pは整数
An=p+3(n-1),Bn=3p+n-1とし、0≦p≦n-1とする。
このとき、数列{｜An-Bn｜}の初項から第n項までの和をSnとする。Snをpの関数と考えるとき、Snの最小値をnを用いて表せ。
p≦n-1を利用して絶対値をはずし、Sn=-2np+n^2-nまで求めたのですが、｢Snをpの関数と考える｣とはどういうことか分かりません。よろしくお願いします。ちなみに、答えはありません。
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No.7302 - 2009/08/07(Fri) 17:28:54
| ☆ Re: 数列 / rtz | | | f(p)＝Sn＝-2np＋n2−nとして、f(p)の最小値を求めよ
と言えばお分かりになりますか。
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No.7305 - 2009/08/07(Fri) 17:44:38 |
| ☆ Re: 数列 / 愛 | | | 関数f(p)は傾き-2n<0の直線であるから、pが最大となるとき、f(p)は最小となる。よって、求めるSnの最小値は
Sn＝n^2-n-2n(n-1)＝-n^2+n
これでOKですか？
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No.7313 - 2009/08/07(Fri) 21:33:59 |
| ☆ Re: 数列 / rtz | | | その点については正解です、が。
失礼ながら問題文をきちんと読み込んでいなかったので、
改めて考えてみましたが、愛さんの出されたSnは間違っていますね。
おそらく、
|An−Bn|＝|2{(n-1)−p}|＝2{(n-1)−p} (∵p≦n-1)
よってSn＝2{n(n-1)−np}、とされたのでは？
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No.7320 - 2009/08/08(Sat) 07:21:58 |
| ☆ Re: 数列 / 愛 | | | |An−Bn|はそのようにしましたが、Snは?狽?用いて、
Sn=2*n(n+1)/2-2(p+1)n=-2np+n^2-n
と求めました。
p=n-1のとき最小となるので、上のSnの式にp=n-1を代入し、出てきた式が2つ目の記事のSnです。
なので2つ目の記事は【最小値となるSn】です。
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No.7321 - 2009/08/08(Sat) 08:31:09 |
| ☆ Re: 数列 / rtz | | | 実は、その|An−Bn|が間違いなのです。
その考え方だと、
絶対値を付ける必要もなく、An−Bn≧0ですよね。
ところが、n＝1のときを考えてみてください。
A1＝p、B1＝3pとなり、A1−B1＝-2p＜0です。
……おかしいですね？
どこがおかしいのか考えてみてください。
ヒントとしては、n＝2,3,4…といくつかAn−Bnを実際に計算してみることです。
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No.7323 - 2009/08/08(Sat) 16:52:27 |
| ☆ Re: 数列 / 愛 | | | n=1のときA1−B1＝-2pですが、pは0≦p≦n-1を満たす整数なので、n=1のときp＝0で、A1-B1=0≧0を満たします。
n=2のとき、A1−B1＝2-2pで0≦p≦1なのでp=0,1で、このときA1-B1≧0を満たします。
↑これじゃダメですか？
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No.7341 - 2009/08/09(Sun) 17:40:10 |
| ☆ Re: 数列 / angel | | | ちょっと問題の書き方が紛らわしい、というかマズいと思います。
問題の意図を考えると、
nは自然数、p は 0≦p≦n-1 を満たす整数、
A[m], B[m] は、A[m]=p+3(m-1),B[m]=3p+m-1 なる数列、
S[n] は、数列 { |A[m]-B[m]| } の第n項までの和、
すなわち S[n]=Σ[m=1,n] | A[m]-B[m] | とする
が正しそうですね。
そうすると、第1項から第n項まで考えていくなかで、最初の方は A[m]-B[m] が負ですが、後の方では A[m]-B[m]が非負になるため、途中で計算をスイッチする必要がある、と分かります。
元の問題だと、数列 A[m], B[m] の各項を計算するたび毎に p の値が変わっていくように見えてしまいます。つまり、A,Bの添え字と、p の範囲を規定する n とがごっちゃになっているのがマズいです。
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No.7352 - 2009/08/10(Mon) 00:13:26 |
| ☆ Re: 数列 / 愛 | | | なるほど！！Anのnとp≦n-1のnは別物ですね。
もう一度考えてみます。
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No.7372 - 2009/08/10(Mon) 16:34:15 |
| ☆ Re: 数列 / 愛 | | | ｜Am-Bm｜は
m=1のとき|-2p|=2p
m=2のとき|2-2p|
m=3のとき|4-2p|
よってm≧2では、pの値によって絶対値のはずし方は異なる。
m≧2において |Am−Bm|=|2m-2p-2|
0≦p≦m-1のとき |Am−Bm|=2m-2p-2 …?@
p＞m-1のとき |Am−Bm|=-2m+2p+2 …?A
?@は2≦m≦p+1,?Aはp+2≦m≦nの範囲なので
Sn=S1+?納k=2,p+1](2k-2-p)+?納k=p+2,n](-2k+2+2p)
=-2p^2+2np+4n-5
=-2{p-(1+2n)/2}^2+n^2+4n+1/2
ここまで正しいですか？
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No.7411 - 2009/08/11(Tue) 15:47:55 |
| ☆ Re: 数列 / angel | | | 正しくは、S[n]=2p^2-2(n-1)p+n^2-n です。
計算する際には、m=1 を特別扱いしないほうが良いです。
つまり、
1≦m＜p+1 の時、|Am-Bm|=-2m+2p+2
p+1≦m≦n の時、|Am-Bm|=2m-2p-2
とします。
※ただし、p=0 の時は、1≦m＜p+1 なる m が存在しませんから、S[n]の形が同じになることについて説明を入れる必要があるでしょう。
直接的な間違いとしては、0≦p≦m-1 を 2≦m≦p+1 としているところ、p＞m-1を p+2≦m≦n としているところですね。
なお、
S[n]=2(p+(p-1)+…+1) + 2(0+1+…+(n-p-1))
であることを利用すれば、S[n]のΣ計算が多少楽になるでしょう。
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No.7461 - 2009/08/14(Fri) 23:50:14 |
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