極限に関する問題です。少し訊きたいことが多くて申し訳ないのですが、
参考書によって描き方が違って異なるので、どうか間違いがあったら指摘願いします。
問. lim[x→∞]{√(4x^2 + 3) - (ax + b)} = 0が成り立つように定数a, bを定めよ.
(以下、[x→∞]は省略させて頂きます。)
通常の解法では、
(解答) P = √(4x^2 + 3) - (ax + b)とする.
lim√(x4^2 + 3) = ∞なので, a > 0である必要がある.
P = (分子の有理化)
= {(4 - a^2)x - 2ab + (b^2 + 3)/x}{√(4 + 3/x^2) + a + b/x}
lim Pが収束する為には, 4 - a^2 = 0であることが必要.
ゆえに, a = 2 (∵a > 0)
このとき,
lim P = -2・2b/(2 + 2) = -b = 0 …… #1
従って, b = 0
因って, a = 2, b = 0 ■
なのですが、此の後にa = 2, b = 0をPに代入して再び
lim P = 0となることを確認する参考書もあります。
大学への数学やチャート式、教科書は勿論確認をしていないのですが、
FOCUS UP、本質の演習では確認がしてありました。(研究はいませんでした)
この確認は必要なのでしょうか?
個人的には、#1で既に収束する値が0であることを使ってbを求めているので、
a, bがこの値の時に収束することは当たり前で、要らないと思うのですが……。
そして、もう一つ一番最初にした解答の方なのですが誤りはありますでしょうか?
(解答) P = √(4x^2 + 3) - axとする.
x→0の時, 題意を満たす為にはPが収束する必要があり, a > 0である.
このとき,
(lim[x→α]f(x) = a, lim[x→α]g(x) = bとなるa, bが共に存在するとき,
lim[x→α]{f(x) + g(x)} = lim[x→α]f(x) + lim[x→α]g(x) = a + bを利用して, )
lim P = lim b = b
lim P = (分子の有理化) = lim {(4 - a^2)x + 3/x}/{√(4 + 3/x) + a}
これが収束する為には, 4 - a^2 = 0 ∴ a = 2 (∵a > 0)
このとき, lim P = lim {(4 - a^2)x + 3/x}/{√(4 + 3/x) + a}
= lim (3/x)/{√(4 + 3/x) + 2} = 0/(2 + 2) = 0 = b
従って, a = 2, b = 0 ■
極限を分離してもよいのは教科書に書いてありましたが駄目でしょうか……?
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No.8917 - 2009/11/20(Fri) 20:00:36
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