｐ＝ａ＋ＡＰ
　　＝(ｓ/4＋１)ａ＋(s/4)ｂ　・・・(2)
(1)(2) より、
　ｓ＝８，ｔ＝６
となり、
　ｐ＝３ａ＋２ｂ

ＡＤ＝５ と取った場合
前半の答えより
　ｐ＝ｔ(ａ/2＋ｂ/3)　・・・(1)
また、
　ＡＰ＝ｓ(ＡＤ/5＋ＡＢ/4)
　　＝ｓ{(5/2)ａ/5＋(ｂ−ａ)/4}
　　＝ｓ(ｂ＋ａ)/4
(以下同じです)
No.10015 - 2010/03/18(Thu) 22:01:25
☆ Re: 数学B　ベクトル / あかり（高１）
ありがとうございました！
理解できました(*´ω｀*)
No.10017 - 2010/03/19(Fri) 00:35:54
★ 高１　数?U / あつき
よろしくお願いします。

x^2＋y^2＋x^2 ＝1のとき、x＋2y＋3zの最大値と最小値を求めよ。

宿題なのですが、わからなくて困っています。
No.9988 - 2010/03/16(Tue) 23:04:23
☆ Re: 高１　数?U / ヨッシー
x^2＋y^2＋x^2 ＝1 は x^2＋y^2＋z^2 ＝1 の間違いだとして、
これは、原点中心半径１の球面を表します。
また、x＋2y＋3z＝k とおくと、これは、平面の式を表し、
原点との距離は、|k|/√14 で表されます。
この平面が、上記の球と交点を持ちつつ、原点から最も
離れたときが、最大と最小になります。
つまり、原点からの距離が１（＝球の半径)の時が、最大・最小です。
よって、ｋ＝√14 が最大、ｋ＝−√14 が最小です。
(1/√14, 2/√14, 3/√14) のとき最大
(-1/√14, -2/√14, -3/√14) のとき最小となります。
No.9992 - 2010/03/17(Wed) 00:17:39
☆ Re: 高１　数?U / X
別解)
コーシ・シュワルツの不等式により
(1^2+2^2+3^2)(x^2+y^2+z^2)≧(1・x+2・y+3・z)^2 (A)
(等号成立はx:y:z=1:2:3つまりx=y/2=z/3 (B)のとき)
(B)に
x^2+y^2+z^2=1
を代入して
14≧(x+2y+3z)^2
∴-√14≦x+2y+3z≦√14
よってx+2y+3zの最大値は√14,最小値は-√14となります。
それぞれの場合のx,y,zの値ですが
x+2y+3z=√14,-√14
を(B)と連立して解くことで得られます。
No.9993 - 2010/03/17(Wed) 00:29:10
☆ Re: 高１　数?U / あつき

ヨッシーさん、Xさん、たいへんわかりやすい解説、ありがとうございました。
No.9996 - 2010/03/17(Wed) 01:10:32
★ 図形の問題 / まりな
次の問題が途中までしか想像できませんでした。空間の想像がうまくできないので、イメージがつくようにポイントを教えてください。

たて８?p、横10?p、高さ12?pの直方体の形をした木材があります。

?@　この木材を真上から、図１の斜線部分をまっすぐに下の面までくり抜いて穴をあけました。次に真正面から、図２の斜線部分をまっすぐに裏の面までくり抜いて穴をあけました。穴をあけた後の木材の体積を求めなさい。
　　　これは２段階に分けて考えました。木材の体積は、960?p³。最初にくり抜かれるのは、288?p³。次に、さらにくり抜かれるのは、64?p³。なので、穴をあけた後の木材の体積は、608?p³だと思います。

?A　?@のように穴をあけた後、さらに右側の面から、図３の斜線部分をまっすぐに左側の面までくり抜いて穴をあけました。穴をあけた後の木材の体積を求めなさい。
　　　これがわかりません。?@の後にさらにくり抜かれるのは…と考えていたら、ぐちゃぐちゃになってしまいました。
No.9986 - 2010/03/16(Tue) 21:31:35
☆ Re: 図形の問題 / ヨッシー
図1，図2，図3の穴を、それぞれＡ，Ｂ，Ｃとします。
Ａの体積をａ、Ｂの体積をｂ、Ｃの体積をｃ、
ＡとＢの共通部分の体積をｄ
ＢとＣの共通部分の体積をｅ
ＣとＡの共通部分の体積をｆ
ＡとＢとＣの共通部分の体積をｇ
とすると、
　ａ＋ｂ＋ｃ−ｄ−ｅ−ｆ＋ｇ
が穴全体の体積、９６０から引いたものが、残った木材の体積となります。
No.9997 - 2010/03/17(Wed) 06:28:22
☆ Re: 図形の問題 / まりな
ヨッシーさん、ありがとうございます。この問題の答えは544?p³になりますかね？順番に重なるところを考えていけばいいのですね…。
No.9998 - 2010/03/17(Wed) 12:01:31
☆ Re: 図形の問題 / ヨッシー
はい、正解です。
No.10013 - 2010/03/18(Thu) 21:23:24
★ 小学生の速さの問題です / まお
次の問題がよくわからないので、教えてください。

太郎君はマラソン大会の練習のために、池のまわりを何周もまわることにしました。太郎君は５分間走っては２分間歩き、また５分間走っては２分間歩く、ということを何度もくりかえします。ただし、太郎君が走るときの速さと歩くときの速さはそれぞれ一定です。太郎君がスタート地点から走りはじめると、１周目は10分、２周目は10分30秒かかりました。

?@　太郎君が走るときの速さと歩くときの速さの比を、最も簡単な整数の比で答えなさい。
　　　１周目は８分走って２分歩く。２周目は７分走って3.5分歩く。速さの比はかかる時間の比の逆比なので、走るときと歩くときの速さの比は、３：２かなと思います。

?A　３周目は何分何秒かかるか答えなさい。
　　　これは、?@の答えから、池のまわりを何かにおけないといけないのですかね？３周目が終わるときは走っているときのような気はするのですが…。よくわからなくなってしまいました。

?B　池のまわりを何周もまわるとき、１周するのに最大で何分何秒かかるか答えなさい。また、何周目ではじめてその時間がかかるか答えなさい。
　　　１周するのに長く時間がかかるということは、歩きの時間ができるだけ多くなればいいとは思うのですが…どうしていいのかがわかりません。
No.9985 - 2010/03/16(Tue) 21:07:58
☆ Re: 小学生の速さの問題です / ヨッシー
(1)３：２ で正解です。
(2)１分間に進む距離を、走る、歩くを[3][2] とおくと、
　池１周は [3]×8＋[2]×2＝[3]×7＋[2]×3.5＝[28]
すると、３週目は、
歩き[1]走り[15]歩き[4]走り[8] で、[28] となり、時間は、
0.5＋5＋2＋8/3＝30.5/3＝61/6(分)
(3)
[15][4][15][4][15][4]・・・
を、最初から、[28]ずつ切っていって、
[4][15][4] を含んで、前後に合わせて[5] をつければいいので、
[28] の倍数で、[19]で割って、余りが[10]から[15]になる数を
探して、その位置から、[28]進めば、時間は最大になります。
[28]＝[19]＋[9] であるので、
[9] をスタートして、[9]を足すか[10]を引いていくと、
[9][18][8][17][7][16][6][15] で、余りが[15] になり、
[28]×８＝[224]＝[19]×11＋[15]
となり、９週目に、歩き[4]走り[15]歩き[4]走り[5]となり、
時間は、２＋５＋２＋5/3＝32/3(分) かかります。
No.9987 - 2010/03/16(Tue) 21:31:40
☆ Re: 小学生の速さの問題です / まお
ヨッシーさん、ありがとうございます。よくわかりました。いつもどちらかを１とおくことばかりに慣れていたので…。
No.10000 - 2010/03/17(Wed) 23:16:31
★ 数列 / ﾜﾜﾜﾜｯｼｮｰｲ
数列の問題です。

「一般項が4n-1である等差数列を｛An｝、
一般項が5n-1である等差数列を｛Bn｝する。
｛An}と｛Bn}に共通に現れる数を小さい順に並べてできる
等差数列｛Cn}の初項と交差を求めよ。
また200以下の整数のうち｛Cn}に含まれる数の和を求めよ。」

この問題は書き出して求めるしかないのですか？
他の解き方があるなら教えてください。
No.9984 - 2010/03/16(Tue) 20:11:14
☆ Re: 数列 / X
{A[n]}の第k項と{B[n]}の第l項が等しくなっているとすると
4k-1=5l-1
∴4k=5l (A)
ここで4と5は互いに素ですので(A)は4と5の公倍数でなければなりません。
∴4k=5l=20m (mは自然数)
これより
k=5m,l=4m
となりますので
A[k]=B[l]=20m-1
∴C[n]=20n-1
ですので{C[n]}の初項は19,公差は20となります。

後半の数の和の計算はよろしいですね。
No.9995 - 2010/03/17(Wed) 01:07:33
☆ Re: 数列 / ﾜﾜﾜﾜｯｼｮｰｲ
ありがとうございます。
よくわかりました。
No.10002 - 2010/03/18(Thu) 01:07:30
★ 図形と方程式 / 葉月
不等式
pq≦1-2s
s≧|(p-q)/2|
pr≦1-2t
t≧|(p-r)/2|
-1≦p≦1,-1≦q≦1,-1≦r≦1
に対して、s+tの最大値を求めなさい。

解答では、qとrをxに、sとtをyに置き換えて考えよ、と書かれているんですが、なぜそのようにするのかがわからないです。やり方を教えてください。よろしくお願いします。
No.9983 - 2010/03/16(Tue) 17:32:09
☆ Re: 図形と方程式 / rtz
図示のときに分かりやすいからです。

別に分かるのであれば、qs平面,rt平面に図示、でも構いません。
でも今までxy平面で問題を解いてきていますよね。
そのためです。

もっと言えばpをaやkとすれば、変数aかkを含んだx,yの関係式になりますね。
上2つはpとq,sだけ、下2つはpとr,tだけということに気づけば、
ヒントの趣旨も理解できるでしょう。
No.9989 - 2010/03/16(Tue) 23:20:26
☆ Re: 図形と方程式 / 葉月
いくら考えてもわからないです＞＜
＞図示のときに分かりやすいからです。
qとrって違う文字ですよね。何で違う文字をひとくくりに同じ文字xで現してもいいのですか。ここのところがさっぱりですTT
No.10014 - 2010/03/18(Thu) 21:45:48
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