こんにちは。 今日も悪いのですが質問お願いします。
(1+tanx)cosx=Acos(B−x)がxについての恒等式になるよう定数A B を定めよ
わたしは左辺をcosx+sinx 右辺を加法定理よりcosx(AcosB)+sinx(AsinB) と変形し恒等式より AcosB=1 AsinB=1 となり、とくと (A、B)=(√2、π/4)(−√2、5π/4) となりました。 これはどこが間違いでしょうか? 答えはA=√2 B=π/4+2nπだそうです。
宜しくお願いします。
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No.6968 - 2009/07/27(Mon) 19:15:25
| ☆ Re: 積分 / angel | | | 大筋で問題はないと思います。 ただし、sin,cosは周期関数なので、値の範囲の指定に応じて、とりうる値を全て列挙する必要があります。 具体的には B に関して全く条件が指定されていなければ、B=π/4 ではなく、B=π/4+2nπ のようにします。( B=5π/4 の場合も同じく )
A=-√2 のパターンも、他に制限がなければ解に含めるべきなので、akiさんの考えで良いと思いますが… 何か、Aの値の範囲で、条件が他にあるということはないでしょうか?
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No.6979 - 2009/07/27(Mon) 22:18:57 |
| ☆ Re: 積分 / aki | | | 特にないと思います。 問題文もこれだけなので… 三角関数については了解しました。 でも(π/4)+2nπだとπ/4の次は9π/4で5π/4が入らないような気がするのですが…(>_<) またAが−√2のときは5π/4の周期でA=√2のときと別なのかなとも思ったのですが…
宜しくお願いします。
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No.6988 - 2009/07/28(Tue) 11:33:29 |
| ☆ Re: 積分 / angel | | | > でも(π/4)+2nπだとπ/4の次は9π/4で5π/4が入らないような気がするのですが…(>_<)
そうです。入りませんよ。 B=5π/4 は、A=-√2 の時ですから。 A=√2 の時の B=π/4+2nπ に、B=5π/4 は含まれません。
つまり、(A,B)=(√2, π/4+2nπ), (-√2, 5π/4+2nπ) ( nは整数 ) という2種類の系統の解になります。 ※無理やり1種類にまとめれば、(A,B)=( √2・(-1)^n, π/4+nπ ) ともできますけど…
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No.7015 - 2009/07/29(Wed) 23:21:55 |
| ☆ Re: 積分 / aki | | | わかりました! ではA=−√2の場合がないのは解答が間違えているのでしょうかね…
ありがとうございます。
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No.7024 - 2009/07/30(Thu) 00:06:33 |
| ☆ Re: 積分 / aki | | | ごめんなさいこの問題の全体は http://z.upup.be/?SFWeFSlWxK なのですが、この(3)を http://p.upup.be/?01xXsAfmQd ここまでときました。ここまであってるかわからないのですが、ここからどう処理すればいいかわからなかったので教えて下さい(>_<)
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No.7025 - 2009/07/30(Thu) 00:21:58 |
| ☆ Re: 積分 / angel | | | まず、(3)では 2nπ は不要です。 log(1+tanx)=log(√2・cos(π/4-x)/cosx) で良いです。 (1)のような問題は、通常、「〜の条件を満たすA,Bの組を全て挙げろ」と解釈するので、n を持ち出す必要があったのですが、(3)では (1) の結果を用いて、問題を解き易いように変形しているだけです。 なので、代表例として (A,B)=(√2, π/4) を使えば良いのです。 ※(A,B)=(-√2,5π/4)も候補なのですが、すなおには行かないので、採用しません。
で、途中の計算ですが、1行目から2行目で折角のπ/4が消えていますよ。変形は正しく行いましょう。 また、log(√2・cos(〜)/cos(…))=log(√2・cos(〜))-log(cos(…)) は突っ込み不足です。 log(√2・cos(〜)/cos(…))=log√2 + log(cos(〜)) - log(cos(…)) まで突っ込みましょう。
そうすると、(2)が生きてきます。 通常、∫log(cos(〜))dx の形なんて計算できませんが、今回は 2種類、形の違うものが出ているので、相CENSORED消えてくれることが期待できます。
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No.7043 - 2009/07/30(Thu) 23:14:21 |
| ☆ Re: 積分 / aki | | | まず−√2が採用されないのは素直にいかないからというのはどういうことなんでしょうか?
また、π/4が消えているとは ∫log√2cos(π/4−x)dx−∫logcosxdx ということでしょうか? 加法定理をそして使って見ましたが全くうまくいきません。今度はlogsinが残ってしまいました。
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No.7053 - 2009/07/31(Fri) 16:25:59 |
| ☆ Re: 積分 / angel | | | > まず−√2が採用されないのは素直にいかないからというのはどういうことなんでしょうか?
採用して計算してみたら、その先巧く解けなかった、ということです。実際に計算してみてください。( 巧く行くかどうかは、基本的に、やってみないと分からない ) ※解く事はできるのですが、(A,B)=(√2,π/4) と同じ形に直すはめになるので、敢えて採用する意味がないのです。
> また、π/4が消えているとは > ∫log√2cos(π/4−x)dx−∫logcosxdx > ということでしょうか?
そうです。 …ひょっとしてcosの加法定理を使って、小分けに計算しようとしましたか? それは今回巧く行きませんよ。( (2)の結果が活かせない )
∫[0,π/4] log(√2・cos(π/4-x)/cosx)dx = ∫[0,π/4] ( log√2 + log(cos(π/4-x)) - log(cosx) )dx = ∫[0,π/4] log√2・dx + ∫[0,π/4] log(cos(π/4-x))dx - ∫[0,π/4] log(cosx)dx = ∫[0,π/4] log√2・dx = 1/8・πlog2
と、ダイレクトに計算します。 最後の行で項が2個消えているところで、(2)の結果を利用しています。
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No.7069 - 2009/08/01(Sat) 16:00:02 |
| ☆ Re: 積分 / aki | | | わかりましたできました! ありがとうございます。 (2)を使って誘導にのらなければ意味がないですよね… ばかでした… ありがとうございます。
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No.7083 - 2009/08/01(Sat) 22:11:14 |
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