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★ 数列 / √
よろしくお願い致します。 数列の問題です。 （　）の中に入る数字を教えてください。 １５　・　７　・　１３／３　・　３　・　（　）　・　５／３ No.9364 - 2010/01/07(Thu) 19:30:32 ☆ Re: 数列 / ヨッシー 第１項に１５，第３項に１３が見えているので、 第２項に１４が見えていれば、うれしいですよね？ ７を、無理矢理１４の見える形にすると・・・ また、第４項の３を、無理矢理１２の見える形にすると・・・ No.9368 - 2010/01/07(Thu) 22:37:30 ☆ 有り難うございました / √ ヨッシーさん なんで、そんなに頭いいんですか！！ 分りました。 本当に有り難うございました。 No.9370 - 2010/01/07(Thu) 23:24:13

★ (No Subject) / さり
三角錐ABCDにおいて　AB=√5　AC=2√5　AD=2√11　∠BAC=∠CAD=∠DAB=90度 このとき頂点Aから△BCDに引いた垂線の長さを求めよ。 図形の体積を出してそれをもとに　△BCD×垂線×１/3＝体積という式を立てて解くと思うのですが、△BCDの面積の出し方がわかりません。 どう求めればいいのでしょうか、お願いします。 No.9362 - 2010/01/07(Thu) 16:14:08 ☆ Re: / さり 自己解決できました。ありがとうございました。 No.9363 - 2010/01/07(Thu) 16:49:53

★ (No Subject) / ☆
写真で質問したいのですが、どうやって貼付ければ良いのでしょうか？ No.9355 - 2010/01/06(Wed) 23:02:33 ☆ Re: / ヨッシー いくつか方法がありますが、記事を書く欄の下の「ファイル」と いうところに、保存した画像ファイルのファイル名を書く （参照ボタンからたどるのが確実）のが、簡単です。 No.9359 - 2010/01/07(Thu) 06:54:54 ☆ Re: / ☆ わかりました！ありがとうございます！！ No.9372 - 2010/01/08(Fri) 19:22:14

★ 不等式 / shiyo

不等式の問題です。 ・不等式 2x+a＞5(x-1)を満たすxのうちで、最大の整数が4であるとき、定数aの値の範囲を求めなさい。 （解答）2x+a＞5(x-1)をxについて解くと、x＜(a+5)/3 これを満たすxのうちで、最大の整数が4であることから、 4＜(a+5)/3≦5　よって7＜a≦10 となるのですが、なぜ4＜(a+5)/3≦5 となり、4≦(a+5)/3＜5ではだめなのでしょうか？ 宜しくお願い致します。 No.9342 - 2010/01/06(Wed) 16:24:12 ☆ Re: 不等式 / rtz (a+5)/3に4と5を実際に入れてみれば分かる。 それぞれの場合で 「ちゃんと最大の整数が４になるか？」を確かめればよい。 No.9343 - 2010/01/06(Wed) 17:13:29 ☆ Re: 不等式 / shiyo rtzさん　有り難うございます！！ （a+5)/3が5であっても大丈夫だとわかりました。 逆に(a+5)/3が4だと不適ですね。 No.9344 - 2010/01/06(Wed) 17:30:51

★ 連続で失礼します。 / ゆり〜

中３の問題です。たすきがけはまだ習ってないです。 ?ｼ x^2-4y^2+4yz-z^2 因数分解の仕方がわかりません。 ?ｽ xy+3x-2y＝0を満たす自然数の組(x,y)を求めなさい。 解き方がわかりません 。?ｾ x、yを整数とするとき、(x+y)(2x-y)^2＝2を満たすx、yの値を求めなさい。 解き方がわかりません。 ?ｿ x、yについての連立方程式 　2x-y＝3 　x-3ay＝2a^2 の解がx+y＝3を満たすとき、負の数aの値を求めなさい。 解き方がわかりません。 ぜひ、教えてください！ No.9341 - 2010/01/06(Wed) 15:52:58 ☆ Re: 連続で失礼します。 / 七 > x^2-4y^2+4yz-z^2 ＝x^2-(4y^2-4yz+z^2) ＝x^2-(2y-z)^2 あとは分かりますか？ > xy+3x-2y＝0を満たす自然数の組(x,y)を求めなさい。 xy+3x-2y-6＝-6 (x-2)(y+3)＝-6 y+3＞0だから-2＜x-2＜0にあてはまる 整数の組(x-2,y+3)は一組しかありませんね。 > x、yを整数とするとき、(x+y)(2x-y)^2＝2を満たすx、yの 値を求めなさい。 (2x-y)^2＞0よりx+y＞0 に当てはまる 整数の組(2x-y,x+y)は二組しかありませんね。 x、yが整数となるのは？ > x、yについての連立方程式 > 　2x-y＝3 > 　x-3ay＝2a^2 > の解がx+y＝3を満たすとき、負の数aの値を求めなさい。 2x-y＝3,x+y＝3の連立方程式を解きましょう。 No.9346 - 2010/01/06(Wed) 18:41:39 ☆ Re: 連続で失礼します。 / ゆり〜 詳しい説明ありがとうございました。 とてもわかりやすかったです！ No.9373 - 2010/01/08(Fri) 19:23:23

★ 中３の三平方の定理の問題です。 / ゆり〜

１めもりが１?aの方眼紙に正方形ABCD(対角線が方眼紙にそってそれぞれ２?aの正方形です)がかいてあります。 面積が正方形ABCDの5倍となる正方形を方眼紙に書きなさい。 というもんだいで、どのようにして解けばよいのかわかりません。 教えてください！ No.9340 - 2010/01/06(Wed) 15:29:54 ☆ Re: 中３の三平方の定理の問題です。 / 七 正方形ABCDの面積が2cm^2であることは分かりますね。 5倍の10cm^2になる正方形の一辺は√10cmです。 方眼を利用して斜辺の長さが√10cmになる直角三角形を作ることができればいいですね。 No.9349 - 2010/01/06(Wed) 18:53:59 ☆ Re: 中３の三平方の定理の問題です。 / √ この正方形を作図するにはコンパスが必要ですよね。 No.9361 - 2010/01/07(Thu) 14:39:40 ☆ Re: 中３の三平方の定理の問題です。 / 七 > この正方形を作図するにはコンパスが必要ですよね。 方眼を利用する問題で作図は必要ありません。 No.9367 - 2010/01/07(Thu) 20:07:01 ☆ Re: 中３の三平方の定理の問題です。 / らすかる > この正方形を作図するにはコンパスが必要ですよね。 方眼のマス目が使えますので、定規だけで描けます。 No.9371 - 2010/01/08(Fri) 01:58:21

★ (No Subject) / みかん

△ABCの内心をOとし　直線AOと辺BCの交点をDとする。 AB=6cm BC=8cm CA=5cmのときAO：ODを求めなさい。 この問題の解き方をお願いいたします。 No.9339 - 2010/01/06(Wed) 13:28:13 ☆ Re: / ＤＡＮＤＹ　Ｕ △ABO，△BCO，△CAO　の底辺をそれぞれ AB，BC，CAと考えたとき、高さは等しいので △ABO：△BCO：△CAO＝AB：BC：CA＝6：8：5 ∴　△BCO＝△ABC×8/（6+8+5）＝(8/19)△ABC よって、△BCOと△ABCの底辺をＢＣとするとき、高さの比は8：19 ⇒　ＯＤ：ＡＤ＝8：19 ⇒　ＡＯ：ＯＤ＝11：8 となります。 No.9350 - 2010/01/06(Wed) 21:04:12 ☆ Re: / みかん 丁寧にありがとうございました。理解できました！ No.9351 - 2010/01/06(Wed) 22:32:54

★ 平面図形 / 美優

ΔＡＢＣにおいて次のことが成り立つ。 b＜c⇔∠Ｂ＜∠Ｃ 辺、対角の大小が対応することを証明したいのですが教科書に書いてなくて分かりません。 ぜひよろしくお願いします。 ちなみに教科書は啓林館数Ａです。 No.9338 - 2010/01/06(Wed) 12:37:56 ☆ Re: 平面図形 / ＤＡＮＤＹ　Ｕ ｂ＞Ｃ　のとき 辺ＡＣ上に、ＡＣ＝ＡＤとなる点Ｄをとります。 すると、∠ＡＣＢ＝∠ＡＣＤ＋∠ＤＣＢ≧∠ＡＣＤ＝∠ＡＤＣ＝∠ＤＢＣ＋∠ＤＣＢ＞∠ＡＢＣ ---------------- ∠Ｂ＜∠Ｃ　のとき 辺ＡＣのＣ側の延長線上に点Ｄを、∠ＡＣＢ＝∠ＡＢＤとなるようにとります。 すると、ＡＢ＝ＡＤ＝ＡＣ＋ＣＤ＞ＡＣ となります。 No.9357 - 2010/01/06(Wed) 23:19:31 ☆ Re: 平面図形 / 美優 ありがとうございました！ とても助かりました。 No.9358 - 2010/01/07(Thu) 00:00:17

★ 2次方程式 / aya

2次方程式、x^2-kx＋k＋1=0の２つの解の比が２；３になるように定数kの値を定めよ。 この問題の解き方、よろしくお願いします。 No.9335 - 2010/01/05(Tue) 23:22:59 ☆ Re: 2次方程式 / Bとん 解と係数の関係 α＋β＝ｋ αβ＝ｋ＋１　　ここでα：β＝２：３なので 　　解を２α，３αとおく ２α＋３α＝ｋ ２α・３α＝ｋ＋１ これら２つの式より ５α＝ｋ・・・・・?@ ６α＾２＝ｋ＋１ さらにこれらを混ぜ　６α＾２＝５α＋１ 　　　　６α＾２−５αー１＝０ 　　　　（６α＋１）（αー１）＝０ 　　　　　　α＝−１/６，１ あとはこの２つのαにおけるそれぞれのｋを?@でだすだけ No.9336 - 2010/01/06(Wed) 01:01:51 ☆ Re: 2次方程式 / aya 分かりました。ありがとうございました。 No.9337 - 2010/01/06(Wed) 03:08:59

★ 因数分解 / みどり

ここでつまずいて困っています。４問ありますがよろしくお願いします。 (1)a^-c^-ab＋bc (2)a^x＋b^-b^x-a^ (3)x^＋3xy＋2y^＋5x＋7y＋6 (4)3x^-5xy-2y^＋5x＋4y-2 ^は二乗って意味で良いんですよね？ No.9319 - 2010/01/04(Mon) 23:11:07 ☆ Re: 因数分解 / らすかる ^は「乗」という意味です。 x^2 はxの2乗 x^3 はxの3乗 x^ は意味不明 No.9320 - 2010/01/04(Mon) 23:19:44 ☆ Re: 因数分解 / みどり 失礼しました。書き直して。 (1)a^2-c^2-ab＋bc (2)a^2x＋b^2-b^2x-a^2 (3)x^2＋3xy＋2y^2＋5x＋7y＋6 (4)3x^2-5xy-2y^2＋5x＋4y-2 これです。よろしくお願いします。 No.9321 - 2010/01/04(Mon) 23:32:20 ☆ Re: 因数分解 / Bとん (1)a^2-c^2-ab＋bc =(a+c)(a-c)-b(a-c) =(a+c-b)(a-c) (2)a^2x＋b^2-b^2x-a^2 a^2(x-1)-b^2x+b^2 =a^2(x-1)-b^2(x-1) =(a^2-b^2)(x-1) =(a+b)(a-b)(x-1) （３）x^2＋3xy＋2y^2＋5x＋7y＋6 　　ｘ＾２＋（３ｙ＋５）ｘ＋（２ｙ＾２＋７ｙ＋６） 　　ｘ＾２＋（３ｙ＋５）ｘ＋（２ｙ＋３）（ｙ＋２） 　　たすきがけ 　　　１　　　　　　　　　　　２ｙ＋３ 　　　１　　　　　　　　　　　　ｙ＋２ 　（ｘ＋２ｙ＋３）（ｘ＋ｙ＋２） (４)3x^2-5xy-2y^2＋5x＋4y-2 =3x^2+(5-5y)x-(2y^2-4y+2) =3x^2+(5-5y)-2(y-1)^2 たすきがけ 　３　　　　　　ｙ−１ 　１　　　　　　−２（ｙ−１） これでたすきがけするとＯＫ よって （３ｘ＋ｙ−１）（ｘ−２ｙ＋２） No.9322 - 2010/01/05(Tue) 00:08:04 ☆ Re: 因数分解 / みどり 詳しい解説ありがとうございました No.9323 - 2010/01/05(Tue) 01:38:06

★ ベクトル / みかげ

【問題】点A(1,2,3)､B(-1,1,2)から等距離にあり、y軸上にある点Pの座標を求めよ。 （答え）　(0,4,0)，(6,6,6) 解き方を教えて下さい。 【問題】球面(x-3)^2+(y+2)^2+(z+1)^2=25が平面Z=2と交わってできる図形は円である。 この円の中心の座標と半径を求めよ。 (答え)　(3､-2,2)　半径４ 座標の出し方は分かったのですが、半径のほうが分かりませんでした。 考え方を教えて下さい。 【問題】座標空間の直線L1は2点A(2,0,0)とB(0,1,1)を通る。直線L２は2点C(3,3,0)とD(0,0,a)を 通り、L1と交わっている。ａの値はいくらか。また、L1とL2の交点座標を求めよ。 （答え）ａ=6/7,(2/3,2/3,2/3) 解き方が全く分かりません。教えて下さい。 よろしくお願いします。 No.9316 - 2010/01/04(Mon) 15:46:35 ☆ Re: ベクトル / フリーザ A、Bから等距離にある点の集合は線分ABを法線にもつ平面になります。線分ABの方向ベクトルは（２，１，１）なので 平面の方程式は2x＋y＋z＋d=0とかけ、この平面がA,Bの中点を通ることからd=-4となる よって平面の方程式は2x＋y＋z-4=0となる・・・・・☆ y軸上→x=z=0を満たす点の集合なので☆に代入して y=4したがって(0,4,0) (6,6,6)はy軸上の点でないと思いますが。 No.9317 - 2010/01/04(Mon) 22:39:36 ☆ Re: ベクトル / フリーザ （２）は三平方の定理ででるかと思います。 円周の1点と球の中心と円の中心を結ぶと直角三角形が現れます。 （３）はベクトル方程式をつかいましょう L1;(0,1,1)＋t*(2,-1,-1)=(2t,-t＋1,-t＋1) L2;(3,3,0)＋s*(3,3,-a)=(3＋3s,3＋3s,-as) L1,L2が交わる⇔2t=3＋3s,-t＋1=3＋3s,-t＋1=-as　 を満たす実数s,tが存在 これを解いて答えを得ます。 No.9318 - 2010/01/04(Mon) 22:52:39 ☆ Re: ベクトル / みかげ 回答ありがとうございます！ >>平面の方程式は2x＋y＋z＋d=0とかけ、 ここだけ分からなかったので、解説いただけるとありがたいです。 すみません。。。 No.9327 - 2010/01/05(Tue) 10:43:46

★ あめ玉 / おかだ

あめ玉がいくつかあります。 あめ玉の山の中から、最初は１個、次に3個、さらに5個というように順に奇数個ずつ、もうこれ以上とれなくなるまで除いていきます。そうすると7個のあめ玉が残りました。 さらに今度は、最初のあめの山から最初は2個、次に4個というように同じく順に偶数個ずつ取り去ると、最後に2個のあめ玉が残りました。さて最初にあめ玉がいくつあったのでしょうか？ No.9311 - 2010/01/04(Mon) 09:23:33 ☆ Re: あめ玉 / ヨッシー （１＋３＋５＋・・・）＋７ で残った７個のあめのうち５個を、１個ずつ、１，３、５・・・に加えて （２＋４＋６＋・・・）＋２ となったのですから、（　）の中にある数字は５個で、 最初は （１＋３＋５＋７＋９）＋７ ２回目は （２＋４＋６＋８＋１０）＋２ であることがわかります。 No.9312 - 2010/01/04(Mon) 11:57:03 ☆ Re: あめ玉 / おかだ ヨッシーさん ありがとうです。 No.9313 - 2010/01/04(Mon) 12:40:26 ☆ Re: あめ玉 / らすかる 「同じ回数とった」とは書かれていませんので、他の可能性も考えなければならないのでは？ No.9315 - 2010/01/04(Mon) 15:41:12

★ 指数関数・対数関数・微分積分 / みかげ

下の問題が、冬休みの課題として出ていて休み明けにテストになるのですが、 塾に行ってないし、学校もあいてないので誰にも聞けないので困っています。 量が多くて本当にすみません。よろしくお願いします。 【問題】次の式を計算せよ。 [3]√54*[3]√-2*[3]√16 【答え】−１２ 【質問】[3]√54と[3]√16を掛けるのは、 a>0,b>0でｎが正の整数のとき、[n]√a*[n]√b=[n]√ab という公式を使えばいいのかなというのは分かるのですが、 [3]√-2のように√内にマイナスがあるのですがどうやって解けばいいんでしょうか？ 【問題】a>0のとする。a^(1/3)+a^(-1/3)=4のとき、次の値を求めよ。 (1)a+a^(-1) (2)a^(1/2)+a^(-1/2)　【答】3√6 【質問】(1)は与えられた条件の式の両辺を３乗して、変形するというのが分かって解けて、答えが５２だったんですけど、 (２)の解き方が分かりません。教えて下さい。お願いします。 【問題】y=9*3^xのグラフは,ｙ=3^xのグラフとどんな位置関係にあるか。 【答え】x軸をもとにしてｙ軸方向に９倍拡大したもの 【質問】答えの「x軸をもとにして」の意味が分からなかったので、説明していただけるとありがたいです。 初歩的な質問ですみません。 【問題】log[2](7),log[4](55),3について、底を揃えることで大小関係を調べよ。 【答え】log[2](7)【質問】解いてみたのですが、答えが合いません。解き方を教えて頂きたいです。 【問題】(1/30)^20を小数で表したとき、小数第何位に初めて０でない数字が現れるか。 ただし、log[10](3)=0.4771とする。 【答え】小数第30位 【質問】解き方が分かりません。 【問題】次の関数の増減を調べよ。 y=-x^3+2x^2-2x+4 【答え】単調に減少する。 【質問】「単調に減少」というのはどういう事でしょうか？ また、私の計算では、微分した式を、解の公式で解を導くと複素数が出てきたのですが、 微分して解が複素数になるグラフというのは、どういう事でしょうか？ 【質問】三次関数のグラフが極値をもつ条件というのは、微分した式を判別式を使いＤ＞０のときというのは分かるのですが、 Ｄ＝０、Ｄ<０の時グラフはどうなるのでしょか？ 【問題】x=1で極小値４をとり、x=2で極大値５をとる三次関数f(x)を求めよ。 【答え】f(x)=-2x^3+9x^2-12x+9 【質問】f(1)=4、f(2)=5、f'(1)=0、f'(2)=0の連立４次(？)方程式を立てるのかなあと予想したのですが、 この後の計算ができません。解き方を教えてください。 【問題】次の３次方程式の異なる実数解の個数を答えよ。 2x^3-12x^2+18x+3=0 【答え】１個 【質問】微分して判別式で確かめるとD>0なので実数解は３個かなと思ったのですが、 解き方が間違っているのでしょうか？教えてください。 【問題】放物線y=x^2-4x+3と、この放物線上の点(4,3)､(0,3)における接線で囲まれた図形の面積を求めよ。 【答え】16／3 【質問】解き方を教えてください。 【問題】放物線y＝2x−x^2とx軸で過去もれた図形の面積を直線y=kxが2等分するように、定数kの値を定めよ。 【答え】k=2-[3]√4 【質問】解き方を教えてください。 No.9309 - 2010/01/04(Mon) 02:12:32 ☆ Re: 指数関数・対数関数・微分積分 / Bとん [3]√54*[3]√-2*[3]√16 まず５４＝（３＾３）*２ 　　−２＝（−１）＊２ 　　１６＝２＾４ これらかけると（−１）*（３＾３）*（２＾６） ＝（−１）＾３＊（３＾３）＊（２＾２）＾３ これに[３]√をつけると ３乗のところが外れて 　−１＊３＊４＝−１２ 【問題】a>0のとする。a^(1/3)+a^(-1/3)=4のとき、次の値を求めよ。 (1)a+a^(-1) ＝５２ （２）の式を２乗します 　そうすると ａ＋２＊（ａ）＾（１/２）*（ーａ）＾（１/２）＋ａ＾（−１） ＝ａ＋ａ＾（−１）＋２＊１ ★（ａ）＾（１/２）*（ーａ）＾（１/２）は指数法則で 　１になります さらにａ＋ａ＾（−１）は（１）より５２ よって（２）の式を２乗すると５４になります a^(1/2)+a^(-1/2)＝√５４＝３√６　 【問題】x=1で極小値４をとり、x=2で極大値５をとる三次関数f(x)を求めよ。 f(1)=4、f(2)=5、f'(1)=0、f'(2)=0の連立４次(？)方程式を立てる　ので正解です そうするとｆ（ｘ）＝ａｘ＾３＋ｂｘ＾２＋ｃｘ＋ｄとおき ４＝ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ・・・・・１ ５＝8ａ＋４ｂ＋２ｃ＋ｄ・・・・２ ０＝３ａ＋２ｂ＋ｃ・・・・３ ０＝１２ａ＋４ｂ＋ｃ・・・・４ 先に極小値がくるので（極値ｘ＝１とｘ＝２より） グラフの外形を考えるとａ＜０です ２−１の式と３ ２−１の式と４からａとｂを割り出します あとは随時計算します 次の３次方程式の異なる実数解の個数を答えよ。 2x^3-12x^2+18x+3=0 まず ２ｘ＾３−１２ｘ＾２＋１８ｘ＝−３として 左辺をｆ（ｘ）とします 左辺の微分から増減表・グラフまで行ってください そうするとグラフが完成したら 右辺ｙ＝−３を引いてみてください そうすると交点はひとつだけ。これが実数解です。 　　　 No.9310 - 2010/01/04(Mon) 03:02:39 ☆ Re: 指数関数・対数関数・微分積分 / みかげ 丁寧にありがとうございます。 最後の問題は、判別式を使うやり方は違うということでしょうか？ No.9314 - 2010/01/04(Mon) 15:30:19 ☆ Re: 指数関数・対数関数・微分積分 / X 横から失礼します。 >>Bとんさんへ 重箱の隅をつつくようで恐縮ですが >>連立４次(？)方程式　 は 連立４元方程式 の誤りだと思います。 >>みかげさんへ >>最後の問題は、判別式を使うやり方は違うということでしょうか？ ３次関数の導関数による２次方程式に関して 判別式で確認できるのは ３次関数のグラフの極小点、極大点の個数の総数 であって、 ３次関数のグラフとx軸の交点の個数 (つまり問題の３次方程式の実数解の個数) ではありません。 Bとんさんが解説されている通りこの問題は、問題の方程式に対する ３次関数のグラフを描いて確かめる必要があります。 No.9324 - 2010/01/05(Tue) 10:24:30 ☆ Re: 指数関数・対数関数・微分積分 / X ＞＞【問題】y=9*3^xのグラフは,ｙ=3^xのグラフとどんな位置関係にあるか。 ＞＞x軸をもとにして とは x軸を基準に固定して という意味です。 模範解答で分かりにくければ y=9・3^x=3^(x+2) と変形して y=3^xのグラフをx軸方向に-2平行移動したもの としても正解だと思います。 No.9325 - 2010/01/05(Tue) 10:34:40 ☆ Re: 指数関数・対数関数・微分積分 / X ＞＞【問題】log[2](7),log[4](55),3について、底を揃えることで大小関係を調べよ。 底を2に揃えると log[4]55=(log[2]55)/log[2]4)=(1/2)log[2]55 =log[2]√55＞log[2]√49=log[2]7 3=log[2]2^3=log[2]8=log[2]√64＞log[2]√55 ということで大小関係は log[2]7＜log[4]55＜3 となります。 No.9326 - 2010/01/05(Tue) 10:38:41 ☆ Re: 指数関数・対数関数・微分積分 / みかげ Ｘさん 丁寧にありがとうございます。 文字が四種類あるのは４元というんですね。 よく分かりました。 No.9328 - 2010/01/05(Tue) 10:47:26 ☆ Re: 指数関数・対数関数・微分積分 / X ＞＞【問題】(1/30)^20を小数で表したとき、〜 x=(1/30)^20 と置くと log[10]x=-20(1+log[10]3) ≒-20(1+0.4771)=-29.542 ここで例えば y=0.03 について log[10]y=-(2+log[10]3)≒-2.4771 で、0.03は小数点第２位に初めて0でない数字が現れる ということを考えると…。 No.9329 - 2010/01/05(Tue) 10:52:59 ☆ Re: 指数関数・対数関数・微分積分 / X ＞＞【問題】次の関数の増減を調べよ。 ＞＞y=-x^3+2x^2-2x+4 No.9324と話が重複するかもしれませんがご容赦下さい。 導関数=0なる２次方程式の解の個数にこだわっていますが 基本はそこにあるのではなく 関数f(x)に対して f'(x0)＞0⇔f(x)はx=x0において増加 f'(x0)＜0⇔f(x)はx=x0において減少 というところにあります。 これらをつかって x=x0が極小点 ⇔x=x0に比較的近いx＜x0においてf'(x)＜0 かつx=x0に比較的近いx0＜xにおいてf'(x)＞0 かつf'(x0)=0 x=x0が極大点 ⇔x=x0に比較的近いx＜x0においてf'(x)＞0 かつx=x0に比較的近いx0＜xにおいてf'(x)＜0 かつf'(x0)=0 となります。 これらを生かす方法としては 増減表を書く ということが挙げられます。 関数の増減の問題で困ったら増減表を書くのが基本です。 y=-x^3+2x^2-2x+4　(A) より y'=-3x^2+4x-2 これを平方完成すると y'=-3(x-2/3)^2-2/3＜0 つまり(A)は単調減少するということになります。 みかげさんの仰るとおりこの問題の場合 (A)に対してy'=0の実数解xは存在しない のですがこれはつまり (A)の極値が存在しない ということと同値です。 ではD=0の場合はどうなるのかですが、以下の例題を解いて考えてみてください。 例題)次の３次関数の増減表を書け (1)y=x^3 (2)y=x^3-3x^2+3x-1 No.9330 - 2010/01/05(Tue) 11:03:42 ☆ Re: 指数関数・対数関数・微分積分 / X ＞＞【問題】放物線y=x^2-4x+3と、この放物線上の点(4,3)､(0,3)における接線で囲まれた図形の面積を求めよ。 まず 点(4,3)､(0,3)における接線 (A) の方程式を求め、これらと問題の放物線のグラフを 一つのxy平面上に描きましょう。 この際、件の２本の接線の交点の座標も分かるようにします。 ここまでできたらアップして下さい。 No.9331 - 2010/01/05(Tue) 11:06:57 ☆ Re: 指数関数・対数関数・微分積分 / X ＞＞【問題】放物線y＝2x−x^2とx軸で過去もれた図形の面積を直線y=kxが2等分するように、定数kの値を定めよ。 まず 放物線y=2x-x^2とx軸で囲まれた図形の面積(S1とします) を求めます。 次に 放物線y=2x-x^2と直線y=kxとの原点以外の交点のx座標をa として 放物線y=2x-x^2と直線y=kxとで囲まれた面積(S2とします) をaを用いて表します。 更にaはkを用いて表せますので、S2はkを用いて表すことができます。 さて、題意からS1,S2について…。 No.9332 - 2010/01/05(Tue) 11:10:47 ☆ Re: 指数関数・対数関数・微分積分 / みかげ Bとんさん >>（ａ）＾（１/２）*（ーａ）＾（１/２）は指数法則で 　１になります ここが分かりません。教えていただけると有難いです。 今更すみません。よろしくお願いします。 No.9345 - 2010/01/06(Wed) 18:38:29 ☆ Re: 指数関数・対数関数・微分積分 / みかげ Xさん >>ではD=0の場合はどうなるのかですが、以下の例題を解いて考えてみてください 解いてみてD=0は定数となる所はあるが、極値は無いという事が分かりました。 しかしD<0となる場合は、f'(x)=0となるところが無いので定数となるところも無いという事ですよね？ この場合、グラフはどうなるのでしょうか？ ＞＞【問題】放物線y=x^2-4x+3と、この放物線上の点(4,3)､(0,3)における接線で囲まれた図形の面積を求めよ。 ＞＞【問題】放物線y＝2x−x^2とx軸で過去もれた図形の面積を直線y=kxが2等分するように、定数kの値を定めよ。 上の2問は途中まで解いてみた(写真)のですが、何回やっても答えが合いませんでした。 どこが間違っているか指摘して頂けると助かります・・・ よろしかったらお願いします。 何度も本当にすみません。 No.9347 - 2010/01/06(Wed) 18:45:05 ☆ Re: 指数関数・対数関数・微分積分 / みかげ 追加です No.9348 - 2010/01/06(Wed) 18:46:38 ☆ Re: 指数関数・対数関数・微分積分 / X >>No.9348に対する回答 さて面積の求め方ですが 0≦x≦2 と 2≦x≦4 の範囲に分割して計算して和を取ります。 (図を見て理由を考えましょう。) それぞれの範囲の領域の面積をS1,S2とすると S1=∫[0→2]{(x^2-4x+3)-(-4x+3)}dx=… S2=∫[2→4]{(x^2-4x+3)-(4x-13)}dx=… ∴求める面積をSとすると S=S1+S2=… (こちらの計算では S1=S2=8/3,S=16/3 となりました。) 注) ２本の接線 y=-4x+3 y=4x-13 が放物線y=x^2-4x+3の軸である x=2 (A) に関して対称であることを証明していれば計算はもう少し 簡単になります。 この場合、上記の分割した二つの領域は(A)に関して対称ですので S=2S1=… となります。 No.9352 - 2010/01/06(Wed) 22:32:55 ☆ Re: 指数関数・対数関数・微分積分 / X >>解いてみてD=0は定数となる所はあるが、〜 y=-x^3+2x^2-2x+4 のとき y'=-3(x-2/3)^2-2/3 ∴y'はx=2/3のとき最大値-2/3を取ります。 従ってグラフは (i)x≦2/3のとき 単調減少であっても各点の傾きはxの増加に伴い 緩やかになっていきます。 (ii)2/3≦xのとき 単調減少で各点の傾きはxの増加に伴い急峻になっていきます。 グラフの形状としては点(2/3,88/27)でくびれるような感じになります。 No.9353 - 2010/01/06(Wed) 22:43:51 ☆ Re: 指数関数・対数関数・微分積分 / X ＞＞上の2問は途中まで解いてみた(写真)のですが〜 S1,S2の積分範囲を誤っています。 S1=∫[0→2](2x-x^2)dx=… S2=∫[0→2-k]{(2x-x^2)-kx}dx=… となります。 求めた値を S1=2S2 に代入することに問題はありません。 No.9354 - 2010/01/06(Wed) 22:53:23 ☆ Re: 指数関数・対数関数・微分積分 / X >>No.9345について 僭越ですが代わりに回答させていただきます。 これはおそらくBとんさんのタイプミスですね。 a^(1/2)+a^(-1/2) を２乗すると {a^(1/2)+a^(-1/2)}^2={a^(1/2)}^2+2{a^(1/2)}{a^(-1/2)}+{a^(-1/2)}^2 =a+2+a^(-1) =… となります。 No.9356 - 2010/01/06(Wed) 23:06:44 ☆ Re: 指数関数・対数関数・微分積分 / みかげ Ｘさん 回答ありがとうございます No.9353についてなんですが、なぜｙ’の最大値を境にグラフが変化するのでしょうか？ 本当に何遍もすみません No.9360 - 2010/01/07(Thu) 10:39:10 ☆ Re: 指数関数・対数関数・微分積分 / X 文章であれこれ説明するよりもグラフの慨形を見てもらった方が 理解が早いと思いますのでアップします。 No.9365 - 2010/01/07(Thu) 19:55:13 ☆ Re: 指数関数・対数関数・微分積分 / X 比較のため、y'=0なる二次方程式に対して D=0 となる例として y=-(1/3)(x-1)^3+1 のグラフの慨形もアップしておきます。 (接線を取り除くと、見た目には形状は殆ど変わらないように見えます。) No.9366 - 2010/01/07(Thu) 19:57:18

★ 面積 / 香
お願いします。　　　2つの曲面； 2*x^2 + y^2 + z^2 + 6*x - 18*y + 6*z + 50=0, x^2 + y^2 + 7*z^2 - 2*x - 34*y - 10*z + 194=0. の交線をx,y平面に正射影した曲線 C の　方程式を　求め、 Cの囲む領域の面積を　求めよ。 No.9308 - 2010/01/03(Sun) 23:33:59

★ ラプラス変換・逆ラプラス変換 / mayu
すいません… 逆ラプラス変換もうひとつお願いします。 (4)L-1[1/(s^2+2s-3)] お願いします！！ No.9306 - 2010/01/03(Sun) 22:19:02 ☆ Re: ラプラス変換・逆ラプラス変換 / X 1/(s^2+2s-3)=1/{(s+3)(s-1)} と変形して部分分数分解しましょう。 No.9334 - 2010/01/05(Tue) 19:48:55

★ ラプラス変換・逆ラプラス変換 / mayu

・次のラプラス変換を求めよ。 (1)L[(1+5t)exp(-3t)] ・次の逆ラプラス変換を求めよ。 (1)L-1[1/{(s+1)(2s-1)}] (2)L-1[1/(s^2-1)] (3)L-1[(s-1)/s^2+2s+1] 導出式と解説をよろしくお願いします！ No.9305 - 2010/01/03(Sun) 22:02:20 ☆ Re: ラプラス変換・逆ラプラス変換 / X 大問１問目) (1) ラプラス変換の定義式を使ってがりがり計算するのもいいですが L[1+5t] の結果に移動定理を適用するのが早いと思います。 大問２問目) (1) まず 1/{(s+1)(2s-1)} を部分分数分解しましょう。 (2) (1)と同様にまず 1/(s^2-1)=1/{(s-1)(s+1)} と変形して部分分数分解しましょう。 (3) (s-1)/(s^2+2s+1)=(s+1)/{(s+1)^2+1}-2/{(s+1)^2+1} と変形して各項の逆ラプラス変換を求めます。 No.9333 - 2010/01/05(Tue) 19:47:42

★ 2次方程式 / りか

またよろしくおねがいします。 y=x^2+3x+1のグラフとy=2x+bが異なる2点で交わるようなbの値の範囲を求めよ という問題なのですが、 先の式を平方完成して頂点が(-3/2,-5/4) というところまでしかわかりません。 ご指導よろしくお願いいたします。 No.9299 - 2010/01/02(Sat) 22:34:30 ☆ Re: 2次方程式 / Bとん 異なる2点で交わるような・・・・判別式D＞０です まずy=x^2+3x+1とy=2x+bを連立 ｘ＾２＋３ｘ＋１＝２ｘ＋ｂ ｘ＾２＋ｘ＋１−ｂ＝０ これの判別式Dは D=１＾２−４・１・（１−ｂ） ＝１−（４−４ｂ） ＝−３＋４ｂ −３＋４ｂ＞０なので 　　　４ｂ＞３ 　　　　ｂ＞３／４ No.9301 - 2010/01/02(Sat) 22:38:58 ☆ Re: 2次方程式 / りか なるほど！ 頂点を求める必要はなかったのですね。 わかりやすい解説ありがとうございました。 No.9302 - 2010/01/02(Sat) 22:51:44

★ 解き方と答えを教えて頂けないでしょうか。 / ヤス（高１問題）

訳あって数学を勉強している者です。 高校が商業科だったので、ほぼ中学程度のレベルしかないので、質問のレベル自体が低いと思いますがよろしくお願いします。 １．次の方程式を解け。 (x-1)(x-2)+(x-1)(x-3) = 1 これは途中まで計算しているのですけれども、「2x^2 - 7x + 4 = 0」となりました。これより先はどう解けばよいのでしょうか？ ２．次の不等式を解け。 x-5 <= x/(1-x) 最初からどう解けばいいかわかりません・・・不等式の知識は両辺にーを掛けたら符合が逆になる程度の知識しかないです・・・。 以上です。よろしくお願い致します。 No.9298 - 2010/01/02(Sat) 17:38:30 ☆ Re: 解き方と答えを教えて頂けないでしょうか。 / Bとん (x-1)(x-2)+(x-1)(x-3) = 1 展開します。 ｘ＾２−３ｘ＋２＋ｘ＾２−４ｘ＋３＝１ （もし展開がわからなければいってください） ２ｘ＾２−７ｘ＋４＝０ これを解の公式で計算 ｘ＝（７±√１７）／４ No.9300 - 2010/01/02(Sat) 22:35:56 ☆ Re: 解き方と答えを教えて頂けないでしょうか。 / ヤス（高１問題） 展開は基本的なことはできるので大丈夫です。 解の公式は調べて理解しました。ありがとうございます。 お手数ですが、２番の方がよくわからないので、教えて頂けましたら幸いです。 No.9303 - 2010/01/03(Sun) 15:20:59 ☆ Re: 解き方と答えを教えて頂けないでしょうか。 / X 2. 両辺に(1-x)^2をかけることを考えると (与式)⇔(x-5)(1-x)^2≦x(1-x) (A)かつ1-x≠0 (B) (A)より (x-5)(1-x)^2-x(1-x)≦0 (1-x){(x-5)(1-x)-1}≦0 (x-1){(x-5)(x-1)+1}≦0 (x-1)(x^2-6x+6)≦0 (A)' ここでx^2-6x+6=0を解くと x=3±√3 ∴(A)'より x≦3-√3,1≦x≦3+√3 これと(B)により解は x≦3-√3,1＜x≦3+√3 となります。 No.9304 - 2010/01/03(Sun) 18:53:20 ☆ Re: 解き方と答えを教えて頂けないでしょうか。 / ヤス（高１問題） ご丁寧にありがとうございました。 おかげ様で理解できました。 また質問させていただく事がありましたらよろしくお願いします。 No.9307 - 2010/01/03(Sun) 22:21:53

★ 最短距離 / 伴
(0) x^2 + y^2 = 7/108,-x + x^3 + y^2 = 1/4 . は重解をもつ。解をもとめよ。 次の２曲線の最短距離を求めてください； (1)C1;x^2 + y^2 = 7/108, C2;-x + x^3 + y^2 = 1/4 (2)C1;x + 2*y = 9, C2;x^2/4 + y^2/3 = 1, (3)C1;(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 1, C2;x^2/4 + y^2/3 = 1 No.9296 - 2010/01/02(Sat) 12:47:00

★ 漸化式の問題（３題） / Key(高２女子)

漸化式の問題ですが、３題それぞれ異なる型です。よろしくお願いします。特に問１は自信がありません。問３（２）は冬季課外で先生が、ｎ≧３として、場合分けして解いてくれたのですが、なぜ、ｎ≧２で駄目なのかいくら考えても解りません。 ［問１］　次の漸化式によって与えられる数列｛an}の一般項 　　　　a(n)を求めよ。a(1)=1, a(n+1)=2*(n+1)*a(n) ［答案］ a(1)=1・・・?@ a(n+1)=2*(n+1)*a(n)・・・?A　とおく。 ｎ≧２のとき、漸化式において、n=1,2,3,,,,n-1 とすると?Aは、 a(2)=2*2*a(1) a(3)=2*3*a(2) a(4)=2*4*a(3) 　　　・ 　　　・ 　　　・ a(n)=2*n*a(n-1) 辺々を掛けて a(2)a(3)a(4)...a(n)=2*(n-1)*n!*a(1)a(2)a(3)...a(n-1) この両辺を、a(2)a(3)a(4)...a(n-1)で割ると、 a(n)=2*(n-1)*n!・・・?B n=1のとき 　a(1)=2*(1-1)*1=0 で?Bは成り立たない。 以上より n=1のとき a(n)=1 n≧2のとき a(n)=2*(n-1)*n! ［問２］　数列｛an｝の初項から第ｎ項までの和Snが、 　　　　S(n)=3n-2a(n) (n=1, 2, 3, ,,,) を満たしている。 　　　　一般項を求めよ。 ［答案］S(n)=3n-2a(n) (n=1, 2, 3,,,,)・・・?@とおくと、 　n=1のとき 　　S(1)=a(1)であるから、 S(1)=3-2a(1)　 a(1)+2a(1)=3 ∴a(1)=1 　?@より 　　S(n+1)=3(n+1)-2a(n+1)・・・?A 　?A−?@より 　　S(n+1)-S(n)=-2a(n+1)+2a(n)+3・・・?B 　 S(n+1)-S(n)=a(n+1)であるから、?Bは、 　　a(n+1)+2a(n+1)=2a(n)+3 3a(n+1)=2a(n)+3 a(n+1)=(2/3)a(n)+1・・・?C 　?Cのa(n+1),a(n)へそれぞれ xを代入し特性方程式を解くと、 　　x=(2/3)x+1 (1/3)x=1 ∴x=3 　これを?Cの両辺からそれぞれ引いて 　　a(n+1)-3=(2/3)a(n)-2 =(2/3){a(n)-3}・・・?D 　ここで、f(n)=a(n)-3 とおくと、?Dは、 f(n+1)=(2/3)f(n) よって f(n)=f(1)(2/3)^(n-1) a(n)-3=(1-3)(2/3)^(n-1) ∴a(n)={(-2)(2/3)^(n-1)} + 3・・・?E ?Eを?@へ代入して、 S(n)=3n-2[{(-2)(2/3)^(n-1)} + 3] =3n+{4(2/3)^(n-1)}-6 ={4(2/3)^(n-1)} + 3n - 6 ［問３］　初項a(1)=3 の数列{an}がある。ｎ≧２に対して、初 　　　　項a(1)から第ｎ項a(n)までの和をS(n)としたとき、 S(n)={(n+1)^2}*a(n)が成り立つとする。このとき 　　　　次の問に答えよ。 (1) n≧2のとき、{a(n+1)}/{a(n)} をｎの式で表せ。 (2) n≧2のとき、数列{an}の一般項を求めよ。 ［答案］ （１）　S(n)={(n+1)^2}*a(n)・・・?@とおくと、 S(n+1)=[{(n+1)+1}^2]*a(n+1) ={(n+2)^2}*a(n+1)・・・?A n≧2のとき 　　　　　?A−?@より S(n+1)-S(n)={(n+2)^2}*a(n+1)-{(n+1)^2}*a(n) S(n+1)-S(n)=a(n+1)であるから a(n+1)-{(n+2)^2}*a(n+1)={-(n+1)^2}*a(n) -a(n+1)+{(n+2)^2}*a(n+1)={(n+1)^2}*a(n)　 {(n^2)+4n+3}*a(n+1)={(n+1)^2}*a(n) (n+1)(n+3)*a(n+1)={(n+1)^2}*a(n) n+1>0であるから (n+3)*a(n+1)=(n+1)*a(n) n+3>0, a(n)>0であるから {a(n+1)}/{a(n)}=(n+1)/(n+3)・・・?B （２）?Bより　n≧3のとき {a(n)}/{a(n-1)}=n/(n+2) 　　　同様に {a(n-1)}/{a(n-2)}=(n-1)/(n+1) {a(n-2)}/{a(n-3)}=(n-2)/n 　　　　　　　　・　　 　　　・ 　　　　　　　　・　　　 　　・ 　　　　　　　　・　　　　 　・ a(3)/a(2) = 3/5 　　　辺々を掛け合わせると、分子、分母が打ち消し会うので、 a(n)/a(2)={(4＊3)/(n+2)(n+1)}*(3/8) ∴a(n)=9/{2(n+2)(n+1)} n=2のとき 　　　　a(2)=3/8で成り立つ。 　　　　　 　　 　 No.9290 - 2010/01/01(Fri) 23:02:11 ☆ Re: 漸化式の問題（３題） / フリーザ 問１ですが 方針はいいですが 最後でa(ｎ)＝2*(n-1)*n!は a(n)=2^(n-1)*n!では？ あともう少しスマートな解法？としては最初の式で両辺をn!で割り少し変形すればa(n)/n!＝b(n)などとおけばb(n)が等比数列になります。 No.9291 - 2010/01/01(Fri) 23:49:44 ☆ Re: 漸化式の問題（３題） / 七 > ｎ≧３として、場合分けして解いてくれたのですが、なぜ、ｎ≧２で駄目なのかいくら考えても解りません。 a(n−1)を使うからです。 No.9293 - 2010/01/02(Sat) 06:53:30 ☆ Re: 漸化式の問題（３題） / Kei(高２女子) フリーザさん、七さん 早速のご教示ありがとうございました。 ところで、またまたしつこくてすみませんが、「ｎ≧３として」のところは、a(n-1)を使う場合でも、ｎ≧２で駄目なのがよく分からないのです。 というのは、ｎ≧２ならば、ｎが最小の時ｎ＝２ですから、このとき、a(n-1)を用いるとして、n=2を代入すれば、a(2-1)=a(1)となります。a(n-1)でa(0)では第０項は存在しないので避けなければなりませんが、a(1)ならば初項なので大丈夫だと思うのですが、ｎ≧２ではなく、あえてｎ≧３とする理由を教えて下さい。よろしくお願いします。 No.9294 - 2010/01/02(Sat) 09:19:36 ☆ Re: 漸化式の問題（３題） / フリーザ {a(n+1)}/{a(n)}=(n+1)/(n+3)・・・?B の式はn≧2でつかえます。 なので a(n)}/{a(n-1)}=n/(n+2)の式は n≧3で使えます。 No.9295 - 2010/01/02(Sat) 11:31:24 ☆ Re: 漸化式の問題（３題） / Kay(高２女子) フリーザさんへ ありがとうございました。さっぱりしました！！ No.9297 - 2010/01/02(Sat) 13:32:29

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