ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 確率 / みゆ

1.
1､2､3､4､5の数字がそれぞれ1つずつ書かれた5個の赤玉と6､7の数字がそれぞれ1つずつ書かれた2個の白玉がある｡これらの7個の玉から何個かを取り出し､横一列に並べる｡

(1)7個の球すべてを一列に並べる｡左の5個が赤玉で右の2個が白玉である並べ方は全部で何通りあるか｡また､白玉が隣り合っている並べ方は全部で何通りあるか｡
(2)6個の球を一列に並べる｡両端が赤玉である並べ方は全部で何通りあるか｡
(3)5個の球を一列に並べる｡赤玉と白玉が交互に並ぶ並べ方は全部で何通りあるか｡また､白玉の両隣が赤玉である並べ方は何通りあるか｡

式と解答をお願いします!!

No.9493 - 2010/01/21(Thu) 10:51:04

★ お世話になります。 / 円錐

○○錐の体積を求める時に、1/3をする理由を簡単に証明しなさい。

中学１年生レベルでもわかるようなやり方をお願いします。

No.9490 - 2010/01/20(Wed) 22:25:37

☆ Re: お世話になります。 / 我疑う故に存在する我

確か（正確な記憶はないが）
http://www.nn.iij4u.or.jp/~hsat/
のサイトの何処かに分かり易い図が書いてあったと思うので、
http://6321.teacup.com/phaos/bbs
で質問してみる事をお薦めします。

No.9502 - 2010/01/21(Thu) 23:03:35

☆ Re: お世話になります。 / phaos

それは
http://phaos.hp.infoseek.co.jp/int1/volume.htm
の原論第 12 巻命題 7 の図のことですか?
探したけれど他にそれらしいものが見つからない。

最近の小学校では立方体の対角線を引いて出来る六つの四角錐を利用するという方法を取っている人がいると聞いたことがあります。

もう一つ, 私が小学生の時は, 円錐形の容器と同じ高さの円筒形の容器を用いて, 水を三杯汲んで, ほら三倍でしょう? という指導を受けたことがあります。

何れにしても, 一般の錐に拡張するにはカバリエリの原理を用います。

No.9510 - 2010/01/23(Sat) 17:33:01

☆ Re: お世話になります。 / 我疑う故に存在する我

phaos さん

>の原論第 12 巻命題 7 の図のことですか?
そうでした。

>円錐形の容器と同じ高さの円筒形の容器を用いて, 水を三杯汲んで,
私もそうでした。但し円錐ではなくて何故か四角錐だったが。

No.9528 - 2010/01/24(Sun) 21:51:35

☆ Re: お世話になります。 / 円錐

ありがとうございました。

No.9530 - 2010/01/24(Sun) 23:39:54

★ ベクトル / かなこ

もう1問お願いします。

OA=√3,OB=1,∠AOB=30∘である△OABがあり、
辺ABを3：1に内分する点をCとする。
また、→OA(OAベクトル)=→a(aベクトル)、
→OB(OBベクトル)=→b(bベクトル)とおく。

(1) 内積→a⋅→bの値を求めよ。また、→OCを→a,→b
　　を用いて表せ。

(2) 直線OC上に→OP=k→OC(kは実数)となる点Pをとる。　　
　　OC⊥APとなるとき、kの値を求めよ。

(3) (2)のとき、直線AP上にOA∥BQとなる点Qをとる。
　　→OQを→a,→bを用いて表せ。

(2)で力つきてしまいました。
どなたか回答お願いします。

No.9485 - 2010/01/20(Wed) 21:23:53

★ logをふくむ方程式 / かなこ

高校2年です。
2006年の模試の問題だそうです。

方程式
(log［3］x)^2-log［3］9x+k-log［3］27=0(kは定数)…?@
がある。

(1) log［3］27の値を求めよ。
　　また、log［3］9xをlog［3］xで表せ。

(2) k=-7のとき、方程式?@を解け。

(3) 方程式?@が異なる2つの実数解α、βをもち、β=α^3
を満たすとき、kの値を求めよ。

(1)は『3』と『log［3］x+2』
(2)は『81と1/27』

になりました一応。
間違ってたらご指導お願いします。
(3)に関しては判りませんでした

宜しくお願いします

No.9484 - 2010/01/20(Wed) 21:12:20

☆ Re: logをふくむ方程式 / X

(1)(2)
答えはそれで問題ありません。
(3)
xをそのまま使うと扱いにくいので置き換えをします。
log[3]x=t
と置くと問題の方程式は
t^2-t+k-5=0 (A)
一方
β=α^3
より
log[3]β=log[3]α^3
∴log[3]α=a,log[3]β=b
と置くと
a=3b (B)
ここでα,βは問題の方程式の解ですので
a,bはtの２次方程式(A)の解。
よって問題はtの２次方程式(A)の解a,bが(B)を満たすときの
kの値を求めることに帰着します。

こちらの計算では
k=83/16
となりました。

No.9489 - 2010/01/20(Wed) 22:18:09

☆ Re: logをふくむ方程式 / 地下水

(1),(2)は合っています。
(3)は、X=log[3]xとおいて、与式はX^2-X+k-5=0。
異なる2解を持つので、判別式より、0<1-4(k-5)、よって、
k<5+1/4･･･?@
X1=log[3]α, X2=log[3]α^3=3log[3]α=3･X1。この2解を持つので、(X-X1)(X-3･X1)=0、よって、X^2-4･X1･X+3･(X1)^2=0
与式と係数比較して、X1=1/4,k=5+3/16･･･?A
?@、?Aより、k=5+3/16

No.9491 - 2010/01/20(Wed) 22:30:03

☆ Re: logをふくむ方程式 / かなこ

ありがとうございました。
お二方の回答を参考に考えてみますね。

No.9492 - 2010/01/21(Thu) 03:33:05

★ 式の変形 / ラビ

中学三年生です。入試の過去問です。
底面の半径がr、高さがhの円柱の表面積が4πであるとき、hをrで表しなさい。
解答は、2-r2/r なのですが、僕の答えは、2/r-r2/rになりました。この答えでもあっているか教えてください。（ｒについている2は二乗です。）よろしくお願いします。

No.9483 - 2010/01/20(Wed) 21:00:26

☆ Re: 式の変形 / 地下水

表面積は、2πr^2+2πrh=4π。これより、
h=(4π-2πr^2)/(2πr)=-r+2/r。

No.9487 - 2010/01/20(Wed) 22:05:51

☆ Re: 式の変形 / ラビ

ありがとうございます。もう一度やってみます。

No.9488 - 2010/01/20(Wed) 22:13:36

★ (No Subject) / スペード

以前質問させていただいたものです。（No.9374 - 2010/01/08(Fri) 19:58:26）

そこの（2）に「２マス２マス２マスで塗る場合
　　ＡＢＣ　ＢＣＡ　
　　ＢＣＡ　ＡＢＣ
　のいずれかの塗り方で、色の振り分け方が６通りあるので、　　２×６＝１２(通り)」

というところがよく分かりません。
どこからＡＢＣが出てきたのでしょうか？？

ワガガマかも知れませんが、出来るだけ早めに回答をいただけますでしょうか。

No.9480 - 2010/01/19(Tue) 21:58:38

☆ Re: / ヨッシー

ＡＢＣ
ＢＣＡ
というのは、
左上と右下が同じ色、
中上と左下が同じ色、
右上と中下が同じ色ということで、この色配置のとき
Ａ＝赤、Ｂ＝青、Ｃ＝黄
Ａ＝赤、Ｂ＝黄、Ｃ＝青
Ａ＝青、Ｂ＝赤、Ｃ＝黄
Ａ＝青、Ｂ＝黄、Ｃ＝赤
Ａ＝黄、Ｂ＝赤、Ｃ＝青
Ａ＝黄、Ｂ＝青、Ｃ＝赤
の６通りの色の振り分け方があります。

ＢＣＡ
ＡＢＣ
についても、同様に６通りあります。

あわせて、１２通りです。

No.9481 - 2010/01/20(Wed) 20:12:32

☆ Re: / スペード

またまた丁寧な解説ありがとうございました！！

No.9482 - 2010/01/20(Wed) 20:32:50

★ 関係式 / 邊

教えてください。
(1)x^3 = 1, a*x^2 + b*x + c =0　の　とき,
　　a,b,cの満たす関係式を求めよ。
(2)x^4 = 1, a*x^3 + b*x^2 + c*x + d = 0の　とき,
　　a,b,c,dの満たす関係式を求めよ。

No.9479 - 2010/01/19(Tue) 21:41:35

☆ Re: 関係式 / 地下水

(1) x^3=1 より、x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)=0、
x=1,(-1+i√3)/2,(-1-i√3)/2、よって、
x=1のときa+b+c=0,
x=(-1+i√3)/2のときx^2=(-1-i√3)/2、よって、
　a(-1-i√3)/2+b(-1+i√3)/2+c=0より、a=b=c,
x=(-1-i√3)/2のときx^2=(-1+i√3)/2、よって、
　a(-1+i√3)/2+b(-1-i√3)/2+c=0より、a=b=c。
(2) x^4=1より、x=-1,1,-i,i。
x=-1のとき-a+b-c+d=0
x=1 のときa+b+c+d=0
x=-iのときai-b-ci+d=0より、 a=cかつb=d
x=i のとき-ai-b+ci+d=0より、a=cかつb=d

No.9486 - 2010/01/20(Wed) 21:57:26

★ 方程式の解 / 井出

宜しくお願い致します。
方程式 z^8-z^4+1=0
を解き、その各解zjの虚部yj/実部xj を求め
Tan[tj]=虚部yj/実部xj なる tj を求めよ。

また　上の　８次方程式の出所を述べよ。

No.9475 - 2010/01/19(Tue) 02:15:11

☆ Re: 方程式の解 / 豆

出所を述べよといわれても、出題者の意図まで分らないので困りますね。
悪戯に煩雑な計算をさせる意味も分りかねるような。
それこそ、この問題の出典は何なのでしょうね？

最終回答するだけなら、z^4+1を両辺に掛ければ、z^12+1=0となるので、
-1の12乗根のうち-1の4乗根を除いた8つの根ですから、
そのままガウス平面で考えたほうが早いですね。
この下の問題も-1の10乗根で同様。

No.9477 - 2010/01/19(Tue) 15:59:32

☆ Re: 方程式の解 / ast

sumathに何を言っても無駄です. 相手をした時点で負けです. このところちょこちょこ相手をしてしまう人がいるせいで棲み付いてしまってますので, ちょっとこらえて欲しいと思います.

No.9478 - 2010/01/19(Tue) 17:04:23

★ よろしくお願いします。 / Ｃｕｔ

立体を展開図にするために切る回数の公式

頂点－１＝切る回数

この公式がなぜ成り立つか証明しなさい。

No.9466 - 2010/01/18(Mon) 20:40:09

☆ Re: よろしくお願いします。 / ヨッシー

オイラーの多面体公式を認めるならば、
Ｎ面体の展開図は、Ｎ－１本の辺は２つの平面をつなぐために
２面と共有しており、他の辺はフリーです。
Ｎ面体の辺の数をＭとすると、
　Ｍ－(Ｎ－１)＝Ｍ－Ｎ＋１
の辺が切られたことになります。

(頂点の数）＋（面の数）－（辺の数）＝２
より、
(頂点の数）＋Ｎ－Ｍ＝２

よって、切る回数＝Ｍ－Ｎ＋１＝(頂点の数)－１
となります。

No.9471 - 2010/01/18(Mon) 21:53:45

☆ Re: よろしくお願いします。 / Ｃｕｔ

どうもありがとうございます。

No.9473 - 2010/01/18(Mon) 22:51:24

★ 高１　平方根と式の値　 / あつき

よろしくお願いします。

c=2√6－4のとき、
c^3＋12c^2＋47c＋60=(c＋□)(c＋4)(c＋□)=□√6

□の部分がわかりません。

No.9464 - 2010/01/18(Mon) 19:30:07

☆ Re: 高１　平方根と式の値　 / ヨッシー

c+4 が見えているので、c^3＋12c^2＋47c＋60 を c+4 で割って、
　c^3＋12c^2＋47c＋60＝(c+4)(c^2+8c+15)
さらに因数分解して、
　c^3＋12c^2＋47c＋60＝(c+4)(c+5)(c+3)
c=2√6-4 を代入して、
　(c+4)(c+5)(c+3)＝2√6(2√6+1)(2√6-1)＝46√6

No.9468 - 2010/01/18(Mon) 21:33:11

☆ Re: 高１　平方根と式の値　 / あつき

教えていただきまして有り難うございました。

No.9470 - 2010/01/18(Mon) 21:42:18

★ 教えてください / ふ

お願いします。
(1)ひもが一本ある（長さをL>0 とする）．このひもを使い，三角形を作るとすると，面積最大の三角形
は正三角形になることを示しなさい．また，そのときの面積も答えなさい

No.9460 - 2010/01/18(Mon) 13:39:00

☆ ヒント / フリーザ

面積が最大になるには２等辺三角形になることが必要です。

No.9472 - 2010/01/18(Mon) 22:24:12

☆ Re: 教えてください / 豆

別解として、
ヘロンの公式をつかってよいなら、3辺の長さをa,b,cとすれば、
s=L/2として、面積は
S=√(s(s-a)(s-b)(s-c))≦√s((s-a+s-b+s-c)/3)^(3/2)
　=s^2/(3√3)=√3L^2/36
等号成立は2L-a=2L-b=2L-c　つまりa=b=cのとき

No.9476 - 2010/01/19(Tue) 10:53:56

★ 値 / 泉太

おねがいします。
(1)sin(Pi/10)の値を「誰にとっても、もっとも自然な　方法で」求めよ。
(2)もっとも不自然な　方法で　もとめよ。

No.9458 - 2010/01/18(Mon) 10:40:36

☆ Re: 値 / 我疑う故に存在する我

>誰にとっても、もっとも自然な　方法で
その様な方法は存在しない。
>もっとも不自然な　方法
それも存在しない。

一例
1/10 = 8/5 - 3/2
と部分分数分解して加法定理。
8/5 の分子を偶数にするところがミソ。
1/10 = 3/5 - 1/2
より少しはマシ。

No.9459 - 2010/01/18(Mon) 13:04:50

☆ Re: 値 / 泉太

> >誰にとっても、もっとも自然な　方法で
> その様な方法は存在しない。
> >もっとも不自然な　方法
> それも存在しない。
>
> 一例
> 1/10 = 8/5 - 3/2
> と部分分数分解して加法定理。
> 8/5 の分子を偶数にするところがミソ。
> 1/10 = 3/5 - 1/2
> より少しはマシ。

おねがいします。以下のように　読み替えておねがいします；
(1)sin(Pi/10)の値を「我疑う故に存在する我」様にとって、もっとも自然な

　方法で」求めてください。
(2)「我疑う故に存在する我」　様にとってもっとも不自然な　方法で　求めてくだ

さい。

tan(Pi/17)についてもお願いします。

No.9461 - 2010/01/18(Mon) 14:02:25

☆ Re: 値 / 我疑う故に存在する我

1/10 = -2/5 + 1/2
の方が良かった。
かも。

No.9463 - 2010/01/18(Mon) 15:18:28

★ 二次関数と直線の交点 / uriuri

中3ですが多分範囲は高1のものだと思います。
学校の宿題で出たのですが、まったく答えがわかりません。
お助け下さい！！

直線y=m(x-2)＋4と放物線y=x^2-2xとは常に相異なる２点で交わる。その理由を二次方程式の判別式を使って述べよ。

という問題です。
ただしmはy軸と平行ではないそうです。
よろしくお願いします。

No.9455 - 2010/01/18(Mon) 00:06:17

☆ Re: 二次関数と直線の交点 / 七

中3と言うことですが入試は終わったのですか？
もしまだならこんなことに時間を割くべきではありません。
宿題であっても無視しなさい。

No.9456 - 2010/01/18(Mon) 07:20:50

☆ Re: 二次関数と直線の交点 / moto

●付属校・中高一貫校では、
中２で一般の高校１年で学習するたすきがけ等に触れる学校がありますので、
中３で高１の範囲に触れることもありえますが、
★学校の宿題なら、全く触れていないものは出ないはずです。
★内容的に考えてきなさいというような宿題なら、
　ご自分で考えて、解説・授業を受けるのがベストだと思います。

●どうしてもというなら
一般の中３では触れても話程度の範囲です。単純な計算問題等ではないので、
ご自分の状況(学年だけだと誤解が生じやすくなります)を簡単に添え
どこまで学習したか、どこまで考えたかを述べると、
お答えになる方の一助になると思います。

No.9462 - 2010/01/18(Mon) 14:58:03

★ (No Subject) / 二次関数

y=x^2+ax+b…?@があり、その軸は直線x=3/2、a,bは定数
(1)aの値を求めよ
(2)放物線?@がx軸のx＞-1の部分と異なる２点で交わるようなbの値の範囲
(3) (2)のとき、放物線?@の頂点をＡ、放物線?@とx軸との交点をＢ，Ｃとする。
△ＡＢＣが正三角形になるようなbの値

解答は
(1) ａ＝－３
(2) －４＜ｂ＜９/４
(3) ｂ＝－３/４
です
解説お願いします。

No.9451 - 2010/01/17(Sun) 19:57:43

☆ Re: / 山田太郎

ぼくもその問題解いた人間の一人なのですが、放物線が座標のわかっている1点を通るという条件が抜け落ちていますよね？(具体的な数字は覚えていませんが・・・)
そうじゃないと解けませんよ。

(1)
まず?@に点の座標のx,yの値を代入して得られた式をbについて解きます
それを?@x^2+ax+bに代入して平方完成すると軸は-a/2となり、これが3/2と等しいことから
-a/2=3/2
よって　a=-3

(2)
軸の位置は固定されていますので f(-1)≧0 , D>0 の2つの条件を満たせばいいと思います。

(3)
解の公式 x=(-b±√b^2-4ac)/2a を用いるなどして放物線がx軸とどこで交わるのか、すなわち点B,点Cのx座標を求めます。それらの差が正三角形の一片の長さABです。
放物線の頂点のy座標がbを使って表せるはずですよね？それがABを底辺としたときの高さとなり、仮にhとおきましょう。
正三角形における比なので h:AB=√3:2 すなわち h*2=2*√3
計算が少々面倒でしたがこれを解けばO.K.だとおもいます。

No.9452 - 2010/01/17(Sun) 21:22:43

☆ Re: / 山田太郎

>正三角形における比なので h:AB=√3:2 すなわち h*2=2*√3
すみません、訂正します
>正三角形における比なので h:AB=√3:2 すなわち h*2=AB*√3

No.9453 - 2010/01/17(Sun) 21:25:31

★ 高校数学?T二次関数 / 山田太郎

問題は以下です。
二次不等式 x(x-b)＜1を満たす整数xがちょうど2個となるような実数bの範囲を求めよ。

解答は
-3/2≦b≦0,0≦b≦3/2
とあります

放物線が軸に平行な直線を切り取る範囲、のようなイメージでしょうか？

解答の解説お願いします。

No.9444 - 2010/01/17(Sun) 10:00:13

☆ Re: 高校数学?T二次関数 / 七

> 解答は
> -3/2≦b≦0,0≦b≦3/2
> とあります

-3/2≦b＜0,0＜b≦3/2
ではありませんか？

> 放物線が軸に平行な直線を切り取る範囲、のようなイメージでしょうか？

それでもいいと思います。軸というのはx軸ですよね？

No.9447 - 2010/01/17(Sun) 14:49:38

☆ Re: 高校数学?T二次関数 / 山田太郎

>-3/2≦b＜0,0＜b≦3/2
>ではありませんか？

すみません、そのとおりです。

どういう手順を踏んでそのような解答に行き着くか、できれば具体的に教えていただけないでしょうか？

No.9448 - 2010/01/17(Sun) 19:05:31

☆ Re: 高校数学?T二次関数 / 七

y＝x(x－b)＝f(x)とy＝1で
y＝f(x)がy＝1より下になるxの範囲が不等式の解です。
f(0)＝0＜1ですから解の範囲には整数0が必ず含まれます。
b＞0のとき
f(－1)＝1＋b＞1ですから整数－1が解に含まれることはありません。
f(1)＝1－b＜1ですから整数1も必ず含まれます。
ならば2が含まれなければいいのですから
f(2)＞1であればいいですね。
b＜0のときも同様に考えればどうでしょう？

No.9450 - 2010/01/17(Sun) 19:46:59

☆ Re: 高校数学?T二次関数 / 山田太郎

腑に落ちました。
ありがとうございました

No.9454 - 2010/01/17(Sun) 21:26:39

☆ Re: 高校数学?T二次関数 / 七

うっかりしていました
> f(2)＞1であればいいですね。
f(2)≧1であればいいですね。
でした。

No.9457 - 2010/01/18(Mon) 09:49:06

★ (No Subject) / ななこ

Kを実数の定数とする２次方程式
x^2+2kx+3k+4=0

が実数解をもつのはk>□またはk<□のときである。
また、この２次方程式が正の重解をもつのはk=□のときで
そのときの重解は　x=□である

大学受験生です
こちらの問題がわかりません
どなたか教えてください
よろしくお願いします。

No.9442 - 2010/01/17(Sun) 02:51:18

☆ Re: / はちこ

判定式　D/4=b'^2-ac　を用いる
b'=k , a=1 , c=3k+4　を代入して
D/4=k^2-1*(3k+4)=k^2-3k-4
ここで
・D/4≧0のとき実数解をもつ
・D/4=0のとき重解をもつ

これを解いてください。二つ目は正の重解という点にご注意を。

教科書をきちんと読みましょう。

No.9449 - 2010/01/17(Sun) 19:43:37

★ 積分の問題です / さく

はじめまして、高校2年生です。
積分の問題で分からないものがあったのでお聞きしたいと思います。

不等式x^2+y^2≦8の表す領域が放物線y=(1/2)x^2によって分けられる二つの部分の面積を求めよ

です。
ちなみに答えは2π＋4/3,6π－4/3になるそうですが、全く手が出ません。
よろしくお願いします。

No.9440 - 2010/01/16(Sat) 23:00:03

☆ Re: 積分の問題です / 七

円x^2+y^2＝8と放物線y=(1/2)x^2との交点を(y座標が正であることに注意して)求めて
交点を通る半径でできる扇形の面積と半径と放物線に囲まれる部分の面積との和あるいは差で求めればいいですね。

No.9443 - 2010/01/17(Sun) 06:45:25

★ 相似？三平方 / to

図がないのですが申し訳ありません

三角形ＡＢＣが角Ｂが直角の直角三角形で
ＡＢ＝６　ＢＣ＝１０で
ＡＢ上にＤ、ＡＣ上にＦ、ＢＣ上にＥがあり
ＤＦ平行ＢＣ
角ＤＥＦ＝９０°
３ＤＥ＝４ＥＦである

ＥＦの長さを求めよ。
この問題の解法をお願いします

No.9427 - 2010/01/15(Fri) 00:42:47

☆ Re: 相似？三平方 / ヨッシー

△ＤＥＦは、ＥＦ：ＤＥ：ＤＦ＝３：４：５の直角三角形なので、
Ｆ(0,0)、Ｄ(5,0) とすると、Ｅ(9/5,-12/5) とすると、
ＤＥ＝４、ＥＦ＝３となります。

このとき、Ｂは(5,-12/5) であり、Ｆを通って、傾き3/5 の直線と、
ＢＤの交点Ａは、(5,3) となります。

座標上は、ＡＢ＝27/5 ですが、実際はＡＢ＝６なので、
座標上３であるＥＦは、実際には、10/3 となります。

No.9428 - 2010/01/15(Fri) 06:10:55

☆ Re: 相似？三平方 / to

ありがとうございます
わかりました

No.9446 - 2010/01/17(Sun) 12:26:02