[ 掲示板に戻る ]
過去ログ閲覧モード
★ 数学的帰納法の途中経過について / ハオ
kは３以上の自然数　hはh>0を満たす実数とします。
数学的帰納法の途中経過で(1+h)(1+k*h^2)-1+(k+1)*h^2が0より大きい事を示したい時に
(1+h)(1+k*h^2)-1+(k+1)*h^2を整理すると
k*h^3+(2k+1)h^2+kとなりk≧3　h>0の状況下で明らかに正である。と僕は書きましたが解答は
k*h^3+(2k+1)h^2+kをkで括ってkの二乗の式を平方完成して、それで>0を導いていました。
僕の答案は駄目でしょうか？
No.9023 - 2009/11/27(Fri) 22:24:33
☆ Re: 数学的帰納法の途中経過について / X
ハオさんの方針で問題ないと思います。
ところで
＞＞k*h^3+(2k+1)h^2+kをkで括って〜
とありますが意味不明です。タイプミスがありませんか？。
No.9024 - 2009/11/27(Fri) 22:58:46
☆ Re: 数学的帰納法の途中経過について / ハオ
御回答有難う御座います。安心しました。
明らかなミスで申し訳ありません。Χさんの理解力に感謝致します。
k*h^3+(2k+1)h^2+kをkで括って〜
訂正後
k*h^3+(2k+1)h^2+hを hで括って〜以下同じ
です。
No.9026 - 2009/11/28(Sat) 10:40:37
★ 物理ですが教えてもらえませんか？ / kakimoto
長さLで質量Mの一様な棒があり、その重心からaの長さの点0を支点とする剛体振子がある。次の問いに答えよ。
ただし、点0を通り、振動面に垂直な軸のまわりの慣性モーメントをI=ML^2/(12+Ma^2)とする。重力加速度をgとする。

(1)垂直軸となす角をθとして、棒の回転の運動方程式を書け
　　ただし、θ≪1 として、sinθ≒θが成立する。

(2)(1)の微分方程式の一般解は次式で与えられる。
　　　　θ=Asinωt+Bcosωt
　 ただし、A,Bは積分定数であり、ω=Mga/Iである。
　 次の初期条件を満たすような角度θをtの関数で表せ。
　　　t=0 のとき、θ=θ(0)、dθ/dt=0
　※θ(0)の0は普通右下に書くものです。…すいません。

(3)棒が微小振動するときの周期Tはいくらか。

解答は
(1)I(d^2θ/dt^2)=-Mgaθ
(2)θ=θ(0)cosωt
(3)T=2π√(I/Mga)
です。
お願いします。
No.9019 - 2009/11/27(Fri) 07:46:19
☆ Re: 物理ですが教えてもらえませんか？ / X
(1)
問題の棒の重心に働く重力の棒に対して垂直な成分の大きさは
Mgsinθ
これがθの増加する向きとは逆向きに働くので運動方程式は
Id^2θ/dt^2=-Mgasinθ
θ<<1なる微小振動を想定しているのならば…

(2)
t=0 のとき、θ=θ(0)、dθ/dt=0
なる条件を用いてA,Bについての連立方程式を立てます。

(3)
角振動数ωについて
ω=2π/T
ですので…。
No.9022 - 2009/11/27(Fri) 19:00:19
☆ Re: 物理ですが教えてもらえませんか？ / kakimoto
ｘさんありがとうございます。
もう１つ教えて下さい
(1)のことですが
慣性モーメント＊角加速度＝力のモーメント　
となるのでしょうか??
No.9034 - 2009/11/28(Sat) 22:07:19
☆ Re: 物理ですが教えてもらえませんか？ / X
その通りですよ。
No.9042 - 2009/11/29(Sun) 17:37:36
★ n進法 / yosh
度々お世話になります。
もう一度、n進法についてご教授お願いします。
※3進法=（3）と表記

問1　12（3）x20（3）
答え　310（3）

問2　121（3）x22（3）
答え　11202（3）

問3　1022（3）÷21（3）
答え　12（3）

3の時は10になるのですよね。。。？
だとすれば、問1の答えは1010（3）ではないのでしょうか？？

また、問3の割算の仕方が分かりません。

よろしくお願いします。
No.9017 - 2009/11/26(Thu) 11:45:17
☆ Re: n進法 / 七
> 問1の答えは1010（3）ではないのでしょうか？
そうです。

> 問3の割算の仕方が分かりません。
普通に筆算でやればいいのでは？
十進法のときは「10おろして」
のところを「3おろして」でやればいいですね。
途中では3以上の数が出てもいいでしょう？
No.9018 - 2009/11/26(Thu) 13:18:55
☆ Re: n進法 / 七
曲りなりに画像で表してみました。
見えるでしょうか？
No.9021 - 2009/11/27(Fri) 14:56:09
☆ Re: n進法 / yosh
返事が遅くなりました。
画像のご用意ありがとうございます。
筆算を見ると、説明が理解出来ました。
どうもありがとうございました！
No.9025 - 2009/11/28(Sat) 10:28:52
★ 関数の極限 / 山田


今日は。
数?Vの関数の極限の問題で
lim n→∞ n^3(2tanπ/n-sin2π/n)


というものなのですが、

θ=π/n とおいてといたら最終的には分母にθがきて結局0になってしまいました。
やり方が違うのでしょうか？
どなたかご指導宜しくお願いします。

No.9003 - 2009/11/25(Wed) 15:44:58
☆ Re: 関数の極限 / rtz
2tanθ-sin2θ=2tanθ(1-(cosθ)2)=2(sinθ)3/cosθ
です。
No.9004 - 2009/11/25(Wed) 17:32:20
☆ Re: 関数の極限 / 山田


ご指導ありがとうございます!
また質問なのですが、

θ=π/nとおくとn→∞のときθ→0になり、
n^3のところはπ^3/θ^3で良いのでしょうか？

それとcosθのθに0を入れるとやはり最終的には0になってしまうのですが良いのでしょうか？


何度もすみません。
もしよろしければ宜しくお願いします。
No.9007 - 2009/11/25(Wed) 20:37:13
☆ Re: 関数の極限 / らすかる
どういう計算で0になりましたか？
No.9008 - 2009/11/25(Wed) 20:44:19
☆ Re: 関数の極限 / 山田


お返事ありがとうございます。

θ→0なので

2tanθ{1-(cosθ)^2}
のcosθに0を入れると{}の中が1-1=0になってしまいました。
足りない説明で申し訳ありません。
考え方が違うのでしょうか。

No.9011 - 2009/11/25(Wed) 21:04:26
☆ Re: 関数の極限 / rtz
＞2tanθ-sin2θ=2tanθ(1-(cosθ)2)=2(sinθ)3/cosθ
とまで書いたのに、なぜその様なことをされたのか分かりませんが…。

lim[x→0](sinx)/x＝1をご存知ないのですか？
No.9012 - 2009/11/25(Wed) 21:46:49
☆ Re: 関数の極限 / 山田

ご返信ありがとうございます。

すみません。
2(sinθ)^3/cosθを見逃していました。
本当何度も申し訳ないのですがどのようにしたらこの式にもっていけるのでしょうか。


No.9013 - 2009/11/25(Wed) 22:49:08
☆ Re: 関数の極限 / rtz
この式、とはどの式のことでしょうか。

2(sinθ)3/cosθですか？
それなら
1つ目の=：2倍角の公式で展開、tanθ=sinθ/cosθで括り出し
2つ目の=：式の右をsinθに直し、tanθ=sinθ/cosθ利用
ですが。
No.9015 - 2009/11/25(Wed) 23:22:46
☆ Re: 関数の極限 / 山田

理解できました。
本当にありがとうございました。
No.9016 - 2009/11/25(Wed) 23:38:43
★ 期待値 / shiyo
nを2以上の自然数とする。1からnまでの自然数が書かれたカードが1枚ずつ計n枚、袋の中に入っている。この中から2枚を同時に取り出す。次の問に答えよ。
?@　2枚の差をXとする。Xの期待値を求めよ。
?A　2数の積をYとする。Yの期待値を求めよ。

以上です。宜しくお願い致します。
No.8998 - 2009/11/24(Tue) 23:34:20
☆ Re: 期待値 / ヨッシー
すべての引き方は nＣ2＝n(n-1)/2 であり、これが分母になります。
(1)
差が１：ｎ−１通り
差が２：ｎ−２通り
　・・・
差がｎ−１：１通り
なので、分子は
　１（ｎ−１）＋２（ｎ−２）＋・・・＋（ｎ−１）・１
　＝?納k=1〜n-1]ｋ・(ｎ−ｋ)
　＝?納k=1〜n-1](ｎｋ−ｋ^2)
　＝ｎ^2(ｎ−１)/2−ｎ(ｎ−１)(２ｎ−１)/6
　＝ｎ(ｎ−１)(ｎ＋１)/6
よって期待値は、n(n-1)(n+1)/6÷{n(n-1)/2}＝(n+1)/3

(2)
分子は
　1・2＋1・3＋1・4＋・・・＋1・n＋2・4＋2・5＋・・・＋2・n＋・・・＋(n-1)n
で、これをＡとおきます。
　(1＋2＋3＋・・・＋n)^2＝(1^2＋2^2＋・・・＋n^2)＋２Ａ
であるので、
　２Ａ＝{n(n+1)/2}^2−n(n+1)(2n+1)/6
　　＝n(n+1){(n^2+n)/4−(2n+1)/6}
　　＝n(n+1)(3n^2-n-2)/12
　　＝n(n+1)(n-1)(3n+2)/12
よって、
　Ａ＝n(n+1)(n-1)(3n+2)/24
No.9000 - 2009/11/25(Wed) 12:57:54
☆ Re: 期待値 / shiyo
ヨッシーさん 有り難うございます。

分からない箇所があるのですが、　“1・2＋1・3＋1・4＋・・・＋1・n＋2・4＋2・5＋・・・＋2・n＋・・・＋(n-1)nで、これをＡとおきます。　(1＋2＋3＋・・・＋n)^2＝(1^2＋2^2＋・・・＋n^2)＋２Ａであるので”の部分です。

なぜ(1＋2＋3＋・・・＋n)^2＝(1^2＋2^2＋・・・＋n^2)＋２Ａとおけるのかわかりません。
すみませんが宜しくお願い致します。
No.9005 - 2009/11/25(Wed) 20:22:01
☆ Re: 期待値 / ヨッシー
たとえば、
　(a+b+c)(a+b+c)＝a^2＋b^2＋c^2＋2(ab+bc+ca)
であるように、いくつかの項の足し算で表された式を２乗すると、
　各項の２乗が１つずつ、違う項を２つ掛け合わせたものが
２つずつ、もれなく登場します。

Ａというのは１〜ｎまでの整数の違う数の積を残らず足したものですから、
上のような式になります。
No.9006 - 2009/11/25(Wed) 20:35:26
☆ Re: 期待値 / shiyo
ヨッシーさん　有り難うございます！！

納得です！！！
No.9010 - 2009/11/25(Wed) 20:59:54
☆ Re: 期待値 / ヨッシー
理解されて何より。

ちなみに、上の式で 2・4の前に2・3 が抜けていました。
No.9014 - 2009/11/25(Wed) 22:53:55
★ 数?V 無限級数 / 左近

今晩は。連日失礼します。
数?Vの無限級数についてお尋ねします。

無限級数の和
Ｓ=Σ n=1から∞ 1/n(n+1),Ｔ=Σ n=1から∞ 1/n(n+1)(n+2)を求めよ。
という問題なのですが、どのように求めたら良いのでしょうか。
どなたかご指導宜しくお願いします。
No.8996 - 2009/11/24(Tue) 21:10:41
☆ Re: 数?V 無限級数 / rtz
部分分数分解の代表的な例です。

Sなら
1/(n(n+1))＝{(n+1)/(n(n+1))}-{n/(n(n+1))}＝(1/n)-(1/(n+1))とすれば計算できます。

Tも同様にできますので、どうすればよいか考えてみるとよいでしょう。
No.8997 - 2009/11/24(Tue) 21:32:52
☆ Re: 数?V 無限級数 / 左近

解けました!
ご指導ありがとうございました。
No.9002 - 2009/11/25(Wed) 15:44:09
★ 確率 / 中津
Ｍ個のすべてを３つの袋Ａ、Ｂ、Ｃに分けていれる
この時玉は区別しないものとし、また玉の入っていない袋があってもよいとする
また袋ＡＢＣにいれる玉の数をそれぞれＸＹＺとする


M＝18のときＸ＞Ｙ＞Ｚ≧0を満たす入れかたの通り
と

M＝6ｎのときＸ＞Ｙ＞Ｚ≧0を満たす入れかたの通り
をｎを用いて表せをよろしくお願いいたします
No.8985 - 2009/11/23(Mon) 19:12:18
☆ Re: 確率 / ヨッシー
18個の玉を、Ａ、Ｂ、Ｃの袋に入れると考えると、入れ方は
　18Ｈ3＝20Ｃ2＝１９０(通り)
この求め方は、重複組み合わせをご覧ください。

このうち、２つ以上同じ個数入るのは
(0,0,18)(1,1,16)(2,2,14)(3,3,12)(4,4,10)(5,5,8)(6,6,6)(7,7,4)(8,8,2)(9,9,0)
このうち(6,6,6) は１通り、他の９組は３通りずつの並び替えが
あるので、
　１＋９×３＝２８(通り)
が、２つ以上同じ個数があり、残り
　１９０−２８＝１６２(通り)
は、３種類の個数から出来ています。

このうち並べ替えて同じ組になるのは、６通りずつあるので、
　１６２÷６＝２７(通り)
が求める場合の数となります。

同様に考えて、Ｍ＝６ｎ の時は、３ｎ^2 通りになります。
No.8990 - 2009/11/23(Mon) 23:07:23
☆ Re: 確率 / らすかる
＞18Ｈ3＝20Ｃ2＝１９０(通り)
多分
「3Ｈ18＝20Ｃ2＝１９０(通り)」
の間違いですね。
No.8999 - 2009/11/25(Wed) 12:00:45
☆ Re: 確率 / ヨッシー
そうです。

すぐ間違うんですけど、
何かいい覚え方ありますか？
　(特定の入れ物)Ｈ(不特定の中身)
　(部屋の数)Ｈ(入る人数)
　(袋の数)Ｈ(ボールの個数)
どれもいまいち。
No.9001 - 2009/11/25(Wed) 14:23:36
☆ Re: 確率 / らすかる
私もいつも間違えそうになります。
No.9009 - 2009/11/25(Wed) 20:45:34
☆ Re: 確率 / 七
ヨッシーさんやらすかるさんでも間違ったり間違えそうになるんですね。安心しました。
僕も間違えるのでHは使わないでCだけにするようにしています。
No.9020 - 2009/11/27(Fri) 07:48:05
★ 最大・最小と係数 / 高2の父
底面の半径６、高さ１８の直円すいに直円柱を内接させる。次の値が最大になるときの直円柱の底辺の半径と高さを求めよ。
(1)直円柱の体積Ｖ　(2)直円柱の表面積Ｓ

度々で申し訳ありません。
よろしくお願いします。
No.8984 - 2009/11/23(Mon) 17:05:00
☆ Re: 最大・最小と係数 / ヨッシー
円柱の半径をｘとすると、円柱の底面と円錐面とで出来る
小さな円錐の高さは３ｘなので、円柱の高さは、１８−３ｘ。
(1)
　Ｖ＝πｘ^2(１８−３ｘ)
ｘで微分して
　Ｖ’＝π(３６ｘ−９ｘ^2)
より、Ｖ’＝０ となるのは、ｘ＝０，４
よって、最大値は、ｘ＝４のとき　９６π

(2)
　Ｓ＝２πｘ^2＋２πｘ(１８−３ｘ)＝３６πｘ−４πｘ^2
ｘで微分して
　Ｓ’＝３６π−８πｘ＝４π(９−２ｘ)
よって、ｘ＝9/2 のとき 最大値 81π
No.8989 - 2009/11/23(Mon) 22:10:08
☆ Re: 最大・最小と係数 / 高2の父
ヨッシーさん
ありがとうございました。
No.8993 - 2009/11/24(Tue) 09:13:37
★ (No Subject) / 左近

今日は。いつもお世話になっています。
数?Vの極限について質問です。

(1)lim n→∞ 3＋5n/2nー1
(2)lim n→∞ 3^n+1 ー 2^n+1/3^n
(3)lim n→∞ (√n^2+n+1 ー √n^2+1)

の極限を求めよ。
という問題なのですが、どのように解いたら良いのでしょうか。
どなたか宜しくお願いします。
No.8982 - 2009/11/23(Mon) 15:15:51
☆ Re: / 数学好きの数学下手
こんにちは。

(1)分子分母をnで割ってみましょう。

　(3+5n)/(2n-1)=((3/n)+5)/(2-(1/n))
　　　　　　　→5/2 (n→∞)

(2)分子分母を(3^n)で割ってみましょう。
　
(3^n+1-2^n+1)/3^n = 3-2(2/3)^n → 3-0=3

(3)このように引くものと引かれるものに両方とも√がついており、その中身が両方とも無限に収束する場合は、有理化するのが基本手法です。

　(√(n^2+n+1) - √(n^2+1))
= n/(√(n^2+n+1) + √(n^2+1)) （分子分母に(√(n^2+n+1) + √(n^2+1)) をかけました。)

= 1/(√(1+(1/n)+(1/n^2))+√(1+(1/n^2))) (両辺をnで割ります）
→ 1/(1+1)=1/2

　
No.8983 - 2009/11/23(Mon) 16:19:10
☆ Re: (No Subject) / 左近

ご丁寧にありがとうございます!
類似も解くことができ、本当に助かりました。
またのときは宜しくお願いします。
No.8995 - 2009/11/24(Tue) 21:09:43
★ 三平方と空間図形 / あや
１辺が６の立方体ＡＢＣＤＥＨＧＨがあります。ＡＧを立方体の対角線としたときＡＧと三角形ＢＤＥの交点をＬとするとき、線分ＡＬの長さを求めよ。という問題です。

図が想像しにくくてすいません。ＡＬを高さとした三角錐ＡＢＤＥと考えればよいのかなと思ったのですが、なぜＡＬは高さといえるのでしょうか？？
No.8980 - 2009/11/23(Mon) 14:57:04
☆ Re: 三平方と空間図形 / ヨッシー
ベクトルでやってみます。
ＡＬが△ＢＤＥと垂直を言う代わりに、
ＡＧが△ＢＤＥと垂直であることを言います。

ａ＝ＡＢ
ｂ＝ＡＤ
ｃ＝ＡＥ
とするとき、
　ＡＧ＝ａ＋ｂ＋ｃ
このとき、
　ＡＧ・ＢＤ＝(ａ＋ｂ＋ｃ)・(ｂ−ａ)
　　＝ｂ・ｂ−ａ・ａ＋ｃ・(ｂ−ａ)
　　＝３６−３６＝０
　ＡＧ・ＢＥ＝・・・＝０
より、平面上の方向の異なる2つのベクトルと垂直なので、
△ＢＤＥとＡＧは垂直になります。


また、直感的には、ＡＧを軸にして、立方体を回転させると、
Ｂ，Ｄ，Ｅ は同じ軌道を動くので、ＢＥＤでできる平面は、
ＡＧと垂直である、といえます。
No.8988 - 2009/11/23(Mon) 21:59:24
★ (No Subject) / aaak
y=-3x^2+4x+aのグラフが,x軸の0＜x＜1の部分と,異なる2点で交わる為のaの値の範囲が分かりません。どのようにして求めて答えはどうなるのでしょうか。
No.8974 - 2009/11/23(Mon) 13:29:03
☆ Re: / ヨッシー
y=-3x^2+4x+a のグラフは上に凸なので、
f(x)＝-3x^2+4x+a とおくと、
　1. 判別式＞０
　2. 軸が ０＜ｘ＜１ の範囲、
　3. f(0)＜０ かつ f(1)＜０
の３つが満たされれば、条件を満たします。
No.8977 - 2009/11/23(Mon) 14:14:05
★ 正四面体 / haru
初めまして。次の問題が解けずに困っているのでアドバイスをお願いします。


【問】
正四面体ABCDの内部に一点Pをとり､面BCD､ACD､ABD､ABCにPから下した垂線の足をH､I､J､Kとし､PH,PI,PJ,PKの長さをそれぞれp,q,r,sとします｡
以下の条件を考慮します｡
(i)PH,PI,PJ,PKを直径とする球はどれも正四面体の内部or辺に含まれる｡
(ii)p≦q≦r≦s
(1) (i)かつ(ii)のとき､s/pの取りうる範囲を求めてください｡
(2) (i)かつ(ii)を満たすPの動きうる体積は正四面体ABCDの体積の何倍でしょうか?また､それは｢(i)のみ｣を満たす場合のPの動きうる体積の何倍でしょうか?


(1)はおそらくp=q=r=sのときが最小で､最大は線分PKが直径を成す球が四面体の内接球である時が最大ではないかと踏みましたが､議論ができずに悩んでいます｡(2)も方針が立っていません｡

ちなみに､四面体の1辺の長さは具体的には記されていません｡

恐縮ですが、もう一つのサイトにも同じ質問をさせてもらいました。そこで解決した場合、直ちに知らせます。マルチポストで心苦しいですが、助言をいただければと思います。
No.8971 - 2009/11/23(Mon) 12:54:17
☆ Re: 正四面体 / ヨッシー
まず、△ＡＢＣに接する球が、△ＢＣＤにギリギリ接する時の
球の中心を考えると、図のＢＣＧを通る平面になり、これよりも
下(△ＡＢＣを含む側。平面上は含む)にあれば△ＢＣＤを含む平面を
超えることはありません。
ＧはＤＫを３：１に内分する点で、正四面体ＡＢＣＤの重心です。

点Ｐは直径の端点なので、ＤＫの中点をＭとした時、ＢＣＭを通る
平面よりも下にあればいい事になります。
△ＡＢＣと△ＡＢＤ，△ＡＢＣと△ＡＣＤについても同様に考えると、
△ＡＢＣに接する球が、正四面体ＡＢＣＤの外に出ないためには、
点Ｐが四面体Ｍ−ＡＢＣの内部にあればいいことになります。

同様のことを△ＢＣＤ、△ＣＤＡ、△ＤＡＢに接する球を考えると、
４つの四面体に共通に含まれる部分が条件(i)のみのときの点Ｐの存在範囲になります。

(1)
２番目の図(次の記事に載せます)で、ｓ／ｐ は左下の点（Ｂ，Ｃ共通の点)から出た
直線の傾きが最大の時に最大となります。
最大は点Ｔを通る時で、ｓ／ｐは３になります。
最小は、ｐ＝ｑ＝ｒ＝ｓ の時の１です。
　１≦ｓ／ｐ≦３

(2)
最初の図のＢＣＧを通る平面で、ｐ＜ｓ の領域とｐ＞ｓ の領域に分かれます。
正四面体の１つの辺を通って、正四面体の体積を２等分するような平面は
４つ描けますが、それらによって、正四面体および、(i)の条件だけの
点Ｐの存在領域は、２４等分されます。
そのうちのひとつが、
　ｐ≦ｑ≦ｒ≦ｓ
の領域であるので、(ii)が入ると、体積は1/24になります。

体積は一旦割愛します。
No.8975 - 2009/11/23(Mon) 14:08:58
☆ Re: 正四面体 / ヨッシー
２番目の図です。
No.8976 - 2009/11/23(Mon) 14:09:30
☆ Re: 正四面体 / haru
返信ありがとうございます。

添付してくださった図は、BCの中点をＭとして、三角形DAMで切った切り口から見てる(つまり左右対称に分断してその切り口から見ている)、と理解すればよろしいのでしょうか。


(１)の前の説明はよくわかりました。

(１)の部分の説明で二つ目の図のＳ、Ｔの部分の説明をいただければと思います。またＴを通る場合ですと、sの方がpより小さいような気がするのですが・・・
申し訳ありませんが、説明お願いします。
No.8981 - 2009/11/23(Mon) 15:09:03
☆ Re: 正四面体 / ヨッシー
切り口から見ると考えて問題ないです。
球ごと切ったという感じですね。

下の方の図は、ＡとＤを逆に見てください。
あるいは、ＴはＤの真下で、青い部分に最初にぶつかる部分と
考えてください。とにかく、ｐとｓが逆です。

Ｓは、△ＢＣＤの重心に当たる点で、ＴはＡＳの中点です。
No.8987 - 2009/11/23(Mon) 21:43:27
★ 公約数・公倍数 / yosh
続けて失礼します。

2つの自然数aとb（a<b）があり、aとbの和は720で、最大公約数じゃ24です。このとき、aとbの組を全て求めなさい。

答え　(24, 696) (168, 552) (264, 456) (312, 408)

a+b=30までは求めることができました。
そこから絞りこむ？方法がよくわかりません。

どうぞ宜しくお願いします。
No.8970 - 2009/11/23(Mon) 12:51:29
☆ Re: 公約数・公倍数 / 七
a＝24A,b＝24B　(A,Bは互いに素、A＜B)とおくと
A＋B＝30　になったのですね？
A,Bは互いに素、A＜Bですから
(A,B)＝(1,29),(7,23),(11,19),(13,17)
だけしかありません。
No.8973 - 2009/11/23(Mon) 13:08:56
☆ Re: 公約数・公倍数 / yosh
『互いに素』を忘れて考えていました。
ありがとうございました！
No.8979 - 2009/11/23(Mon) 14:25:37
★ 数列 / yosh
4, a, b が等差数列をなし、a, b, 18 が等比数列になるとき、aとbを求めなさい。

答えは　{a=1/2, b=-3 {a=8, b=12

合っているか分かりませんが、以下のところまではできました。
等差数列：　b=2a-4
等比数列：　r=18/b
ここからどのようにしても正解へたどり着けなくて困っています。

解説を宜しくお願いします。
No.8968 - 2009/11/23(Mon) 12:35:32
☆ Re: 数列 / rtz
等比数列でもう1つ使っていない条件があります。
aとbとrの関係です。

これも使えば解けるかと思います。
まずはrを消去してみましょう。
No.8969 - 2009/11/23(Mon) 12:49:54
☆ Re: 数列 / yosh
r=18/b を b=ar へ代入して

b=18a/b でしょうか。。。？
No.8972 - 2009/11/23(Mon) 13:03:08
☆ Re: 数列 / ヨッシー
そうですね。

一般に、３つの数ａ，ｂ，ｃがこの順に
　等差数列であるとき、真ん中の２倍は両端の差：ａ＋ｃ＝２ｂ
　等比数列であるとき、真ん中の２乗は両端の積：ａｃ＝ｂ^2
という性質があります。
No.8978 - 2009/11/23(Mon) 14:19:14
☆ Re: 数列 / yosh
性質に当てはめて考えてみます。
お二人ともありがとうございました！
No.8986 - 2009/11/23(Mon) 21:19:09
★ 最大最小と係数 / 高2の父
問題　関数f(X)=−X^3＋3ａX（0≦X≦1)の最大値とそのときのXの値を求めよ。但し、ａは定数
途中まで解いたのですが、ａの場合分けがなぜそうなるかわかりません。教えてください。よろしくお願いします

0≦Ｘ≦1区間でのf(x)＝−X＾3＋3aXの極値と区間両端（X=0，X=1）のｆ（ｘ）の値f(0)とf(1)を比べればよい。

ｆ（ｘ）の増減を調べるために、ｆ’（ｘ）を求める。
ｆ’（ｘ）＝-3（X＾2-a)

ａの場合分けでｆ’（ｘ）＝-3（X＾2-a)が0、正、負となるときを考える。
式ｆ’（ｘ）＝-3（X＾2-a)は、ｆ’（ｘ）＝-3×（X＾2-a)とみなされる。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　↑　　↑　↑
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　負　　正　不明
ｆ’（ｘ）＝-3（X＾2-a)＜0となるのは
ａ=0のとき、ｆ’（ｘ）＝-3×X＾2は、負の数×正の数で常に負となる。
ａ＜0のときも同様に、ｆ’（ｘ）＝負の数×（正の数−負の数）で常に負となる。
従って、ａ≦0のとき、ｆ（ｘ）は単調に減少するので最大値はｘ＝0で最大値0・・・答え

次に　ｆ’（ｘ）＝-3（X＾2-a)＞0となるのは
ｆ’（ｘ）＝-3（X＾2-a)＝負×（正−ａ）の（正−ａ）が負の数になるとき
Ｘ＾2＜ａ　Ｘ＜±√ａ　0≦Ｘ≦1だからＸ＜√ａ　
ここからわかりません。
答えによれば、1≦ａのときX=1で最大値3ａ-1

ｆ’（ｘ）＝-3（X＾2-a)=0となるのは、
Ｘ＝±√ａ　しかし、0≦Ｘ≦1だから、Ｘ＝√ａ
ここからわかりません。
答えによれば、0＜ａ＜1のときX=√ａで最大値2ａ√ａ
No.8961 - 2009/11/23(Mon) 00:51:26
☆ Re: 最大最小と係数 / 雀
Ｘ＾2＜ａ　Ｘ＜±√ａ
ではありません。


f'(x)=0,f'(x)>0,f'(x)<0
で場合分けしていますが、a=0,a<0,a>0で場合分けしたほうが分かりやすいかと思います。
No.8965 - 2009/11/23(Mon) 01:17:47
☆ Re: 最大最小と係数 / 高2
雀さん、ありがとうございます。
すいません、この先も教えてもらえないでしょうか？
よろしくおねがいします。
No.8991 - 2009/11/24(Tue) 00:25:31
☆ Re: 最大最小と係数 / 高2の父
雀さん、ありがとうございます。
すいません、この先も教えてもらえないでしょうか？
よろしくおねがいします。
No.8992 - 2009/11/24(Tue) 00:25:53
☆ Re: 最大最小と係数 / 雀
ｆ’（ｘ）＝-3（X＾2-a)≧0のとき
0≦X^2≦a
-√a≦X≦√a

0≦X≦1≦√aのとき　X=1で最大値
0≦X≦√a≦1のとき　X=√aで最大値
No.8994 - 2009/11/24(Tue) 15:17:53
★ 二変数の極値の問題です / らっぱ
f(x,y)=(x^2+y^2-2)^2の極値を調べなさい

という問題です。
よろしくお願いします！
No.8960 - 2009/11/22(Sun) 21:12:34
★ 小学校6年の問題 / コヨミ
すみません。
小学校の問題の解き方がわからないので
教えてください。（；＞＜）

英子さんのクラスは36人で男子は女子の4/5です。
男子は何人ですか。

答え16人

女子は20人という事になりますよね。
女子のほうが多いのに男子が女子の4/5とはおかしくないですか？
全くわからずイライラしてしまいます。
ハテナだらけです。すみませんがよろしくお願いします。
No.8955 - 2009/11/22(Sun) 19:38:39
☆ Re: 小学校6年の問題 / らすかる
おかしくありません。
「男子が女子の２倍」→男子の方が多い
「男子が女子の１倍」→男子と女子が等しい
「男子が女子の0.8倍」→男子の方が少ない
4/5=0.8です。
No.8956 - 2009/11/22(Sun) 19:50:39
☆ Re: 小学校6年の問題 / コヨミ
らすかるさんありがとうございます。
5あるうちの4をしめていると考えてしまいました。

解き方としたらどうすれば16になりますか？
かけても割っても16になってくれないのですが…。
No.8957 - 2009/11/22(Sun) 20:07:44
☆ Re: 小学校6年の問題 / Kurdt（かーと）
こんばんは。

女子と男子の比が 5:4 であることから、
男子の人数は 36×{4/(5+4)}=16人 と計算できます。

（別の解き方）
女子を 1 とすると、男子は 4/5 でした。
そして、これをたすと 9/5 になります。
すなわち、クラス全員の人数は
女子の人数の 9/5 になるということです。

なので、女子の人数はクラスの人数をこの 9/5 でわって、
36÷9/5=20人 になるので、男子は 36-20=16人です。
No.8958 - 2009/11/22(Sun) 20:23:14
☆ Re: 小学校6年の問題 / コヨミ
カートさん早速ありがとうございます！

とてもよくわかりました。
女子と男子は別物で考えないといけないんですね。
スッキリしました。
本当にありがとうございました。（＾−＾）
No.8959 - 2009/11/22(Sun) 20:38:07
★ 数A、確率の問題 / 左近

今日は。
数Aの確率の問題になのですが、

2つの袋AとBがある。袋Aには1から4までの整数が1つずつ書かれた球が4個、Bには3から6までの整数が1つずつ書かれた球が4個入っていている。
いま、
ａ1 ｂ1 ａ2 ｂ2
と書かれた表があり、袋Aから球を1つ取り出しその数字をａ1に、続いてもう1つ取り出した球の数字をａ2に書く。
同様に、袋Bから球を1つ取り出しその数字をｂ1に、続いてもう1つ取り出した球の数字をｂ2に書く。
ただし一度取り出した球は袋には戻さないものとする。
このとき
(1)表に書かれる場合の数は全部で何通りあるか。
(2)４３３４のように同じ数字が2つ書かれる確率を求めよ。
(3)３５１３のように同じ数字が1つだけ書かれる確率を求めよ。
(4)ａ1、ａ2、ｂ1、ｂ2にすべて異なる数字が書かれる確率を求めよ。


長くなってしまってすみません。
どれか1つでもご指導願えればと思います。
No.8946 - 2009/11/22(Sun) 13:12:38
☆ Re: 数A、確率の問題 / ヨッシー
(1)
ａ1 に入れる数字は４通り、ａ2 に入れる数字は、ａ1 以外の３通り。
ｂ1 に入れる数字は４通り、ｂ2 に入れる数字は、ｂ1 以外の３通り。
以上より
　４×３×４×３＝１４４(通り)
(2)
２つになる数字は、３と４しかないので、あとはその並び方です。
ａ1ａ2 について、３４か４３の２通り。
ｂ1ｂ2 について、３４か４３の２通り。
以上より
　２×２＝４(通り)
確率は、4/144＝1/36

(3)
３が２つであるとき
３の置かれ方はａ1ｂ1，ａ1ｂ2，ａ2ｂ1，ａ2ｂ2 の４通り。
残った場所にＡから３通り、ｂから３通りの取り出し方があり、
　４×３×３＝３６(通り)
ですが、そのうち４通りは４も２つあるので、
　３６−４＝３２(通り)
４が２つあるときも同様に３２通りで、合計６４通り
確率は
　64/144＝4/9

(4)
残りが、すべて異なる確率なので、
　１−1/36−4/9＝19/36
No.8952 - 2009/11/22(Sun) 16:26:39
☆ Re: 数A、確率の問題 / 左近

詳しくありがとうございます!
本当に助かりました。
またのときは宜しくお願いします。
No.8954 - 2009/11/22(Sun) 18:13:48
★ n進法 / yosh
連投で失礼します。

次の計算を3進法のまま簡単にしなさい。
※(3)は3進法で表記という意味です。

1. 11(3)+12(3)
2. 20(3)-11(3)
3. 2(3)x2(3)
4. 11(3)÷2(3)

答えは　1. 100(3) 2. 2(3) 3. 11(3) 4. 2(3)


n進法で表す方法は理解していますが、n進法のまま計算をするやり方が分かりません。
どのように考えれば良いのでしょうか？
質問の意味さえも？です。

どうぞ宜しくお願い致します。
No.8945 - 2009/11/22(Sun) 12:26:27
☆ Re: n進法 / rtz
基本的な考え方は10進法と同じ。
ただ、繰り上がりになる数字が10ではなく3であると言う点が違う。

たとえば1つ目なら、
11(3)+12(3)
＝23(3) (そのまま足す)
＝30(3) (末尾の位は3で繰り上がるので次の位に1を加える)
＝100(3) (上に同じ)
ということ。

2つ目も同様。
足りない数字を上の位から補充する際、
10ではなく3を足すところが違うのみ。

3,4も基本的な考えは同じ。
小学校のときと同様、筆算で解くと分かりやすいかもしれない。
今回は数字が小さいが、もうちょっと大きな数字で実験してみるとよいかと。
No.8948 - 2009/11/22(Sun) 14:21:56
☆ Re: n進法 / yosh
そういう計算の仕方だったのですね。
謎が解けました。
ありがとうございます！！
No.8967 - 2009/11/23(Mon) 10:33:42
★ 因数分解 / yosh
x（3乗）-8y（3乗）+6xy+1

因数分解の基本的な解き方は理解出来たものの、上記のようなものは複雑すぎて分かりません。

答えは　(x-2y+1)(x^+4y^+2xy-x+2y+1)
と、あまり無いパターンのように思います。

解き方の解説を宜しくお願いします！！
No.8944 - 2009/11/22(Sun) 11:39:23
☆ Re: 因数分解 / rtz
累乗は^を用いて2乗なら^2、3乗なら^3と記す。


a3+b3+c3-3abc
＝(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)
が適用できる。
a,b,cがどうであればこの形になるか考えてみるとよいかと。
No.8947 - 2009/11/22(Sun) 14:11:05
☆ Re: 因数分解 / yosh
なるほど、公式があったのですね。
a^3+b^3+c^3-3abc＝(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)
が抜けていました。

ありがとうございます！
No.8966 - 2009/11/23(Mon) 10:30:55
全22525件 [ ページ : << 1 ... 1010 1011 1012 1013 1014 1015 1016 1017 1018 1019 1020 1021 1022 1023 1024 ... 1127 >> ]