円周とアステロイドの長さの求め方の違いについてです。
よろしくお願いします。
曲線の長さを求める公式となぜそのような公式が導かれるのかについては、教科書の説明をきちんと読んで理解しました。その考え方に基づいて、下の問題を解いたのですが、アステロイドの長さについては正しい計算結果が得られませんでした。
問 媒介変数で表された次の曲線L1, L2の長さを求めよ。
(1) 円 x = rcost, y = rsint (0≦t≦2π)
(2) アステロイド x = (cost)^3, y = (sint)^3 (0≦t≦2π)
(1)では、x'=-rsint, y'=rcost より
L1=∫[0,2π]√{(-rsint)^2} + {(rcost}^2} dt
=∫[0,2π]√r^2{(sint)^2 + (cost)^2} dt
=r∫[0,2π]dt
=r[t][0,2π]
=2πr
(2)では、x'=-3sint*(cost)^2, y'={3(sint)^2}*cost より
L2=∫[0,2π]√{-3sint*(cost)^2}^2 + [{3(sint)^2}*cost]^2 dt
=∫[0,2π]√9{(sint)^2}*(cost)^4 + 9{(sint)^4}*(cost)^2 dt
=3∫[0,2π]√{(sint)^2}*(cost)^4 + {(sint)^4}*(cost)^2 dt
=3∫[0,2π]√{(sint)^2}*{(cost)^2}[{(sint)^2}+{(cost)^2}] dt
=3∫[0,2π]√{(sint)^2}*{(cost)^2} dt
0≦t≦2πで、{(sint)^2}*{(cost)^2}≧0 なので
L2=3∫[0,2π]√sintcostdt
=3∫[0,2π]√(1/2)*2sintcostdt
=(3/2)∫[0,2π]sin2tdt
=(3/2)[(1/2)(-cos2t)][0,2π]
=(3/2)[-(1/2)cos2t][0,2π]
=-(3/4)[cos4π-cos0]
=0
(1),(2)ともに、それぞれ原点を中心としｘ軸、ｙ軸の両方に関して対象なので、第１象限の長さを求めてそれを４倍すると考えると、それぞれ以下のようになりました。
(1)は、L1=4*∫[0,(1/2)π]√{(-rsint)^2} + {(rcost}^2} dt = 2πr
(2)は、L2=4*∫[0,(1/2)π]√{-3sint*(cost)^2}^2 + [{3(sint)^2}*cost]^2 dt = 6
(1)では、円周全体を一括して求めても、第１象限の長さを求めてそれを４倍しても同じ結果になりました。しかしながら、(2)については、第１象限の長さを求めてそれを４倍することはできましたが、アステロイドの長さを一括して求めることができませんでした。この違いが分かりません。
また、(2)の模範解答では、答案の冒頭部分で、「ｘ軸、ｙ軸に関する対称性を考えて、第１象限の部分の長さを求めて４倍する」と断ってから解答していますが、(1)では、何の断りもなく、(0≦t≦2π)について第１象限の部分から第４象限の部分まで一括して計算しています。
まとめると質問は以下の３点です。
１．なぜ、(1)では、第１象限の部分の長さを求めて４倍する方法をとらないのか。
２．なぜ、(2)で全体と一括して求めると正しい答えが導けないのか。
３．ｘ軸、ｙ軸に関して対称な曲線でもこのように一括して全体の長さを求めることができる場合と、４等分して４倍する方法を使わないといけない場合があるとすれば、その違いの基準はどこか。
根本的なところを理解していないことから生じた疑問かもしれません。よろしくお願いします。
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No.8223 - 2009/10/03(Sat) 10:13:33
| ☆ Re: 円周とアステロイドの長さの求め方の違いについて / ヨッシー  | | | L2＝=3∫[0,2π]√{(sint)^2}*{(cost)^2} dt
までは問題ありません。
次に、ルートを外すわけですが、これが、
sinｔcosｔ になるか、−sinｔcosｔ になるかは
ｔの範囲によって、場合分けして、それぞれで積分しないといけません。
円の方は、全周にわたって一定なので、一括して積分出来ます。
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No.8224 - 2009/10/03(Sat) 10:44:26 |
| ☆ Re: 円周とアステロイドの長さの求め方の違いについて / Kay(高２女子） | | | ありがとうございます！
「0≦t≦2πで、{(sint)^2}*{(cost)^2}≧0 なので」が間違いでした。一般に√a^2=|a|ですが、√a^2=a が成り立つのは、a≧0 の場合でした。
場合分けが必要ですね。
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No.8227 - 2009/10/03(Sat) 17:03:24 |
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