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★ (No Subject) / はん
?@f(x)=x^2について、極限値lim f(x) および　lim f(x)の値を求めよ x→1 x→2

?Ax=1とx=2の間での平均変化率（傾き）を求めよ 区間（a,b)での平均変化率（傾き）の定義 ｛f(b)-f(a)｝/b-a

?Bf(x)=x^2について、次の極限値を求めよ
　｛lim f(x+h)-f(x)｝/h
　　h→0
?C関数f(x)=x^2についてx=3/2での接線の傾きと接線の式を求めよ
No.9612 - 2010/01/31(Sun) 15:51:06
☆ Re: / はん
スミマセン
?@のx→1とx→2はそれぞれlimの下に付きます
?Bのh→0もlimの下に付いてるものです

書き方が良く分からないので分かりずらくてすみません
No.9613 - 2010/01/31(Sun) 15:54:55
☆ Re: / だるまにおん
3
lim[h→0]{f(x+h)-f(x)}/h
=lim[h→0]{(x+h)^2-x^2}/h
=lim[h→0](2xh+h^2)/h
=lim[h→0](2x+h)
=2x

4
f(x)=x^2, f'(x)=2x, f(3/2)=3
接線の傾きは3
接線の式はy-(3/2)^2=3(x-3/2)
No.9649 - 2010/02/02(Tue) 23:38:56
☆ Re: / はん
有難うございます。
１と２も、頑張ってもっと考えてみます
No.9657 - 2010/02/03(Wed) 15:00:37
★ (No Subject) / まさこ
　

?@A=(1,√3)のベクトルの大きさと、X軸からの角度（向き）を求めよ
?AA=（1,-1)とB=(2,1)の和　C=A+Bと D=A-Bを求めよ


　

　
No.9611 - 2010/01/31(Sun) 15:25:45
★ (No Subject) / みやび
（１）
３次曲線y=x^3-3x+1の極大値および極小値を求め、かつ曲線の概形を描け
（２）
２つの二次曲線f(x)=xとg(x)=X^2で囲まれた領域の面積を求めよ
No.9610 - 2010/01/31(Sun) 14:53:22
★ (No Subject) / みやび
（１）
３次曲線y=x^3-3x+1の極大値および極小値を求め、かつ曲線の概形を描け
（２）
２つの二次曲線f(x)=xとg(x)=X^2で囲まれた領域の面積を求めよ

教えてください。お願いします。
No.9609 - 2010/01/31(Sun) 14:51:32
★ (No Subject) / まさこ
＜1＞最大値と最小値を求めなさい
y=cosX+√3sinX

<2>次の定積分・不定積分を求めなさい
?@∫dx/x^3
?Aα∫β｛(x-α)+(x-β)}dx

全く分かりません
宜しくお願いします
No.9608 - 2010/01/31(Sun) 14:44:21
☆ Re: / 地下水
(1) sin(A+X)=sinAcosX+cosAsinXで、A=30°のとき、
　　sin(30°+X)=sin30°cosX+cos30°sinX
=1/2･cosX+√3/2･sinX
=1/2･(cosX+√3sinX)なので、
y=cosX+√3sinX=2sin(30°+X)、つまり
X=π/3で最大値2、X=4π/3で最小値-2
(2)
?@∫dx/x^3=∫x^(-3)dx=x^(-3+1)/(-3+1)=x^(-2)/(-2)
=-1/(2x^2)
?A∫[a,b]{(x-a)+(x-b)}dx=[(x^2/2-ax)+(x^2/2-bx)]a,b
={(b^2/2-ab)+(b^2/2-b^2)}-{(a^2/2-a^2)+(a^2/2-ba)}
=(b^2-b^2)-(a^2-a^2)=0
No.9628 - 2010/02/01(Mon) 22:27:43
☆ Re: / まさこ
地下水さん、有難うございます。
No.9632 - 2010/02/02(Tue) 17:52:28
★ (No Subject) / 高校生
xy平面において，行列
cosθ −sinθ
sinθ cosθ
の表す1次変換をfとする。点(1,1)のfによる像をPとし，点(1,0)と点(0,1)とを結ぶ線分のfによる像をlとする。
(1)θが0から2πまで変わるとき，Pの軌跡の方程式を求めよ。
(2)θが0からπまで変わるとき，lが動いてできる範囲を図示せよ。
(3)(2)で図示した範囲の面積を求めよ。
No.9607 - 2010/01/31(Sun) 14:40:08
☆ Re: / ヨッシー
この行列が、ある点を原点中心にθ回転した点に写す
１次変換を表す行列であることを知って出題されているか、
そうでないかによって、答え方が違ってきます。

知っているなら、(1) は、原点中心で、点(1,1)を通る円の全周、
(2) もその知識を使って解けます。

知らないなら、
(1)
Ｐの座標(x,y)は
　ｘ＝cosθ−sinθ＝√2(cosθcos(π/4)−sinθsin(π/4))
　　＝√2cos(θ+π/4)
　ｙ＝sinθ＋cosθ＝√2(sinθcos(π/4)＋cosθsin(π/4))
　　＝√2sin(θ+π/4)
より、x^2＋y^2＝２ を得ます。
θは0≦θ≦2π を取るので、Ｐの軌跡は円の全周となります。

(2)
点(1,0) は点(cosθ, sinθ)、点(0,1) は点(-sinθ, cosθ)
に写り、これを図示すると、以下のようになります。

ｌは、この２点を結ぶ線分となります。
このθを０からπまで動かすと、下のようになります。


(3)の面積は、省略します。
No.9620 - 2010/01/31(Sun) 20:59:04
★ π＝１８０°なのはなぜですか？ / ガリクソン
こんにちは。
π＝１８０°であるのはなぜですか？

教えて下さい。お願いします。
No.9606 - 2010/01/31(Sun) 12:53:34
☆ Re: π＝１８０°なのはなぜですか？ / らすかる
半径1, 中心角180°の扇形の弧の長さがπだからです。
No.9615 - 2010/01/31(Sun) 18:33:45
☆ Re: π＝１８０°なのはなぜですか？ / ガリクソン
らすかるさん、ありがとうございました。
No.9617 - 2010/01/31(Sun) 19:23:18
☆ Re: π＝１８０°なのはなぜですか？ / 我疑う故に存在する我
＞π＝１８０°
正しくない。
πラジアン＝１８０°
が正しい。

但し、角度の単位ラジアンは省略するとどこかに書いてあれば別だが。
No.9621 - 2010/01/31(Sun) 22:18:43
★ θ＝l/r / ガリクソン
こんにちは。

半径ｒの円において、長さlの弧にたいする中心角をθ（ラジアン）とすると、
θ＝l/r
となるのはなぜですか？
No.9605 - 2010/01/31(Sun) 12:49:36
☆ Re: θ＝l/r / フリーザ

> 半径１の円において、中心角をθ（ラジアン）としたときの孤をθと定め
No.9614 - 2010/01/31(Sun) 16:50:26
☆ Re: θ＝l/r / ガリクソン
フリーザさんありがとうございま
No.9618 - 2010/01/31(Sun) 19:24:13
★ 教えてください?ｫ / 高校3年
実数x,yがx^2＋y^2−2xy−4x−4y＋6を満たすとき、x＋y,xyの最小値をそれぞれ求めよ。
No.9599 - 2010/01/30(Sat) 22:20:21
☆ Re: 教えてください / フリーザ
> 実数x,yがx^2＋y^2−2xy−4x−4y＋6を満たすとき、x＋y,xyの最小値をそれぞれ求めよ。

問題間違ってるかと
No.9601 - 2010/01/30(Sat) 22:36:42
☆ すいません?ｫ / 高校3年
x^2＋y^2−2xy−4x−4y＋6＝0を満たすときでした。m(_ _)m
No.9603 - 2010/01/30(Sat) 23:34:37
☆ Re: 教えてください?ｫ / 豆
与式を変形すると、
(x-y)^2-4(x+y)+6=0
(x-y)^2=4(x+y)-6≧0より
x+y≧3/2

また、与式を別の変形をして、
(x+y)^2-4xy-4(x+y)+6=0
4xy=(x+y)^2-4(x+y)+6=(x+y-2)^2+2
よって、xyはx+y=2のとき最小値1/2
No.9604 - 2010/01/31(Sun) 10:42:40
★ 証明 / 中２
図がなくてすいません。

三角形ABCにおいて、角B＝2角Cである。AからBCに垂線ADをひき、BC、ACの中点をそれぞれ、M、Nとする。
このとき、三角形MNDは二等辺三角形になることを証明せよ。

中点連結定理は習ったので、ABとMNを平行になることはわかりました。相似は習っていないので、相似を使わないやり方を教えてください。
お願いします。
No.9597 - 2010/01/30(Sat) 20:51:34
☆ Re: 証明 / ヨッシー

∠Ｂの二等分線と、ＡＣの交点をＥとすると、
∠ＥＢＣ＝∠ＥＣＢ なので、△ＥＢＣは、ＥＢ＝ＥＣ　の
二等辺三角形であり、ＥからＢＣにおろした垂線は、Ｍに一致します。

一方、△ＡＤＣは直角三角形なので、ＮＡ＝ＮＣ＝ＮＤ
なので、（円周角を知っていれば、それで良し。
知らない場合は、真ん中の図で理解してください。同じ
直角三角形が、４つあるので、ＮＡ＝ＮＣ＝ＮＤです）
△ＮＤＣも二等辺三角形で、
　∠ＥＢＣ＝∠ＮＤＣ＝∠ＮＣＤ　（図の●）
なので、ＢＥとＤＮは平行です。

また、ＭＮとＡＢは平行なので、下の図のように、ＢＥとＭＮの
交点をＬとすると、
　∠ＡＢＥ＝∠ＢＬＭ(錯角）
　∠ＢＬＭ＝∠ＤＮＭ(同位角)
となり、
　∠ＡＢＥ＝∠ＢＬＭ＝∠ＤＮＭ　（図の●）
となり、∠ＤＮＭ＝∠ＮＤＭ　となり△ＭＮＤは二等辺三角形となります。
No.9598 - 2010/01/30(Sat) 22:18:20
★ (No Subject) / 大学生
昨日投稿したものですが、下がってしまったのでもう一度投稿します。

微分方程式xy'+√(1+y^2)=0 を u=y'+√(1+y^2) と置いて解け。 →答え x(y'+√(1+y^2))=C

です。解き方を教えて下さい。
No.9593 - 2010/01/29(Fri) 20:33:59
☆ Re: / 豆
uの中や答えにy’が入っておかしいですが、普通の変数分離形で、
xy'=-√(1+y^2)
dy/√(1+y^2)=-dx/x
積分して、(yの積分は公式ですが、指定通りにやるならuで一旦置き換え)
log|y+√(1+y^2)|=-log|x|+C
∴x(y+√(1+y^2))=C　　(±e^CをCで置き換え)
No.9595 - 2010/01/30(Sat) 10:08:24
★ 規則性の問題が分かりません。 / ダメ10番
初めまして！

中学と高校の数学を復習しています。
かなり忘れてしまいましたので、ご教授願います。
下記、3問です。

?@、規則性の問題
１，１，２，１，１，２，３，１，２，３，４，１，２，３，４，５・・・・のような規則に従って、並んでいる数字がある。
　１）はじめから２０番目の数字を求めよ。
　２）はじめから５０番目の数字を求めよ。

?A、２次関数
　ｆ（ｘ）＝−（ｘ＾２＋ｘ−６）のｙ＝ｆ（ｘ）の関数グラフ描きなさい。

?B、円周角　
　点Ｏを中心とする円周上に点ａ、ｂ、ｃがあり、図のような関係が成り立つ時の、角ｘの値を求めなさい。（図は、添付しました。
No.9591 - 2010/01/29(Fri) 19:07:36
☆ Re: 規則性の問題が分かりません。 / ヨッシー
(1)
数字の並びは、それで正しいですか？
特に、最初の５個くらい。

(2)
ｙ＝-(ｘ＋1/2)^2＋25/4
なので、y=-x^2 のグラフを、ｘ軸方向に-1/2，ｙ軸方向に 25/4
移動したグラフになります。

(3)凹んだ四角形と言えども、内角の和は360度です。
ｂのところの角は、66度の半分で、33度。
Ｏの部分の角は、294度。
のように考えます。
No.9594 - 2010/01/29(Fri) 21:54:15
☆ Re: 規則性の問題が分かりません。 / ダメ10番
ヨッシーさん有難う御座います。

（１）は、並びが違いました。
１，１，２，１，２，３，１，２，３，４，１，２，３，４，５・・・・
　最初の5個目が違いましたので、再度ご教授願います。

（３）ですが、三角形だと思っておりました。
No.9627 - 2010/02/01(Mon) 20:03:44
★ 関数 / ラビ
中３です。おねがいします。
y=2/3x^のグラフ上を原点０から、同じ速さで反対方向へ同時に出発した２点A、Cがあります。ただし、点Aのx座標は負とします。また、点Cからy軸に平行な直線を引き、x軸との交点を点B、y=1/4x^のグラフとの交点を点Dとします。このとき、
(１)三角形ABDと三角形ADCの面積の比を最も簡単な整数の比で表しなさい。
(2)三角形ABCが直角二等辺三角形になるとき、三角形ABDの面積を求めなさい。
答えは、(1)3:5 (2)13cmです。
関数が苦手で、基本方針がうまく立てられません。
わかりやすく教えてください。お願いします。（^は二乗です)
No.9587 - 2010/01/29(Fri) 09:03:19
☆ Re: 関数 / らぴ
1)方針としては?僊BDと?僊DCは（BC側を底辺と見たとき）高さがACで共通→底辺の比で面積比がきまる→BD：DCを求める

解）直線BCをｘ＝ｋ(０でない定数）とするとBD=k^2/4,CD=5k^2/12

?僊BD:?僊DC=BD:DC=1/4:5/12=3:5

２）AC=BC⇔2k=2k^2/3⇔ｋ＝３（ただしｋ≠０）

?僊BD=３/8?僊BC＝(３/8)×１８＝２７/4

方針というかとにかく手を動かしてみるのも大事だと思います。
No.9588 - 2010/01/29(Fri) 16:05:45
☆ Re: 関数 / ラビ
ありがとうございます。他の例題も解いてみます。
No.9590 - 2010/01/29(Fri) 16:39:14
★ 三角形の面積の公式 / ガリクソン
こんばんは。
ベクトルの問題なのですが、

△ABCにおいて、
AB→＝ｐ→＝（x1,y1),
AC→＝q→＝(x2.y2)とするとき、
△ABCの面積S＝(1/2)√{(|p→|^2|q→|^2 -(p→・q→)^2}=(1/2)|x1y2-x2y1|を示せ。

という問題なのですが、解答を読んでいて分からないところがあるので教えて下さい。

【解答】
∠BAC＝θとすると、
２S＝|AB→||AC→|sinθ
４S^2 =|AB→|^2|AC→|^2 sin^2θ
＝|AB→|^2|AC→|^2 (1-cosθ）
cosθ＝(AB→・AC→)/(|AB→||AC→|)＝(p→)(q→)/|p→||q→|
を用いて、
４S^2=|p→|^2|q→|^2-(p→・q→)^2
＝(x1^2+y1^2)(x2^2+y2^2)-(x1x2+y1y2)^2
=x1^2y2^2+x2^2y1^2-2x1x2y1y2
=(x1y2-x2y1)^2
∴
S=1/2|x1y2-x2y1|
となっています。

一番最後の行がわかりません。
２乗をはずしたので、
±(x1y2-x2y1)として、適切なものはプラスのほうの
（x1y2-x2y1)とせずに、
マイナスだった場合もプラスにするという意味で絶対値をつけているのはなぜですか？

面積はプラスなのはわかりますが、計算でマイナスも出てくる場合があるので、その場合は、プラスにしてしまえ、というのがどうもわかりません。マイナスの場合は計算ミスなんじゃないのですか？どう納得すればよいのでしょうか。マイナスの場合は計算ミスだがプラスにしてしまって答えにしてしまうと言われているような感じがするので、解決したいのでよろしくお願いします。
No.9580 - 2010/01/28(Thu) 23:39:02
☆ Re: 三角形の面積の公式 / ヨッシー
x1y2-x2y1 自身が、マイナスかも知れないからですね。
No.9582 - 2010/01/29(Fri) 00:00:27
☆ Re: 三角形の面積の公式 / 通りすがり
そもそもその面積の式は二つのベクトルの外積を2で割った式です。(外積の絶対値は二つのベクトルで作られる平行四辺形の面積に等しい)
No.9584 - 2010/01/29(Fri) 01:18:02
☆ これならどうでしょう？ / 七
4S＾2＝x1^2y2^2+x2^2y1^2-2x1x2y1y2
＝(x1y2−x2y1)＾2
＝(x2y1−x1y2)＾2

Sは(1/2)(x1y2−x2y1),(1/2)(x2y1−x1y2)のうち正の方です。
No.9585 - 2010/01/29(Fri) 06:46:09
☆ Re: 三角形の面積の公式 / ガリクソン
わかりました。皆様、どうもありがとうございました。
No.9596 - 2010/01/30(Sat) 15:20:55
★ (No Subject) / 円錐
サッカーボール（１２個の正五角形の面と２０個の正六角形の面がある。一個の正五角形の面に二個の正六角形の面が集まっている。）の辺の数を求めなさい。


求める課程もお願いします。
No.9575 - 2010/01/28(Thu) 22:38:45
☆ Re: / ヨッシー
バラバラにすると、辺は何本か？
組み立てると、必ず２本の辺が、１本の辺になるので・・・

まずは、正四面体や、立方体で考えて見ましょう。
No.9579 - 2010/01/28(Thu) 23:27:17
★ 中学入試　仕事算 / まお
次の問題がよくわかりません。解き方を教えてください。

Ａ、Ｂ２人が６日かかる仕事があります。はじめにＡが１人で２日働き、その後Ｂが１人で12日間働いて仕上げました。

?@　Ａ、Ｂそれぞれの１日あたりの仕事量を、最も簡単な整数の比で表しなさい。

?A　Ｂが１人でこの仕事を仕上げるためには何日間働けばよいですか。
No.9572 - 2010/01/28(Thu) 20:31:39
☆ Re: 中学入試　仕事算 / Kurdt（かーと）
こんばんは。

(1)
とりあえず線分図でも書いてみましょう。
全体の仕事は A：6日分 と B：6日分を合わせたものであり、
また A：2日分 と B：12日分 を合わせたものでもあります。

　　A：6日分　　B：6日分
├──────┼────┤
 A2日分　　B：12日分
├──┼────────┤

両方から A：2日分 を切ってしまいます。

　A：4日分　B：6日分
├────┼────┤
 　　B：12日分
├────────┤

さらに両方から B：6日分 を切ってしまいます。

　A：4日分
├────┤
  B：6日分
├────┤

A が4日でする仕事とB が6日でする仕事が同じことがわかりました。

2人の1日あたりの仕事量の比はこの逆の 6：4=3：2 になります。

(2)
全体の仕事は A：6日分 と B：6日分 をたしたものでした。
(1) から A：2日分 は B：3日分 の仕事量は同じなので、
A：6日分 は B：9日分 の仕事と同じということになります。

なので、答えは 6+9=15 日になりますね。
No.9574 - 2010/01/28(Thu) 21:39:22
☆ Re: 中学入試　仕事算 / まお
なるほど。よくわかりました。ありがとうございます。
No.9600 - 2010/01/30(Sat) 22:29:28
★ 微分方程式 / 大学生
次の微分方程式がいくら考えてもわかりません。

xy'+√(1+y^2)=0 をu=y+√(1+y^2)と置いて解け。

という問題で答えが

x(y+√(1+y^2))=C(定数)

となっています。どなたか解き方を教えて下さい。
No.9569 - 2010/01/28(Thu) 20:20:33
☆ Re: 微分方程式 / 大学生
お願いします!!
No.9592 - 2010/01/29(Fri) 20:30:12
★ (No Subject) / らぴ
n=k+1からn=kの成立を示すというn次のそうか相乗平均の証明法を教えてください。流れだけでも教えてください。よろしくお願いします。
No.9566 - 2010/01/28(Thu) 14:43:20
☆ Re: / だるまにおん
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwa/taiwasen/node7.html
(文字化けしているかも…)
No.9567 - 2010/01/28(Thu) 15:49:59
★ 特殊な帰納法 / らぴ
数列Aｎ（n=1,2・・・）は連続する３項について

A(2n-1),A(2n),A(2n+1)(n=1,2,,,)はいずれも等差数列をなし
A(2n),A(2n+1),A(2n+2)はいずれも等比数列をなすという。
A(1)=1,A(２）＝２のとき、A(2n)を求めよ。

という推定帰納法の問題なのですが

（I)n=1,2の成立の確認
（?U）ｎ≦ｋのとき正しいと仮定してｎ＝ｋ＋１に成立

という形をとっているのですがｎ≦kにする意味が分かりません。この証明は一体どういう証明なんでしょうか。

どうかよろしくおねがいします。
No.9565 - 2010/01/28(Thu) 14:25:46
☆ Re: 特殊な帰納法 / ヨッシー
別に、n=k-1, n=k のとき正しいと仮定して、n=k+1 を調べると・・・
で良いと思います。ただし、k≧2 です。
No.9581 - 2010/01/28(Thu) 23:43:30
☆ Re: 特殊な帰納法 / らぴ
もうすこし具体的に教えてほしいのですが・・

よろしくお願いします。。
No.9589 - 2010/01/29(Fri) 16:08:51
★ 関数 / ラビ
もう一問お願いします。過去の入試問題です。関数が苦手なのでわかりやすく教えてください。よろしくお願いします。
図2は放物線y=4/9x^と直線y=4の交点をA,Bとし、Aを通る直線と放物線、x軸との交点をそれぞれC、Dとします。また、点Bから∠ABOの二等分線を引き、直線ACとの交点をEとします。AC:CD=3:1のとき、次の問に答えなさい。(^は二乗です)
(1)直線ACの式を求めなさい。
(2)三角形AEBの面積を求めなさい。
答えは、(1)y=-2/3x+2
(2)36/7 です。
No.9564 - 2010/01/28(Thu) 10:15:09
☆ Re: 関数 / らぴ
ACを通る直線をｍとすると
ｍ:y=m(x+3)+4とおける

Cのｘ座標を求めると

m(x+3)+4=4/9x^2
⇔x=(9/4)m+3

Dのｘ座標を求めると

m(x+3)+4=o⇔x=-3-4/m

A,Cからx軸への垂線の足をA',C'とすると
AC:CD=A'C:C'D＝３：１

よって
(9/4)m+6:-4/m-(9/4)m-6=3:1
⇔m=-2/3,-2

よってy=(-2/3)x+2,y=-2x-2
図よりy=(-2/3)x+2が適。

直線OBをL
Lとｍの交点をFとし、Fの座標を求めると
F(1,4/3)よりBF=１０/3となるので

AB:BF=6:10/3=9:5
角の２等分線の性質よりAB:BF=AE：EF

?僊EBと?僊BCは高さが等しいので面積比＝底辺の比　
よって?僊EB＝（9/14)?僊BC=(9/14)×８＝３６/7
No.9577 - 2010/01/28(Thu) 23:00:02
☆ Re: 関数 / ラビ
ありがとうございました。よくわかりました。
No.9586 - 2010/01/29(Fri) 08:45:12
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