下記の問題の＜と≦の区別について細かいニュアンスがよく分かりません。できるだけ詳しく教えて下さい。よろしくお願いします。
［問題］
0≦x≦1 のとき 1≦1+x^2≦1+x^3 であることを用いて不等式(π/4)＜∫[0,1]{1/(1+x^3)}dx＜1 を証明せよ。
［模範解答］
条件より、
0<1/(1+x^2)≦1/(1+x^3)≦1 が成り立つ。
また、0<x<1 で等号は成り立たない。・・・＊
よって、
∫[0,1]{1/(1+x^2)}dx＜∫[0,1]{1/(1+x^3)}dx＜∫[0,1]dx・・・?@
?@の左端の項について、
x=tanθ とおくと、(dx/dθ)=(tanθ)'=(1/cos^2θ) より
dx=(1/cos^2θ)dθ
また、x=0 のとき、tanθ=0 より θ=0
x=1 のとき、tanθ=1 より θ=π/4 であるから、
?@の左端の項=∫[0,π/4]{1/(1+tan^2θ)}(1/cos^2θ)dθ
=∫[0,π/4][1/{1/(cos^2θ)}](1/cos^2θ)dθ
=∫[0,π/4](cos^2θ)(1/cos^2θ)dθ
=∫[0,π/4]dθ
=[θ][0,π/4]
=π/4
また、?@の右端の項=∫[0,1]dx=[x][0,1]=1
以上より
(π/4)＜∫[0,1]{1/(1+x^3)}dx＜1
［質問］
１．問題の条件では、不等号に等号を含んだ≦を使っていますが、＊では、＜を用いています。
これは、与えられた式を証明するためですから、理解できるのですが、x=0,x=1 の時について、言及しなくてよいのですか。
２．上記１と似たような内容ですが、?@の不等式の３つの項はいずれも積分区間の下端が0、上端が1 の定積分ですから、厳密に言えば積分区間は閉区間1[0,1]となると思います。
ところが、＊で0<x<1 とわざわざ断っているのですから、
開区間(0.1)のときの?@の証明をしているという印象を受けます。
不等式の証明の＜と積分区間の≦がごちゃごちゃになって混乱しています。微妙なニュアンスがわからないので、どなたか分かりやすく教えて下さい。
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No.7839 - 2009/09/05(Sat) 21:51:14
| ☆ Re: 定積分を用いた不等式の証明 / angel | | | まず、定積分の性質として、連続関数 f,g、実数 a,b ( a＜b ) に対して
1.区間[a,b]で f(x)≦g(x) ⇒ ∫[a,b] f(x)dx≦∫[a,b] g(x)dx
2.区間[a,b]で f(x)＜g(x) ⇒ ∫[a,b] f(x)dx＜∫[a,b] g(x)dx
というのがあります。
これらは、不等号が≦か＜はそれぞれ一致している形です。
ところが、今回の問題では 2. はそのまま使うことはできません。区間の端で値が一致してしまい、「[a,b]でf(x)＜g(x)」にならないからです。
では、1. を何とかしてみるわけですが、「∫[a,b]f(x)dx≦∫[a,b]g(x)dx」では、不等号についた＝が邪魔です。
しかしながら、ここで、∫[a,b]f(x)dx≠∫[a,b]g(x)dx という条件が加われば、めでたく、
∫[a,b]f(x)dx≦∫[a,b]g(x)dx かつ ∫[a,b]f(x)dx≠∫[a,b]g(x)dx のため、
∫[a,b]f(x)dx＜∫[a,b]g(x)dx
ということができます。
ここまで来ると、「0＜x＜1 で等号は成り立たない」の意図が見えるでしょうか。これは、∫[a,b]f(x)dx≠∫[a,b]g(x)dx を説明するためのネタなのです。
f(x)≦g(x)のように大小関係が決まっている状況では、∫[a,b]f(x)dx＝∫[a,b]g(x)dx となるのは、「区間[a,b]で常にf(x)=g(x)」しかありません。( 1.の等号成立条件 )
そのため、どこか一部分でも良いので、等しくない ( f(x)＜g(x)となっている ) 箇所があれば、「区間[a,b]で常にf(x)=g(x)」が否定でき、「∫[a,b]f(x)dx≠∫[a,b]g(x)dx」が示せます。
というわけで、0＜x＜1 には深い意味はありません。0.4＜x＜0.6 とかでも良いのです。あくまで、「部分的に等号が成立しない箇所がありますよ」という話ができれば良いのです。
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No.7840 - 2009/09/05(Sat) 23:10:43 |
| ☆ Re: 定積分を用いた不等式の証明 / kay(高２女子) | | | angelさんへ
すんごく分かり易い解説でありがとうございます。本当に、「うんうん」といちいちうなずきながら読んでしまいました。説明が少しずつ段階的で教科書よりもずっとわかり易いです。感謝^2!です。
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No.7846 - 2009/09/06(Sun) 08:57:45 |
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