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★ 確率 / かな
３個のサイコロを同時に振るとする。


出る目の最大値をＭ
最小値をｍとする。
Ｍーｍ＝ｋとなる確率Ｐk（０≦ｋ≦５）を求めよ。ただし
ｋ≧２の計算には次の事項を用いてよい


出る目の数はｍ、ｍ＋ｋの２種類のみの場合とｍ、ｍ＋ｋ、ｍ＋ｉ（１≦ｉ≦ｋー1）の３種類のいずれかである。


１≦ｍ≦6−ｋである。


お願いします。
No.8579 - 2009/10/25(Sun) 22:26:09
☆ Re: 確率 / ヨッシー
すべての目の出方は６×６×６＝２１６(通り)なので、
それぞれの場合の数が出れば、２１６で割れば確率になります。

ｋ＝０　１から６の６通り
ｋ＝１　１と２の出方が　112,121,211,122,212,221 の6通り、
　これが、２と３，３と４，４と５，５と６についても同じだけ存在するので
　5×6＝30(通り)
ｋ＝２　数字が２種類の場合、１と３，２と４，３と５，４と６の
　４通りに対して６通りの出方があるので、４×６＝２４(通り)
　数字が３種類の場合　123,234,345,456 の４通りの目に対して、
　目の出方は３！＝６(通り)で、４×６＝２４(通り)
　あわせて　４８通り
ｋ＝３　数字が２種類の場合　１と４，２と５，３と６の
　３通りに対して６通りの出方があるので、３×６＝１８(通り)
　数字が３種類の場合、124,134,235,245,346,356 の６通りの目に対して、
　目の出方は３！＝６(通り)で、６×６＝３６(通り)
　あわせて　５４通り
Ｋ＝４　数字が２種類の場合　１と５，２と６の
　２通りに対して６通りの出方があるので、２×６＝１２(通り)
　数字が３種類の場合、125,135,145,236,246,256　の６通りの目に対して、
　目の出方は３！＝６(通り)で、６×６＝３６(通り)
　あわせて　４８通り
Ｋ＝５　数字が２種類の場合　１と６の
　１通りに対して６通りの出方があるので、１×６＝６(通り)
　数字が３種類の場合、126,136,146,156　の４通りの目に対して、
　目の出方は３！＝６(通り)で、４×６＝２４(通り)
　あわせて　３０通り
No.8580 - 2009/10/25(Sun) 23:06:32
☆ Re: 確率 / かな
ありがとうございます。
助かりました。
No.8581 - 2009/10/25(Sun) 23:13:24
★ 微分の問題？ / mina
高校2年です
曲線C:y=x^3-3x^2と点ｐ(p､0）がある。ただし０≦p≦3である。
（１）点P(p､0)から曲線Cに三本の接線がひけるようなpの値の範囲を求めよ
（２）（１）のとき３つの接点のうちx座標が最大のものをAとする。pが動くとき点Aのx座標のとり得る値の範囲を求めよ

という問題がわかりません・・・
解説お願いします
No.8576 - 2009/10/25(Sun) 21:00:43
☆ Re: 微分の問題？ / rtz
http://www3.rocketbbs.com/603/bbs.cgi?id=aoki&mode=res&resto=9496
で書いたとおりですので控えていただくようお願いいたします。
No.8577 - 2009/10/25(Sun) 21:47:54
☆ Re: 微分の問題？ / ヨッシー
まぁ、自分の努力で掲示板の過去問を探るのは自由です。
ここにあるか、青木さんのところかは忘れました。
No.8578 - 2009/10/25(Sun) 22:20:33
★ ベクトル / ゆりか


またまた質問失礼します。


Oを原点とする座標空間に
2点 A(2、-3、-2)
B(3、-1、-3) がある 。

Oを通り、
ベクトル(-1、2、3) に
平行な直線をlとし、
Aからlに下ろした
垂線の足をHとする 。


1) Hの座標を求めよ
2) lは平面ABHに垂直であることを示せ
3) Pをl上の点とする。
四面体POABの体積が7となるようなPの座標を求めよ



教えてください。

お願いします。
No.8573 - 2009/10/25(Sun) 15:22:02
☆ Re: ベクトル / 七
1）Hはｌ上の点ですからHの位置ベクトル(座標)は実数kを用いて
k(-1,2,3）と表すことができます。
AHベクトルと（-1,2,3）が垂直ですから
（内積）＝0
でｋを求めることはできませんか？
2）AH⊥ｌですから
もうひとつAB⊥ｌまたはBH⊥ｌを示せばいいと思います。
3）四面体OABHの体積を求めて７より小さければAHの延長上にPを考えてOABH+PABH=7になるようにPを定めればよいし、7より大きければ線分AH上にPを考えてOABH-PABH=7になるように、
７であればP=Hとすればいいのでは？

以上思いついたままを書いてみました。
No.8574 - 2009/10/25(Sun) 16:31:39
☆ Re: ベクトル / 七
点Pは前のレスの逆の方向にも考えなければなりませんでしたね。
No.8575 - 2009/10/25(Sun) 17:15:14
☆ Re: ベクトル / ゆりか

ありがとうございました★

助かりました^^
No.8582 - 2009/10/26(Mon) 15:53:32
☆ Re: ベクトル / ゆりか

すみません 。
3)もっと詳しく
教えてください。
No.8584 - 2009/10/26(Mon) 17:32:35
☆ Re: ベクトル / 七
A(2、-3、-2)
B(3、-1、-3)
[OB]をOBベクトル、|OB|をその大きさ　というふうに書きあらわします。
[AH]＝k(-1,2,3)−(2,-3,-2) これと（-1,2,3）が垂直ですから
{k(-1,2,3−(2,-3,-2)}・(-1,2,3)＝0
14k−(−14)＝0、よってk＝−1
したがってH(1,-2,-3), |OH|＝√14,
[HA]=(1,-1,1), |HA|^2=3,
[HB]=(2,1,0), |HB|^2=5, [HA]・[HB]＝1
したがって△HAB＝(1/2)√(3・5−1^2)＝(1/2)√14
四面体O-HAB＝(1/3)・(1/2)√14・√14＝7/3
…
よって|OP|＝3|OH|であればよいから
[OP]＝±3[OH]＝±3(1,-2,-3)
よってP(3,-6,-9)またはP(-3,6,9)
No.8595 - 2009/10/27(Tue) 08:35:19
☆ Re: ベクトル / ヨッシー
七さんの No.8574 の記事の 3) にある２箇所の AH は OH の
書き間違いでしょう。

四面体ＨＯＡＢにおいて、△ＡＢＨを底面とすると、ＯＨが高さになります。
一方、四面体ＨＰＡＢにおいて、△ＡＢＨを底面とすると、ＰＨが高さになります。
よって、四面体ＰＯＡＢの体積は、
　△ＡＢＨ×(ＯＨ±ＰＨ)÷３
で求められます。複合は、ＰがＨよりもＯに近い位置にあるなら負、
遠ければ正です。（ＰがＨと同じ側にある場合）

別の方法として、Ｐの座標を(-k,2k,3k) とおくと、
平面ＯＡＢの式は ｘ＋ｚ＝０ (ｙは任意)　であり、
△ＯＡＢの面積は、7√2/2 なので、Ｐまでの高さが 6√2 であれば、
体積７になるので、平面までの距離の公式より
　|-k+3k|/√2＝6√2
より、ｋを求めます。
No.8596 - 2009/10/27(Tue) 08:50:54
☆ Re: ベクトル / 七
> 七さんの No.8574 の記事の 3) にある２箇所の AH は OH の
> 書き間違いでしょう。

そのとおりです。混乱させてしまったようですね。すみません。

ついでに
ヨッシーさんの
> △ＯＡＢの面積は、7√2/2 なので、Ｐまでの高さが 6√2 であれば、…
の部分は
「Ｐまでの高さが 3√2…」
ですよね。
No.8597 - 2009/10/27(Tue) 09:12:29
☆ Re: ベクトル / ヨッシー
あ、そうです。
３を掛けるだけで良かったのでした。
三角錐のときのクセで、６を掛けてしまいました。

その下の式も、当然、
　|-k+3k|/√2＝3√2
です。
No.8598 - 2009/10/27(Tue) 14:09:26
☆ Re: ベクトル / ゆりか


わかりました !

丁寧にありがとうございました^^


No.8608 - 2009/10/28(Wed) 09:57:31
★ 極限の計算 / Kay(高２女子)
関数の極限の計算です。
模範解答では、x=-t とおいて、lim_[t→∞]f(x) となるように変形しています。


x=-tなどとおかずに、そのまま計算すると、
lim_[x→-∞]{√(x^2+1)+x}
=lim_[x→-∞][{√(x^2+1)+x}{√(x^2+1)-x}/{√(x^2+1)-x}]
=lim_[x→-∞][x^2+1-x^2/{√(x^2+1)-x}]
=lim_[x→-∞][1/{√(x^2+1)-x}]
=lim_[x→-∞][(1/x)/{√(1+1/x^2)-1}]
となります、
ここで、分子が、lim_[x→-∞](1/x)=0　ですから、
分数全体としても、0 と考えました。

すると、与式=0 となります。
しかし、このとき、分母lim_[x→-∞]{√(1+1/x^2)-1} も0 になってしまうので、分数として成り立ちません。

やはり、模範解答のように、いったん置き換えなければならないでしょうか。

よろしくお願いします。













x→−∞のときに、例えばlim(x→=-t　
No.8570 - 2009/10/25(Sun) 13:17:58
☆ Re: 極限の計算 / 雀
lim_[x→-∞][1/{√(x^2+1)-x}]
ここの時点で1/∞なので次の式変形はいらないかと思います。



＞=lim_[x→-∞][1/{√(x^2+1)-x}]
＞=lim_[x→-∞][(1/x)/{√(1+1/x^2)-1}]
ここの式変形ですが、

√{(x^2)+1}
=√{x^2(1+1/(x^2))}
={√(x^2)}{√{(1+1/(x^2))}
x<0より
=-x{√{(1+1/(x^2))}
になるので
lim[x→-∞]1/{√{(x^2)+1)-x}
=lim[x→-∞](-1/x)/{√(1+1/x^2)+1}
となります。
No.8571 - 2009/10/25(Sun) 14:35:59
☆ Re: 極限の計算 / Kay(高２女子)
大変分かり易く簡潔な説明ありがとうございます。
lim_[x→-∞][1/{√(x^2+1)-x}]
ここの時点で1/∞なので、ここで終わってしまって大丈夫ですね。

また、以下の部分も一々納得して読み込みました。
＞=lim_[x→-∞][1/{√(x^2+1)-x}]
＞=lim_[x→-∞][(1/x)/{√(1+1/x^2)-1}]
ここの式変形ですが、

√{(x^2)+1}
=√{x^2(1+1/(x^2))}
={√(x^2)}{√{(1+1/(x^2))}
x<0より
=-x{√{(1+1/(x^2))}
になるので
lim[x→-∞]1/{√{(x^2)+1)-x}
=lim[x→-∞](-1/x)/{√(1+1/x^2)+1}
No.8587 - 2009/10/26(Mon) 20:30:41
★ (No Subject) / 匿名
ディオファンスで検索してみたら全く同じ問題が出ていました。
ありがとうございます。
No.8569 - 2009/10/25(Sun) 11:04:22
★ 分数とXを使った年齢算の問題です / 匿名
こんばんは、はじめまして。

ディオファンストは６分の１を少年として過ごし、その後、一生の１２分の１たってからひげを伸ばした。
さらに、一生の７分の１たって結婚し、５年後に子供が生まれた。この子供は父の一生半分だけ生き、父より４年前にこの世を去った。このとき、ディオファンストは何歳まで生きたか求めよ。
と言う問題なのですがどうやって解けばいいのか分かりません。
どなたかいましたらご指導をお願いします。
No.8566 - 2009/10/24(Sat) 23:20:12
☆ Re: 分数とXを使った年齢算の問題です / rtz
パズルの本に載るほど有名なので、
そのままディオファントスで検索した方が早いでしょう。
No.8567 - 2009/10/25(Sun) 01:42:55
☆ Re: 分数とXを使った年齢算の問題です / ヨッシー
Google の「もしかして」で引っかかるかと思いましたが、
ダメでした。

正確に、ディオファントス　で検索しましょう。
(rtz さんの綴りが正しいです)
No.8568 - 2009/10/25(Sun) 07:28:43
☆ Re: 分数とXを使った年齢算の問題です / rtz
今、字綴りの間違いに気付きました…。
No.8572 - 2009/10/25(Sun) 15:13:39
★ 数学Ｃ / 立花

今晩は!

数Cの2次曲線の範囲で、
円 x^2＋(y+3)^2=4に外接し、直線y=1に接する円の中心Pの軌跡の方程式を求めよ。
というものなのですが、どこから手をつけていいのかもわかりません…。

どなたかご指導宜しくお願いします。
No.8564 - 2009/10/24(Sat) 22:04:11
☆ Re: 数学Ｃ / rtz
同心円同士が外接⇔2円の中心間の距離が、それぞれの半径の和に等しい
を利用します。

中心座標を文字で置く際、半径と中心のy座標の関係も注意しましょう。
No.8565 - 2009/10/24(Sat) 22:14:02
★ 逆関数の問題です / kakimoto
※f(x)はfと書かせてもらいます。

　f=tan^(-1)Xのとき
　
〈1〉(X^(2)+1)f'=1 を示せ
〈2〉(X^(2)+1)f^(n+1)+2nXf^(n)+n(n-1)f^(n-1)=0 を示せ
〈3〉f^(n) を求めよ

〈2〉はライプニッツの公式というのを使って解くと聞きましたがライプニッツの公式というのも理解できていないので教えて下さい。
　よろしくお願いします。
No.8551 - 2009/10/23(Fri) 13:37:31
☆ Re: 逆関数の問題です / ヨッシー
ライプニッツの公式は二項定理に似ています。
関数の積で表される関数　h(x)＝f(x)g(x) があるとします。

h'(x)＝f'(x)g(x)＋f(x)g'(x)
h"(x)＝f"(x)g(x)＋２f'(x)g'(x)＋f(x)g"(x)
　・・・
h(n)(x)＝f(n)g(x)＋nＣ1f(n-1)g'(x)＋・・・nＣrf(n-r)(x)g(r)(x)＋・・・＋nＣn-1f'(x)g(n-1)＋nＣnf(x)g(n)(x)
というものです。
No.8552 - 2009/10/23(Fri) 14:43:34
☆ Re: 逆関数の問題です / ヨッシー
(1)
　y=f(x)＝tan-1ｘ
とおくと、
　ｘ＝tanｙ
逆関数の微分より
　dy/dx＝1/(dx/dy)
　dx/dy＝(cos2ｙ＋sin2ｙ))/cos2ｙ
　　＝１＋tan2ｙ
　　＝１＋ｘ2
であるので、
　dy/dx＝1/(１＋ｘ2)
これより、dy/dx＝f'(x) とおくと、
　f'(x)＝1/(１＋ｘ2)
　(ｘ2＋１)f'(x)＝１

(2)
h(x)＝f'(x)(x2+1) とおきます。これを、ｎ回微分すると、
ライプニッツの公式より
　h(n)＝f(n+1)(x)(x2+1)＋nＣ1(x2+1)’f(n)(x)＋nＣ2(x2+1)”f(n-1)(x)＋nＣ3(x2+1)(3)f(n-2)(x)・・・
となりますが、第４項以降は、(x2+1)(k) （k=3,4,5・・・n）が０になるので、結局、
　h(n)＝f(n+1)(x)(x2+1)＋nＣ1(x2+1)’f(n)(x)＋nＣ2(x2+1)”f(n-1)(x)
　　＝f(n+1)(x)(x2+1)＋n・2x・f(n)(x)＋n(n-1)/2・2・f(n-1)(x)
　　＝(x2+1)f(n+1)(x)＋2nxf(n)(x)＋n(n-1)f(n-1)(x)
となります。
No.8554 - 2009/10/23(Fri) 15:15:56
☆ Re: 逆関数の問題です / kakimoto
ヨッシーさんありがとうございます。

　完璧からはほど遠いですがライプニッツの公式が何となくつかめた気がします。
　
〈3〉は解けそうなので頑張ります。
No.8562 - 2009/10/24(Sat) 11:42:39
★ どこかの中学入試の問題です / ゆき
次の問題の問２の考え方がしっくりきません。ただ単にずらして考えるしか方法はないのでしょうか？
問１は４種類だと思うのですが、問２はどこまでを言うのかよくわからず…。とりあえずわかる範囲で書き出してみたら、14種類はできました。それ以上あるのか、または違うのか、合ってるのかもわからないのですが、良い考え方がありましたら教えてください。
No.8542 - 2009/10/22(Thu) 22:13:28
☆ Re: どこかの中学入試の問題です / らすかる
多分、あり得る組合せを一つずつ当てはめて作っていって、
同じ形になったら削除する、という
試行錯誤しかないと思います。
私も書き並べてみたら４種類と１４種類になりました。
No.8545 - 2009/10/22(Thu) 23:59:27
★ 高2進研模試(7月)の問題 / ハオ
著作権の観点から問題を掲載する事は違法との事ですが、試験基準日から日が経ちましたので問題を掲載させて頂きます。もし、問題がある様でしたら即刻削除させて頂きます。
2つの3次方程式(x-1){x^2+(a+3)x+3}=0---?@
x^3+(a+4)x^2+4x+b=0---?Aがある。但しa,bは実数の定数とする。
(1)x=2iが?Aの解である時、?@の解がすべて実数であり?@,?Aがただ1つの共通な解をもつとする。このときaの値、および?@と?Aに共通な解を求めよ。

模範解答ではaの存在範囲を求めたあとbをaで表し
(b=4a+16)その値を?Aに代入その式---?A'がx=2i,-2iを解に持つので?A’はx^2+4で割り切れる。
よって?A'⇔(x+a+4)(x^2+4)=0これより実数解はx=-a-4に定まる。として解いていっています。

僕はこの手の定石、共通解をαとおいて?@に代入。
α=1,-(a+3)±√(a^2+6a-3) /2
(i)α=1の時a=-5（不適)
ここでα=-(a+3)+√(a^2+6a-3) /2---?Bを代入するのは酷なので?Aにおいて根と係数の関係よりαとmの関係を導き
?Bとの連立方程式で解きました。

ここで質問なのですが、よく高次方程式の問題で与えられた高次方程式を思いも寄らぬ式（丁度割り切れる式）で割り正解に到達する模範解答を見るのですが、その様な発想は理不尽ではありませんか？
共通解＝αと置く方針で解けない問題はありますか？
No.8536 - 2009/10/22(Thu) 21:21:58
☆ Re: 高2進研模試(7月)の問題 / ast
お書きになられている内容からは, 模範解答は素直に因数定理を利用して余分な因子を取り除いて話を整理することができているというふうに窺えるため, 一体ハオさんはどの辺りを「思いもよらぬ」・「理不尽」と評されているのかがどうもピンと来ません (むしろハオさんの実力からすると思いもよらないということは考えにくい).

お手間をとらせることになって申し訳ないのですが, 因数定理を利用すれば上手くいきそうだ, 因数定理を利用したらどうやらうまくいった, という発想や論理展開のどの辺が理不尽と感じるのかもう少し詳しく説明していただけませんか?

# 基本的に指導要領を逸脱することができない受験数学では,
# 因数分解が可能であるか複二次式のように
# 本質的に二次以下の簡単な式に帰着して考えることができるもの以外の
# 高次方程式を扱うことが実質的に禁止されています.
# ゆえに, そのような帰着を志向するのはむしろ自然なものといえませんか.
No.8544 - 2009/10/22(Thu) 23:33:58
☆ Re: 高2進研模試(7月)の問題 / ハオ
astさん、態々有難う御座います。正直申しますと、相手にされないのでは？と心配でした。

因数定理を利用する方針はとても高貴な解答であると僕自身思います。次数を下げるというのはとても大切な考え方であるとも思います。しかし、コレ又Benesse関係の問題で
P(x)=x^3-x^2+(2-4a^2)x+5a(aは正の定数)がある。
(1)x=1+iの時のP(x)の値をaを用いて表せ。
という問題がありました。

僕は計算ゴリ押しで解きました。然程煩雑な計算には思えなかったので。
しかし解答では、P(x)をx^2-2x+2で割ると
P(x)=(x^2-2x+2)(x+1)+(2-4a^2)x+5a-2
ところでx=1+iの時x^2-2x+2=0なので
P(1+i)=(2-4a^2)(1+i)+5a-2
と概要はこの通りです。
しかし、僕の洞察力が至らないのかx^2-2x+2で割る理由も分かりません。しかし何か問題作成者の頭だけに帰結している様にとても感じました。それ以来高次方程式は定石だけで解くようになってしまいました。
No.8555 - 2009/10/23(Fri) 17:22:56
☆ Re: 高2進研模試(7月)の問題 / ToDa
例えば、剰余定理や因数定理を習う際の基本的な練習問題で

多項式P(x)について、P(x)を(x-2)で割ると余りは1で、(x-3)で割ると余りは2であるという。
このとき、P(x)を(x^2-5x+6)で割った余りを求めよ。

といった問題がよくあります。で、これまた基本的な解答例としては、
P(x)を(x^2-5x+6)(=(x-2)(x-3))で割った商をQ(x)とすると、
P(x)=(x-2)(x-3)Q(x) + ax + bのように置けるから…

といった感じで、次数を下げるようになっています。こんな感じで次数下げの威力を知るわけです。

で、

:P(x)=x^3-x^2+(2-4a^2)x+5a(aは正の定数)がある。
:(1)x=1+iの時のP(x)の値をaを用いて表せ。

この問題の場合、直接代入してはならないと言われているわけでもないので、別にそうやって解いてもいいのですが、それだと時間が掛かるしミスもするでしょう。そういうわけで、何か別の方法はないかと考えます。少なくとも、出題者は私たちの処理能力や忍耐強さを試しているわけではないのだろうと私なら考えます。

そして、次数を下げたらよさそうだと考えるのですが、じゃあ何で割ってみようかということで、{x-(1+i)}を因数に持つ二次式を引っ張り出すことになるのですが、その二次式に複素数が含まれたままだと割り算の段階でパニックに陥ってしまうので、実数係数のものを考えれば都合がよいわけです。

……などという事を考えた末に、{x-(1+i)}{x-(1-i)}=x^2-2x+2が出てくるのはさほど不自然でもないと思うのですが、どうでしょうか。
No.8556 - 2009/10/23(Fri) 18:03:17
☆ Re: 高2進研模試(7月)の問題 / phaos
i を消そうと思って
x = 1 + i
x - 1 = i
(x - 1)^2 = i^2
x^2 - 2x + 1 = -1
x^2 -2x + 2 = 0
と考えているんではないのだろうか。
結果としては ToDa さんと同じ事になるのだが。
No.8557 - 2009/10/23(Fri) 18:20:32
☆ Re: 高2進研模試(7月)の問題 / ハオ
成程です。僕の考えが至らなかった様です。
今後は上記の事を頭に入れたうえで問題に当たってみようと思います。
No.8558 - 2009/10/23(Fri) 18:29:24
☆ Re: 高2進研模試(7月)の問題 / ast
既に解決済みの状況で蛇足になりますが,

ToDa さんがお書きになっていることと本質的に同じことなのですが, P(x) が x の多項式で x = α のときの P(α) を求めよといわれたときに, 剰余定理 "P(x) を x − α で割ったときの余りは P(α)" を思いつくようにはなっておいたほうがよいと思います. 剰余定理は割る多項式を高次にしたバージョンもあって, それは例えば "P(x)=Q(x)(x − α) + R(x) と書けるならば P(α) = R(α) となる" というような形に述べることができます.

また, phaos さんの仰ることと重なるかもしれませんが, 受験数学で扱う無理数や複素数は必ず "整数係数の二次の多項式" の根として得られるものばかりなので (特に複素数は自身の共軛複素数との和・積が実数になるため必然的にそうなります), このような代入を必要とする作業の中で複雑な多項式を "二次式で割る" という操作は受験数学の世界では王道といっても言い過ぎではないくらいの定石ではないかと感じます. まあ, たとえば 1 の虚立方根 ω などだと x^2 + x + 1 の根と考えるよりは ω^3 = 1 のほうが簡素な式なので使い勝手が良かったりはしますが.
No.8560 - 2009/10/23(Fri) 20:45:35
☆ Re: 高2進研模試(7月)の問題 / ハオ
astさん、蛇足などとは思いません程の的を得たアドバイス有難う御座います。明日は模試なので頑張ります。
No.8561 - 2009/10/23(Fri) 21:30:24
★ 積分 / taku
放物線y=x^2と円x^2+(y-3/4)^2=1が２点A,Bで接するものとする。放物線と円で囲まれた部分（円の内部を除く）をy軸の周りに回転してできる立体の体積を求めよ。

これで、y=x^2とABで囲まれる部分の回転体の体積から円とABで囲まれる部分のそれを引くというのはわかっています。

円とABで囲まれる部分の回転体の体積Vについて
円の中心をCとすると角ACBが１２０度になるから、
球の回転体の体積を求め、それを３分の一して
それから円錐の体積を引くというやり方でしたのですが
何回やっても答えが合いません。なぜでしょうか。

V＝(4π・1^3)/3×1/3ー((√３/2)^2)・π・1/2・1/3
としたのに答えが合わないのです。

実際の答えは(5/24)πとなっています。

どなたかどうかよろしくお願いします。
No.8529 - 2009/10/22(Thu) 20:40:26
☆ Re: 積分 / ヨッシー
これら、放物線と円は接しません。

No.8532 - 2009/10/22(Thu) 21:09:16
☆ Re: 積分 / X
恐らく円の方程式をタイプミスしているものと思いますが
そのように解釈して接すると仮定しても、円錐を取り除く前の
立体の体積を、元になっている球の体積の1/3としているところ
が誤りです。
(このようにする根拠がわかりませんが。)

問題の、取り除きたいレンズ型の回転体の体積ですが
恐らくtakuさんは√を用いた関数の積分を学習されていないと思いますので
この立体だけ抜き出して別の方法で計算しましょう。

今、
円C:x^2+y^2=1 (A)
を考え、この上の点
D(1/2,√3/2),E(1/2,-√3/2)
を考えます。
このとき線分DE,弧DEで囲まれた図形をx軸の周りに回転させて
できる回転体の体積をVとすると、Vは件のレンズ型の回転体の
体積と等しくなります。
(注：∠DOE=120°)
さてVの計算方法ですが(A)より
y^2=1-x^2
ですので
V=∫[1/2→1](πy^2)dx
=∫[1/2→1]π(1-x^2)dx
=…
No.8533 - 2009/10/22(Thu) 21:09:48
☆ 訂正です。すみません。 / taku
y=x^2と円x^2+(y-５/4)^2=1でした。
No.8534 - 2009/10/22(Thu) 21:13:01
☆ Re: 積分 / taku
角ACBが１２０度になるので球の３分の１じゃないんですか？
（３６０÷１２０＝３）
No.8535 - 2009/10/22(Thu) 21:18:04
☆ Re: 積分 / ヨッシー
↓この図も誤り

回転させるのは、図の部分ですから、球は出てきません。
誤りです。

↓この図が正解
No.8537 - 2009/10/22(Thu) 21:27:04
☆ Re: 積分 / X
>>takuさんへ
扇形ACBの面積ならば円Cの面積の1/3となりますが
扇形ACBをy軸の周りに回転させてできる回転体の体積は
円Cをy軸の周りに回転させてできる球の体積の1/3
とはなりません。
No.8533での方針によって求めたレンズ型の回転体の体積と
件の円錐の体積の和をとって、球の体積と比較してみて下さい。

>>ヨッシーさんへ
回転軸はx軸ではなくy軸では？。
No.8541 - 2009/10/22(Thu) 21:55:56
☆ Re: 積分 / taku
扇形ACBの面積ならば円Cの面積の1/3となりますが
扇形ACBをy軸の周りに回転させてできる回転体の体積は
円Cをy軸の周りに回転させてできる球の体積の1/3
とはなりません。
について

計算したら確かに違うようですが、
図形的には1/3でいいと思うのですが。。
No.8543 - 2009/10/22(Thu) 22:32:51
☆ Re: 積分 / ヨッシー
あれ、ｙ軸でしたね。
失礼しました。
No.8546 - 2009/10/23(Fri) 06:47:18
☆ Re: 積分 / X
>>takuさんへ
よくありません。
takuさんが球の体積の1/3でよいとする根拠を教えて
もらえないでしょうか？
底面が平面図形である角錐なら、同じ底面、高さの角柱の体積の
1/3になることは理解できますが、問題の立体は底面が
曲面ですので角錐とはいえず(円錐ともいえません)
体積が1/3とはならないと思います。
No.8547 - 2009/10/23(Fri) 09:25:39
☆ Re: 積分 / ToDa

「図形的には〜」というのは感覚的な理解なのでしょうけれど、この感覚的な理解というやつが厄介で、「〜だから違うのだ」と教えられたところでどうにも受け容れられず、従来の感覚の方を信じてしまいたくなることもあります。結局、しっかりと自分の頭で理解した上でそれまでの自分の感覚を否定するしかないんですね。

そういったわけで考えるヒント。



●=60°で、円の半径を1とします。このとき、黄色の部分を赤い線を軸として回転させた立体の体積はいくつになるでしょうか。また、それが半径1の球の体積に占める割合はどうでしょうか。
No.8548 - 2009/10/23(Fri) 11:34:33
☆ Re: 積分 / ヨッシー
こういう立体を３つ持ってきても、球にならないので、
球の1/3 ではないということです。
No.8549 - 2009/10/23(Fri) 12:41:12
☆ Re: 積分 / ヨッシー
３つくっつけて回してみました。
陰線処理してないので、見にくいですが。
No.8550 - 2009/10/23(Fri) 13:00:39
★ 逆関数の方程式 / kakimoto
cos^-1(X)=sin^-1(1/3)+sin^-1(7/9) を解け。

cos^-1 の部分は「−1乗」ではなく逆関数を表すものだと先生から聞いたのですが解き方をよく教えてもらえませんでした。
答えは「X=1/3」だそうです。
すいませんが教えて下さい。
お願いします。
No.8528 - 2009/10/22(Thu) 20:31:18
☆ Re: 逆関数の方程式 / X
分かりにくいので置き換えをします。
α=sin^-1(1/3),β=sin^-1(7/9)
と置くと、逆三角関数の定義により
sinα=1/3 (A)
0<α<π/2 (B)
sinβ=7/9 (C)
0<β<π/2 (D)
で問題の等式より
x=cos(α+β) (E)
後は(E)の右辺を加法定理を用いて展開し
(A)(B)(C)(D)と公式
(sinθ)^2+(cosθ)^2=1
を用いてxの値を計算します。
No.8530 - 2009/10/22(Thu) 20:55:12
☆ Re: 逆関数の方程式 / ヨッシー

図のようにsinの値が1/3 になるような角度が sin-1(1/3) です。
つまり、
　sinα＝1/3 → sin-1(1/3)＝α
です。ただし、-π/2≦α≦π/2
同様に、sinβ＝7/9 です。
つまり、cos-1(X)=sin-1(1/3)+sin-1(7/9) は、
　cos(α＋β)＝X
となり、α＋βで表される角のcos がXです。
sinα＝1/3 より cosα＝2√2/3
sinβ＝7/9 より cosβ＝4√2/9
を求めておいて、
　X＝cos(α＋β)
を加法定理で計算すれば、X が出ます。

確かに、Ｘ＝1/3 になります。
No.8531 - 2009/10/22(Thu) 20:56:18
☆ 逆関数の方程式 / kakimoto
理解できました。
　　ありがとうございました。
No.8538 - 2009/10/22(Thu) 21:40:34
★ 対数関数 / 　
０．３＜log7２＜０．４が成り立つことを証明したい。ア、イにあてはまる整数を求め、つくった不等式を利用して証明せよ。
２の１０乗＝１０２４だから、７のア乗＜２の１０乗＜７のイ乗

　ア＝３、イ＝４　その後が分かりません。
半角の7は小さい数字に置き換えてください、分かりにくく申し訳ないです；
No.8526 - 2009/10/22(Thu) 16:29:22
☆ Re: 対数関数 / ヨッシー
7^3＜2^10＜7^4
を、7 を底にした対数をとってみましょう。
たとえば、7^3 なら、
　log77^3＝3log77＝3
となります。
No.8527 - 2009/10/22(Thu) 16:43:19
★ ベクトル / Ｔｏｍ
途中まで出来ました

四面体ＯＡＢＣがあり　ＯＡ＝３　ＯＢ＝４　ＯＣ＝５
∠ＡＯＢ＝∠ＡＯＣ＝∠ＢＯＣ＝６０°
（１）ＢＣの長さは
（２）頂点ＯからＢＣへ垂線を下ろしＯＰとする。
　　ベクトルＯＢ＝ベクトルｂ　ベクトルＯＣ＝ベクトルｃ
とするとき
ベクトルＯＰはどう表せる？

（３）ベクトルＯＰの大きさは？


（４）Ａから面ＯＢＣに垂線ＡＱをおろすと
　　　ベクトルＯＱはどう表せる？


（５）ベクトルＡＱの大きさは？

（６）四面体の体積は・・・・



ここでＢＣは√２１とでました
ＯＰは　（５／７）ｂ　＋（２／７）ｃ　
と出たのですが、これは△ＯＢＣの中で3平方を使って
ＢＰとＰＣの比を出す感じですか？いい方法あれば知りたいのですが・・・さらにここから
ＯＰの大きさも3平方で　１０√７／７　となりました。

後は分かりませんでした。お願いします
No.8521 - 2009/10/22(Thu) 11:09:38
☆ Re: ベクトル / ヨッシー
まず、
|ａ|^2＝９、|ｂ|^2＝１６、|ｃ|^2＝２５
ａ・ｂ＝６、ｂ・ｃ＝１０、ａ・ｃ＝15/2
を求めておきます。

(2)
ＰはＢＣ上の点なので、
　ＯＰ＝(1-t)ｂ＋ｔｃ
と書けます(ｔは実数)
　ＯＰ・ＢＣ＝０
より、ｔを求めます。ｔ＝2/7 になります。

(3)
|ＯＰ|^2＝|(5/7)ｂ＋(2/7)ｃ|^2
を求めます。

(4)
ＱはＯＢＣと同じ平面上にあるので
　ＯＱ＝ｓｂ＋ｔｃ
と書けます。（ｓ、ｔは実数)
　ＡＱ・ｂ＝０
　ＡＱ・ｃ＝０
より、ｓ、ｔを求めます。
ｓ=1/4、ｔ＝1/5 となります。

(5)
|ＡＱ|^2　を求めます。

(6)
△ＯＢＣの面積は、
　(1/2)ＯＢ・ＯＣsin∠ＢＯＣ
と、(5) で求めたＡＱとで、体積が出ます。
No.8524 - 2009/10/22(Thu) 13:15:57
☆ Re: ベクトル / rtz
ベクトルの学習なのですから
OP⊥BC⇔↑OP・↑BC＝0を使いましょう。
三平方の定理云々はこれが出来た上での別解です。

(4)以降も同様です。
AQ⊥OB、AQ⊥OCなど。
No.8525 - 2009/10/22(Thu) 13:16:32
☆ Re: ベクトル / Ｔｏｍ
ありがとうございます

また質問させていただきます
No.8563 - 2009/10/24(Sat) 11:51:25
★ 途中計算式（一般常識） / yosh
320÷（15-x）=64

答えはx=10となるのですが、途中計算式が分からないので教えてください。
特にxが分母となった場合の解き方を忘れてしまいました。。

宜しくお願いします！
No.8520 - 2009/10/22(Thu) 11:08:02
☆ Re: 途中計算式（一般常識） / Ｔｏｍ
１５−ｘ＝□とすると

３２０÷□＝６４となり
□＝３２０÷６４＝５


よって15−ｘ＝５　あとはいいですね。
No.8522 - 2009/10/22(Thu) 11:11:05
☆ Re: 途中計算式（一般常識） / yosh
ありがとうございました☆
No.8523 - 2009/10/22(Thu) 11:13:18
★ 証明 / よた
−９０゜＜Θ＜９０゜の範囲である


｜tanθ｜＜１／COSθであれことを証明せよ。

またＸに関する方程式3x乗−3‐x乗＝2tanθを3を底とする対数を用いて表せ。
をお願いします。
No.8517 - 2009/10/22(Thu) 01:36:15
☆ Re: 証明 / ヨッシー
この範囲では cosθ＞０、-1＜sinθ＜1 なので、
|tanθ|＝|sinθ/cosθ|＝|sinθ|/cosθ＜1/cosθ

後半は、方程式を対数で表すのか、方程式の解を対数で表すのかどちらですか？
No.8518 - 2009/10/22(Thu) 08:20:54
★ もう1つお願いします / 綾

「連続する3つの整数があります。大きい方の2つの整数の積はその3つの整数の和に等しくなります。このとき、これらの3つの整数を求めなさい。


（1）連続する3つの整数の中で、最も小さい整数をｘとして方程式をつくりなさい。


その方程式を解きなさい。
No.8514 - 2009/10/21(Wed) 17:51:19
☆ Re: もう1つお願いします / ヨッシー
最も小さい数をｘとすると、他の２つの数はどのように書けますか？
No.8515 - 2009/10/21(Wed) 22:43:45
★ お願いします / 綾
縦40cm 横30cmの長方形の紙の周りから等しい幅の滞を切り取ります。切り取った部分と残った部分の面積が等しくなるようにするとき、次の問いに答えなさい。

（1）滞の幅をｘｃｍとして､方程式をつくりなさい

（2）方程式を解き、滞の幅をもとめなさい
No.8513 - 2009/10/21(Wed) 17:19:40
☆ Re: お願いします / ヨッシー
「等しい幅の帯」ですよね？
「おび」と入れたら、絶対「滞」なんて字は出ないはずなんですが、
「たい」と読んでたのだとしたら、問題の操作の意味もわかってないのではないでしょうか？

「おび」として、もう一度問題をよく読んでください。
そして、残った部分(長方形)の縦と横が何ｃｍになるか
答えてください。
No.8516 - 2009/10/21(Wed) 22:46:55
★ 中学入試 / 名無し
１周の距離がわからない場合は、どうのように考えるのですか？

サイクリングで、同じ距離を進む速さは、太郎くんより姉の方が速いとします。太郎くんと姉が、サイクリングで下のような「太郎くんと姉の競走」をしました。この「太郎くんと姉の競走」をもとにすると、２回目の競走で先にゴールするのは、太郎くんと姉のどちらですか。先にゴールする方とその理由を答えなさい。ただし、理由の中には、「５m」という言葉を使いなさい。

-太郎くんと姉の競走-
太郎くんと姉は、湖のまわりのサイクリングロードで競走をすることにしました。目印を定め、湖のまわりを１周することを決めて、同じ方向へ同時にスタートしました。１回目の競走の結果は、姉が５m の差をつけて先にゴールしました。つまり、姉がゴールに到着したとき、太郎くんはゴールの５m 手前にいました。
そこで２回目は、速いほうの姉をスタートラインから５m 後ろへ下げ、太郎くんは１回目と同じスタートラインに着いて、同時にスタートすることにしました。ただし、太郎くんと姉の走る速さは、１回目のときと同じとします。
No.8511 - 2009/10/21(Wed) 13:29:06
☆ Re: 中学入試 / ヨッシー
これは、旅人算、通過算、関係なしです。

姉がゴールから５ｍ手前(２回目に姉がスタートした地点)まで来たとき、
弟はどこにいるかを考えて見ましょう。
No.8512 - 2009/10/21(Wed) 13:35:36
☆ Re: 中学入試 / 名無し
わかりました。同じ場所にいますね。姉の方が速いので、早くゴールするのは姉ですね。
No.8539 - 2009/10/22(Thu) 21:51:19
★ 中学入試　適正問題 / マオ
途中まで考えたのですが、よくわからなくなってしまったので教えてください。

１枚の硬貨を、もう１枚の固定された硬貨の周りに沿って滑ることなく１周させると、動かした硬貨は２回転させたことになると考えました。（硬貨の大きさはすべて同じ）そこで…
１枚の硬貨を、もう２枚の横につなげて固定された硬貨の周りに沿って滑ることなく１周させると、動かした硬貨は何回転したことになるのでしょうか？
大きさの異なる硬貨をの周りを１周させるといっった問題は見たことあるのですが、どう上の問題を応用させればいいのか、わからなくなってしまったので、お願いします。
No.8503 - 2009/10/20(Tue) 22:47:19
☆ Re: 中学入試　適正問題 / ヨッシー

動かす硬貨は、図の太線の部分に触れながら回ります。
No.8506 - 2009/10/21(Wed) 07:01:05
☆ Re: 中学入試　適正問題 / ヨッシー
とりあえず作ってみました。
No.8508 - 2009/10/21(Wed) 09:50:11
☆ Re: 中学入試　適正問題 / マオ
ありがとうございます。わかりました。角度がわかるので、回転した分がわかるんですね。
No.8540 - 2009/10/22(Thu) 21:52:39
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