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★ 整数 / aki
こんにちは。
またお願いします。
いつもお手数おかけしすみません。

a b を自然数とし、aを8で割った余りをr、bを8で割った余りをsとする。
(1)a＋bを8で割った余りとr＋sを8で割った余りが等しいことを示せ
(2)a^2を8で割った余りとr^2を8で割った余りが等しいことを示せ
(3)平方数を8で割った時余りとして得られる数を全て求めよ
ただし平方数とは自然数の平方となっている数のことである

(4)二つの平方数の和を8で割ると余りは3にならないことを示せ

まず(1)(2)は証明できました。 ちなみにことのきa=8K＋r、b=8L＋s(KLは0以上の整数)とおきました
(3)ですが、自分では、(2)より平方数を8で割った余りも平方数なので0≦r≦7において0 1 4
と解きましたが、このときかたと記述では丸をもらえますでしょうか。

(4)は自分では
(2)よりa^2＋r^2=8(8K^2＋2Kr)＋2r^2
0≦r≦7かつ0≦2r^2≦8のもとで2r^2は0 2 しかとらないので3にはならない

と解きました。同様にときかたと記述はどうでしょうか？

添削してもらえる方が今いませんので、記述などは特に不安ですし、ときかたも答えがないのであってるかわかりません。
どなたかお助け下さい。
本当に宜しくお願いします(>_<)
No.8326 - 2009/10/09(Fri) 13:56:18
☆ Re: 整数 / ヨッシー
＞(2)より平方数を8で割った余りも平方数なので
これはなぜですか？
数学的に説明できること。
それが、およそ自然な考察で正しいと思えること。
が満たせれば、上の１行だけで良いです。
「奇数と偶数の和は奇数なので」のような。

(4) は「二つの平方数の和」と言っているのであって、
a^2+r^2 では、「ある数の平方と、ある数を８で割ったときの余りの平方の和」
を示したに過ぎません。
No.8327 - 2009/10/09(Fri) 14:41:25
☆ Re: 整数 / aki
早速ありがとうございます(>_<)
(3)のところは
(2)でa^2=(8K＋r)^2=8(8K^2＋2Kr)＋r^2
とでてきたので、その結果を使うのかと思いそうしました。

(4)余りの平方を使うと、ただの二つの平方数の和にはならないのでしょうか？
いまいちよくわかりません…

宜しくお願いします。
No.8329 - 2009/10/09(Fri) 14:49:00
☆ Re: 整数 / 七
> ときかたも答えがないのであってるかわかりません。
もし受験生ならそんな問題をして無駄な時間を費やすべきではないと思います。
ちゃんとした答えのあるものをするべきです。
答えを見ても分かりにくいときがあるはずですから…。
（3）は（2）の結果を用いて
例えばaを8で割ったときの余りｒとして考えられる
0,1,2,3,4,5,6,7
の2乗を８で割ったときの余りがa^2を８で割ったときの余りであるとすればいいですね。

（4）は（3）の結果を用いて
a^2+b^2を8で割ったときの余りについて答えればいいですね。
a^2もb^2も8で割ったときの余りは0,1,4のいずれかであれば
これらの和を8で割ったときの余りは
0,1,2,4,5のいずれかになり決して3にはなりませんね。
No.8333 - 2009/10/09(Fri) 15:56:25
☆ Re: 整数 / ヨッシー
正しい方法は七さんが書いてくださっていますので、その上の記事の
コメントだけ。

a^2=(8K＋r)^2=8(8K^2＋2Kr)＋r^2
は、正しいですが、r^2 は a^2 を８で割った余りでは
ありません。８以上のときもありますから。

a^2 と r^2 だけで、すべての数の証明が出来るのなら、
　a^2−r^2=8(8K^2＋2Kr)
より、２つの平方数の差は、８で割り切れる。
となりますね。

ある人（ａ）の姓は鈴木です。
その人の子供（ｒ）の姓も鈴木です。
よって、 世界中の人の姓は全部鈴木です。
というのと、同じです。
No.8335 - 2009/10/09(Fri) 16:53:22
☆ Re: 整数 / aki
ありがとうございます。
理解できました。
解説をどうもありがとうございました。
感謝します。
No.8362 - 2009/10/11(Sun) 17:27:53
★ 整数 / aki
こんにちは(^o^)
今日もどうぞ宜しくお願いします。

nを整数とする
nを3で割った余りは1 5で割った余りは4
7で割った余りは2
であるとする
nを105で割った余りrを求めよ

ただし0≦r＜105とする

この問題をわたしは単純に

105=3×5×7よりnを3かつ5かつ7で割った余りは1＋4＋2=7となるが、これは105の素因数7で割り切れるのでnの105で割った余りは0
としてしまいましたが答えは全く違っていたようです。なぜこの解答が使えないかを教えて下さい。
すみませんが宜しくお願いします。
No.8323 - 2009/10/09(Fri) 12:34:28
☆ Re: 整数 / ヨッシー
なぜこの解答が使えると思うか、書いてください。

普通、３で割れないものが、１０５で割れるはずないと考えますが。
No.8324 - 2009/10/09(Fri) 13:23:19
☆ Re: 整数 / aki
そうですね、具体的に想像するとおかしいかもしれません。

なぜ使えると思ったかと言われても、結果そう思ったというだけなので理由は説明できません。
No.8325 - 2009/10/09(Fri) 13:45:01
☆ Re: 整数 / ヨッシー
「結果そう思ったというだけなので」が、
「なぜこの解答が使えないか」の答えです。
No.8328 - 2009/10/09(Fri) 14:48:23
☆ Re: 整数 / aki
すみませんわかりません。
No.8330 - 2009/10/09(Fri) 14:53:12
☆ Re: 整数 / aki
すみません理解できません。
もう少し噛み砕いて説明していただけると私でも理解できると思います。宜しくお願いします。
No.8331 - 2009/10/09(Fri) 14:54:06
☆ Re: 整数 / ast
言葉はかなりオブラートに包まれてやさしいものになってはいますが, No.8324 はヨッシーさんからのかなり手厳しいお叱りの言葉ですよ. きちんと理由をつけることをせずに, パズルや当てっこゲームみたいに思いつきだけでなんとなく問題を解こうとするから, 論理に大きく不明瞭な飛躍が生まれ, 結果として自分が苦しむことになるのです. 理由の無いものは理由になりえませんし, 根拠の無いものは根拠になりえません. そのことを大いに反省して前に進みましょう. それが当たり前だと理解していなければ, 数学という (だけには留まらないと思いますが) 学問はいつでもあなたに牙を剥きますよ.
No.8332 - 2009/10/09(Fri) 15:52:21
☆ Re: 整数 / 七
> 論理に大きく不明瞭な飛躍が生まれ…
ちゃんと「論理の破綻」と言うべきです。
No.8334 - 2009/10/09(Fri) 16:01:03
☆ Re: 整数 / ast
ちょっと持って回ったような言い方でわかりにくかったかもしれません. もう少しラフな書き方もしておきます.

「なぜこの解答が使えないか」という問いが意味を成すのは, 概ね適切な解答を構成できていながらちょっと勘違いしてしまったというような場合で, その場合は確かに間違いを指摘することで解決に繋がるでしょうね. しかし, 全く不適切な "破綻" した内容の解答を書いてきて, それに「何か根拠があるか」と問い返すと「理由のないただの思いつき」という返答がさらに返ってきたとなれば, ことによると「ふざけんなこの野郎」などと言われても仕方ないような場面なので,「分かりません」「理解できません」と言っていられる状況ではもはやありません.

No.8328 でヨッシーさんは, "根拠が無いのだから使えないのは当然" で, その「理由のない思い付き」は "まったくの見当違い" であり「使えると思った」のが "ただの気の所為" であって, 間違うべくして間違いに至ったに過ぎないというようなことを仰ろうとしているのだろうと推察できます. No.8328 はヨッシーさんからのお叱りの言葉として受け取るべきでしょう.
No.8336 - 2009/10/09(Fri) 17:47:49
☆ Re: 整数 / ハオ
同じ？高校生として僕の立場から問題のご指摘をさせて頂くとakiさんの解法は合同式を用いて表記すると
n≡1(mod 3) n≡4(mod 5) n≡2(mod 7)
より、3かつ5かつ7で割った余りは1+4+2=7なので・・・・

と表記できますよね。しかし、これは合同式のルールに違反しています。法が違うので加算する事は出来ません。
法が同じ場合にのみ適用できます。ちなみに、法が等しくても除法は使えません。
No.8353 - 2009/10/11(Sun) 10:28:25
☆ Re: 整数 / aki
お返事が少し遅くなり申し訳ありません。
ヨッシーさんの言葉の解釈や暗示していることについてはわかりました。当てずっぽうで質問しないようにします。逆の発想で、間違いの解答には必ず理由があるのでそれをはっきり知りたいと思って聞きました。論理の破綻のために使えないと言われましたが、苦手な数学を頑張っている身としては、目の前が真っ暗になってしまいました

ハオさん問題についてのコメントありがとうございます。
やっぱり合同式を使うと楽なんですね。合同式でみると間違っていることが一目瞭然でした。間違っている理由がわかりとても有り難かったです。ありがとうございます。


No.8363 - 2009/10/11(Sun) 17:46:17
☆ Re: 整数 / ast
なんだか指摘が正しく伝わっていないようなので, もう少しだけ書き加えておきます.

> 当てずっぽうで質問しないようにします。
ちがいます, 当て推量で問題を解こうとしないこと, あるいは当て推量で行った解答にあとからでも理由付けを行おうとすることを厭わないこと, などが求められます. 当て推量の全てを否定しているわけではありません.

> 間違いの解答には必ず理由があるのでそれをはっきり知りたい
それはわかっています. 私自身
>>「なぜこの解答が使えないか」という問いが意味を成すのは, 概ね適切な解答を構成できていながらちょっと勘違いしてしまったというような場合で, その場合は確かに間違いを指摘することで解決に繋がるでしょうね.
とすでに述べている通り, そのこと自体を否定はしていません. そうではなく, あなたの解答があまりにも的外れすぎたので, 指摘の仕様が無いということです. また, これと繋がるのですが
> 論理の破綻のために使えない
というような指摘はなされていません. 根拠のない当て推量ばかりしていてはすぐに論理が破綻してしまうのでやめるように努力しましょうと申し上げています. あまりに的外れな方法を出してきて, その方法をとった根拠がないという理由が加われば, さもありなんというよりほかに言葉がみつからなかったというのが No.8328 なのだろうとはおもいますが, それでもなお
> 目の前が真っ暗になってしまいました
というのは指摘内容に関するあなたの誤解によるところが大きいと思います.

ハオさんが
> 合同式のルール
と仰っていますが, そのルールは整数の割り算に関する性質から従うものですから, 合同式にすれば一目瞭然とか楽になると感じるのであれば, それは勘違いの一種だと理解したほうがいいでしょう. 合同式の裏側にある割り算という本質について考えること無しに合同式に飛びつくことは, 逆に自分を危うくします. 実際, 合同式に頼らずとも No.8324 にあるヨッシーさんの
> 普通、３で割れないものが、１０５で割れるはずないと考えますが。
というご指摘は (それを合同式で表そうと思えばもちろん表せますが) 実に明瞭に問題点を言い当てている見事なレスだと思います.
No.8395 - 2009/10/12(Mon) 16:18:56
★ 条件付きの重複順列(高校数学A) / Sasin
(1),(2)は理解できます

(3)について、解答では考えられる順列を列挙していますが、計算で求める方法はありませんでしょうか？

僕は答案で〔○○〕△×△× のようにユニットを作っての重複順列
(5!/2!2!)/(6!/2!2!2!)
=(5・3・2)/(3・5・4)
=1/2
と回答してはねられたのですが、間違いの指摘もお願いします
No.8318 - 2009/10/09(Fri) 00:21:09
☆ Re: 条件付きの重複順列(高校数学A) / 都
:計算で求める方法

どの色も隣り合わない、2色だけ隣り合う、3色全て隣り合う場合を計算して引くとか、あるいは下記を参考に条件に合わないものを排除するとかでしょうか。

:間違いの指摘

(5!/2!2!)の中で、たとえば××〔○○〕△△や△××〔○○〕△もカウントしちゃってます。
No.8319 - 2009/10/09(Fri) 01:18:36
★ 二次関数 / 桜　高３
こんばんは。
いつもありがとうございます。

pを定数とし、xの２次関数のグラフをGとする。
y=x^2-(4p+6)x+16p+8....(1)
xが0≦x≦4の範囲を動く時の、二次関数(1)の最大値をM、最小値をmとする。

M=0となるのはp≦(セソ/タ)
のときである。このときmの取り得る値の範囲は
m≦(チツ)
であり、m=-9ならば、p=(テト),m=-20ならばp=(ナニ/ヌ)である。

セ〜ヌの求め方が全く分かりませんでした。。
答えは順番に,-1,2,-4,-1,-7,4です。


よろしくお願いいたします。
No.8311 - 2009/10/08(Thu) 22:11:15
☆ Re: 二次関数 / ヨッシー
f(x)=y=x^2-(4p+6)x+16p+8 とおきます。
これを変形して
　f(x)=y=(x-2p-3)^2-4p^2+4p-1
より、頂点は (2p+3, -4p^2+4p-1)
M=0 となるのは、
　2p+3＜2 のとき　f(4)=0
　2p+3≧2 のとき　f(0)=0
2p+3＜2 のとき、つまり p<-1/2 のとき
　常に、f(4)=0
2p+3≧2 のとき、つまり p≧-1/2 のとき
　f(0)＝16p+8=0　より p=-1/2
以上より
　p≦-1/2

ｍについて、
2p+3＜0 のとき、つまり p<-3/2 のとき
　ｍ＝f(0)＝16p+8＜-16
0≦2p+3≦4 のとき、つまり -3/2≦p≦1/2 のとき
　ｍ＝f(2p+3)＝-4p^2+4p-1＝-(2p-1)^2　より
　-3/2≦p≦-1/2 においては、
　-16≦ｍ≦-4
2p+3＞４ のときは、p>1/2 となり不適
以上より　ｍ≦-4

m=-9 となるのは、0≦2p+3≦4 のときであり、このとき、
　ｍ＝-(2p-1)^2＝-9
　2p-1＝±3
　p≦-1/2 より ｐ＝−１

m=-20 となるのは、2p+3＜0 のときであり、このとき、
　ｍ＝f(0)＝16p+8＝-20
より
　ｐ＝-7/4
No.8322 - 2009/10/09(Fri) 09:39:41
☆ Re: 二次関数 / 桜　高３
ありがとうございます。

2p+3＜2 のとき、つまり p<-1/2 のとき
　常に、f(4)=0
2p+3≧2 のとき、つまり p≧-1/2 のとき
　f(0)＝16p+8=0　より p=-1/2
以上より
　p≦-1/2

のところでなぜp≦-1/2になるのかわかりませんでした
よろしくお願いいたします。
No.8365 - 2009/10/11(Sun) 18:18:35
☆ Re: 二次関数 / ヨッシー
p＜-1/2 では常に最大値が0であり、
p≧-1/2 のときは、p=-1/2 の時だけ最大値が0です。
p＜-1/2 と p=-1/2 をあわせて、ｐ≦-1/2 です。

この問題、2p+3＜2 と2p+3≧2 で分けましたが、
2p+3≦2 と2p+3＞2 で分けた方が、素直に答えが出ます。
No.8367 - 2009/10/11(Sun) 18:55:35
☆ Re: 二次関数 / 桜　高３
ヨッシーさん
ありがとうございます＾＾☆
おかげさまでとっても理解できました！
感謝しております♪
No.8369 - 2009/10/11(Sun) 20:14:11
★ 不等式と絶対値 / aki
こんばんは！

本当に基本的なことを聞きますすみません…

|a＋b|^2は絶対値が外れてa^2＋2ab＋b^2となるとおもいますが、なぜ外れるのか、わからなくなってしまいました。
(|a|＋|b|)^2と比較して、チャートなど調べましたが、どうも見つけられません。 1Aやっていなかったので危機感を覚えています…
非常に重要なところだと思います…
どなたか助けて下さい、すみませんがお願いします(>_<)
No.8304 - 2009/10/08(Thu) 20:21:52
☆ Re: 不等式と絶対値 / 都
別に難しいことを言ってるわけではなく、単に絶対値記号を外せばいいだけです。

a+b≧0のとき、|a+b|^2=(a+b)^2
a+b＜0のとき、|a+b|^2={-(a+b)}^2=(a+b)^2
No.8305 - 2009/10/08(Thu) 20:56:46
☆ Re: 不等式と絶対値 / aki
わかりました。ありがとうございました。
No.8314 - 2009/10/09(Fri) 00:05:22
★ 不等式 / aki
こんばんは(^o^)質問があります。宜しくお願いします(>_<)

(1)a≧1 b≧1のとき
2(ab＋1)≧(1＋a)(1＋b)を証明せよ

(2)a≧1 b≧1 c≧1のとき
4(abc＋1)≧(1＋a)(1＋b)(1＋c)
を証明せよ


(2)が問題なのですが、(1)の結果を利用し、
4(abc＋1)≧2(1＋ab)(1＋c)
まで証明できましたが、ここからどうすればいいのかわかりません。
すみませんが宜しくお願いします(>_<)
No.8299 - 2009/10/08(Thu) 19:12:06
☆ Re: 不等式 / 七
どういう風にして
4(abc＋1)≧2(1＋ab)(1＋c)
を導かれたのか知りませんが
その後は1+ｃ＞0より
4(abc＋1)≧2(1＋ab)(1＋c)≧(1＋a)(1＋b)(1＋c)
とするだけです。
No.8300 - 2009/10/08(Thu) 19:32:05
☆ Re: 不等式 / aki
どうして1＋c＞0より
でそのようになるのでしょうか？

すみません…（；_；）
No.8302 - 2009/10/08(Thu) 20:05:06
☆ Re: 不等式 / ヨッシー
2(1＋ab)(1＋c)≧(1＋a)(1＋b)(1＋c) と
2(ab＋1)≧(1＋a)(1＋b) をよく見比べましょう。
また、１＋ｃ＞０ を、なぜわざわざ言っているかも考えましょう。
No.8306 - 2009/10/08(Thu) 21:28:46
☆ Re: 不等式 / aki
わかりました、(1)の結果を利用しただけでした。
ありがとうございました。
No.8313 - 2009/10/08(Thu) 23:50:48
★ 微分 / aki
こんにちは(^o^)

とても基本的なことですが、いつも何か引っ掛かるので教えて下さい。宜しくお願いします…

x^2−y^2=a^2の両辺をxで二回微分せよ

まず
2x−2y･y'=0
とできると思いますが、yの部分が未だにぴんときません。yをxという違う文字で微分するというのが、なぜこのように2y･y'とできるのか不思議です。

すみませんがどなたかわかりやすく教えて下さい(>_<)


宜しくお願いします(>_<)
No.8287 - 2009/10/08(Thu) 14:03:59
☆ Re: 微分 / ast
分りやすい解説を書く能力は私にはありませんがとりあえずの叩き台として.

ものすごくいい加減に書くと, 一般に滑らかな曲線 f(x,y) = 0 上の点 (x,y) の十分小さな近傍で可微分函数 y=g(x) (ふつうは y = y(x) と記号を流用して書きますが) が存在して f(x,g(x)) = 0 が成立します (陰函数定理). これは x だけの函数になっていますから, これを x で微分せよというのが今問題にしている話の本義です. が, その辺の理屈は面倒なだけなので適当に流してしまっていいと思います (というか, 私が正しい理屈を書けているか既に怪しい).

要するに陽に現われていなくとも, 陰伏的に y は x の函数だから y の式 h(y) を x で微分するには合成函数の微分法 dh(y)/dx = dh(y)/dy * dy/dx = h'(y) * y' を用いなければならないということだと理解してください.
No.8288 - 2009/10/08(Thu) 14:32:22
☆ Re: 微分 / aki
ありがとうございます。
函数とはなんでしょうか？
大学受験のlevelでいいので知る必要はないと思いますが気になったので…

あと
要するに陽に現れていなくとも〜
が特に重要と思いますがどういう意味かわかりません…

宜しくお願いします…（；_；）
No.8289 - 2009/10/08(Thu) 15:43:45
☆ Re: 微分 / 豆
(sinx)^2をxで微分したら2sinxcosxになることは
すんなり理解できますか？
y=sinxとおくと
(y^2)’=2sinxcosx=2yy’　です。
No.8290 - 2009/10/08(Thu) 15:49:32
☆ Re: 微分 / aki
それはわかります！
そう考えると納得ですね、どうもありがとうございました(^o^)
No.8293 - 2009/10/08(Thu) 16:16:11
☆ Re: 微分 / ヨッシー
函数は、function が中国語で函数(hanshu)と当て字されたのが、
日本に入り、当初は函数と言っていたのが、読みが同じ関数に
置き換わりました。
小中高の教科書では、関数ですが、それ以外では函数も使われています。
No.8295 - 2009/10/08(Thu) 17:34:57
★ 高校１年　図形の計量 / あつき
こんにちは、よろしくお願いします
　
四角形ＡＢＣＤは円Oに内接していてAB=３、BC=７、CD=７、
DA=５とする。
∠A=□°であり、BD=□、AC=□である。

という問題で、∠A=１２０°、BD=７だと思うのですが、
ACの値が分かりません。教えてください。
No.8284 - 2009/10/08(Thu) 12:18:59
☆ Re: 高校１年　図形の計量 / ヨッシー
∠Ａ＝θ とすると、∠Ｃ＝180°−θ より
cos∠Ｃ＝cos(180°−θ)＝−cosθ＝−cos∠Ａ
△ＡＢＤ，△ＢＣＤ における余弦定理より
　ＢＤ^2＝ＡＢ^2＋ＡＤ^2−2・ＡＢ・ＡＤcosθ　・・・(1)
　ＢＤ^2＝ＣＢ^2＋ＣＤ^2＋2・ＣＢ・ＣＤcosθ　・・・(2)
(1) より
　ＢＤ^2＝３４−３０cosθ
(2) より
　ＢＤ^2＝９８＋９８cosθ
これらを解いて、
　128cosθ＝-64　より　cosθ＝-1/2　θ＝120°
ＢＤ^2＝４９　より　ＢＤ＝７

同様に∠Ｂ＝φ とおくと ∠Ｄ＝180°−φ
cos∠Ｄ＝cos(180°−φ)＝−cosφ＝−cos∠Ｂ
△ＡＢＣ、△ＡＣＤ における余弦定理より
　ＡＣ^2＝５８−４２cosφ
　ＡＣ^2＝７４＋７０cosφ
これらを解いて、cosφ＝-1/7、ＡＣ^2＝６４
よって、ＡＣ＝８
No.8294 - 2009/10/08(Thu) 17:28:30
☆ Re: 高校１年　図形の計量 / あつき
よくわかりました
どうも有難うございました。
No.8310 - 2009/10/08(Thu) 21:59:40
★ 導関数 / aki
こんばんは！
もう一つお願い致します(>_<)

xf''(x)＋(1−x)f'(x)＋3f(x)=0
f(0)=1

を満たす

f(x)の次数を求めよ

まずこの最高次の項を取り出すまではやりましたが、なぜそれが=0となるのかがわからなくなってしまいました。

すみませんが教えて下さい…

宜しくお願い致します…
No.8279 - 2009/10/08(Thu) 00:21:49
☆ Re: 導関数 / ast
問題が正確に書かれていないようです. 次数や最高次の項がどうこうと言っていることからすると,「f(x) を多項式とする」といった類の条件がどこかにあるはずです. 以下そうであるものとしてコメントします.

疑問に思うのならば f(x) = a_n * x^n + … + a_0 として, いちいち全部書いてみればいいのです. 問題の x * f′′(x) + (1 − x) * f′(x) + 3 * f(x) = 0 というのは, 左辺が多項式として 0 (零多項式) であるということを言っているのですから, つまりこれを整理して得られる多項式の係数は全て 0 となるということです. そこで分りやすそうなところ, ここでは最高次係数から計算していけばよい (情報が足りなければさらに低い次数の係数について調べていけばよい) のだ, という裏が見えてくるはずです.

実際のところ, 最高次係数だけを知りたいのならごちゃごちゃ書いていると余計ややこしいので, ここでは
　f(x) = a_n * x^n + (x の (n − 1)-次式)
とでも書いてやれば十分でしょう (当該の函数方程式の係数函数が x の一次式である x や 1 − x だけであり, したがって次数が二つ以上低いところから係数に寄与するものはないので). このとき
　f′(x) = n * a_n * x^(n−1) + (x の (n − 2)-次式),
　f′′(x) = (x の (n − 2)-次式)
ともなるわけですから, これらを問題の函数方程式に代入してやれば結局,

　0 = {(x の (n − 1)-次式)} + {(x の (n − 1)-次式)} − {n * a_n * x^n + (x の (n − 1)-次式)} + 3{a_n * x^n + (x の (n − 1)-次式)} = (−n + 3)a_n * x^n + (x の (n − 1)-次式)

というような形 (どこか間違ってても責任は持ちませんが) になることが理解されます. あとは係数比較をやっているだけですが, 都合のいい事に次数 n に関する条件が出てきて全体の見通しが立つという結果が待っています.
No.8280 - 2009/10/08(Thu) 02:00:40
☆ Re: 導関数 / aki
書いたつもりでいましたが消えていました。申し訳ありません。

理解できました。
どうもありがとうございました(^o^)
No.8286 - 2009/10/08(Thu) 13:36:14
★ 証明 / aki
こんばんは。
いつもお世話になっております！
ありがとうございます。
質問お願いします(^o^)

実数全体の上で定義された二つの微分可能な関数f(x) g(x)は次の条件を満たす

A f'(x)=g(x) g'(x)=f(x)

B f(0)=1 g(0)=0

全ての実数xに対して{f(x}^2 − {g(x)}^2=1が成り立つことを示せ

まずH(x)={f(x)}^2−{g(x)}^2−1とおいてみましたが、置いてもこの先どうしたら=0を示せるのかわかりませんでした…

置くのはまずいでしょうか？
教えて下さい、お願いします。
No.8276 - 2009/10/08(Thu) 00:02:46
☆ Re: 証明 / ast
条件 A に注意すれば, (f(x)^2 − g(x)^2)′ = 2 * f(x) * f′(x) − 2 * g(x) * g′(x) = 2f(x)g(x) − 2g(x)f(x) = 0 だから f(x)^2 − g(x)^2 は x に依らない定数. そこで条件 B を利用するために x = 0 とすれば, その定数が 1 であると求まる.
No.8281 - 2009/10/08(Thu) 02:17:32
☆ Re: 証明 / aki
理解できました！
ありがとうございます(^o^)
No.8291 - 2009/10/08(Thu) 16:02:34
☆ Re: 証明 / aki
ありがとうございます(^o^)
理解できました！

ちなみにこの問題は
(2)F(x)=e^(−x){f(x)＋g(x)}
G(x)=e^x{f(x)−g(x)}とおくときF(x) G(x)を求めよ

→これはどちらも定数で1だと求められました

(3)f(x) g(x)を求めよ

これは(2)を使って、F(x)のほうは
e^(−x)＞0より
e(−x)=1 かつf(x)＋g(x)=1

G(x)の方も同様にして f(x)−g(x)=1

これを連立すれば求められると思ったのですが、答えとあいませんでした。

どこが間違えているのかわかりません。

すみませんが教えて下さい(>_<)
No.8292 - 2009/10/08(Thu) 16:14:27
☆ Re: 証明 / ヨッシー
e^(−x){f(x)＋g(x)} だからと言って、
e(−x)=1 かつf(x)＋g(x)=1 とは限りませんね。

　e^(−x){f(x)＋g(x)}＝１
　e^x{f(x)−g(x)}＝１
を解くだけですよね？
　f(x)＋g(x)＝ｅ^x
　f(x)−g(x)＝ｅ^(-x)
と置けば、小学校の算数に早変わりです。
No.8296 - 2009/10/08(Thu) 17:40:45
☆ Re: 証明 / aki
言われてみるとそうですね(>_<)

私のようなやり方のようなものを2次方程式などでよく見掛けると思うのですが、どういう時にならできるのでしょうか？

なんだかよくわからなくなってしまいました…
No.8301 - 2009/10/08(Thu) 19:41:39
☆ Re: 証明 / ヨッシー
（左辺）−（右辺）を、変形して、
（・・・）^2 とか、あるいは、前の問題で求めた結果などの
形に持って行けそうなら、そうします。

この問題は、変形のしようがありませんからね。
No.8307 - 2009/10/08(Thu) 21:32:39
☆ Re: 証明 / aki
すみませんでしたありがとうございました。
No.8316 - 2009/10/09(Fri) 00:08:10
☆ Re: 証明 / aki
すみません。そこではなくて…
e^(−x){f(x)＋g(x)}=1が
e^(−x)=1
f(x)＋g(x)=1
に限らない
と言われたわけがわかりません…
e^(−x)は負にならないので、−1×−1の可能性は消えて1×1の可能性だけになると思ったのです。

何度もすみませんが教えて下さい…
No.8317 - 2009/10/09(Fri) 00:11:33
☆ Re: 証明 / ast
> −1×−1の可能性は消えて1×1の可能性だけになると思ったのです。
いつから f(x)+g(x) や e^(−x) が整数値しか取らないかのような話になったのですか? これらの函数は任意の正の実数値を取りますから, そのような限定は不可能です.
No.8320 - 2009/10/09(Fri) 01:21:34
☆ Re: 証明 / aki
実数値と整数値ですね、わかりました、 全く気がつきませんでした。
どうもありがとうございました。
No.8403 - 2009/10/12(Mon) 20:51:17
★ 極限 / kakimoto
lim[x→∞] {[3]√(1＋x)−[3]√(1−x)}/x
答えは 2/3 だったと思います。

突然すいませんがお願いします。
No.8274 - 2009/10/07(Wed) 23:29:59
☆ Re: 極限 / らすかる
[3]√(a) がaの3乗根の意味ならば、2/3にはなりません。
lim[x→∞]{[3]√(1+x)-[3]√(1-x)}/x
=lim[x→∞]{{[3]√(1+x)-[3]√(1-x)}/[3]√x}/{x/[3]√x}
=lim[x→∞]{[3]√(1+x)/[3]√x-[3]√(1-x)/[3]√x}/{[3]√(x^3)/[3]√x}
=lim[x→∞]{[3]√{(1+x)/x}-[3]√{(1-x)/x}}/[3]√(x^3/x)
=lim[x→∞]{[3]√(1/x+1)-[3]√(1/x-1)}/[3]√(x^2)
=0
No.8275 - 2009/10/07(Wed) 23:46:21
☆ Re: 極限 / rtz
x→0なら2/3になりますね。

転記ミスでしょうか。
No.8282 - 2009/10/08(Thu) 05:51:49
☆ Re: 極限 / kakimoto
すいません!!!
lim[x→0]でした。

申し訳ありませんが、お願いします。
No.8297 - 2009/10/08(Thu) 17:48:41
☆ Re: 極限 / ヨッシー
3√(1+x) を (1+x)1/3 と書くことにします。
分子分母に
　(1+x)2/3＋(1+x)1/3(1-x)1/3＋(1-x)2/3
を掛けてみましょう。
要するに、
　(x-y)(x2+xy+y2)＝x3−y3
に持って行くのです。
No.8308 - 2009/10/08(Thu) 21:37:46
☆ Re: 極限 / kakimoto
らすかるさん
rtzさん
ヨッシーさん
　ありがとうございました。
分からない問題がまたあった時は投稿させてもらおうと思っているのでその時はよろしくお願いします。
No.8321 - 2009/10/09(Fri) 07:05:04
★ 最大 / na nagi
半径１の球に含まれる直円錐でその側面積が最大になるものに対し，その高さ，底面の半径，および側面積を求めよ．
解き方が分かりません．宜しくお願いします．
No.8271 - 2009/10/07(Wed) 22:45:01
☆ Re: 最大 / ヨッシー
こちらと同じです。
No.8272 - 2009/10/07(Wed) 23:01:51
☆ Re: 最大 / na nagi
では，円錐の場合に置き換えて解けばいいのですね？
No.8273 - 2009/10/07(Wed) 23:07:26
☆ Re: 最大 / ヨッシー
対象学年は何年ですか？
No.8278 - 2009/10/08(Thu) 00:21:38
☆ Re: 最大 / na nagi
分野からしては高１ですが，大学の過去問なので，応用になっているのだと思います．
No.8383 - 2009/10/12(Mon) 09:32:40
☆ 面積 / phira
放物線Ｃ:y＝x^2上の２点Ｐ(a,a^2),Ｑ(b,b^2)(a＜b)を考える。
（１）点Ｐ,ＱにおけるＣの接線をそれぞれl,mとするとき、lとmの交点Ｒの座標を求めよ。
（２）Ｃとl,mで囲まれた部分の面積が１/12となるための、aとbが満たすべき条件を求めよ。
（３）更に、lとmが直交するとき、aとbの値を求めよ。

という問題なのですが、どうやって解いたらいいのか分かりません。よろしくお願いします?ｦ
No.8456 - 2009/10/17(Sat) 20:07:19
☆ Re: 最大 / ヨッシー
なぜ、この記事の返信に書かれたのかわかりませんが、
とりあえず、こちらをご覧ください。
No.8457 - 2009/10/17(Sat) 21:44:29
★ 数学I / 桜　高３
こんばんは。
よろしくお願いいたします。

nを整数の定数とし、２つのxの不等式
x^2-7x+6≦0....(1)
4x^2-4nx+n^2-12≦0....(2)
を考える。

(1)と(2)を両方とも整数xの個数をaとする。
nが整数の値をとりながら動くときのaの最大値はなんでしょうか。

という問題の解き方・方針がわかりませんでした。
答えは4です。

よろしくお願いいたします。
ありがとうございます。
No.8269 - 2009/10/07(Wed) 18:06:52
☆ Re: 数学I / ヨッシー
(1)の解は 1≦ｘ≦6
(2)の解は n/2−√3≦ｘ≦n/2＋√3
なので、範囲の幅は 2√3≒3.46 なので最大4つまで整数を含む可能性があります。
中心値 n/2 が 1≦ｘ≦6 の中央あたりになるように考えると、
n=6 のとき、3−√3≒1.26≦ｘ≦3＋√3≒4.73 整数は３個
n=7 のとき、3.5−√3≒1.76≦ｘ≦3.5＋√3≒5.23 整数は４個
で、確かに４個存在します。
No.8277 - 2009/10/08(Thu) 00:16:20
☆ Re: 数学I / 桜　高３
ヨッシーさんありがとうございます♪
ところで
>なので、範囲の幅は 2√3≒3.46 なので最大4つまで整数を含む可能性があります。

はなぜでしょうか

よろしくお願いいたします＾＾
No.8283 - 2009/10/08(Thu) 10:14:40
☆ Re: 数学I / ヨッシー
図のような数直線（●は整数)に、幅 2√3 の範囲をとると、
整数が３つ含まれるか、４つ含まれるかです。
５つ含むには、最低４の幅がないと不可能です。
No.8285 - 2009/10/08(Thu) 13:33:05
☆ Re: 数学I / 桜　高３
ありがとうございました＾＾
No.8309 - 2009/10/08(Thu) 21:38:43
★ (No Subject) / rk
aを正の整数として、xの2次不等式

X^2-6x-a^2+8≦0

を満たす整数xが33個あるとき、aの値を求めなさい。
この問題の解き方を教えてください
No.8266 - 2009/10/07(Wed) 16:19:38
☆ Re: / ヨッシー
普通に解くと、
　ｘ＝３±√(a^2＋1)
より、
　３−√(a^2＋1)≦ｘ≦３＋√(a^2＋1)
であり、範囲の幅は
　２√(a^2＋1)
です。これが、32以上34未満であるので
　32≦２√(a^2＋1)＜34
が必要条件です。
　16≦√(a^2＋1)＜17
これを満たす整数はａ＝１６。
このとき、
　ｘ^2−６ｘ−２４８≦０
　ｘ＝３±√２９０
√257≒16.・・・　より、
　３−√257＝−13.・・・
　３＋√257＝19.・・・
よって、-13,-12,・・・,0,・・・18,19
の33個の整数が解に含まれます。
No.8267 - 2009/10/07(Wed) 16:59:10
★ (No Subject) / na nagi
半径２の球に内接する円柱を考え，その高さを2xとおく．
（１）円柱の底面の半径aをxの式で表せ．
（２）円柱の体積Ｖをxの式で表せ．
（１）は三平方の定理を利用したほうがいいのでしょうか？
色々考えましたが，全く分かりません．
図々しいですが（２）も一緒にお願いします．
No.8257 - 2009/10/06(Tue) 21:14:06
☆ Re: / rtz
http://emath.s40.xrea.com/ydir/Wiki/index.php?%B5%E5#z39ba369
の図を使いましょう。

ご推察の通り、三平方の定理でaが表せます。
底面の半径が分かれば、高さは分かっていますから
体積は求められますね。
No.8262 - 2009/10/06(Tue) 22:44:01
☆ Re: / na nagi
それで求めればいいんですね．
ありがとうございます．
やってみます．
No.8264 - 2009/10/06(Tue) 22:48:26
★ 平面図形の問題 / ゆき
考え方がよくわからないので、教えてください。

ＡＢ＝13?p、ＢＣ＝20?p、ＡＣ＝21?pの平行四辺形ＡＢＣＤがある。平行四辺形の対角線ＡＣを折り目としてして折り、点Ｄがくる位置を点Ｄ′とする。さらに、辺ＢＣと辺ＡＤ′の交点をＰとする。このとき、△ＡＰＣの面積を求めよ。
No.8256 - 2009/10/06(Tue) 20:33:58
☆ Re: 平面図形の問題 / ヨッシー
高校なら、三角関数を使うところですが、rino さんと同じ
高校入試レベルとすると、

図のように、ＢからＡＣに垂線ＢＨを引き、ＰとＡＣの中点Ｍ
を結びます。このとき、ＰＭ//ＢＨ です。
ＢＨ＝ｘ とおいて、△ＢＣＨ、△ＢＡＨ における三平方の定理より
　ＣＨ＋ＡＨ＝√(400−x^2)＋√(169-x^2)＝２１
移項して
　√(400−x^2)＝２１−√(169-x^2)
２乗して
　400−x^2＝441＋169−x^2−42√(169-x^2)
　42√(169-x^2)＝210
　√(169-x^2)＝５
２乗して
　169−x^2＝25
　x^2＝144
よって
　ｘ＝１２
ＣＨ＝√(400-144)＝16
これより、
　ＰＭ＝ＣＨ×10.5/16＝63/8

から、△ＡＰＣが出ます。
No.8263 - 2009/10/06(Tue) 22:44:32
☆ Re: 平面図形の問題 / ゆき
すいません。高校入試レベルであってます。ありがとうございます。PMとBHが平行というのはすぐにわかるものなのでしょうか？
No.8356 - 2009/10/11(Sun) 11:36:24
★ 高校入試の問題です / rino
イメージができなくて困っています。教えてください。

∠Ａ＝30度、∠Ｃ＝45度、ＢＣ＝２√２?pの△ＡＢＣで、点ＢからＡＣに垂線をひき、ＡＣとの交点をＤとする。ここで、ＢＤを折り目にして、△ＡＢＤと△ＢＣＤが垂直になるように折り、ＡとＣを結んで三角すいＡＢＣＤをつくる。

?@　頂点Ｄから△ＡＢＣに下ろした垂線の長さは何?pですか。

?A　辺ＡＣ上の点Ｅと辺ＡＢ上の点Ｆが、ＡＥ：ＡＦ＝２：３を満たしながら動いている。立体ＡＦＤＥの体積が三角すいＡＢＣＤの体積の半分になるときのＡＥの長さは何?pですか。
No.8255 - 2009/10/06(Tue) 20:28:14
☆ Re: 高校入試の問題です / ヨッシー

まず、(1) ですが、図の真ん中の三角錐の体積をＡＣＤを底面、
ＤＢを高さとして求めます。
一方、△ＡＢＣは右の図のような二等辺三角形なので、
ＢＣを底辺として、高さＡＥは、三平方で出します。
△ＡＢＣを底面とすると、高さが求める長さになります。
No.8260 - 2009/10/06(Tue) 22:15:29
☆ Re: 高校入試の問題です / ヨッシー
立体ＡＦＤＥも三角錐です。
△ＡＦＥを底面とすると、三角錐ＡＢＣＤで、△ＡＢＣを底面とした場合と
高さが共通なので、
　△ＡＥＦ＝△ＡＢＣ÷２
となれば、体積も１：２になります。
ＡＥ＝2x とすると、ＡＦ＝3x であり、
　2x×3x＝4×4÷2
より、
　x^2＝4/3
　ｘ＝2/√3
ＡＥ＝２ｘ＝4/√3
となります。
No.8261 - 2009/10/06(Tue) 22:21:22
☆ Re: 高校入試の問題です / ゆき
ありがとうございました。なかなかてこずってできなかったのですが、ようやくイメージできました。
No.8355 - 2009/10/11(Sun) 11:17:11
★ 不等式の応用 / マイケル
この問題が良くわからなくて答えを見てもあまり意味が分からなく...
どなたかご指導お願いします。
No.8242 - 2009/10/05(Mon) 20:31:06
☆ Re: 不等式の応用 / ヨッシー
10ｋｍで走る距離をｘｋｍとすると、5ｋｍで歩くのは、５−ｘkmです。
これらから、全部の時間をｘで求めてみましょう。
答えは、分で求めてください。
No.8244 - 2009/10/05(Mon) 20:39:21
☆ Re: 不等式の応用 / マイケル
「10ｋｍで走る距離をｘｋｍとすると、5ｋｍで歩くのは、５−ｘkmです。」私はこの部分を間違えました
No.8245 - 2009/10/05(Mon) 21:01:00
☆ Re: 不等式の応用 / マイケル
私は10ｋｍで走る距離を５−ｘｋｍとして、5ｋｍで歩くのはｘkm　
と、していました
なぜコレでは駄目なんでしょう
No.8246 - 2009/10/05(Mon) 21:08:55
☆ Re: 不等式の応用 / rtz
別に間違っていませんよ。
5km/hで走る距離が分かれば、
5kmから引けば10km/hで走る距離が分かるわけですから。
ただ、結果として求めるのは10km/hですから、
それをxとおく方が早くて済むわけです。

ですので間違っているのは、別の原因でしょう。
No.8247 - 2009/10/05(Mon) 21:29:10
☆ Re: 不等式の応用 / ヨッシー
これ、答えは　2km以上3km以下なのですが、５ｋｍで
歩くのをｘとおいても、2≦ｘ≦3 になるので、答えが
合ったように見えますが、式の方で×になったのでは
ないでしょうか？
No.8249 - 2009/10/05(Mon) 21:38:27
☆ Re: 不等式の応用 / マイケル
え？
間違ってないんですか？
てっきりコレが原因と思ってました
もし良かったらこれからも
教えていただけますでしょうか？
No.8250 - 2009/10/05(Mon) 22:19:28
☆ Re: 不等式の応用 / ヨッシー
>10ｋｍで走る距離を５−ｘｋｍとして、5ｋｍで歩くのはｘkm
と置くこと自体は、間違いではありません。
ただし、それを解いていって、
　２≦ｘ≦３
よって、2km 以上、3km 以下。としたのでは、理解されているか測定不能です。

たとえば、この問題が、
「Ａ地点から10km離れた・・・72分以上78分以下にしたいとき、
毎時10kmの速さで走る距離を何km以上何km以下にすればよいか。」
だと、どうしますか？
No.8252 - 2009/10/06(Tue) 08:22:41
☆ Re: 不等式の応用 / マイケル
私なら１０キロで走る速さを（x-10）/10
5キロで走る速さをx/5
として
No.8258 - 2009/10/06(Tue) 21:35:37
☆ Re: 不等式の応用 / マイケル
この式では駄目ですかね？
No.8259 - 2009/10/06(Tue) 21:36:43
☆ Re: 不等式の応用 / ヨッシー
(x-10)/10 ではなくて (10-x)/10 ですね。
それで、
　72/60≦x/5＋(10-x)/10≦78/60
を解いて、答えはどうなりますか？
No.8265 - 2009/10/07(Wed) 10:01:02
☆ Re: 不等式の応用 / マイケル
　72/60≦x/5＋(10-x)/10≦78/60
１０を掛けました
12≦２X＋(10-X)≦13
12≦X＋10≦13
10を引いて
2≦X≦３
こうなります
二キロ以上3キロ以下？
ってことで...
あってますかね？
No.8270 - 2009/10/07(Wed) 20:06:18
☆ Re: 不等式の応用 / ast
Xではなくてxですよね.

1. マイケルさんはxで何を表しておられましたか?
2. マイケルさんが答えるべき値を表す式はどれですか? x ではありませんよね?

この二つを確認すれば, あなたが作った不等式はまだ途中でしかないことがわかると思います.
No.8298 - 2009/10/08(Thu) 18:27:41
☆ Re: 不等式の応用 / マイケル
すいませんねぇ〜
こんなに長く
私はパソコンでの数式の
書き方が良くわからないもので
（≦）こんなのもどうやって打ち込んでいいか良くわからなくて
コピペで書いてたんですけど

1.xは距離をあらわしていました
2.うーーん？
途中ですかね？
No.8303 - 2009/10/08(Thu) 20:08:38
☆ Re: 不等式の応用 / ast
> 1.xは距離をあらわしていました
1. どういう速さで移動した距離ですか? この問題では速さは 5km/h と 10km/h の二種類ありますよね. どちらの場合での距離を x km としたのかきちんと確認してください. また, もう一方の場合は 10 − x km でしたよね?

> 2.うーーん？途中ですかね？
2. 10km/h で移動した距離を問われているのですから, あなたが 5km/h で移動した距離を x と置いている以上, あなたが答えるべき値を表す式は x ではなく 10 − x です. したがって, きちんと 10 − x に関する不等式を作らなければ意味が通りません. ただ漠然と x についての不等式を解けばいいという話ではないと言うことを意識するべきでしょう.

もう一度きちんとあなたの示した不等式がどういう意味の式であるかを読み直してください. あなたの示した不等式は「5km/h の速さで移動した距離が 2km 以上 3km 以下であること」を示しています. しかしもとの問題やヨッシーさんが出された問題で問われているのは「10km の速さで移動した距離がどのくらいでないといけないか」ですから, あなたはまったく問題に答えられていないということがわかるはずです.
No.8312 - 2009/10/08(Thu) 23:32:10
★ 質問 / ぴゅめ
x+y+4=0 に垂直で 点(4、6)を通る直線の方程式を求めなさい

上の求め方を教えて下さい。

方眼紙に実際に書いてみて、答えはおそらくy=x+2 であろうとは思うのですが
計算による求め方が分かりません。

よろしくお願い致します。
No.8241 - 2009/10/05(Mon) 19:38:41
☆ Re: 質問 / ヨッシー
直交する２つの直線の傾きの積は−１である。
という性質があります。
片方の傾きが２なら、もう片方の傾きは-1/2 です。

この問題の場合、ｘ＋ｙ＋４＝０ は、ｙ＝−ｘ−４ と書けるので、
傾きは、−１です。
これに直交する直線の傾きは、１です。ですから、求める式は、
　ｙ＝ｘ＋ｂ
となります。これが、(4,6) を通るようにｂの値を決めれば、完了です。

傾きがａで、点（ｍ，ｎ） を通る直線の式は、
　ｙ−ｎ＝ａ（ｘ−ｍ）
という公式もあります。傾きはともかく、（ｍ，ｎ）を通る
ことは、確認しておきましょう。
No.8243 - 2009/10/05(Mon) 20:36:45
☆ Re: 質問 / ぴゅめ
返事が遅れてしまい申し訳ありません。

ご指導ありがとうございます。これから教えて頂いた方法を良く読んで勉強させて頂きたいと思います。
No.8315 - 2009/10/09(Fri) 00:06:38
★ (No Subject) / つた
y=㏒x/xをx→∞にしたときに0に行くことの証明を教えてください。
No.8238 - 2009/10/04(Sun) 00:11:06
☆ Re: / らすかる
logx＜√x を示して 0≦logx/x≦√x/x→0 とすれば証明できます。

# 全角１文字の中に「log」が入っているものは機種依存文字ですので
# 使用しない方がいいです。
No.8239 - 2009/10/04(Sun) 02:07:30
☆ 極限 / つた
右側の不等式は微分でできました。しかし左側の０≦は０<X<1では成立しませんよね？X→∞だからX＞1と見なしていいんですかね？
No.8251 - 2009/10/06(Tue) 00:00:20
☆ Re: / ヨッシー
見なしていいですよ。
ただし、X ではなく x ですね。
No.8253 - 2009/10/06(Tue) 08:24:52
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