日ごろから疑問に思っていることを質問したいと思います。
実数x,yがx^2-2xy+2y^2=1をみたすときx+yの最大値と最小値を求めよ。
解）x^2-2xy+2y^2=1かつx+y=uを満たす実数x,yが存在するためのuの条件を出しそれを満たすuの最大値と最小値をもめればよい。上の条件はｙを消去して得られる等式
5x^2-6ux+2u^2-1=0を満たす実数xが存在することでありそれは
判別式≧０⇔-√５≦u≦√５と同値である。よって・・・
とあります。
しかし
実数x,yが存在するためのuの条件とあるのに
これだとｘについての判別式≧０なので、実数ｘが存在するための条件しかいってない気がします。
ｙについての判別式でも結局uの範囲は同じなのでこのｘについての判別式で実数x,yが存在するためのuの条件はみたしているのでしょう。
なぜｘの判別式だけで題意を満たすのでしょうか。数学は苦手なのでできるだけ詳しく教えてください。
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No.7964 - 2009/09/16(Wed) 17:27:51
| ☆ Re: 逆手流 / にょろ | | | x^2-2xy+2y^2=1かつx+y=uを満たす実数x,yが存在する
はuの存在条件は言っていません。
uは存在することが前提となっています。
もし存在しないとすればそれは問題が間違っているか
背理法での証明です。
x^2-2xy+2y^2=1かつx+y=uを満たす実数x,yが存在する「ならば」uの最大値を求めよということです
で分かりますかね?
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No.7965 - 2009/09/16(Wed) 17:46:00 |
| ☆ Re: 逆手流 / ヒグラシ | | | 正直ほとんど何を言ってるのか分かりません。。
本当に申し訳ないですが。。
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No.7973 - 2009/09/16(Wed) 21:42:55 |
| ☆ Re: 逆手流 / ヒグラシ | | | つまりｘの判別式≧０かつｙの判別式≧０としなくてもよいのか、ということが聞きたいです。（その根拠も）
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No.7974 - 2009/09/16(Wed) 21:45:17 |
| ☆ 具体例 / angel | | | 一言で言ってしまえば、
x が解αを持つなら、(x,y)=(α,u-α) が解になるから
です。
具体例を挙げて見てみましょう。
例えば、
(1) 連立方程式 x^2-2xy+2y^2=1 かつ x+y=1 の実数解 x,y を求めよ ( u=1 のケース )
という問題があったとしましょう。
y=1-x として最初の式に代入すれば、
x^2-2x(1-x)+2(1-x)^2=1
5x^2-6x+1=0
∴x=1,1/5
y=1-x に代入すると (x,y)=(1,0),(1/5,4/5)
というわけで、y のことは気にせずに x の二次方程式を解いて、最後に y=1-x を計算するだけですよね。
逆に
(2) 連立方程式 x^2-2xy+2y^2=1 かつ x+y=3 の実数解 x,y を求めよ ( u=3 のケース )
(1)と同じようにまとめれば、
5x^2-18x+17=0
しかしこれは、判別式 D/4=(18/2)^2-5・17=-4＜0 のため実数解なし
x が実数解なしであれば、自動的に実数解(x,y)はなし
ということで、結局 y については xの解のあるなしに引きずられる格好になります。
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No.7975 - 2009/09/16(Wed) 23:09:00 |
| ☆ Re: 逆手流 / にょろ | | | じゃあすごく噛み砕いて
もとめるuがあるとして解いていくよ
解いていったらuあったよ
じゃあそれでいいじゃん
とこういうことです
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No.7982 - 2009/09/17(Thu) 12:15:17 |
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