ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ じゅず / aki

こんばんは。
今日も質問お願いします！

基礎的な問題ですみませんがお願いします

白玉4こ黒玉3こ赤玉一個を円形に並べてさらにこれらの玉に紐を通して輪を作る方法は何通りか

まず円の並べ方は35でした。
次に左右対称のものを考えると三つありました。
ここからなのですが、この左右対称なものが35の内に2こずつ含まれていると思い
35－2×3で29と答えにしましたが、正答は違うようで、左右対称のものを35からひいて2で割っていて、私とは考え方が逆のようでした。

1年生のとき理解したのに、またわからなくなり悲しいです。
手持ちの参考書で類題を見つけられませんでしたので、どなたか易しく教えて下さい、宜しくお願いします。

No.8429 - 2009/10/14(Wed) 17:51:58

☆ Re: じゅず / rtz

目的が何なのか理解していますか？

ダブったものを排除するためですよね？
もっと言えば
「左右対称でないものは裏返すことで必ずダブりが出るから一方は取り除く」んですよね？
本当に35通りの中に"左右対称で、かつダブってるもの"はありますか？

そもそも2個ずつ含まれているというなら、
1個は残しておかなければならないのですから、
2倍を引く意味は何なのでしょうか。

よく考えてみてください。

No.8431 - 2009/10/14(Wed) 18:44:38

☆ Re: じゅず / ヨッシー

いきなり８個だと荷が重いので、
白２個、黒１個、赤１個くらいで考えればどうですか？

No.8437 - 2009/10/14(Wed) 21:33:39

☆ Re: じゅず / aki

理解できました。
非対称のものにダブりがありますね。
本当にありがとうございました。

No.8445 - 2009/10/15(Thu) 15:17:09

★ 分数で与えられた漸化式の一般項 / 涼流

漸化式の一般項を求める問題です。

a[1] = 4 …… #1,
a[n+1] = (4a[n] - 9)/(a[n] - 2) …… #2
のような漸化式ならば、#2を満たす数列をf[n] = kと置いて、
k = 3を導いて解けたのですが、

a[n+1] = (2a[n] - 1)/(a[n] + 1) …… #3
だと虚数解が出て来てしまい、解けません。

調べてみると、
a[5] = -0.11111111111111123;
a[6] = -1.3750000000000007;
a[7] = 9.999999999999986;
a[8] = 1.7272727272727268;
a[9] = 0.8999999999999999;
a[10] = 0.4210526315789473;
が繰り返している数列のようです。
#2の漸化式では3に収束するような形でした。

このように、より一般的な分数の形の漸化式を解く方法はないのでしょうか?
入試には出ないかも知れませんが、色々と考えたのですが分からないので
出来ればヒントなど参考になる方法をご教授願いたいと思います。

お時間がありましたら、どうか宜しくお願いします。

No.8422 - 2009/10/13(Tue) 22:48:06

☆ Re: 分数で与えられた漸化式の一般項 / らすかる

虚数解が出たら、虚数解のまま解いていけばよいのでは？
数列が実数でも一般項に虚数が登場することはあります。

No.8423 - 2009/10/14(Wed) 00:18:32

☆ Re: 分数で与えられた漸化式の一般項 / ast

一次分数変換 (メビウス変換) はガウス平面 (に無限遠点を加えたもの) や上半平面で考えるのが自然なので, その不動点である特性方程式の解が一般に複素数となることにそれほど驚かなくても大丈夫です.

とりあえず行列を使うことに抵抗が無いのであれば, 適当に検索してみたところ入試レベルの解説で手ごろそうなのが, たとえばこのへんとかこのへんあたりに見つかります (いずれもPDFファイルですので誤クリック注意) . まあきっちり読みこなそうと思えば大学初年度級の線型代数の知識があったほうがいいと思いますが.

No.8427 - 2009/10/14(Wed) 04:18:28

☆ Re: 分数で与えられた漸化式の一般項 / 涼流

どうも分かり易いサイトを紹介いて頂き、ありりがとうございました。

複素数がでてしまっても、解き進めれば一往解が出るのですね^^;
唯、余りにも複雑すぎて途中で挫折しました;

云われてみれば、兎に角計算して実数になればいいので複素数が出てもおかしくはないですよね。

どうもありがとうございました。これからも躓いた時に助けて頂けると嬉しいです

No.8441 - 2009/10/15(Thu) 00:21:32

★ (No Subject) / ぽんた

空間図形の問題です
ヒントだけでもいただけたら幸いです
　
xyz空間に、連立不等式
　x^2+y^2+z^2≦1
z≧0
であらわされる領域Dと点A(1,0,√3)がある。
　点PがD全体をくまなく動くとき、線分APが通過してできる領域の体積を求めよ。
　
　ヒントだけでもおねがいします。
　

No.8419 - 2009/10/13(Tue) 20:56:59

☆ Re: / ヨッシー

図は、ｙ軸の方向から見た図です。
このように、半球に、円すいの帽子をかぶせたような形になります。
円すいは、底面の半径が√3/2、高さ3/2。
円すいは、球に、半径の半分まで食い込んでいます。

No.8420 - 2009/10/13(Tue) 21:56:17

☆ Re: / ぽんた

図はイメージできたんですが、これがきれいで歪んでない円錐だということはどうやって自分のなかであきらかにできますか？どうして底面が（そもそも面になること自体が理屈では確信持てません）円になるとわかるのでしょうか？
少し角度を変えて見てみようとすると、頭の中での処理に困るのです。

No.8421 - 2009/10/13(Tue) 22:12:41

☆ Re: / ヨッシー

上の図を少し変えました(Ｂ、Ｃを追加)

この問題、点Ａから、球に向かって引いた接線の集合で出来る
円すいがポイントというところまでは良いですか？
（円すいであるかどうかは、今から説明します）
球がｘｙ平面で半分に切られますが、円すいにはギリギリ触れないので
とりあえず無視します。

Ａから球に引いた任意の接線の、球との接点をＢとすると
ＯＡ＝２、ＯＢ＝１（半径）、∠ＡＢＯ＝90°
より、ＡＢ＝√3
Ｂから、ＡＯに引いた垂線の足をＣとすると、
　ＡＣ：ＣＯ＝ＡＢ^2：ＯＢ^2＝３：１
より、ＯＣ＝1/2 また、ＣＢ＝√3/2
これは、点Ｂがどの位置にあってもなりたつので、
点Ｂは点Ｃを通り、ＡＯに垂直な平面上で、点Ｃを中心とした
半径√3/2 の円上にあります。

No.8426 - 2009/10/14(Wed) 03:54:49

☆ Re: / ぽんた

点Ｂがどの位置にあってもなりたつ」んですか？
それと、ＡＣ：ＣＯ＝ＡＢ^2：ＯＢ^2＝３：１
とありますが、なぜでしょうか
AC:CO=OA:OBならわかるんですが

No.8435 - 2009/10/14(Wed) 20:55:18

☆ Re: / ヨッシー

点Ｂがどこにあっても成り立ちます。
点Ｂ（点Ａから球に引いた接線の接点）を適当にとって、
ＡＯＢを通る平面で切ると、上のような図になります（ｘ軸、ｚ軸は違いますが）。

△ＡＣＢと△ＢＣＯは相似なので、
　△ＡＣＢ：△ＢＣＯ＝ＡＢ^2：ＯＢ^2
（面積比は、相似比の２乗）
一方、
　△ＡＣＢ：△ＢＣＯ＝ＡＣ：ＣＯ
（高さ＝ＣＢ共通の時、面積比は底辺比）
より、
　ＡＣ：ＣＯ＝ＡＢ^2：ＯＢ^2
です。わかりにくければ、実際の長さで、
ＯＢ＝１，ＯＡ＝２，ＯＣ＝ＯＢ÷２＝0.5
ＡＣ＝ＯＡ－ＯＣ＝1.5
よって、ＡＣ：ＣＯ＝1.5：0.5＝3：1
としても良いです。

ちなみに、AC:CO=OA:OB は誤りです。

No.8436 - 2009/10/14(Wed) 21:23:46

☆ Re: / ぽんた

わかりました
丁寧な解説ありがとうございました

No.8439 - 2009/10/14(Wed) 23:03:32

★ 証明 / aki

こんばんは！
いつもありがとうございます。
宜しくお願いします。
関数y=f(x)の第二次関数f''(x)の値が常に正とする
このとき実数a b t (a＜b 0≦t≦1)について不等式f((1－t)a＋tb)≦(1－t)f(a)＋tf(b)が成り立つことを示せ
また等号が成り立つのはどのような場合か

まずg(t)=(1－t)f(a)＋tf(b)－f((1－t)a＋tb)とおき0≦t≦1でg(t)≧0を示そうとすると
g'(t)=－f(a)＋f(b)＋(a－b)f((1－t)a＋tb)
g''(t)=(－a＋b)f''((1－t)a＋tb)＞0
(b－a＞0とf''(x)＞0より)
まで証明しました。
ここから単調増加を使っていこうとしましたが、
g''(0)=(－a＋b)f''(a)＞0
g''(1)=(－a＋b)f''(b＞0)
でg'(t)は単調増加

g'(0)=－f(a)＋f(b)＋(a－b)f'(a)
まで考えましたが、ここから立ち止まってしまいました。

まずこの考え方で答えは導けるのでしょうか？そしてここからどうしたらよいのでしょうか？
すみませんが宜しくお願いします。

No.8406 - 2009/10/13(Tue) 00:47:25

☆ Re: 証明 / 雀

g''(t)の計算が間違っています。

あとはf''(x)の値が常に正よりf'(x)が増加関数ということを
使うとできると思います。

No.8413 - 2009/10/13(Tue) 06:53:50

☆ Re: 証明 / aki

どう間違っているか教えていただけないでしょうか？
見直しましたが、わかりませんでしたので…

また、この続きですが、g''(t)が単調増加と分かってもg'(0)=－f(a)＋f(b)＋(a－b)f'(a)となり単調増加の境目がわからないので、この先が解答できません。

教えて下さい(>_<)

No.8415 - 2009/10/13(Tue) 17:27:47

☆ Re: 証明 / ヨッシー

g'(t) も、よく見たら、f' ではなく f になってますね。

　g'(t)=－f(a)＋f(b)＋(a－b)f'((1－t)a＋tb)
であるとして、
f'((1－t)a＋tb) を微分するといくつですか？

No.8416 - 2009/10/13(Tue) 18:32:04

☆ Re: 証明 / aki

本当ですね！
g'(t)のfはf'の間違いでした。
ごめんなさい。

f'((1－t)a＋tb)も、係数が消えていました、(a－b)(－a＋b)f''((1－t)a＋tb)で＜0です。

そうすると単調減少となりましたが、g'(0)は前の解答と変わらないので、やはり立ち止まってしまいました。
この先どうしたらよいのでしょうか？

No.8425 - 2009/10/14(Wed) 03:00:29

☆ Re: 証明 / 豆

まず、この問題は単なる式の大小問題ではなく、凸関数の重要な性質を
表した問題という認識をすることが大切だと思います。
そうすれば、感覚的に（グラフを思い浮かべて）この式が成立する、という
ことが分かると思いますし、
例えば、
『A,B,Cを三角形の内角とした時、sinA+sinB+sinCの最大値を求めよ』
などという問題も一発で解けることになります。

さて、このままのやり方で行くなら、
g'(0)=(b-a)([(f(b)-f(a))/(b-a)]-f’(a))
ここで、平均値の定理より、[　]=f’(c)なるcがa＜c＜bに存在する。
f’(x)は単調増加なので、f'(c)-f'(a)＞0
g'(0)＞0
同様にして、g’(1)＜0
g'(x)は単調減少なので、0＜d＜1なるdでg’(d)=0
g(0)=0　増加　g(d)=極大　減少　g(1)=0
よって、g(t)≧0　　(t=0,1で等号成立)

平均値の定理を最初から当てはめる方法
t=0,1で等号成立するので、0＜t＜1で考える。
a＜(1－t)a＋tb＜bなので、
a＜c＜(1－t)a＋tbなるcに対して、
(f((1－t)a＋tb)-f(a))/( (1－t)a＋tb-a)=f’(c)なるcが存在する
整理すると、
(f((1－t)a＋tb)-f(a))/(t(b-a))=f’(c)
また、(1－t)a＋tb＜d＜bなるdに対して、
(f(b)- f((1－t)a＋tb))/(b- ((1－t)a＋tb))=f’(d)　なるdが存在する
整理すると、
(f(b)- f((1－t)a＋tb))/((1-t)(b-a))=f’(d)
f'(x)は単調増加なので、f'(c)＜f’(d)
上式を当てはめれば、不等号の成立が確認できる。

bを変数で考えるやり方（手順としてはこれが最速か）
g(b)=(1－t)f(a)＋tf(b)－f((1－t)a＋tb)　として、a,tは定数扱い
bで微分、
g'(b)=tf'(b)-tf’((1-t)a+tb)=t(ｆ’(b)-f’((1-t)a+tb))
a＜bとすれば、f'(b)は単調増加なので、g'(b)＞0
g(b)は単調増加　g(a)=0より　g(b)＞0　　(0＜t＜1に対して)

No.8428 - 2009/10/14(Wed) 16:43:12

☆ Re: 証明 / aki

豆さん
三つも解答下さってありがとうございます(>_<)
最初から平均値の方法ですが、まず
a＜(1－t)a＋tb＜bはなぜそうわかるのでしょうか？
お願いします(>_<)

No.8433 - 2009/10/14(Wed) 20:15:03

☆ Re: 証明 / 豆

こういう質問が出るということは、最初に書いたこの式の凸関数としての
重要な性質ということが分からないのでしょうね。
掲示板を見ると、いろんな問題に手当たりしだいチャレンジしているようですが、
こういう基本的な事象を押えずに、色々解いても結局余り力が付かないのでは
ないでしょうか？先ずは基本的な問題がすらすら解けることを目指した方が
良いような気がしますが、如何でしょう？

さて、ご質問の基本的なことに関しての回答は　『内分点』　です。

No.8443 - 2009/10/15(Thu) 07:19:16

☆ Re: 証明 / aki

そんなに基本的なことができていないでしょうか？基本パターンの暗記しかできていないのかもしれませんが。

a b t 1の位置関係が分からない気がします。もう少しこの問題に関して詳しく教えていただけると助かります。

No.8446 - 2009/10/15(Thu) 15:31:37

☆ Re: 証明 / aki

すみません。自分が基本的な質問ばかりしているのは重々承知ですので、この問題を解けるようになりたいので、宜しくお願いします。

No.8447 - 2009/10/15(Thu) 16:36:19

☆ Re: 証明 / 豆

少なくとも、このレベルの問題を解くというのなら、基本的なことの
理解は出来ていないと私は思いますよ。
一旦、頭の中から度忘れしていても『内分点』と言われたら、
なるほどそうだった、と来るくらいでないと、この問題を解くレベル
まで来ていないのではないかと思います。
a＜b　とあるからa,bの位置関係を意識するのは分かりますが、
それに1やtが絡んでくるというのは全く頓珍漢です。
1やtは言わば比例係数的な値ですので、a,bとの位置関係
などという発想は出て来得ません。
どんなことでも少し躓くと、直ぐ教えてくださいでは、その時分かった
積りでも1週間、間違いなく1ヶ月すれば頭から消えてしまっている
と思います。
趣味でやっているならともかく、受験などのためにやっているのだったら
勉強の仕方というのを考え直した方が良いのではないかと思います。
厳しい言い方になったかもしれませんが、余りにも夥しい質問が
毎日のようにアップされ、それで見かけ上、数だけはこなせているので
力が付いているような錯覚にでも陥っているのでは、と敢えて
書かせていただきました。

なお、本件の回答に関しては、内分のところのテキストなりをご自分で
復習されることを期待いたします。

No.8449 - 2009/10/15(Thu) 17:04:51

☆ Re: 証明 / aki

位置関係と書いたのは数直線をイメージしたときの意味で、 tは長さだと思っていいましたが、位置関係という言い方はおかしいかもしれません申し訳ありませんでした。

教えていただいている立場ですので、何も言いません

No.8450 - 2009/10/15(Thu) 17:34:15

☆ Re: 証明 / aki

こんばんは。
内分をこの場合どのように適用していいのかまだわかりません。
最後に教えてもらえないでしょうか？
よければお願いします。

No.8469 - 2009/10/18(Sun) 20:44:47

☆ Re: 証明 / 豆

a,b　(a＜b)　をp：qに内分（内分だから当然p,q＞0）する点cは
c=(qa+pb)/(p+q)　　　これはいくらなんでも自分でやってください
　=(q/(p+q))a+(p/(p+q))b
ここで、q/(p+q)=t　とおけばp/(p+q)=1-tなので、
c=ta+(1-t)b　　もちろんtと1-tは入れ替えてもOK
この式は内分では頻出の式で、このレベルの問題を解く人
にとっては常識レベルのはず。

0＜t＜1としておけば、t+(1-t)=1　で分母が1になるから、
最初から、a,bを(1-t)：tに内分する点で考えても良い。

No.8485 - 2009/10/19(Mon) 11:55:01

☆ Re: 証明 / aki

ありがとうございます。

すみませんが、その計算はわかるのですが、根本的にa＜bと0≦t≦1が今分かっていてもa＜bにおけるtの位置はわからないので、q/p＋qを勝手にtとおけるのがわからないのです…

うまく伝わるとよいのですが(>_<)
変な疑問かもしれませんが、教えていただけると助かります。

宜しくお願いします。

No.8553 - 2009/10/23(Fri) 14:48:44

★ 概日リズム / aki

こんばんは
いつもお世話になっております。
今回生物を聞きたいのですが、よろしいでしょうか？あまり生物的なことではないのでどなたか教えていただきたいです。
http://u.upup.be/?xAiADaQWAv
問い2です。
恒暗条件下からですので、20日目からはあと十日後を考えればよいので、地道に一時間ずつずらしながら数えて、7時から18時と考えましたが、正答は6時からだそうです。
何回数えても十日後は七時からになるので、本当に困ってしまいました。考え方自体のどこかに欠点があるのかもしれません。
すみませんが、分かる方宜しくお願いします。

No.8400 - 2009/10/12(Mon) 20:26:35

☆ Re: 概日リズム / ヨッシー

図の通り25日目は、６時から１８時が休息です。

No.8404 - 2009/10/12(Mon) 21:22:13

☆ Re: 概日リズム / aki

ありがとうございます。
24日目と25日目がずれていないような気がしますが、もしかすると概日リズムが25時間であるから、そこはずれないということでしょうか？

No.8408 - 2009/10/13(Tue) 00:56:09

☆ Re: 概日リズム / Kurdt

活動時間について少し勘違いをされているのですかね。

25日目の活動時間は25日目の18時～26日目の7時まで続きます。
図では26日目が省略されてはいますが。

この26日目の6時～7時までの活動時間が
25日目の6時～7時にかかると考えてしまってるような気がします。

活動時間に着目すると、
23日目は16時～5時までの13時間、
24日目は17時～6時までの13時間、
25日目は18時～(26日目の)7時までの13時間、
となるので、25日目の6時～7時は活動時間には入りませんね。

No.8411 - 2009/10/13(Tue) 04:58:03

☆ Re: 概日リズム / ヨッシー

こういうグラフを、書くなり、頭に思い描くなりして、
地道に一時間ずつずらしながら数えたんですよね？

まさか、15日目(問題文の20日)が21時から休息なので、
　16日　22時～
　17日　23時～
　18日　24時＝0時～
　19日　1時～
　20日　2時～
　21日　3時～
　22日　4時～
　23日　5時～
　24日　6時～
　25日　7時～
としたのではないですよね？

7時から18時と、休息時間を11時間と答えている点も気になりますが。

No.8412 - 2009/10/13(Tue) 06:44:20

☆ Re: 概日リズム / aki

ありがとうございます。
携帯で見ていたのでヨッシーさんの図がずれていないように見えましたが、パソコンを使えたのでそれで見たらずれておりました。勘違いしていました。
Kurdtさんのおっしゃるとおりです。次の日の分も考えてしまっていました。
全く気がつきませんでした、ごめんなさい。
本当に助かりましたありがとうございました！

No.8424 - 2009/10/14(Wed) 02:51:08

★ お世話になります / 受験生

数列{ａn}はａ1＝１　ａ2＝４
ａn＋2＝４ａn＋1－４ａn＋１(ｎ≧１)と定める

問い　K=1?馬ａKを求めよ　　　　　　　n－2
ちなみにａnの一般項はａn＝３(ｎ－１)２＋１です

式等々がみにくくなってしまい申し訳ありません
この問いの解き方を教えてください　お願いします

No.8387 - 2009/10/12(Mon) 12:03:22

☆ Re: お世話になります / 受験生

ａnの一般項を言葉で言うと
サンかっこエヌひくイチかけるニのエヌひくニじょうたすイチとなります
わかりづらくて申し訳ありません

No.8388 - 2009/10/12(Mon) 12:07:47

☆ Re: お世話になります / X

回答する前に数学の記号の表記の仕方について。
数列の項のサフィックスは[]でくくると見易いです。
例えば
a[n],a[n-1]
と言うように。
またべき乗は^を使うのが一般的です。
例えば
2のn乗は2^n
2のn-1乗は2^(n-1)
と言うように。
別の方のレスを参考にして、掲示板上での数式の書き方を
勉強しましょう。

で、回答ですがヒントだけ
題意から
a[n]=3(n-1)2^{(n-1)-1}+1
ここで例題として
S[n]=Σ[k=1～n]k・2^(k-1) (A)
を求めることをまず考えます。
これは
2S[n]=Σ[k=1～n]k・2^k
=Σ[k=2～n+1](k-1)・2^(k-1) (A)'
(k+1を改めてkと置いた)
で(A)'-(A)を計算すると容易に求められます。
同様の方針で問題の和を計算すると…。

No.8389 - 2009/10/12(Mon) 13:38:56

☆ Re: お世話になります / 受験生

xさん　投稿ありがとうございます

2S[n]=Σ[k=1～n]k・2^k
=Σ[k=2～n+1](k-1)・2^(k-1) (A)'
こちらの計算式がなぜこのようになるかが分かりません
お手数ですがこの部分の詳しい説明をお願いできますか

No.8391 - 2009/10/12(Mon) 13:51:43

☆ Re: お世話になります / 七

こちらの書き方のほうが見慣れているかもしれません
S[n]=Σ[k=1～n]k・2^(k-1)
＝1・1+2・2+3・2＾2+4・2＾3+…+ｎ・2＾(ｎ-1)
2S[n]= 1・2+2・2＾2+3・2＾3+…+(n-1)・2＾(n-1)+n・2＾ｎ
上の式から下の式を引いて
-S[n]＝1+2+2＾2+2＾3+…+2＾(n-1)-ｎ・2＾ｎ
　　＝2＾(ｎ)-1-ｎ・2＾ｎ
　　＝(1-ｎ)2＾(ｎ)-1
よって
S[n]＝(ｎ-1)2＾(ｎ)+1　　

No.8396 - 2009/10/12(Mon) 16:27:52

☆ Re: お世話になります / 受験生

よく分かりました　七さんありがとうございます

しかし僕が問いの式で同様の計算をしたら複雑になり分からなくなっていまいました
できれば問いの式で上記のような計算をしてもらえませんか
お願いします

No.8398 - 2009/10/12(Mon) 18:56:51

☆ Re: お世話になります / 七

ｋ＝1、ｎは省略します。
?狽≠求?3?狽求E2＾（ｋ-2）-3??2＾（ｋ-2）+??1
です。
?狽求E2＾（ｋ-2）の部分だけに使います。

No.8401 - 2009/10/12(Mon) 20:32:42

★ 場合の数 / aki

こんばんは。
いつもありがとうございます
質問お願いします。

5この数字 1 2 3 4 5 から異なる三つの数字を選んで整数を作る

(1)選んだ三つの数字を並べて○○.○の数を作るとき小数第一位を四捨五入して異なる数字はいくつできるか

まず四捨五入して数字が変わるには小数第一位の部分が5でなければならないので、残りの部分は5以外の4×3で、20と考えました。
正答は23だそうで、どこの考え方が間違っているか教えていただきたいです。
いつもすみませんが宜しくお願いします。

No.8374 - 2009/10/11(Sun) 23:06:39

☆ Re: 場合の数 / らすかる

20という数はどこから出てきたのですか？

No.8376 - 2009/10/11(Sun) 23:20:51

☆ Re: 場合の数 / aki

12ですね、うち間違えました。申し訳ありません。
また宜しくお願いします。

No.8377 - 2009/10/11(Sun) 23:47:03

☆ Re: 場合の数 / らすかる

「四捨五入して数字が変わるもの」は 4×3=12個ですが、
「四捨五入して数字が変わらないもの」もありますね。
例えば 12.3 → 12 は数えられていません。

問題は
　選んだ三つの数字を並べて○○.○の数を作り小数第一位を
　四捨五入するとき、異なる数はいくつできるか
という意味ですが、もしかしたら
　選んだ三つの数字を並べて○○.○の数を作るとき
　小数第一位を四捨五入すると変化する数字はいくつできるか
という意味に受け取っていませんか？

No.8379 - 2009/10/11(Sun) 23:55:09

☆ Re: 場合の数 / 七

四捨五入しないならば
12.3から54.3までの
5×4×3＝60とおりの数ができますが
これらを四捨五入すると
たとえば51.2, 51.3, 51.4 の3つはすべて51になります。
四捨五入しても一の位が6以上になったり、十の位に影響があるようなことはありません。

したがって、一、十の位が異なるものは
12から54までの5×4＝20個

21.5, 32.5, 43.5の3つは
それぞれ22. 33. 44 になります。
よって20＋3＝23個

No.8381 - 2009/10/12(Mon) 06:08:30

☆ Re: 場合の数 / aki

ありがとうございます。
問題の意味はわかりました、そういう意味だったんですね！

あとは解答のほうですが、まず2桁だけを考えて問題ないので20まではいいのですが、残りの四捨五入し数字が変わる物は、わたしがかいた12を足すのではないのでしょうか？なぜその三つだけになるのかがわかりません。
どうかまた宜しくお願いします。

No.8392 - 2009/10/12(Mon) 15:03:22

☆ Re: 場合の数 / ヨッシー

答えを書くのは簡単ですが、その前に、
たかだか20とか12の数ですから、
まず、20個の数字を書き並べてみましょう。
次に、aki さんが計算したという12個の数字を書き並べてみましょう。

No.8393 - 2009/10/12(Mon) 15:15:32

☆ Re: 場合の数 / aki

とてもよくわかりました。
やっとできました。
いつも早とちりや勘違いが多く申し訳ないです。精進します。
どうもありがとうございました！

No.8402 - 2009/10/12(Mon) 20:38:14

★ 球に関する問題です。 / ハオ

中心(1,0,2)半径√5の球がZ軸で切り取られる長さを求めよという問題です。全く見当がつきません、ご教授お願いします。

No.8347 - 2009/10/11(Sun) 09:07:11

☆ Re: 球に関する問題です。 / にょろ

中心が(1,0,2)なので
(x-1)^2+y^2+(z-2)^2=5
です。

またz軸で切り取られる長さは交点の距離ですので
それを求めればよいと言うことになります。

z軸と言うことはx,y=○ですので…

No.8349 - 2009/10/11(Sun) 09:22:24

☆ Re: 球に関する問題です。 / ハオ

朝早くから失礼しました、お早い解答提示感謝致します。
ニョロさんの解答方法で行くとz=0,4が得られるので長さは4ですか？
僕も解答方法を思いついたので添削して頂いて宜しいですか？
z軸で切り取られる端(A,Bと置く)と中心を結ぶ。又中心からZ軸に向け垂直な線分を下ろす(その点をCと置く).
球の対称性より△OACと△OBCは合同である故AB=2AC
AC＝√(5-1)=2 これよりAB=４　というのはどうでしょうか？

No.8351 - 2009/10/11(Sun) 09:46:44

☆ Re: 球に関する問題です。 / らすかる

横から失礼します。ちょっと問題の内容からそれますが、
「球がZ軸で切り取られる長さ」という文言は問題のままですか？
「球がZ軸を切り取る長さ」ならわかるのですが、
Z軸は球を串刺ししているだけで球はZ軸では切り取られませんので
「球がZ軸で切り取られる長さ」という文言にはかなりの違和感を感じます。

No.8354 - 2009/10/11(Sun) 11:13:08

☆ Re: 球に関する問題です。 / ハオ

申し訳ないのですが問題が今手元にない為何とも言えません。学校に置いてきてしまった為、詳細は分かりません。しかし問題の意図が伝わればよいかという浅はかな考えで質問してしまいました。

No.8359 - 2009/10/11(Sun) 12:46:29

☆ Re: 球に関する問題です。 / にょろ

遅くなりました（忘れてましたゴメンナサイ）

球の対称性より～というよりは
例えばx=0としてy-z座標に描くと～の方が良いかもしれません

学校で習ってない～とかで×食らったりすることもありますしね

対称性よりも
弦に対して中心から垂線を引くと
半径なので斜辺が同じ
二等辺三角形なのでもう一つ角度が決まるから合同
とした方が良いのかな

とも思います

No.8382 - 2009/10/12(Mon) 09:06:21

★ 証明実験 / aki

こんにちは。
すみませんが生物を聞いてもよいでしょうか？どなたか分かる方いらっしゃいましたら宜しくお願いしたいです。

http://y.upup.be/?FJlkJf6J4x
http://y.upup.be/?9ZRlLlfDVK
の問題の問い5です。
そのように考える理由
はどういうことを書けばよいのでしょうか？答えがありませんので、正答がわからず困っております。
また
仮定を確かめるためのものは
白色のくちばしで、斑点の色を黒白及び様々な濃さの灰色のいずれかとした模型を用意し、斑点の濃さと反応率の間にどのような関係があるか調べる

だそうですが、なぜこういう解答になるのかさっぱりわかりません。
わたしは単に赤に黄色の斑点の親くちばしに対する反応を調べる

だと考えてしまいましたが…

生物を聞ける人がいないので、本当に宜しくお願いします。

No.8343 - 2009/10/10(Sat) 18:17:00

☆ Re: 証明実験 / にょろ

この問題での仮説は

黄色いくちばし＋なにか目立つ色
ではなく（akiさんの考えですね～）

何か目立つ色の対ですので
明度だっけ（白と黒）の差のみをもつ白～黒としたのですよさもないと他の何かが要因だとも考えられます。

これで反応しなかったらもしかしたら緑度の差なのかもしれませんね

No.8350 - 2009/10/11(Sun) 09:29:18

☆ Re: 証明実験 / aki

ご回答ありがとうございます。とても助かります。
黄色＋なにか目立つ色
に関してですが、黄色＋赤の組み合わせの場合のみ100%の反応率を示すので、色の組み合わせもやはり十分に関係していると思います。だから色の組み合わせの必要性を解答にいれるのではないのでしょうか？

また、明度など色覚についての知識がないからか理解できません。詳しく教えて下さいませんか？
宜しくお願いします。

No.8361 - 2009/10/11(Sun) 16:57:45

☆ Re: 証明実験 / にょろ

それでしたら黄色＋赤も要因の一つなのかもしれませんね。
色については知識として覚えておいて損はないです。

色の性質としては「色相」「明度」「彩度」という物があります。

一番わかりやすいのは色相で、要するに赤だとか緑だとかいう色の違いです。

彩度は鮮やかさです。
白や黒からどれだけ色がついているか。
どれだけ派手かってことですね～（ちょっと違います）

明度はどれだけ白っぽいかです。
黒だと明度が最低で白だと最大です。

因みにコンピューターはよく赤の要素、緑の要素、青の要素の量(0～255)で指定します。
全部近い量なら彩度は低くなりますし
それぞれの値が小さいと黒に近くなります。

No.8371 - 2009/10/11(Sun) 20:24:50

☆ Re: 証明実験 / にょろ

コントラストとあるので
明度だけで良いかと思います。

No.8372 - 2009/10/11(Sun) 20:25:47

☆ Re: 証明実験 / aki

ご説明ありがとうございます
コントラストは日本語だと明度の意味だけを指すのでしょうか？
組み合わせの意味はないのでしょうか？
生物は問題の日本語の解釈も難しいので…

あと問題として?@理由?A実験を聞いておりますが、?Aの部分はご説明のおかげで分かってきましたが、?@の部分のご説明をまだいただいていないので、教えていただけないでしょうか？

また宜しくお願いします。

No.8378 - 2009/10/11(Sun) 23:52:50

☆ Re: 証明実験 / にょろ

理由としては
黄色い嘴+他の色＋本物ではない
に反応したことから

本物の嘴ではなく形もしくは色に反応したと思われます。
またもし色であるならば別の色を使っていることから
赤色ではなく何か色の差であると考えられます。
というわけでそれを判断しやすいのは白～黒なので
それを使った

でどうでしょうか？

もっと良い回答はあると思いますし間違って居るかもしれませんのであしからず

No.8380 - 2009/10/12(Mon) 03:10:27

☆ Re: 証明実験 / aki

ご回答ありがとうございます。
さっき気が付いたのですが、一文だけ解説が書いてありました。
対照と反応率の関係をみるのであれば、模型の色が実験を左右する可能性を排除する必要がある。
と書いてありました。どちらかというと私は色を証明するために白黒を使ったと理解していたので、真逆のことがかいてあり、ますますわからなくなってしまいました…

これはどういうことなのでしょう…
すみませんが教えていただけないでしょうか？
宜しくお願いします…

No.8394 - 2009/10/12(Mon) 15:24:53

☆ Re: 証明実験 / にょろ

対照と反応率の関係→明るさの差→明度の差です
模型の色が実験を左右する→色相の差

と考えます。

要するに色味に反応することを排除したわけです

No.8405 - 2009/10/12(Mon) 21:25:40

☆ Re: 証明実験 / aki

ありがとうございます。分かってきました。

ちょっと戻って理由についてですが、本物の嘴ではないから形か色に反応→形は同じ模型なので色に反応→

ここまでは分かったのですが、ここから嘴と斑点の対照の役割を演じているという理由へつなげるのがわかりません。
斑点を赤黒青と変えていくと反応率は下がるものの反応が見られるためでしょうか？

にょろさんの解答の
また色であるなら～

の部分からがよくわからなくて…

宜しくお願いします。何度もごめんなさい。

No.8448 - 2009/10/15(Thu) 16:54:40

★ (No Subject) / こじ

収率の求め方がわかりません。
アルデヒドの比重が０．８５３
アセトンの比重が０．７９１

求め方は調べたのでわかりました。
１．比重データをもの体積から質量を求める
２．求めた質量から物質量をもとめる
３。物質量の少ないほうを基準（原料の物質量）とし、収率をもとめる。

収率＝（生成物の物質量／原料の物質量）×１００

まではわかるのですがまず体積をもとに質量を求める点で手が止まってしまいました。
高校１年にわかるように解答・解説お願いします。

No.8339 - 2009/10/10(Sat) 13:49:43

☆ Re: / ヨッシー

何かの問題だと思いますが、問題をそのまま書いてもらえますか。

No.8340 - 2009/10/10(Sat) 14:00:22

☆ (No Subject) / こじ

アルドール縮合によるジベンザルアセトンの合成を行う。
アルデヒド：アセトン＝２：１で反応する。
比重をもとに収率を求めなさい。

これでお願いします。

No.8341 - 2009/10/10(Sat) 14:12:37

☆ Re: / rtz

「ここに本があります、1日10ページ読むと何日で読み終わりますか」
と聞かれて答えが出ますか？
「その本何ページあるんだ」と聞きませんか？

元になる原料の体積及び生成物の質量が書いてないのですから、
解答解説をするも何も求められるわけがありません。

それから、背景設定の説明が不十分です。
学校の実験なのか参考書内の問題なのか分かりませんが、
そもそも原料がベンズアルデヒドである記述も見当たりませんし、
アセトンが常温で液体なのはそれなりに有名にしても、
ベンズアルデヒドやジベンジリデンアセトン(ジベンザルアセトン)が液体なのか固体なのか分かりません。
(比重という言葉が出てくる説明が必要)

こちらは実験内容を把握しているわけないのですから、
詳細に書いてもらわないと、背景自体が読み取れません。

No.8346 - 2009/10/11(Sun) 02:05:37

☆ Re: / ハオ

横槍失礼します。僕は高2の未熟者なのですが、こじさんは高1でその様な分野を既に学習されているのですか？また、学習されているならどの分野でしょうか？教えて頂ければ幸いです。

No.8348 - 2009/10/11(Sun) 09:12:30

★ 微分法 / ぽんた

ｎを2以上の整数とし、f(x)=sinx-(nx+cosx)cosxとする。
(1)ｆ'(x),f''(x)を求めよ。
(2)方程式f(x)=0は0<x<π/2においてただ一つの実数解を持つ　ことを示せ。
(3)(2)における実数解を?Inとするときlim(n→∞)?Inをもとめよ

(1)は当然できました
(2)はロルの定理で少なくとも一つ実数解を持つことはしめせるので、f(x)が単調増加だったらただ一つが言えるかな～としらべてみたところ、f'(x)の処理ができず、また単調増加になるのかもわからず、結局できませんでした。

よろしくおねがいします。

No.8337 - 2009/10/09(Fri) 20:17:34

☆ Re: 微分法 / phaos

http://star.ap.teacup.com/phaos/31.html
ここに解答を書きましたので参照して下さい。

No.8344 - 2009/10/10(Sat) 22:46:59

☆ Re: 微分法 / ぽんた

解答していただきありがとうございました。
しかし、
これ、ただの進研模試の過去問だから、そう複雑でテクニカルな解答は要求されないと思うんですが・・・・
　
(3)はもちろん高度すぎてわからなかったんですが、

『増減表を書けば明らかに, f(x) が -1 から f(α) まで単調減少, 続いて f(α) から 1 まで単調増加だから, 』どうして『方程式 f(x) = 0 は 0 < x < π/2 においてただ一つの実数解を持つこと』がいえるのかわかりません

No.8364 - 2009/10/11(Sun) 18:09:37

☆ Re: 微分法 / だるまにおん

(2)
f(x)=0の0＜x＜π/2における実数解は、方程式
　　n=(tanx-cosx)/x
の0＜x＜π/2における実数解に等しいです。ですから、
　　g(x)=(tanx-cosx)/x
が0＜x＜π/2で単調増加であることを証明すれば良いように思われました。
(3)
　　n=(tanx_n-cosx_n)/x_n
　　＜(tanx_n-cosx_n)/sinx_n
　　=1/cosx_n-1/tanx_n
　　＜1/cosx_n
　　∴cosx_n→0 (n→∞)
0＜x_n＜π/2より
　　x_n→π/2 (n→∞)

No.8373 - 2009/10/11(Sun) 20:53:52

★ 整数 / aki

こんにちは。
またお願いします。
いつもお手数おかけしすみません。

a b を自然数とし、aを8で割った余りをr、bを8で割った余りをsとする。
(1)a＋bを8で割った余りとr＋sを8で割った余りが等しいことを示せ
(2)a^2を8で割った余りとr^2を8で割った余りが等しいことを示せ
(3)平方数を8で割った時余りとして得られる数を全て求めよ
ただし平方数とは自然数の平方となっている数のことである

(4)二つの平方数の和を8で割ると余りは3にならないことを示せ

まず(1)(2)は証明できました。ちなみにことのきa=8K＋r、b=8L＋s(KLは0以上の整数)とおきました
(3)ですが、自分では、(2)より平方数を8で割った余りも平方数なので0≦r≦7において0 1 4
と解きましたが、このときかたと記述では丸をもらえますでしょうか。

(4)は自分では
(2)よりa^2＋r^2=8(8K^2＋2Kr)＋2r^2
0≦r≦7かつ0≦2r^2≦8のもとで2r^2は0 2 しかとらないので3にはならない

と解きました。同様にときかたと記述はどうでしょうか？

添削してもらえる方が今いませんので、記述などは特に不安ですし、ときかたも答えがないのであってるかわかりません。
どなたかお助け下さい。
本当に宜しくお願いします(>_<)

No.8326 - 2009/10/09(Fri) 13:56:18

☆ Re: 整数 / ヨッシー

＞(2)より平方数を8で割った余りも平方数なので
これはなぜですか？
数学的に説明できること。
それが、およそ自然な考察で正しいと思えること。
が満たせれば、上の１行だけで良いです。
「奇数と偶数の和は奇数なので」のような。

(4) は「二つの平方数の和」と言っているのであって、
a^2+r^2 では、「ある数の平方と、ある数を８で割ったときの余りの平方の和」
を示したに過ぎません。

No.8327 - 2009/10/09(Fri) 14:41:25

☆ Re: 整数 / aki

早速ありがとうございます(>_<)
(3)のところは
(2)でa^2=(8K＋r)^2=8(8K^2＋2Kr)＋r^2
とでてきたので、その結果を使うのかと思いそうしました。

(4)余りの平方を使うと、ただの二つの平方数の和にはならないのでしょうか？
いまいちよくわかりません…

宜しくお願いします。

No.8329 - 2009/10/09(Fri) 14:49:00

☆ Re: 整数 / 七

> ときかたも答えがないのであってるかわかりません。
もし受験生ならそんな問題をして無駄な時間を費やすべきではないと思います。
ちゃんとした答えのあるものをするべきです。
答えを見ても分かりにくいときがあるはずですから…。
（3）は（2）の結果を用いて
例えばaを8で割ったときの余りｒとして考えられる
0,1,2,3,4,5,6,7
の2乗を８で割ったときの余りがa^2を８で割ったときの余りであるとすればいいですね。

（4）は（3）の結果を用いて
a^2+b^2を8で割ったときの余りについて答えればいいですね。
a^2もb^2も8で割ったときの余りは0,1,4のいずれかであれば
これらの和を8で割ったときの余りは
0,1,2,4,5のいずれかになり決して3にはなりませんね。

No.8333 - 2009/10/09(Fri) 15:56:25

☆ Re: 整数 / ヨッシー

正しい方法は七さんが書いてくださっていますので、その上の記事の
コメントだけ。

a^2=(8K＋r)^2=8(8K^2＋2Kr)＋r^2
は、正しいですが、r^2 は a^2 を８で割った余りでは
ありません。８以上のときもありますから。

a^2 と r^2 だけで、すべての数の証明が出来るのなら、
　a^2－r^2=8(8K^2＋2Kr)
より、２つの平方数の差は、８で割り切れる。
となりますね。

ある人（ａ）の姓は鈴木です。
その人の子供（ｒ）の姓も鈴木です。
よって、世界中の人の姓は全部鈴木です。
というのと、同じです。

No.8335 - 2009/10/09(Fri) 16:53:22

☆ Re: 整数 / aki

ありがとうございます。
理解できました。
解説をどうもありがとうございました。
感謝します。

No.8362 - 2009/10/11(Sun) 17:27:53