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★ 大学生ですが質問させてください! / クロカ
f'(x)=3f(x)+1 これの求め方は

「f(0)=2であれば、f'(0)3×2+1であるから、オイラー法によって、f(Δx)=2+7×Δx と求まっていく。 f(2Δx)は求まった f(Δx)を使えばよい。」

と書いてありますが、
さっぱり意味がわかりません。
それで、解く必要のある問題は

「実際にこのもんだいをオイラー法を用いて解き、f(3)を求めなさい。また、解析解と比較せよ。」

です。
どなたか、よろしくお願いします
No.8735 - 2009/11/04(Wed) 11:44:33
☆ Re: 大学生ですが質問させてください! / 雀
オイラー法は
f'(x)≒{f(x+Δx)-f(x)}/Δx
と近似する方法です。
今回の問題に当てはまれば
{f(x+Δx)-f(x)}/Δx＝3f(x)+1
f(x+Δx)＝{3f(x)+1}Δx+f(x)
となります。
あとは自分でΔxの値を決めて求めます

Δx=1/2とした場合
xに0,1/2,2/2,3/2,･････を代入すれば次のような式になり
f(1/2)＝{3f(0)+1}(1/2)+f(0)
f(1)＝{3f(1/2)+1}(1/2)+f(1/2)
f(3/2)＝{3f(1)+1}(1/2)+f(1)
・
・
・
f(3)＝{3f(5/2)+1}(1/2)+f(5/2)

f(0)が分かっているのでf(3)まで求めることができます。

Δxを小さくとれば解析解に近い値がでます。
No.8737 - 2009/11/04(Wed) 12:39:48
★ ベクトル / 岡田
原点をＯとするＸＹ平面上の点Ｐ（X、ｙ）、
Ｑ（２（X＋ｙ）、X−ｙ）
について

X、ｙがX＾2＋ｙ＾2＝１
X≧０、ｙ≧０を満たしながら変化するときの
→ＯＰ・→ＯＱの最大値と最小値を求めよ。


どうかお願いします。
No.8731 - 2009/11/03(Tue) 20:33:31
☆ Re: ベクトル / rtz
X＝cosθ、y＝sinθ (0≦θ≦π/2)
とでもおいて、2倍角や合成を使えばいいでしょう。
No.8732 - 2009/11/03(Tue) 20:52:17
★ 数２？ / ぽんた
aを１より大きい定数とする。区間０≦ｘ≦πにおいて、常に不等式
　acosx+1≧log(cosx+a)+loga
が成り立つようなaの値の範囲を求めよ。ただし、対数は自然対数とする。

上のもんだいなんですが、不等式を
　e^(acosx+1)-a(cosx+a)≧o
に変形して増減を求め最小値≧0としようとしたところ、最小値がe^(1-a)-a^2+aになってしまいました。
これって処理できますか？
　それとも根本から間違ってますか？
　よろしくお願いします
No.8729 - 2009/11/03(Tue) 15:05:17
☆ Re: 数２？ / 雀
最小値が違うかと思います。
f(x)=e^(acosx+1)-a(cosx+a)
f'(x)=0となるxはどうなりましたか？
No.8730 - 2009/11/03(Tue) 20:19:37
☆ Re: 数２？ / ぽんた
増減表とｘ＝０のときの値との比較から最小値はｘ＝πのときになりました
No.8733 - 2009/11/03(Tue) 21:40:28
☆ Re: 数２？ / 雀
f(x)=e^(acosx+1)-a(cosx+a)
f'(x)=-asinxe^(acosx+1)+asinx
　　=-asinx{e^(acosx+1)-1}

なので
f'(x)=0
sinx=0またはe^(acosx+1)-1=0
です。
No.8734 - 2009/11/03(Tue) 22:06:18
★ 数C 式と曲線 / 神無月

今晩は。
数Cの式と曲線の範囲の問題で、
点Aの極座標を(3,0)とする。極ｏを焦点、Aを通り始線に垂直な直線を準線とし、離心率eが次のような二次曲線の極方程式を求めよ。
(1)e=1
(2)e=1/2
(3)e=3/2
というものなのですがどうやって求めれば良いのでしょうか？
どなたか宜しくお願いします。
No.8721 - 2009/11/02(Mon) 22:33:59
☆ Re: 数C 式と曲線 / rtz
まずは
直交座標で方程式を出し、極方程式に直す
という手段でやってみては如何。
No.8723 - 2009/11/02(Mon) 22:52:24
☆ Re: 数C 式と曲線 / 神無月

ありがとうございます!またまた質問なのですが、
(3)の曲線を直交座標の座標平面上に書けという問題があって、
2 √x^2+y^2 =3(3-x)を平方して双曲線の式を出すと
(x-27/5)^2 / (18/5)^2 =y^2/ (9 √5 /5)^2=1
となるらしいのですが、私が平方してみると
5x^2-54x-4y^2=-81
となりそれらしい式が出てきそうもないのですがどのように解いたらいいのでしょうか？
よろしかったらご指導お願いします。
No.8724 - 2009/11/03(Tue) 00:23:21
☆ Re: 数C 式と曲線 / rtz
xを平方完成
→右辺を1にするために右辺の数字で割る
(その際、(x-k)2/a2＋…を目標にするため、
割ったものはそのまま分母として、分数で表すこと)
→(x-k)2、y2の係数を1にするために、それぞれの係数で割って分母へ組み込む
→分母を何かの2乗になるようにする

ちなみにこの計算をする際、
いちいちすべて計算するのではなく、272などは残しておき、
81=92や272＝(9*3)2＝92*9などを考えられるようになると、
計算量が減らせることは覚えておいてもいいでしょう。
No.8725 - 2009/11/03(Tue) 00:49:38
☆ Re: 数C 式と曲線 / 神無月

解くことができました!
細かく丁寧に教えて下ってありがとうございました!
とても分かりやすかったです。
また何かありましたら宜しくお願いします!
No.8728 - 2009/11/03(Tue) 13:32:14
★ (No Subject) / Sasin
二次関数の最大値 最小値を場合分けして求める問題についてです
写真では最大値について軸がxの範囲の中心になる場合を片方に含めていますが、問題によって含めていないものもあります
どう違うのでしょうか？
No.8720 - 2009/11/02(Mon) 21:54:02
☆ Re: / 七
どちらでもいいからだと思います。
私自身が解答を書くときは
軸がxの範囲の中心になる場合は独立して書きます。
No.8726 - 2009/11/03(Tue) 06:27:16
★ 過去問でわからないところがあります。 / cosmos
円x^2+y^2=1とA(-2,0)を通る直
線との2つの交点を,P,Qとする。
座標(1,0)の点をBとして,

△BPQの面積の最大値を求めよ。

という問題です。
高３です。宜しくお願いします。
No.8712 - 2009/11/02(Mon) 07:04:54
☆ Re: 過去問でわからないところがあります。 / ｒ
3/4でしょう。
No.8716 - 2009/11/02(Mon) 20:16:15
☆ Re: 過去問でわからないところがあります。 / cosmos
返信ありがとうございます。
といていくとなかなかやや
こしい形になりつつも3/4
を導くことができました。
No.8727 - 2009/11/03(Tue) 10:04:43
★ 面積 / ななか
放物線ｙ＝Ｘ＾2−２と
直線ｙ＝ａＸの二つの交点をＡ、Ｂとする。

２点Ａ、Ｂの間の放物線上にＣをとり放物線と線分ＡＣで囲まれた面積をＳ1、
放物線と線分ＢＣで囲まれた面積をＳ2とする。


Ｓ1＋Ｓ2の最小値をａを用いて表せ。


よろしくお願いいたします
No.8707 - 2009/11/02(Mon) 00:24:43
☆ Re: 面積 / rtz
放物線と直線に囲まれた部分の面積をS3とすれば、
S3＝S1＋S2＋△ABCですから、
S1＋S2が最小⇔△ABCが最大

あとはABを底辺とみて、Cがどのような位置にあればいいか考えましょう。
No.8708 - 2009/11/02(Mon) 01:03:15
☆ Re: 面積 / ななか
ありがとうございます


ということゎＣが一番遠い位置にあればいいのですよね
No.8709 - 2009/11/02(Mon) 01:09:42
☆ Re: 面積 / rtz
そうですね。
No.8711 - 2009/11/02(Mon) 06:36:46
☆ Re: 面積 / ななか
ということは頂点のところですか
No.8715 - 2009/11/02(Mon) 18:16:25
☆ Re: 面積 / rtz
違います。
ちゃんと図を描いて考えましょう。

ヒント：
線分ABと平行な直線上にCがあるとすると、その直線上のどこにCあっても、
線分ABと直線の距離が高さになるので、△ABCは一定です。
つまりCが線分ABと平行で、かつ最も離れた直線上にあればよいことになります。
No.8717 - 2009/11/02(Mon) 20:16:46
☆ Re: 面積 / ななか
アドバイスありがとうございます
しかし
どうやっていけばよいかわかりません


すいませんがよろしくお願いいたします
No.8718 - 2009/11/02(Mon) 20:35:37
☆ Re: 面積 / rtz
本当に図を描いていますか？
http://b4.spline.tv/study777/?command=GRPVIEW&num=704

No.8717で言ったAB(赤)に平行な直線の例が緑です。
この場合△ABCも△ABC'も面積は同じです(等積変形)。
では△ABCの高さが大きい＝緑が赤から一番離れるのは緑がどういうときか考えてください。

そこから先は計算だけでしょう。
No.8722 - 2009/11/02(Mon) 22:43:47
★ ８６９１の訂正です。 / あつき
何度もすみません。
（１）の答えを間違っていました　
　　　正しくは　ｘ＝３±√１７／２でした。
No.8696 - 2009/11/01(Sun) 21:40:47
★ 数１、お願いします / あつき
２次関数f(x)＝２x^2−２ax＋b(a、bは定数)があり、y＝f(x)の
グラフの頂点のy座標は−1である。−1≦x≦２におけるf(x)の
最大値をＭ、最小値をｍとする。

（１）ｂをａを用いて表せ。

（２）Ｍをａを用いて表せ。

（３）ａ＞０とする。Ｍ−ｍ＝８ａを満たすａの値を求めよ。

　　考えてみましたが　わかりませんのでよろしくお願いします
No.8695 - 2009/11/01(Sun) 21:35:57
☆ Re: 数１、お願いします / Ｂｏｂ
（１）まずは平方完成です
　ｙ＝２｛ｘ−（ａ／２）｝＾２−（ａ＾２／２）＋ｂ

ここから頂点のｙ座標が
−（ａ＾２／２）＋ｂ　だから・・・・・・

（２）グラフを書いて考えましょう
No.8703 - 2009/11/01(Sun) 23:35:20
☆ Re: 数１、お願いします / あつき
答えは見つかりましたが解き方がまだわかりませんので
教えてください。

（１）　ｂ＝（ａ^2/２）−１

（２）（ａ^2/２）−４ａ＋７（ａ＜１のとき）

　　　（ａ^2/２）＋２ａ＋１（ａ≧＝１のとき）

（３）　ａ＝１２−８√２
No.8704 - 2009/11/02(Mon) 00:01:03
★ 数１です / あつき
答えはわかっているのですが(３)の解き方をお願いします。

ｘについての２つの方程式

　　　ｘ^2−３ｘ＋２ｋ＝０…?@
　　　５ｘ−３ｋ＝３ｘ−２ｋ…?A　
がある。ただし、kは定数である。

(１)ｋ＝−１のとき、方程式?@の解を求めよ。

(２)ｋ≠０とする。方程式?Aの解が方程式?@を満たすとき、
　　ｋの値を求めよ。

(３)(２)のとき、方程式?Aの解をαとする。ｘ＝α、x＝α＋４が
　　ともに不等式　３｜x−p｜＋｜x｜≦１０…?B
　　を満たすような整数pの値をすべて求めよ。

　　*?Bの式に記しています縦棒は絶対値を表しています


　　答え (１)２/３±√１７(解き方もわかっています)

(２)k＝−２(解き方もわかっています)

　　　　　(３)p＝1、２
　　　　　　(解き方がわかりませんので教えてください)

　　　　　　　　　　　よろしくお願いします。

No.8691 - 2009/11/01(Sun) 21:08:26
☆ Re: 数１です / X
(2)の結果と(2)式より
5α-3・(-2)=3α-2・(-2)
∴α=-1
これにより(3)式は
x=α=-1のとき
3|-1-p|+1≦10 (4)
x=α+4=3のとき
3|3-p|+3≦10 (5)
(4)(5)を連立して解き、まずpの値の範囲を求めましょう.
No.8692 - 2009/11/01(Sun) 21:22:12
☆ Re: 数１です / あつき
教えていただきましたおかげでよくわかりました
どうも有難うございました。
No.8698 - 2009/11/01(Sun) 22:08:30
★ 矩形中の傾いた矩形 / あらじい
指定された矩形（Ａ）の中に傾いた矩形（Ｂ）が有るのですが、Ｂの短辺のみが与えられたとき、Ｂの長辺の最大値は、どのようにして求めたらよいでしょうか？
４０年に工学部を卒業した６２歳のじじいより、お願い致します。
No.8690 - 2009/11/01(Sun) 20:31:43
☆ Re: 矩形中の傾いた矩形 / rtz
・Aの長辺、短辺の長さ
・Aに対するBの傾きの角度
がなければ分かりません。

Bの短辺の長さのみで一般化というのは
面倒な上に長引くと思います。
No.8694 - 2009/11/01(Sun) 21:29:01
☆ Re: 矩形中の傾いた矩形 / らすかる
Bの短辺の他にAの辺しか与えられていない場合は、
どうも４次方程式を解かなければならないようですね。
No.8706 - 2009/11/02(Mon) 00:09:42
☆ Re: 矩形中の傾いた矩形 / あらじい
rtz様、ラスカル様
ご返事有難うございました。
なかなかやっかいなのですね。
ＣＡＤで適当に作図して実用値で済ませることに
致します。
どうもありがとうございました！
No.8714 - 2009/11/02(Mon) 11:20:55
★ 媒介変数表示の積分 / けん
x=2cost+cos2t
y=2sint-sin2t
(0≦t≦2π)
で表される曲線Cが囲む部分の面積を求めよ。
という問題で
t=0〜2π/3までとt=2π/3〜πで関数の形が変化するので
∫(-3/2から3)ydx-∫(-3/2から-1)ydxという式を立てたのですが、これをｔの積分に置換すると
∫(2π/3から0)f(t)dt-∫(2π/3からπ)f(t)dt
となり∫f(t)をF(t)とおくと
F(0)-F(2π/3)-(F(π)-F(2π/3))=F(0)-F(π)
で計算すると値がπとなり明らかおかしいのですが...
どこでおかしくなったのでしょうか？？
No.8688 - 2009/11/01(Sun) 18:33:09
☆ Re: 媒介変数表示の積分 / 雀
0≦t≦2π
なのでその答えの2倍になります。
No.8693 - 2009/11/01(Sun) 21:23:14
☆ Re: 媒介変数表示の積分 / けん
対称性から２倍するのはわかります
今まで積分の問題を経験してきて
F(0)-F(2π/3)-(F(π)-F(2π/3))=F(0)-F(π)
となるパターンは初めてで
F(0)-F(2π/3)-(F(2π/3)-F(π))=F(0)-2F(2π/3)+F(π)
となるのが普通だと思ってきたので
違和感があるんですけど
No.8697 - 2009/11/01(Sun) 21:58:06
☆ Re: 媒介変数表示の積分 / 雀
いろんな問題を解けば違和感はなくなるかと思います。

今回の問題はそのように出来るということ以外、私は分かりません。すみません。
No.8699 - 2009/11/01(Sun) 22:13:49
☆ Re: 媒介変数表示の積分 / けん
それだと結局
πから0までf(t)を積分することと同値なので変だと思ったのですが
No.8700 - 2009/11/01(Sun) 22:50:11
☆ Re: 媒介変数表示の積分 / 雀
念のためですが、f(t)のグラフは元のグラフではないです。
No.8705 - 2009/11/02(Mon) 00:06:43
★ 三次関数 / ひ-こ


はじめまして 。

全くわからないので ‥^^;
良かったら教えてください。


点(a、b)から曲線y=x^3-xへ異なる3本の接線が引けるとする。このような点
(a、b)の存在する範囲を求めよ 。



です 。




No.8674 - 2009/11/01(Sun) 11:47:17
☆ Re: 三次関数 / rtz
どこぞで書いたものをはりつけますか(やや改良版)。
ブームなんでしょうかこの問題は。


点(t,f(t))における接線の方程式はy=f'(t)(x-t)+f(t)
これがP(a,b)を通るとすると、f'(t)(a-t)+f(t)-b=0
(これはtに関する3次方程式)

点(a,b)からy=f(x)に対し接線が3本引ける。
⇔先ほどの3次方程式f'(t)(a-t)+f(t)-b=0が3つの相異なる実数解を持つ。
(要は、それぞれ異なる3つのtが接点のx座標であり、
Pを通るので、条件を満たす接線が3本ということ)

あとは3次方程式が3つの相異なる実数解を持つ条件を考えればいいでしょう。
No.8678 - 2009/11/01(Sun) 15:20:34
☆ Re: 三次関数 / ひ


3つの解をもつ条件がわかりません 。

2t^3-3at^2+a+b=0 となって
どう解いたらいいか
わかりません
No.8713 - 2009/11/02(Mon) 11:12:10
☆ Re: 三次関数 / ヨッシー

図形的に理解するなら、３次関数のグラフを図のように変曲点で
２つに分けたとき、左図の点々の部分は、青の部分に１本の接線が
引ける領域、斜線の部分は、青の部分に２本の接線が引ける領域です。
右図は赤の部分について、青と同様です。

青の部分に向けて２本、赤の部分に向けて１本引ければ接線は３本です。
赤に２本、青に１本でも同じです。
No.8751 - 2009/11/06(Fri) 11:40:22
★ 確率です / さやえんどう
確率の問題でも場合の数と同様に同じ色の玉は区別が無いものとして扱わなければならない、とならっていたのですが
私が買った問題集に
確率の問題においては
同じ色の玉や同じ数字のカードや人などの区別の有無は同様に確からしいのであれば自分の都合のいいように決めてよい。（ただしその際に分母と分子を同じ基準で考えるということを忘れないようにすること！）

とあるのですがこれは本当でしょうか？
どなたかよろしくおねがいします。
No.8657 - 2009/10/31(Sat) 14:34:09
☆ Re: 確率です / ヨッシー
本当です。
「同様に確からしいのであれば」というところがポイントで、
その条件を満たす限り、区別してもしなくても確率は同じです。

雑な例ですが、赤玉３個（ＡＢＣとします）、青玉３個（ＤＥＦとします）
がある時、
１個選んで、赤である確率
　区別あり：玉の取り方は６通り、赤は３通りなので、確率１／２
　区別なし：赤か青かの２通り、赤は１通りなので、確率１／２
これは、赤を取るのと青を取るのが同様に確からしいのでどちらも同じです。

これが、赤３個、青２個だとそうはいきません。

また、赤３個、青３個でも、２個取って、赤赤の確率
　区別あり：玉の取り方は 6Ｃ2＝15（通り）　そのうち赤赤は 3Ｃ2＝3（通り）　確率は 1/5
　区別なし：赤赤、赤青、青青の３通りのうちの1つなので確率１／３（誤り）
これは、赤赤、赤青、青青の出方が３，９，３ と同様に確からしくないので、
区別なしの考え方では正しく計算できません。

上の例のように、確率は、すべて区別して扱うのが基本ですが、
「区別が無いものとして扱わなければならない」とは妙ですね。
No.8658 - 2009/10/31(Sat) 15:01:06
☆ Re: 確率です / さやえんどう
そうなんですか！とても助かりますｗ

ところで、
これは、赤赤、赤青、青青の出方が３，９，３ と同様に確からしくないので、
区別なしの考え方では正しく計算できません。

とありますが、一般に、その同様に確からしいかどうかを求めるにはまず区別して数えてみるということですか？
No.8661 - 2009/10/31(Sat) 15:18:04
☆ Re: 確率です / ヨッシー
同様に確からしいことを調べるために、区別して数えるのなら、
最初から区別して確率を求めた方が早いので、区別して確率を出す
ことの方が多いと思います。
No.8667 - 2009/10/31(Sat) 18:38:35
★ お願いします / ゆり

2問あるのですが ‥ 。
お願いします。

[A]

幅1の細長いテープのすみBを、かどがテープのふちに重なるように折り返し、重なった点をB'とする。
折り目をP、Q とした時、次の問いに答えよ


1)?猶QB=θとしたとき、PQの長さをθを用いて表せ。

2)PQの最小値を求めよ



‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥


[B]
△ABCの周上を動く点Pがある。
ある時刻にPが△ABCの頂点の１つにいるとき、1秒後には他の2つの頂点のいずれかにそれぞれ確率1/2で移動している。最初、Pが頂点にいるとする。


Pがn秒後にAにいる確率を求めよ。但しnは0以上の整数とする。



No.8656 - 2009/10/31(Sat) 14:20:56
☆ Re: お願いします / ヨッシー
［Ａ］

こういうことでしょうか？
たぶん違うと思いますが（これでは解けないので）

［Ｂ］
最初、Ｐはどこにいますか？
No.8659 - 2009/10/31(Sat) 15:15:16
☆ Re: お願いします / ゆり

あ ‥ すみません 。


図の方は、上の角(B'の上)のがくっつくんです。


┏━━━━━━━━
┃／　＼
│　　　＼　
└────━━━━

こんな感じ ‥ と言って
伝わるでしょうか ?

すみません ‥
わかりにくくて ‥ 。




あ ‥ 、 最初はAにいます
No.8664 - 2009/10/31(Sat) 17:36:55
☆ Re: お願いします / ゆり

あ ‥ すみません 。


図の方は、上の角(B'の上)のがくっつくんです。

　　　　B'
A　┏━━━━━━━━
　┃／　＼
P　│　　　＼　
B　└────━━━━
　　　　　　Q

こんな感じ ‥ と言って
伝わるでしょうか ?

すみません ‥
わかりにくくて ‥ 。




あ ‥ 、 最初はAにいます






No.8665 - 2009/10/31(Sat) 17:38:39
☆ Re: お願いします / ヨッシー
では、点ＰはＡＢ上（点Ａを含む）にあると限定して考えます。
θの範囲は　０＜θ≦π/4 です。

Ｂ’から、ＢＱに垂線をおろし、ＢＱとの交点をＨとします。
　ＢＱ＝Ｂ’Ｑ＝1/sin2θ
　ＰＢ＝ＰＢ’＝ＢＱtanθ＝tanθ/sin2θ
△ＰＢＱにおける三平方の定理より
　ＰＱ2＝ＢＱ2＋ＰＢ2
　　＝(1＋tan2θ)/sin22θ
　　＝1/cos2θsin22θ
０＜θ≦π/4 では cos2θ＞０ sin22θ＞０ であるので
　ＰＱ＝1/cosθsin2θ＝1/2(sinθ-sin3θ)
ｘ＝sinθとし、f(x)＝ｘ−ｘ3 とおくと、
　f'(x)＝１−３ｘ2
より、ｘ＝1/√3 で、f(x) は極大で、０＜θ≦π/4 に相当する
０＜ｘ≦1/√2 で最大となります。
　ＰＱ＝1/{2f(x)}
であるので、f(x) が最大の時、ＰＱは最小になり、その長さは
　1/{2f(1/√3)}＝3√3/4
No.8669 - 2009/10/31(Sat) 20:55:48
☆ Re: お願いします / ヨッシー
[B] です。
Ｐがｎ秒後にＡにいる確率をＰn とすると、
ｎ秒後にＢまたはＣにいる確率は、１−Ｐnです。
ただし、Ｐ0＝１です。
ｎ＋１秒後には、Ｐがｎ秒後にＢまたはＣにいたときに、
その１／２の確率でＡにいるので、
　Ｐn+1＝(１−Ｐn)/2
という関係があります。変形して
　Ｐn+1−1/3＝(-1/2)(Ｐn−1/3)
Ｑn＝Ｐn−1/3 とおくと、
Ｑn は初項-1/3、公比-1/2 の等比数列となり、
　Ｑn＝(-1/3)(-1/2)n-1
よって、
　Ｐn＝(-1/3)(-1/2)n-1＋1/3
No.8670 - 2009/10/31(Sat) 21:03:28
☆ Re: お願いします / ゆり

丁寧にありがとうございます★
最初の問題の方の、
最後の最小値の求め方がよくわからないのですが ‥
No.8673 - 2009/11/01(Sun) 11:14:13
★ メネラウスの定理 / たっくん
メネラウスの定理が使えないときってあるんですか？
あるとしたら、どんな状況のときなんでしょうか？
以前、垂直が絡んだときにって聞いた気がするんですが・・・
教えてください。
No.8651 - 2009/10/31(Sat) 00:06:38
☆ Re: メネラウスの定理 / ヨッシー
三角形を直線が横切っているような状態で、その直線が
三角形のどの辺とも平行でなく、どの頂点も通らないのであれば、
いつでも使えると思います。
No.8652 - 2009/10/31(Sat) 00:11:11
☆ Re: メネラウスの定理 / たっくん
つまり、三角形のある辺と平行だったり、頂点を直線が通ると使えないということでしょうか？
No.8653 - 2009/10/31(Sat) 00:43:07
☆ Re: メネラウスの定理 / rtz
平行なら相似が使えますね。

直線が頂点→内部→対辺を通る場合は、
特別なときには各々定理が使える場合もあります。
一般的な場合なら高校での三角比までお預けです。

直線が頂点を通るだけで内部を通らないなら関係ないですね。
(もっとも、接弦定理など、ないわけではありませんが)
No.8655 - 2009/10/31(Sat) 02:33:55
★ よろしくお願いします / たく
座標平面内に３点A(-1,-1,-1),B(1,1,0),C(8,2,2)がある。また、A,Cと点D（５、ｙ、ｚ）の３点は一直線上になる。点Cから直線ABに垂線をおろし直線ABの交点をHとする。

１）ｙ、ｚの値を求めよ。
２）Hの座標を求めよ
３）３点A,B,Cが定める平面状に点Eがある。線分EHは直線ABに垂直で、線分CHと長さが等しい。このとき点Eの座標を求めよ。ただし、EとCは異なる点である。

４）直線AB上を動く点Pに対して二本の線分CP,PDの長さの和をLとする。Lの最小値とそのときの点Pの座標を求めよ。

この問題で２）までは解けたのですが、３）４）にかなり疑問があります。

まず３）でEの座標が具体的にも止まること自体に疑問があります。というのはABに垂直でCHと同じ長さを満たすEは無限にあると思うからです。（直線ABに平行でCを通る直線をｍ、ABに関してCと対称な直線をｍ’とするとEはｍ’上の全ての点で題意を満たすと思います）
４）にも関連しますが要するにEがCの直線ABに関する点対称な点ではなく線対称な点と決め付けていることが疑問なのです。

とはいっても３）は点対称とみなしてもベクトルHE＝ベクトルCHを使えば機械的に解けます。しかし４）は回答の図はEは線対称な点としてかかれており、またそうしないと解けないような気がします。どういうことなんでしょうか。よろしくお願いします。
No.8646 - 2009/10/31(Sat) 00:02:19
☆ Re: よろしくお願いします / 雀
すみません、直線をｍ’がどこを示すのか分からなかったですが、点Eは３点A,B,Cが定める平面上にある点なので一つに決まるのでないでしょうか？
No.8647 - 2009/10/31(Sat) 00:03:07
☆ Re: よろしくお願いします / rtz
EH＝CHですよ。
CやEを除くmやm'上の点は直線ABからの距離がCHと等しくはなりますが、
Hとの距離は等しくなりません。
No.8648 - 2009/10/31(Sat) 00:03:48
☆ Re: よろしくお願いします / たく
ABに関するCの対称点をZとするとZを通りABに平行な直線がｍ’です
No.8649 - 2009/10/31(Sat) 00:04:32
☆ Re: よろしくお願いします / ヨッシー
この記事への回答は、ご遠慮ください。
No.8650 - 2009/10/31(Sat) 00:06:35
★ 不等式 / バナマン
実数x,y,zが　x^2+y^2+z^2≦1
x+y+z≧1
x=y＜z

をみたして変化するとき、y+zのとりうる値の範囲を求めよ。

文系数学の問題ですがアプローチがわからないのでぜひ教えてください。
No.8634 - 2009/10/30(Fri) 17:34:48
☆ Re: 不等式 / 七
x=y＜z
ならなぜ3文字必要なのでしょうね？
No.8635 - 2009/10/30(Fri) 19:28:11
☆ Re: 不等式 / バナマン
xを消去して、

2y^2+z^2≦1
2y+z≧1
y＜z

まで進めました。ただ、2y^2+z^2≦1のグラフがわかりません。
No.8643 - 2009/10/30(Fri) 22:45:44
☆ Re: 不等式 / 七
> xを消去して、
>
> 2y^2+z^2≦1
> 2y+z≧1
> y＜z
>
> まで進めました。ただ、2y^2+z^2≦1のグラフがわかりません。
2y^2+z^2＝1　は楕円の方程式です。数学Cの範囲ですが文系であれば習ってないかもしれませんね。
どこの問題ですか？
No.8644 - 2009/10/30(Fri) 23:22:19
☆ Re: 不等式 / バナマン
楕円の方程式ですか。
問題の出展はわかりませんが、とにかく文系範囲で解ける問題らしいです。
No.8645 - 2009/10/30(Fri) 23:44:03
☆ Re: 不等式 / 七
文系範囲といっても
数3、数Cまで要求する大学もありますが…。
どういう経緯でこの問題をやっているのですか？
解答はついていないのですか？
No.8654 - 2009/10/31(Sat) 02:17:21
☆ Re: 不等式 / バナマン
数学の教員に出された問題です。
解答はもらってないです。

数３、数Cは使わず、整数問題として解けるとのことです。
No.8660 - 2009/10/31(Sat) 15:15:30
☆ Re: 不等式 / 雀
横から失礼致します。
整数問題として解く方法とは違いますが、

2y^2+z^2≦1
2y+z≧1
y＜z
から
z=(√2)tと置けばいけるかと思います。
No.8662 - 2009/10/31(Sat) 15:40:37
☆ Re: 不等式 / 七
整数問題ですか。一番苦手な分野だな。
実数の問題への応用ということですか。
ちょっと思いつかないですね。
他の人に任せます。
No.8668 - 2009/10/31(Sat) 20:31:47
☆ Re: 不等式 / バナマン
なるほど。氷解しました。

お二人ともありがとうございました。
No.8671 - 2009/10/31(Sat) 23:33:07
★ 証明 / 山田
（ａ＾2＋ｂ＾2）（Ｃ＾2＋ｄ＾2）＝（ａｃ＋ｂｄ）＾2＋（ａｄ−ｂｃ）＾2は証明できましたが


次の２つの整数の平方の和で表される数の全体からなる集合をＡとしX、ｙがＡの要素であるとき積ＸｙもＡであることを証明せよ

がわかりません
どうかお願いします
No.8627 - 2009/10/29(Thu) 15:40:13
☆ Re: 証明 / らすかる
上の式で証明になっているのでは？
No.8628 - 2009/10/29(Thu) 16:15:49
☆ Re: 証明 / 山田
上の式をどう利用すればよいのでしょうか

すいませんがよろしくお願いします
No.8629 - 2009/10/29(Thu) 16:23:34
☆ Re: 証明 / らすかる
利用も何も、そのままですが。
X=a^2+b^2∈A
y=c^2+d^2∈A
とすると
Xy=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2∈A
No.8630 - 2009/10/29(Thu) 16:38:55
★ 問題の間違いでしょうか・・・・？ / ともや
等式x^2f'(x)ーf(x)=x^3+ax^2+bxを満たす整式ｆ（ｘ）について、以下の問いに答えよ。ただしa,b定数

（１）ｆ（ｘ）はｘの何次式か？

とあり、回答では両辺を係数比較しています。係数比較（同次の項の係数が全て等しい）をしてよいのは恒等式、係数比較してダメなのは方程式、というのは知っています。

問題文には「等式」としか書かれていないのになぜ
恒等式として扱っているのでしょうか？

また、これもまた意味が分からないのですが
タイトルにはf'(x)の入った方程式とあります。
これは恒等式の間違いですか？

ご教授お願いします。
No.8621 - 2009/10/29(Thu) 11:47:17
☆ Re: 問題の間違いでしょうか・・・・？ / X
方程式と聞くと、何らかの値を求めるものと捉えていると思いますが
問題の
x^2f'(x)-f(x)=x^3+ax^2+bx (A)
は値ではなく、関数f(x)を求めるための方程式です。
(f(x)についての微分方程式です。)
しかしながら、ここではf(x)を整式の範囲に限定していますので
f(x)をそのように置けば(A)はxについての恒等式となります。
No.8623 - 2009/10/29(Thu) 13:06:25
☆ Re: 問題の間違いでしょうか・・・・？ / ともや
問題文には「等式」としか書かれていないのになぜ
恒等式として扱っているのでしょうか

の質問に対してここではf(x)を整式の範囲に限定していますので
f(x)をそのように置けば(A)はxについての恒等式となります。

とありきとますが、何を言ってるのか正直分かりません。
整式というのはこの場合ｘ＾２などといったように指数部分が整数からなるｘの式のことですよね。それが何の関係があるのでしょうか。
No.8626 - 2009/10/29(Thu) 14:47:10
☆ Re: 問題の間違いでしょうか・・・・？ / ast
まず "方程式" と書かれているのは x についての話ではなく「未知函数 "f" に関しての方程式」であるという意味, 二つの整式 f, g が "整式として等しい" というのは f(x) = g(x) が "x についての恒等式となっている" という意味です. したがって「整式についての等式」と言った時点で x については恒等式をかんがえていることになります.

# 本当は整式が等しいというのは各次数の係数がそれぞれ等しいことをいうのですが
# 有理数や実数や複素数の範囲で係数を考える限りは x の恒等式ということと同値です
No.8631 - 2009/10/29(Thu) 20:28:05
☆ Re: 問題の間違いでしょうか・・・・？ / ともや
「整式についての等式」と言った時点で x については恒等式をかんがえていることになります.

とありますが、例えば

x^2-x+-1=-x^2
の両辺は整式でこの式は等式ですが
ｘについての恒等式ではありませんよね？
（ｘ＝−１を両辺に代入すると違う値になります。）
No.8636 - 2009/10/30(Fri) 19:43:19
☆ Re: 問題の間違いでしょうか・・・・？ / ast
はい, それは未知数 x についての等式ですが, 未知函数についての等式ではありません. そこには未知の函数が存在しませんので, それによって函数についての方程式を考えることはできません. もちろん,
> x についての恒等式ではありませんよね?
> (x = −1 を両辺に代入すると違う値になります。)
というのは, x^2 − x − 1 と −x^2 が "整式としては等しくない" ということの理由にはなります. もとの問題では x ではなく f を決定するのだという目的および整式が相等しいとはどういうことかをきちんと理解し, それが x にある特定の値を代入した場合のみ成立する等式ではないということを意識できる必要があります.
No.8637 - 2009/10/30(Fri) 19:56:23
☆ Re: 問題の間違いでしょうか・・・・？ / ともや
何を言っているのか結局分かりません。
もうすこし知識をつけてから出直してこようと思います。
No.8639 - 2009/10/30(Fri) 20:22:09
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