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★ ある中学入試の問題 / rino
はじめまして。ある中学入試の問題だそうです。最後の問題がわからないので、教えてください。

ある小学校では、６年生が126人います。男子と女子の比は５：４です。６年生に対してめがねの調査を行いました。その結果は、めがねをかけている男子はめがねをかけている女子の２倍で、めがねをかけていない女子はめがねをかけている女子の７倍でした。

?@　男子は何人いますか。
　　　これは70人で間違いないと思います。
?A　めがねをかけていない男子とめがねをかけていない女子の人数の比を最も簡単な整数の比で答えなさい。
　　　これは、８：７じゃないかなあと思います。
?B　半年後、同じ６年生に２回目のめがねの調査を行いました。その結果は、めがねをかけている男子はめがねをかけている女子の２倍で、めがねをかけていない男子は、めがねをかけていない女子の比は９：８になりました。めがねをかけていない女子は何人になりましたか。
　　　これがわかりません。教えてください。お願いします。
No.9526 - 2010/01/24(Sun) 17:42:54
☆ Re: ある中学入試の問題 / Kurdt（かーと）
こんばんは。

(1)と(2)は合っています。

(3)
メガネありを有、メガネなしを無で書くことにします。
まず、有男：有女=2：1 ということがわかっています。
そこで、有男→?A、有女→?@ と書くことにします。

また、無男：無女=9:8 ということもわかっています。
そこで、無男→[9]、無女→[8] と書くことにします。

ところで、男子の人数は70人で、女子は56人でした。
これらをもとに男女の人数をメガネの有り無しで分けた線分図を書いてみます。
　　　　　　70人
├─┼─┼───────────┤　男子　（図1）
　　?A　　　　　　[9]
　　　　　　　56人
　　├─┼─────────┤　　　女子　（図2）
　　　?@　　　　　[8]
男子から女子を引いてみます。
　　14人
├─┼──┤　（図3）
　?@　[1]
今度は図2からさらに図3を引きます。
　　　　42人
├────────┤　（図2）−（図3）
　　　　[7]
ここから [1] は6人ということがわかります。
メガネをかけていない女子の数は [8] なので、6×8=48人ですね。
No.9527 - 2010/01/24(Sun) 21:27:30
☆ Re: ある中学入試の問題 / rino
ありがとうございます。よくわかりました。
No.9540 - 2010/01/25(Mon) 22:34:23
★ 収束or発散 / apfel
次のanについてΣanは収束するか？

an=sin(1/n)
an=sin^2(1/n)

よろしくお願いします
No.9525 - 2010/01/24(Sun) 15:49:34
☆ Re: 収束or発散 / 我疑う故に存在する我
正の定数 A, B が存在して
0 ≦ x ≦ 1 の時
Ax ≦ sin x ≦ Bx
となるから、比較判定法により、
前半は発散、後半は収束
No.9529 - 2010/01/24(Sun) 21:54:09
★ 方程式の解 / レイトン
一元三次方程式方程式はどのように求めるのでしょうか？
No.9521 - 2010/01/24(Sun) 12:22:07
☆ Re: 方程式の解 / ヨッシー
こちらをご覧ください。
No.9524 - 2010/01/24(Sun) 15:49:27
★ (No Subject) / レイトン
三乗根の求め方
No.9520 - 2010/01/24(Sun) 12:20:02
☆ Re: / ヨッシー
こちらをご覧ください。
No.9523 - 2010/01/24(Sun) 15:48:58
★ 特異二重積分 / １２３
∫∫dxdy/√(y-x)
(0≦x≦y≦1)
の積分についてy=xで無定義なのですが、どのように積分すればよいのでしょうか？？
No.9517 - 2010/01/24(Sun) 00:36:00
☆ Re: 特異二重積分 / X
広義積分として計算します。
(与式)=∫[x:0→1]∫[y:x→1]{1/√(y-x)}dydx
=∫[x:0→1]{lim[t→x+0]∫[y:t→1]{1/√(y-x)}dy}dx
=…
No.9518 - 2010/01/24(Sun) 05:39:16
★ 受験生 / nao
整数の２乗を７で割ったあまりは0.1.2.4.にかぎられることをしめせ

どのような整数ｎにたいしてもｎ＾２＋ｎ＋３は７で割
り切れないことを示せ


がぜんぜんわかりません
No.9512 - 2010/01/23(Sat) 19:41:56
☆ Re: 受験生 / X
一問目)
あまりスマートではないですが問題の整数をnとして
(i)n=7kのとき
(ii)n=7k+1のとき
(iii)n=7k+2のとき
(iv)n=7k+3のとき
(v)n=7k+4のとき
(vi)n=7k+5のとき
(vii)n=7k+6のとき
(いずれの場合もkは0または自然数)
に場合分けしてn^2を計算してみましょう。
No.9515 - 2010/01/23(Sat) 21:20:48
☆ Re: 受験生 / X
二問目)
n^2+n+3=n^2-6n+7n+3
=(n-3)^2+7n-6
=(n-3)^2+7(n-1)+1
と変形し一問目の結果を使います。
No.9516 - 2010/01/23(Sat) 21:32:17
★ (No Subject) / 微分
aを０でない実数とする。2つの曲線y＝eのx乗およびy=ax^2の
両方に接する接線の本数を求めよ。

お願いします
No.9509 - 2010/01/23(Sat) 10:53:28
☆ Re: / X
途中まで。

y=e^x (A)
よりy'=e^x
∴(A)上の点(t,e^t)における接線の方程式は
y=(e^t)(x-t)+e^t (B)
(B)と
y=ax^2 (C)
との交点のx座標について
(e^t)(x-t)+e^t=ax^2
∴ax^2-(e^t)x+(t-1)e^t=0 (D)
よって
「(D)の解の判別式をDとすると(B)(C)が接するためには
D=e^(2t)-4a(t-1)e^t=0 (E)」
∴問題はtの方程式(E)の実数解の個数を求めることに帰着します。
ここで(E)より
{e^t-4a(t-1)}e^t=0
e^t-4a(t-1)=0
∴(e^t)/{4(t-1)}=a
そこで
f(t)=(e^t)/{4(t-1)}
と置き、…

(接する条件として「」内の条件を使うことがこの問題を簡単に解くポイントだと思います。)
No.9513 - 2010/01/23(Sat) 21:16:17
★ (No Subject) / nao
円に内接する四角形ABCDにおいてAB-13　BC=14　CD=4　DA=13

４）線分ACとBDの交点をEとするとき線分AEのながさをもとめよ

AC=１５
sinABCの値１２/１３
四角形ABCDの面積１０８
No.9504 - 2010/01/22(Fri) 20:11:23
☆ Re: / 七
△ABEと△DCEは相似で相似比は13：4です。
No.9519 - 2010/01/24(Sun) 10:18:52
★ 三角関数 受験生 / nao
a=（2/５）πのときcos３a=cos2a
を示せ

２）cos（2/5）πの値をもとめよ


がわかりません

A+B+C＝π
sinA+sinB=2cos(c/2)cos(A-B)/2
の証明ができません
No.9503 - 2010/01/22(Fri) 20:07:37
☆ Re: 三角関数 受験生 / だるまにおん
cos(3a)=cos(6π/5)=cos(2π-4π/5)=cos(-4π/5)=cos(4π/5)=cos(2a)

cos(3a)=cos(2a)をcosaだけの式に変形すると、わかります。

sinA+sinB=2sin(A+B)/2*cos(A-B)/2 という公式を思いだしましょう。
No.9507 - 2010/01/23(Sat) 03:11:29
☆ Re: 三角関数 受験生 / nao
ありがとうございます
No.9511 - 2010/01/23(Sat) 19:39:06
★ (No Subject) / 受験生
方程式x^2-xy＋y^2=3の表す曲線をCとする。このとき、次の各問いに答えよ。

(1)曲線Cを原点の周りに-45℃回転した曲線の方程式を求め、それを利用して曲線Cの概形をかけ。

(2)曲線Cの第1象限にある部分が、x軸、y軸と囲む図形の面積を求めよ。
No.9501 - 2010/01/21(Thu) 18:28:46
☆ Re: / ヨッシー
(1)
回転前の座標を(X,Y)、回転後の座標を(x,y) とすると、
(X,Y) は(x,y) を45°回転した点なので、
　X=(√2x−√2y)/2
　Y=(√2x＋√2y)/2
(X,Y)は、曲線Ｃ上の点なので、
　X^2-XY＋Y^2=3
変形して (この変形は、代入を楽にするためのもので、別に
　　　　　元のまま代入しても構いません)
　(X+Y)^2-3XY=3
これに、上の変換式を代入して、
　(√2x)^2-3(x^2-y^2)/2=3
両辺２を掛けて
　4x^2-3x^2+3y^2＝６
　x^2+3y^2＝６
　x^2/6+y^2/2＝1
よって、Ｃは、この楕円を45°回転させたものになります。


(2)
求める部分は、右の図の青い部分ですが、これは、
中の図で、楕円と、ｙ＝ｘ、ｙ＝−ｘ で囲まれた部分になります。
これを、ｘ軸方向に1/√3 倍に縮めると、左の図のように
半径√2 の円と、y=√3x、y=−√3x になります。
つまり、青の部分は、中心角120°の扇形になります。
その面積は、2π/3 であり、√3倍して元に戻すと
　2π/√3
となります。
No.9522 - 2010/01/24(Sun) 15:42:49
★ 高１　２次関数 / あつき
よろしくお願いします。

放物線y=x^2を平行移動して、頂点がy=2x−5の上にくる
ようにした放物線をCとする。
Cとy軸との交点のy座標の最小値を求めよ。また、このときの
Cの方程式を求めよ。
No.9500 - 2010/01/21(Thu) 18:26:35
☆ Re: 高１　２次関数 / だるまにおん
頂点は(p,2p-5)とおける。よって
C:y=(x-p)^2+2p-5
Cとy軸との交点のy座標は
(0-p)^2+2p-5
なので、平方完成をすれば、最小値がわかります。
No.9508 - 2010/01/23(Sat) 03:40:14
☆ Re: 高１　２次関数 / あつき
よくわかりました！
ありがとうございました。
No.9514 - 2010/01/23(Sat) 21:16:22
★ 積分です / akasaka
問題
?@∫√(1-x^2)dx
?A∫{2x/(x^(2)+x+1)}dx
?B∫1/{x(1+x^(n))^2}dx
?C∫sin(logx)dx
?D∫{log(logx)}/xdx

答え
?@(1/2){x√(1-x^(2))+sin^(-1)x}+c
?Alog(x^(2)+x+1)-(2/√3)tan^(-1){(2x+1)/√3}+c
?B(1/n){1/(1+x^(n))+log|x^(n)/(1+x^(n))|}+c
?C(1/2)(sin(logx)-cos(logx))+c
?D(logx)log(logx)-logx+c

以上のものの計算式をお願いします
No.9499 - 2010/01/21(Thu) 17:21:44
★ こういうのを頭で考えることができません / 受験生
四辺の長さがそれぞれ６,５,４,３で少なくとも１つの内角が直角であるような四角形が何通りあるか？
またそのうち２つの内角が直角なものは何通りか？
また凸であるものは何通りか？
そして,これらすべての四角形のうち最小の面積はいくつか？

答えは上から　２０,２,１８,６です。
計算過程が知りたいです。
お願いします。
No.9498 - 2010/01/21(Thu) 16:52:03
★ 確率 / 弥里
入試の過去問です。
確率の問題について質問させて下さい。

目の出る確率が一様でないサイコロがある。
各目の出る確率は目の数に反比例する。このサイコロを振った時、偶数の目の出る確率は？

確率が一様でないサイコロについての問題をあまり解いたことがなかったので、目の出る確率が目の数に反比例する…からすでに良く分かりませんでした。
解答は５５／１４７になっていました。
解説お願いします。
No.9495 - 2010/01/21(Thu) 13:06:00
☆ Re: 確率 / らすかる
目の出る確率が目の数に反比例するということは、
1,2,3,4,5,6の出る確率の比が1：1/2：1/3：1/4：1/5：1/6に
なっているということです。
1の目の出る確率をkとおくと、合計の確率は1ですから
k+k/2+k/3+k/4+k/5+k/6=1 であり、求める確率は
k/2+k/4+k/6 となりますね。
No.9496 - 2010/01/21(Thu) 13:52:45
☆ Re: 確率 / 弥里
あ、、、解けた(≧▽≦)
らすかるさんありがとうございます。

まずはkを出してみて(k＝20/49)、k/2+k/4+k/6を足した11/12kに代入してみたら答えになりました。
だいじょうぶかな、これで・・・
入試が心配です＾＾；
No.9497 - 2010/01/21(Thu) 16:31:32
★ 確率 / 澪
箱の中に赤､青､黄の3色のｶｰﾄﾞが○それぞれ1枚ずつ入っている｡箱からｶｰﾄﾞを1枚取り出し､その色を確かめて箱の中に戻す｡この操作を4回行う｡
(1)4回とも同色のｶｰﾄﾞを取り出す確率を求めよ｡
(2)異なる2色のｶｰﾄﾞをそれぞれ2回ずつ取り出す確率を求めよ｡
(3)取り出したｶｰﾄﾞの色が全部でX種類であるとする｡X=2となる確率を求めよ｡また､Xの期待値を求めよ｡


○袋の中に､数字1が書かれた球が4個､数字2が書かれた球が2個､数字3が書かれた球が1個の計7個の球が入っている｡
(1)X=7である確率を求めよ｡
(2)Xが3の倍数である確率を求めよ｡
(3)Xの期待値を求めよ｡


計算式と答えをよろしくお願いします!
No.9494 - 2010/01/21(Thu) 11:02:05
★ 確率 / みゆ
1.
1､2､3､4､5の数字がそれぞれ1つずつ書かれた5個の赤玉と6､7の数字がそれぞれ1つずつ書かれた2個の白玉がある｡これらの7個の玉から何個かを取り出し､横一列に並べる｡

(1)7個の球すべてを一列に並べる｡左の5個が赤玉で右の2個が白玉である並べ方は全部で何通りあるか｡また､白玉が隣り合っている並べ方は全部で何通りあるか｡
(2)6個の球を一列に並べる｡両端が赤玉である並べ方は全部で何通りあるか｡
(3)5個の球を一列に並べる｡赤玉と白玉が交互に並ぶ並べ方は全部で何通りあるか｡また､白玉の両隣が赤玉である並べ方は何通りあるか｡


式と解答をお願いします!!
No.9493 - 2010/01/21(Thu) 10:51:04
★ お世話になります。 / 円錐
○○錐の体積を求める時に、1/3をする理由を簡単に証明しなさい。

中学１年生レベルでもわかるようなやり方をお願いします。
No.9490 - 2010/01/20(Wed) 22:25:37
☆ Re: お世話になります。 / 我疑う故に存在する我
確か（正確な記憶はないが）
http://www.nn.iij4u.or.jp/~hsat/
のサイトの何処かに分かり易い図が書いてあったと思うので、
http://6321.teacup.com/phaos/bbs
で質問してみる事をお薦めします。
No.9502 - 2010/01/21(Thu) 23:03:35
☆ Re: お世話になります。 / phaos
それは
http://phaos.hp.infoseek.co.jp/int1/volume.htm
の原論 第 12 巻命題 7 の図のことですか?
探したけれど他にそれらしいものが見つからない。

最近の小学校では立方体の対角線を引いて出来る六つの四角錐を利用するという方法を取っている人がいると聞いたことがあります。

もう一つ, 私が小学生の時は, 円錐形の容器と同じ高さの円筒形の容器を用いて, 水を三杯汲んで, ほら三倍でしょう? という指導を受けたことがあります。

何れにしても, 一般の錐に拡張するにはカバリエリの原理を用います。
No.9510 - 2010/01/23(Sat) 17:33:01
☆ Re: お世話になります。 / 我疑う故に存在する我
phaos さん

>の原論 第 12 巻命題 7 の図のことですか?
そうでした。

>円錐形の容器と同じ高さの円筒形の容器を用いて, 水を三杯汲んで,
私もそうでした。但し円錐ではなくて何故か四角錐だったが。
No.9528 - 2010/01/24(Sun) 21:51:35
☆ Re: お世話になります。 / 円錐
ありがとうございました。
No.9530 - 2010/01/24(Sun) 23:39:54
★ ベクトル / かなこ
もう1問お願いします。

OA=√3,OB=1,∠AOB=30∘である△OABがあり、
辺ABを3：1に内分する点をCとする。
また、→OA(OAベクトル)=→a(aベクトル)、
→OB(OBベクトル)=→b(bベクトル)とおく。

(1) 内積→a⋅→bの値を求めよ。また、→OCを→a,→b
　　を用いて表せ。

(2) 直線OC上に→OP=k→OC(kは実数)となる点Pをとる。　　
　　OC⊥APとなるとき、kの値を求めよ。

(3) (2)のとき、直線AP上にOA‖BQとなる点Qをとる。
　　→OQを→a,→bを用いて表せ。

(2)で力つきてしまいました。
どなたか回答お願いします。
No.9485 - 2010/01/20(Wed) 21:23:53
★ logをふくむ方程式 / かなこ
高校2年です。
2006年の模試の問題だそうです。

方程式
(log［3］x)^2-log［3］9x+k-log［3］27=0(kは定数)…?@
がある。

(1) log［3］27の値を求めよ。
　　また、log［3］9xをlog［3］xで表せ。

(2) k=-7のとき、方程式?@を解け。

(3) 方程式?@が異なる2つの実数解α、βをもち、β=α^3
を満たすとき、kの値を求めよ。

(1)は『3』と『log［3］x+2』
(2)は『81と1/27』

になりました一応。
間違ってたらご指導お願いします。
(3)に関しては判りませんでした

宜しくお願いします
No.9484 - 2010/01/20(Wed) 21:12:20
☆ Re: logをふくむ方程式 / X
(1)(2)
答えはそれで問題ありません。
(3)
xをそのまま使うと扱いにくいので置き換えをします。
log[3]x=t
と置くと問題の方程式は
t^2-t+k-5=0 (A)
一方
β=α^3
より
log[3]β=log[3]α^3
∴log[3]α=a,log[3]β=b
と置くと
a=3b (B)
ここでα,βは問題の方程式の解ですので
a,bはtの２次方程式(A)の解。
よって問題はtの２次方程式(A)の解a,bが(B)を満たすときの
kの値を求めることに帰着します。

こちらの計算では
k=83/16
となりました。
No.9489 - 2010/01/20(Wed) 22:18:09
☆ Re: logをふくむ方程式 / 地下水
(1),(2)は合っています。
(3)は、X=log[3]xとおいて、与式はX^2-X+k-5=0。
異なる2解を持つので、判別式より、0<1-4(k-5)、よって、
k<5+1/4･･･?@
X1=log[3]α, X2=log[3]α^3=3log[3]α=3･X1。この2解を持つので、(X-X1)(X-3･X1)=0、よって、X^2-4･X1･X+3･(X1)^2=0
与式と係数比較して、X1=1/4,k=5+3/16･･･?A
?@、?Aより、k=5+3/16
No.9491 - 2010/01/20(Wed) 22:30:03
☆ Re: logをふくむ方程式 / かなこ
ありがとうございました。
お二方の回答を参考に考えてみますね。
No.9492 - 2010/01/21(Thu) 03:33:05
★ 式の変形 / ラビ
中学三年生です。入試の過去問です。
底面の半径がr、高さがhの円柱の表面積が4πであるとき、hをrで表しなさい。
解答は、2-r2/r なのですが、僕の答えは、2/r-r2/rになりました。この答えでもあっているか教えてください。（ｒについている2は二乗です。）よろしくお願いします。
No.9483 - 2010/01/20(Wed) 21:00:26
☆ Re: 式の変形 / 地下水
表面積は、2πr^2+2πrh=4π。これより、
h=(4π-2πr^2)/(2πr)=-r+2/r。
No.9487 - 2010/01/20(Wed) 22:05:51
☆ Re: 式の変形 / ラビ
ありがとうございます。もう一度やってみます。
No.9488 - 2010/01/20(Wed) 22:13:36
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