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★ 指数関数・対数関数・微分積分 / みかげ
下の問題が、冬休みの課題として出ていて休み明けにテストになるのですが、
塾に行ってないし、学校もあいてないので誰にも聞けないので困っています。
量が多くて本当にすみません。よろしくお願いします。

【問題】次の式を計算せよ。
[3]√54*[3]√-2*[3]√16
【答え】−１２
【質問】[3]√54と[3]√16を掛けるのは、
a>0,b>0でｎが正の整数のとき、[n]√a*[n]√b=[n]√ab
という公式を使えばいいのかなというのは分かるのですが、
[3]√-2のように√内にマイナスがあるのですがどうやって解けばいいんでしょうか？

【問題】a>0のとする。a^(1/3)+a^(-1/3)=4のとき、次の値を求めよ。
(1)a+a^(-1)
(2)a^(1/2)+a^(-1/2)　【答】3√6
【質問】(1)は与えられた条件の式の両辺を３乗して、変形するというのが分かって解けて、答えが５２だったんですけど、
(２)の解き方が分かりません。教えて下さい。お願いします。

【問題】y=9*3^xのグラフは,ｙ=3^xのグラフとどんな位置関係にあるか。
【答え】x軸をもとにしてｙ軸方向に９倍拡大したもの
【質問】答えの「x軸をもとにして」の意味が分からなかったので、説明していただけるとありがたいです。
初歩的な質問ですみません。

【問題】log[2](7),log[4](55),3について、底を揃えることで大小関係を調べよ。
【答え】log[2](7)【質問】解いてみたのですが、答えが合いません。解き方を教えて頂きたいです。

【問題】(1/30)^20を小数で表したとき、小数第何位に初めて０でない数字が現れるか。
ただし、log[10](3)=0.4771とする。
【答え】小数第30位
【質問】解き方が分かりません。

【問題】次の関数の増減を調べよ。
y=-x^3+2x^2-2x+4
【答え】単調に減少する。
【質問】「単調に減少」というのはどういう事でしょうか？
また、私の計算では、微分した式を、解の公式で解を導くと複素数が出てきたのですが、
微分して解が複素数になるグラフというのは、どういう事でしょうか？

【質問】三次関数のグラフが極値をもつ条件というのは、微分した式を判別式を使いＤ＞０のときというのは分かるのですが、
Ｄ＝０、Ｄ<０の時グラフはどうなるのでしょか？

【問題】x=1で極小値４をとり、x=2で極大値５をとる三次関数f(x)を求めよ。
【答え】f(x)=-2x^3+9x^2-12x+9
【質問】f(1)=4、f(2)=5、f'(1)=0、f'(2)=0の連立４次(？)方程式を立てるのかなあと予想したのですが、
この後の計算ができません。解き方を教えてください。

【問題】次の３次方程式の異なる実数解の個数を答えよ。
2x^3-12x^2+18x+3=0
【答え】１個
【質問】微分して判別式で確かめるとD>0なので実数解は３個かなと思ったのですが、
解き方が間違っているのでしょうか？教えてください。

【問題】放物線y=x^2-4x+3と、この放物線上の点(4,3)､(0,3)における接線で囲まれた図形の面積を求めよ。
【答え】16／3
【質問】解き方を教えてください。

【問題】放物線y＝2x−x^2とx軸で過去もれた図形の面積を直線y=kxが2等分するように、定数kの値を定めよ。
【答え】k=2-[3]√4
【質問】解き方を教えてください。
No.9309 - 2010/01/04(Mon) 02:12:32
☆ Re: 指数関数・対数関数・微分積分 / Bとん
[3]√54*[3]√-2*[3]√16
まず５４＝（３＾３）*２
　　−２＝（−１）＊２
　　１６＝２＾４

これらかけると（−１）*（３＾３）*（２＾６）
＝（−１）＾３＊（３＾３）＊（２＾２）＾３
これに[３]√をつけると
３乗のところが外れて
　−１＊３＊４＝−１２

【問題】a>0のとする。a^(1/3)+a^(-1/3)=4のとき、次の値を求めよ。
(1)a+a^(-1) ＝５２

（２）の式を２乗します
　そうすると
ａ＋２＊（ａ）＾（１/２）*（ーａ）＾（１/２）＋ａ＾（−１）
＝ａ＋ａ＾（−１）＋２＊１

★（ａ）＾（１/２）*（ーａ）＾（１/２）は指数法則で
　１になります
さらにａ＋ａ＾（−１）は（１）より５２

よって（２）の式を２乗すると５４になります

a^(1/2)+a^(-1/2)＝√５４＝３√６　




【問題】x=1で極小値４をとり、x=2で極大値５をとる三次関数f(x)を求めよ。
f(1)=4、f(2)=5、f'(1)=0、f'(2)=0の連立４次(？)方程式を立てる　ので正解です

そうするとｆ（ｘ）＝ａｘ＾３＋ｂｘ＾２＋ｃｘ＋ｄとおき

４＝ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ・・・・・１
５＝8ａ＋４ｂ＋２ｃ＋ｄ・・・・２
０＝３ａ＋２ｂ＋ｃ・・・・３
０＝１２ａ＋４ｂ＋ｃ・・・・４
先に極小値がくるので（極値ｘ＝１とｘ＝２より）
グラフの外形を考えるとａ＜０です

２−１の式と３
２−１の式と４からａとｂを割り出します
あとは随時計算します



次の３次方程式の異なる実数解の個数を答えよ。
2x^3-12x^2+18x+3=0
まず
２ｘ＾３−１２ｘ＾２＋１８ｘ＝−３として
左辺をｆ（ｘ）とします
左辺の微分から増減表・グラフまで行ってください

そうするとグラフが完成したら
右辺ｙ＝−３を引いてみてください
そうすると交点はひとつだけ。これが実数解です。



　　　
No.9310 - 2010/01/04(Mon) 03:02:39
☆ Re: 指数関数・対数関数・微分積分 / みかげ
丁寧にありがとうございます。

最後の問題は、判別式を使うやり方は違うということでしょうか？
No.9314 - 2010/01/04(Mon) 15:30:19
☆ Re: 指数関数・対数関数・微分積分 / X
横から失礼します。
>>Bとんさんへ
重箱の隅をつつくようで恐縮ですが
>>連立４次(？)方程式　
は
連立４元方程式
の誤りだと思います。

>>みかげさんへ
>>最後の問題は、判別式を使うやり方は違うということでしょうか？
３次関数の導関数による２次方程式に関して
判別式で確認できるのは
３次関数のグラフの極小点、極大点の個数の総数
であって、
３次関数のグラフとx軸の交点の個数
(つまり問題の３次方程式の実数解の個数)
ではありません。
Bとんさんが解説されている通りこの問題は、問題の方程式に対する
３次関数のグラフを描いて確かめる必要があります。
No.9324 - 2010/01/05(Tue) 10:24:30
☆ Re: 指数関数・対数関数・微分積分 / X
＞＞【問題】y=9*3^xのグラフは,ｙ=3^xのグラフとどんな位置関係にあるか。
＞＞x軸をもとにして
とは
x軸を基準に固定して
という意味です。
模範解答で分かりにくければ
y=9・3^x=3^(x+2)
と変形して
y=3^xのグラフをx軸方向に-2平行移動したもの
としても正解だと思います。
No.9325 - 2010/01/05(Tue) 10:34:40
☆ Re: 指数関数・対数関数・微分積分 / X
＞＞【問題】log[2](7),log[4](55),3について、底を揃えることで大小関係を調べよ。
底を2に揃えると
log[4]55=(log[2]55)/log[2]4)=(1/2)log[2]55
=log[2]√55＞log[2]√49=log[2]7
3=log[2]2^3=log[2]8=log[2]√64＞log[2]√55
ということで大小関係は
log[2]7＜log[4]55＜3
となります。
No.9326 - 2010/01/05(Tue) 10:38:41
☆ Re: 指数関数・対数関数・微分積分 / みかげ
Ｘさん
丁寧にありがとうございます。
文字が四種類あるのは４元というんですね。
よく分かりました。
No.9328 - 2010/01/05(Tue) 10:47:26
☆ Re: 指数関数・対数関数・微分積分 / X
＞＞【問題】(1/30)^20を小数で表したとき、〜

x=(1/30)^20
と置くと
log[10]x=-20(1+log[10]3)
≒-20(1+0.4771)=-29.542
ここで例えば
y=0.03
について
log[10]y=-(2+log[10]3)≒-2.4771
で、0.03は小数点第２位に初めて0でない数字が現れる
ということを考えると…。
No.9329 - 2010/01/05(Tue) 10:52:59
☆ Re: 指数関数・対数関数・微分積分 / X
＞＞【問題】次の関数の増減を調べよ。
＞＞y=-x^3+2x^2-2x+4
No.9324と話が重複するかもしれませんがご容赦下さい。

導関数=0なる２次方程式の解の個数にこだわっていますが
基本はそこにあるのではなく
関数f(x)に対して
f'(x0)＞0⇔f(x)はx=x0において増加
f'(x0)＜0⇔f(x)はx=x0において減少
というところにあります。
これらをつかって
x=x0が極小点
⇔x=x0に比較的近いx＜x0においてf'(x)＜0
かつx=x0に比較的近いx0＜xにおいてf'(x)＞0
かつf'(x0)=0
x=x0が極大点
⇔x=x0に比較的近いx＜x0においてf'(x)＞0
かつx=x0に比較的近いx0＜xにおいてf'(x)＜0
かつf'(x0)=0
となります。
これらを生かす方法としては
増減表を書く
ということが挙げられます。
関数の増減の問題で困ったら増減表を書くのが基本です。

y=-x^3+2x^2-2x+4　(A)
より
y'=-3x^2+4x-2
これを平方完成すると
y'=-3(x-2/3)^2-2/3＜0
つまり(A)は単調減少するということになります。

みかげさんの仰るとおりこの問題の場合
(A)に対してy'=0の実数解xは存在しない
のですがこれはつまり
(A)の極値が存在しない
ということと同値です。

ではD=0の場合はどうなるのかですが、以下の例題を解いて考えてみてください。
例題)次の３次関数の増減表を書け
(1)y=x^3
(2)y=x^3-3x^2+3x-1
No.9330 - 2010/01/05(Tue) 11:03:42
☆ Re: 指数関数・対数関数・微分積分 / X
＞＞【問題】放物線y=x^2-4x+3と、この放物線上の点(4,3)､(0,3)における接線で囲まれた図形の面積を求めよ。
まず
点(4,3)､(0,3)における接線 (A)
の方程式を求め、これらと問題の放物線のグラフを
一つのxy平面上に描きましょう。
この際、件の２本の接線の交点の座標も分かるようにします。
ここまでできたらアップして下さい。
No.9331 - 2010/01/05(Tue) 11:06:57
☆ Re: 指数関数・対数関数・微分積分 / X
＞＞【問題】放物線y＝2x−x^2とx軸で過去もれた図形の面積を直線y=kxが2等分するように、定数kの値を定めよ。
まず
放物線y=2x-x^2とx軸で囲まれた図形の面積(S1とします)
を求めます。
次に
放物線y=2x-x^2と直線y=kxとの原点以外の交点のx座標をa
として
放物線y=2x-x^2と直線y=kxとで囲まれた面積(S2とします)
をaを用いて表します。
更にaはkを用いて表せますので、S2はkを用いて表すことができます。
さて、題意からS1,S2について…。
No.9332 - 2010/01/05(Tue) 11:10:47
☆ Re: 指数関数・対数関数・微分積分 / みかげ
Bとんさん
>>（ａ）＾（１/２）*（ーａ）＾（１/２）は指数法則で
　１になります
ここが分かりません。教えていただけると有難いです。
今更すみません。よろしくお願いします。
No.9345 - 2010/01/06(Wed) 18:38:29
☆ Re: 指数関数・対数関数・微分積分 / みかげ
Xさん
>>ではD=0の場合はどうなるのかですが、以下の例題を解いて考えてみてください
解いてみてD=0は定数となる所はあるが、極値は無いという事が分かりました。
しかしD<0となる場合は、f'(x)=0となるところが無いので定数となるところも無いという事ですよね？
この場合、グラフはどうなるのでしょうか？

＞＞【問題】放物線y=x^2-4x+3と、この放物線上の点(4,3)､(0,3)における接線で囲まれた図形の面積を求めよ。

＞＞【問題】放物線y＝2x−x^2とx軸で過去もれた図形の面積を直線y=kxが2等分するように、定数kの値を定めよ。
上の2問は途中まで解いてみた(写真)のですが、何回やっても答えが合いませんでした。
どこが間違っているか指摘して頂けると助かります・・・
よろしかったらお願いします。
何度も本当にすみません。
No.9347 - 2010/01/06(Wed) 18:45:05
☆ Re: 指数関数・対数関数・微分積分 / みかげ
追加です
No.9348 - 2010/01/06(Wed) 18:46:38
☆ Re: 指数関数・対数関数・微分積分 / X
>>No.9348に対する回答
さて面積の求め方ですが
0≦x≦2
と
2≦x≦4
の範囲に分割して計算して和を取ります。
(図を見て理由を考えましょう。)
それぞれの範囲の領域の面積をS1,S2とすると
S1=∫[0→2]{(x^2-4x+3)-(-4x+3)}dx=…
S2=∫[2→4]{(x^2-4x+3)-(4x-13)}dx=…
∴求める面積をSとすると
S=S1+S2=…
(こちらの計算では
S1=S2=8/3,S=16/3
となりました。)


注)
２本の接線
y=-4x+3
y=4x-13
が放物線y=x^2-4x+3の軸である
x=2 (A)
に関して対称であることを証明していれば計算はもう少し
簡単になります。
この場合、上記の分割した二つの領域は(A)に関して対称ですので
S=2S1=…
となります。
No.9352 - 2010/01/06(Wed) 22:32:55
☆ Re: 指数関数・対数関数・微分積分 / X
>>解いてみてD=0は定数となる所はあるが、〜
y=-x^3+2x^2-2x+4
のとき
y'=-3(x-2/3)^2-2/3
∴y'はx=2/3のとき最大値-2/3を取ります。
従ってグラフは
(i)x≦2/3のとき
単調減少であっても各点の傾きはxの増加に伴い
緩やかになっていきます。
(ii)2/3≦xのとき
単調減少で各点の傾きはxの増加に伴い急峻になっていきます。

グラフの形状としては点(2/3,88/27)でくびれるような感じになります。
No.9353 - 2010/01/06(Wed) 22:43:51
☆ Re: 指数関数・対数関数・微分積分 / X
＞＞上の2問は途中まで解いてみた(写真)のですが〜
S1,S2の積分範囲を誤っています。
S1=∫[0→2](2x-x^2)dx=…
S2=∫[0→2-k]{(2x-x^2)-kx}dx=…
となります。
求めた値を
S1=2S2
に代入することに問題はありません。
No.9354 - 2010/01/06(Wed) 22:53:23
☆ Re: 指数関数・対数関数・微分積分 / X
>>No.9345について
僭越ですが代わりに回答させていただきます。
これはおそらくBとんさんのタイプミスですね。
a^(1/2)+a^(-1/2)
を２乗すると
{a^(1/2)+a^(-1/2)}^2={a^(1/2)}^2+2{a^(1/2)}{a^(-1/2)}+{a^(-1/2)}^2
=a+2+a^(-1)
=…
となります。
No.9356 - 2010/01/06(Wed) 23:06:44
☆ Re: 指数関数・対数関数・微分積分 / みかげ
Ｘさん
回答ありがとうございます

No.9353についてなんですが、なぜｙ’の最大値を境にグラフが変化するのでしょうか？
本当に何遍もすみません
No.9360 - 2010/01/07(Thu) 10:39:10
☆ Re: 指数関数・対数関数・微分積分 / X
文章であれこれ説明するよりもグラフの慨形を見てもらった方が
理解が早いと思いますのでアップします。
No.9365 - 2010/01/07(Thu) 19:55:13
☆ Re: 指数関数・対数関数・微分積分 / X
比較のため、y'=0なる二次方程式に対して
D=0
となる例として
y=-(1/3)(x-1)^3+1
のグラフの慨形もアップしておきます。
(接線を取り除くと、見た目には形状は殆ど変わらないように見えます。)
No.9366 - 2010/01/07(Thu) 19:57:18
★ 面積 / 香
お願いします。　　　2つの曲面；
2*x^2 + y^2 + z^2 + 6*x - 18*y + 6*z + 50=0,
x^2 + y^2 + 7*z^2 - 2*x - 34*y - 10*z + 194=0.
の交線をx,y平面に正射影した曲線 C の　方程式を　求め、
Cの囲む領域の面積を　求めよ。
No.9308 - 2010/01/03(Sun) 23:33:59
★ ラプラス変換・逆ラプラス変換 / mayu
すいません…
逆ラプラス変換もうひとつお願いします。
(4)L-1[1/(s^2+2s-3)]

お願いします！！
No.9306 - 2010/01/03(Sun) 22:19:02
☆ Re: ラプラス変換・逆ラプラス変換 / X
1/(s^2+2s-3)=1/{(s+3)(s-1)}
と変形して部分分数分解しましょう。
No.9334 - 2010/01/05(Tue) 19:48:55
★ ラプラス変換・逆ラプラス変換 / mayu
・次のラプラス変換を求めよ。
(1)L[(1+5t)exp(-3t)]

・次の逆ラプラス変換を求めよ。
(1)L-1[1/{(s+1)(2s-1)}]
(2)L-1[1/(s^2-1)]
(3)L-1[(s-1)/s^2+2s+1]

導出式と解説をよろしくお願いします！
No.9305 - 2010/01/03(Sun) 22:02:20
☆ Re: ラプラス変換・逆ラプラス変換 / X
大問１問目)
(1)
ラプラス変換の定義式を使ってがりがり計算するのもいいですが
L[1+5t]
の結果に移動定理を適用するのが早いと思います。

大問２問目)
(1)
まず
1/{(s+1)(2s-1)}
を部分分数分解しましょう。
(2)
(1)と同様にまず
1/(s^2-1)=1/{(s-1)(s+1)}
と変形して部分分数分解しましょう。
(3)
(s-1)/(s^2+2s+1)=(s+1)/{(s+1)^2+1}-2/{(s+1)^2+1}
と変形して各項の逆ラプラス変換を求めます。
No.9333 - 2010/01/05(Tue) 19:47:42
★ 2次方程式 / りか
またよろしくおねがいします。

y=x^2+3x+1のグラフとy=2x+bが異なる2点で交わるようなbの値の範囲を求めよ
という問題なのですが、
先の式を平方完成して頂点が(-3/2,-5/4)
というところまでしかわかりません。

ご指導よろしくお願いいたします。
No.9299 - 2010/01/02(Sat) 22:34:30
☆ Re: 2次方程式 / Bとん
異なる2点で交わるような・・・・判別式D＞０です

まずy=x^2+3x+1とy=2x+bを連立

ｘ＾２＋３ｘ＋１＝２ｘ＋ｂ
ｘ＾２＋ｘ＋１−ｂ＝０

これの判別式Dは
D=１＾２−４・１・（１−ｂ）
＝１−（４−４ｂ）
＝−３＋４ｂ
−３＋４ｂ＞０なので
　　　４ｂ＞３
　　　　ｂ＞３／４
No.9301 - 2010/01/02(Sat) 22:38:58
☆ Re: 2次方程式 / りか
なるほど！
頂点を求める必要はなかったのですね。
わかりやすい解説ありがとうございました。
No.9302 - 2010/01/02(Sat) 22:51:44
★ 解き方と答えを教えて頂けないでしょうか。 / ヤス（高１問題）
訳あって数学を勉強している者です。
高校が商業科だったので、ほぼ中学程度のレベルしかないので、質問のレベル自体が低いと思いますがよろしくお願いします。


１．次の方程式を解け。
(x-1)(x-2)+(x-1)(x-3) = 1

これは途中まで計算しているのですけれども、「2x^2 - 7x + 4 = 0」となりました。これより先はどう解けばよいのでしょうか？

２．次の不等式を解け。
x-5 <= x/(1-x)

最初からどう解けばいいかわかりません・・・不等式の知識は両辺にーを掛けたら符合が逆になる程度の知識しかないです・・・。

以上です。よろしくお願い致します。
No.9298 - 2010/01/02(Sat) 17:38:30
☆ Re: 解き方と答えを教えて頂けないでしょうか。 / Bとん
(x-1)(x-2)+(x-1)(x-3) = 1

展開します。
ｘ＾２−３ｘ＋２＋ｘ＾２−４ｘ＋３＝１
（もし展開がわからなければいってください）
２ｘ＾２−７ｘ＋４＝０
これを解の公式で計算
ｘ＝（７±√１７）／４
No.9300 - 2010/01/02(Sat) 22:35:56
☆ Re: 解き方と答えを教えて頂けないでしょうか。 / ヤス（高１問題）
展開は基本的なことはできるので大丈夫です。
解の公式は調べて理解しました。ありがとうございます。
お手数ですが、２番の方がよくわからないので、教えて頂けましたら幸いです。
No.9303 - 2010/01/03(Sun) 15:20:59
☆ Re: 解き方と答えを教えて頂けないでしょうか。 / X
2.
両辺に(1-x)^2をかけることを考えると
(与式)⇔(x-5)(1-x)^2≦x(1-x) (A)かつ1-x≠0 (B)
(A)より
(x-5)(1-x)^2-x(1-x)≦0
(1-x){(x-5)(1-x)-1}≦0
(x-1){(x-5)(x-1)+1}≦0
(x-1)(x^2-6x+6)≦0 (A)'
ここでx^2-6x+6=0を解くと
x=3±√3
∴(A)'より
x≦3-√3,1≦x≦3+√3
これと(B)により解は
x≦3-√3,1＜x≦3+√3
となります。
No.9304 - 2010/01/03(Sun) 18:53:20
☆ Re: 解き方と答えを教えて頂けないでしょうか。 / ヤス（高１問題）
ご丁寧にありがとうございました。
おかげ様で理解できました。
また質問させていただく事がありましたらよろしくお願いします。
No.9307 - 2010/01/03(Sun) 22:21:53
★ 最短距離 / 伴
(0) x^2 + y^2 = 7/108,-x + x^3 + y^2 = 1/4 .
は重解をもつ。解をもとめよ。

次の２曲線の最短距離を求めてください；
(1)C1;x^2 + y^2 = 7/108,
C2;-x + x^3 + y^2 = 1/4
(2)C1;x + 2*y = 9,
C2;x^2/4 + y^2/3 = 1,
(3)C1;(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 1,
C2;x^2/4 + y^2/3 = 1
No.9296 - 2010/01/02(Sat) 12:47:00
★ 漸化式の問題（３題） / Key(高２女子)
漸化式の問題ですが、３題それぞれ異なる型です。よろしくお願いします。特に問１は自信がありません。問３（２）は冬季課外で先生が、ｎ≧３として、場合分けして解いてくれたのですが、なぜ、ｎ≧２で駄目なのかいくら考えても解りません。


［問１］　次の漸化式によって与えられる数列｛an}の一般項
　　　　a(n)を求めよ。a(1)=1, a(n+1)=2*(n+1)*a(n)

［答案］
a(1)=1・・・?@
a(n+1)=2*(n+1)*a(n)・・・?A　とおく。

ｎ≧２のとき、漸化式において、n=1,2,3,,,,n-1 とすると?Aは、
a(2)=2*2*a(1)
a(3)=2*3*a(2)
a(4)=2*4*a(3)
　　　・
　　　・
　　　・
a(n)=2*n*a(n-1)

辺々を掛けて
a(2)a(3)a(4)...a(n)=2*(n-1)*n!*a(1)a(2)a(3)...a(n-1)
この両辺を、a(2)a(3)a(4)...a(n-1)で割ると、
a(n)=2*(n-1)*n!・・・?B

n=1のとき
　a(1)=2*(1-1)*1=0 で?Bは成り立たない。

以上より
n=1のとき a(n)=1
n≧2のとき a(n)=2*(n-1)*n!


［問２］　数列｛an｝の初項から第ｎ項までの和Snが、
　　　　S(n)=3n-2a(n) (n=1, 2, 3, ,,,) を満たしている。
　　　　一般項を求めよ。

［答案］S(n)=3n-2a(n) (n=1, 2, 3,,,,)・・・?@とおくと、
　n=1のとき
　　S(1)=a(1)であるから、
S(1)=3-2a(1)　
a(1)+2a(1)=3
∴a(1)=1

　?@より
　　S(n+1)=3(n+1)-2a(n+1)・・・?A
　?A−?@より
　　S(n+1)-S(n)=-2a(n+1)+2a(n)+3・・・?B
　 S(n+1)-S(n)=a(n+1)であるから、?Bは、
　　a(n+1)+2a(n+1)=2a(n)+3
3a(n+1)=2a(n)+3
a(n+1)=(2/3)a(n)+1・・・?C
　?Cのa(n+1),a(n)へそれぞれ xを代入し特性方程式を解くと、
　　x=(2/3)x+1
(1/3)x=1
∴x=3
　これを?Cの両辺からそれぞれ引いて
　　a(n+1)-3=(2/3)a(n)-2
=(2/3){a(n)-3}・・・?D
　ここで、f(n)=a(n)-3 とおくと、?Dは、
f(n+1)=(2/3)f(n)
よって
f(n)=f(1)(2/3)^(n-1)
a(n)-3=(1-3)(2/3)^(n-1)
∴a(n)={(-2)(2/3)^(n-1)} + 3・・・?E
?Eを?@へ代入して、
S(n)=3n-2[{(-2)(2/3)^(n-1)} + 3]
=3n+{4(2/3)^(n-1)}-6
={4(2/3)^(n-1)} + 3n - 6

［問３］　初項a(1)=3 の数列{an}がある。ｎ≧２に対して、初
　　　　項a(1)から第ｎ項a(n)までの和をS(n)としたとき、
S(n)={(n+1)^2}*a(n)が成り立つとする。このとき
　　　　次の問に答えよ。
(1) n≧2のとき、{a(n+1)}/{a(n)} をｎの式で表せ。
(2) n≧2のとき、数列{an}の一般項を求めよ。

［答案］
（１）　S(n)={(n+1)^2}*a(n)・・・?@とおくと、
S(n+1)=[{(n+1)+1}^2]*a(n+1)
={(n+2)^2}*a(n+1)・・・?A
n≧2のとき
　　　　　?A−?@より
S(n+1)-S(n)={(n+2)^2}*a(n+1)-{(n+1)^2}*a(n)
S(n+1)-S(n)=a(n+1)であるから
a(n+1)-{(n+2)^2}*a(n+1)={-(n+1)^2}*a(n)
-a(n+1)+{(n+2)^2}*a(n+1)={(n+1)^2}*a(n)　
{(n^2)+4n+3}*a(n+1)={(n+1)^2}*a(n)
(n+1)(n+3)*a(n+1)={(n+1)^2}*a(n)
n+1>0であるから
(n+3)*a(n+1)=(n+1)*a(n)
n+3>0, a(n)>0であるから
{a(n+1)}/{a(n)}=(n+1)/(n+3)・・・?B

（２）?Bより　n≧3のとき
{a(n)}/{a(n-1)}=n/(n+2)
　　　同様に
{a(n-1)}/{a(n-2)}=(n-1)/(n+1)
{a(n-2)}/{a(n-3)}=(n-2)/n
　　　　　　　　・　　 　　　・
　　　　　　　　・　　　 　　・
　　　　　　　　・　　　　 　・
a(3)/a(2) = 3/5
　　　辺々を掛け合わせると、分子、分母が打ち消し会うので、
a(n)/a(2)={(4＊3)/(n+2)(n+1)}*(3/8)
∴a(n)=9/{2(n+2)(n+1)}

n=2のとき
　　　　a(2)=3/8で成り立つ。







　　　　　



　　
　



No.9290 - 2010/01/01(Fri) 23:02:11
☆ Re: 漸化式の問題（３題） / フリーザ
問１ですが

方針はいいですが
最後でa(ｎ)＝2*(n-1)*n!は
a(n)=2^(n-1)*n!では？

あともう少しスマートな解法？としては最初の式で両辺をn!で割り少し変形すればa(n)/n!＝b(n)などとおけばb(n)が等比数列になります。
No.9291 - 2010/01/01(Fri) 23:49:44
☆ Re: 漸化式の問題（３題） / 七
> ｎ≧３として、場合分けして解いてくれたのですが、なぜ、ｎ≧２で駄目なのかいくら考えても解りません。
a(n−1)を使うからです。
No.9293 - 2010/01/02(Sat) 06:53:30
☆ Re: 漸化式の問題（３題） / Kei(高２女子)
フリーザさん、七さん
早速のご教示ありがとうございました。

ところで、またまたしつこくてすみませんが、「ｎ≧３として」のところは、a(n-1)を使う場合でも、ｎ≧２で駄目なのがよく分からないのです。
というのは、ｎ≧２ならば、ｎが最小の時ｎ＝２ですから、このとき、a(n-1)を用いるとして、n=2を代入すれば、a(2-1)=a(1)となります。a(n-1)でa(0)では第０項は存在しないので避けなければなりませんが、a(1)ならば初項なので大丈夫だと思うのですが、ｎ≧２ではなく、あえてｎ≧３とする理由を教えて下さい。よろしくお願いします。
No.9294 - 2010/01/02(Sat) 09:19:36
☆ Re: 漸化式の問題（３題） / フリーザ
{a(n+1)}/{a(n)}=(n+1)/(n+3)・・・?B
の式はn≧2でつかえます。
なので
a(n)}/{a(n-1)}=n/(n+2)の式は
n≧3で使えます。
No.9295 - 2010/01/02(Sat) 11:31:24
☆ Re: 漸化式の問題（３題） / Kay(高２女子)
フリーザさんへ
ありがとうございました。さっぱりしました！！
No.9297 - 2010/01/02(Sat) 13:32:29
★ 接する円 / 伴
お願いします.
曲線 C;-x + x^3 + y^2 = 1/4に接する原点中心の円はいくつあるか?
また,その半径をすべて求め、各 接点 を も 求めよ。
No.9289 - 2010/01/01(Fri) 15:13:50
☆ Re: 接する円 / フリーザ
-x + x^3 + y^2 = 1/4
と
x^2＋y~2=r^2が重解をもつので

x^3-x^2-x-1/4＋r^2=0
は(x-α)^2(x-β）=0とかける

係数比較して
（α,β）=(1,-1),(-1/3,5/3)
　　　　　　　↓　　　　↓
　　　　　r=√5/2 r=√7/√108

よって題意をみたす円は２つ。
計算ミスあったらごめんなさい。
No.9292 - 2010/01/02(Sat) 00:12:25
★ (No Subject) / あやか
aを定数として、2次関数f（x）=x^2+4x-a^2+5aがある。
x>0を満たすすべてのxの値に対してf（x）>0となるようなaの値の範囲を求めよ。

解答には「放物線y=f（x）の軸は直線x=-2であるから、x≧-2の範囲でf（x）の値は増加する。したがって求める条件はf（0）≧0」とあるんですけど
ぶっちゃけ何を言ってるのか分かりません（＾＾；）
f（0）≧0がなんなのかも・・・ （ちなみに答えは0≦a≦5です）

この高１の冬休みの間に少しでも苦手な数学を克服したいので、皆様お力の方お貸しくださいm（_ _）m
よろしくおねがいします＞＜；
No.9284 - 2009/12/30(Wed) 10:08:57
☆ Re: / あやか
> aを定数として、2次関数f（x）=x^2+4x-a^2+5aがある。
> x>0を満たすすべてのxの値に対してf（x）>0となるようなaの値の範囲を求めよ。
>
> 解答には「放物線y=f（x）の軸は直線x=-2であるから、x≧-2の範囲でf（x）の値は増加する。したがって求める条件はf（0）≧0」とあるんですけど
> ぶっちゃけ何を言ってるのか分かりません（＾＾；）
> f（0）≧0がなんなのかも・・・ （ちなみに答えは0≦a≦5です）
>
> この高１の冬休みの間に少しでも苦手な数学を克服したいので、皆様お力の方お貸しくださいm（_ _）m
> よろしくおねがいします＞＜；

この問題は高１　数学?Tの２次不等式の応用問題です
No.9285 - 2009/12/30(Wed) 10:10:18
☆ Re: / フリーザ
すべてのxの値に対してf（x）>0
⇔f(x)の最小値が０より大きい

例えば「クラスのみんなが５０点以上とらないと補習にします。ってときにクラス全員の点を調べるのはめんどうです。いつもビリのA君がいたらA君の点数が５０点をこえてるか確かめれば十分です。」

なので軸の位置を考慮すれば２次関数の最小値はx=0のときですので(厳密にはx=0は定義域ではないですがまずは概要を理解してください)f(x)の最小値f(0)≧0であればよい。

（注）上でも書いたようにx=0は定義域にはいらないことが最後の≧の＝を加えています。もしｘの定義域に0が含まれれば最後はf(0)≧0ではなくf(0)＞0となります。
No.9286 - 2009/12/30(Wed) 10:41:42
★ ベクトル / nami 高2
こんばんは
いつも分かりやすく教えていただいてありがとうございます

今日もまた教えて下さい☆

＜ベクトルの問題＞・三角形ABCにおいて、辺OAを1：3、辺OBを2：1に内分する点をそれぞれD,Eとし、また、二点AE,BDの交点をP,線分OPの延長が辺ABと交わる点をFとする。
OAベクトル＝aベクトル・OBベクトル＝bベクトルとするとき、OFベクトルをaベクトル、bベクトルを用いて表し、AF:FBもとめる。
という問題です。

私は、AP:PE=s:(1-s)・BP:PD=t:(1-t)として、計算し、
OPベクトル=1/10aベクトル+3/5ｂベクトル

OFベクトル＝ｋOP
→OFベクトル＝（1/10）k　aベクトル+（3/5）ｋｂベクトル

というところまでは分かったのですが、
そこから先が、回答を見ても理解できませんでした。

回答には、点Fは線分AB上のあるので
1/10ｋ+3/5ｋ＝1
ｋ＝10/7
OFベクトル＝1/7aベクトル+6/7bベクトル
よってAF:FB=6:1と書いていました。


＜疑問・不明点＞
・点Fは線分AB上のあるので
1/10ｋ+3/5ｋ＝1
というところはどうして＝1になるんでしょうか？
また、aベクトル・ｂベクトルはなぜ消えたのでしょうか？
OFベクトル＝はつけなくていいのでしょうか？
なぜですか？？？？？

よろしければ公式など、考え方、くわしくおしえてください。

また、s:(1-s)・t:(1-t)を使う問題は全部このような解き方
（1/10ｋ+3/5ｋ＝1）を使って解くのでしょうか？？

教えて下さい。
お願いします。
No.9280 - 2009/12/29(Tue) 23:46:39
☆ Re: ベクトル / ヨッシー
△ＡＢＣではなく、△ＡＢＯですね。

ＡＦ：ＢＦ＝ｍ：ｎ とすると、内分点の公式より
　ＯＦ＝{n/(m+n)}ａ＋{m/(m+n)}ｂ
となり、係数は、n/(m+n) と m/(m+n) です。
上の回答で、当然のごとく　s:(1-s) のようにおいて
　(1-s)ａ＋sｂ
としていますが、元は、
　{n/(m+n)}ａ＋{m/(m+n)}ｂ
であり、m/(m+n)＝ｓ　と置くことで、
　(1-s)ａ＋sｂ
のように、分数でない式に出来るのです。

ここで大切なことは、直線ＡＢ上の点Ｆについて
　ＯＦ＝ｐａ＋ｑｂ
と書けたとすると、係数の和　ｐ＋ｑ は、１になるということです。
特に、ｐ＞０、ｑ＞０ のとき、点Ｆは、線分ＡＢ上にあります。
また、ｐ＋ｑ＞１ だと、点Ｆは、始点から見て直線の向こう側
０＜ｐ＋ｑ＜１　だと、点Ｆは、直線ＡＢより始点に近い側、
ｐ＋ｑ＜０ だと、始点の反対側になります。

さて、Ｆ，Ｐ，Ｏは同一直線上の３点なので、
　ＯＦ＝ｋＯＰ
より
　ＯＦ＝(1/10)kａ＋(3/5)ｋｂ
が言えるわけですが、ここで、上の、点Ｆが直線ＡＢ上にある
ための条件＝係数の和が１
を使って、
　(1/10)k＋(3/5)ｋ＝１
となります。

なお、検算にはチェバの定理が便利です。
No.9282 - 2009/12/30(Wed) 06:06:01
☆ Re: ベクトル / nami 高2
ありがとうございました☆☆(^O^)/
No.9283 - 2009/12/30(Wed) 07:53:40
★ 二次関数 / いわ
1、放物線y=x^2-2ax-2a+1がx軸の正の部分と共有点を持たないようなaの範囲を求めよ

僕なりに解いてみたのですが答えと違っているのでどこがおかしいのか教えてください
ちなみに答えは　a<-1+√2　です
お願いします

頂点が(a,-a^2-2a+1)

a(軸)<0のとき
f(0)=-2a+1>0
a<1/2
よってa<0

a>0のとき
-a^2-2a+1>0
-1-√2<a<-1+√2
よって0<a<-1+√2

解)　a<0, 0<a<-1+√2
No.9274 - 2009/12/29(Tue) 13:46:08
☆ Re: 二次関数 / 七
a=0のときを考えていませんね。
No.9275 - 2009/12/29(Tue) 14:05:59
☆ Re: 二次関数 / いわ
できました!!
ありがとうございます
No.9278 - 2009/12/29(Tue) 15:15:45
★ 定積分 / shiyo
定積分です。
宜しくお願いします。

?@∫[0→π/6] (1/cosθ)dθ　　
解答:（1/2)log3

?A∫[1→2] xlog(x＋1)dx
解答:(3/2)log3-(1/4)

?B∫[0→2](|x-1|＋|x-2|)dx
解答：5

です。宜しくお願いします
No.9272 - 2009/12/29(Tue) 12:47:26
☆ Re: 定積分 / のぼりん
?@　定石通り、ｘ＝ｔａｎ（θ/２） とおきましょう。

?A　ｙ＝ｘ＋１ とおいて部分積分しましょう。

?B　被積分関数のグラフから該当箇所の面積を初等幾何で求めましょう。
　ただ、解答と一致しない様なので、問題か解答のどちらかに誤りがある様に思われます。
No.9273 - 2009/12/29(Tue) 13:26:20
☆ Re: 定積分 / shiyo
のぼりんさん有り難うございます。

わかりました！！　また?Bの問題は間違っていました。すみません。
No.9277 - 2009/12/29(Tue) 14:59:09
★ No9237について / zabuza
学校で置換するには一対一対応じゃないとダメってならったんですけど、ｔ＝ｘ＾２＋１って置いたらｘとｔは一対一対応じゃないですよね・・・？きになったのでどなたかよろしくお願いします！！
No.9269 - 2009/12/29(Tue) 00:34:15
☆ Re: No9237について / ヨッシー
積分範囲　０≦ｘ≦１ においては、１対１ですね。
No.9270 - 2009/12/29(Tue) 05:59:08
★ 円 / hiro
半径３センチの円０の円周上に３点APBがある。A、Bを接点として接線を引き、交わったところをPとする。角AQB＝４角APBのとき弧ABの長さを求めなさい。

よろしくお願いします。
No.9264 - 2009/12/28(Mon) 18:15:15
☆ Re: 円 / ヨッシー
点Ｑは、どういう点ですか？
点Ｐは、あくまでも円周上にありますか？
No.9265 - 2009/12/28(Mon) 21:33:10
☆ Re: 円 / hiro
点Qは円周上の点です。Pは円周上ではありません。四角形AQBPができるかと思います。
No.9279 - 2009/12/29(Tue) 17:38:12
☆ Re: 円 / ヨッシー
点Ｑが、四角形ＰＡＯＢの外部にある場合と、内部にある場合が
考えられます。
区別するために、後者を点Ｒとします。



図のように、∠ＡＰＢ＝ｘとおくと、
∠ＰＡＯ＝∠ＰＢＯ＝90°　より
　∠ＡＯＢ＝180°−ｘ
円周角より
　∠ＡＱＢ＝90°−ｘ/２
円に内接する四角形の性質より
　∠ＡＲＢ＝180°−∠ＡＱＢ＝90°＋ｘ/２

∠ＡＱＢ＝４∠ＡＰＢ　のとき
　90°−ｘ/２＝４ｘ　より、　ｘ＝20°
∠ＡＲＢ＝４∠ＡＰＢ　のとき
　90°＋ｘ/２＝４ｘ　より、　ｘ＝(180/7)°
No.9281 - 2009/12/30(Wed) 05:46:15
★ 不等式 / ミキティ
不等式x(x-1/y)>0を解くと
x>0かつx>1/y
または
x<0かつx<1/yとなったのですが
答えを見ると、y^2(>0)を両辺に掛けて、
xy(xy-1)>0を解いていました。
導き出された答えが違うのですが、なぜですか？
No.9259 - 2009/12/27(Sun) 17:16:04
☆ Re: 不等式 / 七
x>1/y　や　x<1/y　の扱いを間違えているのではありませんか？
No.9261 - 2009/12/27(Sun) 17:30:24
★ 物理?T公式 / 宮島

物理の公式について質問です。

力学の等加速度運動の公式なんですが、
・教科書
位置の公式:ｘ=ｖ0ｔ+1/2ａｔ^2
位置の変化の式:ｖ^2-ｖ0^2=2ａｘ

・参考書
位置の公式:ｘ=ｖ0ｔ+1/2ａｔ^2+ｘ0
位置の変化の式:ｖ^2-ｖ0^2=2ａ(ｘ-ｘ0)

と、教科書と参考書でｘ0が入るか入らないかの違いがありました。どちらを使って解けばいいのでしょうか？

No.9247 - 2009/12/27(Sun) 10:55:49
☆ Re: 物理?T公式 / 名無し
教科書のは参考書の式のx0をx0=0とした場合です．
だから基本的に参考書のを使っておけば大丈夫です．
（教科書が間違っているわけではありません）

大事なのはその公式を丸暗記して適用する事ではなく，意味を理解する事です．もう一回公式の意味を確かめてみましょう．
No.9250 - 2009/12/27(Sun) 11:57:29
☆ Re: 物理?T公式 / 宮島

そういうことなんですね!
すごく不思議だったのでとてもすっきりしました。
ありがとうございました!

No.9256 - 2009/12/27(Sun) 16:28:10
★ 最大・最小 / りか
わからない問題があるので質問させて下さい。

＊次の問いに答えよ
(1)x+2y=1の時、x^2+y^2の最小値を求めよ
(2)x^2+2y^2=1の時、x^2+4yの最大値、最小値を求めよ
(3)x,yを実数とする時、x^2+2xy+y^2+4x-4y+2の最小値を求めよ

という問題なのですが、(1)からどうやって解いたらいいのかわかりません･･･。ご指導よろしくお願いします。
No.9240 - 2009/12/27(Sun) 02:36:14
☆ Re: 最大・最小 / 七
> (1)x+2y=1の時、x^2+y^2の最小値を求めよ
x+2y=1よりx＝1−2y
x^2+y^2＝(1−2y)^2+y^2＝5y^2−4y＋1

> (2)x^2+2y^2=1の時、x^2+4yの最大値、最小値を求めよ
x^2+2y^2=1よりx^2＝−2y^2＋1
またx^2≧0だから2y^2≦1したがって−√2/2≦y≦√2/2
x^2+4y＝−2y^2＋4y＋1　(−√2/2≦y≦√2/2)
(1)(2)ともこのあと平方完成すればいいですね。

> (3)x,yを実数とする時、x^2+2xy+y^2+4x-4y+2の最小値を求めよ
x^2+2xy+y^2+4x-4y+2の式はこれで合っていますか？
No.9244 - 2009/12/27(Sun) 06:52:51
☆ Re: 最大・最小 / フリーザ
多変数関数は高校生にとってアプローチは主に２つです。
・変数が独立→一方を固定して１変数関数としてとらえ最大最小をだしてからもう一方の変数を動かす。
・変数が従属→１文字消去(消した式の変数を残した変数に遺伝させるのを忘れずに)or合成関数の微分

(３)のx,yたちは独立に動きまわります(xが決まってもyは決まらない！(１)は違うでしょ？)
よってまずはyは定数扱いしてxの関数として最小値をyであらわしその最小値をyの関数とみて最小値を求めることになります。
No.9246 - 2009/12/27(Sun) 09:07:40
☆ Re: 最大・最小 / 名無し
(3)は
((x+y)^2-2)^2-2
と式変形できるので，最小値は-2
とやるのがスマートかと．
No.9251 - 2009/12/27(Sun) 12:07:40
☆ Re: 最大・最小 / 七
> (3)は
> ((x+y)^2-2)^2-2
> と式変形できるので，最小値は-2
> とやるのがスマートかと．

式変形が間違っています。
No.9253 - 2009/12/27(Sun) 12:13:29
☆ Re: 最大・最小 / 名無し
(x+y)^2の^2を余計に打ってしまった・・・・
と思いきやそこではなく，元の式の+4xを-4xに見間違えてましたね．
なんともお恥ずかしい事を．ご指摘有難うございます．

となると，やっぱり適当な変数を定数扱いするしかなさそうですね．
No.9254 - 2009/12/27(Sun) 12:42:48
☆ Re: 最大・最小 / 七
x^2+2xy+y^2+4x-4y+2はたとえば
(x＋y＋2)^2−8y−2　と変形でき
例えば　x＋y＋2＝0　を満たしつつ、yの値を大きくしていけばいくらでも小さくなり、最小値は存在しません。
ですから式が間違っているのではないかと考えたのです。
No.9255 - 2009/12/27(Sun) 13:09:12
☆ Re: 最大・最小 / りか
(1)
> x+2y=1よりx＝1−2y
> x^2+y^2＝(1−2y)^2+y^2＝5y^2−4y＋1

答えは最小値：9/25であっているでしょうか。

(2)
> x^2+2y^2=1よりx^2＝−2y^2＋1
> またx^2≧0だから2y^2≦1したがって−√2/2≦y≦√2/2
> x^2+4y＝−2y^2＋4y＋1　(−√2/2≦y≦√2/2)

平方完成して、-2(y-1)+3で、最大：2√2、最小：-2√2
でいいでしょうか？

(3)
> x^2+2xy+y^2+4x-4y+2の式はこれで合っていますか？
合っていると思います。その場合はどのように解いたらいいでしょうか。

またよろしくお願いします。
No.9257 - 2009/12/27(Sun) 16:38:02
☆ Re: 最大・最小 / 七
(1)
x+2y=1よりx＝1−2y
x^2+y^2＝(1−2y)^2+y^2＝5y^2−4y＋1＝5(y−(2/5))^2＋(1/5)
y＝2/5このときx＝1/5で最小値1/5

(2)は答えはあっていますが
最大値、最小値をとるときのx、yの値も書いたほうがよりいいですね。

(3)
x^2+2xy+y^2+4x-4y+2の式はこれで合っているのなら
先ほど書いたように最小値はありません。
もしx^2+2xy+2y^2+4x-4y+2なら
(x＋y＋2)^2＋y^2−8y−2＝(x＋y＋2)^2＋(y−4)^2−18
と変形できますからx＋y＋2＝0、y−4＝0
つまりx＝−6、y＝4のとき最小値−18をとる。
などとできるんですが。
式の変形は間違っているかもしれません。
No.9258 - 2009/12/27(Sun) 17:03:17
☆ Re: 最大・最小 / フリーザ
(１)シュワルツの不等式
(x^2＋y^2)(1＾2＋2＾2)≧(x＋2y)^2=1
x^2＋y^2≧1/5
等号成立はx/y=1/2
x＋2ｙ＝１とからx=1/5,y＝2/5
よって最小値は1/5
(２)変数変換
x^2＋2y^2=1より
x=cost,y=sint/√2(0≦t＜２π)とおける
x^2＋4y
=(cost)^2＋2√2sint
・・・・・
No.9263 - 2009/12/27(Sun) 23:59:09
☆ Re: 最大・最小 / りか
> (1)
すみません。これは計算ミスをしていたようです・・・
再度計算してみたところ、答えが出せました。

> (2)
> 最大値、最小値をとるときのx、yの値も書いたほうがよりいいですね。
最大の時のy:(√2)/2 最小の時のy:-(√2)/2
で計算したのですが、xはどのように出したらいいのでしょうか。
x^2+2y^2=1に代入してみたのですがうまくいきません。

> (3)
> 先ほど書いたように最小値はありません
最小値はないのですね・・・。
数学の担任が作ったﾌﾟﾘﾝﾄからなので、
もしかしたら担任の打ち間違いかもしれません。
後日合ったら確認してみます。
丁寧な解説ありがとうございます。
No.9268 - 2009/12/29(Tue) 00:16:00
☆ Re: 最大・最小 / 七
> > (2)
> > 最大値、最小値をとるときのx、yの値も書いたほうがよりいいですね。
> 最大の時のy:(√2)/2 最小の時のy:-(√2)/2
> で計算したのですが、xはどのように出したらいいのでしょうか。
> x^2+2y^2=1に代入してみたのですがうまくいきません。
どちらも代入すると
x^2+1=1
x＝0
だと思います。
No.9271 - 2009/12/29(Tue) 07:15:41
☆ Re: 最大・最小 / りか
> どちらも代入すると
> x^2+1=1
> x＝0
> だと思います。

どちらもx=0でいいのですか。ありがとうございました！
No.9276 - 2009/12/29(Tue) 14:47:46
★ 積分 / Bとん
積分区間０から１
関数がｘ・log（ｘ＾２＋１）のｘでの積分なんですが
やり方は部分積分でしょうか？

ｆ（ｘ）＝log（ｘ＾２＋１）
ｇ（ｘ）＝（１／２）ｘ＾２
としましたが
よくわかりません
ご指導願います
No.9237 - 2009/12/27(Sun) 00:58:51
☆ Re: 積分 / Kurdt（かーと）
t=x^2+1 と置いて置換積分するのが簡単ですね。
No.9238 - 2009/12/27(Sun) 02:09:50
☆ Re: 積分 / にょろ
とりあえず
ｘ＾２＋１=t
とおくと
dt/dx=2x
dt=2x dx
より
ｘ・log（ｘ＾２＋１）dx
=(1/2)t･log(t) dt

としてみてはどうでしょう。

（即興なので計算とか間違ってるかもしれませんけど）
ごり押しより簡単になってますよね〜
No.9239 - 2009/12/27(Sun) 02:14:04
☆ Re: 積分 / Kurdt（かーと）
正しくは t=x^2+1 とおくと、
∫(1/2)logtdt
になるはずですね。
No.9241 - 2009/12/27(Sun) 02:36:49
☆ Re: 積分 / にょろ
あ･･･
本当だ…
x dx を t dtに変換してしまったorz
訂正ありがとうございます
No.9242 - 2009/12/27(Sun) 02:46:16
☆ Re: 積分 / Bとん
なるほど
ありがとうございました。
その後もすっきり解けました
No.9249 - 2009/12/27(Sun) 11:36:11
★ 線形計画法についてです。 / ハオ
a,bを実数とする。次の4つの不等式を同時に満たす点(x,y)全体からなる領域をDとする。
x+3y≧a, 3x+y≧b, x≧0, y≧0
領域Dにおけるx+yの最小値を求めよ。
という問題です。解答には2直線x+3y=a 3x+y=bの交点がどの象限にあるかで場合分けをする。と記してありそれは理解できるのですが、場合分けの仕方が分かりません。具体的には
第一象限にある時は即ち3a≧b,3b≧aの時
第二象限にある時は即ちa≧3b,a≧0の時
第三象限にある時は即ちa≦0,b≦0の時
第四象限にある時は即ちb≧3a,b≧0の時
と解答にはありますが何故即ち以降の範囲が導けるのでしょうか？教えて下さい。
No.9222 - 2009/12/25(Fri) 18:46:20
☆ Re: 線形計画法についてです。 / 七
交点の座標をa,bを用いて表してみれば分かります。
No.9224 - 2009/12/25(Fri) 22:53:50
☆ Re: 線形計画法についてです。 / ハオ
返答有難う御座います。
交点の座標をa,bを用いて表してはみたのですが、
x座標(3b-a)/8 ,y座標(3a-b)/8が出てきて
第一象限の場合は上手くいきますが第二象限にある場合は
3b≦a,3a≧bまでしか値の範囲が絞りきれません。
どの様にすればa≧0が得られますか？
No.9225 - 2009/12/26(Sat) 12:06:11
☆ Re: 線形計画法についてです。 / 七
勘違いでなければ
第一象限にある時は
3a＞b,3b＞a　でないとおかしいと思うのです。
また第二象限にある場合は
さらに2つの場合に分ける必要があるように思います。
No.9227 - 2009/12/26(Sat) 15:34:08
☆ Re: 線形計画法についてです。 / ハオ
う〜ん、何故その様な考えに至るのか詳しくお願いします。
因みに上記の問題はZ会の関数発展講座の1題です。解答が間違っているはずはないと思うのですが・・・。
No.9228 - 2009/12/26(Sat) 16:06:57
☆ Re: 線形計画法についてです。 / rtz
第2象限の場合
http://b4.spline.tv/study777/?command=GRPVIEW&num=717
http://b4.spline.tv/study777/?command=GRPVIEW&num=718

要は、
原点が領域内に入るか入らないかで場合分けが必要ですね。

入ればx＝y＝0ですし、
入らなければx＝0,y＝a/3になるでしょうし。
No.9230 - 2009/12/26(Sat) 17:06:27
☆ Re: 線形計画法についてです。 / ハオ
成程、場合分けする理由は良く分かりました。
では、何故交点が第二象限にある場合にa≧0が得られるのか教えて下さい。
また、第二象限で場合分けが必要という事でZ会の解答は間違っているという事でしょうか？
質問ばかりで申し訳ありません。
No.9231 - 2009/12/26(Sat) 17:38:35
☆ Re: 線形計画法についてです。 / ハオ
↑
では、何故〜（以下略)
の部分は文脈上おかしかったです。
訂正
次の疑問として何故〜（以下略）
No.9232 - 2009/12/26(Sat) 17:43:02
☆ Re: 線形計画法についてです。 / 七
Z会の問題ですか。
バイトの学生が解答を作ったのかな？
交点が第一象限にないときは
x座標が0以下のときはa＞0かどうかつまり直線x+3y=aの切片が正であるかどうかが問題になりますが
交点が第二象限にあるときa＞0とは限りません。
同様にy座標が0以下のときはb＞0かどうかつまり直線3x+y=bの切片が正であるかどうかが問題になります。

要は交点が第二象限にあるとき、第三象限にあるとき、第四象限にあるときという分け方がおかしいのです。
No.9234 - 2009/12/26(Sat) 19:43:18
☆ Re: 線形計画法についてです。 / ハオ
う〜ん、ちょっと僕の頭の中では処理しきれません、御免なさい。皆さんのお考えになる模範解答を書いて頂けませんか？因みにZ会の問題と言っても東大の過去問ですので解答を間違うはずはないと思うのですが。。。赤本にも載っていないので、お手上げ状態です。
議論が難しいので理解するのも苦労してしまいます。
本当にごめんなさい。
No.9235 - 2009/12/26(Sat) 19:50:40
☆ Re: 線形計画法についてです。 / rtz
そこまで書くのは面倒なので方針だけ。

場合分けは、
1.x,y≧0の範囲に直線がない(＝領域内に原点が入る)→無制限なら原点
2.x,y≧0の範囲をx+3y≧aのみが横切る→(x,y)＝(0,a/3)
3.x,y≧0の範囲を3x+y≧bのみが横切る→(x,y)＝(b/3,0)
4.両方横切る(＝交点が第1象限)→交点
です。

x,y≧0に直線があるとどういう風にx+y＝kに制限がかかるか考えればこうなるかと思います。
No.9236 - 2009/12/26(Sat) 21:15:33
☆ Re: 線形計画法についてです。 / 七
> rtzさん
両方が横切っても交点は第二象限や第四象限にできる場合があるのでは？

z会に「解答が間違っていると言われた」と問い合わせれば
すぐにおわびと訂正が得られると思います。
No.9243 - 2009/12/27(Sun) 06:39:19
☆ Re: 線形計画法についてです。 / rtz
＞七さん
あ、ホントですね。
2.や3.に組み込めば良さそうですが…。

どちらにしろ問い合せた方がよいでしょうね。
No.9248 - 2009/12/27(Sun) 11:34:46
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