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★ 高校一年生の問題です。 / care

2次関数ｆ(x)＝ax~2 −4ax＋2a~2 ＋3a がある。 ただし、aは定数である。
~2は2条の意味です！

?@a＝１のとき ｆ(x)の最小値とそのときのxの値を求めよ。

?Aa＜0のとき、0≦x≦5におけるｆ(x)の最大値と最小値とそのときのxの値を求めよ。

?B 0≦x≦5におけるｆ(x)の最大値が6になるようなaの値を求めよ。

これが全くわからないので教えてください！
No.6551 - 2009/07/04(Sat) 11:50:20
☆ Re: 高校一年生の問題です。 / ヨッシー
(1)a=1なので、
　f(x)＝ｘ2−４ｘ＋５
です。これは、
　f(x)＝(ｘ−２)2＋【 ア 】
の形に変形できるので、ｘ＝【 イ 】のとき、最小値【 ア 】
になります。

これが出来ないと、(2)も(3)も話になりませんので、
まず、これをやってみてください。
No.6552 - 2009/07/04(Sat) 15:51:17
★ 数列の問題 / カムイ
a[1]=3，a[n＋1]=a[n]＋2(n=1,2,3,…)によって定められる数列{a[n]}がある。

(問)数列{a[n]}の項のうち3の倍数であるものを小さい順に並べ、b[1],b[2],…,b[n],…とし、c[n]=b[n]/3(n=1,2,3,…)とする。c[n]をnを用いて表せ。

(解)数列{a[n]}は初項3、公差2の等差数列より、a[n]=2n＋1、数列{b[n]}は、数列{a[n]}の1＋(nｰ1)×3=3nｰ2項なので、b[n]=2(3nｰ2)＋1=6nｰ3、したがってc[n]=2nｰ1

(問)?納k=1,n]{(a[2kｰ1]/c[2kｰ1])＋(c[2k]/a[2k])}を求めよ。

(解)
(与式)=?納k=1,n]{(4kｰ1)/(4kｰ3)＋(4kｰ1)/(4k＋1)}=3＋2(nｰ1)＋(4nｰ1)/(4n＋1)=8n^2＋10n/4n＋1

このように解いてみたんですが合ってるでしょうか？?ｫ
No.6547 - 2009/07/03(Fri) 19:30:43
☆ Re: 数列の問題 / angel
良いと思います。
答えもあっていますし、方針としても問題ありません。

細かい記述がどうかは ( 書いてないので ) 何とも言えませんが…
2問目に関しては、n=1 をちゃんと例外扱いしているか、とか、紛れなくその答えを導ける記述になっているか、とかは注意が必要でしょうかね。
No.6548 - 2009/07/03(Fri) 22:11:32
★ 生物の問題ですがいいですか？ / aaa
ある植物において,花の色と大きさを決める遺伝子A,Bは同一染色体上に位置する.色を決める対立遺伝子は赤(A)が白(a)に対して優性である.大きさを決める対立遺伝子は大きい花(B)が小さい花(b)に対して優性である.さて,AAbbおよびaaBbという遺伝子型を持つ個体を交配し,F_1を多数得た.次にこれらF_1から任意に選んだ多数の個体を,aabbの遺伝子型を持つ個体と交配し,F_2を得た

?@両遺伝子間の組み換え価が0%の時のF_1の遺伝子型を全て記せ.
?A両遺伝子間の組み換え価が0%の時のF_2の中で,赤くて小さい花を持つ個体の占める割合を分数で記せ.
?B両遺伝子間の組み換え価が10%の時のF_2の中で,赤くて大きい花を持つ個体の占める割合を分数で記せ.

上の問題が良く分からないのでだれかご教授願います
No.6543 - 2009/07/03(Fri) 09:53:51
☆ Re: 生物の問題ですがいいですか？ / ヨッシー
AAbb の親からは、Ab の型の遺伝子が100%
aaBb の親からは、aB ab の型の遺伝子が50% ずつ F_1 に
遺伝して、
　Ab/aB　Ab/ab
の型の遺伝子を持つ個体が 50% ずつ出来ます。
"/" は、親の遺伝子を分けて示すために使っています。
(1) F_1 の遺伝子型は　AaBb，Aabb
(2) aabb の親からは、 ab 型の遺伝子が100% 遺伝します。
組み換え価が０％のときは、F_1 の遺伝子は、
　Ab/aB　からは Ab と aB
　Ab/ab　からは Ab と ab
が遺伝します。比率は全部同じ25%です。(Abは2つあるので、
あわせると50%)
これを、ab と交配させて、赤小になるのは、Ab と合わさった
時なので、比率は、50%＝1/2。
ちなみに、aB と合わさって、白大が25%、ab と合わさって、白小が25% です。
(3)
組み替え価が10%のとき
　Ab/aB　が Ab と aB になるのが90%、AB と ab になるのが、10%
　Ab/ab　は、組み替えても Ab と ab が出来るだけです。
率で言うと、
　Ab/aB(50%)　から Ab(22.5%),aB(22.5%),AB(2.5%),ab(2.5%)
　Ab/ab(50%)　から Ab(25%),ab(25%)
まとめると、
　Ab が 22.5+25=47.5%　aB が 22.5%
　AB が 2.5%　ab が 2.5+25＝27.5%
ab とかけ合わせて、赤大になるのは、AB の2.5%＝1/40

合ってますか？
No.6544 - 2009/07/03(Fri) 11:16:53
★ 高校入試の問題です / rino
続けて申し訳ありません。テストが近いもので…。次の問題の(3)?Aが、どう考えたらいいのかよくわかりません。

原点Ｏ、点Ａ(０,２)を頂点とする正三角形ＯＡＢをとる。ただし、点Ｂのｘ座標は正。△ＯＡＢと合同な正三角形でしきつめていく。

(1)　点Ｂの座標を求めよ。
　　　　これは(√３,１)で間違いないかと思います

(2)　放物線ｙ＝ａｘ＾2が点Ｂを通るとき、定数のａの値を求めよ。
　　　　1/3だと思います。

(3)　(2)の放物線上にある三角形の頂点をｘ座標が正で小さいものから順にＢ1(＝Ｂ)、Ｂ2、Ｂ3…とする。
　?@　点Ｂ4の座標を求めよ。
　　　　(４√３,１６)のような気がするのですが
　?A　原点だから点Ｂ4までの放物線が三角形の辺を何本横切るか。ただし、三角形の頂点は数えない。
　　　　これがわかりません。教えてください。Ｂ2の位置を予想してグラフにかきこんでみたのですが、どのように考えたらいいのかよくわかりません。
No.6539 - 2009/07/02(Thu) 21:50:42
☆ Re: 高校入試の問題です / ヨッシー
Ｂ4：(４√３,１６) は良いですね。

原点からＢ1 までは、線は横切らないので、(頂点のみ)
Ｂ1 からスタートします。
Ｂ4は、Ｂ1から３本目の縦線（Ｂ1 を通る線は含まない。以下同じ）
９本目の右下がりの線
６本目の右上がりの線の交わるところにあります。
よって、Ｂ1 から Ｂ4 の直前までで、
２本の縦線と、８本の右下がりの線と、５本の右上がりの線を
横切ります。
そのうちの ６本分はＢ2 と Ｂ3 なので、
　２＋８＋５−６＝９(本)
No.6542 - 2009/07/02(Thu) 22:36:10
☆ Re: 高校入試の問題です / rino
いつもわかりやすい図をつけていただきありがとうございます。よくわかりました。
No.6549 - 2009/07/03(Fri) 23:14:20
★ 物理の問題です。 / ハオ
(2)の問題は
二つのばねを一体化してばね定数10N/m.
フックの法則より1.0=10x x=0.1 ばね各々の伸びなので
答え　5.0×10^-2 (m)となるのは分かります。
しかし、(1)は何故(2)と答えが同じになるのか理解できません。詳しく教えていただいたら幸いです。
P.S.(2)については有効数字2桁なので0.050mでも正解ですか？
No.6538 - 2009/07/02(Thu) 21:34:29
☆ Re: 物理の問題です。 / rtz
壁が無かったらどうですか？
当然右に落ちるはずです。

ではなぜ壁があると落ちないのでしょう。
壁が位置を固定しているから、とも言えるでしょうが、
位置を固定するために壁がしなければならないことがありますね。


有効数字に関しては構わないと思いますが、
学校の試験に関しては担当の先生に聞いてみてください。
No.6540 - 2009/07/02(Thu) 22:01:42
☆ Re: 物理の問題です。 / angel
> 二つのばねを一体化してばね定数10N/m
> (…中略…) (二つのばねの伸びの合計) x=0.1 ばね各々の伸び(を求める問題)なので 答え　5.0×10^-2 (m)

それは考える順番が逆です。
二つのばねを直列につないでいる状況では、** それぞれのばねに同じ力がかかる ** というのが重要なのです。

なので、ばね定数 Ka[N/m], Kb[N/m] のばねを直列につないで、力 F[N] で両方から引っ張ってやれば、
　それぞれが F/Ka[m], F/Kb[m] 伸びる
　⇒ 合計 F(1/Ka+1/Kb) [m] 伸びる
　⇒ 二つのばねをまとめて、ばね定数 1/(1/Ka+1/Kb)[N/m] のばねとみなしても同じ
ということになるのです。今回の問題では Ka=Kb=20[N/m] なので、1/(1/Ka+1/Kb)=10[N/m] ですね。
No.6550 - 2009/07/04(Sat) 00:08:56
★ 二次関数の問題です / rino
答えの予想はできたのですが、どうも解き方がしっくりこないので、教えていただけませんでしょうか？

２つの放物線ｙ＝ａｘ＾2とｙ＝ｂｘ＾2がある。点Ｐ、Ｑはｙ＝ａｘ＾2上に、点Ｓ、Ｒはｙ＝ｂｘ＾2上にある。次の問いに答えなさい。

(1)　点Ｓの座標が(４,８)のとき、ｂの値を求めなさい。
　　　　これはわかります。1/2で間違いないと思います。

(2)　ｙ軸上に点Ｔがあり、線分ＴＳはｘ軸に平行である。
ＴＳ＝ＰＳのとき、ａの値を求めなさい。
　　　　２ではないかと思います。

(3)　四角形ＰＱＲＳは台形で、ＰＳ：ＱＲ＝４：３のとき、台形の面積を求めなさい。
　　　　答えは49/8のような気がするのですが…。
　　　　点Ｑの座標を何かにおかないと解けないのでしょうか？計算が複雑になってしまうので、それでよいのか自信がありません。解き方を教えていただけませんでしょうか？
No.6533 - 2009/07/01(Wed) 21:01:11
☆ Re: 二次関数の問題です / ヨッシー
問題をもう一度正しく、そのまま書いてください。
というのは、(2) において、ＴＳ＝４なのですが、
ＰＳ＝４ となる点Ｐは、ａが色んな値のときに、
存在します。

No.6534 - 2009/07/01(Wed) 23:28:50
☆ Re: 二次関数の問題です / rino
図の追加があります
No.6535 - 2009/07/02(Thu) 11:25:31
☆ Re: 二次関数の問題です / ヨッシー
(2) を２と答えていることから、ＴＰ＝ＰＳ
ではないですか？
で、Ｐ(2,8) から、ａ＝２ になります。
それとも、Ｐ(8,8) でａ＝1/8 でしょうか？

(3) は、(1)(2) の結果を引き継ぐのでしょうか？
もしそうだとして、
また、(2) がＴＰ＝ＰＳ の間違いで、ａ＝２が答えのとき
ＰＳ＝２ より、ＱＲ＝１．５　なので、
Ｒのｘ座標は1.5×２＝３、ｙ座標は 9/2
よって、求める面積は、
　(２＋1.5)×(８−9/2)÷２＝7/2×7/2×1/2＝49/8

ＴＰ＝ＰＳ の関係は、ＱＲの高さにおいてもいえます。
理由：ｙ＝２ｘ^2 と ｙ＝(1/2)ｘ^2 をｘ＞０ として、
ｘについて解くと、それぞれ
　ｘ＝√(y/2)、ｘ＝√(2y)
となり、ｙが同じ値の場合、
　√(2y)＝２・√(y/2)
より、ｘ座標は１：２ の関係になります。
No.6536 - 2009/07/02(Thu) 13:24:33
☆ Re: 二次関数の問題です / rino
すみません。確かにＴＰ＝ＰＳの間違いでした。私も不思議に思ったのですが、前の問題を引き継がないと解けないですね…。あまり見ない形のような気がしますが。ＴＰ＝ＰＳの関係は、ＱＲの高さにおいてもいえますというところがいまいちよくわからないのですが、つまりこれは、同様に２点をとってもｙが同値ならば、ｘの値が１：２になるということでしょうか？
No.6537 - 2009/07/02(Thu) 21:24:26
☆ Re: 二次関数の問題です / ヨッシー
>同様に２点をとってもｙが同値ならば、ｘの値が１：２になるということでしょうか？
そういうことです。
上記の「理由」のところで、一応説明しています。
No.6541 - 2009/07/02(Thu) 22:13:12
★ (No Subject) / ソーテルヌ
放物線ｙ＝ｘ＾２＋ａｘ＋２が、
２点Ａ（０，１）、Ｂ（２，３）
を結ぶ線分と異なる２点で交わる
ときのａの値の範囲を求めよ。

解答　−３／２＜ａ＜−１

答に至る過程が分かりません。
教えてください。よろしくお願いします。
No.6526 - 2009/06/30(Tue) 22:51:30
☆ Re: / ヨッシー
ＡＢを通る式は
　ｙ＝ｘ＋１
なので、これをｙ＝ｘ2＋ａｘ＋２ と連立させて、
　ｘ2＋ａｘ＋２＝ｘ＋１
　ｘ2＋(ａ−１)ｘ＋１＝０
これが　０＜ｘ＜２ に異なる実数解を持つようにａを決めます。
No.6528 - 2009/06/30(Tue) 23:14:31
★ 内分と外分 / ベジータ
次の問題を教えて下さい。

長さが１である線分ABをｍ：ｎに内分する点をP
ｔ：ｓに内分する点をQとするとき、
PQの長さを求めよ。
（内分ではなくても、負の数も考え外分も考えます。）

よろしくお願いいたします。
No.6512 - 2009/06/29(Mon) 23:41:18
☆ Re: 内分と外分 / rtz
A(0,0)、B(1,0)として、座標としてP,Qの位置を表すとよいでしょう。
No.6515 - 2009/06/30(Tue) 03:50:17
★ (No Subject) / ゆう
不等式、x^2＋y^2−2x＋4y<4、2y−x＋3≧0を同時に満たす整数の組(x,y)を全て求めよ。

よろしくお願いします!
No.6505 - 2009/06/29(Mon) 15:11:19
☆ Re: / ヨッシー
方眼紙（目盛がわかるもの）に、グラフを描くのが手っ取り早いと思います。
No.6506 - 2009/06/29(Mon) 15:34:05
☆ Re: (No Subject) / ゆう
わかりました!
やってみます!ありがとうございました!
No.6509 - 2009/06/29(Mon) 22:56:15
☆ Re: / KINO
グラフを描くのでいいと思いますが，蛇足です。

初めの不等式は (x-1)^2+(y+2)^2<3^2 なので，
x-1=X，y+2=Y とおくと，X^2+Y^2<9 を満たす整数の組 (X,Y) を全部求め，それを (x,y) に書き直し，2y-x+3≧0 のテストに合格するやつだけ拾えばよいです。

なお，x=X+1，y=Y-2 なので，2y-x+3≧0 を 2Y-X-2≧0 と書き換えて，(X,Y) の段階でふるいにかけることもできます。
No.6513 - 2009/06/29(Mon) 23:48:17
★ 数学？算数？中１です。 / ８１１８たかしです。
又すみませんが、教えて下さい。
これは、高校生クイズに載っていたのですが

「正方形の折り紙を折るだけで正三角形を作りなさい」

とありますが。ずっと考えているのですが。全ての
角度が６０度ということと、３辺が等しいかですよね。
高校生クイズって小学生の算数のようなのですが
分かりません。教えて下さい。よそしくおねがいします。
No.6496 - 2009/06/28(Sun) 22:14:43
☆ Re: 数学？算数？中１です。 / ヨッシー
半分のところに折り目をつけて

じゃダメなんですか？
No.6498 - 2009/06/28(Sun) 22:26:06
☆ Re: 数学？算数？中１です。 / 8118たかしです。
ヨッシー先生すみません。
今しているのですが、正三角形はどこに？

正三角形の何を満たされているのですか？
いくら折り方を考えても分かりません。

もう一度おねがいします。どうもすみません。
No.6499 - 2009/06/28(Sun) 22:36:25
☆ Re: 数学？算数？中１です。 / 8118たかしです。
分かりました。折った右側の三角ですね。そうだ
どんなにずらしても、正三角形ですね
ありがとうございました。すっきりしました。

どうも自分は頭がかたいみたいです。
すみませんでした。
No.6501 - 2009/06/28(Sun) 22:52:09
☆ Re: 数学？算数？中１です。 / ヨッシー
私の想定していたのは、こんな感じです。
No.6504 - 2009/06/29(Mon) 09:09:22
☆ Re: 数学？算数？中１です。 / ８１１８たかしです。
ヨッシー先生有難うございました。期末テストの数学が
又同じような失敗して凹んで帰ってきました。
又１点、cdをdcとアルファベット順に書かなかったから。
又９９点。それでも学年一番って言われても本当に嬉しく
ないんです。なんか、いやな気分です。自分が悪いからです

それから高校数学クイズしていて、No 6501で
分かったみたいでしたが、あれから、やっぱり証明できなくてもう一度教えてもらおうと思ったら、もう教えてくれて
すごく分かりやすい、動画がありました。すごいなあ。
数学だけじゃなくて、パソコンもこうして使えるのって。
どうしたらそんなに賢くなるんですか？

分かりやすい動画有難うございました。
ただどうして半分に折るのかその
折り目が目の付け所かなと思うのですが、どうしてか
それだけ教えて下さい。・・・?@

あと、ヨッシー先生の、このサイトは、中学１年生だと
どこから、どんな順番に、見ていけばいいですか？
それも教えて下さい。・・・・?A
?@と?Aをお願いします。

本当に、ありがとうございました。
一生忘れないと思いますっていったのに。又あわてました
テストの、正、負。文字式の計算だけで１００問題あり
それは、反対からして答え合わせをしてあとは簡単だと
見直しもしたのになあ。小学生の時は、それでも点数
くれたけど、これは、もしおまけで△でも嬉しくないですね。間違いは間違いですね。
本当に、これから、沢山出てくるから。

ヨッシー先生、中学からどんな方法で何かの問題集とか
使って勉強して、こうやって、何でも解けるのですか？
このあいだ、教科書していたら、って教えてもらいましたが
このままだとやっぱりダメかな？自分に甘いかな？って
思っています。いい問題集とかあれば教えて下さい。?B
になってしまいました。お願いします。

それから、まだ理科戻って来てないので、又報告します。
社会も、一つ間違えました。一筆書きできない、６大陸を
答えよって、直ぐに分かったのに、間違ってましたけど。
どうしてか聞きにいったら、・・・変。でした。
No.6507 - 2009/06/29(Mon) 21:53:07
☆ Re: 数学？算数？中１です。 / ヨッシー
本当は、

この図のような正三角形を考えていたんですが、そうすると、
正三角形の辺を作るために、もう一回折らないといけないので、
最初の折り目を使って、作れた方が良いかと思って、変えました。
でも、この図の方が、なぜ半分に折るかわかりやすいと思います。
正三角形の頂点は、向かい合う辺の垂直二等分線上に
あるので、それを示すために半分に折って、その折り線上に
頂点が来るように折ると、60°や30°が作れるのです。

私のサイトは、学校で習う通りに作ってませんので、どの順に
というのは難しいですね。
興味のあるところから、見ていってください。

どんな問題集というのも、一概には言えませんが、教科書の
出版社と同じのが良いのかな？（これも必ずそうではありません）
ただ、色んなものを買うより、一冊をきちんとやりきるように
した方が良いと思います。

一筆書き出来ない大陸？なんじゃそりゃ？
２つに割れてるってこと？
No.6508 - 2009/06/29(Mon) 22:27:14
☆ Re: 数学？算数？中１です。 / ８１１８たかしです。
ヨッシー先生、有難うございました。
●正三角形の頂点は向かい合う辺の垂直２等分線上にある
ですね。本当に、とってもよく分かりました。

社会変な問題でしょう？いろいろな検索をしましたが
全く先生の説明の意味も分からないまま帰ってきました。
６大陸の内の４大陸なのですが、ユーラシア大陸は
まだアジア・ユーラシア大陸と習っていて日本も
イギリスも入っています。ですから
文句なく、ユーラシア大陸と書いてきました。

いまからUPしますので見ぬくいかもしれないのですみません
丸は、帰って来てから自分で○付けをしたものです。

でも略地図というのがたまたままだ習っていませんでした
が、地理の先の方にありましたので覚えていましたが
それでも一筆書きなら、どれだってその地図ならできる
ので、おかしいと思い、普通の考え方で答えました。

正解は、オーストラリアらしいです。６大陸なら
アフリカも答えだというのです。見ると直線で書けない
一筆書きって直線だけっておかしくないですか？
これも９９点で全く嬉しくないです。
一人だけ正解はいたと言っていましたが、その子は
他のも分からないのでまぐれっていってました。
No.6510 - 2009/06/29(Mon) 23:35:54
☆ Re: 数学？算数？中１です。 / ８１１８たかしです。
もう一つUP忘れました。すみません。見てください。
よろしくお願いします。
No.6511 - 2009/06/29(Mon) 23:38:30
☆ Re: 数学？算数？中１です。 / ８１１８たかしです。
まだ【一筆書き」を調べてるんですけど
数学ですか？まだわかりません。教えて下さい。
パソコンでは、検索で出てくるのですが。あまり
理解できません。教科書の最後まで見ましたが
どこにも載っていません。資料にもどこにも載って
いませんでした。
No.6514 - 2009/06/30(Tue) 00:39:53
☆ Re: 数学？算数？中１です。 / ヨッシー
この略地図を見せられて、さらに問題の４択なら、
オーストラリアでしょうね。
他の３つは点でつながっていますので、数字の８が一筆で書ける
ように、これら３大陸も一筆で描けます。

ただし、この略地図で、この４択での話です。
アフリカが入ってくれば、この略地図では離れて
いるので、アフリカも一筆書き出来ません。
また、南極は、話の端にも上がっていませんが、６大陸
と言われれば、考慮しないわけにはいきません。
そもそも、略地図なんて、描く人によって、色々でしょうし
アフリカは実際くっついているのに離れているのも、
この略地図であればこそです。

問題文もひどいですね。
「次の４大陸を、図のような略地図で表すとき、一筆書きで
描いて、ひとつだけ描ききれないものはどれでしょう？」
ってことですよね？「世界」と言っておきながらアフリカは無視していますし、
そもそも、一筆書きで描く意味は何なんでしょう？
それに、クラス何人いるか知りませんが、まぐれでも当てられる
生徒が一人しかいないってどうなんでしょう？
全然問題の意味をくみ取ってもらえてないですね。
残念＞＞社会の先生

ただし、日本が、イギリスがという判断基準は、まずいですね。
キューバやマダガスカルなどもありますので。
No.6518 - 2009/06/30(Tue) 08:58:10
☆ Re: 数学？算数？中１です。 / ８１１８たかしです。
ヨッシー先生、数学のサイトなのに、いつも有難うございます。珍しく、食後寝てしまいました。すみません。
まず理科の報告ですが。「葉緑体」合ってました。ありがとうございました。
しかし、又先生に、疑問で、もう疲れたと思いました。
今度は、理科の先生で、光合成のところで「・・・水や栄養を体に取り入れる」と教科書にあったのに。取り入れるではなく「吸収」でないとダメという又１つ間違いで、教科書を
持って行って。どこにも意味はわかりますけど、吸収とは
書いていない、自分の文章そのままが載っていると
見せても、「もうその答えにしておいてくれ」とあっさりで
言葉は知っていますが、教科書どおりに覚えて書いたのに
何度もいったのに、その先生は答えを既に、張り出して
あるので、もうあの答えにしておいてくれというのです。
忙しそうにしているのは、分かるのですが、なんか期末は
疲れたなあって。思っていました。

社会の事ですが。今日このヨッシー先生が入れてくれて
入るのを知らず、学校に、行ってから、一筆書きって
もう一度説明してくださいと言ったら。
自分について、30人くらいが集まってきました。

その中で、「これは、先生の書き間違い、悪い！」それだけ
で、実は、●「一筆で全大陸を書こうと思ったら書けない大陸を答えなさい●そう書くべきやったな」って
そしたら、自分だって誰だってオーストラリアと分かる
ので99点満点にしてくれないのですか？って
聞いても、1点やから・・ってみんなもブーブー言って
ましたが、それも、おかしい正解を載せておきます。
間の。。全大陸を書こうと思ったら、書けない大陸が
抜けたっていうことかな？って笑っているので、なっとく
いきませんっていいました。でもみんな帰らされました。
しかも、この地図、北極のところ完全に離れているのに
くっついているというのです。この地図に忠実でも
アフリカもつながってないし。6大陸だったらアフリカも
入るって、これもおかしいと思いませんか？

どの先生も、何だか、自分達の味方になってくれそうに
ないとがっかりしました。

それと、はい、文の理解ができなくて、アジア・ユーラシア
大陸は、まだ次の範囲で、大きくユーラシア大陸だったので
自分も、間違っていますが、沢山、島があるのは、日本
イギリスのほかにもあるのは知っていました。だから
これは略地図だけどもって・・・理解しないと答えは
一つだったので、当てはまらなかったのです。
まあ間違いは、間違いで考え方も反省しますが
この赤い線が答えの一筆書きともらって、もう信じられない
でしょう？これなら、小学生でも分かるけども
絶対に、先生が書いたのか、アラスカのところは
あいてるって、途切れるって何度も、一応学級長しか
職員室へは、入れない時間だったので、みんなは
廊下に集まっているので訴えましたが
いい知らせを持って帰れないで、ごめんとなりました。
又あした、撤回してと授業中いうと言う子もいます。

■■又長くなってすみません。初めの高校のクイズの
正三角形なんですけど、やっぱり、60度、30度は
三角定規なら分かるんですけど、折るだけで
どうして、60度30度はどうして分かるのですか？直角（90°）の3分の?Tに何とか30度は作れても。
やっぱりもう一度お願いします。自分は、どうしても
折り紙の一辺が底辺に来ていると思うともう、三角形の
斜辺は、それよりも短く、正三角形になっていないと
思うのですが。やっぱり、教えて下さい。

それでは、幼稚な一筆書き、恥ずかしいですが、こういう
意味だったそうで、赤いところです。本当に、アラスカの
所明らかにつながってないのに。見てください。
No.6529 - 2009/07/01(Wed) 00:37:09
☆ Re: 数学？算数？中１です。 / ヨッシー
社会も理科も、何だかなぁって感じですね。
もう、次行きましょう(^^;


正三角形ですが、２つほど説明しておきました。
左の２つの図のように折ると、２つは対称なので、
３つの赤い線で正三角形が出来ます。

また、三角定規の30°、60°、90°の方の辺の比が、
　斜辺：最短の辺＝２：１
を知っているなら、右の図の青い三角形が、それになっている
ことからも、60°が出来ていることがわかるでしょう。
No.6530 - 2009/07/01(Wed) 06:02:59
☆ Re: 数学？算数？中１です。 / ８１１８たかしです。
お礼が遅くなってすみません。
ヨッシー先生、色々とありがとうございました。
３つの赤い線の正三角形は、理解できました。
ありがとうございました。

もう一つの、これは、習っていませんでしたので
覚えておこうと思っています。（三角定規の30°、60°、90°の方の辺の比が、斜辺：最短の辺＝２：１）

長い間同じものを、どうもすみませんでした。
それから、他の科目も本当にすみませんでした。

でも、ヨッシー先生なら、何でも信じられます。
又、これからも、よろしくお願いします。
No.6545 - 2009/07/03(Fri) 17:40:13
★ 空間図形 / マルス
長さ2の線分ＮＳを直径とする球面Ｋがある。点Ｓにおいて球面Ｋに接する平面の上の点で、Ｓを中心とする半径2の四分円（円周の1/4の長さをもつ円弧）ＡＢと線分ＡＢをあわせて得られる曲線上を、点Ｐが1周する。このとき、線分ＮＰと球面Ｋとの交点Ｑの描く曲線の長さを求めよ。

Ｋを中心（0,0,1）、半径2の球、Ａ（2,0,0）、Ｂ（0,2,0）とおくのがいいんじゃないかと思い付きましたが、ここから先がまったく進まないです。この問題の解き方を教えてください。お願いします。
No.6492 - 2009/06/28(Sun) 21:51:43
☆ Re: 空間図形 / angel
座標の設定はそれで良いかと思います。
さて、この問題では、Pが円弧AB上を通る時と、線分AB上を通る時とを別の問題として分けて考えた方が良いでしょう。

PがAと一致する場合 Qは(1,0,1)、PがBと一致する場合 Qは(0,1,1) となります。これをそれぞれQa, Qbと置く事にしましょう。

PがAと一致する場合、球面Kとxz平面の交わりである円とその直径 SN, A, Qa が同一平面上に現れるわけですが、今度はPが円弧AB上を動くと考えると、この円・SN, A, Qa の位置関係がそのままに、z軸を軸として回転していくようなイメージになります。
つまり、Qの軌跡は、xy平面に平行な円弧QaQb ( 球面Kの一部 ) であり、この中心角は明らかに90°です。

逆に、Pが線分AB上を動くことを考えると、Qは、球面Kと平面NAB ( x+y+z=2 (訂正)) の交わりの上を動きます。この交わりというのは、Kの中心(0,0,1)から平面NABに降ろした垂線の足(1/3, 1/3, 4/3) (訂正)を中心とする円です。
ということで、結局Qの描く曲線は、この円の円弧QaQbとなります。
この時、中心角は120°(訂正)になるのですが、これはQa,Qb,円の中心の位置関係から計算した方が良いでしょう。
No.6502 - 2009/06/29(Mon) 00:58:49
☆ Re: 空間図形 / マルス
詳しく教えてくれてありがとうございます。

”この円・SN, A, Qa の位置関係がそのままに、z軸を軸として回転していくようなイメージになります。”
イメージ力がないもので、どうしてそうなるかわからないです…

”平面NAB ( x+y+z=1 )”
これもよくわからないです。x+y+z=1はなんでしょうか？

”この交わりというのは、Kの中心(0,0,1)から平面NABに降ろした垂線の足(2/3, 2/3, 5/3) を中心とする円です。”
ここのところももう少し詳しく教えてもらえないでしょうか？お願いします。
No.6516 - 2009/06/30(Tue) 05:33:01
☆ Re: 空間図形 / angel
ごめんなさい。
後半部分の数字に相当間違いがありました。紛らわしいので訂正しました。( (訂正)とついている部分 )

1. z軸を軸として回転していくようなイメージ
　コンパスか何かで、実際に動かしてみると良いでしょう。
　コンパスの針のついている軸を紙に垂直に立てて、くるりと回すと、ペンの部分の先端が円を描くのですが、ペンの途中にある点も同じように空中で、紙に平行な見えない面上で円を描きます。

　それを踏まえて、P が円弧AB上を動くとき、球面Kを平面NSPで切断した断面は常に同じ形です。なので、点Qはxy平面から見て常に同じ高さにあり、ABと同じ中心角90°の円弧を描くことになります。

2. 平面NAB ( x+y+z=1 )
　x+y+z=2 の間違いでした。上で訂正しました。
　N(0,0,2), A(2,0,0), B(0,2,0) の3点を通る平面の方程式を求めるとこうなります。

3. Kの中心から平面NABに降ろした垂線の足を中心とする円
　Pが線分AB上を描く時、Qの描く軌跡は、平面NABによる球面Kの切り口の一部となります。
　で一般論として、球面と平面の交わりは必ず円になり、その円の中心は、球面の中心からその平面に下ろした垂線の足です。( 平面幾何で、「円と直線の2交点の中点は、その直線に円の中心から下ろした垂線の足と一致する」というのがあったと思いますが、同じことです )
　ということで、Kの中心から平面NABにおろした垂線の足を計算で求めていくことになります。
No.6520 - 2009/06/30(Tue) 13:13:42
☆ Re: 空間図形 / ヨッシー
こんな感じです。

画像が一枚しか貼れないので、あとでもう１つ貼ります。
No.6521 - 2009/06/30(Tue) 17:22:53
☆ Re: 空間図形 / ヨッシー
今度は、直線の代わりに、座標軸の方を動かしてみます。
弧ＡＢを動いている間は、線分が動いていないことがわかります。
つまり、線分は、ｚ軸に対して、同じ角度のままであるということです。
No.6522 - 2009/06/30(Tue) 17:29:39
☆ Re: 空間図形 / angel
ヨッシーさんも図を載せられていますが、私も図を載せてみました。百聞は一見に如かず、ということで。
なお、図中 H は 球面の中心から平面NABに下ろした垂線の足ですが、N,Qa,Qb を通る円の中心であり、△NQaQb の外心でもあります。
今、△NQaQbは正三角形なので外心Hは重心とも一致します…、という線で攻めた方が、計算は楽でしょう。
No.6531 - 2009/07/01(Wed) 17:08:51
★ 数列 / aki
もう一つ失礼致します(>_<)
http://p.upup.be/?whTsqXnt0r
の最後の問題ですが
bnを
http://t.upup.be/?XHJOVPRzVK
まで求めたときn≧2と条件がつくのはなぜですか？

またn=1のときは1/3＋1/6で、0にならないので成立していないと思うのですが…
疑問点のご指導宜しくお願い致します！
No.6489 - 2009/06/28(Sun) 20:06:48
☆ Re: 数列 / ヨッシー
問題文が右端が切れている上に、解答も、最後の部分だけ
見せられても、そこまでどうやって導いたのかわからないので、
何とも言えませんが、n=1 のときは、
（たぶん、http://t.upup.be/?XHJOVPRzVK の１行目は
ｂn＝・・・の式だと思いますが、）
　＝(1/3)(-1/2)＋1/6
なので、０になります。
No.6493 - 2009/06/28(Sun) 21:53:38
☆ Re: 数列 / aki
わかりました
申し訳ありませんでした。
No.6618 - 2009/07/09(Thu) 16:05:25
★ 極限 / aki
こんばんは！
質問お願い致します！
http://t.upup.be/?DZ3zerof2f
の最後の問題ですが、まず
xn≧1/2より|xn−a|≧(√5/2)^(n−1)×|x1−a|
が導けるそうなのですが、xn≧1/2は何からわかるのでしょうか？


またこれを挟み撃ちするとき、真中の部分に
(√5/2)^(n−1)〜
の式が来るために挟み撃ちがうまくつかえないように思います。


どうかご指導宜しくお願い致します！
No.6487 - 2009/06/28(Sun) 19:25:25
☆ Re: 極限 / rtz
上：問題文の下から2行目。
下：なら{(√5)/2}n-1で割ればいいのでは。
No.6488 - 2009/06/28(Sun) 19:55:43
☆ Re: 極限 / aki
お返事が遅くなり大変申し訳ありません
上は理解しました
下はまだわからないのですが、 聞き方が悪かったのですが
|xn−a|を挟むべきはずだと思うのに、それが真ん中ではなく真ん中に|x1−a|がきて
0<{√5/2}^(n−1)|x1−a|<|xn−a|
の形になっているのでこの先どうしたらはさめるのか、など全く見通しが立たなくなってしまいました。
すみませんがまた教えて下さい
No.6619 - 2009/07/09(Thu) 16:20:07
☆ Re: 極限 / rtz
あぁ、確かに的外れな回答でした。

lim[n→∞]|Xn−a|
≧lim[n→∞]{(√5)/2}n-1|X1−a|
＝∞(X1≠a)、0(X1＝a)

でいいのでは。
No.6761 - 2009/07/14(Tue) 22:15:08
★ 説明 / 愛
問題：2次方程式x~2+15x+54=m(x-k)がすべての実数mに対して実数解を持つような実数kの範囲を求めよ

左辺に移項させて判別式利用→2次不等式という解き方ではなく、放物線と直線の交点について考えて解きました。
y=x~2+15x+54、y=m(x-k)とおき、放物線について考えると、
y軸との交点はx=-6,-9、
放物線と直線が共有点を持たない場合はk<-9,-6<k(それぞれx=-9,-6における放物線の接線と直線が平行なとき)
と、共有点を持たない場合は簡単に説明でき、グラフより明らかに-9≦x≦-6というのも分かるのですが、上手く説明できません。
答案として説明は不十分ですか？
No.6483 - 2009/06/28(Sun) 11:05:56
☆ Re: 説明 / ヨッシー
>共有点を持たない場合は簡単に説明でき
これはＯＫですね。
>グラフより明らかに-9≦k≦-6
これも、確かにそうなんですが、数式で示す方法がほしいわけですね。

ｍ＝０のときは、常に交点(-6,0)(-9,0)を通るので、
ｍ≠０について考えます。
-9≦k≦-6 のとき、点(k,0) は、
　ｙ≧ｘ2＋１５ｘ＋５４
の領域にあります。一方、
　ｙ＝ｘ2＋１５ｘ＋５４
の最小値は、
　ｙ＝ｘ2＋１５ｘ＋５４＝(x+15/2)2−9/4
より、-9/4 である。
よって、直線ｙ＝ｍ（ｘ−ｋ）上で、ｙ＝-9/4 になる点
　(-9/4m＋ｋ,-9/4)
は、ｙ≦ｘ2＋１５ｘ＋５４ の領域にあり、
点(k,0) と (-9/4m＋ｋ,-9/4) の間に、放物線と直線の交点が
存在します。

よって、-9≦k≦-6 のとき、任意のｍについて、両者は共有点を持ちます。
No.6486 - 2009/06/28(Sun) 19:00:57
☆ Re: 説明 / 愛
ヨッシーさんありがとうございます。
No.6490 - 2009/06/28(Sun) 20:17:28
★ すみませんが / 公平
このもんだいがわかりません。
０≦ｘ≦３、０≦ｙ≦３のとき、Ｐ＝ｘ^2＋３ｙ^2＋４ｘ−６ｙ＋２の最大値及び最小値を求めよ。またそれぞれの場合のｘ、ｙの値を示せ。です。入試問題です…
No.6478 - 2009/06/27(Sat) 22:40:22
☆ Re: すみませんが / ヨッシー
Ｐ＝(ｘ＋２)2＋３(ｙ−1)2−５
と変形できます。
No.6479 - 2009/06/27(Sat) 23:37:00
☆ Re: すみませんが / 公平
> Ｐ＝(ｘ＋２)2＋３(ｙ−1)2−５
> と変形できます。

領域が入ってくるじゃないですか。
明らかに最大値ってｘ、ｙともに３のときですよね。
No.6480 - 2009/06/28(Sun) 07:10:33
☆ Re: すみませんが / ヨッシー
何を以て、「明らかに」と言われているのかわかりませんが、
たとえば、
　Ｐ＝ｘ^2＋３ｙ^2＋４ｘ−１２ｙ＋２
だと、ｘ＝ｙ＝３ で最大ではありませんね。
そこのところの説明が出来るのであれば、最小値の方も
わかるでしょう。
No.6481 - 2009/06/28(Sun) 08:20:33
☆ Re: すみませんが / 公平
> 何を以て、「明らかに」と言われているのかわかりませんが、
> たとえば、
> 　Ｐ＝ｘ^2＋３ｙ^2＋４ｘ−１２ｙ＋２

> だと、ｘ＝ｙ＝３ で最大ではありませんね。
> そこのところの説明が出来るのであれば、最小値の方も
> わかるでしょう。

どういうことですか？？
No.6495 - 2009/06/28(Sun) 22:04:18
☆ Re: すみませんが / ヨッシー
では、２つ質問です。
１）
Ｐ＝ｘ^2＋３ｙ^2＋４ｘ−６ｙ＋２
について、最大は
>ｘ、ｙともに３のとき
となぜ言えますか？
２）
Ｐ＝ｘ^2＋３ｙ^2＋４ｘ−１２ｙ＋２
について、Ｐが最大となる、ｘ、ｙはいくつですか？

ただし、いずれも、０≦ｘ≦３、０≦ｙ≦３　とします。
No.6497 - 2009/06/28(Sun) 22:21:48
☆ Re: すみませんが / 公平
> では、２つ質問です。
> １）
> Ｐ＝ｘ^2＋３ｙ^2＋４ｘ−６ｙ＋２
> について、最大は
> >ｘ、ｙともに３のとき
> となぜ言えますか？
> ２）
> Ｐ＝ｘ^2＋３ｙ^2＋４ｘ−１２ｙ＋２
> について、Ｐが最大となる、ｘ、ｙはいくつですか？
>
> ただし、いずれも、０≦ｘ≦３、０≦ｙ≦３　とします。

あ！この関数は円ですからＸが３のとき2つｙがでてきますね！！そうするとｙの定義域からでませんか！？
No.6517 - 2009/06/30(Tue) 07:02:37
☆ Re: すみませんが / ヨッシー
これは、円の式ではありません。
あくまでも、ｘ、ｙの２変数の２次関数です。

ｘに何かを入れて、ｙに何かを入れると、Ｐの値が決まります。
そのときの、Ｐの最大値を聞いています。
No.6519 - 2009/06/30(Tue) 11:48:05
☆ Re: すみませんが / 公平
> これは、円の式ではありません。
> あくまでも、ｘ、ｙの２変数の２次関数です。
>
> ｘに何かを入れて、ｙに何かを入れると、Ｐの値が決まります。
> そのときの、Ｐの最大値を聞いています。

それだとあてずっぽうになりませんか？？
公式みたいのありますか！？
No.6524 - 2009/06/30(Tue) 21:05:21
☆ Re: すみませんが / ヨッシー
もちろん、当てずっぽうなど必要ありません。
公式というか、やり方は、たとえば、
　Ｐ＝ｘ^2＋３ｙ^2＋４ｘ−６ｙ＋２
を
　Ｐ＝(ｘ＋２)2＋３(ｙ−1)2−５
と変形するようなことです。
No.6525 - 2009/06/30(Tue) 21:26:38
★ 不等式の証明 / ななこ
はじめまして。友達の紹介で見つけました。はじめて使います。

次の不等式を証明せよ。また、等号が成り立つときを調べよ。

（１）(x^4+y^4)(x^2+y^2)≧(x^3+y^3)^2

（２）x^4+y^4≧x^3y+xy^3

（３）x^2+y^2≧2(x+y-1)

（４）a^2+b^2+c^2/3≧((a+b+c)/3)^2

一体・・何からやればいいんでしょうか・・・。
やっぱり二乗するんですか？
あさってまでの宿題です。教えてください。お願いしますm(__)m
No.6475 - 2009/06/27(Sat) 18:56:45
☆ Re: 不等式の証明 / ヨッシー
基本は(左辺)−(右辺)≧０ を示す形です。
(1)
(左辺)−(右辺)＝(ｘ6＋ｙ6＋ｘ4ｙ2＋ｘ2ｙ4)−(ｘ6＋ｙ6＋２ｘ3ｙ3)
　＝ｘ2ｙ2(ｘ−ｙ)2≧０
等号はｘ＝０またはｙ＝０またはｘ＝ｙのとき

(2)
(左辺)−(右辺)＝ｘ3(ｘ−ｙ)＋ｙ3(ｙ−ｘ)
　＝(ｘ−ｙ)(ｘ3−ｙ3)
　＝(ｘ−ｙ)2(ｘ2＋ｘｙ＋ｙ2)
　＝(ｘ−ｙ)2{(ｘ＋ｙ/２)2＋(3/4)ｙ2}≧０
等号は　ｘ＝ｙ のとき

(3)
(左辺)−(右辺)＝ｘ2−２ｘ＋ｙ2−２ｙ＋２
　＝(ｘ−１)2＋(ｙ−１)2≧０
等号は　ｘ＝ｙ＝１ のとき

(4)
左辺は
(ａ2＋ｂ2＋ｃ2)/３
と解釈します。

{(左辺)−(右辺)}×９＝３(ａ2＋ｂ2＋ｃ2)−(ａ2＋ｂ2＋ｃ2＋２ａｂ＋２ｂｃ＋２ｃａ)
　＝２(ａ2＋ｂ2＋ｃ2＋ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ)
　＝(ａ−ｂ)2＋(ｂ−ｃ)2＋(ｃ−ａ)2≧０
等号はａ＝ｂ＝ｃのとき
No.6476 - 2009/06/27(Sat) 20:49:27
★ 漸化式 / aki
こんばんは(^◇^)
さっぱりな問題に当たってしまいました…
宜しくお願い致します…
http://v.upup.be/?wi0K972Sg2
の問題が、まずどうやってanの式を作ればいいのか、どう式をたてて何をやればいいのか、a2nとa2n＋1の二つが与えられているのは何を意味しているのか、などがさっぱりわからず、本当に手が付けられませんでした。
どうか1から教えてくださいませんか？
宜しくお願い致します！
No.6469 - 2009/06/26(Fri) 22:55:26
☆ Re: 漸化式 / angel
とりあえずは図を描いて、正確に状況を掴むことです。
結局のところ、x軸から頂点の高さまでが、どんどん半分ずつになっていく放物線を並べていくと、どこまで横幅を取るか、というところを見ていることが分かります。
そうすると、
　α[2]=α[0]+2√10
　α[4]=α[2]+2√5
　α[6]=α[4]+2√(5/2)
　…
というように、結局は公比 1/√2 の等比数列の和が出てくることになります。

なお、a[n], b[n]そのものの具体的な式は必要ないことに注意。
状況を掴むために何が分かっていれば良いか、は常に意識しましょう。
No.6471 - 2009/06/26(Fri) 23:33:11
☆ Re: 漸化式 / aki
お返事が遅くなり大変申し訳ありません。
とてもわかりやすい説明ありがとうございます!
ただ少しわからなかったところがあって
α[2]=α[0]＋2√10 の2√10はどうやってわかるのでしょうか？また
α[2]=〜
α[4]=〜
の羅列から公比が〜とわかる
というのがわかりませんでした。
α1と2が同じ値だったりするのがとてもひっかかり等比数列であることが理解できません。
すみませんがそこを教えていただけないでしょうか。
No.6620 - 2009/07/09(Thu) 16:41:03
☆ Re: 漸化式 / DANDY　U
y＝−x^2−a[n]a＋b[n]　も ｙ＝x^2 もグラフは合同なので
、計算簡略化のためｙ＝x^2
のグラフで説明してみます。

【Ｃ0の場合】　ｙ＝x^2　に　ｙ＝10/(2^0)＝10 を代入すると x＝±√10　となってグラフ
は（√10,10)　（−√10,10)を通ります。
−√10≦ｘ≦√10　の範囲のｙ＝x^2のグラフを上下ひっくり返して移動したものが、
angelさんが書かれたグラフの1番左の放物線の部分となります。
よって、α1−α0＝2*√10

【Ｃ1の場合】ｙ＝x^2　に　ｙ＝10/(2^1) を代入すると x＝±√10/√2　
したがって　α[3]−α[2]＝2√10/√2
【Ｃ2の場合】も同様に　α[5]−α[4]＝2√10/(√2)^2
【Ｃ3の場合】も同様に　α[7]−α[6]＝2√10/(√2)^3
　　・・・・

よって　α[2n]＝2√10＋2*√10/√2＋2√10/(√2)^2＋…＋2√10/(√2)^n
　　＝2√10｛1＋1/√2＋1/(√2)^2＋…＋1/(√2)^n ｝

したがって、α[2n]は　初項 2√10 ,公比 1/√2 の等比数列の和で表されることになります。
No.6634 - 2009/07/09(Thu) 22:33:26
☆ Re: 漸化式 / aki
やっと理解できました。
難しいですね…

ありがとうございました！
No.6707 - 2009/07/12(Sun) 18:21:09
★ 軌跡 / Ａ
軌跡の問題で、一通り解いた後で「逆に…」って
求めたものの与えられた条件を全て満たすかを確かめるのは
どうやってやれば良いんですか？

具体例は
Ｑ、原点Ｏからの距離と点Ａ（３、０）からの距離の比が２:１である点Ｐの軌跡を求めよ。

Ａ、（途中式）
よって点Ｐは円（Ｘ−４）二乗＋Ｙ二乗＝２二乗上にある。逆にこの円上の全ての点Ｐ（Ｘ、Ｙ）は条件を満たす。従って求める軌跡は点（４、０）を中心とする半径２の円である。

教科書にはそれが当たり前みたいに
「逆にこの図形点のＰは条件を満たすので…」としか書いて無いんですけど

いちいち計算で確かめたりする必要とかあるのでしょうか？それとも深いことは考えずに軌跡の問題では当たり前に「逆に…」と書いてしまって良いのでしょうか？

凄い急いでます。今日明日くらいにお返事頂けたら嬉しいです。お願いします。
No.6467 - 2009/06/26(Fri) 21:35:52
☆ Re: 軌跡 / angel
> いちいち計算で確かめたりする必要とかあるのでしょうか？
通常は必要です。

> それとも深いことは考えずに軌跡の問題では当たり前に「逆に…」と書いてしまって良いのでしょうか？
N.G.です。教科書の書き方を見ていないので断言はできないですが、おそらく「逆にPが条件を満たすことは、(教科書で詳しく説明していないくても)分かるよね? ちゃんと自分で示してくださいよ」というニュアンスなのではないかと思っています。
No.6468 - 2009/06/26(Fri) 22:48:57
☆ Re: 軌跡 / angel
示す方法は幾つか考えられますが、ボリュームを考えると、地道に計算するのが早道のように思います。
※アポロニウスの円を使ったのなら、図形的に説明しても良いのですが

点P(p,q) が (x-4)^2+y^2=2^2 上にある時、(p-4)^2+q^2=2^2 を満たしますから、p^2+q^2=8p-12 となります。
よって、
　OP^2/AP^2
　= (p^2+q^2)/((p-3)^2+q^2)
　= (p^2+q^2)/(p^2+q^2-6p+9)
　= (8p-12)/(8p-12-6p+9)
　= (8p-12)/(2p-3) = 4
これより、OP/AP=2
なお、分母が0にならないこと ( p≠3/2 ) は、予め書いておいた方が良いでしょう。

三角関数を習っているなら、それを使っても良いです。
いずれにせよ、軌跡の形が既に分かっている状態ですから、十分性の確認はそれほど大変にならないことが多いです。
No.6470 - 2009/06/26(Fri) 23:01:48
☆ Re: 軌跡 / Ａ
ありがとうございました。

数字一つ一つで表していくんじゃなくて、解き終わったところからまた新たにＰをＰ（Ｐ、Ｑ）と置いて逆に２:１なのを証明していけば良いんですね。



No.6472 - 2009/06/26(Fri) 23:53:15
★ 高校入試の問題です / rino
どのように考えればいいかわからない問題が出てきてしまったので、教えてください。

縦と横の長さの比がｘ：ｙの長方形の玉つき台がある。図１のように、頂点Ａ、Ｂ、Ｃの位置には穴があり、頂点Ｏから45度の角度で玉を打ち出す。玉は壁に当たると、当たったときと同じ角度で跳ね返る。例は図２である。ただし、玉の大きさ、壁の厚さは考えないものとし、玉は穴に入るまで止まらないものとする。

(1)　ｘ＝４、ｙ＝６のとき、玉は何回跳ね返って、どこの穴に入りますか。
　　　　これはおそらく３回跳ね返って、Ａの穴に入るのではないかと推測しました。

(2)　ｘ＝５、ｙ＝４のとき、玉は何回跳ね返って、どこの穴に入りますか。

(3)　ｘ＝７、ｙ＝３のとき、玉は何回跳ね返って、どこの穴に入りますか。

(4)　ｘがいくつのとき、ｙ＝５ならば、玉は６回跳ね返るか。また、どこの穴に入るか。ただし、ｘとｙは、整数で１以外に公約数をもたないものとする。
No.6466 - 2009/06/26(Fri) 21:33:48
☆ Re: 高校入試の問題です / ヨッシー

図のように、跳ね返らせる代わりに、ボールがそのまま
進んで、その先には、玉突き台が、鏡のようにつながっていると
考えます。
このとき、角度45°で打っているので、台をつなぎ合わせた
ものが、正方形になったとき、対角線を玉が通って、
反対側の穴に落ちます。
矢印が、辺と交わった回数が、跳ね返った回数です。

(1) これは、問題の例(図２)を２倍に拡大したものなので、
３回跳ね返ってＡに落ちます。
(2)７回跳ね返って、Ｃに落ちます。
(3)８回跳ね返って、Ｂに落ちます。

たとえば、(3) の図で、正方形の辺以外の線分は、
横２本、縦６本の８本あり、矢印はそれらをすべて１回ずつ
横切るので、跳ね返る回数も８回です。
一般に、長方形を横ｍ個、縦ｎ個つなげたときは、
　(ｍ−１)＋(ｎ−１)＝ｍ＋ｎ−２
回跳ね返ります。
(4)
ｍ＋ｎ−２＝６ なので、ｍ＋ｎ＝８
６回跳ね返るときは、長方形を
　１×７に並べる　・・・ｘが整数にならないので削除
　２×６に並べる　・・・ｘとｙが互いに素にならず削除
　３×５に並べる　・・・ｘ＝３に決定
　４×４に並べる　・・・ｘとｙが互いに素にならず削除
上のような図を書くと、Ｂに落ちることがわかります。
No.6474 - 2009/06/27(Sat) 00:06:01
☆ Re: 高校入試の問題です / rino
なるほど。よくわかりました。最小公倍数を使うのかな？とまでは思ったのですが、正方形にして考えれば確かにそうなるんですね。跳ね返る…が頭に残って柔軟な発想ができませんでした。ありがとうございました。
No.6484 - 2009/06/28(Sun) 13:28:33
★ 2次関数 / りんご
放物線y=x^2+px+q……?@が(1,4)を通るとき、放物線?@の頂点のy座標をzとすると、

z=-1/4p^2-p+3

となるから、zはp=-2のとき、最大値4をとる。
また、放物線?@がx軸と共有点をもつとき、p≦6,2≦p となる

なぜこのようになったのか、解法を教えて下さい。
お願い致します。
No.6465 - 2009/06/26(Fri) 20:07:29
☆ Re: 2次関数 / X
>>z=-1/4p^2-p+3
が成立する理由が分からないのですか？
No.6477 - 2009/06/27(Sat) 22:04:25
☆ Re: 2次関数 / りんご
そうです。
どのように計算すれば良いのか分かりません。
No.6482 - 2009/06/28(Sun) 10:57:09
☆ Re: 2次関数 / KINO
まず，この放物線の頂点の座標を p，q で表してみましょう。

この放物線が (1,4) を通ることから q を p で表せますから，頂点の y 座標を表す式に代入すれば z=-(1/4)p^2-p+3 になるはずです。
No.6485 - 2009/06/28(Sun) 14:47:38
☆ Re: 2次関数 / りんご
すみません。いまいち理解できません。
そのような式になる過程を教えていただきたいのですが。
No.6491 - 2009/06/28(Sun) 21:48:42
☆ Re: 2次関数 / ヨッシー
もし、pとqが何の関係もなかったら、　
　y=x^2+px+q＝(x+p/2)2-p2/4＋q
なので、
　ｚ＝-p2/4＋q
です。ところが、y=x^2+px+q が (1,4) を通ることから、
p と q には
　4=1+p+q
という関係があることがわかります。
No.6494 - 2009/06/28(Sun) 22:02:25
☆ Re: 2次関数 / りんご
なるほど！分かりました。

何度も申し訳ないのですが

>>zはp=-2のとき、最大値4をとる
何故p=-2なのか分かりません。

あと、何故p≦6,2≦p になるのかも分からないのですが。

差し支えなければ教えて下さい
No.6500 - 2009/06/28(Sun) 22:38:18
☆ Re: 2次関数 / ヨッシー
z=-(1/4)p^2-p+3
より、ｚはｐの２次関数なので、２次関数の最大最小の
考え方で求められます。
後半は、判別式でしょう。
No.6503 - 2009/06/29(Mon) 06:58:19
☆ Re: 2次関数 / りんご
後半なのですが、z=-(1/4)p^2-p+3　を判別式にするのですか？
答えがp≦6,2≦pになりません。

どうか教えて下さい。
No.6523 - 2009/06/30(Tue) 18:07:53
☆ Re: 2次関数 / ヨッシー
>放物線?@が
と書いてあるので、
　y=x^2+px+q
の判別式をとらないといけません。
ｑ＝３−ｐ なので、
　ｙ＝ｘ2＋ｐｘ＋３−ｐ
判別式をとって、
　Ｄ＝ｐ2＋４(ｐ−３)
　　＝(ｐ＋６)(ｐ−２)≧０
より　ｐ≦−６　または　ｐ≧２　です。
No.6527 - 2009/06/30(Tue) 23:12:12
☆ Re: 2次関数 / りんご
丁寧な説明のおかげでよくわかりました
ありがとうございます。
No.6532 - 2009/07/01(Wed) 18:45:02
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