xy平面の第一象限に定点(p,q)がある。座標軸と平行な長軸と短軸をもつ楕円Eが、原点でy軸と接し、点(p,q)を通るとする。Eの面積Sの最小値を(p.q)で表せ。
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No.7915 - 2009/09/11(Fri) 21:08:01
| ☆ Re: 楕円の問題です / angel | | | 楕円と言わず、様々な知識を動員して、じっくり解く必要がありそうです。
まず、 「原点でy軸と接し、座標軸と平行な長軸・短軸を持つ楕円E」 これは、第一象限の定点を通ることもあわせると、 (x-a)^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 ( a>0, b>0 ) と表すことができます。
そうすると、Eの面積Sは、S=πab ですから、ab が最小になる a,b の組を考えることになります。
Eが(p,q)を通ることから、a,bの満たす条件は、 (p-a)^2/a^2 + q^2/b^2 = 1 ただ、このままだと分かり辛いので、s=p/a, t=q/b と置いて、s,t の条件に直しましょう。 ab=pq/st となりますから、ab が最小になるa,bの組の代わりに、stが最大になる s,t の組を探す、という考えになります。
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No.7918 - 2009/09/12(Sat) 01:17:22 |
| ☆ Re: 楕円の問題です / たかし | | | No.7957 - 2009/09/15(Tue) 20:43:51 |
| ☆ Re: 楕円の問題です / angel | | | 「(s-1)^2+t^2=1 (s>0, t>0 ) という条件で st の最大値は?」 という問題に化けましたので、
1. st=k と置いて、放物線 st=k と円 (s-1)^2+t^2=1 が接する時が k 最大と考える 2. (s,t)は円 (s-1)^2+t^2=1 上にあるため、s=1+cosθ, t=sinθ と媒介変数で表し、三角関数の計算で最大値を探る
の2通りが考えられます。2. の方が形が綺麗ですので、三角関数の微分が使えるなら楽でしょう。 1. は4次方程式の重解条件ですね。そこそこ良い形なので、「f(x)=0 が x=αを重解に持つ⇔f(α)=f'(α)=0」でいけそうです。 …どちらにしても微分は必要そうですね。
なお、s=3/2, t=√3/2 の時 st 最大で st=3√3/4 です。 ※問題全体の答えとしては、S=4√3/9・πpq が最小値
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No.7962 - 2009/09/16(Wed) 13:21:07 |
| ☆ Re: 楕円の問題です / たかし | | | 見捨てられそうなところを拾ってもらって、感謝感激あめあられです。ありがとうございました とても勉強になりました。 ↑のほうの問題はみすてられてますが・・
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No.7968 - 2009/09/16(Wed) 20:03:07 |
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