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★ ベクトル / はる
ベクトルの質問、お願いします。

　等式|a+b|^2+|a-b|^2=2(|a|^2+|b|^2)を証明せよ。（a,bの　上にはすべて矢印がつきます。）
　という問題で、参考書には、

|a+b|^2+|a-b|^2
　=(a+b)・(a+b)+(a-b)・(a-b)・・?@
=|a|^2+2ab+|b|^2　　　　　・・?A

と書いていますが、?@を書かずに、いきなり?Aの式を
　書いても大丈夫でしょうか。教えてください。
No.9169 - 2009/12/20(Sun) 10:28:46
☆ Re: ベクトル / 七
1の式は合っていますが
2の式は間違っていますので
だめです。
No.9170 - 2009/12/20(Sun) 14:18:57
☆ Re: ベクトル / はる
すみません。?Aは間違っていますね。

　=|a|^2+2ab+|b|^2+|a|^2-2ab+|b|^2・・?A

ですね。?@をとばして、?Aを書いても間違いにはなりません
か？教えてください。
No.9174 - 2009/12/20(Sun) 17:41:32
☆ Re: ベクトル / 七
abはa・bですよね。
問題ないと思います。
No.9175 - 2009/12/20(Sun) 17:55:39
☆ Re: ベクトル / はる
ありがとうございます。それに関連して

　|4/7p-1/7q|={1/7|4p-q|} (p,qの上にもベクトルがつきます）　このように定数は前にだせますか？
　それと、｜｜この記号は絶対値と考えてよいですか？
　よろしくお願いします。
No.9176 - 2009/12/20(Sun) 18:33:49
☆ Re: ベクトル / ヨッシー
定数は前に出せます。
|　| は、絶対値という言い方はあまりしません。
こちらをご覧ください。
No.9181 - 2009/12/20(Sun) 22:14:24
☆ Re: ベクトル / フリーザ
この場合?@の式をかかなければ理解しているアピールはできません。｜a＋b｜^2がなぜそうなるかわかっているかを聞きたいのが出題者の意図でしょう。そうなるもんだと覚えて理解してない人は少なくはないはず。
No.9187 - 2009/12/22(Tue) 00:16:33
☆ Re: ベクトル / はる
ありがとうございます。
わかりました。また、よろしくお願いします。
No.9215 - 2009/12/24(Thu) 22:45:32
★ 微分です / kakimoto
?@(2^x+3^x)^(1/x)
?Alog{√(x)*(1-2x)^2}
?Bsin^(-1)(3x-4x^2)，|x|<1
?C1/2{x√(x^2-a^2)-a^2/2(e^(x/2)+e^(-x/2))}
?D1/2(x√(x^2+a^2)+alog|x+√(x^2+a))
※aは実数

?@は答えが0になってしまったり、
?Cは解いたら
1/2{[(2x^2-a^2)/√(x^2-a^2)]-a(e^(x/a)-e^(-x/a))/2}
などとなってしまい,きっと簡単な答えがでるのではないかと思うのですがどうすればいいのか分かりません。
よろしくお願いします。
No.9166 - 2009/12/19(Sat) 14:17:58
☆ Re: 微分です / ヨッシー
(1)
　ｙ＝(2^x+3^x)^(1/x)
とおきます。両辺の対数を取って、
　log(y)＝(1/x)log(2^x+3^x)
ｘで微分して、
　y'/y＝(-1/x^2)log(2^x+3^x)＋(1/x)(2^x+3^x)’/(2^x+3^x)
　＝(-1/x^2)log(2^x+3^x)＋(1/x){(2^x)log２+(3^x)log３}/(2^x+3^x)
よって、
　y'＝ｙ[(-1/x^2)log(2^x+3^x)＋(1/x){(2^x)log２+(3^x)log３}/(2^x+3^x)]
　＝(2^x+3^x)^(1/x)×[・・・・・]

(2)
ｙ＝log{√(x)*(1-2x)^2} とおくと
　ｙ＝log√ｘ＋log(1-2x)^2
　　＝(1/2)logｘ＋2log(1-2x)
よって、
　ｙ’＝1/2x−4/(1-2x)
　
(3)
ｙ＝sin^(-1)(3x-4x^2) とおきます。
　(sin^(-1)ｘ)'＝1/√(1-x^2)
を用いれば、
　ｙ’＝(3-8x)/√{１−(3x-4x^2)^2}

(4)(5)は

に沿っているか、もう一度確認してください。
また、(5) は絶対値記号が閉じていません。
No.9168 - 2009/12/20(Sun) 09:26:04
☆ Re: 微分です / kakimoto
?@(2^(x)+3^x)^(1/x)
?C(1/2){x√(x^(2)-a^2)-a^(2)/2(e^(x/2)+e^(-x/2))}
?D(1/2)(x√(x^(2)+a^2)+alog|x+√(x^(2)+a)|)
書き間違えてすいませんでした。
よろしくお願いします。

2と3は理解できました。
No.9171 - 2009/12/20(Sun) 15:26:02
☆ Re: 微分です / ヨッシー
(1)は、
(2^x+3^x)^(1/x) も (2^(x)+3^x)^(1/x) も同じですので
上の通りです。

(4)は、
(1/2){x√(x^2-a^2)} と　−(1/2){a^2/2(e^(x/2)+e^(-x/2))} とに分けて
考えれば出来るでしょう。
たとえば、x√(x^2-a^2) の微分は
　√(x^2-a^2)＋(1/2)x・(2x)/√(x^2-a^2)
です。２項目は、(e^(x/2)+e^(-x/2)) が分子にあるのか分母なのか
わかりませんが、どちらも大差なく(小差はありますが)出来るでしょう。
特に、簡単に式になることは無いようです。

(5) も同様で、alog|x+√(x^(2)+a)| の微分は、
　a(1+x/√(x^2+a))/{x+√(x^2+a)}
です。
No.9180 - 2009/12/20(Sun) 22:09:44
☆ Re: 微分です / kakimoto
(4)は
(1/2){(2x^2+a^2)/√(x^(2)+a^2)+a(e^(x/a)+e(-x/a))/2}}
(5)は
(1/2)(2x^(2)+ax+a^2)/√(x^(2)+a^2)
あってるかどうか分かりませんが答えを出せました

ヨッシーさんありがとうございました。
No.9182 - 2009/12/21(Mon) 05:21:15
☆ Re: 微分です / ヨッシー
(4)
第１項目は、符合が微妙に違います。
ひょっとして、元の式が違うのか？

第２項目は、ａが指数の分母に来るのは、おかしいですね。
a^2 が a になっていることといい、これも、元の式が違うのでしょうか？
No.9183 - 2009/12/21(Mon) 06:16:44
☆ Re: 微分です / kakimoto
すいませんでした(>_<)
問題を書き間違えました　何度もすいません

?C(1/2){x√(x^(2)-a^2)-a^(2)(e^(x/a)+e^(-x/a))/2}
?D(1/2)(x√(x^(2)+a^2)+alog|x+√(x^(2)+a)|)
でした

?Cは
(1/2){(2x^(2)-a^2)/√(x^(2)-a^2)-a(e^(x/a)-e(-x/a))/2}}
?Dは
(1/2){(2x^(2)+a^2)/√(x^(2)+a^2)+a/√(x^(2)+a)}
でどうでしょうか
No.9184 - 2009/12/21(Mon) 20:05:46
★ 因数分解 / あやみ
(x-2)^2+(√(3)x^2)^2=4
これって因数分解できますか？
x^4とx^2だけの計算なら解るのですが次数がバラバラで解き方が分かりません。
よろしくお願いします。
No.9161 - 2009/12/17(Thu) 20:09:42
☆ Re: 因数分解 / ヨッシー
3x^4+(x-2)^2＝4
ということで良いですか？

そもそも、等式を因数分解するというのも変な話ですが、
「方程式を解きたいのですが、因数分解を使って解けますか？」
というふうに理解します。

つまり、因数分解すべき式は、
　3x^4+(x-2)^2−4
とします。
　f(x)＝3x^4+(x-2)^2−4＝3x^4＋x^2-4x
とおくと、f(0)＝０、f(1)＝０ なので、x(x-1) が括り出せて、
　f(x)＝x(x-1)(3x^2+3x+4)
となります。
No.9162 - 2009/12/17(Thu) 21:19:38
☆ Re: 因数分解 / あやみ
因数定理ですね。
本当に助かりました。詳しくありがとうございます。

この問題の続きで積分の面積の範囲で質問です。

2曲線
(x-2)^2+y^2=4,y=√(3)x^2で囲まれた2つの図形のうち小さい方の面積を求めよ。
交点を教えて頂いたようにだすと(0,0)(1,√3)で積分の範囲は1から√3になり、円から放物線を引いて
(4-x)-√(3)x^2
という式を出したのですが続きがわかりません。
式が違うのでしょうか？

No.9164 - 2009/12/18(Fri) 00:00:57
☆ Re: 因数分解 / ヨッシー
まずは、y=4-x は、円の式ではありませんので、
　(4-x)-√(3)x^2
は誤りです。

また、積分範囲も、１〜√3 ではありません。

図のように、中心角60°の扇形から、青と黄を引きます。
No.9165 - 2009/12/18(Fri) 06:15:25
★ 数?V微分法 / 梶

共有点における共通接線の問題についてです。

x＞0で定義される関数f(x)=logx/x,g(x)=(a/x)+bについて、原点を通り曲線y=f(x)に接する直線lの方程式と、その接線Pの座標を求めよ。

f(x)を微分してもxに0を代入すると傾き0になってしまって解き方がいまいち分かりません。
どなたか宜しくお願いします。
No.9154 - 2009/12/16(Wed) 15:02:06
☆ Re: 数?V微分法 / 七
> f(x)を微分してもxに0を代入すると傾き0になってしまって解き方がいまいち分かりません。

f(x)を微分したらどうなりましたか？

xに0を代入したのはなぜですか？
No.9155 - 2009/12/16(Wed) 18:52:19
☆ Re: 数?V微分法 / 梶

お返事ありがとうございます。

f'(x)=1-logx/x^2

になり、原点を通るとあったので0を代入しました。


No.9156 - 2009/12/16(Wed) 20:55:03
☆ Re: 数?V微分法 / あいうえお
あの・・
めちゃくちゃなことしてます。

・導関数は接線の方程式ではありません
・ｆはx=0で定義されてないのでf'(0)は意味なし
・f'(0)はそもそも極限値として考えるべきです

数３の前に対数関数も数２の微分をわかっていないので話になりません。いまいちではなくさっぱりわかっていません
No.9158 - 2009/12/17(Thu) 01:05:29
☆ Re: 数?V微分法 / 七
y＝f(x)のx＝tにおける接線の方程式は
y−f(t)＝f'(t)(x−t)です。
これが原点を通るのですからx＝y＝0を代入しましょう。
No.9159 - 2009/12/17(Thu) 06:10:28
★ よろしくお願いいたします / 中村
ｙ＝Ｘ＾3＋ｂＸ＾2−ｂＸ−１と
ｙ＝Ｘ＾2＋２Ｘ−３の共有点がちょうど2点となるｂの値を求めよ。


よろしくお願いいたします
No.9152 - 2009/12/15(Tue) 22:09:13
☆ Re: よろしくお願いいたします / ヨッシー
両者を連立させた
　x^3＋(b-1)x^2−(b+2)x＋２＝０
が、２つの異なる実数解を持てば良いので、因数分解して、
　(x-1)(x^2+bx-2)＝０
x^2+bx-2＝０ の、判別式を取って、
　Ｄ＝b^2＋８＞０
より、x^2+bx-2＝０ は、異なる２実根を持ちます。
そのうちの１つが x=1 であれば良いので、x=1 を代入して、
　b=1
このとき、(1, 0)、(-2, -3) の2点を、共有点に持ちます。
No.9153 - 2009/12/16(Wed) 06:12:36
★ 最大値 / ソリトン
正方形ＡＢＣＤを底面にもち、すべての辺の長さが2である四角錐ＥＡＢＣＤがある.辺ＥＡ上に点Ｐ、辺ＥＢ上に点ＱをＥＰ=ＥＱが満たされるようにとる.ＰおよびＱから底面ＡＢＣＤに下ろした垂線の足をそれぞれＰ'およびＱ'とし、正方形ＡＢＣＤの2本の対角線の交点をＯとする.
(1)∠ＰＡＯの大きさを求めよ.
(2)四角形ＰＰ'Ｑ'Ｑの面積は、ＥＰ=＿のとき最大値＿をとる.
(3)(2)の場合、cos∠ＰＯＱを求めよ.

(1)△ＥＡＯを考えてcosＡ=√2/2∴∠ＰＡＯ=45°

(2)(3)考え方を教えてください.
No.9149 - 2009/12/14(Mon) 20:15:48
☆ Re: 最大値 / ヨッシー
(2)ＥＰ＝ｘとおくと、
　ＰＰ’＝ＱＱ’＝ＡＰ/√2＝(２−ｘ)/√2
また、ＰＱ＝Ｐ’Ｑ’＝ＥＰ＝ｘ より、
四角形ＰＰ’Ｑ’Ｑ＝ｘ(２−ｘ)/√2
・・・(以下略)　

(3)は(2)の答えがわかったものとして書いています。

(3)
Ｏを原点、Ａ(1,1,0)、Ｂ(-1,1,0) とすると、
Ｐ(1/2,1/2,√2/2)、Ｑ(-1/2,1/2,√2/2) となり、
ＯＰ＝ＯＱ＝１、ＰＱ＝１ より、△ＯＰＱにおける余弦定理より
　∠ＰＯＱ＝・・・(以下略)
No.9151 - 2009/12/14(Mon) 22:41:37
★ 数?V無理関数 / 宮島
今日は。数?Vの無理関数の範囲で分からないところがあったので投稿させていただきました。

aは実数でa＞-2とする。関数f(x)= √{4-(x^2-a)^2}の定義域を求めよ。

というものです。
4-(x^2-a)^2≧0
x^4-2ax^2+a^2-4≦0
{x^4-(a+2)}{x^4-(a-2)}≦0

まではやってみたのですが、続きをどうやっていいのかわかりません。
どなたかご教授宜しくお願いします。
No.9147 - 2009/12/14(Mon) 14:01:08
☆ Re: 数?V無理関数 / 豆
因数分解も間違えていますが、因数分解は不要で、
最初の式から
-2≦x^2-a≦2　　は分かります。　　　移項して、
a-2≦x^2≦a+2　　
ここで、左辺と右辺がどんな値をとるかを考えて
場合分けしましょう。
No.9148 - 2009/12/14(Mon) 17:10:28
★ 不等式の証明(訂正) / ゆう
問題

a,bを複素数とする

d(a,b)=|a-b|/√(1+|a|^2)√(1+|b|^2)

のとき

d(a,b)<=d(a,c)+d(c,b)



(証明)

(a-b)(1+c・cバー)=(a-c)(1+b・cバー)+(c-b)(1+a・cバー)　・・・・(*)

これより

|a-b|(1+|c|^2)<=|a-c||1+b・cバー|+|c-b||1+a・cバー| ・・・・(**)

となる。容易にわかるように

|1+b・cバー|^2=(1+b・cバー)(1+bバー・c)
<=(1+|b|^2)(1+|c|^2)
|1+a・cバー|^2<=(1+|a|^2)(1+|c|^2)　・・・・(***)

であるから、(*)より

|a-b|(1+|c|^2)
<={|a-c|√(1+|b|^2)+|c-b|√(1+|a|^2}√(1+|c|^2)

√(1+|a|^2)√(1+|b|^2)√(1+|c|^2) で両辺を割って

d(a,b)<=d(a,c)+d(c,b) ・・・・(****)

(終)




この証明の中でわからない部分がいくつかあります。

１、なぜ(*)の式が得られるのでしょうか？
２、(**)の不等式は(*)の式に絶対値をつけると、(**)の不等式になるのでしょうか？
３、(***)の２つの不等式式はなぜ上記のような不等式になるのでしょうか？
４、両辺で割る部分、(****)の結果が得られるまでの途中式がわかりません。


ちなみに「バー」はその前の文字の上に付くもの「・」は掛け算、「√」は２分の１乗です。

よろしくお願いいたします。
No.9146 - 2009/12/14(Mon) 11:57:44
☆ Re: 不等式の証明(訂正) / ヨッシー
(*) は、右辺を注意深く展開すれば得られます。

(**)は、ｃ・ｃバー＝|ｃ|^2 であることをまず理解しましょう。
あとは、複素数ａ，ｂ，ｃについて
　ｃ＝ａ＋ｂ　ならば　|ｃ|≦|ａ|＋|ｂ|
が言えるので、(*) にこれを適用します。

(***)は、やはり、ｃ・ｃバー＝|ｃ|^2　より等号は導けます。
不等号は、(右辺)−(左辺)を計算して、
　(1+|b|^2)(1+|c|^2)−(1+b・cバー)(1+bバー・c)
　＝|b|^2＋|c|^2−b・cバー−bバー・c
　＝ｂ・ｂバー＋ｃ・ｃバー−b・cバー−bバー・c
　＝(ｂ−ｃ)(ｂバー−ｃバー)＝|ｂ−ｃ|^2≧０

(****) の前の式は、少し書き間違えていますし、(*)より
ではなく、(**)より、です。
(**)の|1+b・cバー| と |1+a・cバー| にそれぞれ、(***)を
適用して、
　|a-b|(1+|c|^2)<=|a-c|√(1+|b|^2)√(1+|c|^2)＋|c-b|√(1+|a|^2)√(1+|c|^2)
で、両辺√(1+|c|^2)で割って、
　|a-b|√(1+|c|^2)<=|a-c|√(1+|b|^2)＋|c-b|√(1+|a|^2)
で、
　√(1+|a|^2)√(1+|b|^2)√(1+|c|^2) で両辺を割って
とつながります。
No.9157 - 2009/12/16(Wed) 23:10:50
★ 高2・微分 / 匿名
いつもお世話になっています。

方程式x^3-3ax^2+32=0　の異なる実数解の個数を調べよ。
但しa>0とする。

解答は画像の通りなのですが、
どうしてこのような範囲のときに
解の個数が決まるのかわかりません。
それと｢x<0の範囲にx軸との共有点が必ず1個ある｣
というのもわかりませんでした。

よろしくお願いします！
No.9140 - 2009/12/13(Sun) 18:00:35
☆ Re: 高2・微分 / フリーザ
文章だけでは説明がうまくできませんがグラフは書いてみましたか？
No.9141 - 2009/12/14(Mon) 00:31:09
☆ Re: 高2・微分 / 数学好きの数学下手
　x^3-3ax^2+32=0の解が何個あるかを調べるというのは、すなわち、f(x)=x^3-3ax^2+32として、y=f(x)とy=0（すなわちx軸）との交点が何個あるかを調べるということである、というところまではよろしいでしょうか？（最初の三行の部分ですね）

　まずは、グラフの概形をつかむところから始めましょう。

?@
　f(x)=x^3-3ax^2+32を微分することにより増減を調べてみましょう。
　f'(x)=3x^2-6ax=3x(x-2a)となり、x=0,2aで極値をとることがわかります。すなわち、x=0、x=2aのうちどちらかが極小値になり、残りのどちらかが極大値になるということです。

　ですが、a>0となっているので、絶対に0<2aとなります。このことを踏まえて増減表を書いてみましょう。そうすると、極大値はx=0のときにとり、極小値はx=2aのときにとることがわかり、グラフは図のようになります。

?A
　さて、x<0について、グラフよりxが十分に小さいときにはf(x)<0であることがわかります。f(0)>0となるので、グラフからどこかx<0でf(x)=0なるxが一つあることがわかります。
　このような考え方は、中間値の定理と言いますが、これは数?Vの範囲であり、後々学ぶことになるでしょう。
　ですので、今の地点では十分にxが小さい場合はyの値は負になるし、x=0では正になる。グラフはずっとつながっていてしかもx<0の部分ではグラフは増加していくだけだから、共有点は一つだけあるはずだ、という考え方でいいでしょう。
　詳しくは教科書を見たり、授業を聞いたりして学んでいってくださいね。｢x<0の範囲にx軸との共有点が必ず1個ある｣というのはこういうことです。

?B
　では、x>0のところを見てみましょう。x>0に関しては極小値で最小であることがわかります。これはグラフを書いてみればあきらかです。
　さて、その最小値が正か0か負か？つまりf(2a)の値が正か０か負か？これでx軸の共有点の個数が決まってきます。

　これが負であるときは、x>0でのx軸との共有点は2個存在し、0であるときはx>0において共有点は1個、正であるときはx>0において共有点はなし、ということになります。
　ということで、aがどういう値のときにf(2a)は正か０か負かというのを調べることになります。そこで、解答のようになるのです。


　以上より、答えは貴方が画像で載せたようなとおりになるのです。理解していただけたでしょうか。
No.9144 - 2009/12/14(Mon) 02:09:42
☆ Re: 高2・微分 / 匿名
返事が遅れてしまい申し訳ありません。

とても詳しい説明で私でも理解できました！
類題を解いて復習してみます。

本当にありがとうございました！
No.9178 - 2009/12/20(Sun) 19:33:02
★ (No Subject) / 数学好きの数学下手
某質問サイトで興味深い問題を見つけたのですが、なかなか解けません。おそらく高校までの範囲でできるのでしょうが…回答をお願いします。

・問題

正四面体ABCDについて、Aから面BCDに引いた垂線の足をE、Bから面ACDに引いた垂線の足をF、Cから面ABDに引いた垂線の足をG、Dから面ABCに引いた垂線の足をHとする。AE、BF、CG、DHの中点をそれぞれP、Q、R、Sとするとき、4つの立体P-BCD、Q-ACD、R-ABD、S-ABCすべてに共通する部分の体積は、正四面体の体積の何倍か。
No.9138 - 2009/12/12(Sat) 08:42:40
☆ Re: / フリーザ
マックスパワーの半分も出せば解けると思ったのですが・・・
フルパワーでもわかりません。どなたか解ける方はいませんかね。。
No.9142 - 2009/12/14(Mon) 00:33:47
☆ Re: / 数学好きの数学下手
難しいですよね、これ…。

結局、グラフ描画ソフトを入手して検討してみましたが、それでも図形をあんまり把握できてないという感じですね。（汗）。正八面体に４つ三角柱をくっつけたような形…ということになるのでしょうか。図のような感じです(P,Q,R,Sになってしまっていますが、本当はQ,R,S,Tですね)。

そう考えると、相似比から考えて、どうやら求める体積は1/8倍のようです。
No.9143 - 2009/12/14(Mon) 01:24:27
☆ Re: / ヨッシー

△ＢＣＰと△ＡＣＱの交わるところに、直線ＴＣが出来ます。

△ＡＢＲも考慮すると、図のような形になります。
これが４面合わさったような形になりますね。
No.9150 - 2009/12/14(Mon) 22:30:44
★ 極限についてなのですが… / take
次の問題がわかりません。回答お願いします！

・問題
t=-(log(cos(k)))/kとおくとき、lim(t→+0) k/tを求めてください。
ただし、0≦k≦π/2

なお、x≧0のとき、次の二つの式を使用しても大丈夫です。

1-(x^2/2)<=cosx<=1-(x^2/2)+(x^4/24)
1-x+x^2/2-x^3/6<=e^(-x)<=1-x+x^2/2


t→+0のとき、k→+0が示せれば簡単なのですが、それがわからず困っています。

答えは1/2だと思います。
宜しくお願いします。
No.9128 - 2009/12/11(Fri) 17:11:11
☆ Re: 極限についてなのですが… / take
一応解きましたが、k→0の証明はこれでいいでしょうか？

kt+(log|cos(k)|)=0 において、0t→+0のとき、kt→+0したがって、(log|cos(k)|)→0
よって、cos(k)→1
ゆえに、k→0
No.9129 - 2009/12/11(Fri) 18:29:46
☆ Re: 極限についてなのですが… / フリーザ

> t→+0のとき、kt→+0したがって、
ｋが定数ではないのでここはまずいです

(log|cos(k)|)→0
> よって、cos(k)→1
　証明ではlogxの連続性よりと一言かくとよいです。

で肝心の問題は今考えましたがわかりません。。
もう少し考えてみます
No.9131 - 2009/12/11(Fri) 23:40:42
☆ Re: 極限についてなのですが… / take
返信ありがとうございます。


kはｔに依存する変数であっても有限だから、こうみなしてもよいかと思ったのですが・・・。

　ちなみに答えは２ですね。間違えました。
No.9132 - 2009/12/12(Sat) 00:29:04
☆ Re: 極限についてなのですが… / フリーザ
あ！そうですねｋは有界なので問題ないです。
すみません。厳密にははさみうち？

じゃあ解決ですね！
No.9133 - 2009/12/12(Sat) 00:32:44
☆ Re: 極限についてなのですが… / take
そうですね。
あとは、はさみうちで解決です。

貴重な時間を割いていただいて、ありがとうございました。
No.9136 - 2009/12/12(Sat) 01:02:44
★ (No Subject) / 数学好きの数学下手
質問です。

　xy平面上で4つの点ABCDが共円になる条件を考えよ(A,B,C,Dの座標は与えられています)、という問題があるのですが、この条件は次のように考えてもよいでしょうか。

「線分AB、BC、CDの垂直二等分線が交わるようなとき、A,B,C,Dは同一円周上にある。」
　

　なお解答してくださる方は、次のようなことを考慮してください。（図のような感じです）
(i)A,Dは必ず直線BCについて同じ側にある。
(ii)∠ABC、∠BCDは必ず鈍角。

　それともやはり、円周角の定理や、対角の和が180°のような条件を使い地道に解いた方がよろしいでしょうか。

　
No.9123 - 2009/12/11(Fri) 10:04:17
☆ Re: / フリーザ
垂直２等分線が交わるではなく1点で交わるですよね？
ABとBCの垂直2等分線でABCの３点を通る円が決まり
BCとCDの垂直2等分線でBCDの３点を通る円が決まります
よってそれらの中心が一致すればABCDは同一演習上にあるといえます。
No.9124 - 2009/12/11(Fri) 12:31:25
☆ Re: / 数学好きの数学下手
中心が一致するという重要なことを見落としていました。

どうもありがとうございました！
No.9127 - 2009/12/11(Fri) 14:05:49
★ 順列組み合わせの問題です / ﾋﾛ
3種類の材料ｻｹ，鶏肉，ｶﾆから1種類と7種類の材料白菜，豆腐，春菊，日本産ﾈｷﾞ，中国産ﾈｷﾞ，日本産椎茸，中国産椎茸から異なる4種類の計5種類を選ぶ組み合わせは何通りありますか？日本産と中国産のﾈｷﾞを同時に選ぶことはできません。椎茸も同様です。
No.9120 - 2009/12/10(Thu) 23:46:50
☆ Re: 順列組み合わせの問題です / BossF
7種類の材料白菜，豆腐，春菊，日本産ﾈｷﾞ，中国産ﾈｷﾞ，日本産椎茸，中国産椎茸から異なる4種類のほうだけ、方針を

ﾈｷﾞ椎茸の両方が入る場合
ﾈｷﾞ椎茸のいずれか一方が入る場合
ﾈｷﾞ椎茸のいずれも入らない場合

に分けたら簡単だと思います
No.9121 - 2009/12/11(Fri) 00:55:59
☆ Re: 順列組み合わせの問題です / フリーザ
まずは中国産日本産を考えずに計算してから不適切なものを全体からひきます
No.9126 - 2009/12/11(Fri) 12:42:39
★ 大学入試問題です / 悠
正方形の頂点をｎ種類の色を使って塗り方を考える。ただし、平面上の回転で移りあう塗り方は同じものをみなす。また、同じ色を重複して使っても良いし、使わない色があってもよいものとする。
（１）ｎ＝２，３のとき，異なる塗り方は何通りあるか
（２）ｎ≧４のとき，異なる塗り方の総数をｎを用いて表せ。

数え上げてましたが、混乱してしまいました・・・
よろしくお願いします(*_ _)
No.9119 - 2009/12/10(Thu) 20:09:26
☆ Re: 大学入試問題です / BossF
要は同要素円順列ですよね

→端点を決め、対称性に注意する…んですが、これが面倒　私も嫌いです、（＾＾；；アドバイスになってないって
No.9122 - 2009/12/11(Fri) 01:02:12
☆ (No Subject) / 悠
やっぱり注意して数え上げるしかないですかね・・・＞＜

引っかかるのが、最後の「使わない色があってもよいものとする。」という一文で、これは例えばｎ＝２の時、１色で４頂点を塗っても良い、という事なんでしょうか・・・？
No.9130 - 2009/12/11(Fri) 22:11:51
☆ Re: 大学入試問題です / フリーザ
何色使うかで場合わけをします

４色→nC4×３！(４つ色選んで円順列)
３色→ｎC３×３×４(３つ選んで２回使うやつきめて並べる)
２色→ｎC２×２(２つ選んで並べる)
１色→ｎ

３と２の場合の４と２はパターンを書き出せばわかると思います。
No.9134 - 2009/12/12(Sat) 00:50:37
☆ Re: 大学入試問題です / フリーザ
最後の１文の件ですがもちろん
ｎ=２なら１色で塗ってかまいません
No.9135 - 2009/12/12(Sat) 00:51:49
☆ Re: 大学入試問題です / BossF
「塗り分ける」ではないので、ｎに拘らず一色もOKです、普通（＾＾；；
No.9137 - 2009/12/12(Sat) 02:25:24
★ 高校入試の問題です。 / マオ
次の問題が難しくてよくわかりません。教えてください。

ＡＢ＝２、ＡＤ＝２、ＡＥ＝４である直方体ＡＢＣＤーＥＦＧＨにおいて、辺ＢＦ上にＢＰ＝３となる点Ｐをとる。
点Ｑは辺ＥＦ上を動き、点Ｒは平面ＣＤＥＦ上を動く。
ＡＲ＋ＲＰを最小にする点Ｒに対して、四角すいＲ−ＥＦＧＨの体積を求めよ。
No.9116 - 2009/12/09(Wed) 23:11:58
☆ Re: 高校入試の問題です。 / ヨッシー

平面ＣＤＥＦに対して、Ａと対称な点をＡ’とします。
Ａ’は、平面ＡＤＨＥと同じ平面上にあります。

平面ＡＤＨＥの正面から見た図が右ですが、この図で、
Ａ’とＰを結ぶ直線が、平面ＣＤＥＦが作る直線と
交わる点がＲとなります。

平面ＣＤＥＦが直線になる方向から見ているので、ＰやＲの
奥行きは関係なく、平面だけで考えることが出来ます。
Ｒから平面ＥＦＧＨまでの高さは、図から求められますので、
体積も出せます。
No.9117 - 2009/12/10(Thu) 06:56:31
☆ Re: 高校入試の問題です。 / マオ
しばらく考えこんでしまいましたが、何とか答えにたどりつきました。ありがとうございます。
No.9172 - 2009/12/20(Sun) 16:39:24
★ 高校入試問題 / 匿名
次の問題がわかりません。
１辺の長さが６である正八面体がある。各面の重心を頂点とする正多面体の体積を求めよ。
No.9114 - 2009/12/09(Wed) 08:26:08
☆ Re: 高校入試問題 / らすかる
（真上から見た）図を書いてみましょう。
No.9115 - 2009/12/09(Wed) 13:28:25
☆ Re: 高校入試問題 / マオ
中にできる立方体の１面、正方形の対角線を利用したらできました。
No.9173 - 2009/12/20(Sun) 16:40:49
★ 数?V導関数の応用 / 笹山
今晩は。数?Vの導関数の応用の範囲です。

0＜x＜c＜x+1のとき1/x,1/c,1/x+1を小さい順に並べよ。

多分平均値の定理を使うかと思うんですがどのように使って良いかわかりません。
どなたかご教授よろしくお願いします。
No.9110 - 2009/12/07(Mon) 22:01:06
☆ Re: 数?V導関数の応用 / ast
問題文に抜けとか, あるいは全然別の問題と勘違いしている, とかいうようなことはありませんか? そのままだと数IIIの応用どころか, 中学生が基本問題としてやるような話にしか見えないのですが……
No.9111 - 2009/12/07(Mon) 22:16:43
☆ Re: 数?V導関数の応用 / 七
f(x)＝1/x　とおくと
f'(x)＝−1/x^2＜0
したがってf(x)は単調に減少する。
よって
0＜x＜c＜x+1のとき1/(x＋1)＜1/c＜1/x
No.9112 - 2009/12/08(Tue) 06:03:48
★ ベクトルお願いします / しほ
原点をＯとする座標空間に３点Ａ(２、０、０)、
Ｂ(０、３、１)Ｃ(１、１、２)をとり、
方程式Z＝−１で表される平面をαとする。
t＞２とするとき点Ｐ(２、１、t)を考える。
4つの直線ＰＯ、ＰＡ、ＰＢ、ＰＣと平面αとの交点をそれぞれＤ、Ｅ、Ｆ、Ｇとする。


ｖＥＧをｖＥＤとｖＥＦとtを用いて表せ。


またＧがΔＤＥＦの周または内部にあるときのtの範囲をよろしくお願いいたします
No.9109 - 2009/12/07(Mon) 20:26:48
☆ Re: ベクトルお願いします / ヨッシー
ＰＯの式は、x＝2s、y＝s、z＝ts　なので、Ｄ(-2/t, -1/t,-1)
ＰＡの式は、x＝2、y＝s、z＝ts　なので、Ｅ(2, -1/t, -1)
ＰＢの式は、x＝2s、y＝-2s+3、z＝(t-1)s+1 なので、Ｆ(4/(1-t), (3t+1)/(t-1), -1)
ＰＣの式は、x＝s+1、y＝1、z＝(t-2)s+2 なので、Ｇ((5-t)/(2-t), 1, -1)
のようにして、たとえば、
ＥＧは(Ｇの座標)−(Ｅの座標)で求められます。

　ＥＧ＝αＥＤ＋βＥＦ
の形になりますので、
　α≧０、β≧０、α＋β≦１
であれば、Ｇは△ＤＥＦの周または内部にあります。
No.9113 - 2009/12/08(Tue) 07:01:29
★ 李さん1の問題について / 社会人の受験生
はじめまして。
数学はかなり昔のことなのですっかり忘れてしまいました。
李さん1の問題について教えてください。
回答に
「図のように、Ａ、Ｂ、Ｃを取り、ＡＢ上に点Ｄを各ＢＣＤ＝60°となるように取ります。
また、ＢＣ＝ｘ とします。
このとき、ＡＤ＝ＤＣであるので、」
とありますが
「ＡＤ＝ＤＣ」となる理由を教えていただけないでしょうか？
たぶん簡単な事かとおもいますが
よろしくお願いします！
No.9105 - 2009/12/07(Mon) 12:16:07
☆ Re: 李さん1の問題について / ヨッシー
△ABCの角度に注目して、
∠DACと∠DCAを求めてみてください。
No.9106 - 2009/12/07(Mon) 12:44:05
☆ Re: 李さん1の問題について / 社会人の受験生
ありがとうございます！
△ABCと同じ高さ同じ斜辺の直角三角形があることを
見落としてました^^;
すっきりしました
No.9108 - 2009/12/07(Mon) 15:44:55
★ 高校数?T 二次関数 / パワポケ12発売中！
添付の画像の問題です

ぼくは
(1)は

(?T) f(0)≧0
(?U) f(1)≧1
(?V) D＞0
(?W) 0＜軸=a＜1
と解いて、 0＜a＜5/12

(4)は

(3)の(?T)(?U)(?W)D≧0を全て満たさない、即ちa＜0,5/12＜a
となったのですが、正しいでしょうか？
No.9099 - 2009/12/04(Fri) 22:50:35
☆ Re: 高校数?T 二次関数 / 七
> (1)は
というのは
「(3)は」の間違いですね？
ここが違っています。
D＞0は　−3a＋(5/4)＜0　です。
したがって(4)も合っていません。
またx＜0、1＜xの範囲に共有点をもってもかまいません。
No.9100 - 2009/12/05(Sat) 00:31:52
☆ Re: 高校数?T 二次関数 / パワポケ12発売中！
ありがとうございました
No.9102 - 2009/12/05(Sat) 19:59:24
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