行列A={(a,b),(c,d)}((a,b)が1行、(c,d)が2行のつもりです)によって定まるxy平面の1次変換をfとする。原点以外のある点PがfによってP自身に移されるならば、原点を通らない直線lであって、lのどの点もfによってlの点に移されるようなものが存在することを証明せよ。
直線lをy=mx+n(m≠0かつn≠0)、l上の点(x,y)がfにより移る点(x',y')としますと、要は、
「y'=mx'+n(m≠0かつn≠0)が成り立つための必要十分条件が(1-a)(1-d)-bc=0であることを示す」
ことができればよいのでは？というところまではこれましたが、このあと、
(x,y)=(0,n)+t(1,m)(tは任意の実数)
とおいて、x'=at+b(n+tm)、y'=ct+d(n+tm)ともとめて、x'とy'をy=mx+nに代入してみましたが、複雑な式が出てきて意味がわからなくなりました。ここにきて解き方が間違っているような気がしてきました。
1次変換は苦手で、最初から自信がありません。この問題はどのように解くのでしょうか。教えてください。お願いします。
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No.9369 - 2010/01/07(Thu) 23:15:58
| ☆ Re: 1次変換 / 我疑う故に存在する我 | | | 「一次変換」は全単射の意味で使っているものと解釈する。
>行列A={(a,b),(c,d)} (a,b)が1行、(c,d)が2行
行列 A = {(a, b), (c, d)} 但し、 (a, b) が 第 1 行、(c, d) が 第 2 行
と言う意味ですね。
P = (1, 0) としても一般性を失わない。よってその一次変換は
X = x + by
Y = dy, d ≠ 0 として良い。
b = 0 の場合は x = 1 で表される直線として良く、
そうでない場合
y = {(d - 1)/b}x + 1
が求める物（一例）である。
（実際それが一例である事、及び、その式を求めることは単なる計算なので略する。）
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No.9375 - 2010/01/08(Fri) 22:28:34 |
| ☆ Re: 1次変換 / さっきー | | | 御回答ありがとうございます。
私が問題自体を理解しきれていないせいなのですが、回答者様の御回答が正しいということがよくわからないです。
”原点以外のある点PがfによってP自身に移されるならば”
これは行列Aが逆行列を持たないことの言い換えですよね。ここから(1-a)(1-d)-bc=0が出てくると思います。
したがって本問では、y=mx+n上の任意の点(x,y)のfによる像(x',y')がy'=mx'+nを満たすような0でない実数m、nが存在するための条件が(1-a)(1-d)-bc=0であることを証明することになると思います。
(1,0)を(1,0)に移すようなfにおいて、l上の点がlに移る例を一つ見つければよいというような問題に言い換えられるのでしょうか？
それと「全単射」という言葉は聞いたことがありませんが、本問と関係はあるのでしょうか？
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No.9377 - 2010/01/09(Sat) 00:43:56 |
| ☆ Re: 1次変換 / 我疑う故に存在する我 | | | >全単射
この場合は平面から平面への 1 ： 1 写像、即ち ad - bc ≠ 0と言う意味で使っています。
>”原点以外のある点PがfによってP自身に移されるならば”
>これは行列Aが逆行列を持たないことの言い換えですよね。
違います。
>P = (1, 0) としても一般性を失わない。
直線 OP を x-軸にとっても良いという程度の意味です。
変換の係数は変わりますが一次変換である事にはかわり有りません。
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No.9378 - 2010/01/09(Sat) 00:55:39 |
| ☆ Re: 1次変換 / さっきー | | | ＞違います。
P(p,q)とします。題意より、
{(a,b),(c,d)}・(p,q)=(p,q) ((p,q)は列ベクトルです)
なので、
ap+bq=pかつcp+dq=qより、
(1-a)p-bq=0
-cp+(1-d)q=0
よって、{(1-a,-b),(-c,1-d)}・(p,q)=(0,0)なので、{(1-a,-b),(-c,1-d)}が逆行列を持つと(p,q)が原点になってしまうと思いますが、違いますでしょうか？
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No.9379 - 2010/01/09(Sat) 09:55:49 |
| ☆ Re: 1次変換 / 七 | | | それは「行列Aが逆行列を持たない」ではなく
「行列E−Aが逆行列を持たない」ですね。
A−Eになるようにしてもいいですが。
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No.9380 - 2010/01/09(Sat) 10:07:14 |
| ☆ Re: 1次変換 / 我疑う故に存在する我 | | | 意図が余り伝わらなかった様なので、もう少し（幾何学的に）説明します。
（基本性質が分かっていないと、式の計算より難しいかも？）
# 先ずは問題の意図を良く理解して下さい。
>”原点以外のある点PがfによってP自身に移されるならば”
>これは行列Aが逆行列を持たないことの言い換えですよね。
全く違います。一次変換 f が恒等写像
（対応する行列が単位行列）の時、
任意の点 Q に対し、 f (Q) = Q となります。
また、 ad - bc = 0 なら平面の全ての点が
直線 OP 上の点に移ってしまい、求める直線が無くなります。
よって、 ad - bc ≠ 0 を仮定します。
i) この時一次変換 f は平行な二本の直線を
平行な二本の直線に写す。
（行き先が交わる二直線だったらおかしい。）
ii) f が同一直線上にない三点を固定すれば、 f は恒等写像である。
iii) k を一つの直線とすると、 k と f (k) は
一致するか平行か交わるかだが、交わるとすると、
その交点 K に対し f (K) = K が成立。
さて直線 OP に平行な直線 l については、
その様な ( 即ち f (l) = l ) 物 l が存在すればそれで終わりなので、
その様な物 l は存在しないとする。
直線 OP 上に無い点 Q を一つ取る。
f (Q) = Q なら、 f は、同一直線上にない三点 O, P, Q を固定するので、
恒等写像になってしまう。よって、 f (Q) ≠ Q
この時、（上記の仮定、性質などを組み合わせて）
Q と f (Q) を結ぶ直線に平行で、
P を通る物が求める l の一つである。
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No.9381 - 2010/01/09(Sat) 10:14:34 |
| ☆ Re: 1次変換 / さっきー | | | No.9386 - 2010/01/10(Sun) 15:11:17 |
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