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教えてください?ォ / 高校3年
各自然数nに対し,
?納k=1→n]1/n+ikの実部、虚部をそれぞれ
An,Bnとするとき,極限値lim[n→∞]Anとlim[n→∞]Bnを求めよ。

No.7928 - 2009/09/13(Sun) 16:39:15

Re: 教えてください?ォ / 雀
?納k=1→n]1/(n+ik)
=?納k=1→n]{n/(n^2+k^2)}+i{-k/(n^2+k^2)}

lim[n→∞]?納k=1→n]A[n]
=lim[n→∞]?納k=1→n]n/(n^2+k^2)
=lim[n→∞]?納k=1→n](1/n){1/(1+(k/n)^2}
なので・・・・

lim[n→∞]?納k=1→n]B[n]
=lim[n→∞]?納k=1→n]-k/(n^2+k^2)
=lim[n→∞]?納k=1→n]-(1/n)[1/{(n/k)+(k/n)}]
なので・・・・

No.7930 - 2009/09/13(Sun) 18:16:43
問題36 / 雀
ヨッシーさんが受けた質問のページ
http://yosshy.sansu.org/rika1.htm
の問題36
--------------------------------------------------
(1)
a[1]=∫[0〜π/4](tanx)^2dx
=∫[0〜π/4]{1/(cosx)^2}-1dx
=[tanx-x](0〜π/4)
=1-(π/4)

(2)
a[n+1]=∫[0〜π/4](tanx)^(2n+2)dx
=∫[0〜π/4](tanx)^(2n)(tanx)'-(tanx)^(2n))dx
=[(tanx)^(2n+1)/(2n+1)](0〜π/4)-a[n]
=1/(2n+1)-a[n]

(3)
a[k]+a[k+1]=1/(2k+1) (k≧1)
の両辺に(-1)^(k+1)を掛けると
(-1)^(k+1)a[k]+(-1)^(k+1)a[k+1]=(-1)^(k+1)/(2k+1)
k=1からnまで足すと
?納k=1〜n](-1)^(k+1)/(2k+1)
=a[1]+a[2]-a[2]-a[3]+a[3]+a[4]+・・・
   ・・・+(-1)^(n+1)a[n]+(-1)^(n+1)a[n+1]
=a[1]+(-1)^(n+1)a[n+1]

ここで
(tanx)^2>0 (0<x<π/4)より
a[n]>0
よって
0<a[n]<a[n]+a[n+1]=1/(2n+1)
lim[n→∞]1/(2n+1)=0
はさみうちの原理よりlim[n→∞]a[n]=0
a[n+1]=1/(2n+1)-a[n]より
lim[n→∞]a[n+1]=0


lim[n→∞]?納k=1〜n](-1)^(k+1)/(2k+1)=1-(π/4)

No.7927 - 2009/09/13(Sun) 07:45:31

Re: 問題36 / りか
解答ありがとうございます。
No.8000 - 2009/09/17(Thu) 22:53:16

Re: 問題36 / ヨッシー
>>雀さん
ありがとうございます。
この記事と、問題33の記事とを、ページからリンクさせてもらいました。

No.8057 - 2009/09/21(Mon) 09:12:34
お願い / ヨッシー
いつも回答していただいている方々にお願いです。
(それ以外の方も大歓迎です)

私が個人的に受けた質問のページを
http://yosshy.sansu.org/rika1.htm
に挙げてあります。
明日よりしばらく日本を離れますので、回答の更新が出来ません。
上記ページで、回答がまだの問題を解いていただけると助かります。
別解も歓迎です。

回答は、この掲示板にお願いします。
この記事の返信でも良いですが、問題ごとに新しいスレッドを
起こしていただくのが良いかと思います。

なお、これらの問題に、曰く因縁などありましたら(解くべきでない問題等)
併せて、お知らせいただくと幸いです。

ちなみに、報酬の出入りは一切ございませんので
ご了承ください。

以上、よろしくお願いします。

No.7926 - 2009/09/13(Sun) 00:26:59

Re: お願い / りか
ありがとうございます。
No.7998 - 2009/09/17(Thu) 22:51:39
おねがいします / たかし
nを2以上の整数とする。n桁の正の整数Nにおいて最高位の数字をaとする。Nから左端のaを取り去り、右端に0から9までのいずれかの数字pを付け加えて作られる数をMとする。
M=4Nとなるとき、次の問に答えよ。
(1)a=1に限ることを示せ
(2)Nをnを用いてあらわせ

おねがいします

No.7924 - 2009/09/12(Sat) 20:08:24

Re: おねがいします / rtz
ヒント
(1)aを取り除いたn-1桁をbとでもおいて、
a,b,p,nに関する式を立てて、aをb,p,nで表し、
b,pの範囲からaが絞れます。

(2)aをb,p,nで表した式においてa=1ですから、
n,b,pに関する式が1つできます。
この式においてpが幾らになるか考えてみましょう。
(1つに絞れます)

No.7925 - 2009/09/12(Sat) 21:15:58

Re: おねがいします / たかし
うまくいきませんでした
どうしたらいいでしょう

No.7937 - 2009/09/14(Mon) 20:22:45

具体例を考える / angel
とりあえず、答を直接当てようとする前に、具体例を挙げて式を立てるところから。
その上で rtzさんのヒントを見てみましょう。

添付の図は、N=12345, p=6 の時の例です。( M=4N は満たしませんが )

No.7976 - 2009/09/16(Wed) 23:37:43
楕円の問題です / たかし
xy平面の第一象限に定点(p,q)がある。座標軸と平行な長軸と短軸をもつ楕円Eが、原点でy軸と接し、点(p,q)を通るとする。Eの面積Sの最小値を(p.q)で表せ。
No.7915 - 2009/09/11(Fri) 21:08:01

Re: 楕円の問題です / angel
楕円と言わず、様々な知識を動員して、じっくり解く必要がありそうです。

まず、
「原点でy軸と接し、座標軸と平行な長軸・短軸を持つ楕円E」
これは、第一象限の定点を通ることもあわせると、
 (x-a)^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 ( a>0, b>0 )
と表すことができます。

そうすると、Eの面積Sは、S=πab ですから、ab が最小になる a,b の組を考えることになります。

Eが(p,q)を通ることから、a,bの満たす条件は、
 (p-a)^2/a^2 + q^2/b^2 = 1
ただ、このままだと分かり辛いので、s=p/a, t=q/b と置いて、s,t の条件に直しましょう。
ab=pq/st となりますから、ab が最小になるa,bの組の代わりに、stが最大になる s,t の組を探す、という考えになります。

No.7918 - 2009/09/12(Sat) 01:17:22

Re: 楕円の問題です / たかし
(s-1)^2+t^2となりつまづきました
No.7957 - 2009/09/15(Tue) 20:43:51

Re: 楕円の問題です / angel
「(s-1)^2+t^2=1 (s>0, t>0 ) という条件で st の最大値は?」
という問題に化けましたので、

 1. st=k と置いて、放物線 st=k と円 (s-1)^2+t^2=1 が接する時が k 最大と考える
 2. (s,t)は円 (s-1)^2+t^2=1 上にあるため、s=1+cosθ, t=sinθ と媒介変数で表し、三角関数の計算で最大値を探る

の2通りが考えられます。2. の方が形が綺麗ですので、三角関数の微分が使えるなら楽でしょう。
1. は4次方程式の重解条件ですね。そこそこ良い形なので、「f(x)=0 が x=αを重解に持つ⇔f(α)=f'(α)=0」でいけそうです。
…どちらにしても微分は必要そうですね。

なお、s=3/2, t=√3/2 の時 st 最大で st=3√3/4 です。
※問題全体の答えとしては、S=4√3/9・πpq が最小値

No.7962 - 2009/09/16(Wed) 13:21:07

Re: 楕円の問題です / たかし
見捨てられそうなところを拾ってもらって、感謝感激あめあられです。ありがとうございました
とても勉強になりました。
↑のほうの問題はみすてられてますが・・

No.7968 - 2009/09/16(Wed) 20:03:07
きになります / 桂
1≦p^2/(p-2)^2≦9の解答を教えてください。
また、もっとこうした方がいいなど、改善すべき点があれば
そこもご指摘お願いします。

一応自分で解いたのも見てください。
解)
(左辺)≦(中辺)
⇔(p-2)^2≦p^2かつp≠2
⇔p≧1かつp≠2

(中辺)≦(右辺)
⇔p^2≦9(p-2)^2かつp≠2
⇔p≦3/2,3≦p(p≠2を満たす)

よって〜

問題集の回答ではp≠2をまったく無視しているので
そこが気になっています。

No.7911 - 2009/09/11(Fri) 17:44:16

Re: きになります / angel
いえ、特に問題はないと思いますよ。
最終的に 1≦p≦3/2, p≧3 ですね。

p≠2 については、流石に何も書かないのはまずいと思います。

ただ、楽をするなら、最初と最後だけ書いておけば十分でしょう。

つまり、最初に p≠2 を宣言しておいて、後はそのまま不等式を解き、最後に「この解は p≠2 を満たす」くらい書いておく感じです。

No.7913 - 2009/09/11(Fri) 18:49:16
基本 / ぱーと2
2ln-2l=lnl・・・?@
⇒4(n-2)^2=n^2
⇔(n-4)(3n-4)=0
⇔n=4,4/3・・・?A
?Aは?@を満たすので
?@⇔?Aより
解はn=4,4/3

であってますか?
2乗すると必ず同値は崩れるんですよね?

No.7905 - 2009/09/11(Fri) 10:58:23

Re: 基本 / 豆
nが実数なら、同値変形なので代入確認の手続き不要
nが複素数なら、nの軌跡は円となる

No.7906 - 2009/09/11(Fri) 11:25:27

Re: 基本 / ぱーと2
nは実数です。何故同値変形なんですか?2乗すると必ず同値は崩れるはず。
No.7908 - 2009/09/11(Fri) 13:27:36

Re: 基本 / らすかる
>2乗すると必ず同値は崩れるはず。
「必ず」ではありません。実数ならば |a|=|b| ⇔ a^2=b^2 です。

No.7909 - 2009/09/11(Fri) 14:25:02

Re: 基本 / ぱーと2
>実数ならば |a|=|b| ⇔ a^2=b^2 です
何故ですか?覚えるしかないのですか?

No.7910 - 2009/09/11(Fri) 17:33:16

Re: 基本 / らすかる
>何故ですか?
逆に聞きますが、|a|=|b|の両辺を二乗して何故同値関係が崩れるのですか?

|a|=|b| ⇔ a^2=b^2 は基本ですから覚えた方が良いと思います。
例えば二乗する前に両辺とも負の値を取り得ないことがわかっている場合は
二乗しても同値関係は崩れません。
↓こちらにいろいろ書かれていました。
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa242716.html

No.7912 - 2009/09/11(Fri) 18:06:09

Re: 基本 / angel
実数x,yに関して、x≧0 かつ y≧0 の前提の下では、
 x=y ⇔ x^2=y^2 ( 同値 )
ですね。
これは、丁寧に書けば
 x≧0 かつ y≧0 かつ x=y ⇔ x≧0 かつ y≧0 かつ x^2=y^2
ということです。

今回、x=|a|, y=|b| ( a,bは実数 ) とすれば、x≧0 かつ y≧0 となりますし、x^2=|a|^2=a^2, y^2=|b|^2=b^2 ですから、やはり
 |a|=|b|⇔a^2=b^2
です。

別の書き方をすれば、
 |a|=|b|
 ⇔ |a|≧0 かつ |b|≧0 かつ |a|=|b| ( 自明な条件の追加 )
 ⇔ |a|≧0 かつ |b|≧0 かつ |a|^2=|b|^2
 ⇔ |a|≧0 かつ |b|≧0 かつ a^2=b^2
 ⇔ a^2=b^2 ( 自明な条件の省略 )
同値関係が崩れるか崩れないかは、背後に隠れている「前提」によるのです。

No.7914 - 2009/09/11(Fri) 19:01:05

Re: 基本 / ぱーと2
x≧0 かつ y≧0 かつ x=y ⇔ x≧0 かつ y≧0 かつ x^2=y^2について
x、yのどちらか片方が0以上と分かっているだけではダメなんですよね?(x≧0かつy≧0とあるので。。)

No.7919 - 2009/09/12(Sat) 07:53:51

Re: 基本 / らすかる
はい、ダメです。
x≧0 かつ x=y ⇒ x≧0 かつ x^2=y^2 は成り立ちますが、
逆は成り立ちませんね。

No.7920 - 2009/09/12(Sat) 08:11:41

Re: 基本 / ぱーと2
確認の意味で
sinθ+cosθ=1/2
を二乗すると同値関係はどうなりますか?

No.7921 - 2009/09/12(Sat) 10:49:26

Re: 基本 / 七
> 確認の意味で
> sinθ+cosθ=1/2
> を二乗すると同値関係はどうなりますか?


何を確認したいのですか?

(sinθ+cosθ)2=1/4
のとき
sinθ+cosθ=−1/2
はありえないのか?

ということですか?

No.7922 - 2009/09/12(Sat) 12:05:05

Re: 基本 / angel
「どのような場合に同値になるか、ならないか」に拘泥されているように見えますが、それはケースバイケースですよ。

とりあえず言えるのは、
 ・特に前提がなければ A=B と A^2=B^2 が同値になる保証はない
 ・A≧0,B≧0 という前提があれば、A=B⇔A^2=B^2
  ※負のバージョン、A≦0,B≦0ならば A=B⇔A^2=B^2もある。
 ・なので、A,Bの正負がはっきりしない状況では、同値であると決め付けてはいけない
  ※同値であるとして進めたければ、きちんと説明する

例えば、sinθ+cosθ=1/2 と (sinθ+cosθ)^2=1/4 はそもそも同値ではありません。
sinθ+cosθ=-1/2となるθ≒2.718等の反例があり、逆が成立しないからです。

しかし、例えば (e^x)-1=2 と ((e^x)-1)^2=4 は同値です。
(e^x)-1 は負の値をとりうるため、同値でないと思われるかもしれませんが、実際の所 (e^x)-1>-1 であるため、(e^x)-1≠-2 となるからです。
だからといって、理由を詳しく説明しないで、単に「同値」とだけ言っては、説明不足で減点を喰らう可能性があります。

「同値ではない」と「(いきなり)同値として扱ってはいけない」は違う話なのです。

No.7923 - 2009/09/12(Sat) 14:56:00
不明 / 隼
円C:x^2-4x+y^2-8y+11=0と直線l:(k+2)x-(2k-1)y+9k-12=0(kは定数)がある。lがCによって切り取られる線分の長さLの最小値を求めよ。という問題で、
解答)l上の定点p(3,6)がCの内部にあるからlとQの距離をdとおくと、PQ⊥lとなるkが存在すればdの最大値はPQである。ただし、Q(2,4)で円Cの中心である。

2×k+2/2k-1=-1よりk=-3/4よってPQ⊥lとなるkが
存在しこのときd^2=PQ^2=5であるから〜とあります。

ここで、実際にkの値はLの最小値を求めるのに値として使われておらず、kが存在するかどうかのためだけに導かれています。これがよく意味が分かりません。
PQ⊥lとなるkが存在しない場合があるということなんでしょうか。もしこれでkが存在しなかったらどうやって求めればいいんでしょうか。

No.7900 - 2009/09/11(Fri) 09:23:06

Re: 不明 / ヨッシー
たとえば、直線lが (k+2)x+y−4k−12=0 だと、
PQ⊥l となるkは存在しません。
この場合は最小値なしとなります。

また、(k+2)x-(2k-1)y+9k-12=0 (k≧0) のように、kに条件が
付いていると、やはりPQ⊥l となるkは存在しません。
この場合は、dが最大のときLは最小なので、それを見つけます。

No.7903 - 2009/09/11(Fri) 09:55:32

Re: 不明 / 隼
たとえば、直線lが (k+2)x+y−4k−12=0 だと、
PQ⊥l となるkは存在しません。
この場合は最小値なしとなります。がなぜだか分かりません。
また、それ以前の質問ですが、(kが存在するときの話で)PQ⊥lのときdの最大値がPQになるというのがちょっとしっくりきません。

No.7904 - 2009/09/11(Fri) 10:51:55

図を描いてみましょう / angel
> それ以前の質問ですが、(kが存在するときの話で)PQ⊥lのときdの最大値がPQになるというのがちょっとしっくりきません。

簡単で良いので図を描いてみましょう。
円の中心Qから、直線lに下ろした垂線の足をHとします。
この時 d=QH ですね。
そうすると、
 (1) H,Qが一致する時 ( lがQを通る時 )
  d=0 … d最小のパターン
 (2) H,Pが一致する時 ( lがPQに垂直な時 )
  d=PQ … d最大のパターン
 (3) それ以外 ( △PQHが出来る時 )
  △PQHはPQを斜辺とする直角三角形のため,0<d=QH<PQ
となります。

以上を踏まえて
> たとえば、直線lが (k+2)x+y−4k−12=0 だと、PQ⊥l となるkは存在しません。
> この場合は最小値なしとなります。
を見てみましょう。
この直線lは y軸に平行 ( x=c の形 ) にはなりえません。
かつこの場合 Pは(4,4) で PQ が x 軸に平行ですから、結局、どのような k であっても PQ⊥l とはなりません。

そうすると、上であげたパターン(2)が成立しませんから、(1),(3)をあわせても 0≦d<PQ、上限はありますがdに最大がない状況になります。Lはdに連動しますから、dに最大がなければLに最小がない、となります。

No.7907 - 2009/09/11(Fri) 13:20:42
連立方程式の利用 / 池の伯爵
現在、父親の年齢は子供の年齢の3倍ですが、15年後には父親の年齢が子供の年齢の2倍になります。現在の父親と子供の年齢それぞれ求めなさい。

という問題がありました。
ときかたとこたえを教えてください

No.7898 - 2009/09/10(Thu) 20:32:35

Re: 連立方程式の利用 / ヨッシー
まずはこちらの第12回以降をお読みください。
これに載っている「応用問題を解く手順」に従うと
1)何をx、yにおくか
 現在の父親の年齢をx歳、子供の年齢をy歳とおきます。
2)式を立てる
 父親の年齢は子供の年齢の3倍→これで1つ式が出来ます
 15年後には父親の年齢が子供の年齢の2倍→これでもう一つ出来ます
※15年後の年齢は、父親x+15、子供y+15です。
3)方程式を解く
 解き方はこちら
4)父親45歳、子供15歳

No.7899 - 2009/09/10(Thu) 22:42:22
確率 / たかし
xy平面において、Oは原点、Pは曲線x^2+y^2=4(x≧0、y≧0)上を点(2,0)から点(0.2)間で動く点とする。OPを1:2に内分する点をHとする。HをとおりOPに垂直な直線と放物線y=x^2−13/3 との交点で、x座標が正の交点をQとする。
(1)Qのとりうる値の範囲を求めよ
(2)△OPQの面積が最小となるときのQのx座標と、このときの△OPQの面積を求めよ

このもんだいを教えてください
よろしくおねがいします

No.7897 - 2009/09/10(Thu) 19:17:13

この問題が確率の問題である確率はゼロです。 / ヨッシー
(1)
Hを通りOPに垂直な直線は、
原点中心、半径2/3 の円のx≧0、y≧0 部分から引いた
接線となります。
図より、Qのx座標が最小となるのは、Hが(2/3, 0) のときで、
そのときのQの座標は(2/3, -35/9)
Qのx座標が最大となるのは、Hが(0, 2/3) のときで、
そのときのQの座標は(√5, 2/3)
Qは、この範囲を動きます。

(2)
OPを底辺とすると、高さはHQに当たります。
OPは一定なので、HQが最小のとき△OPQの面積は最小になります。
さらに、△OHQ は直角三角形であり、
 OQ^2=OH^2+HQ^2=(2/3)^2+HQ^2
であるので、OQが最小のとき、HQも最小になります。

Q(x,x^2−13/3) とすると、
 OQ^2=x^2+(x^2−13/3)^2
   =x^4−(23/3)x^2+169/9
   =(x^2−23/6)^2+49/12
よって、x=√(23/6) のとき、OQの最小は 7/2√3
Qの座標は、(√(23/6), -1/2)

これは、(1) で求めたQの範囲に入っているので、これが最小。
このとき、
 HQ^2=OQ^2−OH^2
  =49/12−4/9=131/36
よって、HQ=(√131)/6
△OPQ=(1/2)×OP×HQ=(√131)/6

No.7901 - 2009/09/11(Fri) 09:40:19

Re: 確率 / たかし
ありがとうございがした
動く図までのせていただいて、その親切心には心からの敬意を表します

No.7916 - 2009/09/11(Fri) 21:34:07
極方程式 / ドラクマ
極方程式r=2cos(θー45°)
によってあらわされる図形は何か。」
を教えてください。

また、一般論で(a,0)を中心とする半径aの円を
極方程式で表すとr=2acosθとなる」
も分かりません。独学なのでよろしくお願いします。

No.7893 - 2009/09/09(Wed) 07:54:24

Re: 極方程式 / 豆
【一般論で(a,0)を中心とする半径aの円】
原点をO、中心(a,0)をA、(2a,0)をBとした絵を描いてください。
直径をOBとする円上の点P(r,θ)に対して、∠OPB=直角なので、
OP=OBcosθ
よって r=2acosθ

【極方程式r=2cos(θー45°)】
θを45°ずらしただけなので、
(1,45°)を中心とした半径1の円

No.7894 - 2009/09/09(Wed) 08:52:26

Re: 極方程式 / ドラクマ
【極方程式r=2cos(θー45°)】
θを45°ずらしただけなので、
(1,45°)を中心とした半径1の円
が分かりません。特にθを45°ずらした
というのがわかりません。

No.7895 - 2009/09/09(Wed) 09:29:28

Re: 極方程式 / 豆
θ-45°=φ とおくと、
r=2cosφ
これは極座標(r,φ)において、
(1,0)を中心とした半径1の円です。
あとはθ-45°=φの関係でφをθに置き換えるだけ

No.7896 - 2009/09/09(Wed) 11:44:36
いつかのJJMOの問題です / Q
件名のとおり,中学生以下のレベルです.
言葉のみですみません.よろしくお願いします.

AB=AC=5,BC=6の△ABCの内側に点Dをとり
ADを直径とする円とABとの交点をE,ACとの交点をFとするとき
DE=1,DF=2となった.
このとき,△DBCの面積を求めよ.

No.7887 - 2009/09/08(Tue) 22:00:49

追記 / Q
3辺の比が 3:4:5 になるときその三角形は直角三角形になることや相似など,いろいろな観点から考えましたが挫折してここに至ります.
No.7888 - 2009/09/08(Tue) 22:04:08

Re: いつかのJJMOの問題です / angel
最終形としては、
 △ABC=△DBC+△DCA+△DAB (面積の関係)

で、これが中学前で使えるかどうかなのですが、
ADを直径とする円に関して、E,Fが円上にあるため、
 ∠AED=∠AFD=90°
となります。ここから、△DCA, △DABの面積を求めます。

△ABCは、3:4:5の直角三角形を利用して計算します。

※∠AED=∠AFD=90°が使えないと結構困りますが…

No.7889 - 2009/09/08(Tue) 22:55:43

Re: いつかのJJMOの問題です / ヨッシー
とりあえず、前準備として、BCを底辺としたときの高さは
4であり、△ABCの面積は12であることを確認しておきます。
また、∠DEA=∠DFA=90°です。


図のように、ADとBCの交点をGとし、GからAB,AC
に垂線GH,GIを引きます。
このとき、DEとGH、DFとGIは平行であり、
 DE:GH=DF:GI=AD:AG ・・・(1)
および
 DE:DF=GH:GI=1:2
が言えます。
△ABGと△ACGを考えると、
ABおよびACを底辺とすると、高さはGHおよびGIになり、
△ABGと△ACGの面積比は、GHとGIの比(1:2)になり、
 △ABG=4,△ACG=8
さらに、
 GH=4÷5×2=1.6
 GI=8÷5×2=3.2
なので、(1) および、DE=1,DF=2 より
 DE:GH=DF:GI=AD:AG=1:1.6=5:8
よって、
 AG:DG=8:3
つまり、△ABCと△DBCの高さの比が8:3であるので、
 △DBC=12×3/8=4.5 ・・・答え

No.7890 - 2009/09/08(Tue) 22:59:47

Re: いつかのJJMOの問題です / ヨッシー
あ、angel さんのに比べて、かなり回り道。
No.7891 - 2009/09/08(Tue) 23:01:53

Re: いつかのJJMOの問題です / らすかる
>※∠AED=∠AFD=90°が使えないと結構困りますが…
円の中心をOとすると∠OED=∠ODE、∠OAE=∠OEAなので
∠ODE+∠OAE=∠OED+∠OEA=∠AEDとなり∠AED=(1/2)180°=90°
のように比較的簡単に導けるので、大丈夫ではないでしょうか。

No.7892 - 2009/09/09(Wed) 00:19:36

Re: いつかのJJMOの問題です / angel
> 比較的簡単に導けるので、大丈夫ではないでしょうか。

確かに、直径に対する円周角のケースは、小学生でも大丈夫そうですね。ありがとうございます。

No.7917 - 2009/09/12(Sat) 00:08:14
けいさん / こっく
7x-18/(-3x+10)=x
⇔7x-18=x(-3x+10)
ですか?
x≠10/3も付け加えた
⇔7x-18=x(-3x+10)(x≠10/3)
が正しいですか?
分母を払ったら断り書きが居るのですか?
また、それが計算結果に影響を及ぼす場合があるんですか?
問題集は(x≠10/3)など書かないで進めてあるので
不安です。教えてください。

No.7881 - 2009/09/08(Tue) 15:00:10

Re: けいさん / らすかる
>7x-18/(-3x+10)=x
>⇔7x-18=x(-3x+10)
>ですか?
7x-18/(-3x+10)=x⇒7x(-3x+10)-18=x(-3x+10) です。

>分母を払ったら断り書きが居るのですか?
場合によります。
必要条件だけ求まればよい場合や元々分母が0にならないとわかっているような場合は
断り書きは不要です。

>また、それが計算結果に影響を及ぼす場合があるんですか?
あります。

No.7882 - 2009/09/08(Tue) 15:55:13

Re: けいさん / こっく
必要条件だけ求まればよい場合や元々分母が0にならないとわかっているような場合とは
具体的にどんな場合ですか?

No.7883 - 2009/09/08(Tue) 16:20:09

Re: けいさん / こっく
蛇足ですが(7x-18)/(-3x+10)=x
ですね

No.7884 - 2009/09/08(Tue) 16:22:39

Re: けいさん / らすかる
>必要条件だけ求まればよい場合
例えばそれ以前に両辺を二乗していて既に同値関係が崩れている場合。

>元々分母が0にならないとわかっているような場合
例えば「x<0」という条件が最初からある、あるいは途中で得られたような場合とか、
xが実数で分母がx^2+1であるような場合。

No.7886 - 2009/09/08(Tue) 16:36:36
(No Subject) / ピーナッツ
楕円ax^2+by^2=1(a>,b>0)を極方程式で表わせ。

この問題をよろしくお願いします。

No.7877 - 2009/09/07(Mon) 19:35:37

Re: / ヨッシー
こちらで、良いのかな?
No.7885 - 2009/09/08(Tue) 16:34:25
数学IA / 桜 高3
いつもありがとうございますo

片方を白、もう一方の面を赤にぬった四枚のカードを用意し、4枚とも白い面を表にしてテーブルの上に横一列に並べておく。
さいころをふり、5または6が出た時は、並べられた四枚のカードをすべて裏返す。
またk(k=1,2,3,4,)の目が出た時は左からk番目のカードのみ裏返す。

3回目の試行が終わったとき、4枚とも同じ色である確率は何でしょうかo

という問題がわかりませんでした。
解答は{1}3回とも5,6 2^3=8とおり
{2}1〜4のうちいずれか1つの目が2回、5または6の目が1回出る。3*4*2=24

8+24/6^3=4/27
ですが、{2}の3*4*2=24の式の意味がわかりませんでした。

ありがとうございます。
よろしくお願いいたします。

No.7875 - 2009/09/07(Mon) 18:26:04

Re: 数学IA / ヨッシー
4*2 は、1〜4 のどれが出るかで4通り、5,6 のどれが出るかで2通り、
さらに、たとえば、1と5だとして、
115,151,511 の出方があるので、3を掛けます。

No.7876 - 2009/09/07(Mon) 18:37:23

Re: 数学IA / 桜 高3
ヨッシーさん、
とってもわかりやすい解説ありがとうございました!★
感謝しております^^♪

No.7878 - 2009/09/07(Mon) 20:28:22
「大きな数」の読み方 / √
「大きな数」の読み方について教えてください。

千百十一   千百十一   千百十一   千百十一
兆兆兆兆   億億億億   万万万万

必ず、右から【4つづつ】区切って、次に進みますが、

前は、「千億」の次には「万億」があり、
    「千兆」の次には「万兆・億兆」があると思っていた時がありました。
これは、間違いですよね。

「兆」の次は「ケイ」「ガイ」「ジョ」と続きますが、

数が、どんなに大きくなっても【4つづつ】で区切り、
必ず【千まで】で次の単語に移行すると考えて良い(決まっている)のでしょうか?

小学生レベルですみません。
よろしくお願い致します。
 

No.7871 - 2009/09/07(Mon) 12:59:11

Re: 「大きな数」の読み方 / らすかる
>これは、間違いですよね。
はい、(現行の通常の考え方においては)間違いです。

>数が、どんなに大きくなっても【4つづつ】で区切り、
>必ず【千まで】で次の単語に移行すると考えて良い(決まっている)のでしょうか?
決まってはいません。途中から8つずつなどの考え方もあります。
ただし、現在、通常はそのように4つずつで考えるようです。

参考ページ
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%87%8F%E5%A4%A7%E6%95%B0

No.7872 - 2009/09/07(Mon) 13:45:15

Re: 「大きな数」の読み方 / √
らすかるさん

有り難うございました。

No.7873 - 2009/09/07(Mon) 14:02:21
中学生の問題です(・ω・`;) / keiko
√37 の少数部分をaとする時、a(a+12)の値を求めよ。
ただし0<a<1 とする。

すみません。
こんな簡単なやり方を忘れてしまいました。
よろしくお願いします。

No.7865 - 2009/09/06(Sun) 23:43:43

Re: 中学生の問題です(・ω・`;) / ハオ
こんばんは。僕でよければ後学の為に解いたので解答を見てくださいませ。
6<√37<7より√37の整数部分は6なので
小数部分は√37-6=a後は代入をして頂いて
(√37-6)(√37+6)=37-36=1となります。

No.7867 - 2009/09/06(Sun) 23:48:50

Re: 中学生の問題です(・ω・`;) / keiko
とても分かりやすい解答
ありがとうございましたm(_ _)m

No.7868 - 2009/09/07(Mon) 00:15:11
数列 / まっちょ
Σ10~k=1 k(k+1)(k+2)

この和は一体どうやって
求めればいいのでしょう?

No.7863 - 2009/09/06(Sun) 23:10:59

Re: 数列 / らすかる
k(k+1)(k+2)(k+3)-(k-1)k(k+1)(k+2)
=k(k+1)(k+2){(k+3)-(k-1)}
=4k(k+1)(k+2)
なので
Σ[k=1〜10]k(k+1)(k+2)
=(1/4)Σ[k=1〜10]k(k+1)(k+2)(k+3)-(k-1)k(k+1)(k+2)
=(1/4){(1*2*3*4-0*1*2*3)+(2*3*4*5-1*2*3*4)+…+(10*11*12*13-9*10*11*12)}
=(1/4)(10*11*12*13)
=4290
となります。

No.7864 - 2009/09/06(Sun) 23:26:21
高1数学 / み
平面図形についての問題です。

2点A.Bは点Pから円Oに引いた接線の接点で、点Cは線分POと孤ABとの交点である。

(1)∠PAC=∠CABであることを証明せよ。


これを△PAO≡△PBOを示してから求める方法だとどのようになりますか?全くわかりません。
解き方よろしくお願いします。

No.7859 - 2009/09/06(Sun) 21:52:42

Re: 高1数学 / ハオ
こんばんわ。さることながら僕の解答はゴリ押しです。参考程度にして頂ければ幸いと存じます。
解答例)
PA=PB(2本の接線の性質より)
∠PAO=∠PBO=90°
AO=BO(同一円の半径)
以上よりニ辺夾角相等より△PAO≡△PBO
△PAO≡△PBOより
∠APO=∠BPO---?@
また△AOC,△BOCは∠AOP=∠BOPを低角とする二等辺三角形より∠ACO=∠BCO---?A
ところで∠PAC=∠ACO-∠APO
    ∠PBC=∠BCO-∠BPO なので
?@?Aより∠PAC=∠PBC

No.7861 - 2009/09/06(Sun) 22:16:53

Re: 高1数学 / み
△AOCと△BOCがどうして二等辺三角形になるとわかるのですか?あと、低角になるのはどこからわかるのですか?
No.7862 - 2009/09/06(Sun) 23:02:47

Re: 高1数学 / ハオ
恥ずかしい限りです。御免なさい、申し訳ありません。
御免なさい。混乱させてしまいましたね。
△AOC,△BOCはそれぞれOA=OC OB=OCの二等辺三角形です。
合同条件より∠AOC=∠BOCそれと上記より∠OAC=∠OBC
∠PAC=∠PAO-∠OAC
∠PBC=∠PBO-∠OBC
これらより∠PAC=∠PBC
です。本当にすいません。

No.7866 - 2009/09/06(Sun) 23:45:14

Re: 高1数学 / angel
あれ?
目的は、
> (1)∠PAC=∠CABであることを証明せよ。
ですよね。

PAが接線、△ABCが内接する三角形であることから、∠PAC=∠ABC
△PAC≡△PBCであることから、AC=BC のため、△ABCは二等辺三角形、∠CAB=∠ABC
よって、∠PAC=∠CAB

でしょうか。

No.7869 - 2009/09/07(Mon) 01:26:09

Re: 高1数学 / み
やっとわかりました!
みなさんありがとうございました。

No.7870 - 2009/09/07(Mon) 05:24:48

Re: 高1数学 / ハオ
angelさんとても助かりました。
みさん本当に申し訳御座いません、まだまだ僕の力はついていません事が改めて自覚されました。感謝致します。

No.7874 - 2009/09/07(Mon) 16:50:50
三角関数 / 秋
aは0
(1)方程式f(θ)=0の解θをaを用いて表せ。更に、この解θがsin(θ-a)=1/2を満たすときのaの値を求めよ。

この問題の解き方が分かりません。よろしくお願いします。

No.7849 - 2009/09/06(Sun) 14:11:35

Re: 三角関数 / 秋
すいません最初のところ消えてました。

aは0
です!

No.7850 - 2009/09/06(Sun) 14:16:39

Re: 三角関数 / rtz
問題文代筆

aは0<a<πを満たす。
0≦θ≦πの範囲で関数f(θ)=sin(θ-a)-sinθを考える。
(1)方程式f(θ)=0の解θをaを用いて表せ。
更に、この解θがsin(θ-a)=1/2を満たすときのaの値を求めよ。

No.7852 - 2009/09/06(Sun) 15:57:29

Re: 三角関数 / rtz
f(θ)を和積変換公式で積に直せばよいでしょう。
一方は0にはなり得ませんから、もう片方が0です。
あとはθとaから範囲を絞ればすぐです。

後半はf(θ)=0からsin(θ-a)=sinθですから、
具体的にθを出せばよいでしょう。

No.7853 - 2009/09/06(Sun) 16:07:03

Re: 三角関数 / 秋
問題消えてしまってすみませんでした。ありがとうございます!
No.7879 - 2009/09/07(Mon) 21:09:23

Re: 三角関数 / angel
不等号の<>を半角文字(ASCIIコード1バイト文字)で書くと、特殊文字としてWebブラウザソフトに解釈されてしまい、表示が消えてしまうことがあるようです。
全角文字(2バイト文字)の<>を使う方が紛れがないようです。

No.7880 - 2009/09/07(Mon) 22:29:05
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