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★ 税は、割引後？ / √
よろしくお願い致します。

２００円（消費税は含まれていない）
の商品が、本日、「１割引」になっていたとしたら、

通常の計算は、

【２００円】ｘ【９／１０】ｘ【１．０５】＝１８９円

となって、
「割引」「税」どちらを先に掛けても、支払う金額は、
同じになりますが、


１８９円のうち、国に支払う消費税額は、

【２００円】ｘ【５／１００】＝１０円
（店の売り上げは１７９円）

１割引後だと

【１８０円】ｘ【５／１００】＝９円
（店の売り上げは１８０円）

となりますが、
通常は、どちらになるのでしょうか？
No.7742 - 2009/08/31(Mon) 22:13:56
☆ Re: 税は、割引後？ / ヨッシー
ここで、求められている答え方で言うと、売値の100/105 と
いうことで、９円が消費税となります。

細かいことをいうと、４％が国税で、１％が地方税なので、
「国に支払う」となると、少し変わってきます。

また、たとえば、この商品を税込み１０５円で仕入れていたとすると
５円分は、すでに払ったので、
　９−５＝４(円)
が、実際に払う額となります。
No.7743 - 2009/08/31(Mon) 22:41:55
☆ Re: 税は、割引後？ / √
ヨッシーさん

有り難うございました。
No.7744 - 2009/08/31(Mon) 23:01:50
★ 正直言います・・・ / ともだち
常日頃から思っていることを言います。
等式を両辺2乗するときに
両辺ともに0以上より
と、断り書きを入れますが
あれって無意味ですよね？？
両辺−でも二乗すればプラスになるのですから。
例として
x=±√p
⇔x^2=p

x=-√ｐは両辺ともに0以下なのですから。
一応確認の意味でよろしくお願いします。
No.7739 - 2009/08/31(Mon) 21:51:37
☆ Re: 正直言います・・・ / ヨッシー
２乗するときは、断り書き入れないと思いますよ。
不等式なら必要ですが。
No.7741 - 2009/08/31(Mon) 22:00:50
☆ 状況により / angel
確かに、正負に関わらず a=b⇒a^2=b^2 は成立します。
そういう意味なら無意味といえます。

しかし、a≧0 かつ b≧0 という状況なら、
a=b⇔a^2=b^2、つまり同値変形となります。
この、同値変形であることを言いたいのであれば、非負であることを断り書きする必要があります。
同値変形ではなく、一方向 ( 必要条件のみ ) であれば、非負かどうかを断る必要がない、と言えます。
No.7769 - 2009/09/02(Wed) 00:04:11
☆ Re: 正直言います・・・ / ともだち
-2= -2⇔４＝４で必要条件ではなく必要十分じゃないんですか？

答えを求めるのには差し支えないですか？
No.7792 - 2009/09/02(Wed) 23:14:23
☆ Re: 正直言います・・・ / ヨッシー
-2= -2⇔４＝４　は、同じ数字は等しいと言っているだけです。
　ｘ＝−２　⇒　ｘ^2＝４　は真ですが、
　ｘ^2＝４　⇒　ｘ＝−２　は真ではありません。
よって、
　ｘ＝−２ は、ｘ^2＝４ であるための必要条件です。
No.7809 - 2009/09/03(Thu) 16:14:12
★ (No Subject) / あやか
連立方程式　
　　　　?I＾２+ｙ＾２≦４、y≧?I＾２-２
のあらわす領域の面積を求めよ

どうしたらいいですか？？
No.7735 - 2009/08/31(Mon) 20:17:22
☆ Re: / ヨッシー

まず、Ａの座標を求めます。
円x^2+y^2=4 上の点は(2cosθ, 2sinθ) と書けるので、
ｙ＝ｘ^2−２ に代入して、
　2sinθ＝4cos^2θ−２
　sinθ＝2(1-sin^2θ)−１
　2sin^2θ＋sinθ−１＝０
これを解いて、
　sinθ＝(−１±３)／４＝−１，1/2
sinθ＝−１ は、(0,-1) なので、sinθ＝1/2
点Ａの座標は、ｘ座標が正なので、(√3, 1)
よって、直線ＯＡの式は　ｙ＝ｘ/√3
黄色の扇形の中心角は120°

まず、赤い部分の面積を求めます。
　∫0〜√3(ｘ/√3−ｘ^2＋２)dx
　＝[ｘ^2/2√3−ｘ^3/3＋２ｘ]0〜√3
　＝3√3/2
青の部分も同じく 3√3/2
黄色の扇形は
　4π/3
以上より、求める面積は、
　3√3＋4π/3
No.7736 - 2009/08/31(Mon) 21:14:43
☆ Re: / DANDY　U
【Ａの座標の求め方の別方法】
x^2=y+2 を x^2+y^2＝4 に代入してyについて解くと ｙ＝−2, 1 となり、
ｙ＝1　のとき ｘ＝±√3 だから Ａの座標は(√3,1)
（よって、AOとｘ軸と交わる角は30°）
・・・としても求められます。
No.7752 - 2009/09/01(Tue) 13:37:26
★ (No Subject) / adany
「二次方程式ってどうして答えが二つ出るのですか？」
という質問には、どのように答えるのが最適でしょうか。
No.7732 - 2009/08/31(Mon) 16:19:42
☆ Re: / ヨッシー
こちらを見ていただくとわかりますが、
２次方程式は必ず
　(ｘ−ａ)^2＝ｂ
という形になります。
これを解くときに
　ｘ−ａ＝±√ｂ
という形になるので、解は、
　ｘ＝ａ＋√ｂ　と　ｘ＝ａ−√ｂ
の２つあります。
ｂ＝０ のときは、２つの解が、たまたま同じ値であると
考え、こういう場合を重解といいます。

ｂ＜０ のときは、ｉ を使って表しますが、省略しました。
No.7733 - 2009/08/31(Mon) 16:27:27
☆ Re: / adany
どうもありがとうございました。
No.7755 - 2009/09/01(Tue) 18:25:13
★ 続けて質問です＞＜ / ぽんた
z^2+{(√(x^2+y^2))-b}^2=a^2　　ただし（０＜ａ＜ｂ）
の表面積を求めよ。(高校2・3年の範囲、積分法とその応用、月の光さんからの質問１の問題）

の問題で「求める立体は、この円をｚ軸を中心に回転させたものになります」というのがなぜなのかわかりません。
よろしくお願いします。
No.7720 - 2009/08/31(Mon) 10:02:42
☆ Re: 続けて質問です＞＜ / ヨッシー
ｘｙ平面を極座標で表すと、任意の偏角θでの断面を
考えると、

のような図になります。

という、説明でわかりますか？
No.7723 - 2009/08/31(Mon) 10:20:14
☆ Re: 続けて質問です＞＜ / ぽんた
正直分かりません。。
また、√(x^2+y^2）＝ｒは適当に置いたのではなく
極座標に直すということから置いたのですか？
No.7725 - 2009/08/31(Mon) 11:40:38
☆ Re: 続けて質問です＞＜ / ヨッシー

上図で、回転している平面一つ一つが、ｒｚ平面です。
ｒは、点(x,y) までの距離を表しますから、
原点から、ｘｙ平面上で、放射状に伸ばした直線になります。
No.7727 - 2009/08/31(Mon) 13:20:46
☆ Re: 続けて質問です＞＜ / ぽんた
つまり問題がz^2+{(√(3x^2+y^2))-b}^2=a^2　　ただし（０＜ａ＜ｂ）などであっても
ここまでは同じということですね？
No.7728 - 2009/08/31(Mon) 13:59:12
☆ Re: 続けて質問です＞＜ / ヨッシー
ｒ＝√(x^2＋y^2) は、原点(正確にはｚ軸)からの距離を
表しますが、
　ｒ＝√(3x^2+y^2)
は、そうではありませんので、上のようなｒｚ平面にはなりません。
（作ったとしても、円にはなりません）
No.7730 - 2009/08/31(Mon) 14:35:08
☆ Re: 続けて質問です＞＜ / ぽんた
しかし　ｒ＝√(3x^2+y^2)
とおいても
z^2＋（ｒ−ｂ）＾２＝a^2
といったようにｒ−Z平面は円になりますよね？
No.7738 - 2009/08/31(Mon) 21:18:36
☆ Re: 続けて質問です＞＜ / ヨッシー

図の左は、ｒ＝√(x^2+y^2)、右はｒ＝√(3x^2+y^2) のときの
各方向における、ｒの目盛りです。

左の方は、どの方向も同じ間隔で、この間隔は、ｚ軸とも同じです。
右は、方向を固定すれば、等間隔ですが、ｙ軸方向以外は
ｚ軸の間隔とずれます。
たとえば、ｘ軸方向は1/√3 倍に縮小されます。
その場合の、ｒｚ平面では、
　z^2＋（ｒ−ｂ）＾２＝a^2
は、楕円になります。

よって、z^2+{(√(3x^2+y^2))-b}^2=a^2 は、方向によって、
短径が異なる楕円を持つ立体になります。
No.7740 - 2009/08/31(Mon) 21:58:59
☆ Re: 続けて質問です＞＜ / ぽんた
本当に理解力が無くて申し訳ないのですが、
二つの図が何を表してるのかが分かりません。
ｘ−ｙ平面ですか？軸の名前が書いてないですが・・・
No.7745 - 2009/09/01(Tue) 00:30:10
☆ Re: 続けて質問です＞＜ / ぽんた
また
ｒｚ平面では、
　z^2＋（ｒ−ｂ）＾２＝a^2
は、楕円になります。
とありますが
これは円の式では？？
z＾２,r＾２の係数が1なので・・・
No.7746 - 2009/09/01(Tue) 00:34:49
☆ Re: 続けて質問です＞＜ / ヨッシー
上の図は、ｘｙ平面上での、各方向に伸ばしたｒ軸と、
その上での、ｒ＝１，２，３，４ の位置です。

　z^2＋（ｒ−ｂ）＾２＝a^2
は、式の形は円ですが、上に書いたように
ｚ軸のスケールと、ｒ軸のスケールが違うので、楕円になります。

図の左は、ｚ軸とｒ軸の目盛りの間隔が等しい場合の
　ｚ^2＋ｒ^2＝４
のグラフ。右は、ｒ軸の目盛りの間隔が、ｚ軸より狭いときの
　ｚ^2＋ｒ^2＝４
のグラフです。
No.7748 - 2009/09/01(Tue) 07:10:59
☆ Re: 続けて質問です＞＜ / 場合の数を極めたい者
7740のグラフは横方向がｘ軸縦方向がｙ軸ということですね？（x^2+y^2=r^2,3x^2+2ｙ^2=r^2より）それはわかりましたが、左の方は、どの方向も同じ間隔で、この間隔は、ｚ軸とも同じです。
右は、方向を固定すれば、等間隔ですが、ｙ軸方向以外は
ｚ軸の間隔とずれます。
たとえば、ｘ軸方向は1/√3 倍に縮小されます。
その場合の、ｒｚ平面では、
　z^2＋（ｒ−ｂ）＾２＝a^2
は、楕円になります。

これの意味が分からないと、７７４８の意味が分かりません。。また、短径とは何ですか？

よろしくお願いします。。。
No.7749 - 2009/09/01(Tue) 09:07:36
☆ Re: 続けて質問です＞＜ / ヨッシー
１）ｒ軸は、原点から、360°あらゆる方向に引けます。

２）ｒ＝√(x^2+y^2) のとき、ｒは原点から点(x,y)までの
　距離を表します。たとえば、点(3,4) におけるｒの値は５です。

３）ｒ＝√(x^2+y^2) のとき、たとえば、ｘ軸方向のｒ軸を
　考えると、点(1,0) におけるｒの値は１、点(2,0)における
　ｒの値は２ となり、ｘ軸の目盛りと、ｒ軸の目盛りは
　一致します。ｙ軸も同様です。

４）ｒ＝√(x^2+y^2) のとき、7740 の左の図のように、
　どの方向のｒ軸も、整数の目盛りは等間隔になります。

５）４）の目盛りは、ｚ軸の目盛りの間隔とも同じです。
　つまり、ｚ軸の１目盛りが1cm なら、ｒ軸の１目盛りも
　1cm です。

６）ｒ＝√(3x^2+y^2) のとき、ｒは原点から点(x,y)までの
　距離を表しているわけではありません。たとえば、点(3,4)
　におけるｒの値は√43 です。

７）ｒ＝√(3x^2+y^2) のとき、たとえば、ｘ軸方向の
　ｒ軸を考えると、点(1/√3, 0) における ｒの値が１、
　点(2/√3, 0) における ｒの値が２ となり、ｒの整数の
　目盛りは、等間隔ですが、ｘ軸の目盛りとは一致しません。
　ｙ軸は、ｒ＝√(3x^2+y^2) の y^2 の係数が１であるため
　ｙ軸の目盛りと、ｒ軸の目盛りは間隔が一致します。

８）７）において、ｒ軸の目盛りは、ｘ軸の目盛りの 1/√3
　の間隔になっています。

９）7748 の図において、緑の線は、ｚまたはｒが整数である
　直線です。
　左右どちらも、
　　ｚ^2＋ｒ^2＝４
　のグラフですが、右の方は、ｚ軸とｒ軸の目盛りの感覚が違うため
　楕円になります。

10)

　図において、回転している長方形が、ｒｚ平面です。
　これは、ｒ＝√(x^2+y^2) の場合の図です。
　このとき、すべてのｒｚ平面上に書いた、
　　z^2＋（ｒ−ｂ）＾２＝a^2
　のグラフは、円になります。

11) もし、10) の図を、ｒ＝√(3x^2+y^2) の場合について描くと、
　ｒｚ平面が、ｙｚ平面に重なるとき以外は、
　　z^2＋（ｒ−ｂ）＾２＝a^2
　のグラフは楕円になります。

12) 11) のとき、楕円のｚ軸方向の長さ（長径）は２ａのままですが、
　ｒ軸方向の長さ(短径)は、ａより短く、ｚｘ平面上で
　２ａ/√３ になります。

さて、どこまでわかりますか？
No.7760 - 2009/09/01(Tue) 21:19:35
☆ Re: 続けて質問です＞＜ / ぽんた
５ばんがよくわかりません。。
No.7777 - 2009/09/02(Wed) 11:29:50
☆ Re: 続けて質問です＞＜ / ヨッシー
４．が若干言葉足らずでしたが、
>どの方向のｒ軸も、整数の目盛りは等間隔になります。
等間隔であるだけでなく、どの方向においても目盛りの
間隔が等しいということです。
つまり、どの方向も整数の目盛りの間隔は、１であるということです。

ｚ軸と、ｒ軸の目盛りの間隔が同じことは、
そこに描かれた、
　z^2＋（ｒ−ｂ）＾２＝a^2
のグラフが円になるか、楕円になるかにかかわってきます。
No.7781 - 2009/09/02(Wed) 14:36:33
☆ Re: 続けて質問です＞＜ / ヨッシー
参考までに、
　ｒ＝√(3x^2+y^2)
のときの、断面の図を載せておきます。

↑こちらは　ｒ＝√(x^2+y^2)

↓こちらが　ｒ＝√(3x^2+y^2)
No.7782 - 2009/09/02(Wed) 15:26:45
☆ Re: 続けて質問です＞＜ / ぽんた
r軸がｚ軸に重なることがある、といっているように聞こえます。ｒはxとyからなる式なのでｚ軸方向の目盛りはx軸、ｙ軸で等間隔になってもそれはｚ軸には関係ないように思えるのですが。
No.7793 - 2009/09/02(Wed) 23:19:44
☆ Re: 続けて質問です＞＜ / ヨッシー
ｒ軸はｘｙ平面上に出来るので、ｚ軸とは常に垂直です。
問題は、ｚ軸の目盛りの間隔と、ｒ軸の目盛りの間隔が
同じでないと、7748 の右の図のように、
　ｚ^2＋ｒ^2＝４
という、式の形は円でも、外から見ると、楕円になってしまうと
いうことと、ｒ軸の方向によって、その楕円の形も変わると
いうことです。

これでは、元々の問題で使ったような、パップスギュルダンは
使えません。

7782 の上の図は、ｒ軸が回転しても、ｒｚ平面上に書いた、
図形は円のままですが、下の図は、回転するにつれて、
形が変わっているのを、読み取ってください。
No.7797 - 2009/09/02(Wed) 23:40:44
★ 質問です / ぽんた
ここの問題のコーナーで（奈々さんからの質問１）
次の三つのグラフを描きなさい
(ア)　y=[x]+[-x]+1
(イ)　y=|x-2[(x+1)/2]|
(ウ)　y=[x]-2[x/2]

でア）ウ）では-2から２までを調べ
イ）ではー３から３まで調べた理由は何ですか？
また、今回はたまたま規則性があり（or比較的小さい範囲を調べるだけで規則性が分かり）グラフが書けましたが
規則性が見られなかった場合は、あるいはあっても
高々−２〜２程度調べても分からないような場合はどう解けばよいのですか？

解答は余りにも長くなるので載せませんでした。
お手数ですがよろしくお願いします。
No.7718 - 2009/08/31(Mon) 09:15:18
☆ Re: 質問です / ヨッシー
±２か±３かというのは、完全にさじ加減です。
強いて言えば、ア）ウ）はグラフのほとんどが、
ｘ軸に平行なのに対し、イ）は斜めになるので、
規則が読み取りにくいため少し長めにしました。

この問題は、わざと規則（繰り返し)が起こるように
作ってありますが、そうでないのも多いです。
その場合は、[　]の値が変わるところを注意しながら
考えて行きます。
たとえば、
　ｙ＝[ｘ]^2
だと、元の ｙ＝ｘ^2 のグラフを基に、小数部分を全部
整数の値に一致させることになります。
さらに
　ｙ＝[ｘ]^2−2[x/2]^2
のようであれば、
　ｙ＝[ｘ]^2　と　ｙ＝−2[x/2]^2
のグラフをそれぞれ描いて、足し合わせるということも必要になります。
No.7722 - 2009/08/31(Mon) 10:08:37
☆ Re: 質問です / ぽんた
ｙ＝[ｘ]^2のグラフを書け。の答案を書いてもらえませんか？
No.7724 - 2009/08/31(Mon) 11:33:17
☆ Re: 質問です / ヨッシー
任意の整数ｎに対して、
　ｎ≦ｘ＜ｎ＋１
となるｘに対して、
　[ｘ]＝ｎ
であり、
　[ｘ]^2＝ｎ^2
であるので、
下のようなグラフになります。

No.7726 - 2009/08/31(Mon) 13:15:59
☆ Re: 質問です / ぽんた
答案だけだとやはり理解できなかったので
解説をお願いします。正直全然分かりません。
No.7729 - 2009/08/31(Mon) 14:03:00
☆ Re: 質問です / ヨッシー

こんな感じです。
No.7731 - 2009/08/31(Mon) 16:19:34
☆ Re: 質問です / ぽんた
理解しました。わざわざ図まで描いていただきありがとうございます。
No.7737 - 2009/08/31(Mon) 21:15:30
★ とつぜんですが / ぽんた
−２をこえない最大の整数ってなんですか？
No.7717 - 2009/08/31(Mon) 08:57:28
☆ Re: とつぜんですが / ヨッシー
−２　ですね。
No.7719 - 2009/08/31(Mon) 09:26:16
☆ Re: とつぜんですが / ぽんた
ありがとうございます。
No.7721 - 2009/08/31(Mon) 10:03:27
★ ちょっとまった / たかし
この ３ 実解に対応する ｙ 座標の平均 Ｙ は、〔１〕 と 〔２〕 の対称性より、
　　　Ｙ＝２ａ２/３　…　〔５〕
を説明してくれませんか？
おねがいします
No.7708 - 2009/08/30(Sun) 21:30:37
★ さっきの問題 / ちゃこ
教えてもらえると幸いです・・。
No.7706 - 2009/08/30(Sun) 21:05:34
★ 教えてください☆ / たかし
aは正の実数とする。ｘｙ平面において、2曲線
　　　ｙ＝ｘ（ｘ−a）、ｘ＝ｙ（ｙ−a＾2）
は、原点以外に異なる3交点をもつように変化する。このとき、それら3点を頂点とする三角形の重心の軌跡を求めよ。

のとき方を教えてください。
お願いします
No.7701 - 2009/08/30(Sun) 18:22:47
☆ Re: 教えてください☆ / のぼりん
こんばんは。
　　　ｙ＝ｘ（ｘ−ａ）＝ｘ２−ａｘ　　 …　〔１〕
　　　ｘ＝ｙ（ｙ−ａ２）＝ｙ２−ａ２ｙ　…　〔２〕
の交点の ｘ 座標は、両式から ｙ を消去し、
　　　ｘ＝（ｘ２−ａｘ）２−ａ２（ｘ２−ａｘ）＝ｘ４−２ａｘ３＋ａ３ｘ
　　　ｘ（ｘ３−２ａｘ２＋ａ３−１）＝０　…　〔３〕
の解です。 〔３〕 から定まる ｘ を 〔１〕 に代入し、対応する ｙ 座標が一意に定まります。 従って、〔１〕 と 〔２〕 が原点以外に異なる ３ 交点を持つためには、
　　　ｆ（ｘ）＝ｘ３−２ａｘ２＋ａ３−１
とおいたとき、ｆ（ｘ）＝０ が異なる ３ 実解を持つことが必要十分です。
　　　ｆ’（ｘ）＝３ｘ２−４ａｘ＝ｘ（３ｘ−４ａ）
　　　ｆ（０）＝ａ３−１
　　　ｆ（４ａ/３）＜０
を使い、増減表を描き、ｆ（ｘ）＝０ が異なる ３ 実解を持つためには、ａ＞１ が必要十分であることを確認します。 このとき、この ３ 実解の平均 Ｘ は、解と係数の関係式より
　　　Ｘ＝２ａ/３　（Ｘ＞２/３）　…　〔４〕
です。 この ３ 実解に対応する ｙ 座標の平均 Ｙ は、〔１〕 と 〔２〕 の対称性より、
　　　Ｙ＝２ａ２/３　…　〔５〕
です。 〔４〕 と 〔５〕 から ａ を消去し、
　　　Ｙ＝３Ｘ２/２　（Ｘ＞２/３）
が求める軌跡の方程式です。

計算は苦手なので、途中に誤りがあるかも知れません。 ご自分で検算しつつ良くご確認下さい。
No.7703 - 2009/08/30(Sun) 19:19:49
☆ Re: 教えてください☆ / たかし
よくわかりました
ありがとうございました☆
またいつかお願いします。
No.7707 - 2009/08/30(Sun) 21:09:54
☆ Re: 教えてください☆ / たかし
この ３ 実解に対応する ｙ 座標の平均 Ｙ は、〔１〕 と 〔２〕 の対称性より、
　　　Ｙ＝２ａ２/３　…　〔５〕
を説明してくれませんか？
おねがいします

No.7709 - 2009/08/30(Sun) 21:32:54
☆ Re: 教えてください☆ / のぼりん
先ず、
＞　　　Ｙ＝２ａ２/３　…　〔５〕
の様な単純コピペはご遠慮下さい。 これだと Ｙ＝２ａ２/３＝４ａ/３ の意味になってしまいます。 タグを使って Ｙ＝２ａ２/３ と書くか、Ｙ＝２ａ＾２/３ の様に記載いただいた方が良いと思います。

「対称性」は、〔１〕と〔２〕は、ｘ⇔ｙ、ａ⇔ａ２ を入れ替えると夫々の式も入れ替わるので、Ｙ についても上の計算がそっくり適用でき、その結果は Ｙ＝２ａ２/３ となる、という意味です。
No.7710 - 2009/08/30(Sun) 21:43:21
☆ Re: 教えてください☆ / たかし
わかりました。
しかし、指数の表記（入力）の仕方がわかりません(-д-；)
No.7734 - 2009/08/31(Mon) 19:35:19
★ 高?@数学 / ちゃこ
1、次の式を展開せよ。

1、(x-1)(x+2)(x+1)(x-2)

2、(a+b)^3(a-b)^3

3、(a+b)(a-b)(a^2+b^2)
(a^4+b^4)

4、(a+b)(a-b)(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)

2、因数分解せよ。

1、x^3-3x^2
2、(a-b)^2-a+b
3、 ax+bx+a+b
4、 2ax-ay-2bx+by
5、25a^2-10a+1
6、5x^2-10x+5

因数分解がどうも苦手で解けません・・。
No.7700 - 2009/08/30(Sun) 17:30:15
☆ Re: 高?@数学 / ヨッシー
苦手なのは、ひとえに訓練不足です。
そういう人に、答えをそのまま書くと、余計苦手になるので、
ヒントだけ。
展開は、多少楽になる方法もありますが、要は、カッコを
外そうという気力の問題だけですので、サクッと飛ばして、

因数分解の第一歩は、共通因数でくくることです。
1. ｘでくくって、
　x^3-3x^2＝x(x^2-3x)
　x^2-3x をさらに因数分解します。
2.(a-b)^2-a+b＝(a-b)^2-1(a-b)
　共通因数は？
3.ｘでくくれるものはくくってしまいましょう。
4.ｘでくくり、ｙでくくり、さらに２をカッコの外に出すと
　共通因数が見えてきます。
5. x^2-2xy+y^2＝(x-y)^2 の公式を使います。
6. 共通因数は５です。
No.7713 - 2009/08/30(Sun) 21:59:51
★ 中3数学 / みかん
長方形ＡＢＣＤと同じ平面上の任意の点をＰとするとき、等式ＰＡ２乗＋ＰＣ２乗＝ＰＢ２乗＋ＰＤ２乗が成り立つことを証明せよ。
計算が簡単になるように座標軸を定めるとあるのですが、よくわかりません。ご教授お願いします。
No.7697 - 2009/08/30(Sun) 13:13:33
☆ Re: 中3数学 / のぼりん
こんにちは。
　　　ＡＢ＝ＣＤ＝ｂ、　ＡＤ＝ＢＣ＝ｄ
とおき、座標系を Ａ（０，０）、Ｂ（ｂ，０）、Ｃ（ｂ，ｄ）、Ｄ（０，ｄ） となる様に取ります。
Ｐ（ｘ，ｙ） とおくと、三平方の定理により、
　　　ＰＡ２＋ＰＣ２
　　　＝ｘ２＋ｙ２＋（ｘ−ｂ）２＋（ｙ−ｄ）２
　　　＝（ｘ−ｂ）２＋ｙ２＋ｘ２＋（ｙ−ｄ）２
　　　＝ＰＢ２＋ＰＤ２
です。
No.7698 - 2009/08/30(Sun) 15:08:39
★ 化学（無機分野) / ハオ
今、化学の復習をしていて間違った問題があります。
アルカリ金属元素の融点は（ a )く、以下続く
aに適語を入れろというものです。
僕は化学?T?Uの新研究という参考書で
Liの融点は180℃,Naの融点は98℃と記憶していて勝手な判断でしたが、水の融点が0℃なので高いと判断してしまいたが
答えは低いでした。
ここで疑問なのですが何を以てして融点を低いと定め又は高いと定めるのでしょうか？ご教授の程お願いいたします。
No.7692 - 2009/08/30(Sun) 11:45:36
☆ Re: 化学（無機分野) / ハオ
追記です。
angelさん物理の質問についての返答感謝いたします。
ここは投稿しても上がらないので一応ここにも書いておきます。下の方に詳しくお礼を書いておいたので見てください。
No.7693 - 2009/08/30(Sun) 11:47:48
☆ Re: 化学（無機分野) / angel
まあ、問題文が曖昧だと言ってしまえば終わりなのですが、単体の金属の話をしているところなので、「単体の金属同士の比較」で考えるものでしょう。
※水は化合物ですからね

で、単体の金属の場合、価電子が少ないと結合が弱くなりますので、融点が低くなります。また軟らかくもなりますね。
※単体のNaなんて、ナイフで切れたりしますから

P.S. お礼拝見しました。丁寧にありがとうございます。問題の解説を、元の質問の続きとして載せましたので、ご覧下さい。もし更に疑問が出てきたら、今度は新しく質問を挙げなおして頂いた方が良いかもしれません。
No.7694 - 2009/08/30(Sun) 12:38:49
☆ Re: 化学（無機分野) / ハオ
本当に感謝致します。
物理の件は素晴らしすぎて office wordに保存させて頂きました。
化学についても納得する事ができました。
これからも何卒よろしくお願い致します。
No.7699 - 2009/08/30(Sun) 17:20:18
★ 数?V / 英

おはようございます。

積分法の面積の範囲なのですが、
x^3-3x=2 つまり (x+1)^2(x-2)=0
となっているのですが、因数定理を使ってもうまく出来なかったのですが、どのように分解すればいいのでしょうか？
どなたかご指導宜しくお願いします。
No.7690 - 2009/08/30(Sun) 10:30:36
☆ Re: 数?V / angel
x^3-3x=2
⇔ x^3-3x-2=0
⇔ (x+1)^2・(x-2)=0

という因数分解の所でしょうか?
定数項が -2 なので、約数である ±1, ±2 を代入してみると、ちょうど方程式が成立するのが x=-1, 2 となります。
ということで、(x+1), (x-2) を因数に持つと分かり、因数分解ができると思いますが…。
※因数定理そのままですね。
No.7695 - 2009/08/30(Sun) 12:49:00
☆ Re: 数?V / 英

なるほど!
あっさり解けました!
本当にありがとうございます!!
No.7702 - 2009/08/30(Sun) 18:59:38
★ 解けませんでした。。 / ラージX
問題）k,ｍを実数とする。
2次方程式x^2+kx＋m=0が異なる二つの実数解α、βをもち
α^2+β^2＜６を満たすとしたときkのとりうる範囲を求めよ。

解）異なる2実解をもつのでD＞０⇔ｍ＜k^2/4・・?@

解と係数の関係より
α^2+β^2＜６⇔k^2/2-3<m・・・?A

ここで?@?Aを満たす実数k、mが存在するためのkの条件が
?Aの左辺＜?@の右辺となることがわかりせん。

不等式を?Aの左辺＜?@の右辺とできるのは確かに中学生でもできます。（私は高校生ですが）
一目瞭然で分かります。

しかし?@?Aを満たす実数k、mが存在するためのkの条件が
?Aの左辺＜?@の右辺となることがわからないのです。
数学?V・Cも終え、重要問題は一通り全て解きあげ
自信がついたと思ったのですが、正直分かりません。
簡単な問題集の問題なので出題者としては簡単な問題としているのかもしれませんが、これは突き詰めるとある意味難問だと思います。どなたか教えてください。
No.7684 - 2009/08/30(Sun) 07:14:55
☆ Re: 解けませんでした。。 / ヨッシー
以下、ｋ、ｍは実数とします。

ｍ＜k^2/4・・?@
k^2/2-3＜ｍ・・・?A

?@?Aを満たすｋ、ｍが存在するなら、
　k^2/2-3＜ｍ＜k^2/4
より、明らかに
　k^2/2-3＜k^2/4
です。(ここまでは蛇足です)
また、
　k^2/2-3＜k^2/4
を満たすｋが存在すれば、
　k^2/2-3＜ｍ＜k^2/4
を満たすｍが必ず存在します。

ひょっとして、どんなｍについても、条件を満たすｋ
と考えていませんか？
No.7686 - 2009/08/30(Sun) 07:52:44
☆ Re: 解けませんでした。。 / らーじX
ちょっとよく分からないです。
例えば他の問題でkのとりうる範囲を求めよとあって
（ｋの式）＜何らかの式＜ｋの式
とあれば即座にこれを答えとしていいのですか？
必要条件に過ぎないのではないかという疑問があります。
No.7705 - 2009/08/30(Sun) 20:13:26
☆ Re: 解けませんでした。。 / ヨッシー
（ｋの式１）＜ｍ^2＜(ｋの式２)
なんかだと、
（ｋの式１）＜(ｋの式２)
だけではダメで、
　０≦（ｋの式１）＜(ｋの式２)
のようなことになります。

この問題は、上の
>k^2/2-3＜k^2/4
>を満たすｋが存在すれば、
>　k^2/2-3＜ｍ＜k^2/4
>を満たすｍが必ず存在します。
が十分性の説明ですが、
　k^2/2-3＜k^2/4
だけで、必要十分になります。
No.7712 - 2009/08/30(Sun) 21:51:07
☆ Re: 解けませんでした。。 / らーじX
（ｋの式１）＜ｍ^2＜(ｋの式２)
なんかだと、
（ｋの式１）＜(ｋの式２)
だけではダメで、
　０≦（ｋの式１）＜(ｋの式２)
のようなことになります。

とありますが、なぜですか？(ｋの式２)が0以上というのは分かりますけど。。
No.7714 - 2009/08/30(Sun) 22:55:22
☆ Re: 解けませんでした。。 / ヨッシー
あ、間違えました。
（ｋの式１）＜(ｋの式２)
かつ
０＜(ｋの式２)
です。
No.7716 - 2009/08/31(Mon) 06:50:45
★ おかしいです / yatsuhashi
xの方程式(x+1)(x^2-2ax+(2/5)a^2+(4/5)a+3)=0が重解を持つようなaの値を求めよ。

略解）
x^2-2ax+(2/5)a^2+(4/5)a+3＝０・・・?@
１）重解がx=-1のとき
?@にｘ＝−１を代入してa=-2,-5
2)重解がx≠ー１のとき
?@の判別式＝０よりa=-3,-5/3
でいきなりこれが答えになっているのですが
２）は本来ならD=0かつ（?@にｘ＝−１を代入した値）≠０
なのでa=-3,-5/3（a≠-2,-5をみたす）と書くべきですよね？？つまり逆にすれば

１）重解がx≠ー１のとき
?@の判別式＝０より計算してa=-3,-5/3
（?@にｘ＝−１を代入した値）≠０より計算して
a≠-2,-5

よってa≠-2,-5をみたすのでa=-3,-5/3

２）重解がx=-1のとき
１）?@にｘ＝−１を代入してa＝-2,-5（ただし１）より）

とできますよね？教えてください
No.7682 - 2009/08/30(Sun) 06:28:11
☆ Re: おかしいです / ヨッシー
１）重解がx=-1のとき
２）重解がx≠ー１のとき
と分けると、確かにそう言うことになりますね。

普通は、
１）?@がｘ＝−１ を解に持つとき
２）?@が重解になるとき
で分けます。ｘ＝−１ が?@の重解である時は、同じａの値が
求められるだけです。
No.7685 - 2009/08/30(Sun) 07:40:20
★ 4次方程式？？ / グレープ
方程式√ｌx-1ｌ＝lｘ−ｋlが異なる4つの実数解を持つとき実数の定数kのとりうる値の範囲を求めよ

両辺を二回二乗して
二次方程式の積に因数分解してみましたが
其々の判別式を＞０としても
一致する解が出てくるため
これだけでは不十分のようです。

回答解説をどうかよろしくお願いします。
No.7674 - 2009/08/29(Sat) 08:51:52
☆ Re: 4次方程式？？ / 七
ｙ＝√ｌx-1ｌ
のグラフが描けるなら
これと
ｙ＝lｘ−ｋl
のグラフが異なる4つの共有点をもつ場合を考えてはどうですか？
No.7675 - 2009/08/29(Sat) 10:02:14
☆ Re: 4次方程式？？ / angel
＞ 其々の判別式を＞０としても
＞ 一致する解が出てくるため
＞ これだけでは不十分のようです。

いえ、それだけでも実は解けます。
ただし、k=1 だけは除かなければなりません。

k=1 の場合、x=1 が一致する解になるためN.G.なのですが、k≠1 であれば、一致する解はでてきません。その理由を考えてみて下さい。
※y=x-1、y=1-x、y=(x-k)^2 のグラフを、k＞1、k＜1 それぞれで場合分けして描いてみるのも良いでしょう
No.7678 - 2009/08/29(Sat) 21:51:27
☆ Re: 4次方程式？？ / グレープ
わかりません。。
No.7704 - 2009/08/30(Sun) 19:57:39
☆ 図を描いてみましょう / angel
まず前提として。
方程式を平方した形 |x-1|=(x-k)^2 というのは、
　x-1 = (x-k)^2 または 1-x = (x-k)^2
と同値です。
ということは、グラフとしては、
　放物線 y=(x-k)^2 と直線 y=x-1
　同じ放物線と直線 y=1-x
の交点に着目することになります。
今、それぞれの方程式の判別式が正、つまりそれぞれ2実数解を持つ、という状況を考えます。

ということで、k＞1 の場合のグラフを描いてみます。
すると、放物線と y=x-1 の交点 ( 図中の青い点 ) は、x＞1 つまり 1 より右側にできています。
逆に、放物線と y=1-x の交点 ( 図中の赤い点 ) は、x＜1 つまり 1 より左側にできています。

なぜなのか? それは、放物線の位置関係からして、y＞0 の領域 ( x軸の上側 ) にしか交点ができないためです。
それぞれの直線で x軸の上側にある部分は…と考えれば良いです。

これより、交点同士が一致することはありません。 かたや1より大、かたや1より小なのですから。

ただ、k=1 の時はこの話が成立しませんので、注意してください。
あくまで、k≠1 のおかげで、x=1,k で交点ができない、という条件があるため成立しているのです。

なお、k＜1 の場合の図については、ご自分で描いて確かめてみてください。
No.7715 - 2009/08/30(Sun) 23:21:33
★ 全然分かりません・・ / 数学をがんばりたい人
pが3より大きい素数のとき、p2-1は24の倍数であることを、証明せよ。

　解）ｐ2−１＝（ｐ−１）（ｐ＋１）
　ｐは２で割り切れないので、
　　ｐ−１≡０、ｐ＋１≡２ (mod 8)　このとき　（ｐ−１）（ｐ＋１）≡０ (mod 8)
　または　ｐ−１≡２、ｐ＋１≡４ (mod 8)　このとき　（ｐ−１）（ｐ＋１）≡８≡０ (mod 8)
　または　ｐ−１≡４、ｐ＋１≡６ (mod 8)　このとき　（ｐ−１）（ｐ＋１）≡２４≡０ (mod 8)
　または　ｐ−１≡６、ｐ＋１≡０ (mod 8)　このとき　（ｐ−１）（ｐ＋１）≡０ (mod 8)
　よって、いずれの場合も （ｐ−１）（ｐ＋１）≡０ (mod 8)
　ｐは３で割り切れないので、
　　ｐ−１≡１、ｐ＋１≡０ または ｐ−１≡０、ｐ＋１≡２ (mod 3)
　であり、いずれの場合も、（ｐ−１）（ｐ＋１）≡０ (mod 3)
　以上より、　ｐ2−１ は８でも３でも割り切れるので、２４の倍数である

とありますが、
ｐは２で割り切れないので〜、と
ｐは３で割り切れないので〜以降の
合同式の作り方が全般的にわかりません。
（ｐは３で割り切れないからといってなんで
　　ｐ−１≡１、ｐ＋１≡０ または ｐ−１≡０、ｐ＋１≡２ (mod 3)なのか、など）

（合同式の計算法則は知っています）

どうかよろしくお願いします。
No.7671 - 2009/08/29(Sat) 06:17:21
☆ Re: 全然分かりません・・ / ヨッシー
合同式は、何で割っていくつ余るということを、確認しながら
式を作りましょう。

ｐは２で割れないので、８で割ると、余りは１，３，５，７のいずれかです。
ｐを８で割ったときに、
　１余るとき　ｐ−１は割り切れ、ｐ＋１は２余ります。
　３余るとき　ｐ−１は２余り、ｐ＋１は４余ります。
　５余るとき　ｐ−１は４余り、ｐ＋１は６余ります。
　７余るとき　ｐ−１は６余り、ｐ＋１は割り切れます。
ｐは３で割り切れず、そのときの余りは、１か２です。
ｐを３で割ったときに、
　２余るとき　ｐ−１は１余り、ｐ＋１は割り切れます。
　１余るとき　ｐ−１は割り切れ、ｐ＋１は２余ります。
これらのことを、合同式で書いたのが上の解答です。
No.7672 - 2009/08/29(Sat) 08:13:41
☆ Re: 全然分かりません・・ / 数学をがんばりたい人
ありがとうございました。そのことは理解しました。

別の疑問点ですが
なぜpが２で割り切れないことと
３で割り切れないことに着目したのですか？
何か理由があるのですか？
それとも適当に小さい数から順番に２，３としたのですか？
（１ではどれも割れるので次に２，３といった風に）

よろしくお願いします。
No.7673 - 2009/08/29(Sat) 08:41:05
☆ Re: 全然分かりません・・ / ヨッシー
２４で割れることを示したいので、その素因数である、
２と３について調べます。
たとえば、５で割れても割れなくても、２４で割れることとは
何の関係もありません。
No.7677 - 2009/08/29(Sat) 13:41:32
☆ Re: 全然分かりません・・ / グレープ
２４で割れることを示したいので、その素因数である、
２と３について調べます、の理由が分かりません。
p^2-1が2で割れてかつ３で割れてもｐが２４で割れるとは限りません。

よろしくお願いします。
No.7681 - 2009/08/30(Sun) 02:07:59
☆ Re: 全然分かりません・・ / ヨッシー
目標は８でも３でも割り切れることです。
８で割り切れることを調べるときに、
ｐが８で割って、
　割り切れるとき
　１余るとき
　２余るとき
　３余るとき
　４余るとき
　５余るとき
　６余るとき
　７余るとき
と調べるのが、もっとも愚直な方法ですが、
ｐは２で割り切れないので、
　割り切れるとき
　２余るとき
　４余るとき
　６余るとき
は、あり得ないのです。ここのところで、２を使っているだけで、
解答の本質は、８で割れるかを調べています。
No.7683 - 2009/08/30(Sun) 07:06:17
☆ Re: 全然分かりません・・ / 数学をがんばりたい人
わかりました。ありがとうございました。
ところでpは5以上の素数なので
ｐは２、３、４で割り切れない
ｐは５で割り切れるかはわからない（ｐ＝５のときのみ割り切れる）
ｐは6で割り切れれるかはわからない（ｐ＝６のときのみ割り切れる）

ｐは７で割り切れるかはわからない（ｐ＝７のときのみ割り切れる）
ｐは８で割り切れるかはわからない（ｐ＝８のときのみ割り切れる）
といった状況ですよね？
No.7691 - 2009/08/30(Sun) 10:46:12
☆ Re: 全然分かりません・・ / angel
＞ ｐは6で割り切れれるかはわからない（ｐ＝６のときのみ割り切れる）
＞ ｐは８で割り切れるかはわからない（ｐ＝８のときのみ割り切れる）

pが素数であれば、6でも8でも割り切れませんよ。
5,7については合っていますが。
No.7696 - 2009/08/30(Sun) 13:11:45
★ 平面図形 / cup
以前この掲示板で平面図形の公式というか計算結果的なものの一覧（扇形とか台形とか色々ありました）を紹介してあったのを思い出したのですが、
覚えている方がいれば教えてもらえないでしょうか。
No.7666 - 2009/08/29(Sat) 00:21:11
☆ Re: 平面図形 / ヨッシー
こちらで紹介した、これでしょうか？
No.7670 - 2009/08/29(Sat) 04:52:17
★ 特別な平面の方程式 / たく
空間にA(−2,0,0）B(0,2,0)C(0,0,2)D(2,-1,0)がある。
点Dから平面ABCに下ろした垂線の足Hを求めよ

これをx/a+y/b+z/c=1（ｘ軸、y軸、Z軸のｙ切片がa,b,cの平面）と点と平面の距離の公式を使った解法を教えてください。問題集などにはこの解法はなかなか載っていないので
途中を省略せずに解答解説の流れを一通り最初から最後まで書いてもらえると助かります。よろしくおねがいします。
No.7661 - 2009/08/28(Fri) 21:14:04
☆ Re: 特別な平面の方程式 / ヨッシー
まず、ＡＢＣを通る平面の式は、上の公式通り、
　-x/2+y/2+z/2=1
です。両辺２を掛けて
　-x+y+z-2=0　・・・(1)
としておきます。また、この平面の法線ベクトルの１つは
(-1,1,1) で、その大きさは√(1^2+1^2+1^2)＝√3 です。

一方、点Ｄから、(1) までの距離は、距離の公式より、
　|-2-1+0-2|/√3＝5/√3＝(5/3)√3
よって、求める点Ｈは、点Ｄから、平面(1) の法線方向に
(5/3)√3進んだ位置にあります。
法線方向で、大きさ(5/3)√3のベクトルは
(-1,1,1) の 5/3 倍なので、
(-5/3,5/3,5/3) または (5/3,-5/3.-5/3)
点Ｄ(2,-1,0) にこれらを足した
　(1/3,2/3,5/3)、(11/3,-8/3,-5/3)
のうち、平面(1)上にあるのは、(1/3,2/3,5/3)・・・答え
No.7663 - 2009/08/28(Fri) 23:35:33
☆ Re: 特別な平面の方程式 / たく
ヨッシーさんありがとうございました。ところで、
x/a+y/b+z/c=1（ｘ軸、y軸、Z軸のｙ切片がa,b,cの平面）
が使えるときはこの回答が最速ですか？（距離の公式を無理やり使うというくくりを無くした場合は、という意味です）

どうかよろしくお願いします。
No.7664 - 2009/08/28(Fri) 23:48:37
☆ Re: 特別な平面の方程式 / angel
解答としての書きやすさを考えるなら、ベクトルの計算に持ち込んだ方がやりやすそうですが…。

　平面ABCの方程式は、-x+y+z-2=0、法線ベクトル ↑n=(-1,1,1)
　↑DH=t↑n なる t が存在するため、↑OH=↑OD+↑DH=(2-t,t-1,t)
　Hが平面ABC上にあるため、-(2-t)+(t-1)+t-2=0 ゆえに t=5/3
　これより H の座標は (1/3,2/3,5/3)

結局やっていることは似ていますけどね。
解の候補が2つあるところから削るよりは、最初から解が1つなのでわかり易い、というのもあります。
※距離の公式を使う場合でも、解を最初から1つに絞ることはできるのですが、解答として説明を書くが面倒くさそう
No.7668 - 2009/08/29(Sat) 01:17:29
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