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★ 角度 / 角度
角MOPが120度の時の角BACは何度ですか？点Mは辺BCの中点です。
No.81011 - 2022/02/22(Tue) 02:42:11
☆ Re: 角度 / らすかる
「∠MOP=120°」と「点Mは辺BCの中点」とこの図だけでは、∠BACは決まりません。
何か条件が抜けていませんか？

条件から∠OBC=30°であることだけはわかりますが、
例えば∠ABC=60°、∠BAC＞60°である「適当な」三角形を描き、
∠ABCの二等分線を半直線BPとし、AからBCに垂線AHを下し、
BCの中点をMとして線分AMを描き、BCの垂直二等分線と半直線BPとの交点をOとすれば
この図になります。よって∠BACはこの条件では決まりません。
No.81013 - 2022/02/22(Tue) 03:30:36
★ 二項係数 / ボスニア・ヘルチェゴ美奈
k,m,nは自然数でm>nとします。
C[i,j]は二項係数とし、i<jとなるようなものはすべて0とします。

2{Σ[j=k〜m-k] C[m-1-j,k-1]C[j-1,k-1]C[n-1,j-1]} / {Σ[j=k〜m-k] C[m-1-j,k]C[j-1,k-1](C[n-1,j-1]+C[n-1,m-1-j])}

ってたぶんnの値によらない、しかも簡単な値になるような気がするのですが、どのように計算をするとそのことが証明出来るのか、教えてほしいです。

参考
https://www.wolframalpha.com/input?i=2%7B30〜70の+Binomial%5B99-j%2C29%5DBinomial%5Bj-1%2C29%5D+Binomial%5B39%2Cj-1%5Dの総和%7D%2F%7B30〜70の+%28Binomial%5B99-j%2C30%5DBinomial%5Bj-1%2C29%5D+%28Binomial%5B39%2Cj-1%5D%2B+Binomial%5B39%2C99-j%5D%29%29の総和%7D&lang=ja

https://ja.wolframalpha.com/input?i=2%7B30〜70の+Binomial%5B99-j%2C29%5DBinomial%5Bj-1%2C29%5D+Binomial%5B3999999%2Cj-1%5Dの総和%7D%2F%7B30〜70の+%28Binomial%5B99-j%2C30%5DBinomial%5Bj-1%2C29%5D+%28Binomial%5B3999999%2Cj-1%5D%2B+Binomial%5B3999999%2C99-j%5D%29%29の総和%7D

よろしくお願いします。
No.81008 - 2022/02/20(Sun) 19:02:54
☆ Re: 二項係数 / m
値は 2k/(m-2k) になりそう．
証明はできていません．
どういった経緯で出てきた式ですか．
No.81010 - 2022/02/21(Mon) 23:46:36
☆ Re: 二項係数 / ボスニア・ヘルチェゴ美奈
これを考えていると出てきました。
https://www2.rocketbbs.com/11/bbs.cgi?id=yosshy&mode=res&resto=80956
No.81012 - 2022/02/22(Tue) 03:24:01
★ シグマがわからない / シグマがわからない
ここからの計算の仕方を教えてください。答えでは3分2が3分1に変わっており、+nが3に変わっているところがわからないです
No.81004 - 2022/02/20(Sun) 05:33:47
☆ Re: シグマがわからない / シグマがわからない
ここからの解き方です。送り間違えました。すみません。
No.81005 - 2022/02/20(Sun) 05:35:33
☆ Re: シグマがわからない / ヨッシー
解答の１行目の式の（　）はそのままで｛　｝だけ
展開してみてください。
No.81006 - 2022/02/20(Sun) 06:50:21
★ 極限 / 極限苦手
次の写真の問題なのですが答えと自分が解いた解法が違くて答えが一致しませんでした。
どこが間違っているかご教授お願いします
No.80999 - 2022/02/19(Sat) 14:05:48
☆ Re: 極限 / 極限苦手
(3)が答えです
No.81000 - 2022/02/19(Sat) 14:06:38
☆ Re: 極限 / IT
最初の分子の変形がまちがってます。
No.81001 - 2022/02/19(Sat) 14:15:43
★ 子供の塾のテストがわかりません / 算数にがて父
子供の塾のテストの問題がわかりません。
子供が解説をもってこず（なくした？）、説明しようにも、父は算数が苦手でどうしようもなく検索して、この掲示板にたどりつきました。
何卒、算数が苦手な父にもわかるようにご解説いただけませんでしょうか。

【問題】
あるきまりに従う数列
A：１，３，４，７，８，９，13、14、15、16、21、22　・・・
B：２，５，６，10、11、12、17、18、19、20、26、27　・・・
（１）Aの左から25番目の整数は？
（２）Aの左から数えて１番目から□番目までの整数の合計と、Bの左から数えて□番目までの整数の合計の差が440のとき、Bの左から□番目の整数はいくつか？　ただし□は同じ数字が入る
No.80989 - 2022/02/19(Sat) 01:33:38
☆ Re: 子供の塾のテストがわかりません / IT
まず、「あるきまり」を見つけるため
１、２、３、,....、25，26、27,を全部書いて
Aの数列に入る数には上にAと書いて、Bに入る数には下にBと書いてみてください。
No.80990 - 2022/02/19(Sat) 01:56:06
☆ Re: 子供の塾のテストがわかりません / 算数にがて父
Aと（B）は、１（２）３、４（５，６）７，８，９、（10、11、12）、13、14、15、16、（17、18、19、20）というように互いに「同じ数ずつ並んでいる」ことは分かるんですが、これをどう使えばよいのでしょうか？
２５番目は１＋２＋３＋４＋５＋６　ここまでで21なので、あと４つ　つまり
（1）（3、4）（7、8、9）（13、14、15、16）（21、22、23、24、25）（31、32、33、34、35、36）（43、44、45、46、47、48、49）となって46が25番目の整数であることもわかるのですが、どうやったら数式になるのやら。
No.80991 - 2022/02/19(Sat) 02:45:09
☆ Re: 子供の塾のテストがわかりません / IT
分かっていることは、あらかじめ書かれた方がお互いに無駄がないと思います。

何年生（相当）の算数（数学？）で、どんな数列の概念や公式などが既習ですか？

（２）　まず、A,B各固まり毎の合計の差がいくらになるかを調べれば見えてくるのでは？
１
２　

３、４
５，６

７，８，９
10、11、12

13、14、15、16
17、18、19、20
No.80994 - 2022/02/19(Sat) 07:03:04
☆ Re: 子供の塾のテストがわかりません / ヨッシー
Ａの最初の１個の数を第１グループ、次の２個の数を第２グループ、
次の３個のグループを第３グループ、以下同じ、とします。
Ｂについても同様にグループ番号を付けます。
ここまでで分かることは、
・同じグループには、連続する整数が入る
・第ｎグループに入る数はｎ個である
・Ａの第１、Ｂの第１、Ａの第２、Ｂの第２・・・　と並べると１から始まる整数の列となる

(1) は
　25番目の数が何番目のグループかを調べる
のがポイントで、
　１＋２＋３＋４＋５＋６＝２１
を見つけたら、即座に
　Ｂの第６グループの最後の数は　２１×２＝４２
にたどり着き、その先は４つ進めるだけです。

(2) は
Ｂの数とＡの数の差を表すＣという数列を用意します。つまり、
　Ｃ：1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5,・・・
であり、第ｎグループはｎ個のｎで出来た数列になります。
Ｃの最初からの合計が４４０あたりになるのは何番目のグループかを
見つける作業になりますが、第ｎグループまでの和は
　１＋２×２＋３×３＋・・・＋ｎ×ｎ＝１2＋２2＋３2＋・・・＋ｎ2
であり、
　１＋４＋９＋・・・＋１００＝３８５
　１＋４＋９＋・・・＋１００＋１２１＝５０６
から、第１０グループの最後までで、ＢとＡの差は３８５になっています。
あと、４４０まで１１を何回足せば良いかという問題となります。

ここで２つ公式を紹介します。知らなければ、１から順に足していくだけです。
　１＋２＋３＋・・・＋ｎ＝n×(n+1)÷2
　１2＋２2＋３2＋・・・＋ｎ2＝n×(n+1)×(2n＋1)÷6
ちなみに、
　１2＋２2＋３2＋・・・＋ｎ2＝n×(n+1)×(2n＋1)÷6
は、高校で習う公式です。

この問題のポイントですが、
・グループという考え方が出来て、１＋２＋３＋・・・という発想が出来るか
・上のＣが思いついて、１2＋２2＋３2＋・・・という発想が出来るか
ということで、上に書いた公式は、知っておいて損はないですが、あまり役には立ちません。
No.80995 - 2022/02/19(Sat) 08:15:03
★ 広義積分 / 辰彦
至急です。コロナで頭が働きません。今日の24時までにお願いします！途中式を、可能な限り細かく記載お願いしたいです…！
No.80987 - 2022/02/18(Fri) 21:13:47
★ 連続するn個の自然数の積が平方数にならない / りん
nを2以上の自然数とするとき、連続するn個の自然数の積は平方数にならないことを示したいのですが、教えてください。
No.80977 - 2022/02/18(Fri) 17:07:25
☆ Re: 連続するn個の自然数の積が平方数にならない / IT
どこからの出題ですか？　レベルは？

連続するn個の自然数の積がx^L（xは自然数Lは２以上の自然数）にならないことについて、下記に証明があるようですが、確認していません。
相当な難問だと思います。

https://www.renyi.hu/~p_erdos/1975-46.pdf
No.80982 - 2022/02/18(Fri) 19:23:48
☆ Re: 連続するn個の自然数の積が平方数にならない / りん
n＝7のときに参考書で解いたので
一般のnで出来るのかと思って質問しました。
No.80984 - 2022/02/18(Fri) 20:02:12
☆ Re: 連続するn個の自然数の積が平方数にならない / IT
興味があって余力があるなら先ほどのを読んでみてください。
（受験勉強が目的ならパスで）
No.80985 - 2022/02/18(Fri) 20:11:43
☆ Re: 連続するn個の自然数の積が平方数にならない / けんけんぱ
東京大学 理系 2012年度 第4問　が似たような問題です
http://server-test.net/math/
No.80988 - 2022/02/18(Fri) 21:26:20
☆ Re: 連続するn個の自然数の積が平方数にならない / りん
見てみます。
ありがとうございます。
No.81003 - 2022/02/19(Sat) 22:01:26
★ 複素数平面 / ケンタ
α=-1+i β=7-5i γ=2+yi
角αβγの大きさがπ/6である時、yの値はどうなりますか？
No.80972 - 2022/02/18(Fri) 10:37:40
☆ Re: 複素数平面 / ヨッシー

図の角をθとすると、
αβの傾きは −3/4 なので、
　tanθ＝−3/4
また、
　tan(π/6)＝1/√3
なので、加法定理より
　tan(θ＋π/6)＝(−3/4＋1/√3)/(1＋√3/4)
　　　＝(25√3−48)/39
これがβγの傾きとなります。
(中略)
ｙ＝(45−125√3)/39

また、図の破線方向のγも考えられます。
こちらはご自分でどうぞ。
No.80974 - 2022/02/18(Fri) 11:12:41
★ 漸化式と極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数列３独学１１日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
今回は回答者様に不快な思いをさせてしまい
申し訳ありませんでした。

前回の質問から月日が経っておりますので、改めて質問させてください。

問題と私の答案

何卒宜しくお願い致します。
No.80961 - 2022/02/17(Thu) 07:43:24
☆ Re: 漸化式と極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数列３独学１１日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
以前の質問

No.80907 - 2022/02/14(Mon) 07:01:53
No.80962 - 2022/02/17(Thu) 07:58:32
☆ Re: 漸化式と極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数列３独学１１日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
a_1=6 ,a_1=10 nなども興味があります
No.80964 - 2022/02/17(Thu) 10:05:53
☆ Re: 漸化式と極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数列３独学１１日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
初期値によって極限が異なるようです
No.80965 - 2022/02/17(Thu) 10:15:16
☆ Re: 漸化式と極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数列３独学１１日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
考察してみました
No.80966 - 2022/02/17(Thu) 11:24:13
☆ Re: 漸化式と極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数列３独学１１日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
a_1=1 のとき減少関数と決定付け出来ればいいのですが、
No.80967 - 2022/02/17(Thu) 12:03:59
☆ Re: 漸化式と極限 / m
答案について．

> y = p^2/n^2 は n = 2, 3, 4, ... で減少関数である．
これは正しいがこの事実から
> 故に n = 2 のとき最大値 = 1+(1/2)^2
は導かれません．

まず，y = p^2/n^2の n = 2, 3, 4, ... における最大値は
n = 2 とした 1+(p/2)^2
です．これから結論付けられるのは
a[n] ≦ 1+(a[n-1]/2)^2
だけです．実際は
a[n-1] ≦ 2 　...(*)
が成り立つことから a[n]≦2 も示されるが，その説明がない．
もちろん (*) が成り立つ理由も必要です．
// (*)が成り立つためには a[n-2] ≦ 2 であればいいですよね．
数学的帰納法で証明するのがいいかなと思います．
No.80968 - 2022/02/17(Thu) 18:54:23
☆ Re: 漸化式と極限 / m
考察について．

>初期値によって極限が異なるようです
その通りです．
実は a_1 = 6 のとき数列は
6.0
10.0
12.111111111111112
10.16743827160494
5.135072040275874
1.7324712460784175
1.061254216703847
1.0175978205073704
1.0127840163493993
と並び，収束します．
その一方で a_1 = 10 のときは発散します．（証明は簡単ではないと思う．）

もう少し考えてみてください．

// 初期値 a_1 によって極限がどう変わるかは難しい問題だと思います．
No.80969 - 2022/02/17(Thu) 18:56:52
☆ Re: 漸化式と極限 / らすかる
収束・発散の境界の値は
7.22315462674400236941604532548650697832103946911074…
という値になるようですね。
a[1]がこの境界値のとき、a[n]は発散しますが
lim[n→∞]{a[n]-(n^2+4n+1)}=0
となるようです。
No.80970 - 2022/02/17(Thu) 22:16:39
☆ Re: 漸化式と極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数列３独学１１日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ｍ先生、ラスカル先生

ご返答ありがとうございます

丸投げで恐縮ですが、下の
Ａ、Ｂが、理解できません、詳しく教えていただけると幸いです

私は、理解力が弱いのです、

何卒宜しくお願い致します。
No.80973 - 2022/02/18(Fri) 10:58:05
☆ Re: 漸化式と極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数列３独学１１日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ラスカル様

一つ質問があります

私は大事な局面を考えてなかったようです

＞lim[n→∞]{a[n]-(n^2+4n+1)}=0
となるようです。

この事実について詳しく教えてください。

何卒宜しくお願い致します。
No.80975 - 2022/02/18(Fri) 16:10:15
☆ Re: 漸化式と極限 / m
>K.A さん
A について，書き間違いがありました．混乱させてしまい申し訳ありません．

誤：n = 2 とした 1+(p/2)^2
正：n = 2 とした (p/2)^2

// 文字 p を使わなくてもいいかもしれません．
n = 2, 3, 4, ... に対して
(a[n-1]/n)^2 ≦ (a[n-1]/2)^2
が成り立つ．これにより
a[n] = 1 + (a[n-1]/n)^2 ≦ 1 + (a[n-1]/2)^2 　...(**)
が成り立つ．


B について．
目標は「自然数 n に対して 1≦a[n]≦2 」を示すことでした．

a[n-1] ≦ 2 　...(*)
が成り立つと仮定すれば，(**) と合わせて
a[n] ≦ 1+(2/2)^2 = 2
を得る．

この議論と数学的帰納法を組み合わせて"目標"を示すことはできますか．
No.80976 - 2022/02/18(Fri) 16:16:22
☆ Re: 漸化式と極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数列３独学１１日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ｍ先生

早速ご返信ありがとうございます

一つ詳しく教えていただけると幸いです

＞(a[n-1]/n)^2 ≦ (a[n-1]/2)^2
が成り立つ．

その理由が私はあやふやで正しく掴めていません

何卒宜しくお願い致します。
No.80978 - 2022/02/18(Fri) 17:36:32
☆ Re: 漸化式と極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数列３独学１１日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
追伸

> y = p^2/n^2 は n = 2, 3, 4, ... で減少関数である．
これは正しいがこの事実から
> 故に n = 2 のとき最大値 = 1+(1/2)^2
は導かれません．

ここら辺からよくわかりません

私の数学は勘に頼りすぎなので。。。
No.80979 - 2022/02/18(Fri) 18:12:13
☆ Re: 漸化式と極限 / らすかる
> ＞lim[n→∞]{a[n]-(n^2+4n+1)}=0
> となるようです。
>
> この事実について詳しく教えてください。

例えば初期値を7.2231にすると
7.2231
14.0432934025
22.912676620966669667361111111111…
33.811921871062037710884416596959…
46.729842424592134764318520370127…
61.657727028533636784364008135025…
78.585210251534028064267677399435…
97.494301098090764037845392555150…
118.347391933397308129298100938249…
141.061051774371542382815766376128…
165.448101881751478228705440835664…
191.090794557461229383680466026139…
217.069182039064226065386296191802…
241.403213219940832635096823544980…
260.002272679609850597285463999663…
265.067116400633573904762126460304…
244.116180612273453895929313472052…
184.928116162728746098270202022501…
95.732432541539326583023721453286…
23.911746600800944520337659432055…
2.296534298188017063089766053690…
1.010896838394119686099225424806…
1.001931781508270750346120698297…
のようになってある程度の項数(この例では15項ぐらい)までは
順調に増えていきますが、その後急速に減って1に収束しますね。

また、初期値を7.2232にすると
7.2232
14.04365456
22.913803711178754844444444444444…
33.815150032151829897313289436456…
46.738574867877516101520284972805…
61.680399463338660325154934943048…
78.642279141980165237648293880036…
97.634501072580133661388190363837…
118.685133329526558893256218138734…
141.861608734474960471446471217761…
167.319967212671590048637492109814…
195.416468250343721547085502523400…
226.962106884246128781573184096453…
263.815295721101857158761959063836…
310.326712250721883834494153458771…
377.182298188837264595587924553458…
493.271578086550002948288237329385…
751.977931320973447740445942786907…
1567.401133500749748971241784772506…
6142.865783248587842561825567083744…
85567.439979606092048406926511510556…
15127659.645998948368572283143087249905…
432601297477.720279530013092214485308635878…
324902573922581656744.036621028068991771319345415809…
のようになってやはりある程度の項数までは順調に増えますが、
その後爆発的に増えて発散します。
よって境界値が7.2231と7.2232の間にあることがわかりますが、
ちょっとしたプログラムを作って二分探索で境界値を調べていくと、上に書いた
7.22315462674400236941604532548650697832103946911074…
という値のときに「順調に増える項の数」が長くなります。
（この値は500桁程度求めてありますが、ここに書いても意味が
ありませんので、書くのは途中の桁で打ち切りました。）

そして境界値のときに値がどうなっていくかを観察すると
7.223154626744002369416045325486…
14.043490690463322047339619237130…
22.913292308125554868531781263237…
33.813685274850357354421137110623…
46.734612474665275479295132522153…
61.670111198809421780640773601610…
78.616379903541209339613357286268…
97.570862330279970742335684291411…
118.531767603388234597701287566714…
141.497799311836366318294971578461…
166.467993471840661666403827940806…
193.441617017644341315487302301641…
222.418101742017685386076121780190…
253.396999910829237421241077149486…
286.377953616927966922719446007885…
321.360673116481820360001268177595…
358.344921196810662214111536744605…
397.330501689964331620004333953781…
438.317250895287392203500571113280…
481.305031081005790555397840115373…
526.293725496344557994223282112541…
573.283234497565450138170494834610…
622.273472506598519870177000785503…
673.264365599688236104156464238433…
726.255849578161062907033491254373…
781.247868411977083631435276903178…
のようになっていて、整数部が最初の2項を除きn^2+4n+1となり、
小数部が減っていきます。
この先頭の少しの項ではこの後もn^2+4n+1が続くかどうかわかりませんが、
ずっと先を求めていくと
a[100]=10401.075167639232047458174152189362…
a[200]=40801.038747881580670186778979317942…
a[300]=91201.026103278486498192792159158593…
a[400]=161601.019681114359344827818264494027…
a[500]=252001.015795144167465294986190396341…
a[600]=362401.013190713726384735328005783945…
a[700]=492801.011323600544162945778282228200…
a[800]=643201.009919522667017122414109934352…
a[900]=813601.008825234689128316068140518075…
a[1000]=1004001.007948396475627683424135530873…
のようになり、予想が正しそうに思えます。
（証明していませんのであくまでも予想ですが。）
小数点以下は、8/(n+6)に近づいているようですが、
これは（一見正しそうには見えますが）ちょっと怪しいです。

よってこれらの観察の結果、初期値が「境界値」である場合に
lim[n→∞]{a[n]-(n^2+4n+1)}=0
が成り立つことが予想される、ということです。
No.80980 - 2022/02/18(Fri) 18:33:09
☆ Re: 漸化式と極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数列３独学１１日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ラスカル先生ありがとうございます

今

a[1] =10を考えているのですが、私は
a[n]＞(n+2)^2
を示せれば、この数列は∞に発散すると言えると踏まえています

ラスカル先生の示した数式と近いのでご質問いたしました
No.80981 - 2022/02/18(Fri) 18:55:00
☆ Re: 漸化式と極限 / らすかる
a[n]＞(n+2)^2ならば
a[n+1]＞1+{(n+2)^2/(n+1)}^2
=(n+3)^2+3+(4n+5)/(n+1)^2
＞(n+3)^2
なので確かに言えますね。

同様にa[n]＞(n+2)^2=n^2+4n+4がa[n]＞n^2+4n+3でも
a[n+1]＞1+{(n^2+4n+3)/(n+1)}^2
={(n+1)^2+4(n+1)+3}+2
＞(n+1)^2+4(n+1)+3
となり、言えます。

a[n]＞n^2+4n+2の場合は
a[n+1]＞1+{(n^2+4n+2)/(n+1)}^2
={(n+1)^2+4(n+1)+2}+(n^2-2n-2)/(n+1)^2
となりますので、n^2-2n-2＞0すなわちn≧3であれば言えます
つまりこの場合、a[3]＞23ならば発散が言えるということです。
a[3]=23から逆算するとa[1]=7.23083599…となりますので、
少なくともa[1]≧7.24であれば発散すると言えますね。
No.80983 - 2022/02/18(Fri) 20:01:17
☆ Re: 漸化式と極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数列３独学１１日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ラスカル先生

ありがとうございます

スッキリしました

追伸

まだまだこの問題でやり残した疑問があり今夜は眠れそうもありません
No.80986 - 2022/02/18(Fri) 20:58:06
☆ Re: 漸化式と極限 / m
返信遅くなってすいません．出かけてました．

>＞(a[n-1]/n)^2 ≦ (a[n-1]/2)^2
>が成り立つ．
>
>その理由が私はあやふやで正しく掴めていません

n ≧ 2 に対して
1/n^2 ≦ 1/2^2
だからです．
// n≧2 の両辺を二乗して逆数をとっているだけなので，この方が簡単かなと思いました．


>> y = p^2/n^2 は n = 2, 3, 4, ... で減少関数である．
>これは正しいがこの事実から
>> 故に n = 2 のとき最大値 = 1+(1/2)^2
>は導かれません．
>
>ここら辺からよくわかりません

最大値というのは数列 a[n] の最大値ですよね．
>最大値 = 1+(1/2)^2
となる根拠が足りていないということです．
具体的に何が不足しているかは後回しにして，間違っていることは次のようにして確認できます．

もしこの論法が正しいのだとすれば a[1] = 6 の場合は
数列 a[n] の最大値が 1+(6/2)^2 = 10 であることになってしまう．
No.80969 の計算からこれは間違い．

// a[n] は a[n-1] によって決まる．a[n-1] は a[n-2] によって決まる．．．
// そんな a[n-1] をいっぺんに p = a[n-1] とおいて処理しているのが問題だと思う．
No.80992 - 2022/02/19(Sat) 06:19:00
☆ Re: 漸化式と極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数列３独学１１日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ｍ先生

おはようございます。

早速のご返答ありがとうございます

大分参考になりそうです

今から頂いた指導を理解します

何分理解力が弱いので返信が遅くなるかもしれません

今日中には一度ご返信致します。

何卒宜しくお願い致します。
No.80993 - 2022/02/19(Sat) 07:02:44
☆ Re: 漸化式と極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数列３独学１１日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ｍ先生

一つの事実について確認しました

その論理が正しいかどうかご指導いただけると幸いです

以下質問
No.80996 - 2022/02/19(Sat) 08:32:55
☆ Re: 漸化式と極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数列３独学１１日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
追伸

a[n-1とnとが連続というようなイメージです

アバウトで申し訳ございません。
No.80997 - 2022/02/19(Sat) 08:58:04
☆ Re: 漸化式と極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数列３独学１１日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
本日の答案作成　最新

何卒宜しくお願い致します。
No.80998 - 2022/02/19(Sat) 12:20:53
☆ Re: 漸化式と極限 / m
No.80996 の画像の中の
2 > 1 = a[1] > a[2] > a[3] > ... > a[n-1] > a[n]
やNo.80998 の 丸B の式の意味/意図が分かりません．（書き間違い？a[2] は a[1] より大きい）

>a[n-1とnとが連続というようなイメージです
これもイメージが伝わりません．


質問．
1. 数学的帰納法は知っていますか．
2. No.80976 の下半分で挙げた数学的帰納法を使った証明は理解できますか．

// 個人的に，この証明をするには帰納法が一番だと思っています．（そもそも漸化式と帰納法は相性がいい）
// ただ，他の可能性をつぶしてしまうのはよくないとも思っています．
// とりあえず帰納法を理解して，そのあとで考え直すというのはどうですか．
No.81002 - 2022/02/19(Sat) 15:31:19
☆ Re: 漸化式と極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数列３独学１１日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ｍ先生

ご返信が遅れてしまい申し訳ございません

寝込んでました

少し自分で考えてみます

私は、数学的帰納法は最終手段と思っていて、なるべく回避したいです

生意気な事を申しまして申し訳ございません

明日午前までには一度ご連絡致します。

その際はよろしくお願いします。

ｍ先生を独り占めですね。

恐縮です。
No.81007 - 2022/02/20(Sun) 14:27:59
☆ Re: 漸化式と極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数列３独学１３日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ｍ先生

未だ思考中です

申し訳ございません。
No.81009 - 2022/02/21(Mon) 12:09:41
☆ Re: 漸化式と極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数列３独学１４日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ｍ先生

遅くなり申し訳ございません。

数学的帰納法で考えてみました

助言をお願い致します。

また、数学的帰納法を用いず解く術を教えていただけると幸いです
No.81034 - 2022/02/23(Wed) 08:44:01
☆ Re: 漸化式と極限 / m
>K.A さん
合っています．
最後の行は
lim[n→∞] (1+4/n^2) = 0 から...
ですね．（書き間違いだと思う）

数学的帰納法を使わない方法は私には思いつきません．
No.81041 - 2022/02/23(Wed) 17:18:41
☆ Re: 漸化式と極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数列３独学１４日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ｍ先生

ありがとうございました

別に質問を立てます

本当にありがとうございました
No.81049 - 2022/02/24(Thu) 11:19:41
★ 確率 / 連の個数
100個の箱が横一列に並んでいます。
その箱へ40個の玉を無作為に入れます。
箱を左から順に見ていって、中に玉が入っていれば1を記録し、中に玉が入っていなければ0を記録していき、1と0からなる長さ100の数列Pを作ります。

次に一旦40個の玉は全て取り出し、新たに400万個の玉を100個の箱へ無作為に入れます。
先ほどと同様に、箱を左から順に見ていって、中に玉が入っていれば1を記録し、中に玉が入っていなければ0を記録して、1と0からなる長さ100の数列Qを作ります。

数列Pの連が60個である確率をp(60)、連が61個である確率をp(61)とします。
数列Qの連が60個である確率をq(60)、連が61個である確率をq(61)とします。

p(60)/p(61) と q(60)/q(61) はどちらが大きいのでしょうか？


連とは同じ数字の連続するブロックのことで、例えば
10000110
であれば連の個数は4です。
No.80956 - 2022/02/16(Wed) 22:10:13
☆ Re: 確率 / らすかる
ほぼ「勘」ですが、
p(60)/p(61)の方が大きくなりそうな気がします。
理由
Qの方は左端の箱と右端の箱の両方に玉が入っている確率がきわめて高いので
連が奇数になる確率が高く、偶数になる確率は低いと思います。
よってq(60)/q(61)はかなり小さい値になると予想されます。
それに対し、Pの方は左端の箱と右端の箱のどちらか一つだけに入る確率、
すなわち連が偶数個になる確率が約40%ありますので、p(60)/p(61)は
極端に小さな数にはならないと思います。
No.80971 - 2022/02/17(Thu) 23:51:27
☆ Re: 確率 / 連の個数
ありがとうございました。
とても参考になりました。
No.81099 - 2022/03/04(Fri) 12:28:12
★ 確率 / j
画像の問題について、P→Qの経路の総数を分母、P→Cn(n=1,2,3,4)→Qの経路の総数を分子にして確率を計算したのですが不正解でした。理由を教えていただけると助かります。
No.80948 - 2022/02/16(Wed) 19:57:22
☆ Re: 確率 / 高校三年生
C5が抜けてるからじゃないでしょうか？
No.80950 - 2022/02/16(Wed) 20:28:32
☆ Re: 確率 / j
すみません、それは私の表記ミスです
No.80953 - 2022/02/16(Wed) 21:03:44
☆ Re: 確率 / ヨッシー
>経路の総数を分子にして
だけでは、やり方があっているかどうかわかりません。
具体的にどうやったか書いてみて下さい。
No.80954 - 2022/02/16(Wed) 21:43:29
☆ Re: 確率 / j
以下C1のときで、C2~C5も同様です。

P→Qの経路の総数は10!/(6!4!)-2=208通りあり、これらは同様に確からしい。
P→C1→Qの経路の総数は4通りなので、求める確率は4/208=1/52
No.80955 - 2022/02/16(Wed) 22:07:03
☆ Re: 確率 / ヨッシー
それは、ＡさんがＣ1を通ってＱまで行く確率ですね。
つまり、Ｃ1 まで来たＡさんはＣ1からＱまで行くしかないのですが、
ＢさんがＱからＣ1 まで来てくれるかは別問題です。
No.80957 - 2022/02/16(Wed) 23:08:59
☆ Re: 確率 / j
すみません、(6)だとそうなのですが、これは(1)です。
No.80960 - 2022/02/17(Thu) 07:38:27
☆ Re: 確率 / ヨッシー
なるほど。失礼しました。
ＰからＣ1 まで行く確率は　(1/2)^5＝1/32　　　・・・(1)
ＰからＣ2 まで行く確率は　(1/2)^5×5＝5/32　　　・・・(2)
ＰからＣ3 まで行く確率は　(1/2)^5×10＝10/32　　　・・・(3)
ＰからＣ4 まで行く確率は　(1/2)^5×9＋(1/2)^4＝11/32　　　・・・(4)
ＰからＣ5 まで行く確率は　(1/2)^5×3＋(1/2)^4＝5/32　　　・・・(5)

もし左下が欠けていなかったら
ＰからＣ4 まで行く確率は　(1/2)^5×10＝10/32
ＰからＣ5 まで行く確率は　(1/2)^5×4＋(1/2)^4＝6/32

さらに、もしＱがもう１段下で、Ｃ5 の左下にＣ6 があるとすると、
ＰからＣ5 まで行く確率は　(1/2)^5×5＝5/32
ＰからＣ6 まで行く確率は　(1/2)^5＝1/32
で、ここまで来てやっと、対称な式になります。
No.80963 - 2022/02/17(Thu) 09:32:07
★ 既約分数の個数 / IT
エイドリアンさんが、No.80806 - 2022/02/08(Tue)で質問された問題です。
実験したところ、スッキリした式になりそうですが、いろいろ考えましたがうまい解法が見つかりません。
視点を変えると目から鱗のような問題かなと思いますので、少し表現を変えて再掲させてもらいます。
予測が正しければネットで見つかりそうですが見当たりません。何かヒントでも頂ければ嬉しいです。

（問題）らすかるさんの指摘で補正しました。
自然数nが与えられたとき
　既約分数p/q（p,q は互いに素な自然数)で、0＜p/q＜1かつn/q の小数部が0.5以上になるようなものの個数をnで表せ。

n=1,2,3,...,13 について計算したところ　n^2 個になります。

例えば、n=5 のとき
　q=2,3 と 5+1=6≦q≦5*2=10 が条件を満たします。
　それぞれのqについてp/qが既約分数となるpの個数は
　qと互いに素なq以下の自然数の個数ですから、
求める既約分数の個数は1+2+2+6+4+6+4=25=5^2 個となります。

任意の自然数nについてもn^2個になるでしょうか？

（元の質問）
https://www2.rocketbbs.com/11/bbs.cgi?id=yosshy&mode=res&resto=80806
No.80942 - 2022/02/16(Wed) 00:08:47
☆ Re: 既約分数の個数 / らすかる
とりあえずプログラムを作って調べたところ、n≦3000では成り立っていました。
よって確かに成り立つようなので少し考えてみたのですが、着眼点の見当がつかず…

# ところで、「既約分数p/q」ですとp=q+1やp=2q+1なども含んで無限個になって
# しまいますので、p＜qあるいはp/q＜1などと書いておいた方が良いと思います。
No.80943 - 2022/02/16(Wed) 03:00:47
☆ Re: 既約分数の個数 / IT
らすかるさん　回答ありがとうございます。
条件p/q＜1を書き洩らしていました。（原題では0≦p/q≦1)

(p,q)をプロットして、縦横斜めに見てみましたが、n^2個になる理由がなかなか見つかりません。
No.80944 - 2022/02/16(Wed) 07:04:38
☆ Re: 既約分数の個数 / IT
ネットで下記の公式を見つけました。これを使って解決しました。
（公式）自然数nについてΣ(k=1,n)[n/k]φ(k)=n(n+1)/2 （φ(k)はオイラーのトーシェント関数、[　]はガウス記号）
　φ(k)：自然数k に対して、1 から k までの自然数のうち k と互いに素なものの個数

（証明）
n×nの表{A(i,k)}(1≦i,k≦n)を考える。
kがiの約数のとき　A(i,k)=Φ(k),その他は0とします。

縦（列）の計、横（行）の計を考えると
Σ(i=1,n)A(i,k)=[n/k]Φ(k)
Σ(k=1,n)A(i,k)=i

{A(i,k)}全体の和はΣ(k=1,n)[n/k]Φ(k)=Σ(i=1,n)i=n(n+1)/2
No.80949 - 2022/02/16(Wed) 20:14:55
☆ Re: 既約分数の個数 / IT
1≦q≦nについて
　[2n/q]-2[n/q]は、
　　n/q の小数部が0.5以上のとき　＝1、それ以外のとき　＝0となります。
したがって、
　Σ(q=1,n){[2n/q]φ(q)-2[n/q]φ(q)}は、
　1≦q≦nのうちn/q の小数部が0.5以上となるqを分母とする１以下の既約分数の個数となります。

よって、元の問題の条件を満たす既約分数の個数は
Σ(q=1,n){[2n/q]φ(q)-2[n/q]φ(q)}+Σ(q=n+1,2n)φ(q)
=Σ(q=1,2n)[2n/q]φ(q)-2Σ(q=1,n)[n/q]φ(q)
(公式より)
=2n(2n+1)/2-2n(n+1)/2　
=n^2
No.80951 - 2022/02/16(Wed) 20:42:46
★ 確率論洋書 / ゆ

David Willamsの"Probability with Martigales‘‘という確率論の洋書ですが、どこまでが定義と仮定で、どこからが主張(証明が必要)なのかわかりません。教えてください！(以下原文ところどころ書き換えてます)

A1.5.
Let g0 be an algebra of subsets of S and let
λ:g0→[0,∞]
with λ(0) = O. Call an element L of g0 a λ-set if L 'splits every element of g0 properly':
λ(L∩G)+λ(L^c∩G)=λ(G), (任意の)G∈g0.
Then the class L0 of λ-sets is an algebra, and λ is finitely additive
on L0. Moreover, for disjoint L1,L2,...,Ln ∈L0 and G in g0,
(LnとGの共通部分の和が加算和で表されるというようなことが書かれています)

以下Proof
No.80941 - 2022/02/15(Tue) 23:54:57
☆ Re: 確率論洋書 / ast
# 河岸を変えた理由が見切りをつけたという意図であるならば以下はお見捨てください.

「どこまで」というには (あまりに文単位で別れてるので) はっきりし過ぎのような気もしますが, 落ち着いて読めば
G0 および λ に対する仮定 > Let G0 be an algebra of subsets of S and let λ:G0→[0,∞] with λ(∅) = 0.
λ-集合という言葉の定義 > Call an element L of G0 a λ-set if L 'splits every element of G0 properly': λ(L∩G)+λ(L^c∩G)=λ(G), ∀G∈G0.
メインの結論 > Then the class L0 of λ-sets is an algebra, and λ is finitely additive on L0.
追加の結論 > Moreover, for disjoint L1,L2,...,Ln ∈L0 and G in G0, (LnとGの共通部分の和が加算有限和で表されるというようなことが書かれています).
の4文構成 (4つしか文がないこと自体はピリオド "." が 4 つしかないので間違いようがないはず) です.
厳密に言えば「主張」がどこかとも問われておいでなので「主張は「仮定と結論」の組だ」と答えるべきところかとは思いますが, 今の場合結論と書いた 3 文目がメインの主張だと考えても文章意図はそうはずさないでしょうから文単位で読むよう回答しておくことにします.
# 文章構造的な話に限れば「2文目は補足なので無くてもいい」ということになります.
# (もちろん意味をとるには要るので, 括弧書きにでもして「読み飛ばして大丈夫」という意図を出す感じの意味で, です).

数学的な文章としては "Let ... then~", Call, Moreover~ あたりの単語はすごく明確に意図を以て使われるので, これで文章構造が分からないというのでは相当しんどいのでは.
# 自分も外国語は万年赤点だった口なので偉そうに言えた義理ではないが, そういう実体験から言えば
# 現実問題として本当に読めないならば無理をしても成果 (例えば単位や卒論など) に結びつかないので,
# 指導教官に掛け合って日本語の本に(無理を通してでも)変えてもらうという選択肢を勧めるのが
# 実は最も真摯な回答であるという場合もあり得ます.

あと少し気になる点は, 字面だけ見れば小さな点に思えなくもないところなのかもしれないけれども, (プレーンテキストにしづらい文字の改変自体はまあよいとして)
> with λ(0) = O
と書き換えるのは λ が set-function (集合変数の数値函数) であることが理解できていない可能性も疑われますし,
> 加算和で表される
は (誤字なのはともかく) algebra と σ-algebra の違いが (閉じていないといけない演算が) 「有限和」か「可算和」かなので, そこも取り損ねている可能性があるかもしれない, といったような感じで「式や文字の単なる代替だから」で済ませて見逃したらまずい (数学的理解に関わる) 点が隠れている状況はもしかしたらあるかもしれないというあたりですね.
No.80945 - 2022/02/16(Wed) 08:51:13
☆ Re: 確率論洋書 / ゆ
ありがとうございます
No.80946 - 2022/02/16(Wed) 12:17:23
★ 大学数学・重積分 / タツヒコ
至急お願いします。発熱により頭が働きません。誰か助けてください。途中式(可能な限り細かく)と説明もお願いします。勉強になりますし、非常に助かります。
No.80933 - 2022/02/15(Tue) 21:16:47
☆ Re: 大学数学・重積分 / X
(1)
極座標に変換すると
D={(r,θ)|0≦r≦sinθ,0≦θ≦π}
でヤコビヤンをJとすると
J=r
∴(与式)=∫[θ:0→π]∫[r:0→sinθ]r√(rsinθ)drdθ
=∫[θ:0→π][(2/5)r^(5/2)][r:0→sinθ]√(sinθ)dθ
=(2/5)∫[θ:0→π]{(sinθ)^3}dθ
=(2/5)∫[θ:0→π]{1-(cosθ)^2}sinθdθ
=(2/5)[-cosθ+(1/3)(cosθ)^3][θ:0→π]
=(2/5)・2(1-1/3)
=8/15

(2)
球座標に変換すると
D={(r,θ,φ)|0≦r≦2}
でヤコビヤンをJとすると
J=(r^2)sinφ
∴(与式)=∫[θ:0→2π]∫[r:0→2]∫[φ:0→π]{(rcosφ)^2}(r^2)sinφdφdrdθ
=2π∫[r:0→2](r^3)dr∫[φ:0→π]{(cosφ)^2}sinφdφ
=2π・(1/4)・(2^4)・[-(1/3)(cosφ)^3][φ:0→π]
=8π・(2/3)
=16π/3
No.80940 - 2022/02/15(Tue) 23:53:05
★ (No Subject) / HIro
文字化けしてしまったので修正します
アとイの順序は単に採点の都合です



関数f(x)=x^2-2に対して,g(x)=f(f(x))とおく
このとき、方程式g(x)=xの解は

ア( ), 　イ( ), 　ウ｛( )±√( )｝/( )

である。ただし、ア( )は,イ( )より小とする
No.80927 - 2022/02/15(Tue) 15:01:53
☆ Re: / らすかる
g(x)=x^4-4x^2+2なので
g(x)=xはx^4-4x^2+2=x
x^4-4x^2-x+2=0
h(x)=x^4-4x^2-x+2とおくと
h(-1)=1-4+1+2=0
h(2)=16-16-2+2=0
なのでh(x)は(x+1)と(x-2)で割り切れ
h(x)=(x+1)(x-2)(x^2+x-1)
と因数分解できることがわかります。
後は簡単ですね。
No.80929 - 2022/02/15(Tue) 15:09:25
☆ Re: / HIro
g(x)=xを忘れていました。解けないわけです(^^;)
素早い回答をありがとうございます！
No.80930 - 2022/02/15(Tue) 15:18:36
★ 四角形の決定条件 / ふぶ
小学4年です。
問題) 次の四角形は、どんな事がら(条件)を
あたえられると、形がきまりますか。
解答)
台形　4つの辺の長さと、1つの角。
　　　4つの辺の長さと、1つの対角線の
　　　長さ。
　　　となり合う2つの辺の長さと、3つの
　　　角。
平行四辺形　1つの角と、その角をはさむ2
辺の長さ。
　　　　　　2つの対角線の長さと、その対
　　　　　　角線のつくる角。
　　　　　　となりあう2つの辺の長さと、
1つの対角線の長さ。
ひし形　　　2つの対角線の長さ。
　　　　　　1辺の長さと、1つの角。
　　　　　　1つの辺の長さと、1つの対角
　　　　　　線の長さ。
正方形　　　1辺の長さ。
　　　　　　対角線の長さ。

何故この解答になるのか分かりません。
また、解答の1つだけでも正解になりますか。
詳しく解説されてる本を探しましたが、見つかりませんでした。
No.80921 - 2022/02/15(Tue) 13:32:02
☆ Re: 四角形の決定条件 / らすかる
質問の回答ではないのですが、少なくとも数学的には
> 台形　4つの辺の長さと、1つの角。
これは正しくありません。
（辺の長さ4つと一つの角度では台形の形が決まりません）

# 数学でなく算数なので何か他に条件があるのかも知れませんが、そのへんはよくわかりません。
No.80932 - 2022/02/15(Tue) 20:45:07
☆ Re: 四角形の決定条件 / IT
らすかるさん＞
> > 台形　4つの辺の長さと、1つの角。
> これは正しくありません。
> （辺の長さ4つと一つの角度では台形の形が決まりません）
台形ABCD の辺の長さ(AB,BC,CD,DA )とどこか１つの頂角が決まると台形の形が決まりそうですが。（私の勘違いかも）

台形に（四角形にさえ）にならない場合があるということでしょうか？
No.80936 - 2022/02/15(Tue) 22:18:37
☆ Re: 四角形の決定条件 / らすかる
AB,BC,CD,DAと一つの角ならば決まりますが、
「4つの辺の長さと一つの角」では決まりません。
（辺の長さの順番の入れ替えができますので）
例えば
AB=21、BC=4、CD=49、DA=39、∠B=60°の台形は面積903√3/4
AB=21、BC=49、CD=39、DA=4、∠B=60°の台形は面積1113√3/4で
異なりますが、どちらも4つの辺の長さは4と21と39と49、一つの角が60°です。

同じ意味で
「となり合う2つの辺の長さと、3つの角。」
も台形が決まらないですね。

# もしかして、算数では「4つの辺の長さ」とか「3つの角」と言っただけで
# 位置関係まで特定されるというニュアンスが含まれているのでしょうか。
No.80937 - 2022/02/15(Tue) 22:37:29
☆ Re: 四角形の決定条件 / IT
おっしゃる意味は分かりました。
「4つの辺の長さ」の表現とその解釈は微妙ですね。

小学算数の指導要領解説、中学数学の指導要領解説では、合同や図形の決定に関する記述では、だいたい「対応する・・・が等しいとき」などと明記してありますね。
No.80939 - 2022/02/15(Tue) 23:15:22
★ 対数 / Hiro
x,y,zは実数でxyz≠0とする

もし2^x=3^y=( )^zならば

3/x+2/y=1/zである

( )内の数字を答える問題です
対数をとって式変形してみましたがうまくいきません
よろしくお願いします
No.80920 - 2022/02/15(Tue) 12:25:21
☆ Re: 対数 / らすかる
()をAとします。
2^x=3^y=A^z=e^kとおくと
xlog2=ylog3=zlogA=k
∴x=k/log2, y=k/log3, z=k/logA
3/x+2/y=1/zに代入して
3log2/k+2log3/k=logA/k
よってlogA=3log2+2log3=log72なのでA=72
No.80923 - 2022/02/15(Tue) 13:47:12
☆ Re: 対数 / HIro
ありがとうございます！
答えがなかったので助かりました
No.80925 - 2022/02/15(Tue) 13:56:10
☆ Re: 対数 / IT
(別解)　対数を使わずに
A^z=2^xとおく
両辺を1/z乗する。3/x+2/y=1/z なので
A=2^(x(3/x+2/y))=(2^3)(2^(2x/y))=(2^3)(3^2) ∵2^x=3^y
No.80934 - 2022/02/15(Tue) 21:56:49
★ 整数 / タツタ・高校3年生
画像の命題は正しいでしょうか。正しければ証明も教えてください。
No.80911 - 2022/02/14(Mon) 11:04:41
☆ Re: 整数 / ヨッシー
(p, q は異なる素数) であれば正しいです。
ｑの倍数が１つだけでないとすると、この q 個の数の中に
q で割った余りが同じ数が２つ以上あるということです。
それらを、
　aq＋c, bq＋c　(a＜b, 0≦c＜q いずれも非負整数）
と書けます。また、これら２数は
　dp＋f, ep＋f　(d＜e, 0≦f＜p いずれも非負整数）
とも書けるので、大きい数から小さい数を引くと
　(b-a)q＝(e-d)p＜pq
b-a はpより小さいので、これに素数pを約数に持つことはない。
よって、q が p を約数に持つこととなり、
p, q が異なる素数であることと反する。

ｑの倍数が０個のときと、２個以上のときと分けたほうが
わかりやすいかも知れません。
No.80912 - 2022/02/14(Mon) 11:43:01
☆ Re: 整数 / タツタ・高校3年生
ありがとうございました。
No.80914 - 2022/02/14(Mon) 14:08:12
★ 漸化式と極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数列３独学１１日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
続けざまに

申し訳ございません。

何卒宜しくお願い致します。
No.80907 - 2022/02/14(Mon) 07:01:53
☆ Re: 漸化式と極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数列３独学１１日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
画像が汚すぎました

申し訳ございません

以下
No.80908 - 2022/02/14(Mon) 07:06:16
☆ Re: 漸化式と極限 / m
解答を持っているならどこに疑問があるかを書いてくれると答えやすいです．

[考察]
* 漸化式が解けそうにない．
* a[1], a[2], a[3] を計算すればなんとなく 1 に収束しそう．
* a[n+1] -1 = a[n]^2/n^2 について，a[n] が有界であることが示せれば右辺は 0 に収束することがいえる．

[略証]
1. 帰納法で自然数 n に対し 1≦ a[n] ≦ 2 を示す．
2. 0 ≦ a[n+1] - 1 ≦ 2^2/n^2 とはさみうちの原理より lim[n→∞] a[n] = 1
No.80915 - 2022/02/14(Mon) 15:43:50
☆ Re: 漸化式と極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数列３独学１１日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
申し訳ございません

＞解答を持っているならどこに疑問があるかを書いてくれると答えやすいです．

私は、正解かどうかの確かめはしますが、今まで解説を読んで学んだことはありません

どこの参考書、問題集も解説も全くあてにはなりません

信じられるのは自分だけです
No.80917 - 2022/02/14(Mon) 17:43:13
☆ Re: 漸化式と極限 / 高校三年生
あてにされないと判ってて、解答書くお節介な人が居ればいいね。(^-^)b
No.80918 - 2022/02/14(Mon) 18:37:12
☆ Re: 漸化式と極限 / けんけんぱ
とすると、何を質問しているのかが不明です。
No.80919 - 2022/02/14(Mon) 20:59:16
☆ Re: 漸化式と極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数列３独学１１日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
誤解を招いたようです

ここの板は優秀な回答者様が多く

この板での解説があてにならないと感じている訳ではありません

ここの回答者様は尊敬しています

下手な誤解を招き申し訳ありませんでした。
No.80938 - 2022/02/15(Tue) 22:39:51
☆ Re: 漸化式と極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数列３独学１１日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ｍ先生

不快な思いをされたなら申し訳ございません。

私の答案ができました

何卒宜しくお願い致します。
No.80959 - 2022/02/17(Thu) 07:38:15
★ 漸化式と極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数列３独学１１日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
おはようございます

本日もよろしくお願いします

以下問題
No.80906 - 2022/02/14(Mon) 06:48:14
☆ Re: 漸化式と極限 / m
この漸化式は解けます．

両辺 log をれば
log(a[n+1]) = log2 + (1/2) log(a[n])
となる．

b[n] = log(a[n]) についての漸化式を作って解けばいいが，極限を求めるだけなら完全に解く必要はない．

b[n+1] - 2log2
= (1/2) (b[n] - 2log2)
= (1/2)^n (b[0] - 2log2)
= (1/2)^n (log10 - 2log2)
→ 0
よって
lim[n→∞] b[n] = 2log2
従って
lim[n→∞] a[n] = lim[n→∞] e^(b[n]) = 4

[追記]
log は自然対数です．
また，log をとる前に正であることを確認しておくと丁寧です．
No.80916 - 2022/02/14(Mon) 15:44:17
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