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★ 円 / aki

続けて失礼します。 http://p.upup.be/?UIT6ZjBqC6の問題を、私は 弦の比は辺の比より、TBをxと置いた時に、3角形ATBに三平方を使い、 4x^2＋x^2=4a^2 でx=2a/√5となりましたが答えはx=aだそうです。 この考え方のどこが間違えてるかわかりません。どうか教えて下さい(>_<) No.6614 - 2009/07/09(Thu) 15:29:13 ☆ Re: 円 / ヨッシー 問題に書いてあるＡＴ，ＢＴは、弦ではなく弧です。 No.6622 - 2009/07/09(Thu) 16:50:53 ☆ Re: 円 / aki 分かりにくい説明で失礼しました。 弧の比は弦の比なので、弦の方を文字で置いてみました。ということです。 宜しくお願いします。 また大分前の記事になりますが6211のヨッシーさんの回答についての質問を書き込みましたので誠に申し訳ありませんが教えていただけないでしょうか。 ご迷惑をおかけして申し訳ありません。 No.6628 - 2009/07/09(Thu) 17:25:39 ☆ Re: 円 / ヨッシー ですから、問題に書いてある 　ＡＴ：ＢＴ＝２：１ は、線分の長さの比ではなく、弧の長さの比です。 線分ＢＴ をｘとおいても、線分ＡＴは２ｘではありません。 結論から言うと、ＢＴ＝ｘ とおくと、ＡＴ＝√3ｘ　なので、 　３ｘ^2＋ｘ^2＝４ａ^2 より　ｘ＝ａ となります。 No.6632 - 2009/07/09(Thu) 21:30:12 ☆ Re: 円 / angel 図中に 30°とか 60°とか正しい角度が書き込んであるように見えますが…? それを元に考えれば良いです。( 線分AT:線分BT=√3:1 というのはそこから分かる ) この角度がどこから来たかと言えば、 　弧AT:弧BT=∠AOT:∠BOT=∠ABT:∠BAT ですね。 弧長の比と、中心角の比と円周角の比が一致する、ということで。 ※円周角=中心角÷2 のため、円周角の比も一致 なお、△BOTが正三角形となること、OT⊥PTを利用すれば、△ABT≡△POTが言えます。これが一番早そうな気がします。 No.6638 - 2009/07/09(Thu) 23:38:03 ☆ Re: 円 / ヨッシー あぁ、書いてますね。 そして、弧ＡＴのところにマル２と書いてあるのを、 わざわざ消して、弦ＡＴの方に書き換えてありますね。 もう一度、弧の方に戻してみましょう。 No.6642 - 2009/07/10(Fri) 04:19:58 ☆ Re: 円 / aki 角度でやるのが正しいやり方だと聞いたので、そちらでやってみた場合はできました! 弧の比=弦の比 だと思いこんでいたのですが、もしや 二つの弧の長さが等しいときその二つの弦の長さも等しい だけで、比として弧と弦が同比になるわけではないということでしょうか？ No.6651 - 2009/07/10(Fri) 15:24:42 ☆ Re: 円 / angel > 比として弧と弦が同比になるわけではないということでしょうか？ そうです。 1例として、半径 r の円を基に考えてみましょう。 ・中心角180°の扇形 ( つまり半円 ) の場合 　弦長 2r ( 直径 )、弧長 πr ・中心角60°の扇形の場合 　弦長 r ( 正三角形ができる )、弧長 1/3・πr ということで、弦が半分になって、弧は1/3なので比は同じになりませんね。 No.6655 - 2009/07/10(Fri) 17:55:36 ☆ Re: 円 / aki 本当によくわかりました！ いつも図形の問題を変に間違えてしまうのはこの勘違いを勝手に使っていたせいかもしれません。 どうもありがとうございました!! No.6703 - 2009/07/12(Sun) 16:59:04

★ 図形 / aki

こんにちは。 苦手な図形に取組んでいます。 http://v.upup.be/?D9PkjQiueL の問題ですが、まずこういう問題でどこから手をつけたらいいのかがさっぱりわからず色々やってみるもうまくいかずで困ってしまいます。 どうか着目点や着手すべきことを教えて下さい… No.6611 - 2009/07/09(Thu) 13:13:12 ☆ Re: 図形 / aki 添付を間違えてしまいました http://q.upup.be/?1MHWmZPSWX こちらです どうかお願いします No.6612 - 2009/07/09(Thu) 13:18:05 ☆ Re: 図形 / ヨッシー 四角形ＢＥＤＣが、ＢＥ//ＣＤの台形となり、 円に接することから、等脚台形になります。 60度の角と、∠Ｂの二等分角、∠Ｃの二等分角を 円にありったけ描くと、見つかります。 ∠Ｂの二等分角＋∠Ｃの二等分角がいくつになるかも、必要でしょう。 No.6613 - 2009/07/09(Thu) 13:55:45 ☆ Re: 図形 / aki ごめんなさい。 さっぱりわかりません。 平行であるのはなぜわかるのですか？図からは判断できないですし… 等脚台形というのは上底と下底だけが等しい物をいうのですか？ No.6615 - 2009/07/09(Thu) 15:44:17 ☆ Re: 図形 / ヨッシー このように、３つの角度と等しいものをありったけ描くんです。 この図と、上に書いた内容とで判断できますよ。 No.6621 - 2009/07/09(Thu) 16:46:02 ☆ Re: 図形 / aki 成る程です。 これからやってみます貴重なadviceありがとうございます。 また、等脚台形についてですが、円に接するから長方形ではないのでしょうか??? No.6652 - 2009/07/10(Fri) 15:42:12 ☆ Re: 図形 / angel 横から失礼しますが、実は「等脚台形」であることを言わなくても解く事はできますね。( 下記 3 ) 1. □BCDEの全ての角を調査して等脚台形であることを示す ( ∠B=∠E かつ ∠C=∠D ) 2. □BCDEがBE//CDの台形であることを示す ( ∠B+∠C=180°) ⇒ 円に内接する台形であることから、自動的に等脚台形 ( 含む長方形/正方形 … 今回正方形はないけれど ) と分かる 3. BC, DEそれぞれの円周角が同じであることを示す ( ∠A=∠DBE や、∠A=∠DCE ) のいずれかでいけます。 なお 2. についてですが、まず円に内接する四角形の性質として、対角の和が180°というのがあります。 つまり、□BCDEでは∠B+∠D=180° これに、BE//CDの条件、例えば∠B+∠C=180°を組み合わせれば ∠C=∠D が言えますから、結局 1 と同じになるわけです。 No.6658 - 2009/07/10(Fri) 22:49:17 ☆ Re: 図形 / ヨッシー 上の図は、かなり正確です。 それでも長方形にみえるなら仕方ありませんが、 円に内接する四角形の条件って、何でしたっけ？ No.6668 - 2009/07/11(Sat) 00:07:14 ☆ Re: 図形 / aki 対角の和が180でしょうか？ わかりました、どうもありがとうございました。 No.6704 - 2009/07/12(Sun) 17:22:26

★ (No Subject) / klo

a,b,c,dを実数とし、ad-bc>0とする H+{z:複素数|Im(z)>0} H+が整数ならzを用いて、az+b/cz+d∈H+となることを示せ という問題があって、Im(z)>0なら,Im(az+b/cz+d)>0を示せばいいらしいんですけどさっぱりです； よくわからないので、よければ教えてください＞＜ No.6609 - 2009/07/09(Thu) 08:18:01 ☆ Re: / X >>H+が整数なら とありますがタイプミスではありませんか？。 No.6610 - 2009/07/09(Thu) 08:31:42 ☆ Re: / klo H+∋整数全体でした； No.6631 - 2009/07/09(Thu) 21:06:36 ☆ Re: / X 訂正文が意味不明です。問題文をちゃんと理解していますか？。 整数全体 と H+ はいずれも集合ですので∋による関連付けはできません。 No.6644 - 2009/07/10(Fri) 08:48:30 ☆ Re: / klo > a,b,c,dを実数とし、ad-bc>0とする > > H+{z:複素数|Im(z)>0}であり、zを用いた式、az+b/cz+dは、 az+b/cz+d∈H+となることを示せ > > 問題文を理解したところ、このような問題のようです；；； No.6657 - 2009/07/10(Fri) 19:22:09 ☆ Re: / angel ひたすら計算ではないかと。 複素数 z の複素共役を z~ とすると、Im(z)=(z-z~)/(2i) というのが基本です。 例えば、z=2+i であれば、z~=2-i ですから、Im(z)=((2+i)-(2-i))/(2i)=1 と計算できます。 和差積商の複素共役に関しては、(z1+z2)~=z1~+z2~、(z1-z2)~=z1~-z2~、(z1・z2)~=z1~・z2~、(z1/z2)~=z1~/z2~ と、早い話が全部複素共役にして計算しましょう、となりますので、それで Im(az+b/cz+d)=( (az+b)/(cz+d) - (az~+b)/(cz~+d) )/(2i) を計算すれば良いですね。( a,b,c,dは実数なので、複素共役にしても変わらない ) 注意すべき点としては、z・z~ = |z|^2 …非負実数となること。 p,qが実数であれば、(pz+q)(pz~+q)=|pz+q|^2 と、同じ話になります。 No.6660 - 2009/07/10(Fri) 22:59:49 ☆ Re: / klo なんとなくですが把握できた気がします！ あるがとうございます＞＜ No.6675 - 2009/07/11(Sat) 12:54:22

★ 重複順列 / 隆一

１０個の整数０、１、２、……９の中から４個の数字を選びa,b,c,dとして1000a＋100b＋10c＋dという４桁の数字を作るとき以下の問いに答えなさい。 （１）（２）は省略 （３）a≧b≧c≧dとなる場合の数を求めなさい。 （３）ですが、解説には「重複順列を用いて10Ｈ4より13C4として、すべて０の場合を除く」と書いてあったのですが、なぜこのように書けるのかがわかりません。 わかりやすいように解説いただけないでしょうか？ No.6604 - 2009/07/08(Wed) 20:56:20 ☆ Re: 重複順列 / ヨッシー 重複組み合わせですね。 １０個の数字がいっぱいあって、ここから４つを選ぶ選び方です。 ９本の仕切り｜｜｜｜｜｜｜｜｜　と ４個の○ の並べ方です。 １３個のものから、４個を選んで、○にするのと同じで、 　13Ｃ4 と一致します。 ０｜１｜２｜３｜４｜５｜６｜７｜８｜９ の位置に来た○の数だけその数を選んだと考えます。 たとえば、○○｜｜｜○｜｜○｜｜｜｜ だと、００３５　を選んだのと同じです。 ひとつ選び方が決まると、a≧b≧c≧d となるのは、 一通りに決まるので、結局 13Ｃ4 と数字を選んで、 a≧b≧c≧d の順に並べるのとは、同じ場合の数になります。 ただし、解説にあるように、００００ の場合は除かないといけません。 それ以外は、必ず千の位が１以上になって、４桁の数になります。 No.6606 - 2009/07/08(Wed) 21:33:29 ☆ Re: 重複順列 / 隆一 ヨッシーさん 図まで添えていただきありがとうございます＾＾ 非常にわかりやすい説明で、すっきりしました。 本当にありがとうございました。 No.6607 - 2009/07/08(Wed) 22:45:23

★ 中線 / aki

こんばんは！ またまたお邪魔します。 とても困り果てているのですが、 http://v.upup.be/?D9PkjQiueL はまず場合わけをしないといけないのでしょうか？するとどう場合わけすればいいのでしょうか？ また、その先も見えてきません。図形の証明が極めて苦手なようです。 どうか私にも分かるようにご説明いただけないでしょうか？ 宜しくお願いします… No.6587 - 2009/07/07(Tue) 18:21:04 ☆ Re: 中線 / DANDY　U 遅れてでも No.6443 ,No.6469 ,No.6487 ,No.6493 ,No.6566 の質問に対する回答 およびコメントに対する返事をしてから、新たな質問をするべきでしょう。 何らかの回答をしても分かったかどうか等の何の反応もないなかで、同じ質問者 が次々新たな質問をされているのをみて、回答をした人はどう思うかを考えたこ とがあります　？ （rtzさんが No.6571 でやんわり指摘されておられますよね） No.6592 - 2009/07/07(Tue) 21:25:26 ☆ Re: 中線 / aki 申し訳ありません。 まだわからないのでもう少し考えてから質問しようと思っておりました。 次々と問題を出されるので私自身もパニックになっておりました。 以後気をつけます。 No.6616 - 2009/07/09(Thu) 15:47:16 ☆ Re: 中線 / ヨッシー で、この問題ですが、(1) はいわゆる｢中線定理｣そのままなので 省略して、(2) は、この図形で、中線定理が使えるところが ６つあります。 （６つの式が出来るということです。もちろん、補助線を引かないと 出来ない三角形もあります） ６つと言っても、４つと２つに分かれます。 ４つを全部足したものに、残りの２つを適用すると、 与えられた式が出来ます。 No.6626 - 2009/07/09(Thu) 17:07:08 ☆ Re: 中線 / DANDY　U この質問と関係ないのですが No.6469 の質問に対する回答が理解できなかったようですので、解説をしておきました。 のぞいてみてください。 No.6635 - 2009/07/09(Thu) 22:40:29 ☆ Re: 中線 / aki ごめんなさい。全く分かりません。(2)はまず全体の概要すらわかりません。 模範解答もないので… 模範解答もいただけると助かります。 すみませんがお願いします。 わざわざ書き込みの報告ありがとうございました。とても助かります! No.6705 - 2009/07/12(Sun) 17:36:12 ☆ Re: 中線 / ヨッシー 中線定理は、私のページに証明があるので、ご覧ください。 (2) ですが、中線定理が使えそうなところ(中線が引かれているところ) は、１つも見つかりませんか？ No.6712 - 2009/07/12(Sun) 21:51:05

★ (No Subject) / man 高３

0<a<1のとき、方程式a^x=log_{a}(x)（底がa、真数がx）が異なる3つの実数解を 持つaの値の範囲は 0<a<e^(-e)となることを示せ。 という問題なのですが、 f(x)=（左辺）-（右辺）として、y=f(x)の増減やグラフから解こうとしています 。 「0<a<e^(-e)⇔f(x)は極大値・極小値をそれぞれ1つずつ持つ。」 までは分かったのですが、そこからy=f(x)とx軸が異なる3つの共有点を持つこと が言えません。 よろしくお願いします。 また、他にもっと良い解法がありましたら教えてください。 No.6586 - 2009/07/07(Tue) 17:55:48 ☆ Re: / angel y=a^x と、y=log{a}x とは、逆関数の関係にありますから、グラフを描くと、直線 y=x を軸として線対称になります。 なおかつ、直線 y=x と y=a^x ( もしくは y=log{a}x ) は、必ず1つの交点を持ちます。 この点を (t,t) と置くと、t=a^t=log{a}t ということになります。 今の問題の状況では、y=a^x と y=log{a}x が3交点を持つ、つまり、(t,t) と何かしらの点 (p,q), (q,p) の3点で交わるということになります。 manさんのようにf(x)=a^x-log{a}x で攻めるなら、上で挙げた t を用いて、f(t)=0 を起点にすると良いと思います。 f(t)=0, f'(t)＜0, f(1)＞0 から、t＜x＜1 の区間でも f(x)=0 が解を持つ、というストーリーが素直でしょう。 ※もちろん f'' の値も絡めて、山・谷が何個もできないことまで説明しないといけませんが、そこは極値を調べたのであれば問題ないでしょう。 ※後半の不等号の向きが一部間違えていたので訂正しました。申し訳ありません。 No.6594 - 2009/07/07(Tue) 21:49:55 ☆ Re: / man 高３ ありがとうございます。 勉強になります。 f'(t)<0の部分ですが、 t=a^t⇔a=t^(1/t)のもとで、 f'(t)=a^t*log(a)-1/(t*log(a))=…={(log(t))^2-1}/log(t) となり、a<1⇒t<1⇒log(t)<0より、 結局、「f'(t)<0⇔t<(1/e)」となるかと思います。 この後ですが、関数g(x)=x^(1/x)がx<1において単調増加であることと、 a=t^(1/t)及びa<e^(-e)⇔a<(1/e)^e からt<(1/e)が言える。 という論理で正しいのでしょうか。 また、f'(t)<0の証明に関して、上の方法は少々複雑に思えてしまうのですが、 もっとスマートな方法はあるのでしょうか。 度々すみませんが、お願いします。 No.6599 - 2009/07/08(Wed) 00:07:12 ☆ Re: / angel おお、t=a^t から a=t^(1/t) と持っていくのですね。 実はその変形では考えていなかったのですが、形もすっきりしますし、良いと思います。 後は g(x)=x^(1/x) の単調性で説明して問題ないでしょう。 ※y=x と y=a^x の位置関係 ( a^x＜x ⇔ t＜x ) に着目して、 　　a＜e^(-e) 　　⇒ a^(1/e)＜(e^(-e))^(1/e)=1/e 　　⇒ t＜1/e 　も良いかもしれません。 私の考えた計算だと、0＜a＜e^(-e) という前提なしでやろうとしていますので、もうちょっと面倒です。manさんの方法でも十分スマートだと思いますよ。 No.6600 - 2009/07/08(Wed) 14:07:16 ☆ Re: / man 高3 なるほど。 angelさんのように、y=xとy=a^xの位置関係に着目すればすんなり解決できるのですね。 すごく見習いたい解法です。 これで完全にこの問題に関して納得できました。 いろいろとアドバイスをしていただき、ありがとうございました。 No.6608 - 2009/07/08(Wed) 23:28:59

★ 物理 / 水樹

こんにちは。 物理の単振動のところで質問なんですが、 x[m]=0.40sin5πTで与えられる単振動の振幅、角振動数、周期、振動数は求まったのですが、t=1/15[s]のときの速さとTt=1/30[s]のときの加速度の大きさの出し方が分かりません。 公式は v=Aωcosωt a=-Aω^2sinωt で合っていると思うのですが代入してもsinとcosの値がいまいち理解できません。 どなたか宜しくお願いします。 No.6583 - 2009/07/07(Tue) 17:02:04 ☆ Re: 物理 / angel 数IIあたりで、弧度法 ( radian を単位とした角度 ) は習っていませんか? π[rad]=180°ですから、π/3[rad]=60°、π/6[rad]=30°となります。 三角比の値で言えば、 cos(π/3)=cos60°=1/2、sin(π/6)=sin30°=1/2 ですね。 弧度法を使えば、半径 r、中心角θの円弧の長さ L は、 　L=rθ と表せますから、非常にすっきりします。 ※中心角θ°の場合だと、L=2πrθ/360 ですから… なお、中心角 1[rad]の扇形は、正三角形に近い形になることから、1[rad]≒60°であることも分かります。( 正確には、1[rad]=(180/π)°=57.29578…° No.6597 - 2009/07/07(Tue) 22:54:18

★ メネラウス / aki
こんにちは！ いつもありがとうございます 質問お願いします http://v.upup.be/?IoNeULnDK0 でAQ:QEを求める際、4:1 とできないのはなぜでしょうか？ ACとCEの辺の比じゃなければ使えないということでしょうか？ No.6582 - 2009/07/07(Tue) 16:58:38 ☆ Re: メネラウス / ヨッシー (AQ/QE)(EC/CB)(BD/DA)=1 なので (AQ/QE)(1/4)(1/3)=1 より AQ:QE＝12:1 です。 No.6584 - 2009/07/07(Tue) 17:04:00 ☆ Re: メネラウス / aki 2辺に関する比ではないのでごちゃまぜにしてはいけないのですね？ありがとうございます… No.6588 - 2009/07/07(Tue) 18:23:13

★ (No Subject) / shiyo

xy平面上の3本の直線　?@：x-y+2=0, ?A：x+y-14=0,?B：7x-y-10=0で囲まれる三角形に内接する円の方程式を求めよ。 解答　（x-4)^2+(y-8)^2=2　となります。 この問題の途中が解りません。絶対値の箇所で迷っています。 No.6581 - 2009/07/07(Tue) 14:48:45 ☆ Re: / ヨッシー ３交点を求めると、 (1)(2) より Ａ：(6,8) (2)(3) より Ｂ：(3,11) (3)(1) より Ｃ：(2,4) ＡＢ＝3√2、ＢＣ＝5√2、ＣＡ＝4√2 ＢＣをAB:BC＝3:4に内分する点(18/7, 8) と点Ａを結んだ 　ｙ＝８ と、ＣＡをBC:AB＝5:3 に内分する点(9/2, 13/2) とＢを結んだ 　ｙ＝−３ｘ＋２０ は、それぞれ、∠Ａ，∠Ｂの二等分線なので、その交点Ｏ：(4,8) が、内接円の中心であり、半径は、（ＡＢの1/3 で √2 でもいいですが） △ＡＢＣは直角三角形であり、その面積は、3√2×4√2÷2＝12 一方、内接円の半径をｒとすると、△ＡＯＢ，△ＢＯＣ，△ＣＯＡ の面積は、(3√2)r/2，(5√2)r/2，(4√2)r/2 で、合計(6√2)ｒ よって、１２＝(6√2)ｒ よりｒ＝√2 以上より、求める円の式は、上のようになります。　 No.6585 - 2009/07/07(Tue) 17:30:10 ☆ Re: / shiyo ヨッシーさん有り難うございます。 その解き方がありましたね。 理解できました！！ No.6589 - 2009/07/07(Tue) 18:54:49 ☆ Re: / angel 蛇足ながら… 直線と点の距離の公式は、絶対値のついた形になっていますが、予め点の存在する領域が分かっていれば、絶対値なしの形になります。 そのため、内接円の半径を r、内接円の中心を(p,q)と置くと、 　r = -(p-q+2)/√2 = -(p+q-14)/√2 = (7p-q-10)/√50 という方程式がたちます。 どちらの領域にあるかは、原点と比較すると楽に判別することができます。 なお、絶対値のままで方程式 ( r=|p-q+2|/√2=|p+q-14|/√2=|7p-q-10|/√50 ) をたてると、(p,q,r) の組み合わせが4通りできます。 内心・内接円に対応する解以外は、3つの傍心・傍接円に対応するものです。 No.6593 - 2009/07/07(Tue) 21:31:07 ☆ Re: / shiyo angelさん有り難うございます。 画像付きで非常に解りやすかったです！！ No.6596 - 2009/07/07(Tue) 22:52:27

★ (No Subject) / Ω

5次方程式x^5-5x^3+10x=6…?@x^5-5x^3+10x=4√2…?Aは,いずれも正の異なる2実数をもつ。このとき,この2実数をα,β(α<β)とおくとき,β/αが最大となるのは?@,?Aのいずれか。 この問題が分かりません。よろしくお願いします。 No.6578 - 2009/07/06(Mon) 23:07:19 ☆ Re: / 都 締め切り過ぎたら教えてあげますね :-p No.6580 - 2009/07/07(Tue) 05:45:15 ☆ Re: / あ ４√２だよ。 No.6601 - 2009/07/08(Wed) 14:22:06 ☆ Re: / Ω >>あ　さん 何でそうなるのでしょうか？自分もf(x)=x^5-5x^3+10x=0のグラフを描いて見ましたが,どうもそれぞれ残りの解の値が求められませんでした。直接値を出すという解法では解けないのでしょうか？ No.6602 - 2009/07/08(Wed) 18:17:30 ☆ Re: / 名無し 大学への数学の学力コンテストの問題なので、コメントは差し控えます。 No.6629 - 2009/07/09(Thu) 18:51:51

★ (No Subject) / ずｎ

座標平面上で4頂点が格子点の平行四辺形ABCDがある。 ABCDの内部に含まれる格子点の個数が奇数個であるための条件を求めよ。 お願いします No.6577 - 2009/07/06(Mon) 20:40:34 ☆ Re: / rtz ヒント： 平行四辺形の中心(対角線の交点)を考えてみましょう。 No.6579 - 2009/07/07(Tue) 00:44:54 ☆ Re: / ずｎ 交点が格子点かどうか、ですか？　ヒントとか回りくどい答えをよこされても、こちらはまた推測しかできません No.6590 - 2009/07/07(Tue) 19:27:53 ☆ Re: / angel > ヒントとか回りくどい答えをよこされても、こちらはまた推測しかできません その苦情はお門違いですよ。 どういったスタイルで回答するか決まっているのではないですから、ヒントを出して考えてもらいたい人、ポイントを説明する人、全体的な解き方を提示する人、模範解答例を挙げる人様々です。 質問する人も、何をどこまで知りたいのかは様々です。 そのため、何の指定もなければ、回答者が ( 考えさせる等の効果も含めて ) とりあえずベストと思う説明、もしくは質問者の力量や真意を測るための説明・質問をすることになります。 知りたい情報の希望は、質問と同時に挙げるのが、お互いにスムーズに話が進む遣り方でしょう。 No.6595 - 2009/07/07(Tue) 22:29:07 ☆ Re: / angel > 交点が格子点かどうか、ですか？ そうです。 なぜか、は、2本の対角線で区分される4個の三角形に着目すれば良いです。 互いに向かい合う三角形は、格子の状況も含めて合同になりますから、( 対角線の交点を除いて ) 含まれる格子点の合計は偶数です。 そのため、対角線の交点が格子点になるかどうかで、最終的な偶奇が決定される事になります。 No.6598 - 2009/07/07(Tue) 23:11:56 ☆ Re: / ずｎ では、模範解答例を求めます No.6603 - 2009/07/08(Wed) 20:36:58 ☆ Re: / ast ワラタwww No.6605 - 2009/07/08(Wed) 21:01:17 ☆ Re: / ヨッシー ピックの定理とか考えてた私にとっては、rtz さんのヒントは まさに「目からウロコ」でしたね。 あと、angel さんの ２番目の記事が、完全回答に近いところまで 行ってますので、あとは、 「対角線の交点が格子点になる」とか 「２点Ａ，Ｃのｘ座標の差、ｙ座標の差がともに偶数である」 などと結論付ければ出来上がりです。 ちょっと記事が荒れかけてますので、この件はここまでにします。 問題自体はおもしろいので残しておきます。 No.6641 - 2009/07/10(Fri) 04:16:58

★ (No Subject) / kyon

ＡＢ＝3,ＡＣ＝5,cos∠ＢＡＣ＝1/3を満たす△ＡＢＣを底面とし、頂点をＰとする四面体ＰＡＢＣが半径3の球面に内接している。 1.点Ｐが球面上を動き、辺ＡＰの長さが最大となるとき、辺ＢＰの長さを求めよ。 2.点Ｐが球面上を動くとき、四面体ＰＡＢＣの体積の最大値を求めよ。 この問題が分からないので教えて下さい。宜しくお願いします。 No.6569 - 2009/07/05(Sun) 20:58:06 ☆ Re: / ヨッシー まず、色んなわかる数値を計算していきましょう。 △ＡＢＣの面積＝(1/2)ＡＢ・ＡＣsin∠ＢＡＣ 　＝(1/2)・３・５・2√2/3＝5√2 ＢＣ2＝９＋２５−２・３・５(1/3)＝２４ より　ＢＣ＝2√6 △ＡＢＣの外接円の直径＝ＢＣ/sin∠ＢＡＣ＝2√6÷2√2/3 　＝3√3　→半径は3√3/2 △ＡＢＣを含む平面と、半径３の球の中心との距離 　＝√{３2−(3√3/2)2} 　＝3/2 △ＡＢＣの外接円の中心と、ＡＣとの距離 　＝√{(3√3/2)2−(5/2)2} 　＝√2/2 以上より、 Ａ(-5/2, -√2/2, -3/2) Ｂ(-3/2, 3√2/2,-3/2) Ｃ(5/2,-√2/2, -3/2) とおくと、半径３の球の中心は(0,0,0) となります。 1. ＡＰが最大のとき、ＡＰが球の直径になるので、 　Ｐ(5/2, √2/2, 3/2) であり、 　ＢＰ2＝４2＋√22＋３2 　＝２７ 　ＢＰ＝3√3 2. Ｐが△ＡＢＣからもっとも離れたとき体積最大なので、 　Ｐ(0,0,3) △ＡＢＣを底面としたときの高さは、 　3/2＋３＝9/2 よって、求める体積は、 　5√2×9/2÷3＝15√2/2 No.6573 - 2009/07/05(Sun) 22:32:37 ☆ Re: / angel 既にヨッシーさんが解説されていますが、図を作ってみたので載せます。 立体的にある程度状況を把握するために図を描き、細部に関しては重要なところに着目して平面図を描くのが良いと思います。 今回球が絡みますので、重要な点としては、「球の中心から平面に下ろした垂線の足は、球とその平面の交わり(円)の中心」となります。 ※図中 E としています。これは同時に△ABCの外心となります。 また、(1)では、AP最大となるPに関して、Pから平面ABCに下ろした垂線の足Qも登場させています。 AO=OPからAE=EQとなること、また、AQが△ABCの外接円の直径となることから、△ABQが直角三角形となります。 また、PQ=2OEとなること、△PBQが直角三角形となることから、PBを求めることができます。 (2)については、P,O,Eが一直線になるときが体積最大です。 No.6575 - 2009/07/06(Mon) 00:17:58

★ (No Subject) / YM
2つの整数があり、2つの数の最大公約数は12で、最小公倍数は288です。こうした2つの数のうち、和が最小のものを求めなさい。 No.6568 - 2009/07/05(Sun) 19:35:36 ☆ Re: / ヨッシー ２数は　12a,12b (aとbは互いに素) と書け、最小公倍数は 　12ab です。よって、ab＝24 これを互いに素な２数の積に分けると、 　(1,24)(3,8) であり、それぞれ12と288、36と96 となり、和が最小のものは 36と96です。 No.6572 - 2009/07/05(Sun) 22:08:39

★ 群数列 / aki

こんにちは。 いつもありがとうございます。 質問お願い致します。 http://v.upup.be/?0dADcmaXak の(2)は第2m^2が第2m群のm番目 とまでわかったのですが、2m群のmまでの項の総和がどう求めればよいかわかりませんでした！ 教えて下さい… No.6566 - 2009/07/05(Sun) 16:56:46 ☆ Re: 群数列 / ヨッシー 図が小さい上に、どの問題の(2)だかわかりません。 No.6567 - 2009/07/05(Sun) 18:50:46 ☆ Re: 群数列 / rtz この前の問題も解決しているかどうか分からないのですが。 No.6571 - 2009/07/05(Sun) 21:09:30 ☆ Re: 群数列 / aki 大変ご迷惑をおかけして申し訳ありません とりなおしました。 http://w.upup.be/?bjlgcYZfbv です。 2m群だけに注目したときの2m^2項までの和の求め方がわかりませんでした。 No.6617 - 2009/07/09(Thu) 15:57:25 ☆ Re: 群数列 / ヨッシー 第2m群には、2m が 2m 個並んでいます。 そのうちの m 個の和なので・・・ No.6624 - 2009/07/09(Thu) 16:57:31 ☆ Re: 群数列 / aki 2m個あるのはわかるのですが、2mが2m個の2mがわかりません… わからなくてすみません No.6706 - 2009/07/12(Sun) 17:41:41 ☆ Re: 群数列 / ヨッシー 第1群は1が1個、第2群は2が2個、第3群は3が3個なので、 第2m群は2mが2m個です。 No.6714 - 2009/07/12(Sun) 22:05:41 ☆ Re: 群数列 / aki わかりました！ 根本的に1 2 3 4 5… という数え方をしてました… ごめんなさい…有り難うございました！ No.6750 - 2009/07/14(Tue) 19:24:57

★ 空間図形とベクトル / ベケット

3点 A(3,-1,2),B(1,2,3),C(4,-4,0)は二等辺三角形の頂点である事を示し、その外心の座標を求めよ。 という内容の例題があります。 二等辺三角形の証明は問題ないのですが、外心の座標の求め方で、例題の解答は『外心Pは∠BACの二等分線上だから、↑AP=k(↑AB+↑AC) ∴↑AP=(-k,0,k) また、↑BP=↑AP-↑AB=(-K+2,-3,-k-1) Pは外心だから、AP^2=BP^2で、これより k=7 ∴↑AP=(-7,0,7) これより、↑OP=↑OA+↑AP=(-4,-1,-5)』 と解いていますが、外心の座標を(x,y,z)とおき、AP=BP=CPから式を3つ作り、外心の座標を求めようとうとしているのですが、答えまで到達しません。 別解が出来ないかと上の方針で解いているのですが、この方針は間違っていますか？(ちなみに､二等辺三角形という条件を使わないで解いてます) No.6560 - 2009/07/05(Sun) 12:29:06 ☆ Re: 空間図形とベクトル / ヨッシー ＡＰ＝ＢＰ＝ＣＰ となる点は、空間なら無数に存在します。 △ＡＢＣと、同一平面上にあるための、何らかの条件が必要です。 No.6561 - 2009/07/05(Sun) 12:59:54 ☆ Re: 空間図形とベクトル / ベケット お答え戴きありがとうございます。 そうですね・・・ 外心Pを通り､△ABCに垂直な直線ならば､AP=BP=CPを満たしてしまいますね。 △ABCと同一平面上にあるための条件が無さそうなので、あの方針では無理みたいですね・・・ No.6562 - 2009/07/05(Sun) 13:30:54 ☆ Re: 空間図形とベクトル / ベケット AP=BP=CPから x+z=-9,x-y=-3,y+z=-6 の３式が出て、 ３点を通る平面が x+y-z=0 と導けたので、 これらを連立して外心の座標が求まりました。 この解法は正しいですか？ No.6563 - 2009/07/05(Sun) 14:56:10 ☆ Re: 空間図形とベクトル / ヨッシー 結果としては正しいです。 ただし、平面の外心を求めるときに２辺の垂直二等分線で 十分だったのと同じで、 　x+z=-9,x-y=-3,y+z=-6 のうちの２つと、x+y-z=0 で十分です。 No.6564 - 2009/07/05(Sun) 15:47:17 ☆ Re: 空間図形とベクトル / ベケット ありがとうございます！ スッキリしました。 休日にご苦労様でした。 No.6565 - 2009/07/05(Sun) 15:51:12 ☆ Re: 空間図形とベクトル / ヨッシー どういたしまして。 ついでに「ご苦労様」の使い方も調べておきましょう。 No.6574 - 2009/07/05(Sun) 22:42:47 ☆ Re: 空間図形とベクトル / ベケット ご指摘ありがとうございます。 日常で何気なく使っていた台詞でしたが、不適切な言葉だったようですね・・・すみませんでした。 勉強になりました。 No.6576 - 2009/07/06(Mon) 15:24:16

★ 確率 / 高3
6個の玉があり、それぞれの玉には1から6までの数字が１つずつ書かれている。この6個の玉をそれぞれ無作為にＡ、Ｂ、Ｃの箱のいずれかに入れる。ただし、空の箱があってもよい。 Ａ、Ｂ、Ｃのどの箱にも玉が入るような確率を求めよ。 教えてください?ｫ No.6557 - 2009/07/05(Sun) 11:03:33 ☆ Re: 確率 / らすかる 入れ方は全部で3^6通り このうち空の箱が2つになるのは Aだけに全部入る→1通り Bだけに全部入る→1通り Cだけに全部入る→1通り 空の箱が1つになるのは AとBに全部入る→2^6通り BとCに全部入る→2^6通り CとAに全部入る→2^6通り よって（以下略） No.6558 - 2009/07/05(Sun) 11:13:40

★ (No Subject) / ＊Sana＊

ＰさんはＡ,Ｂ,Ｃ,Ｄ,Ｅ,Ｆの6枚のカードを、Ｑさんはa,b,c,d,e,fの6枚のカードを持っている。それぞれの6枚のカードの表、裏には図のように数が書か れている。 ＰさんはＡ〜Ｆのカードをよくきって1枚取り出し、Ｑさんはa〜fのカードをよくきって1枚取り出し、表が見えるように机の上に置く。このとき、次の規則?T,?Uによって勝敗を決め、?Vによって得点を決める。 ＜規則＞ ?T.机の上に置かれた2枚のカードの表の数が異なるとき、大きい数のカードを出した人を勝者とし、小さい数のカードを出した人を敗者とする。 ?U.机の上に置かれた2枚のカードの表の数が等しいとき、2枚のカードを裏返す。 (i)裏の数が異なるとき、大きい数のカードを出した人を勝者とし、小さい数のカードを出した人を敗者とする。 (ii)裏の数も等しいときは引き分けとする。 ?V.勝者の得点は、勝者の出したカードの(表の数)×(裏の数)とし、敗者の得点は0とする。また、引き分けのときの両者の得点も0とする。 ?@得点の最大値を答えよ。また、引き分けとなる確率を求めよ。 ?AＰさんが勝ち、得点が60となる確率を求めよ。また、Ｐさんが勝ち、得点が20となる確率を求めよ。 ?BＰさんの得点の期待値を求めよ。 進研模試の過去問なんですが…分からないので教えて下さい。宜しくお願いします。 No.6555 - 2009/07/05(Sun) 09:52:04 ☆ Re: / ＊Sana＊ 画像はURLのところに貼ってあります。 No.6556 - 2009/07/05(Sun) 09:53:25 ☆ Re: / ヨッシー 図は、Ｐの立場から見た得点表です。 Ｑから見ても、大文字小文字が入れ替わるだけで、点数は同じです。 各場合の起こる確率は、いずれも1/36です。 黄色は、引き分けです。 これで、全部わかるでしょう。 No.6559 - 2009/07/05(Sun) 11:33:16 ☆ Re: / ＊sana＊ http://www2.ezbbs.net/34/eijitkn/ こちらでも同じ質問をさせて頂きました。 No.6570 - 2009/07/05(Sun) 21:05:46

★ 高校生です。 / naho
（問）a,bを実数とする。方程式x^2+ax+b=|x|が異なる４個の実数解をもつような点（a,b）の存在する領域を図示せよ。 　答えは、a軸,b軸のグラフで、b=1/4(a-1)^2とb=1/4(a+1)^2とa軸に囲まれた領域らしいのですが、そこに至る過程がよく分かりません。場合分けと判別式を使うのでしょうか。 　詳しい解答を作りたいので、教えていただければ幸いです。 No.6553 - 2009/07/05(Sun) 00:26:32 ☆ Re: 高校生です。 / 雀 x≧0とx<0で場合分けですね。 x≧0の場合 x^2+(a-1)x+b=0 これがx≧0の範囲で異なる2実解をもつようにします。 x<0の場合も同様です。 最後に共通する領域が答えとなります。 No.6554 - 2009/07/05(Sun) 00:59:32

★ 高校一年生の問題です。 / care

2次関数ｆ(x)＝ax~2 −4ax＋2a~2 ＋3a がある。 ただし、aは定数である。 ~2は2条の意味です！ ?@a＝１のとき ｆ(x)の最小値とそのときのxの値を求めよ。 ?Aa＜0のとき、0≦x≦5におけるｆ(x)の最大値と最小値とそのときのxの値を求めよ。 ?B 0≦x≦5におけるｆ(x)の最大値が6になるようなaの値を求めよ。 これが全くわからないので教えてください！ No.6551 - 2009/07/04(Sat) 11:50:20 ☆ Re: 高校一年生の問題です。 / ヨッシー (1)a=1なので、 　f(x)＝ｘ2−４ｘ＋５ です。これは、 　f(x)＝(ｘ−２)2＋【 ア 】 の形に変形できるので、ｘ＝【 イ 】のとき、最小値【 ア 】 になります。 これが出来ないと、(2)も(3)も話になりませんので、 まず、これをやってみてください。 No.6552 - 2009/07/04(Sat) 15:51:17

★ 数列の問題 / カムイ

a[1]=3，a[n＋1]=a[n]＋2(n=1,2,3,…)によって定められる数列{a[n]}がある。 (問)数列{a[n]}の項のうち3の倍数であるものを小さい順に並べ、b[1],b[2],…,b[n],…とし、c[n]=b[n]/3(n=1,2,3,…)とする。c[n]をnを用いて表せ。 (解)数列{a[n]}は初項3、公差2の等差数列より、a[n]=2n＋1、数列{b[n]}は、数列{a[n]}の1＋(nｰ1)×3=3nｰ2項なので、b[n]=2(3nｰ2)＋1=6nｰ3、したがってc[n]=2nｰ1 (問)?納k=1,n]{(a[2kｰ1]/c[2kｰ1])＋(c[2k]/a[2k])}を求めよ。 (解) (与式)=?納k=1,n]{(4kｰ1)/(4kｰ3)＋(4kｰ1)/(4k＋1)}=3＋2(nｰ1)＋(4nｰ1)/(4n＋1)=8n^2＋10n/4n＋1 このように解いてみたんですが合ってるでしょうか？?ｫ No.6547 - 2009/07/03(Fri) 19:30:43 ☆ Re: 数列の問題 / angel 良いと思います。 答えもあっていますし、方針としても問題ありません。 細かい記述がどうかは ( 書いてないので ) 何とも言えませんが… 2問目に関しては、n=1 をちゃんと例外扱いしているか、とか、紛れなくその答えを導ける記述になっているか、とかは注意が必要でしょうかね。 No.6548 - 2009/07/03(Fri) 22:11:32

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