ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 三角関数受験生 / nao

a=（2/５）πのときcos３a=cos2a
を示せ

２）cos（2/5）πの値をもとめよ

がわかりません

A+B+C＝π
sinA+sinB=2cos(c/2)cos(A-B)/2
の証明ができません

No.9503 - 2010/01/22(Fri) 20:07:37

☆ Re: 三角関数受験生 / だるまにおん

cos(3a)=cos(6π/5)=cos(2π-4π/5)=cos(-4π/5)=cos(4π/5)=cos(2a)

cos(3a)=cos(2a)をcosaだけの式に変形すると、わかります。

sinA+sinB=2sin(A+B)/2*cos(A-B)/2 という公式を思いだしましょう。

No.9507 - 2010/01/23(Sat) 03:11:29

☆ Re: 三角関数受験生 / nao

ありがとうございます

No.9511 - 2010/01/23(Sat) 19:39:06

★ (No Subject) / 受験生

方程式x^2-xy＋y^2=3の表す曲線をCとする。このとき、次の各問いに答えよ。

(1)曲線Cを原点の周りに-45℃回転した曲線の方程式を求め、それを利用して曲線Cの概形をかけ。

(2)曲線Cの第1象限にある部分が、x軸、y軸と囲む図形の面積を求めよ。

No.9501 - 2010/01/21(Thu) 18:28:46

☆ Re: / ヨッシー

(1)
回転前の座標を(X,Y)、回転後の座標を(x,y) とすると、
(X,Y) は(x,y) を45°回転した点なので、
　X=(√2x－√2y)/2
　Y=(√2x＋√2y)/2
(X,Y)は、曲線Ｃ上の点なので、
　X^2-XY＋Y^2=3
変形して (この変形は、代入を楽にするためのもので、別に
　　　　　元のまま代入しても構いません)
　(X+Y)^2-3XY=3
これに、上の変換式を代入して、
　(√2x)^2-3(x^2-y^2)/2=3
両辺２を掛けて
　4x^2-3x^2+3y^2＝６
　x^2+3y^2＝６
　x^2/6+y^2/2＝1
よって、Ｃは、この楕円を45°回転させたものになります。

(2)
求める部分は、右の図の青い部分ですが、これは、
中の図で、楕円と、ｙ＝ｘ、ｙ＝－ｘで囲まれた部分になります。
これを、ｘ軸方向に1/√3 倍に縮めると、左の図のように
半径√2 の円と、y=√3x、y=－√3x になります。
つまり、青の部分は、中心角120°の扇形になります。
その面積は、2π/3 であり、√3倍して元に戻すと
　2π/√3
となります。

No.9522 - 2010/01/24(Sun) 15:42:49

★ 高１　２次関数 / あつき

よろしくお願いします。

放物線y=x^2を平行移動して、頂点がy=2x－5の上にくる
ようにした放物線をCとする。
Cとy軸との交点のy座標の最小値を求めよ。また、このときの
Cの方程式を求めよ。

No.9500 - 2010/01/21(Thu) 18:26:35

☆ Re: 高１　２次関数 / だるまにおん

頂点は(p,2p-5)とおける。よって
C:y=(x-p)^2+2p-5
Cとy軸との交点のy座標は
(0-p)^2+2p-5
なので、平方完成をすれば、最小値がわかります。

No.9508 - 2010/01/23(Sat) 03:40:14

☆ Re: 高１　２次関数 / あつき

よくわかりました！
ありがとうございました。

No.9514 - 2010/01/23(Sat) 21:16:22

★ 積分です / akasaka

問題
?@∫√(1-x^2)dx
?A∫{2x/(x^(2)+x+1)}dx
?B∫1/{x(1+x^(n))^2}dx
?C∫sin(logx)dx
?D∫{log(logx)}/xdx

答え
?@(1/2){x√(1-x^(2))+sin^(-1)x}+c
?Alog(x^(2)+x+1)-(2/√3)tan^(-1){(2x+1)/√3}+c
?B(1/n){1/(1+x^(n))+log|x^(n)/(1+x^(n))|}+c
?C(1/2)(sin(logx)-cos(logx))+c
?D(logx)log(logx)-logx+c

以上のものの計算式をお願いします

No.9499 - 2010/01/21(Thu) 17:21:44

★ こういうのを頭で考えることができません / 受験生

四辺の長さがそれぞれ６,５,４,３で少なくとも１つの内角が直角であるような四角形が何通りあるか？
またそのうち２つの内角が直角なものは何通りか？
また凸であるものは何通りか？
そして,これらすべての四角形のうち最小の面積はいくつか？

答えは上から　２０,２,１８,６です。
計算過程が知りたいです。
お願いします。

No.9498 - 2010/01/21(Thu) 16:52:03

★ 確率 / 弥里

入試の過去問です。
確率の問題について質問させて下さい。

目の出る確率が一様でないサイコロがある。
各目の出る確率は目の数に反比例する。このサイコロを振った時、偶数の目の出る確率は？

確率が一様でないサイコロについての問題をあまり解いたことがなかったので、目の出る確率が目の数に反比例する…からすでに良く分かりませんでした。
解答は５５／１４７になっていました。
解説お願いします。

No.9495 - 2010/01/21(Thu) 13:06:00

☆ Re: 確率 / らすかる

目の出る確率が目の数に反比例するということは、
1,2,3,4,5,6の出る確率の比が1：1/2：1/3：1/4：1/5：1/6に
なっているということです。
1の目の出る確率をkとおくと、合計の確率は1ですから
k+k/2+k/3+k/4+k/5+k/6=1 であり、求める確率は
k/2+k/4+k/6 となりますね。

No.9496 - 2010/01/21(Thu) 13:52:45

☆ Re: 確率 / 弥里

あ、、、解けた(≧▽≦)
らすかるさんありがとうございます。

まずはkを出してみて(k＝20/49)、k/2+k/4+k/6を足した11/12kに代入してみたら答えになりました。
だいじょうぶかな、これで・・・
入試が心配です＾＾；

No.9497 - 2010/01/21(Thu) 16:31:32

★ 確率 / 澪

箱の中に赤､青､黄の3色のｶｰﾄﾞが○それぞれ1枚ずつ入っている｡箱からｶｰﾄﾞを1枚取り出し､その色を確かめて箱の中に戻す｡この操作を4回行う｡
(1)4回とも同色のｶｰﾄﾞを取り出す確率を求めよ｡
(2)異なる2色のｶｰﾄﾞをそれぞれ2回ずつ取り出す確率を求めよ｡
(3)取り出したｶｰﾄﾞの色が全部でX種類であるとする｡X=2となる確率を求めよ｡また､Xの期待値を求めよ｡

○袋の中に､数字1が書かれた球が4個､数字2が書かれた球が2個､数字3が書かれた球が1個の計7個の球が入っている｡
(1)X=7である確率を求めよ｡
(2)Xが3の倍数である確率を求めよ｡
(3)Xの期待値を求めよ｡

計算式と答えをよろしくお願いします!

No.9494 - 2010/01/21(Thu) 11:02:05

★ 確率 / みゆ

1.
1､2､3､4､5の数字がそれぞれ1つずつ書かれた5個の赤玉と6､7の数字がそれぞれ1つずつ書かれた2個の白玉がある｡これらの7個の玉から何個かを取り出し､横一列に並べる｡

(1)7個の球すべてを一列に並べる｡左の5個が赤玉で右の2個が白玉である並べ方は全部で何通りあるか｡また､白玉が隣り合っている並べ方は全部で何通りあるか｡
(2)6個の球を一列に並べる｡両端が赤玉である並べ方は全部で何通りあるか｡
(3)5個の球を一列に並べる｡赤玉と白玉が交互に並ぶ並べ方は全部で何通りあるか｡また､白玉の両隣が赤玉である並べ方は何通りあるか｡

式と解答をお願いします!!

No.9493 - 2010/01/21(Thu) 10:51:04

★ お世話になります。 / 円錐

○○錐の体積を求める時に、1/3をする理由を簡単に証明しなさい。

中学１年生レベルでもわかるようなやり方をお願いします。

No.9490 - 2010/01/20(Wed) 22:25:37

☆ Re: お世話になります。 / 我疑う故に存在する我

確か（正確な記憶はないが）
http://www.nn.iij4u.or.jp/~hsat/
のサイトの何処かに分かり易い図が書いてあったと思うので、
http://6321.teacup.com/phaos/bbs
で質問してみる事をお薦めします。

No.9502 - 2010/01/21(Thu) 23:03:35

☆ Re: お世話になります。 / phaos

それは
http://phaos.hp.infoseek.co.jp/int1/volume.htm
の原論第 12 巻命題 7 の図のことですか?
探したけれど他にそれらしいものが見つからない。

最近の小学校では立方体の対角線を引いて出来る六つの四角錐を利用するという方法を取っている人がいると聞いたことがあります。

もう一つ, 私が小学生の時は, 円錐形の容器と同じ高さの円筒形の容器を用いて, 水を三杯汲んで, ほら三倍でしょう? という指導を受けたことがあります。

何れにしても, 一般の錐に拡張するにはカバリエリの原理を用います。

No.9510 - 2010/01/23(Sat) 17:33:01

☆ Re: お世話になります。 / 我疑う故に存在する我

phaos さん

>の原論第 12 巻命題 7 の図のことですか?
そうでした。

>円錐形の容器と同じ高さの円筒形の容器を用いて, 水を三杯汲んで,
私もそうでした。但し円錐ではなくて何故か四角錐だったが。

No.9528 - 2010/01/24(Sun) 21:51:35

☆ Re: お世話になります。 / 円錐

ありがとうございました。

No.9530 - 2010/01/24(Sun) 23:39:54

★ ベクトル / かなこ

もう1問お願いします。

OA=√3,OB=1,∠AOB=30∘である△OABがあり、
辺ABを3：1に内分する点をCとする。
また、→OA(OAベクトル)=→a(aベクトル)、
→OB(OBベクトル)=→b(bベクトル)とおく。

(1) 内積→a⋅→bの値を求めよ。また、→OCを→a,→b
　　を用いて表せ。

(2) 直線OC上に→OP=k→OC(kは実数)となる点Pをとる。　　
　　OC⊥APとなるとき、kの値を求めよ。

(3) (2)のとき、直線AP上にOA∥BQとなる点Qをとる。
　　→OQを→a,→bを用いて表せ。

(2)で力つきてしまいました。
どなたか回答お願いします。

No.9485 - 2010/01/20(Wed) 21:23:53

★ logをふくむ方程式 / かなこ

高校2年です。
2006年の模試の問題だそうです。

方程式
(log［3］x)^2-log［3］9x+k-log［3］27=0(kは定数)…?@
がある。

(1) log［3］27の値を求めよ。
　　また、log［3］9xをlog［3］xで表せ。

(2) k=-7のとき、方程式?@を解け。

(3) 方程式?@が異なる2つの実数解α、βをもち、β=α^3
を満たすとき、kの値を求めよ。

(1)は『3』と『log［3］x+2』
(2)は『81と1/27』

になりました一応。
間違ってたらご指導お願いします。
(3)に関しては判りませんでした

宜しくお願いします

No.9484 - 2010/01/20(Wed) 21:12:20

☆ Re: logをふくむ方程式 / X

(1)(2)
答えはそれで問題ありません。
(3)
xをそのまま使うと扱いにくいので置き換えをします。
log[3]x=t
と置くと問題の方程式は
t^2-t+k-5=0 (A)
一方
β=α^3
より
log[3]β=log[3]α^3
∴log[3]α=a,log[3]β=b
と置くと
a=3b (B)
ここでα,βは問題の方程式の解ですので
a,bはtの２次方程式(A)の解。
よって問題はtの２次方程式(A)の解a,bが(B)を満たすときの
kの値を求めることに帰着します。

こちらの計算では
k=83/16
となりました。

No.9489 - 2010/01/20(Wed) 22:18:09

☆ Re: logをふくむ方程式 / 地下水

(1),(2)は合っています。
(3)は、X=log[3]xとおいて、与式はX^2-X+k-5=0。
異なる2解を持つので、判別式より、0<1-4(k-5)、よって、
k<5+1/4･･･?@
X1=log[3]α, X2=log[3]α^3=3log[3]α=3･X1。この2解を持つので、(X-X1)(X-3･X1)=0、よって、X^2-4･X1･X+3･(X1)^2=0
与式と係数比較して、X1=1/4,k=5+3/16･･･?A
?@、?Aより、k=5+3/16

No.9491 - 2010/01/20(Wed) 22:30:03

☆ Re: logをふくむ方程式 / かなこ

ありがとうございました。
お二方の回答を参考に考えてみますね。

No.9492 - 2010/01/21(Thu) 03:33:05

★ 式の変形 / ラビ

中学三年生です。入試の過去問です。
底面の半径がr、高さがhの円柱の表面積が4πであるとき、hをrで表しなさい。
解答は、2-r2/r なのですが、僕の答えは、2/r-r2/rになりました。この答えでもあっているか教えてください。（ｒについている2は二乗です。）よろしくお願いします。

No.9483 - 2010/01/20(Wed) 21:00:26

☆ Re: 式の変形 / 地下水

表面積は、2πr^2+2πrh=4π。これより、
h=(4π-2πr^2)/(2πr)=-r+2/r。

No.9487 - 2010/01/20(Wed) 22:05:51

☆ Re: 式の変形 / ラビ

ありがとうございます。もう一度やってみます。

No.9488 - 2010/01/20(Wed) 22:13:36

★ (No Subject) / スペード

以前質問させていただいたものです。（No.9374 - 2010/01/08(Fri) 19:58:26）

そこの（2）に「２マス２マス２マスで塗る場合
　　ＡＢＣ　ＢＣＡ　
　　ＢＣＡ　ＡＢＣ
　のいずれかの塗り方で、色の振り分け方が６通りあるので、　　２×６＝１２(通り)」

というところがよく分かりません。
どこからＡＢＣが出てきたのでしょうか？？

ワガガマかも知れませんが、出来るだけ早めに回答をいただけますでしょうか。

No.9480 - 2010/01/19(Tue) 21:58:38

☆ Re: / ヨッシー

ＡＢＣ
ＢＣＡ
というのは、
左上と右下が同じ色、
中上と左下が同じ色、
右上と中下が同じ色ということで、この色配置のとき
Ａ＝赤、Ｂ＝青、Ｃ＝黄
Ａ＝赤、Ｂ＝黄、Ｃ＝青
Ａ＝青、Ｂ＝赤、Ｃ＝黄
Ａ＝青、Ｂ＝黄、Ｃ＝赤
Ａ＝黄、Ｂ＝赤、Ｃ＝青
Ａ＝黄、Ｂ＝青、Ｃ＝赤
の６通りの色の振り分け方があります。

ＢＣＡ
ＡＢＣ
についても、同様に６通りあります。

あわせて、１２通りです。

No.9481 - 2010/01/20(Wed) 20:12:32

☆ Re: / スペード

またまた丁寧な解説ありがとうございました！！

No.9482 - 2010/01/20(Wed) 20:32:50

★ 関係式 / 邊

教えてください。
(1)x^3 = 1, a*x^2 + b*x + c =0　の　とき,
　　a,b,cの満たす関係式を求めよ。
(2)x^4 = 1, a*x^3 + b*x^2 + c*x + d = 0の　とき,
　　a,b,c,dの満たす関係式を求めよ。

No.9479 - 2010/01/19(Tue) 21:41:35

☆ Re: 関係式 / 地下水

(1) x^3=1 より、x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)=0、
x=1,(-1+i√3)/2,(-1-i√3)/2、よって、
x=1のときa+b+c=0,
x=(-1+i√3)/2のときx^2=(-1-i√3)/2、よって、
　a(-1-i√3)/2+b(-1+i√3)/2+c=0より、a=b=c,
x=(-1-i√3)/2のときx^2=(-1+i√3)/2、よって、
　a(-1+i√3)/2+b(-1-i√3)/2+c=0より、a=b=c。
(2) x^4=1より、x=-1,1,-i,i。
x=-1のとき-a+b-c+d=0
x=1 のときa+b+c+d=0
x=-iのときai-b-ci+d=0より、 a=cかつb=d
x=i のとき-ai-b+ci+d=0より、a=cかつb=d

No.9486 - 2010/01/20(Wed) 21:57:26

★ 方程式の解 / 井出

宜しくお願い致します。
方程式 z^8-z^4+1=0
を解き、その各解zjの虚部yj/実部xj を求め
Tan[tj]=虚部yj/実部xj なる tj を求めよ。

また　上の　８次方程式の出所を述べよ。

No.9475 - 2010/01/19(Tue) 02:15:11

☆ Re: 方程式の解 / 豆

出所を述べよといわれても、出題者の意図まで分らないので困りますね。
悪戯に煩雑な計算をさせる意味も分りかねるような。
それこそ、この問題の出典は何なのでしょうね？

最終回答するだけなら、z^4+1を両辺に掛ければ、z^12+1=0となるので、
-1の12乗根のうち-1の4乗根を除いた8つの根ですから、
そのままガウス平面で考えたほうが早いですね。
この下の問題も-1の10乗根で同様。

No.9477 - 2010/01/19(Tue) 15:59:32

☆ Re: 方程式の解 / ast

sumathに何を言っても無駄です. 相手をした時点で負けです. このところちょこちょこ相手をしてしまう人がいるせいで棲み付いてしまってますので, ちょっとこらえて欲しいと思います.

No.9478 - 2010/01/19(Tue) 17:04:23

★ よろしくお願いします。 / Ｃｕｔ

立体を展開図にするために切る回数の公式

頂点－１＝切る回数

この公式がなぜ成り立つか証明しなさい。

No.9466 - 2010/01/18(Mon) 20:40:09

☆ Re: よろしくお願いします。 / ヨッシー

オイラーの多面体公式を認めるならば、
Ｎ面体の展開図は、Ｎ－１本の辺は２つの平面をつなぐために
２面と共有しており、他の辺はフリーです。
Ｎ面体の辺の数をＭとすると、
　Ｍ－(Ｎ－１)＝Ｍ－Ｎ＋１
の辺が切られたことになります。

(頂点の数）＋（面の数）－（辺の数）＝２
より、
(頂点の数）＋Ｎ－Ｍ＝２

よって、切る回数＝Ｍ－Ｎ＋１＝(頂点の数)－１
となります。

No.9471 - 2010/01/18(Mon) 21:53:45

☆ Re: よろしくお願いします。 / Ｃｕｔ

どうもありがとうございます。

No.9473 - 2010/01/18(Mon) 22:51:24

★ 高１　平方根と式の値　 / あつき

よろしくお願いします。

c=2√6－4のとき、
c^3＋12c^2＋47c＋60=(c＋□)(c＋4)(c＋□)=□√6

□の部分がわかりません。

No.9464 - 2010/01/18(Mon) 19:30:07

☆ Re: 高１　平方根と式の値　 / ヨッシー

c+4 が見えているので、c^3＋12c^2＋47c＋60 を c+4 で割って、
　c^3＋12c^2＋47c＋60＝(c+4)(c^2+8c+15)
さらに因数分解して、
　c^3＋12c^2＋47c＋60＝(c+4)(c+5)(c+3)
c=2√6-4 を代入して、
　(c+4)(c+5)(c+3)＝2√6(2√6+1)(2√6-1)＝46√6

No.9468 - 2010/01/18(Mon) 21:33:11

☆ Re: 高１　平方根と式の値　 / あつき

教えていただきまして有り難うございました。

No.9470 - 2010/01/18(Mon) 21:42:18