高校数学の問題です。どなたか解答のわかる方、よろしくお願いします。
xy平面上に3点A(0, 1)、B(-1, 0)、C(1, 0)をとる。直線y=bx+aが三角形ABCの面積を2等分するとき、点(a,b)の描く軌跡をab平面上に図示せよ。
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No.80451 - 2022/01/23(Sun) 01:45:07
| ☆ Re: 軌跡の問題 / らすかる | | | △ABCはy軸に関して対称だから、直線y=bx+aが△ABCを二等分するとき
直線y=-bx+aも△ABCを二等分する。
よってb≧0の場合の軌跡を考え、a軸に関して対称に移動したものも合わせて解とすればよい。
y=bx+aがB(-1,0)を通るとき、ACの中点すなわち(1/2,1/2)を通り、
このとき直線はy=(1/3)x+(1/3)だから、
0≦b＜1/3のとき直線はABとACを横切り、
b=1/3のとき直線はBを通ってACを横切り、
1/3＜bのとき直線はBCとACを横切る（しかもBCでx＜0の部分を横切る）。
0≦b＜1/3の場合
AB上の点PとAC上の点Qを横切るとすると
△APQ=(AP/AB)△ABQ=(AP/AB){(AQ/AC)△ABC}={(AP・AQ)/(AB・AC)}{2△APQ}
2(AP・AQ)/(AB・AC)=1
AB=AC=√2なのでAP・AQ=1
P(s,1+s)、Q(t,1-t)（-1＜s≦-1/√2, 1/2＜t≦1/√2）とおくと
AP=-(√2)s、AQ=(√2)tなのでAP・AQ=1からt=-1/(2s)
よってQ(t,1-t)=Q(-1/(2s),1+1/(2s))なので
b={(1+1/(2s))-(1+s)}/{-1/(2s)-s}
=(2s^2-1)/(2s^2+1)
この値とPの座標をy=bx+aに代入してaを求めると
a=(2s^2+2s+1)/(2s^2+1)
上記2式からaとbの関係式を求めると
2(a-1)^2+b^2=1 （ただしa＜1,0≦b＜1/3）
つまり楕円2(a-1)^2+b^2=1の
(1-1/√2,0)から(1/3,1/3)の間の劣楕円弧
1/3＜bのとき
BC上の点PとAC上の点
上と同様にしてCP・CQ=√2
P(s,0)、Q(t,1-t)（-1＜s＜0, 0＜t＜1/2）とおくと
CP=1-s、CQ=(√2)(1-t)なのでCP・CQ=√2からt=-s/(1-s)
よってQ(t,1-t)=Q(-s/(1-s),1/(1-s))なので
b={1/(1-s)}/{(-s/(1-s))-s}
=1/(s^2-2s)
この値とPの座標をy=bx+aに代入してaを求めると
a=-1/(s-2)
上記2式からaとbの関係式を求めると
b=-a^2/(2a-1) （ただし0＜a,1/3＜b）
つまり曲線b=-a^2/(2a-1)の
第１象限でb＞1/3の部分
以上2曲線及び(1/3,1/3)とa軸に関して反転したものを解とするので、
求める軌跡は
楕円2(a-1)^2+b^2=1の(1/3,-1/3)から(1/3,1/3)の間の劣楕円弧
と
曲線b=-a^2/(2a-1)の第１象限でb＞1/3の部分
と
曲線b=a^2/(2a-1)の第４象限でb＜-1/3の部分
を合わせたもの
（(1/3,-1/3)と(1-1/√2,0)と(1/3,1/3)を通る縦に長い曲線になる）
# 計算はご確認下さい。
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No.80452 - 2022/01/23(Sun) 08:11:06 |
| ☆ Re: 軌跡の問題 / nfq | | | >らすかる様
迅速な回答ありがとうございます。
対称性に気付けるとかなり計算量が減らせるのですね！
分かりやすい回答をありがとうございました。
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No.80473 - 2022/01/24(Mon) 02:18:50 |
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