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★ 積分 / 山崎
∫（x=0〜π/2)f(sinx)dx=∫（x=0〜π/2)f(cosx)dx
となる理由としてf(sinx)とf(cosx)がx=π/4に関して対称だから、とあったのですが、なぜそうなるのか分かりません。苦手なのでなるだけ省略しないで書いてもらえたらありがたいです。
よろしくお願いします。
No.8499 - 2009/10/20(Tue) 18:51:00
☆ Re: 積分 / X
質問の意味が
f(sinx)とf(cosx)がx=π/4に関して対称である理由が分からない
と解釈して回答しておきます。

g(x)=f(sinx)
h(x)=f(cosx)
と置くと
g(π/4-x)=f(sin(π/4-x))
=f((1/√2)cosx-(1/√2)sinx)
h(π/4+x)=f(cos(π/4+x))
=f((1/√2)cosx-(1/√2)sinx)
∴g(π/4-x)=h(π/4+x)
これはg(x)とh(x)がx=π/4に関して対称であることを
示しています。
No.8500 - 2009/10/20(Tue) 21:13:19
☆ Re: 積分 / ヨッシー
対称性の方は、Ｘさんが説明してくださったので、
積分して、同じになる説明をします。

図は、f(x)=2x^2 の例です。
青がy=sinｘ、赤がy=cosｘ、水色がy=f(sinｘ)、オレンジがy=ｆ(cosｘ)です。
π/4 を挟んで対称になることは、Ｘさんの示されたとおりですが、
これを、０からπ/2 まで積分すると、
f(sinx) を０からπ/4 まで積分したものと、f(cosｘ)をπ/4からπ/2まで積分したもの(青の面積)
f(sinx) をπ/4からπ/2 まで積分したものと、f(cosｘ)を０からπ/4まで積分したもの(赤の面積)
は、それぞれ等しいので、０からπ/2までの積分（青＋赤)は等しくなります。
No.8501 - 2009/10/20(Tue) 21:34:44
☆ Re: 積分 / 山崎
お二方どうもありがとうございました。質問の仕方が悪かったみたいです。

f(sinx)とf(cosx)がx=π/4に関して対称であることを自分から気づく（導く）方法はないのですか？なぜx=π/4なのかということです。

（f(sinx)とf(cosx)がx=π/4に関して対称であるのかどうかの証明はXさんがしてくれましたが）
No.8505 - 2009/10/21(Wed) 02:13:50
☆ Re: 積分 / ヨッシー
積分範囲が、０からπ/2 なので、その真ん中の点 π/4 に対して
対称であれば、積分区間でピッタリひっくり返せるので、
ｘ＝π/4 について対称かを調べています。
ｘ＝π/3 などで対称でもしようがありません。

この問題、ｘ＝π/4 について対称であることは、そんなに
こだわるところではありません。
むしろ、
　cos(π/2−θ)＝sinθ
であることを利用し(この式自体π/4 に対して対称だと言ってるのと同じですが)
　ｘ＝π/2−ｔ
とおくと、
　∫0〜π/2f(cosx)dx
　＝−∫π/2〜0f(cos(π/2-t))dt
　＝∫0〜π/2f(sinｔ)dt
となります。
No.8507 - 2009/10/21(Wed) 08:30:44
★ 中学入試の問題 / 名無し
速さの問題がよくわかりません。

条件にしたがって，次の問いに答えなさい。
（１）すれ違った新幹線の長さは、太郎くんが乗っている新幹線と同じ全長３５０m でした。
（２）新幹線の太郎くんの座っている座席の真横に、すれ違う新幹線の先頭部分が見えてから最後尾が通過するまでの時間は、２．８秒でした。
（３）太郎くんが乗っている新幹線は、時速２７０?qで走行中でした。

問１ すれ違った新幹線は、太郎くんが乗った新幹線とすれ違うときに、時速何km で走行していましたか。時速何km か答えなさい。


（４）行きに、太郎くんが乗った蒸気機関車と客車の全長は２００m でした。
（５）行きに、太郎くんが乗った蒸気機関車と客車がトンネルを通過するのに５０秒かかりました。ただし、トンネルを通過する時間とは、先頭の蒸気機関車がトンネルに入ってから一番後ろの客車がトンネルをぬけるまでの時間です。
（６）帰りに、太郎くんは、全長１００m の電車に乗りました。
（７）帰りに、太郎くんが乗った電車の速さは、行きに太郎くんが乗った蒸気機関車と客車の速さの２倍の速さであることを車掌さんから教えてもらいました。
（８）帰りに、太郎くんが乗った電車が、行きに太郎くんが乗った蒸気機関車と客車が通過したトンネルと同じトンネルを通過するのに２０秒かかりました。ただし、トンネルを通過する時間とは、先頭の車両がトンネルに入ってから一番後ろの車両がトンネルをぬけるまでの時間です。

問２ このトンネルの長さは何m ですか。単位はm で答えなさい。

問３ 行きに太郎くんが乗った蒸気機関車と客車の速さは、時速何km ですか。時速何km か答えなさい。
No.8496 - 2009/10/20(Tue) 11:16:28
☆ Re: 中学入試の問題 / ヨッシー
まず、こちらの旅人算、通過算を、よく理解してください。
No.8498 - 2009/10/20(Tue) 17:16:03
☆ Re: 中学入試の問題 / 名無し
ヨッシーさんありがとうございます。最初の２問よくわかりました。次の３問ですが…、問１は、350ｍを2.8秒で進むということでしょうか？問２は、帰りの電車は50秒で行きの蒸気機関車の２倍の距離を進むんですよね。ということは、300ｍでいいんでしょうか？とすると、問３は、時速36kmになったのですが。
No.8502 - 2009/10/20(Tue) 22:37:16
☆ Re: 中学入試の問題 / ヨッシー
>問１は、350ｍを2.8秒で進むということでしょうか？
そうですね。その速さが、２本の新幹線の速さの合計になります。

>問２は、帰りの電車は50秒で行きの蒸気機関車の２倍の距離を進むんですよね。
はい。

>ということは、300ｍでいいんでしょうか？
途中、どう考えたかはわかりませんが、答えは合っています。

>とすると、問３は、時速36kmになったのですが。
これも答えは合っています。
No.8509 - 2009/10/21(Wed) 11:49:06
★ 中学入試の問題 / 名無し
教えてください
次の４つの条件がある。下の問いに答えなさい。
（１）新幹線の太郎くんの座っている座席の真横に在来線の最後尾が見えたときから、在来線の先頭部が真横に見えたときまで、５秒かかりました。
（２）太郎くんが乗っている新幹線は、全長３５０m でした。
（３）太郎くんが乗っている新幹線は、このとき時速２１６km で走行中でした。
（４）在来線の列車の長さは全長１５０m であり、太郎くんが乗った新幹線に追い越されるときに、在来線の速さは変化していませんでした。

問１ 在来線は、太郎くんが乗った新幹線に追い越されるときに、時速何km で走行していましたか。時速何km か答えなさい。

問２ 在来線に乗っている人から見て、新幹線に追い越される時間は何秒ですか。追い越される時間を答えなさい。割りきれないときは、小数第２位を四捨五入して小数第１位まで答えなさい。ただし、新幹線に追い越される時間とは、在来線に乗っている人から見て新幹線の先頭部が見えたときから
さいこうび最後尾が見えたときまでの時間とします。単位は秒で答えなさい。
No.8495 - 2009/10/20(Tue) 09:38:49
☆ Re: 中学入試の問題 / ヨッシー
問１
新幹線が在来線を追い抜くときは、在来線が止まっていて、
新幹線が、
　新幹線の速さ−在来線の速さ
で進むのと同じで、その速さで、１５０ｍを５秒で進みます。
　新幹線の速さ−在来線の速さ
は、時速108km で、在来線は、時速108km となります。

問２
時速108km で３５０ｍを進む時間です。
No.8497 - 2009/10/20(Tue) 12:47:02
★ 面積 / phira
同じ質問をしていたらお詫びします。
放物線Ｃ:y＝x^2上の２点Ｐ(a,a^2),Ｑ(b,b^2)(a＜b)を考える。
(１)点Ｐ、ＱにおけるＣの接線をそれぞれl,mとするとき、lとmの交点Ｒの座標を求めよ。
(2)Ｃとl,mで囲まれた部分の面積が１/12となるための、a,bが満たすべき条件を求めよ。
(３)更に、lとmが直交するとき、aとbの値を求めよ。
（２）から解き方が分かりません。よろしくお願いします。
No.8491 - 2009/10/20(Tue) 00:31:27
☆ Re: 面積 / ヨッシー
こちらにあります。
No.8492 - 2009/10/20(Tue) 06:51:21
☆ Re: 面積 / phira
すみません。見つからないのですが…
No.8493 - 2009/10/20(Tue) 07:06:55
☆ Re: 面積 / ヨッシー
その記事の、ずっと下の方にあります。
No.8494 - 2009/10/20(Tue) 08:55:53
☆ Re: 面積 / phira
見つかりました?I
ありがとうございます。
No.8559 - 2009/10/23(Fri) 19:24:42
★ またまた ‥ / ゆりか


質問失礼します。



aは正の定数

(ax-5)/(x-2a) ＞1

なんですけど、
両辺にかける数って、
(x-2a)^2で良いのでしょうか?

友達にxだけで良いと言われたのですが‥。


また、どう場合分けになるかも教えてください。


お願いします
No.8480 - 2009/10/19(Mon) 07:44:53
☆ Re: またまた ‥ / 豆
言っている意味が良くわからないところがありますが、
不等式を解きたいということだと解釈します。

不等式を解くためなら、掛算の必要はありません。
通分した、
((a-1)x+(2a-5))/(x-2a)＞0　・・・＊　のままで解けばよいということです。

ただ、分数が気持ち悪い人は符号の変わらない(x-2a)^2を掛けてもよいです。
例えば、(x-2)/(x-1)＜0　　はこのままで1＜x＜2が言えますが、
わざわざ(x-1)^2を掛けて、
(x-2)(x-1)＜0　として　1＜x＜2　とするかどうかの選択です。

さて、*を以下解いて見ましょう。
分母はx=2aで0になることが分かっているので、分子がどこで0になるかをみます。
そのためにはa-1がどうなるかです。
a=1のときは、　-3/(x-2)＞0　　　∴x＜2
a-1＞0のときは、　両辺をこれで割って
(x+(2a-5)/(a-1))/(x-2a)＞0　となるので、　　
-(2a-5)/(a-1)　と2aの比較をして、　小＜x＜大　となります、
a-1＜0のときは　両辺をこれで割って、不等号が逆になった
不等式を同様に解きます。
No.8488 - 2009/10/19(Mon) 15:01:11
☆ Re: またまた ‥ / ゆりか


ありがとうございました
No.8489 - 2009/10/19(Mon) 21:02:25
★ 楕円の標準形ではないんですよね。。 / かな
方程式2x^2-2xy+y^2-4y+3=0の表す曲線をCとするとき
曲線Cで囲まれた図形の面積を求めよ。という問題で

変形してｙ＝x±√（-x^2+4x+3)（１≦x≦３）

から回答ではいきなりおおまかなグラフが書かれているんですけど
そんな簡単に分かるものなんでしょうか？
誰か教えてください（＞＜）
No.8477 - 2009/10/19(Mon) 01:20:17
☆ Re: 楕円の標準形ではないんですよね。。 / 豆
最初の式が正しければ、変形すると、
y=x+2±√(-x^2+4x+1)
これは直線：y=x+2と円：(x-2)^2+y^2=5の合成なので、
概形は描けるでしょう。
No.8482 - 2009/10/19(Mon) 08:59:05
☆ Re: 楕円の標準形ではないんですよね。。 / かな
2x^2-2xy+y^2-4y+3=0の-4yは-4xでした。
すいません。

「円と直線の合成」というのがあるのですか？
三角関数の合成ならしってますが・・

具体的に教えてもらえないでしょうか。
よろしくお願いします。
No.8486 - 2009/10/19(Mon) 11:56:27
☆ Re: 楕円の標準形ではないんですよね。。 / ヨッシー
2x^2-2xy+y^2-4x+3=0 だとすると、
ｙ＝x±√（-x^2+4x−3) で
いずれにしても、直線ｙ＝ｘ と 円(x-2)^2＋y^2＝1 の合成になります。

合成と言っても、足しあわせるだけです。
２つのグラフを描いて、特徴的な点を取りつつ結ぶだけです。
たとえば、ｘ＝２のとき、直線上の点は(2,2)、円上の点は
(2,1) と (2,-1) なので、(2,3) と (2,1) を取ります。

こうしてグラフを描きつつ、「ｘ方向の微小幅を考えると、
この図形も、円も同じだなぁ」と思いを巡らせるのです。
No.8487 - 2009/10/19(Mon) 13:06:34
★ お願いします / 綾
周りの長さが36m面積が77?uの長方形の縦と横の長さをもとめよ 二次方程式で
No.8475 - 2009/10/19(Mon) 00:24:25
☆ Re: お願いします / rtz
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1413140799
参照。

この類の問題が教科書に載っていないことなど
そう無いと思いますが。
No.8476 - 2009/10/19(Mon) 00:48:37
☆ Re: でてましたよ / Ｔｏｍ
http://b.cgiboy.com/Custom/BBS/0024274に
でてましたよ
No.8478 - 2009/10/19(Mon) 01:47:29
★ 確率と微積 / Ｔｏｎ
1、正しいものは○ちがうものはバツをつける
○×問題が６問あり解答者がまったくでたらめに印をつける。

（１）全部正解の確率
　　１／６４　　であってますか？

（２）5個以上正解である確率
　　　これが分かりません
（３）少なくとも半分正解の確率　
　　　これも分かりません


２、放物線ｙ＝ｘ＾２＋２ｘ−２とｙ＝ａｘで囲まれる
図形の面積をＳ（ａ）とする

（１）Ｓ（ａ）をａで表せ・・・
　　　これが分かりません　
一応出ましたが、指数とかが出てきて・・・


（２）Ｓ（ａ）が最少になるときのａとそのときのＳ（ａ）は？
これもできませんでした・・・・


どなたかスマートなやりかたをおねがいします
No.8474 - 2009/10/18(Sun) 23:11:44
☆ Re: 確率と微積 / ヨッシー
(1) はそれで合っています。
(2) は、(1) に、５問正解の確率を足したものです。
　５問正解の確率は、どの５問を正解するかの選び方が 6Ｃ5＝6(通り)
　１つにつき1/64 の確率で起こるので、
　　6×1/64＝6/64
　(1) と足して、答えは、7/64 になります。
(3) ３問正解の確率は、
　6Ｃ3×1/64＝20/64＝5/16
　(1 + 5/16)÷2＝21/32
または
　5/16＋(1−5/16)÷2＝21/32
もちろん、４問正解の確率 6Ｃ4×1/64＝20/64 を出して
　1/64＋6/64＋15/64＋20/64＝42/64＝21/32
としても出ます。
No.8483 - 2009/10/19(Mon) 09:20:10
☆ Re: 確率と微積 / ヨッシー
積分の方は、こちらの一番目の公式を使いましょう。

ｙ＝ｘ＾２＋２ｘ−２とｙ＝ａｘを連立させた、
　ｘ^2＋(２−ａ)ｘ−２＝０
の解をα、β(α＜β)とすると、
　S(a)＝(β−α)^3/６
となります。
解と係数の関係　α＋β＝ａ−２、αβ＝−２　より
　(β−α)^2＝(α＋β)^2−4αβ＝(ａ−２)^2＋８＝ａ^2−４ａ＋１２
よって、
　S(a)＝(ａ^2−４ａ＋１２)^(3/2)/６

ａ^2−４ａ＋１２は常に正で、これが最小の時S(a) も最小なので、
　ａ^2−４ａ＋１２＝(ａ−２)^2＋８
より、ａ＝２のとき最小で、
　S(2)＝8√8/6＝8√2/3

微分でも出来ます。
S(a)を a で微分して、
　S'(a)＝(3/2)(2a-4)(ａ^2−４ａ＋１２)^(1/2)/６
ａ^2−４ａ＋１２は常に正なので、S'(a) は
　ａ＜２ で負、ａ＞２で正、ａ＝２で０
となり、ａ＝２で、極小かつ最小になります。
S(2)＝・・・(以下同じ)
No.8484 - 2009/10/19(Mon) 09:35:08
☆ Re: 確率と微積 / Ｔｏｍ
ありがとうございます
このレベルの問題はどういった問題集に載ってますか？
No.8504 - 2009/10/20(Tue) 23:46:57
☆ Re: 確率と微積 / ヨッシー
これ！といってドンピシャのはわかりませんが、
確率の方は、割と基本的なので、大抵のものには載っているでしょう。
積分のほうは、(β−α)^3/6 の公式は、普通の教科書傍用の
問題集に出ています。その後を解と係数で解くか、解の公式で
解くかは、微妙(難易度に大差ない)ですが、どちらかの方法は
載っているでしょう。

いずれにしても、さほど突飛な問題ではないと思います。
No.8510 - 2009/10/21(Wed) 12:58:45
☆ Re: 確率と微積 / Ｔｏｍ
ありがとうございます
No.8519 - 2009/10/22(Thu) 10:59:47
★ 初めまして / かえる
大学生です。
家庭教師のアルバイトで教えている高３生徒からの質問が分からず、助けて頂きたいです。

α=(3+√5)/2とする。数列{An}を、
　　An=α^n+1/α^n (n=1,2,3…)
と定める。
(1)A1,A2,を求めよ。
(2)An+2=3An+1-An (n=1,2,3…)
(3)α^n (n=1,2,3…) にもっとも近い整数を４で割った余りを求めよ

という問題で、(1)(2)は何とか解けたのですが、(3)が分かりませんでした。
誘導問題だと思いますが、乗れず。
よろしくお願いします(*_ _)
No.8472 - 2009/10/18(Sun) 21:25:37
☆ Re: 初めまして / rtz
A1〜A6あたりまで調べてみるといいでしょう。
あとは数学的帰納法などで証明が可能です。
No.8473 - 2009/10/18(Sun) 22:52:09
★ ベクトル / いっぴー
(1)s+t=1,s≧0,t≧0のとき、(OP→)=s(OA→)+t(OB→)をみたす点Pの存在範囲を図示しなさい。
(2)s≧0,t≧0のとき、(OP→)=s(OA→)+t(OB→)をみたす点Pの存在範囲を図示しなさい。
(3)3s-2t≦1,s≧0,t≧0のとき、(OP→)=s(OA→)+t(OB→)をみたす点Pの存在範囲を図示しなさい。

(1)は内分点の公式から直線になるとすぐ分ったんですが、(2)と(3)の解き方がさっぱり分からないです。やり方を教えてください。お願いします。
No.8462 - 2009/10/18(Sun) 15:16:36
☆ Re: ベクトル / ヨッシー
この手の問題を理解する一つの方法として、
ＯＡ＝(1,0)、ＯＢ＝(0,1) とすると、
ＯＰ＝(s,t) となるので、ｓ≧０，ｔ≧０ のときに
座標(s,t) が表す領域を考えれば、わかりやすいです。
No.8464 - 2009/10/18(Sun) 16:38:50
☆ Re: ベクトル / いっぴー
(2)はOA方向には長さs、OB方向には長さtの長方形になるということでしょうか？

(3)のほうはやっぱわからないです。
No.8466 - 2009/10/18(Sun) 19:06:25
☆ Re: ベクトル / ヨッシー
(2) は、およそ正しいですが、s,t は、0以上で、いくらでも大きい
値を取れるんですよね。
何とか象限という言い方をするとどうなるでしょうか？

(3) は、S=3s T=-2t とおくと、
　ＯＰ＝(S/3)ＯＡ＋(-t/2)ＯＢ
となりますから、
　ＯＣ＝ＯＡ/3, ＯＤ＝ＯＢ/(-2)
とおくと、
　ＯＰ＝SＯＣ＋TＯＤ
　S+T≦1
となり、(1)や(2) と同じ問題になります。

こちらもあわせてご覧ください。
No.8470 - 2009/10/18(Sun) 21:15:25
★ はじめまして。 / あき

2点、A(a-??3、2a-3)
B(a+6-??3、2a+9)と
曲線 y=(x^3/3)-X-3 がある。

線分AB(両端含む)上の任意の点Pから曲線に異なる3本の接線が引けるためのａについての条件を求めよ。


よろしくお願いします。



No.8459 - 2009/10/18(Sun) 12:11:55
☆ Re: はじめまして。 / rtz
[1].y=(1/3)x^3-x-3に対し、接線が3本引けるような点の存在範囲を求める。
[2].直線ABを式で表し、y=(1/3)x^3-x-3との位置関係をグラフに表す。
[3].直線ABの区間幅6の全ての点が[1]で求めた範囲に入っているような区間を考え、その条件をaで表す。
No.8461 - 2009/10/18(Sun) 14:58:47
☆ Re: はじめまして。 / あき

レスありがとうございます★

1) の 点の存在範囲とは
どう求めたら良いのですか?
No.8465 - 2009/10/18(Sun) 16:55:12
☆ Re: はじめまして。 / rtz
f(x)=(1/3)x^3-x-3

点(x,y)からy=f(x)に対し接線が3本引ける
⇔y=f(x)上の点(t,f(t))における接線が点(x,y)を通るとしたとき、tに関する3次方程式が3つの相異なる実数解を持つ。
⇔3次方程式y=f'(t)(x-t)+f(t)が3つの相異なる実数解を持つ。
No.8467 - 2009/10/18(Sun) 19:22:57
☆ Re: はじめまして。 / あき


すみません ‥
まだよくわからないです。

y=-(2/3)t^3+xt^2-x-3
となるわけですか ?


それ以降、どうすれば良いのでしょうか?

質問ばかりですみません
No.8481 - 2009/10/19(Mon) 08:27:58
☆ Re: はじめまして。 / rtz
どの部分が分からないか具体的に書いていただけますか？

＞点(x,y)からy=f(x)に対し接線が3本引ける
＞⇔y=f(x)上の点(t,f(t))における接線が点(x,y)を通るとしたとき、tに関する3次方程式が3つの相異なる実数解を持つ。
＞⇔3次方程式y=f'(t)(x-t)+f(t)が3つの相異なる実数解を持つ。

の部分は理解されたと考えてよろしいのですか。
No.8490 - 2009/10/19(Mon) 23:13:36
★ 不等式の問題についてです / ゆりか

x^log{a}x＞(x/a)^a

はどのようにして
解くのですか ‥ ?


No.8458 - 2009/10/18(Sun) 11:14:58
☆ Re: 不等式の問題についてです / ゆりか

すみません。
a＞0 です 。
No.8460 - 2009/10/18(Sun) 12:12:32
☆ Re: 不等式の問題についてです / rtz
両辺とも底aで対数をとればよいでしょう。
aの値に気を付ければ、2次不等式に帰着します。
No.8463 - 2009/10/18(Sun) 15:56:44
☆ Re: 不等式の問題についてです / ゆりか


説明ありがとうございます


両辺とも底aで対数を取るとは、どういうことですか?


No.8468 - 2009/10/18(Sun) 19:30:00
☆ Re: 不等式の問題についてです / ヨッシー
x^log{a}x＞(x/a)^a
に対して、
　loga(x^log{a}x)
と
　loga(x/a)^a
を考えるということです。
　loga(x^log{a}x)＞loga(x/a)^a
になるか
　loga(x^log{a}x)＜loga(x/a)^a
になるかは、状況によって違います。
No.8471 - 2009/10/18(Sun) 21:18:50
☆ Re: 不等式の問題についてです / ゆりか


ありがとうございます！
わかりました 。
No.8479 - 2009/10/19(Mon) 07:40:12
★ 証明問題 / ｸﾙﾄﾝ
http://www.dotup.org/uploda/www.dotup.org264072.jpg_sS234CC7e46duIPSTlWg/www.dotup.org264072.jpg
高1です
この図形でP,O,D,Eが1つの円周上にあることを方べきの定理の逆を用いて証明したいんですけど
よくわかりません

CP*CO=CD*CEを証明すればよいと思うのですが
CA*CB=CD*CEまでしかわかりません
次はCP*CO=CA*CBを示せばよいのかなとは思うのですがもう手詰まりです
どうしたらいいでしょうか
No.8454 - 2009/10/15(Thu) 22:43:14
☆ Re: 証明問題 / だるまにおん
四角形APBOは円に内接しますね。　
No.8455 - 2009/10/15(Thu) 23:56:33
★ (No Subject) / タレス　
ありがとうございます！
No.8453 - 2009/10/15(Thu) 22:13:20
★ メネラウスの定理の逆 / タレス　
二回目の質問です。三角形ＡＢＣにおいて、∠Ａの外角の二等分線が辺ＢＣの延長と交わる点をＰとし、∠Ｂ、∠Ｃの二等分線が辺ＣＡ、ＡＢと交わる点をそれぞれＱ、Ｒとする。このとき、３点Ｐ、Ｑ、Ｒが一直線上にあるのはどう証明すればいいんでしょうか？お願いします！
No.8451 - 2009/10/15(Thu) 19:42:34
☆ Re: メネラウスの定理の逆 / rtz
表題の通りです。

どこを使えばメネラウスの定理の逆が適用できるか考えましょう。
なお、角の二等分線の性質(内角、外角)が必要になります。
http://kurihara.sansu.org/theory/kaku2bun.html
http://kurihara.sansu.org/theory/kaku2bun2.html
No.8452 - 2009/10/15(Thu) 21:21:17
★ (No Subject) / ぽんた
0<t<1で1/(t+a)+1-1/a≧0
をといたら　a≧(√5-1)/2
になります？
　　　　　　
No.8440 - 2009/10/14(Wed) 23:05:27
☆ Re: / らすかる
なりません。
t=1/2、a=-2 でも不等式が成り立ちます。
No.8442 - 2009/10/15(Thu) 01:27:15
★ 確率 / aki
こんばんは。
続けて失礼します。
また簡単な質問で申し訳ないです。

3このサイコロを同時に投げるとき2種類の目が出る確率を求めよ

余事象を使わないで考えたいのですが、
6C2×3C2/6^3=5/24
と思いましたが、正答は5/12でした。

2種類の目の組合せ×その2種類が3このサイコロのうちのどれか

という考え方をしました。

間違いのご指摘をいただけないでしょうか、宜しくお願いします。
No.8430 - 2009/10/14(Wed) 18:37:02
☆ Re: 確率 / rtz
2種類の目の組合せ(例：1&2)
その2種類が3このサイコロのうちのどれか(例：112 or 121 or 211)

221、212、122はどこで数えたのでしょうか。
No.8432 - 2009/10/14(Wed) 18:47:37
☆ Re: 確率 / aki
3C2の部分で数えたつもりです…
3P2/2!の意味です…


No.8434 - 2009/10/14(Wed) 20:17:46
☆ Re: 確率 / ヨッシー
rtzさん：「１と２を選んだとき、目の出方は 112,121,211,221,212,122 の６通りなのに
３つしか数えていませんね。」
akiさん：「はい、3Ｃ2＝３ ですから、ちゃんと数えています」

これでは、話が続きません。

また、なぜ、余事象を使わないのですか？
No.8438 - 2009/10/14(Wed) 21:42:41
☆ Re: 確率 / aki
rtzさんのおっしゃる意味が分かっていませんでした。
日本語が理解できていませんでした。
ごめんなさい。

やっと理解しました。ありがとうございました。

余事象を使わなかったのは確かめをしたかったからです。
No.8444 - 2009/10/15(Thu) 14:14:21
★ じゅず / aki
こんばんは。
今日も質問お願いします！

基礎的な問題ですみませんがお願いします

白玉4こ 黒玉3こ 赤玉一個 を円形に並べてさらにこれらの玉に紐を通して輪を作る方法は何通りか

まず円の並べ方は35でした。
次に左右対称のものを考えると三つありました。
ここからなのですが、この左右対称なものが35の内に2こずつ含まれていると思い
35−2×3で29と答えにしましたが、正答は違うようで、左右対称のものを35からひいて2で割っていて、私とは考え方が逆のようでした。

1年生のとき理解したのに、またわからなくなり悲しいです。
手持ちの参考書で類題を見つけられませんでしたので、どなたか易しく教えて下さい、宜しくお願いします。


No.8429 - 2009/10/14(Wed) 17:51:58
☆ Re: じゅず / rtz
目的が何なのか理解していますか？

ダブったものを排除するためですよね？
もっと言えば
「左右対称でないものは裏返すことで必ずダブりが出るから一方は取り除く」んですよね？
本当に35通りの中に"左右対称で、かつダブってるもの"はありますか？


そもそも2個ずつ含まれているというなら、
1個は残しておかなければならないのですから、
2倍を引く意味は何なのでしょうか。

よく考えてみてください。
No.8431 - 2009/10/14(Wed) 18:44:38
☆ Re: じゅず / ヨッシー
いきなり８個だと荷が重いので、
白２個、黒１個、赤１個くらいで考えればどうですか？

No.8437 - 2009/10/14(Wed) 21:33:39
☆ Re: じゅず / aki
理解できました。
非対称のものにダブりがありますね。
本当にありがとうございました。
No.8445 - 2009/10/15(Thu) 15:17:09
★ 分数で与えられた漸化式の一般項 / 涼流
漸化式の一般項を求める問題です。

a[1] = 4 …… #1,
a[n+1] = (4a[n] - 9)/(a[n] - 2) …… #2
のような漸化式ならば、#2を満たす数列をf[n] = kと置いて、
k = 3を導いて解けたのですが、

a[n+1] = (2a[n] - 1)/(a[n] + 1) …… #3
だと虚数解が出て来てしまい、解けません。

調べてみると、
a[5] = -0.11111111111111123;
a[6] = -1.3750000000000007;
a[7] = 9.999999999999986;
a[8] = 1.7272727272727268;
a[9] = 0.8999999999999999;
a[10] = 0.4210526315789473;
が繰り返している数列のようです。
#2の漸化式では3に収束するような形でした。

このように、より一般的な分数の形の漸化式を解く方法はないのでしょうか?
入試には出ないかも知れませんが、色々と考えたのですが分からないので
出来ればヒントなど参考になる方法をご教授願いたいと思います。

お時間がありましたら、どうか宜しくお願いします。
No.8422 - 2009/10/13(Tue) 22:48:06
☆ Re: 分数で与えられた漸化式の一般項 / らすかる
虚数解が出たら、虚数解のまま解いていけばよいのでは？
数列が実数でも一般項に虚数が登場することはあります。
No.8423 - 2009/10/14(Wed) 00:18:32
☆ Re: 分数で与えられた漸化式の一般項 / ast
一次分数変換 (メビウス変換) はガウス平面 (に無限遠点を加えたもの) や上半平面で考えるのが自然なので, その不動点である特性方程式の解が一般に複素数となることにそれほど驚かなくても大丈夫です.

とりあえず行列を使うことに抵抗が無いのであれば, 適当に検索してみたところ入試レベルの解説で手ごろそうなのが, たとえばこのへんとかこのへんあたりに見つかります (いずれもPDFファイルですので誤クリック注意) . まあきっちり読みこなそうと思えば大学初年度級の線型代数の知識があったほうがいいと思いますが.
No.8427 - 2009/10/14(Wed) 04:18:28
☆ Re: 分数で与えられた漸化式の一般項 / 涼流
どうも分かり易いサイトを紹介いて頂き、ありりがとうございました。

複素数がでてしまっても、解き進めれば一往解が出るのですね^^;
唯、余りにも複雑すぎて途中で挫折しました;

云われてみれば、兎に角計算して実数になればいいので複素数が出てもおかしくはないですよね。

どうもありがとうございました。これからも躓いた時に助けて頂けると嬉しいです
No.8441 - 2009/10/15(Thu) 00:21:32
★ (No Subject) / ぽんた
空間図形の問題です
ヒントだけでもいただけたら幸いです
　
xyz空間に、連立不等式
　x^2+y^2+z^2≦1
z≧0
であらわされる領域Dと点A(1,0,√3)がある。
　点PがD全体をくまなく動くとき、線分APが通過してできる領域の体積を求めよ。
　
　ヒントだけでもおねがいします。
　
No.8419 - 2009/10/13(Tue) 20:56:59
☆ Re: / ヨッシー

図は、ｙ軸の方向から見た図です。
このように、半球に、円すいの帽子をかぶせたような形になります。
円すいは、底面の半径が√3/2、高さ3/2。
円すいは、球に、半径の半分まで食い込んでいます。
No.8420 - 2009/10/13(Tue) 21:56:17
☆ Re: / ぽんた
図はイメージできたんですが、これがきれいで歪んでない円錐だということはどうやって自分のなかであきらかにできますか？どうして底面が（そもそも面になること自体が理屈では確信持てません）円になるとわかるのでしょうか？
少し角度を変えて見てみようとすると、頭の中での処理に困るのです。
No.8421 - 2009/10/13(Tue) 22:12:41
☆ Re: / ヨッシー
上の図を少し変えました(Ｂ、Ｃを追加)

この問題、点Ａから、球に向かって引いた接線の集合で出来る
円すいがポイントというところまでは良いですか？
（円すいであるかどうかは、今から説明します）
球がｘｙ平面で半分に切られますが、円すいにはギリギリ触れないので
とりあえず無視します。

Ａから球に引いた任意の接線の、球との接点をＢとすると
ＯＡ＝２、ＯＢ＝１（半径）、∠ＡＢＯ＝90°
より、ＡＢ＝√3
Ｂから、ＡＯに引いた垂線の足をＣとすると、
　ＡＣ：ＣＯ＝ＡＢ^2：ＯＢ^2＝３：１
より、ＯＣ＝1/2 また、ＣＢ＝√3/2
これは、点Ｂがどの位置にあってもなりたつので、
点Ｂは点Ｃを通り、ＡＯに垂直な平面上で、点Ｃを中心とした
半径√3/2 の円上にあります。
No.8426 - 2009/10/14(Wed) 03:54:49
☆ Re: / ぽんた
点Ｂがどの位置にあってもなりたつ」んですか？
それと、ＡＣ：ＣＯ＝ＡＢ^2：ＯＢ^2＝３：１
とありますが、なぜでしょうか
AC:CO=OA:OBならわかるんですが
No.8435 - 2009/10/14(Wed) 20:55:18
☆ Re: / ヨッシー
点Ｂがどこにあっても成り立ちます。
点Ｂ（点Ａから球に引いた接線の接点）を適当にとって、
ＡＯＢを通る平面で切ると、上のような図になります（ｘ軸、ｚ軸は違いますが）。

△ＡＣＢと△ＢＣＯは相似なので、
　△ＡＣＢ：△ＢＣＯ＝ＡＢ^2：ＯＢ^2
（面積比は、相似比の２乗）
一方、
　△ＡＣＢ：△ＢＣＯ＝ＡＣ：ＣＯ
（高さ＝ＣＢ共通の時、面積比は底辺比）
より、
　ＡＣ：ＣＯ＝ＡＢ^2：ＯＢ^2
です。わかりにくければ、実際の長さで、
ＯＢ＝１，ＯＡ＝２，ＯＣ＝ＯＢ÷２＝0.5
ＡＣ＝ＯＡ−ＯＣ＝1.5
よって、ＡＣ：ＣＯ＝1.5：0.5＝3：1
としても良いです。

ちなみに、AC:CO=OA:OB は誤りです。
No.8436 - 2009/10/14(Wed) 21:23:46
☆ Re: / ぽんた
わかりました
丁寧な解説ありがとうございました
No.8439 - 2009/10/14(Wed) 23:03:32
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