ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 行列 / ガリクソン

こんばんは。

Aを行列とし、
A^2 =(a+d)Aのとき、
A^n = A^2 A^n-2
=(a+d)A・A^n-2
=(a+d)A^2・A^n-3
=(a+d)^2 A・A^n-3

これを繰り返すと
A^n =(a+d)^n-2・A^2
となるのがなぜなのか分からないので教えて下さい。お願いいたします。

No.9760 - 2010/02/11(Thu) 23:55:02

☆ Re: 行列 / にょろ

(a+b)=cとおきます。（見やすくするため）
A^n=cA･A^(n-2)
=cA^(n-1)

なので
A^n=cA^(n-1)
ここでAを普通の実数と見れば等比数列ですよね。
というわけでその式が導かれます。（なんで自乗で止まってるか知らないけど）

No.9762 - 2010/02/12(Fri) 03:14:22

☆ Re: 行列 / ガリクソン

なぜ等比数列と見なせるのでしょうか？
これは行列ですよね？行列Aとcの関係を調べているときに、等比数列と見なせる理由が分からないです…。

No.9770 - 2010/02/13(Sat) 20:38:43

☆ Re: 行列 / ガリクソン

数列Anならわかりますが、今考えているのは行列A^nなので、等比数列と見れるという理由が分かりませんです…

No.9771 - 2010/02/13(Sat) 20:42:09

☆ Re: 行列 / ヨッシー

「Aを普通の実数と見れば」と書いてありますね。

Aを実数とし、
A^2 =(a+d)Aのとき、
A^n = A^2 A^n-2
=(a+d)A・A^n-2
=(a+d)A^2・A^n-3
=(a+d)^2 A・A^n-3

これを繰り返すと
A^n =(a+d)^(n-1)・A
となる

ならわかりますか？

No.9773 - 2010/02/13(Sat) 21:13:14

☆ Re: 行列 / ガリクソン

回答ありがとうございます。

A^n =(a+d)^(n-1)・Aがなぜ言えるのか？について、

もし、「Aが行列とするなら」、なぜ言えるのかがわかりません。
もし、「Aが数列(実数)とするなら」、言えるのかはわかります。

つまり、現問題は、「行列」として出されている問題にもかかわらず、回答は、『「数列(実数)」とするならば、コレがいえる』と言っているだけであり、肝心の質問内容である「行列の場合はなぜ言えるのか？」に関しての記述がないままに、「実数では言える」という回答で終わってしまっているのでわからないのですが…。

ものわかり悪くてスミマセンです。。

No.9776 - 2010/02/14(Sun) 00:02:13

☆ Re: 行列 / にょろ

う～んと
じゃあこんな感じでわかりますかね？
(c=a+dです)

A[n]=A^n=(cA)*A^(n-2)
=cA^(n-1)
=cA[n-1]
=c*(c*A[n-2])
=c^2*(c*A[n-3])
…
=c^(n-1)*A

ここで等比数列の教科書の項を見てもらえばわかると思いますが

等比数列の漸化式から一般項を求めるときも同じ論法を使っていることに気がつきますか？

そしてこれは実数の性質も行列の性質も使っていません。
単純に漸化式としての式に忠実に次数を落としていっているだけです。

(A*A=A^2,a*a=a^2は使っています)

なので実数でも行列でも同じことが言えます

No.9777 - 2010/02/14(Sun) 03:05:25

☆ Re: 行列 / ガリクソン

わかりました。にょろさん、ヨッシーさんありがとうございました。

No.9787 - 2010/02/15(Mon) 00:57:03

★ 平面図形です。 / shiyo

直径が2である円Oにおいて、１つの直径ABをBの方に延長し、BC=2ABとなる点Cをとる。また、Cから円Oに接線を引きその接点をTとする。線分CT、ATの長さを求めなさい。

線分CTは2√6　と出たのですが、ATが求められません。宜しくお願い致します。
ATの解答は（2√15）／5です。

No.9751 - 2010/02/11(Thu) 21:42:24

☆ Re: 平面図形です。 / rtz

△ACTと△TCBからBTがATで表され、
△ABTが直角三角形であることから三平方の定理が利用可能、
など。

No.9753 - 2010/02/11(Thu) 22:15:13

☆ Re: 平面図形です。 / ヨッシー

円の中心をＯ、∠ＴＯＢの二等分線とＴＣの交点をＤ、
ＡＴの中点をＥとすると、図の●の角は、すべて等しくなります。
角の二等分線の定理より
　ＴＤ：ＤＣ＝ＴＯ：ＯＣ＝１：５
よって、ＴＤ＝2√6/6
三平方より、ＯＤ＝√(5/3)
△ＡＥＯと△ＯＴＤは相似な直角三角形であり、
　ＴＯ：ＯＤ＝ＡＥ：ＡＯ
から、ＡＥ＝√15/5 が得られ、その2倍がＡＴです。

No.9755 - 2010/02/11(Thu) 22:32:15

☆ Re: 平面図形です。 / ヨッシー

ＯＤ＝√(5/3)
が出たら、その6/5倍がＡＴとしてもいいですね。
（△ＡＴＣと△ＯＤＣの相似より)

No.9756 - 2010/02/11(Thu) 22:37:16

☆ Re: 平面図形です。 / shiyo

rtzさん、ヨッシーさん　有り難うございます。
導き出せました！！

No.9758 - 2010/02/11(Thu) 22:53:04

★ (No Subject) / an

y1=cosx+cos(x+y)=0
y2=cosy+cos(x+y)=0
より、cosx=cosy
ここで、0≦x, y＞2πのとき
x=y,x+y=2π
となるというところなのですが、

x=yになるのは分かるんですけど、
x+y=2πとなる理由が分かりません。
解説お願いします。

No.9748 - 2010/02/11(Thu) 20:37:11

☆ Re: / 理一生

＞ここで、0≦x, y＞2πのとき
↑は０≦ｘ、ｙ＜２πですよね？

単位円で考えると、cosの値が等しいならば単位円周上を動く動点Pのｘ座標が等しくなります。

端点（θ＝０,π）を除いて必ず２つの点が対応するはずです。
その点の関係はθと（―θ）のように絶対値が等しくなっています。

今回は０≦ｘ、ｙ＜２π　のもとで考えるので、θと（２π―θ）という関係です。
よってｘ＋ｙ＝2πもOKです。（ｘ＝ｙも当然OKですが…）

No.9750 - 2010/02/11(Thu) 21:29:28

★ ありがとうございました。 / 遼太郎

こちらの３の立法根は一緒に算盤をおいて
がんばったのでとてもよく分かりました。
お礼がおそくなりました。数学なので
やっぱり教えてもらえないかなって思って
あきらめかかっていました。隣の市の珠算の教場にいって
昨日全珠連向けのドリルを売ってもらいにいきました。
すごく難しいですがこれからがんばってみます。
色々なサイトもみましたがやり方が色々とあるみたいで
このドリルを最後まで一度分かるまでやってみたいと
思います。全珠連を教えてくださってありがとうございました。
ドリルが別にあるとは知りませんでしたのでそれを見てから
投稿しようと思っていましたのでおそくなって
すみませんでした。

No.9747 - 2010/02/11(Thu) 20:34:52

★ 極座標変換における積分範囲 / 理一生

D={(x,y)|(x-a)^2+y^2≦a^2}
f(x,y)=(x^2+y^2)^(1/2)

において∫fを求める際に
x=rcosθ
y=rsinθ
と座標変換を利用して解こうと思い積分範囲を
0<r<2a, -(π/2)<θ<(π/2)
としたのですが、解答では
0<r<2a(cosθ)となっていました。

なぜｒはこのような範囲に設定するのでしょうか?

数学がとても苦手です。どなたかお願いします。

No.9746 - 2010/02/11(Thu) 20:00:30

☆ Re: 極座標変換における積分範囲 / rtz

極座標をそうおいたのなら、
x²+y²≦2axから0≦r≦2acosθ
では。

No.9754 - 2010/02/11(Thu) 22:28:21

☆ Re: 極座標変換における積分範囲 / 理一生

確かにそうですね。
今までは図示をして何となくの感覚で積分範囲を決めてきていましたが（大概の問題はそれで大丈夫でした）、
やはり積分領域を表す式に着目しなければなりませんね。

明日が微積の期末でしたので助かりました。
ありがとうございました!

No.9757 - 2010/02/11(Thu) 22:52:08

★ 高1 数Ａ / あつき

よろしくお願いします。(2題あります。どちらか1題でいいので…教えてください。)

【１】a,b,c,d,e,f,gの7文字を一列に並べるものとする。
このとき、aとbの間に2つ以上の文字が入るような並べ方は
何通りあるか。

【２】1,2,3,4,5,6,7,8の8つの数字から異なる4つの数字を
用いてできる4桁の整数を小さい順に並べた。
(1)全部でいくつあるか。
(2)111番目の整数は何か。

No.9745 - 2010/02/11(Thu) 18:30:14

☆ Re: 高1 数Ａ / 理一生

どこまで理解しているのかわかりませんが、指針だけ。

【１】
一般にこの手の問題は余事象を考えるほうが楽であることが多いです。
この問題も”aとbの間に１もしくは０個の文字が入る”確率を求めて、１から引いてやればOK！

【２】
１．8Ｐ4＝８*７*６*５で求められます。
２．千の位を１とするとこのときは７Ｐ３＝２１０通りあるので、小さいほうから１１１番目の千の位は１．
同様に百の位が２のとき（１は既に使っています）は６Ｐ２＝３０通り．
これを繰り返すと答えが出ます。

いずれも至極標準的な問題ですので、教科書・参考書などを参照してみてください。

No.9759 - 2010/02/11(Thu) 23:24:53

☆ Re: 高1 数Ａ / あつき

ありがとうございます！
よく理解できました。

No.9761 - 2010/02/12(Fri) 01:18:52

★ 教えてください！ / 高校生

数列a[1]a[2]a[3],…を次のように定義する。
a[n]=tan{π/(2^n＋1)}(n=1,2,3,…)
このとき、すべての自然数nに対して，a[n＋1]=(1/a[n＋1])－(2/a[n])が成り立つことを示せ。

帰納法を使って証明しようとしたのですがうまくできなかったので教えてください。

No.9743 - 2010/02/11(Thu) 17:46:55

☆ Re: 教えてください！ / ヨッシー

a[n]=tan{π/(2^(n＋1))}　ですね。

帰納法は必要ありません。

a[n+1]＝tanθ とすると、
a[n]＝tan(2θ)＝2tanθ/(１－tan^2θ)＝2a[n+1]/(１－a[n+1]^2)
であるので、(１－a[n+1])を掛けて
　a[n](１－a[n+1]^2)＝2a[n+1]
両辺 a[n]a[n+1] で割って、
　1/a[n+1]－a[n+1]＝2/a[n]
が得られます。

実は、この式は、θが tanθ と tan2θ が定義できる角度であれば、
何でもいいのです。
ｎを自然数とすると、０＜π/2^(n+1)＜π/4 なので、
問題なく使えます。

No.9764 - 2010/02/12(Fri) 08:21:51

★ 正規分布 / momo

確率分布(正規分布)の問題です
ある学校の入学試験で、受験生の総合得点はN(600, 100^2)に従っているという。総合得点で上位10％以内に入るには、何点以上を取っていなければならないか？

解答と考え方を詳しくお願いします…。

No.9741 - 2010/02/11(Thu) 14:28:59

☆ Re: 正規分布 / ヨッシー

正規分布表で、
斜線の部分が、40%であれば、その右側の白い部分が10%になります。
Ｚ＝１．２８のとき0.3997で最も近いので、これを採用します。
(隣のＺ＝１．２９の0.4015と、比例配分してもいいです)
この１．２８というのは、平均から、標準偏差の１．２８倍
増やしたところという意味です。よって、
　６００＋１００×１．２８＝７２８(点)
以上で、上位10.03%と言えます。

厳密に上位10%というと、７２９点必要ですね。

No.9763 - 2010/02/12(Fri) 05:56:48

★ 作図 / ファジー　中2生

1月にあった中2の学調の問題で、先生に聞いてもどうしてもわからないので教えてください。

問題
直線lとlに交わらない円があります。l上の2点A、Bに対し、円周上に点Pを?僊BPの面積が最も大きくなるように作図しなさい。

ABが底辺だとするとPが高さになるからPが最もlから離れるとき面積が最大になるということはわかりました。
でもそのPが円の中心をとおってlに垂直な直線と円の交点になる理由がどうもわからないです。先生は、lを平行に移動していったとき円と接するときの点からlに垂線を引くと必ず円の中心をとおるから解答のようにすればいいとしか教えてくれなくて、これでは理解できないです。どうして円の中心をlの垂線が通るのか分からないです。
だれかわかりやすく教えてください。お願いします。

No.9740 - 2010/02/11(Thu) 13:47:04

☆ Re: 作図 / gaku

>どうして円の中心をlの垂線が通るのか分からないです。
「どうして通るのか」というのは少しおかしいです。

中心からlに対して垂線をひくのです。

垂線が中心を通ってくれるのではないので，考えが逆になってますよ。

No.9742 - 2010/02/11(Thu) 14:31:41

☆ Re: 作図 / ファジー　中2生

＞中心からlに対して垂線をひくのです。
これがなんでかわかんないです＞＜

No.9774 - 2010/02/13(Sat) 23:27:14

☆ Re: 作図 / ヨッシー

この問題での目標は、円上の点で、ｌからもっとも離れた点を
作図すること、です。

図のように、ｌに平行な円の接線が、最も遠い点、最も近い点
となります。
円の中心と接点を結ぶ半径は、接線と垂直であり、同時に
ｌとも垂直になります。（接線とｌは平行なので）

よって、円の中心からｌに垂線をおろし、その垂線と円の交わる
点のうち、ｌから遠い方が求める点Ｐとなります。

No.9775 - 2010/02/13(Sat) 23:55:56

★ 空間図形 / こんちん　高3

座標空間にA(1,1,r),B(-1,1,r),C(-1,-1,r),D(1,-1,r)を頂点とする正方形ABCDがある。点P(p,q,r+1)から頂点A,B,C,Dに引いた直線の延長とxy平面の交点をそれぞれA',B',C',D'とするとき,以下の問いに答えなさい。ただし,p,qは実数,rは正の実数とする。
(1)四角形A'B'C'D'は正方形になるか。なるならばその理由と一辺を求めなさい。
(2)四角形A'B'C'D'の中心Q(対角線の交点)を求めなさい。
(3)p,qが、p^2+q^2=1を満たして変化するとき、四角錐P-A'B'C'D'の通過する部分の立体の体積およびABCD-A'B'C'D'に囲まれる部分の体積をそれぞれ求めなさい。

(1)、(2)ともベクトル方程式を使えば正方形であること、一辺r+1、Q(-pr,-qr,0)であることがわかりました。でも相似などの図形の性質を使えばもっと簡単になるような気がしますが、なかなか思いつきません。ベクトル方程式を使わない初等幾何的な解き方がありましたら教えていただけないでしょうか。それと(3)の方は全然わからないです。こちらも教えていただけないでしょうか。お願いします。

No.9737 - 2010/02/10(Wed) 12:31:07

★ 中学受験用の問題集より / マリナ

図のような、長方形の仕切りのついた立方体の容器があります。ＡＥ、ＥＤ、ＢＧ、ＧＣ、ＥＦ、ＦＧは、すべて同じ長さで、仕切りによって分けられたア～エの各部分に毎分同じ量の水を、それぞれの部分がいっぱいになるまで入れていきます。アの部分に水がいっぱいになるまでの時間が20分です。
水を入れ始めてからしばらくたった後、水を入れるのをやめて仕切りをすべてはずしたところ、水面がちょうど容器の高さの半分になりました。水を入れ始めてから何分後に水を入れるのをやめましたか。

この問題がわかりません。どうやって解けばいいのでしょうか？
ア、イ、ウ、エの底面積の比は４：１：２：１で、
それぞれの水がいっぱいになるまでの時間は、イが５分、ウが10分、エが５分というところまではわかります。
先にイとエの水面の高さが高くなっていくはずなので…
その先はどうなるんですかね？教えてください。

No.9728 - 2010/02/09(Tue) 20:19:26

☆ Re: 中学受験用の問題集より / Kurdt（かーと）

こんばんは。

仕切りのことを考えすぎるからむずかしく思えるのですね。
これもよくよく見ればそれほど複雑ではないです。

ちょうどアだけがいっぱいになる分の水が入れば、
仕切りを外したときに半分の高さまで水があることになります。
（このとき、イ・ウ・エは空っぽだと思ってください）

蛇口1本だけでアをいっぱいにするには20分かかります。
でも実際には蛇口は4本使っているので、
アをいっぱいにするだけを水を入れるのは5分ですみます。

でもそれだと水を全部アにだけ入れて、
イウエに入れてないからダメなように見えます。
でも水をアイウエのどこに入れても、
全体にたまる水の量はやっぱり同じですよね。

しかも5分なら、イもエもあふれずにすむので問題もありません。
ということで、答えは5分になります。

No.9731 - 2010/02/09(Tue) 20:53:35

☆ Re: 中学受験用の問題集より / マリナ

よくわかりました。頭がかたいようで…なかなか柔軟な考えができませんでした。何かにとらわれないで考えることも大事ですね。ありがとうございました。

No.9739 - 2010/02/11(Thu) 11:27:21

★ 小学生の問題です / ゆき

図のような直方体の形をした３つの容器Ａ、Ｂ、Ｃがあります。高さはすべて30?pで、ＡとＢは横幅が同じで奥行きが違っていて、ＡとＣは奥行きが同じで横幅が違っています。これらの容器すべてに水を毎分同じ割合で入れていきます。Ａ、Ｂに水がいっぱいになるまでの時間はそれぞれ15分、25分でした。
Ａ、Ｂ、Ｃに同時に水を毎分同じ割合で入れていき、10分後に水を入れるのをやめ、Ａ、Ｂの水をすべてＣに移したところ、Ｃはちょうどいっぱいになりました。このとき、ＡとＣの横幅の比を求めなさい。

この問題がわかりません。教えてください。
ＡとＢの奥行きは３：５だというのはわかるんですが…。

No.9727 - 2010/02/09(Tue) 20:07:51

☆ Re: 小学生の問題です / Kurdt（かーと）

こんばんは。

これはむずかしそうに見えて、
実はすごくかんたんな問題かもしれません。

10分入れた時点では、AもBも満タンにはなっていませんね。
なので、それを C に移したということは、
C に30分水を入れたのと同じということです。
すなわち、C がいっぱいになるまでの時間は30分です。

じゃあ、もう横幅の比はわかりますよね。

No.9730 - 2010/02/09(Tue) 20:44:12

☆ Re: 小学生の問題です / ゆき

なるほど。どつぼにはまっていたかもしれません。そういうことだったのですね。それなら、答えはわかります。１：２かな。ありがとうございました。

No.9738 - 2010/02/11(Thu) 10:58:09

★ (No Subject) / sil

四角形ＡＢＣＤにおいてＡＢ＝４　ＡＤ＝５　ＢＣ＝√７
Ａ＝６０°　Ｃ＝１２０°のとき

（１）対角線ＢＤの長さ

（２）∠ＣＤＢ

　　を求めよ。

問２　三角形ＡＢＣにおいてｂ＝√６　ｃ＝２√３　
　　　Ｂ＝３０°の時残りの辺と角を求めよ。

　高校です。よろしくお願いします

No.9721 - 2010/02/09(Tue) 01:34:55

☆ Re: / X

大問１問目）
(1)
△ABDにおいて∠Aに注目した余弦定理を使います。

(2)
△BCDについて正弦定理を使ってsin∠CDBについての方程式を立てます。
その際に(1)の結果が必要です。

No.9725 - 2010/02/09(Tue) 17:42:25

☆ Re: / X

問２)
まずaを求めましょうか。
△ABCにおいて∠Bに注目した余弦定理を使い、aについての方程式を立てて解きます。
後は正弦定理、余弦定理を使ってB,Cの値を求めるわけですが
正弦定理を使う場合は注意が必要です。

一般に
sinx=T(0°≦u≦180°)
のとき
x=u,180°-u
(但しuはsinu=T,0°≦u≦90°となるような角度)
つまり一つの正弦の値に対し、角度が二つ対応します。
ですので正弦定理を使う場合はB,Cの値を求めた後で
A+B+C=180°
を満たしているものが解答になります。

No.9726 - 2010/02/09(Tue) 17:56:52

☆ Re: / sil

詳しい解説ありがとうございました！

No.9734 - 2010/02/10(Wed) 00:10:44

★ 立方根の珠算をみました。 / 遼太郎

中１です。よろしくお願いします。
立法根の珠算がわかりません。算盤の解法です。

算盤をもって３の立法根を求めてみましたが
ほとんど分かりません。
?@初めからもう次の事がわかりません教えて下さい。
☆余りを３ａで必要な桁だけ割って☆
この必要な桁ってどうやって決めるのですか？

?A?@から分からないので全く分からないと同じです。
算盤の解法が分からないと７段にいけません。

すみません。どうしたら算盤で立法根を求められる
ようになりますか？

珠算の先生もしたことがないと言っています。
数学が好きなのでいつもヨッシー先生のところを見て
勉強をしていたら、算盤ものっていたので思わず
やってみたけど、ほとんど分かりません。
本当は何を質問してもいいかもわかりません。
すみません。算盤をまず置いてからもう固まっています。

まずとかこれとかどうしてこれをひくとかおくとか
どのように考えたらいいですか？
何から勉強したらいいですか？教えてください。

No.9720 - 2010/02/09(Tue) 01:25:40

☆ Re: 立方根の珠算をみました。 / ヨッシー

まず、必要な桁までというのは、本文中にある
１から数えて４桁まで
４から数えて５桁まで
４から数えて６桁まで
といったもので、桁が進むにつれて２桁ずつ右にずれていきます。

考え方ですが、３の立方根を考えた場合、
まず、１の位は何かというと、２では2^3＝８で３を超えてしまうので、
１の位は１です。そこで、３から１を引いて残りは２です。

次に、小数第１位は何かというと、結果から言うと４なのですが、
そうであるためには、1.4^3 が３から引けないといけません。
１はもう引いてあるので、1.4^3－１が２から引けないといけません。

(a+b)^3＝a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
という公式があるのですが、これに1.4=(1+0.4)を当てはめると
1.4^3＝(1+0.4)^3＝1^3＋3×1^2×0.4＋3×1×0.4^2＋0.4^3
　＝1^3＋3×1×(1×0.4＋0.4^2)＋0.4^3
となります。最初に引いた１は、実は 1^3 なのですが、
残りの２から、3×1×(1×0.4＋0.4^2)＋0.4^3 が引けるかという
ことになります。
3×1×(1×0.4＋0.4^2)＋0.4^3 を一気に計算するのは、大変なので、
２を3×1で割った 0.6（あまり0.2)･･･と、3×1×(1×0.4＋0.4^2)＋0.4^3 を
３で割った、(1×0.4＋0.4^2) で比較します。
0.4^3 はここでは無視します。

もし、小数１位が0.5 だと、1×0.5＋0.5^2＝0.75 なので、
0.6（あまり0.2) を超えるので、0.4 を見つけるわけです。
0.6（あまり0.2) から、1×0.4＋0.4^2＝0.56 を引いて、
0.04（あまり0.2)。0.04 は、もともと 3×1 で割ったもの、
あまり0.2は割っていないものなので、0.04 に3を掛け戻して
0.12＋0.2＝0.32

この時点で、３から、1^3＋3×1×(1×0.4＋0.4^2) までが引けて、
残り0.32 という状態です。まだ、0.4^3＝0.064 を引いていないので
引いてやって、
　0.32－0.064＝0.256
ここまでで、1.4 までが確定です。

珠算の図で言うと６．までが終わったところです。

続いて、小数第２位の計算に移ります。

大体こんな仕組みです。

最後に 0.4^3＝0.064 を引く段階になって、実は引けなかった
なんてこともあるようで、その場合の修正が、結構面倒なようです。

全珠連の段位問題集には、詳しい解説が載っていると思います。

No.9735 - 2010/02/10(Wed) 06:10:51

★ 確率入試問題 / 文系ですが

【数直線上の原点に点Pがある。点Pは、硬貨を投げて表が出れば＋１、裏が出れば－１進むとする。
このとき、硬貨を10回投げたとき、点Pが1回目以降原点も負の部分も通らずに＋４にいる確率を求めよ。】

という問題です。（解は3/64）
確率は苦手なので解説してもらえると嬉しいです。

No.9718 - 2010/02/08(Mon) 19:01:28

☆ Re: 確率入試問題 / ToDa

以下は明快でこそあれ、あまり素直な解き方ではないので、最初の解答としてはどうかと思って書き込まずにいたのですが、丸一日経ったので書いちゃいます。
----

最終的に+4にいるためには、10回のうち表が7回、裏が3回出ることが必要である。
また、題意の条件を満たしつつ+4に至るような硬貨の投げ方(例えば、表表裏表裏表表表表裏の順はその一つである)の総数をt通りとすると、求める確率はt{(1/2)^7}{(1/2)^3}=t/2^10である。そこで、tを求めることにする。

ここで、ルールを以下のように変更する。
「最初、xy平面上の原点に点Pがある。点Pは、硬貨を投げて表が出ればx軸方向に+1、裏が出ればy軸方向に+1進む。」

このルールのもと、点Pが●を経由せずに点(7,3)に至る経路の総数がtとなる。

それぞれの点に至る経路の総数を順次書き込み、t=48を得る。

以下略。

No.9729 - 2010/02/09(Tue) 20:19:39

☆ Re: 確率入試問題 / 文系ですが

なるほど！
こういう解き方もあるんですね！

No.9732 - 2010/02/09(Tue) 20:56:17

★ これは何の問題でしょう？ / のんちゃん

見たことがないので、解き方がさっぱりわかりません。教えてください。小学生の問題なんですが…。

No.9716 - 2010/02/08(Mon) 18:36:52

☆ Re: これは何の問題でしょう？ / rtz

(8×P＋21)^2＝(64×P^2)＋(2×8×21×P)＋(7×63)
7×(3×P＋8)^2＝(63×P^2)＋(2×8×21×P)＋(7×64)

A＝(8×2＋21)/(3×2＋8)

(7－式の値)×(3×A＋8)^2×(3×2＋8)^2
＝(7－A^2)×(3×2＋8)^2
＝7－2^2＝3
⇔7－式の値＝3÷{(3×A＋8)^2×(3×2＋8)^2}
＝3÷{3×(8×2＋21)＋8×(3×2＋8)}^2
＝3÷(223)^2

30000＝200×150＜(223)^2＜300×1000＝300000
⇔1/100000＜3÷(223)^2＝7－式の値＜1/10000

No.9719 - 2010/02/08(Mon) 20:06:52

☆ Re: これは何の問題でしょう？ / のんちゃん

ありがとうございます。
(8×P＋21)^2＝(64×P^2)＋(2×8×21×P)＋(7×63)
7×(3×P＋8)^2＝(63×P^2)＋(2×8×21×P)＋(7×64)

ここまではわかりますが、式の値がA^2となるのがどうしてかわかりません。

> A＝(8×2＋21)/(3×2＋8)
>
> (7－式の値)×(3×A＋8)^2×(3×2＋8)^2
> ＝(7－A^2)×(3×2＋8)^2
> ＝7－2^2＝3
> ⇔7－式の値＝3÷{(3×A＋8)^2×(3×2＋8)^2}
> ＝3÷{3×(8×2＋21)＋8×(3×2＋8)}^2
> ＝3÷(223)^2
>
> 30000＝200×150＜(223)^2＜300×1000＝300000
> ⇔1/100000＜3÷(223)^2＝7－式の値＜1/10000

No.9723 - 2010/02/09(Tue) 10:37:45

☆ Re: これは何の問題でしょう？ / rtz

はじめ2行は補足で、一般に以下が成り立つ、の意。

式の値がAなのではなく、全部書くのが面倒なので、
式の分母にも分子にもある分数をAとしただけ。

No.9724 - 2010/02/09(Tue) 12:12:28

☆ Re: これは何の問題でしょう？ / のんちゃん

実に難しい問題ですね。おいた数の意味はわかりました。もう少し頭を整理してみます。

No.9733 - 2010/02/09(Tue) 21:02:42