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★ 極限の問題です / 高3
次の極限値を求めよ。ただし，cはc≠0を満たす定数である。
lim｢x→∞](sin√(x＋c)−sin√x)

すいませんが教えてください?ｫ
No.6862 - 2009/07/22(Wed) 19:00:35
☆ Re: 極限の問題です / angel
三角関数は振動するものですから、極限を持つとすると、sin0 の形とか、0×sin(何か) もしくは 0×cos(何か) になる例が多いです。
今回もそうなります。

sin - sin の形を、和積の公式で sin と cos の積に書き換えましょう。
そうすると、sin((√(x+c)-√x)/2) という形が出てきます。
sin の中身を変形させると、
　√(x+c)-√x
　= (√(x+c)-√x)(√(x+c)+√x)/(√(x+c)+√x)
　= c/(√(x+c)+√x)
　→ 0　( x→+∞ )
という、0 に収束する形になりますから、sin((√(x+c)-√x)/2) も 0 に収束します。
最終的に、(0に収束する形)×cos(何か) の形なので、全体として 0 に収束します。
No.6867 - 2009/07/22(Wed) 22:14:57
★ 3元2次連立(不定?)方程式の整数解 / 涼流
またまたお邪魔します。考えてみたのですが全くわかりません;(恐らく(1), (2)はできましたが...)

問. 3つの実数x, y, zに就いて、x + y + z = 3 …… #1, x^2 + y^2 + z^2 = 27 …… #2を満たすとき次の問に答えよ。
(1) xy + yz + zxの値を求めよ。
略(xy + yz + zx = -9)

(2) (1)を用いてx, yが実数である条件からzの取り得る値の範囲を求めよ。
略(-3 ≦ z ≦ 5)

(3)この連立方程式の整数解を求めよ。
x^2 + y^2 + z^2 = (x + y)^2 - 2xy + z^2
= (x + y)^2 - 2y・(3 - y - z) + z^2 (∵#1)
= (x + y)^2 + 2y^2 + 2yz - 6y + z^2 = 27 (∵#2)
より、
(x + y)^2 = 27 - 2y^2 - 2yz + 6y - z^2
として右辺が完全平方式となればよいと思い、考えてみましたがどうしてもパターンが多すぎてできません……。

どうか方針をご教授願いします。
No.6852 - 2009/07/21(Tue) 21:07:52
☆ Re: 3元2次連立(不定?)方程式の整数解 / angel
あまり上手い方法を思いつかないのですが…
とりあえず、

　x+y=3-z の辺々を平方したもの
　x^2+y^2+z^2=27 の辺々を2倍したもの

の差を取れば、(x-y)^2 = -3(z^2-2z-15) という式が導けます。
あとは整数という条件で、ある程度絞れると思います。
No.6855 - 2009/07/21(Tue) 21:43:43
☆ Re: 3元2次連立(不定?)方程式の整数解 / angel
お風呂に入って考え直してみた…
直接 x^2+y^2+z^2=27 を調べた方が早かった…

平方数を3で割った余りは 0 ( 3の倍数 ) か 1 ( 3の倍数でない )
ということは、x,y,z は全て3の倍数か、全て3で割り切れない。

1. 全て3の倍数の場合
　6^2=36 が混じると 27 をオーバーするので、9+9+9 の組み合わせのみ

2. 全て3で割り切れない場合
　5^2=25 が混じると、25+1+1 の組み合わせ
　混じらない場合、4^2+4^2 では 27 オーバー、4^2+2^2+2^2 では 27 に届かず。結局、25+1+1 のみ
No.6858 - 2009/07/21(Tue) 23:14:15
☆ Re: 3元2次連立(不定?)方程式の整数解 / 涼流
早急な解答、ありがとうございます。参考になりました!
一概に式変形して求めるだけではないのですね^^

3つを足したとき、27(3の倍数)となるのは、3つとも3の倍数か、3つとも1余る数という発想は思いつきませんでした;

今後もお世話になるかも知れませんが、よろしくお願いします^^
No.6864 - 2009/07/22(Wed) 20:55:38
★ 順列 / 123
（1、2、…、n）の順列の偶順列と奇順列はどちらもn！／2個あることを示せ。
感覚ではわかるのですがきちんと証明ができません..
よろしくお願いします。
No.6851 - 2009/07/21(Tue) 20:52:15
☆ Re: 順列 / ヨッシー
並べ方は全部でｎ！通りあります。
ある並べ方と、その最初の２つ(最後の２つなどでも良い)
を入れ替えたものは、ｎ！/２ 組存在して、
一方が偶順列なら、他方は奇順列なので、
それぞれ　ｎ！/２個ずつある。
No.6860 - 2009/07/22(Wed) 08:48:34
★ 2次関数の最大最小 / 祐巳　高3
xの定義域Sを次のように定める。
-1≦x≦(3a+1)/2 (ただし-1≦a≦-1/3)、(3a-1)/2≦x≦(3a+1)/2 (ただし-1/3≦a≦1/3)、(3a-1)/2≦x≦1 (ただし1/3≦a≦1)
xの関数f(x)=x^2-2ax+2a^2+4の、定義域Sにおける最大値と最小値を求めなさい。

f(x)=(x-a)^2+a^4+4なので軸はx=a。
定義域に文字が含まれていて、しかもその文字が軸になっていて、軸と定義域の位置関係が分からないです。
どんなふうに考えて解くのか教えてください。お願いします。
No.6849 - 2009/07/21(Tue) 17:20:20
☆ Re: 2次関数の最大最小 / angel
位置関係がわからなければ…
グラフを描けば良いではないですか。

というわけで描いてみました。
横軸が a ( -1≦a≦1 )、縦軸が S の範囲ということで x、
赤線のグラフが S の下限、青が S の上限、灰色のグラフが放物線の軸 ( x=a ) を表します。

こうしてみると、軸の部分は必ずSに含まれるので、f(x) の最小値は f(a) と分かります。
最大値は…、というと、軸から最も離れたところの値ですから、a≧0 の場合は S の上限で、a<0 の場合は S の下限で、ということになります。
No.6853 - 2009/07/21(Tue) 21:10:53
☆ Re: 2次関数の最大最小 / 祐巳　高3
解答ありがとうございます。

『位置関係がわからなければ…グラフを描けば良いではないですか。』

こういう考え方は初めてなんですが、これはどの辺で習うことなんでしょうか(一応数Bまでは終わってます)?
とくに水平軸をa軸に、鉛直軸をx軸に充てられていますが、これは全く見たことがないです。調べてみたけど見つからないです。どうしてこういう軸の取り方をされているのですか？
No.6859 - 2009/07/22(Wed) 05:34:35
☆ Re: 2次関数の最大最小 / ヨッシー
ａの値によって、ｘの範囲がどう変わるかをみたいので、
ａとｘのグラフになります。

>これはどの辺で習うことなんでしょうか
小学校で、比例のグラフを描いたとき
中学校で、一次関数のグラフを描いたとき
の知識の応用ですね。

もちろん、a=-1 のとき、a=-2/3 のとき、a=-1/2 のとき a=-1/3 のとき・・・
のように、調べていっても出来ますが、グラフのように
いろんな情報を一度に与えてはくれません。
ここでいう情報の主なものは、
　ｘ＝ａ は必ず、定義域に含まれること
　ａ＜０ では、Ｓの下限、ａ＞０では上限の方が軸より遠いこと
です。
No.6861 - 2009/07/22(Wed) 09:16:27
☆ Re: 2次関数の最大最小 / 祐巳　高3
よくわかりました。ありがとうございました。
No.6871 - 2009/07/22(Wed) 23:38:57
★ ベクトル / 小次郎
簡単な質問ばかりですみません・・・・

三角形ABCの頂点A、Cの座標がA(3,2,1) C(2,6,-1)その重心Gの座標が(3,2,-1)である。

(1)点Bの座標　　B(4,-2,-3)

(2)四辺形ABCDが平行四辺形となるような点Dの座標
　　　D(1,10,3)

(3)線分CAを１：３に内分する点Pの座標。

(4)点P(9/4,5,-1/2)に関して点Cの対称点Qの座標を求めよ。

(1)(2)は解けたのですが(3)(4)の解法がわかりません・・
特に(4)の「点Pに関して」の意味がわからないです。

すみませんがおねがいします！！
No.6846 - 2009/07/21(Tue) 14:17:52
☆ Re: ベクトル / ヨッシー
(3)
こちらの内分点の公式によります。
ここには、直線と平面の式しかありませんが、空間も同じ
考え方です。

(4) 「点Ｐに対して対称」「点Ｐをはさんで対称」
と書けばわかりますか？
さらに、「点ＰはＣＱの中点」と書くと・・・。
(1) よりも、簡単ですよ。
No.6850 - 2009/07/21(Tue) 18:26:20
☆ Re: ベクトル / 小次郎
ありがとうございます！！
考え方を少し変えただけでこんなにも簡単になるとは・・・

これからもよろしくお願いします。
No.6857 - 2009/07/21(Tue) 22:27:19
★ (No Subject) / ふゆ
ユークリッドの互除法を視覚的に表現すると長方形を敷き詰める最大の正方形タイルを探す作業をしているみたいなのですが、よく分かりせん。どうか教えてください。
No.6840 - 2009/07/20(Mon) 01:22:25
☆ Re: / rtz
http://www.cwo.zaq.ne.jp/bfaby300/math/gojyo.html
参照のこと。
No.6841 - 2009/07/20(Mon) 02:05:26
★ ベクトル / 小次郎
Ｏを原点とする座標平面上に４点A(3,k) B(1,5) C(4,2) D(s,3)がある。

四辺形ＡＢＣＤが平行四辺形となるようにｋ、ｓの値を求めよ。

お願いします！！
No.6832 - 2009/07/19(Sun) 17:18:37
☆ Re: ベクトル / angel
いや、ベクトルを持ち出すまでもなく。
平行四辺形の性質「対角線は互いに他を二等分する」早い話が、対角線AC, BDの中点が一致することを用いて、k,s を求めてください。
No.6833 - 2009/07/19(Sun) 17:33:11
☆ Re: ベクトル / ハオ
ベクトルを用いて考える方法も提示しておきますが、無視されて頂いても構いません。
平行四辺形となるのはAB→=DC→となる時。
この時さらに条件が必要です。それはAB→とAD→が平行ではない事です。
もし平行ならば、４点ABCDは一直線上になってしまいます。
No.6835 - 2009/07/19(Sun) 17:41:11
☆ Re: ベクトル / 小次郎
> いや、ベクトルを持ち出すまでもなく。
> 平行四辺形の性質「対角線は互いに他を二等分する」早い話が、対角線AC, BDの中点が一致することを用いて、k,s を求めてください。


すいません。その解法ですらわからないのです・・・・

解法を記載していただけるとうれしいです。
No.6838 - 2009/07/19(Sun) 23:43:19
☆ Re: ベクトル / ヨッシー
A(3,k) と C(4,2) の中点は (7/2, (k+2)/2)
B(1,5) と D(s,3) の中点は ((1+s)/2, 4)
で、これらが一致。
です。
No.6842 - 2009/07/20(Mon) 06:40:53
☆ Re: ベクトル / 小次郎
ありがとうございました！！
No.6845 - 2009/07/21(Tue) 00:24:59
★ 未知の方程式と定点の関係について / ハオ
本件の前に少しヨッシーさんに疑問なのですが、今日ここに来てみたら背景に[件名は必ずいれてください。]という表示が無数にあるのですが一体これは何でしょうか？僕の責任でしょうか？それとも皆の背景にもこの様な事が書いてあるのでしょうか？もし、僕だけであった場合は、申し訳ありません。

ところで、本題ですが今日授業で、
xy平面上に放物線C:y=x^2 +5/4と直線L:y=mx+m(mは実数の定数)がありCとLは異なる2点P,Qで交わっている.
(1)線分PQの中点をM,点Mを通りy軸に平行な直線とCとの交点をNとする。三角形PQNの面積が1となるときのmの値を求めよ。
という問題があったのですが、この問題は2点PQが第一象限で交わるのか、第一象限と第二象限の二つの場所で交わるのかで場合分けしなければならないと考えましたが、
解法では直線Lは定点(-1.0)を通るので二点PQは第一象限にある。と記載されていました。
ここで疑問なのですが、直線の方程式がどの様な場合は定点を通ると気づくのでしょうか？
例えばy=mx+mの様にxの係数と切片が同じ値の場合は定点を通るの様に教えて頂けると幸いです。
No.6830 - 2009/07/19(Sun) 16:50:54
☆ Re: 未知の方程式と定点の関係について / angel
「mの取る値に関わらず、直線がある定点を通る」というところに注目。端的に言うと、m の恒等式が現れるわけです。

y=mx+m を m についてまとめれば (x+1)m-y=0
これが恒等式になるのは、(x,y)=(-1,0) ということ。

　(x,y)=(-1,0)の時、mに関する恒等式になる
　⇔ (x,y)=(-1,0) の時、mの値に関わらず方程式が成立する
　⇔ mの値に関わらず、方程式の示すグラフは(-1,0)を通る

この手の話は良く出るので、常に注目しておくと良いでしょう。
※いつもいつも役に立つわけではないですが。
No.6834 - 2009/07/19(Sun) 17:38:03
☆ Re: 未知の方程式と定点の関係について / ヨッシー
はい、その壁紙は、今日から貼っています。
誰それのせいということではなく、件名を書いてもらった方が、
整理がしやすいので、お願いをしています。

上の方の注釈に書いても良かったのですが、インパクトが薄いので、
このようにしました。

他の皆さんも、ご協力ください。
No.6837 - 2009/07/19(Sun) 22:14:39
☆ Re: 未知の方程式と定点の関係について / ハオ
angelさん、どうも有難う御座います。恒等式の考えをすっかり忘れていました。数学って感慨深いというか美しいですね。

ヨッシーさん、御返答有難う御座います。とてもインパクトがあります。
No.6843 - 2009/07/20(Mon) 08:47:40
★ 05年東大理系確率 / こんばいん
Nを１以上の整数とする　数字１、２・・・、Nが書かれたカードを
１枚ずつ、計N枚用意し　甲、乙の二人が次の手順でゲームを行う、
?@甲が１枚カードをひく、そのカードに書かれた数字をaとする、引いたカードは元に戻す。
?A甲はもう一回カードを引くかどうか選択する、引いた場合はそのカードに書かれた数字をｂとする、引いたカードは元に戻す、引かなかった場合はｂ＝０とする、a+b>Nの場合は乙の勝ちとし、ゲームは終了する。
?Ba+b≦Nの場合は乙が１枚カードを引くそのカードに書かれた数字をｃとする。引いたカードは元に戻す。a+b＜ｃの場合は乙の勝ちとし、ゲームは終了す。
?Ca+b≧ｃの場合は、乙はもう一度カードを引く、そのカードに書かれた数字をｄとする、a+b<c+d≦Nの場合は乙の勝ちとし、それ以外の場合は甲の勝ちとする。

?Aの段階で、甲にとってどちらの選択が有利であるかをaの値に応じて
考える、以下の問いに答えよ。
（１）甲が二回目にカードを引かない事にしたとき、甲の勝つ確率を
aを用いて表せ。
（２）甲が二回目にカードを引くことにしたとき、甲の勝つ確率をaを用いて表せ。
　但し各カードがひかれる確率は等しいものとする。

（２）のa+b≦Nの場合でa+b<c≦Nの乙の勝つ確率を求めたいのですが
参考書はｂが１以上で動きa+b≦Nの場合を考えるのでa+1≦a+b≦Nである各a+bに対してa+b＜ｃ≦NとなるｃはN-（a+b）通りあり、ｂ（１通り）である、このような（ｂ、ｃ）はぜんぶで
Σ［b＝a+1〜N］（N-（a+b))通りあると述べています。
私の考えはｃは参考書と同じN-（a+b)通りで納得できるのですが、ｂは
ｃ-（a+1)通りだと思うのです。違いますか？
参考書のｂは１通りとしているところが納得できません。
よろしくお願いします
No.6826 - 2009/07/19(Sun) 02:35:03
☆ Re: 05年東大理系確率 / rtz
要はBJをやっているのですね。

さて、本題ですが、それは違いますね。
今問題になっているのはあくまでcのことです。
特定のaと、それに対応したあるbに対して、cが何通りあるかの総和です。

例を出すなら、Nが十分大きいとして、a＝5とすると、
b＝1ならcは7〜NのN−6通り、
b＝2ならcは8〜NのN−7通り、
b＝3ならcは9〜NのN−8通り、
…
というこれらの総和が求めたい場合の数ですよね。

ですから、bについて考えるのは意味がないですね。
あるbに対する、cのとり方を考えているわけですので。


それから、
＞Σ［b＝a+1〜N］（N-（a+b))通り
は間違いでは？
b＝1〜N−aが正しいと思いますが。
No.6827 - 2009/07/19(Sun) 04:58:42
☆ Re: 05年東大理系確率 / rtz
マルチか…。
No.6828 - 2009/07/19(Sun) 06:56:28
☆ Re: 05年東大理系確率 / こんばいん
結果的にマルチポストになってしまいましたが
それは解答がつかないからです・・・。
ありがとうございました。
No.6829 - 2009/07/19(Sun) 10:46:08
☆ Re: 05年東大理系確率 / rtz
謝りもせず言い訳とな。
No.6831 - 2009/07/19(Sun) 17:01:27
☆ Re: 05年東大理系確率 / こんばいん
ごめんなさい(>_<)
No.6839 - 2009/07/20(Mon) 00:50:10
★ Ｌ変換を用いた初期値問題（y(0)= ）でない場合。 / maria
y"-3y'+2y=3-2t^2 y(1)=1,y'(1)=1 をラプラス変換を用いて解けという問題なのですが、与式をＬ変換し(s^2L[y]-sy(0)-y'(0))-3(sL[y]-y(0))+2L[y]=(3/s)-4/s^3となるところから、どのようにして初期条件を用いれば良いのですか？
No.6821 - 2009/07/18(Sat) 23:21:38
☆ Re: Ｌ変換を用いた初期値問題（y(0)= ）でない場合。 / angel
t=1 基準の値が初期条件としてわかっているので、1ずらしてあげると良いでしょう。
つまり、z(t)=y(t+1) と置いてあげれば z(0)=y(1)=1, z'(0)=z(1)=1

かつ、
　y''(t+1)-3y'(t+1)+2y(t+1)=3-2(t+1)^2
　z'(t)=y'(t+1), z''(t)=y''(t+1)
より、
　z''(t)-3z'(t)+2z(t)=3-2(t+1)^2

後は、この z を求めれば良いです。
No.6822 - 2009/07/19(Sun) 00:06:30
☆ Re: Ｌ変換を用いた初期値問題（y(0)= ）でない場合。 / maria
前にその方法でやってみたのですが、答えが-t^2-3t-2+8e^(t-1)-e^(t-1)となりました。正解が与えられていないので合っているのか分かりません。
No.6824 - 2009/07/19(Sun) 00:38:45
☆ Re: Ｌ変換を用いた初期値問題（y(0)= ）でない場合。 / angel
> 前にその方法でやってみたのですが、…(中略)…合っているのか分かりません。

いや、そんなこと言われても知りませんがな。
方法としてどうなのかと、それを正しく計算できているかどうかなんて別問題でしょう。

どうせ、解の形は at^2+bt+c+Ae^(t-1)+Be^(2(t-1)) にしかならないのですから、ラプラス変換使わなくても解けますし、もしくは、もっと単純に、答えを元の微分方程式に代入すれば、あっているかどうかは分かるでしょう。
まあ、y=-t^2-3t-2-8e^(t-1)-e^(2(t-1)) で問題ないのではないでしょうか。
No.6825 - 2009/07/19(Sun) 02:10:05
★ (No Subject) / なつ
aは実数で
f(x)=x＾3＋ax^2−８(a^2)x,
g(x)=3ax^2-9（a^2）ｘ

(1)曲線y＝f（x）とy＝g（x）の共有点ｐにおいて両方の曲線と接する直線が存在する。このときpの座標をaで表せ

という問題で答えは(a,-6a^3)ただしaは０ではない。

ですが、aが0ではない理由がよく分かりません。
No.6814 - 2009/07/17(Fri) 21:16:35
☆ Re: / X
a=0とすると
g(x)=0
となりますのでy=g(x)のグラフは直線となり、題意に合わなくなるからです。
No.6816 - 2009/07/17(Fri) 23:54:51
☆ Re: / なつ
a=0のとき、ｇ（ｘ）とｆ（ｘ）はｘ＝０で接し接線はｙ＝０とすれば題意にあうと思うのですが。
No.6817 - 2009/07/18(Sat) 01:11:20
☆ Re: / ヨッシー
y=f(x)=x~3 の形状を考えてみれば、原点でｙ＝０に接するとは言えませんし、
y=g(x)=0 も原点でｙ＝０に接するとは言い難いでしょう。
No.6818 - 2009/07/18(Sat) 05:52:38
☆ Re: / KINO
僕はなつさんの解釈でよいと思います。
答えが間違っているのでしょう。
No.6819 - 2009/07/18(Sat) 13:35:28
☆ Re: / なつ
(2)の答えにも影響してくるので答えの間違いということはたぶん無いかと・・・
No.6820 - 2009/07/18(Sat) 22:53:07
☆ Re: / KINO
答えが間違っているというのは，「ただし a は 0 ではない」という但し書きが間違っているという意味です。

a=0 のとき g(x)=0 という定数関数になりますが，この関数のグラフは y=0 という直線です。
接線の定義から，直線 y=0 は y=x^3=f(x) の原点における接線で，しかも y=g(x) 自身の接線であり，原点はこれら2曲線の共有点なので，原点も p の資格を持っています。
この解釈を否定するに足る数学的に正当な理由はどこにもありません。

何の教材かわかりませんが，教材の作成者が何か勘違いをしている可能性は十分あります。
教科書や参考書，問題集だって人間が作るものなので，間違いはあります。
それらを盲信して，理性に基づいたご自身の判断を変にねじまげてはいけません。

(2)の答えがどんなものか全くわかりませんが，それに差支えがあるなら，問題文に「ただし a≠0 である」という条件が抜けていたと思えばよいでしょう。
No.6823 - 2009/07/19(Sun) 00:35:57
★ 微分可能 / aki
こんばんは。今日も質問お願いします。
http://z.upup.be/?4kt2I6kSwu
ですが、わたしは
連続の条件が一つと、lim[x→2＋0]f(x)−f(2)/x−2 =lim[x→2−0]〜
の条件二つを作って解きましたが答えがあいませんでした。
後者の条件が悪かったのだと思いますが、もしかしてこれは導関数の定義とは違うのでしょうか？
No.6804 - 2009/07/16(Thu) 20:05:46
☆ Re: 微分可能 / KINO
> わたしは
> 連続の条件が一つと、lim[x→2＋0]f(x)−f(2)/x−2
> =lim[x→2−0]〜
> の条件二つを作って解きましたが答えがあいませんでした。

akiさんが考えた内容をもっと詳しく書いて下さい。
『後者の条件』は式が省略されているため，いいのか悪いのか判断のしようがありませんし。
No.6807 - 2009/07/16(Thu) 20:22:16
☆ Re: 微分可能 / angel
なんとなく言いたいことは分かりますが、端折り過ぎです。
※ひょっとして携帯から書いているから…?

・連続の条件
　x≧2 の領域で連続なのは自明のため、x＜2 も含め、x=2 の点で連続であるためには、
　　lim[x→2-0] f(x) = f(2)
　すなわち
　　β・2^2 - 2a = 2^3 + 2a
・微分可能な条件
　lim[x→2] (f(x)-f(2))/(x-2) が収束すること。
　今、lim[x→2+0] (f(x)-f(2))/(x-2)、lim[x→2-0] (f(x)-f(2))/(x-2) はそれぞれ収束するため、
　lim[x→2+0] (f(x)-f(2))/(x-2) = lim[x→2-0] (f(x)-f(2))/(x-2)

…というように考えた、でしょうか?
これであれば特に問題ありません。答えが合わないのは計算間違いがあったのでしょう。
答えが出るまでの計算の経緯を書けば、どこが違うか指摘できると思います。
No.6815 - 2009/07/17(Fri) 22:43:36
☆ Re: 微分可能 / aki
ごめんなさい以後気をつけます。
計算ミスをしておりました。ありがとうございました。
No.6847 - 2009/07/21(Tue) 16:22:57
★ 無限等比級数 / aki
続けて申し訳ありません。
教えていただきたいことがあります。
http://z.upup.be/?ZlnhhUMtP2
http://u.upup.be/?aSGPo0S4bh
の問題の(2)ですが
http://w.upup.be/?YgPPaIZ2Ic
ここまでできたのですが、これをどうやればいいかがわかりませんでした。 ここだけ教えて下さいお願いします…
No.6788 - 2009/07/15(Wed) 19:42:55
☆ Re: 無限等比級数 / angel
(2)に関しては、lim[x→0] f(x) が計算できる状況のため、
　f(0)≠lim[x→0]f(x)
を示すことにします。

回答にあった、
　Σ[n=1,∞]((cosx)^(n-1)-(cosx)^(n+k-1))
　= (1-(cosx)^k) Σ[n=1,∞] (cosx)^(n-1)
　= (1-(cosx)^k)/(1-cosx)
というのは、cosx≠±1 ( つまり、x≠mπ ) に対してのみ正しい式なので、cosx=±1 の時は別途計算しましょう。そこから f(0) が出ます。

後は、lim[x→0] f(x) についてですが、
　(1-r^n)/(1-r) = 1+r+r^2+…+r^(n-1)
を利用します。
x=0 の近くで x≠0 であれば、
　f(x)=(1-(cosx)^k)/(1-cosx)=1+cosx+(cosx)^2+…+(cosx)^(k-1)
ですから。そこから極限を計算しましょう。
No.6794 - 2009/07/15(Wed) 21:14:07
☆ Re: 無限等比級数 / aki
わかりました、どうもありがとうございました。
No.6803 - 2009/07/16(Thu) 20:00:26
★ (No Subject) / aki
こんばんは。
いつもありがとうございます。
質問お願いします。
http://y.upup.be/?AWeidmeHhA
ですが、何をどうすればいいのか、何をやればいいのかがさっぱり検討がつきません。
何を使うかもわかりません。
すみませんが切り口など、教えて下さい…
No.6787 - 2009/07/15(Wed) 19:30:58
☆ Re: / angel
非常に大雑把に言って、
　g(x)=f(x)-x
とでも置くと、
　g(-1)≧0 かつ g(1)≦0
が成立するため、必ず -1≦x≦1 のどこかで g(x)=0 となる、つまり f(x)=x が解を持つ、となります。
No.6791 - 2009/07/15(Wed) 21:00:29
☆ Re: (No Subject) / aki
そうなんですか…

|a|＋|b|≦1も解答で使わないといけないと思いますし、一応入試問題なので、その範囲でどう解答を作っていけばよいのでしょうか？
No.6805 - 2009/07/16(Thu) 20:08:30
☆ Re: / KINO
angelさんがどのように g(-1)≧0 かつ g(1)≦0 という式を導いたのか，考えましたか？

そこにまさに|a|＋|b|≦1の条件を使っているわけですが・・・。

補足すると，「何を使うか」といえば，区間における連続関数の中間値の定理です。

あとは，任意の実数 u, v に対して成り立つ絶対値の基本的な不等式
±(u+v)≦|u+v|
が必要です。
No.6810 - 2009/07/16(Thu) 20:39:58
☆ Re: (No Subject) / aki
中間値を使うのはわかりました、
でもまずg(x)−xを式と置いたのはどういう考えからなのでしょうか？
色々わからずにごめんなさい。
No.6848 - 2009/07/21(Tue) 16:34:16
☆ Re: / angel
「方程式 g(x)=0 が、a≦x≦b で解を持つ」を示すための1つの手段として、

　g(a)≦0 かつ g(b)≧0 もしくは g(a)≧0 かつ g(b)≦0

という線で攻める方法は一般的なのです。
※もちろん、毎回上手くいくわけではないので、別の手段を考える時もあります。

ちょうどグラフで見れば、x軸をはさんで上下にわたっているため、どこかで x 軸を横切っている…、つまり、その横切っているポイントこそが g(x)=0 の解、というイメージになります。

今回は、元の方程式が f(x)=x であるため、g(x)=f(x)-x と置いて g(x)=0 という形にしてあげれば、丁度同じお話になるわけです。
No.6854 - 2009/07/21(Tue) 21:22:05
☆ Re: (No Subject) / aki
やっとわかりました…
丁寧に簡単なことから教えて下さったおかげでわかりました！ありがとうございます。
No.6907 - 2009/07/25(Sat) 16:22:20
★ 積分 / 化学ですが
d(InKp)/dt=?僣/RT^2の式を温度T1からT2まで積分Bんしなさい
d(InKp)=(?僣/RT^2)dt
と変形して右辺はＴの関数として積分すればいいのですが
左辺のd(InKp)はどう処理すればいいのでしょうか
No.6784 - 2009/07/15(Wed) 16:39:25
☆ Re: 積分 / KINO
∫d(InKp)=InKp(T2での値)-InKp(T1での値)=In(Kp(T2での値)/Kp(T1での値)) です。

感覚的には，df(x)=f(x+dx)-f(x) なので，これを x=a から x=b まで積分するということは
∫df=Σ{f(x+dx)-f(x)}=f(b)-f(a)
となるという感じです。
No.6785 - 2009/07/15(Wed) 17:13:13
★ (No Subject) / 夏
１〜９の９個の数字から重複を許して４個を選んで４桁の整数を作り、千の位、百の位、十の位、一の位をそれぞれa,b,c,dとする。a≦b≦c≦ｄを満たす整数は何個あるか。
略解）１≦a≦b≦c≦ｄ≦９⇔１≦a＜b＋１＜c＋２＜ｄ＋３≦１２　１〜１２の１２個から異なる四数を選びそれらを順にa,b+1,c+2,d+3として１２C4＝４９５」

同値変形をした後の不等式について、どうやって作ったのかも分かりませんし、なんで同値になるのかも分かりません。どうかよろしくお願いします。
No.6775 - 2009/07/15(Wed) 03:45:55
☆ Re: / ヨッシー
基本的な考え方は、こちらと同じです。

手順としてはこうです。
１以上１２以下の整数から、異なる４数を選び、
小さい順にＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄ とします。
選び方は、12Ｃ4 です。
ａ＝Ａ，ｂ＝Ｂ−１，ｃ＝Ｃ−２，ｄ＝Ｄ−３
で、ａ，ｂ，ｃ，ｄ を決めます。
例)
ＡＢＣＤ→ａｂｃｄ で表すと
１３５７→１２３４
１４５７→１３３４
１２３４→１１１１
このように、Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ の組と、ａ，ｂ，ｃ，ｄ の組は、
１対１に対応していて、ａ，ｂ，ｃ，ｄの選び方は同じく 12Ｃ4 です。

同じ数を許していたのを、間を１ずつ離してやることによって、
重複しない組み合わせに置き換えています。
No.6776 - 2009/07/15(Wed) 09:54:52
☆ Re: / 夏
手順としてはこうです。
１以上１２以下の整数から、・・・とありますが、
この１２というのはどこから来たのか分かりません。
No.6782 - 2009/07/15(Wed) 16:18:56
☆ Re: / ヨッシー
ｄ＋３ において、ｄは９以下なので、ｄ＋３ は１２以下になります。
No.6783 - 2009/07/15(Wed) 16:29:43
★ 申し訳ないのですが… / aki
これを教えてはもらえないでしょうか？
http://p.upup.be/?emf5Kvt3TQ
この問い3で
解説は
http://w.upup.be/?d9CqQQDJjX
こうあります。
どうしても理解できません。
お願いできませんか？
No.6771 - 2009/07/15(Wed) 00:37:01
☆ Re: 申し訳ないのですが… / angel
うーん。
私が添付した図にあるようなことを説明しているだけ( 深い意味はないよう ) に見えるのですが、どこらへんがどう分からないのでしょうか。
No.6836 - 2009/07/19(Sun) 18:38:10
☆ Re: 申し訳ないのですが… / aki
基本的になにを考えていけばいいのかからわかりません(>_<)

ア〜エの選択肢をばらして、一つずつ組み合わせたとき相補的な塩基配列になるかどうかを確かめ、それから遺伝子Aの制限酵素が分かるのでしょうか？

なんだか沢山組み合わせがある気がするので、そこからして途方に暮れてしまいました(>_<)

すみませんがさっぱりわからないので1から教えていただけないでしょうか？
お願いします(>_<)
No.7393 - 2009/08/10(Mon) 22:53:34
☆ Re: 申し訳ないのですが… / angel
私もこの分野は全くもって専門外なので、「解答説明をみると、確かにその答えが一番都合がイイよね」としか言えないところではあるのですが…

多分、前提として「プラスミドを切断する酵素は1種類にしなければいけない」というのがあると思いますよ。
プラスミドって環状構造なので、今回の問題で2種類の酵素で切ってしまうと、環状に繋ぎ直せなくなりますから。
※遺伝子側は、本体さえ壊さなければ、何種類使って切っても良いのでしょうが

そうすると、酵素(エ)で切った場合、切り口に合うのは酵素(エ)で切った切り口だけですから、遺伝子Aの片側で、合う切り口が作れないことになります。
酵素(ア)の場合、酵素(ア),(イ)の切り口両方に合いますから、今回都合が良かった、と。それが上で載せた図です。
No.7402 - 2009/08/11(Tue) 00:13:31
☆ Re: 申し訳ないのですが… / aki
お手数おかけしました。ありがとうございました。
No.7478 - 2009/08/15(Sat) 19:19:02
★ 高校入試の問題です / rino
よくわからない問題が出てきたので、教えてください。苦手な問題なので、考え方から教えていただけたら嬉しいです。

ｎを自然数とする。<ｎ>は、ｎの各位の数の和を表すものとする。たとえば、ｎ＝123であれば、<123>＝１＋２＋３＝６となる。ｎ＋<ｎ>＝100を満たす自然数ｎを求めなさい。
No.6760 - 2009/07/14(Tue) 22:14:42
☆ Re: 高校入試の問題です / rtz
ヒント：
n＜n＋＜n＞＝100よりnは桁数2以下の自然数。
よって＜n＞≦9＋9＝18より、82≦n≦99
No.6763 - 2009/07/14(Tue) 22:22:06
☆ Re: 高校入試の問題です / rino
え〜と、86でいいのでしょうか？ただ、ｎは２桁以下なのですか？２桁になるのではないかと思ったのですが。そこがよくわからないです…。２桁であれば、10の位の数が１大きくなれば、ｎ＋<ｎ>の値が11大きくなるということ。10の位が８であれば、必然的に１の位は６となる。十の位が９だと、１の位が自然数にならないという感じになりました。結果、条件が成り立つｎは86。
No.6767 - 2009/07/14(Tue) 22:59:48
☆ Re: 高校入試の問題です / ヨッシー
２桁以下には２桁も含まれますので、矛盾する話ではありません。
rtz さんの記事で、ｎは 82≦n≦99 に絞られましたので、
一つ一つ調べても良いでしょうし、十の位をａ、一の位をｂとして、
　10ａ＋ｂ＋ａ＋ｂ＝１００
　11ａ＋２ｂ＝１００
をａ，ｂともに１桁の整数という条件で解いて、
　ａ＝８，ｂ＝６
を出しても良いでしょう。
No.6777 - 2009/07/15(Wed) 11:50:05
☆ Re: 高校入試の問題です / rino
ありがとうございます
No.6792 - 2009/07/15(Wed) 21:11:55
☆ Re: 高校入試の問題です / rino
ありがとうございます。わかりました。
No.6793 - 2009/07/15(Wed) 21:12:10
★ 数列 / サイクル
(2)が分からなくて……
(1)も微妙です……一応公式に当てはめて考えましたが……

(問)初項から第4項までの和が240、初項から第8項までの和が　　　255である等比数列｛aのn｝がある。
　　ただし、公比は1でない正の数とする。
　　初項をa、公比をrとおく。

(1)この数列の一般項を求めよ。

(2)数列｛aの2n-1｝はどんな数列か。

※表し方が分からなかったけれど、
　nと2n-1は小さい文字のつもりで……

宜しくお願いします！！！
No.6753 - 2009/07/14(Tue) 19:55:36
☆ Re: 数列 / jannk
> (2)が分からなくて……
> (1)も微妙です……一応公式に当てはめて考えましたが……
>
> (問)初項から第4項までの和が240、初項から第8項までの和が　　　255である等比数列｛aのn｝がある。
> 　　ただし、公比は1でない正の数とする。
> 　　初項をa、公比をrとおく。
>
> (1)この数列の一般項を求めよ。
Ｓ4＝ａ(ｒ^4−１)／ｒ‐１＝240―?@
Ｓ8＝ａ(ｒ^8−１)／ｒ‐１＝255―?A
?Aより分子を因数分解して
ａ(ｒ^4−１)(ｒ^4＋１)／ｒ‐１＝255に
?@を代入して240(ｒ^4＋１)＝255で公比ｒが求まり
?@に代入してａをもとめて、一般項の公式にあてはめておわりです。。
> (2)数列｛aの2n-1｝はどんな数列か。
(１)でもとめたａnにｎ＝2n-1を代入して計算すればでます。


※表し方が分からなかったけれど、
> 　nと2n-1は小さい文字のつもりで……
>
> 宜しくお願いします！！！
No.6756 - 2009/07/14(Tue) 20:43:49
★ 逆関数 / aki
ごめんなさいもう一つお願いします…

http://z.upup.be/?M3cih06Pmc
はなぜ下の答えの条件になるのでしょうか？
逆関数が苦手です。

宜しくお願いします。
No.6748 - 2009/07/14(Tue) 18:58:29
☆ Re: 逆関数 / aki
追加ですが6487の質問についての再質問を書き込みましたので、お手数おかけしますがどなたかお願いします。
No.6752 - 2009/07/14(Tue) 19:45:05
☆ Re: 逆関数 / rtz
6487については回答しました。
No.6762 - 2009/07/14(Tue) 22:16:05
☆ Re: 逆関数 / ヨッシー
指針の１行目に書いてある通りですよ。
指針のｋ、または解答のｃ−ａｂが０だったら、f(x) が
どんな関数で、逆関数はどうなるか考えて見ましょう。
そのときのy=f(x) のグラフと、それをｙ＝ｘ に対して
対称移動したグラフ（通常の逆関数のグラフ)が、どんな
グラフになって、ｙ＝・・・ の形に書けるか考えるのも良いでしょう。
No.6778 - 2009/07/15(Wed) 11:58:59
☆ Re: 逆関数 / aki
K=0のときy=bのグラフになるため、xがないので逆関数もなにもない気がします…

だからK=0ではだめということですね。

ありがとうございました！
No.7384 - 2009/08/10(Mon) 19:08:44
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