ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 最大・最小と係数 / 高2の父

底面の半径６、高さ１８の直円すいに直円柱を内接させる。次の値が最大になるときの直円柱の底辺の半径と高さを求めよ。
(1)直円柱の体積Ｖ　(2)直円柱の表面積Ｓ

度々で申し訳ありません。
よろしくお願いします。

No.8984 - 2009/11/23(Mon) 17:05:00

☆ Re: 最大・最小と係数 / ヨッシー

円柱の半径をｘとすると、円柱の底面と円錐面とで出来る
小さな円錐の高さは３ｘなので、円柱の高さは、１８－３ｘ。
(1)
　Ｖ＝πｘ^2(１８－３ｘ)
ｘで微分して
　Ｖ’＝π(３６ｘ－９ｘ^2)
より、Ｖ’＝０となるのは、ｘ＝０，４
よって、最大値は、ｘ＝４のとき　９６π

(2)
　Ｓ＝２πｘ^2＋２πｘ(１８－３ｘ)＝３６πｘ－４πｘ^2
ｘで微分して
　Ｓ’＝３６π－８πｘ＝４π(９－２ｘ)
よって、ｘ＝9/2 のとき最大値 81π

No.8989 - 2009/11/23(Mon) 22:10:08

☆ Re: 最大・最小と係数 / 高2の父

ヨッシーさん
ありがとうございました。

No.8993 - 2009/11/24(Tue) 09:13:37

★ (No Subject) / 左近

今日は。いつもお世話になっています。
数?Vの極限について質問です。

(1)lim n→∞ 3＋5n/2nー1
(2)lim n→∞ 3^n+1 ー 2^n+1/3^n
(3)lim n→∞ (√n^2+n+1 ー √n^2+1)

の極限を求めよ。
という問題なのですが、どのように解いたら良いのでしょうか。
どなたか宜しくお願いします。

No.8982 - 2009/11/23(Mon) 15:15:51

☆ Re: / 数学好きの数学下手

こんにちは。

(1)分子分母をnで割ってみましょう。

　(3+5n)/(2n-1)=((3/n)+5)/(2-(1/n))
　　　　　　　→5/2 (n→∞)

(2)分子分母を(3^n)で割ってみましょう。
　
(3^n+1-2^n+1)/3^n = 3-2(2/3)^n → 3-0=3

(3)このように引くものと引かれるものに両方とも√がついており、その中身が両方とも無限に収束する場合は、有理化するのが基本手法です。

　(√(n^2+n+1) - √(n^2+1))
= n/(√(n^2+n+1) + √(n^2+1)) （分子分母に(√(n^2+n+1) + √(n^2+1)) をかけました。)

= 1/(√(1+(1/n)+(1/n^2))+√(1+(1/n^2))) (両辺をnで割ります）
→ 1/(1+1)=1/2

　

No.8983 - 2009/11/23(Mon) 16:19:10

☆ Re: (No Subject) / 左近

ご丁寧にありがとうございます!
類似も解くことができ、本当に助かりました。
またのときは宜しくお願いします。

No.8995 - 2009/11/24(Tue) 21:09:43

★ 三平方と空間図形 / あや

１辺が６の立方体ＡＢＣＤＥＨＧＨがあります。ＡＧを立方体の対角線としたときＡＧと三角形ＢＤＥの交点をＬとするとき、線分ＡＬの長さを求めよ。という問題です。

図が想像しにくくてすいません。ＡＬを高さとした三角錐ＡＢＤＥと考えればよいのかなと思ったのですが、なぜＡＬは高さといえるのでしょうか？？

No.8980 - 2009/11/23(Mon) 14:57:04

☆ Re: 三平方と空間図形 / ヨッシー

ベクトルでやってみます。
ＡＬが△ＢＤＥと垂直を言う代わりに、
ＡＧが△ＢＤＥと垂直であることを言います。

ａ＝ＡＢ
ｂ＝ＡＤ
ｃ＝ＡＥ
とするとき、
　ＡＧ＝ａ＋ｂ＋ｃ
このとき、
　ＡＧ・ＢＤ＝(ａ＋ｂ＋ｃ)・(ｂ－ａ)
　　＝ｂ・ｂ－ａ・ａ＋ｃ・(ｂ－ａ)
　　＝３６－３６＝０
　ＡＧ・ＢＥ＝・・・＝０
より、平面上の方向の異なる2つのベクトルと垂直なので、
△ＢＤＥとＡＧは垂直になります。

また、直感的には、ＡＧを軸にして、立方体を回転させると、
Ｂ，Ｄ，Ｅは同じ軌道を動くので、ＢＥＤでできる平面は、
ＡＧと垂直である、といえます。

No.8988 - 2009/11/23(Mon) 21:59:24

★ 正四面体 / haru

初めまして。次の問題が解けずに困っているのでアドバイスをお願いします。

【問】
正四面体ABCDの内部に一点Pをとり､面BCD､ACD､ABD､ABCにPから下した垂線の足をH､I､J､Kとし､PH,PI,PJ,PKの長さをそれぞれp,q,r,sとします｡
以下の条件を考慮します｡
(i)PH,PI,PJ,PKを直径とする球はどれも正四面体の内部or辺に含まれる｡
(ii)p≦q≦r≦s
(1) (i)かつ(ii)のとき､s/pの取りうる範囲を求めてください｡
(2) (i)かつ(ii)を満たすPの動きうる体積は正四面体ABCDの体積の何倍でしょうか?また､それは｢(i)のみ｣を満たす場合のPの動きうる体積の何倍でしょうか?

(1)はおそらくp=q=r=sのときが最小で､最大は線分PKが直径を成す球が四面体の内接球である時が最大ではないかと踏みましたが､議論ができずに悩んでいます｡(2)も方針が立っていません｡

ちなみに､四面体の1辺の長さは具体的には記されていません｡

恐縮ですが、もう一つのサイトにも同じ質問をさせてもらいました。そこで解決した場合、直ちに知らせます。マルチポストで心苦しいですが、助言をいただければと思います。

No.8971 - 2009/11/23(Mon) 12:54:17

☆ Re: 正四面体 / ヨッシー

まず、△ＡＢＣに接する球が、△ＢＣＤにギリギリ接する時の
球の中心を考えると、図のＢＣＧを通る平面になり、これよりも
下(△ＡＢＣを含む側。平面上は含む)にあれば△ＢＣＤを含む平面を
超えることはありません。
ＧはＤＫを３：１に内分する点で、正四面体ＡＢＣＤの重心です。

点Ｐは直径の端点なので、ＤＫの中点をＭとした時、ＢＣＭを通る
平面よりも下にあればいい事になります。
△ＡＢＣと△ＡＢＤ，△ＡＢＣと△ＡＣＤについても同様に考えると、
△ＡＢＣに接する球が、正四面体ＡＢＣＤの外に出ないためには、
点Ｐが四面体Ｍ－ＡＢＣの内部にあればいいことになります。

同様のことを△ＢＣＤ、△ＣＤＡ、△ＤＡＢに接する球を考えると、
４つの四面体に共通に含まれる部分が条件(i)のみのときの点Ｐの存在範囲になります。

(1)
２番目の図(次の記事に載せます)で、ｓ／ｐは左下の点（Ｂ，Ｃ共通の点)から出た
直線の傾きが最大の時に最大となります。
最大は点Ｔを通る時で、ｓ／ｐは３になります。
最小は、ｐ＝ｑ＝ｒ＝ｓの時の１です。
　１≦ｓ／ｐ≦３

(2)
最初の図のＢＣＧを通る平面で、ｐ＜ｓの領域とｐ＞ｓの領域に分かれます。
正四面体の１つの辺を通って、正四面体の体積を２等分するような平面は
４つ描けますが、それらによって、正四面体および、(i)の条件だけの
点Ｐの存在領域は、２４等分されます。
そのうちのひとつが、
　ｐ≦ｑ≦ｒ≦ｓ
の領域であるので、(ii)が入ると、体積は1/24になります。

体積は一旦割愛します。

No.8975 - 2009/11/23(Mon) 14:08:58

☆ Re: 正四面体 / ヨッシー

２番目の図です。

No.8976 - 2009/11/23(Mon) 14:09:30

☆ Re: 正四面体 / haru

返信ありがとうございます。

添付してくださった図は、BCの中点をＭとして、三角形DAMで切った切り口から見てる(つまり左右対称に分断してその切り口から見ている)、と理解すればよろしいのでしょうか。

(１)の前の説明はよくわかりました。

(１)の部分の説明で二つ目の図のＳ、Ｔの部分の説明をいただければと思います。またＴを通る場合ですと、sの方がpより小さいような気がするのですが・・・
申し訳ありませんが、説明お願いします。

No.8981 - 2009/11/23(Mon) 15:09:03

☆ Re: 正四面体 / ヨッシー

切り口から見ると考えて問題ないです。
球ごと切ったという感じですね。

下の方の図は、ＡとＤを逆に見てください。
あるいは、ＴはＤの真下で、青い部分に最初にぶつかる部分と
考えてください。とにかく、ｐとｓが逆です。

Ｓは、△ＢＣＤの重心に当たる点で、ＴはＡＳの中点です。

No.8987 - 2009/11/23(Mon) 21:43:27

★ 数列 / yosh

4, a, b が等差数列をなし、a, b, 18 が等比数列になるとき、aとbを求めなさい。

答えは　{a=1/2, b=-3 {a=8, b=12

合っているか分かりませんが、以下のところまではできました。
等差数列：　b=2a-4
等比数列：　r=18/b
ここからどのようにしても正解へたどり着けなくて困っています。

解説を宜しくお願いします。

No.8968 - 2009/11/23(Mon) 12:35:32

☆ Re: 数列 / rtz

等比数列でもう1つ使っていない条件があります。
aとbとrの関係です。

これも使えば解けるかと思います。
まずはrを消去してみましょう。

No.8969 - 2009/11/23(Mon) 12:49:54

☆ Re: 数列 / yosh

r=18/b を b=ar へ代入して

b=18a/b でしょうか。。。？

No.8972 - 2009/11/23(Mon) 13:03:08

☆ Re: 数列 / ヨッシー

そうですね。

一般に、３つの数ａ，ｂ，ｃがこの順に
　等差数列であるとき、真ん中の２倍は両端の差：ａ＋ｃ＝２ｂ
　等比数列であるとき、真ん中の２乗は両端の積：ａｃ＝ｂ^2
という性質があります。

No.8978 - 2009/11/23(Mon) 14:19:14

☆ Re: 数列 / yosh

性質に当てはめて考えてみます。
お二人ともありがとうございました！

No.8986 - 2009/11/23(Mon) 21:19:09

★ 最大最小と係数 / 高2の父

問題　関数f(X)=－X^3＋3ａX（0≦X≦1)の最大値とそのときのXの値を求めよ。但し、ａは定数
途中まで解いたのですが、ａの場合分けがなぜそうなるかわかりません。教えてください。よろしくお願いします

0≦Ｘ≦1区間でのf(x)＝－X＾3＋3aXの極値と区間両端（X=0，X=1）のｆ（ｘ）の値f(0)とf(1)を比べればよい。

ｆ（ｘ）の増減を調べるために、ｆ’（ｘ）を求める。
ｆ’（ｘ）＝-3（X＾2-a)

ａの場合分けでｆ’（ｘ）＝-3（X＾2-a)が0、正、負となるときを考える。
式ｆ’（ｘ）＝-3（X＾2-a)は、ｆ’（ｘ）＝-3×（X＾2-a)とみなされる。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　↑　　↑　↑
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　負　　正　不明
ｆ’（ｘ）＝-3（X＾2-a)＜0となるのは
ａ=0のとき、ｆ’（ｘ）＝-3×X＾2は、負の数×正の数で常に負となる。
ａ＜0のときも同様に、ｆ’（ｘ）＝負の数×（正の数－負の数）で常に負となる。
従って、ａ≦0のとき、ｆ（ｘ）は単調に減少するので最大値はｘ＝0で最大値0・・・答え

次に　ｆ’（ｘ）＝-3（X＾2-a)＞0となるのは
ｆ’（ｘ）＝-3（X＾2-a)＝負×（正－ａ）の（正－ａ）が負の数になるとき
Ｘ＾2＜ａ　Ｘ＜±√ａ　0≦Ｘ≦1だからＸ＜√ａ　
ここからわかりません。
答えによれば、1≦ａのときX=1で最大値3ａ-1

ｆ’（ｘ）＝-3（X＾2-a)=0となるのは、
Ｘ＝±√ａ　しかし、0≦Ｘ≦1だから、Ｘ＝√ａ
ここからわかりません。
答えによれば、0＜ａ＜1のときX=√ａで最大値2ａ√ａ

No.8961 - 2009/11/23(Mon) 00:51:26

☆ Re: 最大最小と係数 / 雀

Ｘ＾2＜ａ　Ｘ＜±√ａ
ではありません。

f'(x)=0,f'(x)>0,f'(x)<0
で場合分けしていますが、a=0,a<0,a>0で場合分けしたほうが分かりやすいかと思います。

No.8965 - 2009/11/23(Mon) 01:17:47

☆ Re: 最大最小と係数 / 高2

雀さん、ありがとうございます。
すいません、この先も教えてもらえないでしょうか？
よろしくおねがいします。

No.8991 - 2009/11/24(Tue) 00:25:31

☆ Re: 最大最小と係数 / 高2の父

雀さん、ありがとうございます。
すいません、この先も教えてもらえないでしょうか？
よろしくおねがいします。

No.8992 - 2009/11/24(Tue) 00:25:53

☆ Re: 最大最小と係数 / 雀

ｆ’（ｘ）＝-3（X＾2-a)≧0のとき
0≦X^2≦a
-√a≦X≦√a

0≦X≦1≦√aのとき　X=1で最大値
0≦X≦√a≦1のとき　X=√aで最大値

No.8994 - 2009/11/24(Tue) 15:17:53

★ 小学校6年の問題 / コヨミ

すみません。
小学校の問題の解き方がわからないので
教えてください。（；＞＜）

英子さんのクラスは36人で男子は女子の4/5です。
男子は何人ですか。

答え16人

女子は20人という事になりますよね。
女子のほうが多いのに男子が女子の4/5とはおかしくないですか？
全くわからずイライラしてしまいます。
ハテナだらけです。すみませんがよろしくお願いします。

No.8955 - 2009/11/22(Sun) 19:38:39

☆ Re: 小学校6年の問題 / らすかる

おかしくありません。
「男子が女子の２倍」→男子の方が多い
「男子が女子の１倍」→男子と女子が等しい
「男子が女子の0.8倍」→男子の方が少ない
4/5=0.8です。

No.8956 - 2009/11/22(Sun) 19:50:39

☆ Re: 小学校6年の問題 / コヨミ

らすかるさんありがとうございます。
5あるうちの4をしめていると考えてしまいました。

解き方としたらどうすれば16になりますか？
かけても割っても16になってくれないのですが…。

No.8957 - 2009/11/22(Sun) 20:07:44

☆ Re: 小学校6年の問題 / Kurdt（かーと）

こんばんは。

女子と男子の比が 5:4 であることから、
男子の人数は 36×{4/(5+4)}=16人と計算できます。

（別の解き方）
女子を 1 とすると、男子は 4/5 でした。
そして、これをたすと 9/5 になります。
すなわち、クラス全員の人数は
女子の人数の 9/5 になるということです。

なので、女子の人数はクラスの人数をこの 9/5 でわって、
36÷9/5=20人になるので、男子は 36-20=16人です。

No.8958 - 2009/11/22(Sun) 20:23:14

☆ Re: 小学校6年の問題 / コヨミ

カートさん早速ありがとうございます！

とてもよくわかりました。
女子と男子は別物で考えないといけないんですね。
スッキリしました。
本当にありがとうございました。（＾－＾）

No.8959 - 2009/11/22(Sun) 20:38:07

★ 数A、確率の問題 / 左近

今日は。
数Aの確率の問題になのですが、

2つの袋AとBがある。袋Aには1から4までの整数が1つずつ書かれた球が4個、Bには3から6までの整数が1つずつ書かれた球が4個入っていている。
いま、
ａ1 ｂ1 ａ2 ｂ2
と書かれた表があり、袋Aから球を1つ取り出しその数字をａ1に、続いてもう1つ取り出した球の数字をａ2に書く。
同様に、袋Bから球を1つ取り出しその数字をｂ1に、続いてもう1つ取り出した球の数字をｂ2に書く。
ただし一度取り出した球は袋には戻さないものとする。
このとき
(1)表に書かれる場合の数は全部で何通りあるか。
(2)４３３４のように同じ数字が2つ書かれる確率を求めよ。
(3)３５１３のように同じ数字が1つだけ書かれる確率を求めよ。
(4)ａ1、ａ2、ｂ1、ｂ2にすべて異なる数字が書かれる確率を求めよ。

長くなってしまってすみません。
どれか1つでもご指導願えればと思います。

No.8946 - 2009/11/22(Sun) 13:12:38

☆ Re: 数A、確率の問題 / ヨッシー

(1)
ａ1 に入れる数字は４通り、ａ2 に入れる数字は、ａ1 以外の３通り。
ｂ1 に入れる数字は４通り、ｂ2 に入れる数字は、ｂ1 以外の３通り。
以上より
　４×３×４×３＝１４４(通り)
(2)
２つになる数字は、３と４しかないので、あとはその並び方です。
ａ1ａ2 について、３４か４３の２通り。
ｂ1ｂ2 について、３４か４３の２通り。
以上より
　２×２＝４(通り)
確率は、4/144＝1/36

(3)
３が２つであるとき
３の置かれ方はａ1ｂ1，ａ1ｂ2，ａ2ｂ1，ａ2ｂ2 の４通り。
残った場所にＡから３通り、ｂから３通りの取り出し方があり、
　４×３×３＝３６(通り)
ですが、そのうち４通りは４も２つあるので、
　３６－４＝３２(通り)
４が２つあるときも同様に３２通りで、合計６４通り
確率は
　64/144＝4/9

(4)
残りが、すべて異なる確率なので、
　１－1/36－4/9＝19/36

No.8952 - 2009/11/22(Sun) 16:26:39

☆ Re: 数A、確率の問題 / 左近

詳しくありがとうございます!
本当に助かりました。
またのときは宜しくお願いします。

No.8954 - 2009/11/22(Sun) 18:13:48

★ n進法 / yosh

連投で失礼します。

次の計算を3進法のまま簡単にしなさい。
※(3)は3進法で表記という意味です。

1. 11(3)+12(3)
2. 20(3)-11(3)
3. 2(3)x2(3)
4. 11(3)÷2(3)

答えは　1. 100(3) 2. 2(3) 3. 11(3) 4. 2(3)

n進法で表す方法は理解していますが、n進法のまま計算をするやり方が分かりません。
どのように考えれば良いのでしょうか？
質問の意味さえも？です。

どうぞ宜しくお願い致します。

No.8945 - 2009/11/22(Sun) 12:26:27

☆ Re: n進法 / rtz

基本的な考え方は10進法と同じ。
ただ、繰り上がりになる数字が10ではなく3であると言う点が違う。

たとえば1つ目なら、
11(3)+12(3)
＝23(3) (そのまま足す)
＝30(3) (末尾の位は3で繰り上がるので次の位に1を加える)
＝100(3) (上に同じ)
ということ。

2つ目も同様。
足りない数字を上の位から補充する際、
10ではなく3を足すところが違うのみ。

3,4も基本的な考えは同じ。
小学校のときと同様、筆算で解くと分かりやすいかもしれない。
今回は数字が小さいが、もうちょっと大きな数字で実験してみるとよいかと。

No.8948 - 2009/11/22(Sun) 14:21:56

☆ Re: n進法 / yosh

そういう計算の仕方だったのですね。
謎が解けました。
ありがとうございます！！

No.8967 - 2009/11/23(Mon) 10:33:42

★ 周の長さ / aaak

続けてすみません。
長方形ABCDにおいて, AB=1/t, BC=t (t＞0)とする。
この長方形の周の長さはt=( )
周の長さの求め方と答えを教えて下さい。

No.8938 - 2009/11/21(Sat) 22:25:09

☆ Re: 周の長さ / ヨッシー

周の長さなら、
　ＡＢ＋ＡＢ＋ＢＣ＋ＢＣ
なので、
　2/t＋2t
ですね。
t= は余分というか、問題文が正しくないのでは？

周の最小値とかではないのですか？

No.8939 - 2009/11/22(Sun) 05:57:22

☆ Re: 周の長さ / aaak

すみません、周の最小値もありました。

No.8943 - 2009/11/22(Sun) 10:51:00

☆ Re: 周の長さ / ヨッシー

問題文はおそらく、
　面積が１の長方形ＡＢＣＤで、周の長さが最小のものの
　ＡＢとＢＣを求めよ。
のようなもので、
　ＢＣ＝ｔ（０＜ｔ）とおくとＡＢ＝１／ｔ
に続く一節かと思います。

いずれにしても、
　(周の長さ)＝２(ｔ＋１/ｔ)
なので、相加、相乗平均より
　２(ｔ＋１/ｔ)≧４√｛ｔ(1/t)}＝４
より、４が最小値で、その時のｔは
　t=1/t
よりｔ＝１。

といったところでしょう。

No.8950 - 2009/11/22(Sun) 16:06:20

☆ Re: 周の長さ / aaak

ありがとうございます。

No.8953 - 2009/11/22(Sun) 17:24:57

★ 数列 / nanagi

立て続けに質問してしまい申し訳ありません．
任意の正の整数に対し，
1/1^3＋1/2^3＋1/3^3＋‥‥＋1/n^3<5/4が成り立つことを示せ．の問題で，私はこんな解答をしたのですが，n=1の場合を加えた方がいいのか不安なので，ｱﾄﾞﾊﾞｲｽをお願いします．
kを２以上の自然数とするとき，
1/〔{(k-1)*k*(k+1)}-1/k^2〕
=(略)=1/{k^3*(k-1)*(k+1)}＞０であるから，
5/4－(1/1^3＋1/2^3＋1/3^3＋‥‥＋1/n^3)
＝5/4-1-Σ(上n,下k=2)1/k^3＞5/4-1-Σ(上n,下k=2)1/{(k-1)*k*(k+1)}
=5/4-1-1/2*〔1/2-1/{n(n+1)}〕
=1/{2n(n+1)}＞０　ゆえに1/1^3＋1/2^3＋1/3^3＋‥‥＋1/n^3<5/4は成り立つ．

No.8937 - 2009/11/21(Sat) 21:54:19

☆ Re: 数列 / ヨッシー

括弧のつけ方が変とか、1/k^3 が 1/k^2 になってるとか、
部分分数展開を飛ばすと読み手にはわかりにくいとか
突っ込みどころはいくつかありますが、ｎ≧2 のときの
証明はこれで良いですね。

あとは、最初か最後に、
ｎ＝１のときは、１＜５/４で、明らかに成り立つ。
のようなことを言っておけばいいと思います。

私の好みとしては、最初に示した
　1/(k-1)k(k+1)＞1/k^3
を適用する部分にマイナスが付いていると、不等号の向きが
ややこしくなるので、(左辺)－(右辺) にするか、
(左辺)＝・・・　で進んでいって、　最後に　＜5/4
とするかの方が良いと思います。

No.8940 - 2009/11/22(Sun) 08:25:19

☆ Re: 数列 / nanagi

ありがとうございます．
1/〔{(k-1)*k*(k+1)}-1/k^2〕ではなく，1/{(k-1)*k*(k+1)}-1/k^2の間違いでした．すみません．

No.8949 - 2009/11/22(Sun) 15:18:16

★ 数学?TＡ / 早矢

高さＨの円錐Ｆを底面に平行な平面で切断してできる円錐をＦ’とする。Ｆ’の表面積がＦの表面積の半分になるようにするにはＦの底面からどの高さで切断すればよいか。また
このときＦ’の体積はＦの体積はＦの体積の何倍になるか？

　　　答えは切断面の高さは２－√２ｈ/2

　　　　Ｆ’の体積はＦｎｏ体積の√２/４倍
　　　　　　　

No.8934 - 2009/11/21(Sat) 21:06:33

☆ Re: 数学?TＡ / ヨッシー

Ｆ’はＦと相似です。相似比をａとすると、
面積はａ^2倍、ａ^3倍になります。
面積を1/2 にするには、相似比を 1/√2 にすれば良いので、
頂点から H/√2 の位置、Ｆの底面から
　Ｈ－Ｈ/√2＝(2-√2)Ｈ/2
の位置で切ります。

相似比が 1/√2 なので、体積は (1/√2)^3＝√2/4(倍) になります。

No.8936 - 2009/11/21(Sat) 21:25:48

★ 因数分解 / yosh

2x^-7x+５=0
から
（2x-5）（x-1）=0
へ導きだす考え方がよく分かりません。
2xとxは出せますが、その後が難しいです。。

x^-ax+bなら分かるのですが、x^に数字が加わると苦手でよく分からなくなります（+＿+）

宜しくお願いします！！

No.8927 - 2009/11/21(Sat) 13:01:46

☆ Re: 因数分解 / 七

2x²－7x＋5
2x² を　2xとxに分けたあとは
5を1と5または－1と－5に分けて
これらを2xとxに振り分けて
うまくいく(展開してxの係数が－7になる)ものを探すだけです。
x²の係数が6などになると
xと6xまたは2xと3xのように面倒になりますが
やることは同じです。

No.8928 - 2009/11/21(Sat) 13:22:25

☆ Re: 因数分解 / 七

因数分解との表題ですが
2x²－7x＋5＝0
は2次方程式です。
因数分解を利用して解を求めることもできますが
因数分解が苦手なら解の公式を使ったらどうでしょう？

逆に2x²－7x＋5を因数分解するのに
2x²－7x＋5＝0　の解x＝1、5/2を利用して
2x²－7x＋5＝2(x－1)(x－(5/2))＝(x－1)(2x－5)
という風に因数分解することもできます。

No.8929 - 2009/11/21(Sat) 13:35:15

☆ Re: 因数分解 / 涼流

2x^2 - 7x + 5の因数分解ですが、
自分でいつも考えていることを書かせて頂きます。

(1) x^2の係数を正の数の積だけで表します。
若しも、負でしたら全て-で括ってしまひましょう。

今回は、
1
2
だけですね。

(2) 定数項も2つの積で表します。ここでは、負の数を使っても構いません。

1 5 -1 -5
5 1 -5 -1
の4種類有りますね。さて、此処で、先程の1, 2とこれらを並べて、
1 1
2 5
左上×右下 + 左下×右上を計算します。
1 × 5 + 2 × 1 = 7
これがxの係数に一致すればよいのですが、-7ではないのでこれは不適です。

よく考えると、1, 2は共に正の数なので、
・小さい1×正 + 大きい2×負
・小さい1×負 + 大きい2×負
が妥当だと考えられます。

が、今回は既に、1 × 5、2 × 1の組で7であると分かっているので、
それぞれにマイナスを付けるだけで良く、
1 -1
2 -5
となります。

あとは、それぞれ括弧を付けるだけで、
(1x - 1)(2x - 5)
が因数分解した結果となります。

此が所謂たすき掛けで、色々な場所で解説されているので
余裕があれば……というか、絶対其の理由も知っておくとよいです。

難解も練習を積めば出来るようになるので、
取り敢えず100回くらい因数分解されては如何でしょう?

No.8932 - 2009/11/21(Sat) 19:45:58

☆ Re: 因数分解 / yosh

お二人ともありがとうございました！
すんなり解けるようになるまで練習します。

No.8942 - 2009/11/22(Sun) 10:02:57