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★ 二次方程式　食塩水 / 剛
はじめまして。中3です。早速ですが
10％の食塩水300gが容器に入っている。この中からxgの食塩水をくみ出し、代わりに同量の水を入れてよくかき混ぜたあと、されにxgの食塩水をくみ出したところ、残った食塩水に含まれる食塩の量は7.5gになった。このときxの値を求めよ。
という問題なのですが、手も足も出ません。
ちなみに答えは150です。
解説を読んでも理解できないので、できれば詳しく解説してください。
よろしくお願いします。
No.9062 - 2009/12/01(Tue) 18:07:38
☆ Re: 二次方程式　食塩水 / ヨッシー
最初の食塩の量は
　300×10%＝30(g)
です。もし、60g の水をくみ出すと、残り 240ｇだけに
食塩が含まれているので、食塩の量は　240/300＝4/5倍に
なります。これは、何回やっても、操作後には 直前の 4/5 倍
になります。

ｘｇで考えると、(300-x)/300 倍になります。１－x/300 としても良いでしょう

最初の30gの食塩が、
１回目で　30×(１－x/300)
２回目で　30×(１－x/300)×(１－x/300)
となり、これが 7.5 なので、
　30×(１－x/300)2＝7.5
　(１－x/300)2＝0.25
　(１－x/300)＝±0.5
以下略
No.9064 - 2009/12/01(Tue) 22:59:48
☆ Re: 二次方程式 / 剛
お礼するのが遅くなって申し訳ございませんでした。
分かりやすい説明のおかげでわかりました。
そしてもう一問お願いします。
２けたの自然数xの各位の数の積をＰとする。例えば、x＝53ならば、、Ｐ＝5×3＝15である。Ｐ＝x^2－8x－20となるとき、x＜20となるxの値を求めよ
という問題です。答えは10です。
お返事よろしくお願いします。
※ちなみにx^2はxの二乗のつもりです。
間違ってたらご指摘してください。
No.9104 - 2009/12/06(Sun) 18:28:03
☆ Re: 二次方程式　食塩水 / フリーザ
x=10＋a(aは０以上９以下)とおける・・・☆
よってP=１×a=aとなる

　P=x^2－8x-20
⇔a=(10＋a)^2－8(10＋a)－20
⇔a^2＋11a＝0
☆よりa＝０
よってx=10
No.9139 - 2009/12/13(Sun) 00:13:20
★ 漸化式についてです。 / ハオ
a_n+1 -1/2a_n=2^(n-1)が与えられています。数列a_nを求めよ。という問題で僕はa_n+1 -1/2a_n=2^(n-1)
⇔a_n+1=1/2a+=2^(n-1)として両辺を2^(n+1)で割って
特性方程式などを駆使して最終的に

a_n=2^n*｛(1/4)^n-1 +2} /6が出てきました。
しかし解決はa_n+1 -1/2a_n=2^(n-1)の両辺に2^n+1を掛けて最終的な答えは
a_n=4^n +2 /3*2^n とありました。
n=1.2.3を入れてみたのですが答えは一致しました。僕の答えでも問題ありませんか？
No.9060 - 2009/12/01(Tue) 17:50:48
☆ Re: 漸化式についてです。 / rtz
結果が一致するなら問題ありません。
が、なるべく見やすい形まで持っていくのが通例ですので、
計算できるところはした方がいい場合もあります。


それより、色々誤植が多いです。
あと分数や次数は括弧で括らないとどこまでか分かりません。
投稿前に間違いや意味の通らないところが無いか、
今一度確認するようにしてください。
No.9063 - 2009/12/01(Tue) 18:07:45
☆ Re: 漸化式についてです。 / ハオ
申し訳ありません、急いでいたもので。
分数などは分かり易い様にスペースを開けたのですが、逆に分かり難かった様ですね。申し訳ありません。
No.9075 - 2009/12/02(Wed) 14:31:03
★ 数?V微分 / 絹山


今晩は。
数?V微分方の範囲で

f(x)=sin^3x+3sin^2x=3sin^2xcosx+6sinxcosx
でいいのでしょうか？
それと、

(1)f(x)=3√(2x+1)^2(係数が3ではなく3乗根です)

(2)f(x)=log√(x+1/x^2+1)

の解き方を教えて頂きたいです。
どなたかよろしくお願いします。
No.9059 - 2009/12/01(Tue) 17:50:22
☆ Re: 数?V微分 / ヨッシー
＞f(x)=sin^3x+3sin^2x=3sin^2xcosx+6sinxcosx
は、f(x)=sin^3x+3sin^2x のとき f'(x)＝3sin^2xcosx+6sinxcosx
です。

(1)　f(x)＝(2x+1)^(2/3) とすれば、良いでしょう

(2) f(x)＝(1/2)log{(x+1)/(x^2+1)}
　　　＝(1/2){log(x+1)－log(x^2+1)}
　まで変形すれば、あとは簡単です。
No.9065 - 2009/12/01(Tue) 23:03:58
☆ Re: 数?V微分 / 絹山

詳しく教えて頂いたので解くことができました。本当にありがとうございました!
No.9071 - 2009/12/01(Tue) 23:41:04
★ 二次関数の問題 / 高校数学Ⅰ勉強者
放物線y=x2(二乗)+5x-5がx軸と交わる２点をA,Bと置くとき、線分A,Bの長さを求めよ。

(解) 3√5

問題の解答が全くの答えだけなので、困っています。
また関数自体が苦手で、二次関数になると全くと言っていい程分かりませんので、基礎的な解説も加えていただけたらと思っています。

分かる方解説お願いいたします。
No.9057 - 2009/12/01(Tue) 15:11:59
☆ Re: 二次関数の問題 / rtz
2乗等の累乗は^を用います、xの2乗ならx^2など。

A,Bのx座標はそれぞれx^2+5x-5＝0の実数解です。
極端な話、解を両方出して引き算すれば長さは出ます。
まずは一度これでやってみましょう。

解と係数の関係を既習なら、
2つの解をα,β(α＜β)として、求める長さAB＝β-αですから、
(β-α)^2＝(β+α)^2-4αβ (←確認のこと)
を利用して求めることが出来ます。
No.9061 - 2009/12/01(Tue) 18:01:44
☆ Re: 二次関数の問題 / 高校数学Ⅰ勉強者
返信遅くなってしまい申し訳ありません。
解説を頭に入れてもう一度解いてみた所、解くことが出来ました。
解説ありがとうございました。
No.9118 - 2009/12/10(Thu) 18:10:14
★ 分母と分子の基準をあわせるはずですが・・ / 確率が分からない人
１から１０までの数字を一つずつ書いた１０枚のカードが小さい数字の順に並べてある。この中から任意に二枚のカードを抜き出しその場所を入れ替えるという操作を考える。この操作をｎ回おこなったとき、一枚目のカードの数字が１である確率Pｎを求めよ。

Pn+1=Pn×９C2/10C2+(1-Pn)×１/10C2

とあるのですが１/10C2の分母が１になる理由が分かりません。（１０C2は異なる１０個のものから２個の選び方、という定義であってますよね？）

（1-Pn)×１/10C2はn回後に一枚目が１でなくかつ、n+1回目に一枚目と１のカードを選ぶ確率とありますが分母の１がやはり納得いきません。一枚目のカードは１以外の９通りだから分母は９×１の９通りだと思ったのですが何が悪いのでしょうか。
二枚の選び方は
１，２
１，３
１，４
１，５
１，６
１，７
１，８
１，９
１，１０の９通りですよね・・・

どなたかご教授お願いします。
No.9051 - 2009/12/01(Tue) 09:09:59
☆ Re: 分母と分子の基準をあわせるはずですが・・ / 七
> １/10C2の（1-P分母が１になる理由が分かりません
分母は1ではありません。

> (1－Pn)×１/10C2はn回後に一枚目が１でなくかつ、n+1回目に一枚目と１のカードを選ぶ確率とありますが分母の１がやはり納得いきません。一枚目のカードは１以外の９通りだから分母は９×１の９通りだと思ったのですが何が悪いのでしょうか。
これも分母は1ではありません。10C2です。

> 二枚の選び方は
1枚めと1枚めでない1を選ぶ場合の1通りです。
No.9054 - 2009/12/01(Tue) 09:56:18
☆ Re: 分母と分子の基準をあわせるはずですが・・ / 確率が分からない人
１は分子ですね。
再度よろしくお願いします。
No.9055 - 2009/12/01(Tue) 13:56:21
☆ Re: 分母と分子の基準をあわせるはずですが・・ / 七
Pn×９C2/10C2
のほうは分かるのでしょう？
(1-Pn)×１/10C2
は前に書いたとおりです。
No.9056 - 2009/12/01(Tue) 14:31:54
☆ Re: 分母と分子の基準をあわせるはずですが・・ / 確率が分からない人
Pn×９C2/10C2については
１以外の２～１０の数字の９枚から二枚選ぶので９C2通り。
だから
同様に
１と１以外の２～９の数字を入れ替えるので９通り。

といっています。
二枚の数字の選び方は
１，２
１，３
１，４
１，５
１，６
１，７
１，８
１，９
１，１０の９通り

要するに一枚目と１を入れ替えるといっても一枚目には２～１０の９通りがあるではないですか、ということです。入れ替える数字に着目したのです。

よろしくおねがいします。
No.9067 - 2009/12/01(Tue) 23:18:07
☆ Re: 分母と分子の基準をあわせるはずですが・・ / 七
> 要するに一枚目と１を入れ替えるといっても一枚目には２～１０の９通りがあるではないですか、ということです。入れ替える数字に着目したのです。
1枚目が9通りと言うのなら2枚目以降にも何通りかずつありますがこれは考えないのは片手落ちだと思いますが？

それとも
分母は9×10C2にしなくていいのですか？
のほうが分かりやすいでしょうか？
No.9072 - 2009/12/02(Wed) 06:21:28
☆ Re: 分母と分子の基準をあわせるはずですが・・ / 確率が分からない人
分母は9×10C2にしなくていいのですか？
とありますが、正直意味が分かりません。
入れ替えるのは一枚目の数（２～９のいずれか）と１です。ですから９×１と考えたのです。分母が１０C2ですから、選ぶ２枚の組が何の数字が書かれたものなのか、に着目したわけです。

よろしくお願いします
No.9073 - 2009/12/02(Wed) 06:37:26
☆ Re: 分母と分子の基準をあわせるはずですが・・ / 七
1枚目が2のとき10枚から2枚とるのに10C2通り、
1枚目が3のとき10枚から2枚とるのに10C2通り、
1枚目が4のとき10枚から2枚とるのに10C2通り、
1枚目が5のとき10枚から2枚とるのに10C2通り、
1枚目が6のとき10枚から2枚とるのに10C2通り、
1枚目が7のとき10枚から2枚とるのに10C2通り、
1枚目が8のとき10枚から2枚とるのに10C2通り、
1枚目が9のとき10枚から2枚とるのに10C2通り、
1枚目が10のとき10枚から2枚とるのに10C2通りあると言う意味です。
1枚目が2～10の9通りあると言うなら
10枚から2枚とるのは
9×10C2とおりです。
No.9088 - 2009/12/03(Thu) 06:32:50
★ 意味が分からないです。。 / トビ
x,yは実数で点（x,y)はx^2+y^2≦5の表す領域を動く。このとき、新たな点（x+y,xy)の動く領域を図示せよ。

解）X=x+y,Y=xyとおきx^2+y^2≦５に変形して代入、
それからｘ、ｙの実数条件
これら二つの放物線の囲む面積が求める面積なのですが
答えは座標軸がX,Yとなっているのですが
XY軸にするか、ｘｙ軸にするか分かりません。

また、よく軌跡の問題では最初に求める軌跡上の点を（X,Y)と置いて（ｘ、ｙ）に戻すのになんでこの問題は戻さないんでしょうか。

どうかよろしくお願いします。
No.9050 - 2009/12/01(Tue) 06:21:13
☆ Re: 意味が分からないです。。 / 七
点（x+y,xy)はxy平面では表すことができません。
No.9052 - 2009/12/01(Tue) 09:22:50
☆ Re: 意味が分からないです。。 / 確率が分からない人
点（x+y,xy)はxy平面では表すことができません。

とありますが表すことができるかどうかどうやって見極めたのですか？具体的にお願いします。
No.9068 - 2009/12/01(Tue) 23:21:20
☆ Re: 意味が分からないです。。 / 七
表して見なさい。
No.9101 - 2009/12/05(Sat) 07:26:25
★ 角度 / Yutty
∠a～∠ｇの和は何度か教えてください
求め方もお願いします
No.9048 - 2009/11/30(Mon) 23:30:10
☆ Re: 角度 / to
内側の７角形の辺の上に出っ張ってる三角形７個

各三角形の外側の１つの角の和を求めるので

●各三角形の残りの２角の和が
　内側の７角形の外角の和の２組分になっていることに注目し

これ(360＊2)を各三角形の内角の和(180＊7)から引く

180＊7－360＊2＝540
No.9049 - 2009/12/01(Tue) 02:02:25
★ 物理（波動）です / ハオ
添付したファイルの問題の題意がいまいち汲みとれません。
何故AB方向に摩擦すると縦波が生じるのでしょうか？万力で固定されているCが節となる事は分かり問題は解けるのですが・・・。もし問題文中に縦波の記述がなかったらお手上げです。原理をお教えください。
最近質問ばかりで申し訳ありません。
No.9039 - 2009/11/29(Sun) 11:43:04
☆ Re: 物理（波動）です / rtz
棒の振動が→で、波の進行も→ですから縦波です。
Aを横から指で弾けば横波になると思いますが。
No.9040 - 2009/11/29(Sun) 13:05:03
☆ Re: 物理（波動）です / ハオ
御免なさい、いまいち理解できません。
Cで固定されているので金属棒は動かないのでは？と考えてしまいます。
No.9041 - 2009/11/29(Sun) 13:35:11
☆ Re: 物理（波動）です / BossF
金属も弾性があり、とても硬いゴムみたいなものなんですよ
→長さ方向にも伸び縮みします
No.9044 - 2009/11/30(Mon) 11:55:28
☆ Re: 物理（波動）です / ハオ
成程！！とても理解しやすかったです。
rtzさんBossFさん僕の質問に時間を割いていただき有難う御座いました。
No.9046 - 2009/11/30(Mon) 16:41:26
★ う～ん、有効数字についてです。 / ハオ
つい先日も有効数字についてお尋ねしたのですが、また新たな問題が発生しました。僕はこの様な頑なな性格な故お聞き苦しい質問かもしれませんが宜しくお願いします。
問題:一直線上を速さ20m/sで進む自動車が、640Hzのクラクション音を出している。音速を340m/sとするとき、自動車の前方に出ていく音の波長はいくらか。

この問題の場合有効数字は測定値の20m/s 640Hz 340m/sの中で一番桁数が少ない2桁だと思うのですが答えは有効数字3桁でした。何故なのでしょう？テストにも関係してくる故の質問です、ご容赦ください。
No.9038 - 2009/11/29(Sun) 08:57:59
☆ Re: う～ん、有効数字についてです。 / ヨッシー
測定値としての各値ではなく、ドップラー効果の式を
使えるかどうかを試す、計算問題としての数値なのではないでしょうか？
No.9043 - 2009/11/29(Sun) 20:28:29
☆ Re: う～ん、有効数字についてです。 / ハオ
分かりました、有難う御座います。有効数字って厄介なものですね～、と思う今日この頃です。
No.9045 - 2009/11/30(Mon) 16:40:14
★ 高2・数列 / 匿名
第n群がn個の数を含む群数列
{1},{2,3},{3,4,5},{4,5,6,7},{5,6,7,8,9}･･･に対し
数列1,2,3,3,4,5,4,5,6,7,5,6,7,8,9･･･をa[n]とする。

数列a[n]の第1999項は第何群の第何番か。
またその数を求めよ。

第n群の最後の項は1/2{n(n+1)}より
第63群の第46番目までは求められたのですが、
その数を求めるのに解答では
63+(46-1)･1=108　と求めているのですが、
この式はどこからきたのでしょうか？



-5と15の間にn個の数を入れて等差数列を作ると、
その総和が100になった。このときnの値と公差を求めよ。

解答に項数がn+2と書かれているのですが、
どうしてn+2になるのかわかりません。


2問よろしくお願いします。
No.9032 - 2009/11/28(Sat) 21:27:44
☆ Re: 高2・数列 / rtz
第n群第1番はnです。
つまり、第n群第m番はn+(m-1)です。

放り込んだn個と-5と15でn+2個です。
No.9033 - 2009/11/28(Sat) 21:47:36
☆ Re: 高2・数列 / 匿名
返信ありがとうございます。

具体的に数字を入れると正しいとわかるのですが、
どうしてn+(m-1)という式がつくれるのでしょうか…？

2問目はわかりました！
どうもありがとうごさいました！
No.9035 - 2009/11/29(Sun) 01:57:09
☆ Re: 高2・数列 / ヨッシー
>第n群第m番はn+(m-1)です。
ｎから数えて、ｍ番目の数ですね。

１番目は、ｎ
２番目は、ｎ＋１
３番目は、ｎ＋２
　・・・
ｍ番目は、ｎ＋ｍ－１
　・・・
ｎ番目は、２ｎ－１
です。
No.9036 - 2009/11/29(Sun) 07:33:51
☆ Re: 高2・数列 / 匿名
詳しく説明していただき
ありがとうございます！
おかげで理解できました。

本当にありがとうございました！
No.9047 - 2009/11/30(Mon) 22:31:56
★ 微分でやり方によって答えが違う / 涼流
いつもお世話になっております。どうしても答えが合わないので、どこか誤りがありましたら指摘して頂けるとうれしいです。

問 y = x/√(1 - x^2) を微分せよ.

(合成関数の微分を使って)
u = 1 - x^2と置くと、
y = x/√u = xu^(-1/2)

dy/dx = (dy/du)・(du/dx) = {(-1/2)xu^(-3/2)}・(-2x)
= x^2u^(-3/2) = (x^2)/√(1 - x^2)^3 …… (答)

(両辺2乗して)
y^2 = (x^2)/(1 - x^2)

(d/dx)y^2 = (d/dx){(x^2)/(1 - x^2)}
2y・dy/dx = {2x(1 - x^2) - (x^2)・(-2x)}/(1 - x^2)^2
dy/dx = 2x/2y(1 - x^2)^2 = x/{x/√(1 - x^2)}・(1 - x^2)
= 1/√(1 - x^2)^3 …… (答)

どうかよろしくお願いします。
No.9028 - 2009/11/28(Sat) 13:38:15
☆ Re: 微分でやり方によって答えが違う / rtz
uがxの関数であるのに、
dy/duを求める際、dx/du＝0としてしまっている点です。


ちなみに他にも、
x＝sinθ、y＝tanθ、dx/dθ＝cosθ
dy/dx＝dy/dθ・dθ/dx＝1/(cosθ)^3＝(1-x^2)^(-3/2)
という手も。
No.9029 - 2009/11/28(Sat) 14:02:37
☆ Re: 微分でやり方によって答えが違う / 涼流
有り難う御座います。

確かに、yをx, uで表してしまって、
xを定数としてuで微分してしたのが間違いでした!

y = xu^(-1/2) で、席の微分公式を使って、
dy/dx = (d/dx)xu^(-1/2) + x・(d/dx)u^(-1/2)
= 1・u^(-1/2) - (1/2){u^(-3/2)}・(-2x)
= {u^(-3/2)}(u + x^2)
= 1/√(1 - x^2)^3
おお! 出来ました!! これで合っているのですね!

1 - x^2を上手く利用した方法も面白いですね!
参考になりました。本当に有り難う御座いました。
No.9030 - 2009/11/28(Sat) 16:52:23
★ 些細な事なのですが。。。（物理です） / ハオ
有効数字が明らか３桁の問題において波長を求める問題で
答えがλ=136(cm)となり解に1.36*10^2 cmとしましたが
解答は136cmでした。又同じ大問のなかで振動数(Hz)を求める問題で答えがf=750(Hz)となり僕は同じく7.50*10^2としましたところ解答も7.50*10^2でした。

何故波長の方は1.36*10^2にならないのでしょうか？
No.9027 - 2009/11/28(Sat) 10:45:09
☆ Re: 些細な事なのですが。。。（物理です） / にょろ
どっちでもいいです
1.36のほうがいいかな～とはおもいます
（有効数字とかの関係）
だけど100程度だったら別に気にしなくても
No.9031 - 2009/11/28(Sat) 21:08:48
☆ Re: 些細な事なのですが。。。（物理です） / ハオ
成程です。態々有難う御座います。
No.9037 - 2009/11/29(Sun) 08:49:15
★ 数学的帰納法の途中経過について / ハオ
kは３以上の自然数　hはh>0を満たす実数とします。
数学的帰納法の途中経過で(1+h)(1+k*h^2)-1+(k+1)*h^2が0より大きい事を示したい時に
(1+h)(1+k*h^2)-1+(k+1)*h^2を整理すると
k*h^3+(2k+1)h^2+kとなりk≧3　h>0の状況下で明らかに正である。と僕は書きましたが解答は
k*h^3+(2k+1)h^2+kをkで括ってkの二乗の式を平方完成して、それで>0を導いていました。
僕の答案は駄目でしょうか？
No.9023 - 2009/11/27(Fri) 22:24:33
☆ Re: 数学的帰納法の途中経過について / X
ハオさんの方針で問題ないと思います。
ところで
＞＞k*h^3+(2k+1)h^2+kをkで括って～
とありますが意味不明です。タイプミスがありませんか？。
No.9024 - 2009/11/27(Fri) 22:58:46
☆ Re: 数学的帰納法の途中経過について / ハオ
御回答有難う御座います。安心しました。
明らかなミスで申し訳ありません。Χさんの理解力に感謝致します。
k*h^3+(2k+1)h^2+kをkで括って～
訂正後
k*h^3+(2k+1)h^2+hを hで括って～以下同じ
です。
No.9026 - 2009/11/28(Sat) 10:40:37
★ 物理ですが教えてもらえませんか？ / kakimoto
長さLで質量Mの一様な棒があり、その重心からaの長さの点0を支点とする剛体振子がある。次の問いに答えよ。
ただし、点0を通り、振動面に垂直な軸のまわりの慣性モーメントをI=ML^2/(12+Ma^2)とする。重力加速度をgとする。

(1)垂直軸となす角をθとして、棒の回転の運動方程式を書け
　　ただし、θ≪1 として、sinθ≒θが成立する。

(2)(1)の微分方程式の一般解は次式で与えられる。
　　　　θ=Asinωt+Bcosωt
　 ただし、A,Bは積分定数であり、ω=Mga/Iである。
　 次の初期条件を満たすような角度θをtの関数で表せ。
　　　t=0 のとき、θ=θ(0)、dθ/dt=0
　※θ(0)の0は普通右下に書くものです。…すいません。

(3)棒が微小振動するときの周期Tはいくらか。

解答は
(1)I(d^2θ/dt^2)=-Mgaθ
(2)θ=θ(0)cosωt
(3)T=2π√(I/Mga)
です。
お願いします。
No.9019 - 2009/11/27(Fri) 07:46:19
☆ Re: 物理ですが教えてもらえませんか？ / X
(1)
問題の棒の重心に働く重力の棒に対して垂直な成分の大きさは
Mgsinθ
これがθの増加する向きとは逆向きに働くので運動方程式は
Id^2θ/dt^2=-Mgasinθ
θ<<1なる微小振動を想定しているのならば…

(2)
t=0 のとき、θ=θ(0)、dθ/dt=0
なる条件を用いてA,Bについての連立方程式を立てます。

(3)
角振動数ωについて
ω=2π/T
ですので…。
No.9022 - 2009/11/27(Fri) 19:00:19
☆ Re: 物理ですが教えてもらえませんか？ / kakimoto
ｘさんありがとうございます。
もう１つ教えて下さい
(1)のことですが
慣性モーメント＊角加速度＝力のモーメント　
となるのでしょうか??
No.9034 - 2009/11/28(Sat) 22:07:19
☆ Re: 物理ですが教えてもらえませんか？ / X
その通りですよ。
No.9042 - 2009/11/29(Sun) 17:37:36
★ n進法 / yosh
度々お世話になります。
もう一度、n進法についてご教授お願いします。
※3進法=（3）と表記

問1　12（3）x20（3）
答え　310（3）

問2　121（3）x22（3）
答え　11202（3）

問3　1022（3）÷21（3）
答え　12（3）

3の時は10になるのですよね。。。？
だとすれば、問1の答えは1010（3）ではないのでしょうか？？

また、問3の割算の仕方が分かりません。

よろしくお願いします。
No.9017 - 2009/11/26(Thu) 11:45:17
☆ Re: n進法 / 七
> 問1の答えは1010（3）ではないのでしょうか？
そうです。

> 問3の割算の仕方が分かりません。
普通に筆算でやればいいのでは？
十進法のときは「10おろして」
のところを「3おろして」でやればいいですね。
途中では3以上の数が出てもいいでしょう？
No.9018 - 2009/11/26(Thu) 13:18:55
☆ Re: n進法 / 七
曲りなりに画像で表してみました。
見えるでしょうか？
No.9021 - 2009/11/27(Fri) 14:56:09
☆ Re: n進法 / yosh
返事が遅くなりました。
画像のご用意ありがとうございます。
筆算を見ると、説明が理解出来ました。
どうもありがとうございました！
No.9025 - 2009/11/28(Sat) 10:28:52
★ 関数の極限 / 山田


今日は。
数?Vの関数の極限の問題で
lim n→∞ n^3(2tanπ/n-sin2π/n)


というものなのですが、

θ=π/n とおいてといたら最終的には分母にθがきて結局0になってしまいました。
やり方が違うのでしょうか？
どなたかご指導宜しくお願いします。

No.9003 - 2009/11/25(Wed) 15:44:58
☆ Re: 関数の極限 / rtz
2tanθ-sin2θ=2tanθ(1-(cosθ)2)=2(sinθ)3/cosθ
です。
No.9004 - 2009/11/25(Wed) 17:32:20
☆ Re: 関数の極限 / 山田


ご指導ありがとうございます!
また質問なのですが、

θ=π/nとおくとn→∞のときθ→0になり、
n^3のところはπ^3/θ^3で良いのでしょうか？

それとcosθのθに0を入れるとやはり最終的には0になってしまうのですが良いのでしょうか？


何度もすみません。
もしよろしければ宜しくお願いします。
No.9007 - 2009/11/25(Wed) 20:37:13
☆ Re: 関数の極限 / らすかる
どういう計算で0になりましたか？
No.9008 - 2009/11/25(Wed) 20:44:19
☆ Re: 関数の極限 / 山田


お返事ありがとうございます。

θ→0なので

2tanθ{1-(cosθ)^2}
のcosθに0を入れると{}の中が1-1=0になってしまいました。
足りない説明で申し訳ありません。
考え方が違うのでしょうか。

No.9011 - 2009/11/25(Wed) 21:04:26
☆ Re: 関数の極限 / rtz
＞2tanθ-sin2θ=2tanθ(1-(cosθ)2)=2(sinθ)3/cosθ
とまで書いたのに、なぜその様なことをされたのか分かりませんが…。

lim[x→0](sinx)/x＝1をご存知ないのですか？
No.9012 - 2009/11/25(Wed) 21:46:49
☆ Re: 関数の極限 / 山田

ご返信ありがとうございます。

すみません。
2(sinθ)^3/cosθを見逃していました。
本当何度も申し訳ないのですがどのようにしたらこの式にもっていけるのでしょうか。


No.9013 - 2009/11/25(Wed) 22:49:08
☆ Re: 関数の極限 / rtz
この式、とはどの式のことでしょうか。

2(sinθ)3/cosθですか？
それなら
1つ目の=：2倍角の公式で展開、tanθ=sinθ/cosθで括り出し
2つ目の=：式の右をsinθに直し、tanθ=sinθ/cosθ利用
ですが。
No.9015 - 2009/11/25(Wed) 23:22:46
☆ Re: 関数の極限 / 山田

理解できました。
本当にありがとうございました。
No.9016 - 2009/11/25(Wed) 23:38:43
★ 期待値 / shiyo
nを2以上の自然数とする。1からnまでの自然数が書かれたカードが1枚ずつ計n枚、袋の中に入っている。この中から2枚を同時に取り出す。次の問に答えよ。
?@　2枚の差をXとする。Xの期待値を求めよ。
?A　2数の積をYとする。Yの期待値を求めよ。

以上です。宜しくお願い致します。
No.8998 - 2009/11/24(Tue) 23:34:20
☆ Re: 期待値 / ヨッシー
すべての引き方は nＣ2＝n(n-1)/2 であり、これが分母になります。
(1)
差が１：ｎ－１通り
差が２：ｎ－２通り
　・・・
差がｎ－１：１通り
なので、分子は
　１（ｎ－１）＋２（ｎ－２）＋・・・＋（ｎ－１）・１
　＝?納k=1～n-1]ｋ・(ｎ－ｋ)
　＝?納k=1～n-1](ｎｋ－ｋ^2)
　＝ｎ^2(ｎ－１)/2－ｎ(ｎ－１)(２ｎ－１)/6
　＝ｎ(ｎ－１)(ｎ＋１)/6
よって期待値は、n(n-1)(n+1)/6÷{n(n-1)/2}＝(n+1)/3

(2)
分子は
　1・2＋1・3＋1・4＋・・・＋1・n＋2・4＋2・5＋・・・＋2・n＋・・・＋(n-1)n
で、これをＡとおきます。
　(1＋2＋3＋・・・＋n)^2＝(1^2＋2^2＋・・・＋n^2)＋２Ａ
であるので、
　２Ａ＝{n(n+1)/2}^2－n(n+1)(2n+1)/6
　　＝n(n+1){(n^2+n)/4－(2n+1)/6}
　　＝n(n+1)(3n^2-n-2)/12
　　＝n(n+1)(n-1)(3n+2)/12
よって、
　Ａ＝n(n+1)(n-1)(3n+2)/24
No.9000 - 2009/11/25(Wed) 12:57:54
☆ Re: 期待値 / shiyo
ヨッシーさん 有り難うございます。

分からない箇所があるのですが、　“1・2＋1・3＋1・4＋・・・＋1・n＋2・4＋2・5＋・・・＋2・n＋・・・＋(n-1)nで、これをＡとおきます。　(1＋2＋3＋・・・＋n)^2＝(1^2＋2^2＋・・・＋n^2)＋２Ａであるので”の部分です。

なぜ(1＋2＋3＋・・・＋n)^2＝(1^2＋2^2＋・・・＋n^2)＋２Ａとおけるのかわかりません。
すみませんが宜しくお願い致します。
No.9005 - 2009/11/25(Wed) 20:22:01
☆ Re: 期待値 / ヨッシー
たとえば、
　(a+b+c)(a+b+c)＝a^2＋b^2＋c^2＋2(ab+bc+ca)
であるように、いくつかの項の足し算で表された式を２乗すると、
　各項の２乗が１つずつ、違う項を２つ掛け合わせたものが
２つずつ、もれなく登場します。

Ａというのは１～ｎまでの整数の違う数の積を残らず足したものですから、
上のような式になります。
No.9006 - 2009/11/25(Wed) 20:35:26
☆ Re: 期待値 / shiyo
ヨッシーさん　有り難うございます！！

納得です！！！
No.9010 - 2009/11/25(Wed) 20:59:54
☆ Re: 期待値 / ヨッシー
理解されて何より。

ちなみに、上の式で 2・4の前に2・3 が抜けていました。
No.9014 - 2009/11/25(Wed) 22:53:55
★ 数?V 無限級数 / 左近

今晩は。連日失礼します。
数?Vの無限級数についてお尋ねします。

無限級数の和
Ｓ=Σ n=1から∞ 1/n(n+1),Ｔ=Σ n=1から∞ 1/n(n+1)(n+2)を求めよ。
という問題なのですが、どのように求めたら良いのでしょうか。
どなたかご指導宜しくお願いします。
No.8996 - 2009/11/24(Tue) 21:10:41
☆ Re: 数?V 無限級数 / rtz
部分分数分解の代表的な例です。

Sなら
1/(n(n+1))＝{(n+1)/(n(n+1))}-{n/(n(n+1))}＝(1/n)-(1/(n+1))とすれば計算できます。

Tも同様にできますので、どうすればよいか考えてみるとよいでしょう。
No.8997 - 2009/11/24(Tue) 21:32:52
☆ Re: 数?V 無限級数 / 左近

解けました!
ご指導ありがとうございました。
No.9002 - 2009/11/25(Wed) 15:44:09
★ 確率 / 中津
Ｍ個のすべてを３つの袋Ａ、Ｂ、Ｃに分けていれる
この時玉は区別しないものとし、また玉の入っていない袋があってもよいとする
また袋ＡＢＣにいれる玉の数をそれぞれＸＹＺとする


M＝18のときＸ＞Ｙ＞Ｚ≧0を満たす入れかたの通り
と

M＝6ｎのときＸ＞Ｙ＞Ｚ≧0を満たす入れかたの通り
をｎを用いて表せをよろしくお願いいたします
No.8985 - 2009/11/23(Mon) 19:12:18
☆ Re: 確率 / ヨッシー
18個の玉を、Ａ、Ｂ、Ｃの袋に入れると考えると、入れ方は
　18Ｈ3＝20Ｃ2＝１９０(通り)
この求め方は、重複組み合わせをご覧ください。

このうち、２つ以上同じ個数入るのは
(0,0,18)(1,1,16)(2,2,14)(3,3,12)(4,4,10)(5,5,8)(6,6,6)(7,7,4)(8,8,2)(9,9,0)
このうち(6,6,6) は１通り、他の９組は３通りずつの並び替えが
あるので、
　１＋９×３＝２８(通り)
が、２つ以上同じ個数があり、残り
　１９０－２８＝１６２(通り)
は、３種類の個数から出来ています。

このうち並べ替えて同じ組になるのは、６通りずつあるので、
　１６２÷６＝２７(通り)
が求める場合の数となります。

同様に考えて、Ｍ＝６ｎ の時は、３ｎ^2 通りになります。
No.8990 - 2009/11/23(Mon) 23:07:23
☆ Re: 確率 / らすかる
＞18Ｈ3＝20Ｃ2＝１９０(通り)
多分
「3Ｈ18＝20Ｃ2＝１９０(通り)」
の間違いですね。
No.8999 - 2009/11/25(Wed) 12:00:45
☆ Re: 確率 / ヨッシー
そうです。

すぐ間違うんですけど、
何かいい覚え方ありますか？
　(特定の入れ物)Ｈ(不特定の中身)
　(部屋の数)Ｈ(入る人数)
　(袋の数)Ｈ(ボールの個数)
どれもいまいち。
No.9001 - 2009/11/25(Wed) 14:23:36
☆ Re: 確率 / らすかる
私もいつも間違えそうになります。
No.9009 - 2009/11/25(Wed) 20:45:34
☆ Re: 確率 / 七
ヨッシーさんやらすかるさんでも間違ったり間違えそうになるんですね。安心しました。
僕も間違えるのでHは使わないでCだけにするようにしています。
No.9020 - 2009/11/27(Fri) 07:48:05
★ 最大・最小と係数 / 高2の父
底面の半径６、高さ１８の直円すいに直円柱を内接させる。次の値が最大になるときの直円柱の底辺の半径と高さを求めよ。
(1)直円柱の体積Ｖ　(2)直円柱の表面積Ｓ

度々で申し訳ありません。
よろしくお願いします。
No.8984 - 2009/11/23(Mon) 17:05:00
☆ Re: 最大・最小と係数 / ヨッシー
円柱の半径をｘとすると、円柱の底面と円錐面とで出来る
小さな円錐の高さは３ｘなので、円柱の高さは、１８－３ｘ。
(1)
　Ｖ＝πｘ^2(１８－３ｘ)
ｘで微分して
　Ｖ’＝π(３６ｘ－９ｘ^2)
より、Ｖ’＝０ となるのは、ｘ＝０，４
よって、最大値は、ｘ＝４のとき　９６π

(2)
　Ｓ＝２πｘ^2＋２πｘ(１８－３ｘ)＝３６πｘ－４πｘ^2
ｘで微分して
　Ｓ’＝３６π－８πｘ＝４π(９－２ｘ)
よって、ｘ＝9/2 のとき 最大値 81π
No.8989 - 2009/11/23(Mon) 22:10:08
☆ Re: 最大・最小と係数 / 高2の父
ヨッシーさん
ありがとうございました。
No.8993 - 2009/11/24(Tue) 09:13:37
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