問題
a,bを複素数とする
d(a,b)=|a-b|/√(1+|a|^2)√(1+|b|^2)
のとき
d(a,b)<=d(a,c)+d(c,b)
(証明)
(a-b)(1+c・cバー)=(a-c)(1+b・cバー)+(c-b)(1+a・cバー) ・・・・(*)
これより
|a-b|(1+|c|^2)<=|a-c||1+b・cバー|+|c-b||1+a・cバー| ・・・・(**)
となる。容易にわかるように
|1+b・cバー|^2=(1+b・cバー)(1+bバー・c)
<=(1+|b|^2)(1+|c|^2)
|1+a・cバー|^2<=(1+|a|^2)(1+|c|^2) ・・・・(***)
であるから、(*)より
|a-b|(1+|c|^2)
<={|a-c|√(1+|b|^2)+|c-b|√(1+|a|^2}√(1+|c|^2)
√(1+|a|^2)√(1+|b|^2)√(1+|c|^2) で両辺を割って
d(a,b)<=d(a,c)+d(c,b) ・・・・(****)
(終)
この証明の中でわからない部分がいくつかあります。
１、なぜ(*)の式が得られるのでしょうか？
２、(**)の不等式は(*)の式に絶対値をつけると、(**)の不等式になるのでしょうか？
３、(***)の２つの不等式式はなぜ上記のような不等式になるのでしょうか？
４、両辺で割る部分、(****)の結果が得られるまでの途中式がわかりません。
ちなみに「バー」はその前の文字の上に付くもの「・」は掛け算、「√」は２分の１乗です。
よろしくお願いいたします。
|
No.9146 - 2009/12/14(Mon) 11:57:44
| ☆ Re: 不等式の証明(訂正) / ヨッシー  | | | (*) は、右辺を注意深く展開すれば得られます。
(**)は、ｃ・ｃバー＝|ｃ|^2 であることをまず理解しましょう。
あとは、複素数ａ，ｂ，ｃについて
ｃ＝ａ＋ｂ ならば |ｃ|≦|ａ|＋|ｂ|
が言えるので、(*) にこれを適用します。
(***)は、やはり、ｃ・ｃバー＝|ｃ|^2 より等号は導けます。
不等号は、(右辺)−(左辺)を計算して、
(1+|b|^2)(1+|c|^2)−(1+b・cバー)(1+bバー・c)
＝|b|^2＋|c|^2−b・cバー−bバー・c
＝ｂ・ｂバー＋ｃ・ｃバー−b・cバー−bバー・c
＝(ｂ−ｃ)(ｂバー−ｃバー)＝|ｂ−ｃ|^2≧０
(****) の前の式は、少し書き間違えていますし、(*)より
ではなく、(**)より、です。
(**)の|1+b・cバー| と |1+a・cバー| にそれぞれ、(***)を
適用して、
|a-b|(1+|c|^2)<=|a-c|√(1+|b|^2)√(1+|c|^2)＋|c-b|√(1+|a|^2)√(1+|c|^2)
で、両辺√(1+|c|^2)で割って、
|a-b|√(1+|c|^2)<=|a-c|√(1+|b|^2)＋|c-b|√(1+|a|^2)
で、
√(1+|a|^2)√(1+|b|^2)√(1+|c|^2) で両辺を割って
とつながります。
|
No.9157 - 2009/12/16(Wed) 23:10:50 |
|
