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★ 加法定理 / 尼崎
こんばんは。 y=sinx と y=sinx/2 の共有点のx座標が知りたいのですが、 sinx=sinx/2 のような計算はどのように加法定理を使っていったらいいのでしょうか。 どなたか宜しくお願いします。 No.7786 - 2009/09/02(Wed) 21:29:17 ☆ Re: 加法定理 / ヨッシー y=x/2 とおくと、 　sin2y＝sinｙ より、倍角の公式より 　2sinｙcosｙ＝sinｙ 　sinｙ(2cosｙ−１)＝０ より　sinｙ＝０　または　cosｙ＝1/2 これを　0≦ｙ＜2π で解くと ｙ＝0,π/3,π,5π/3 ｘはこの２倍です。 No.7787 - 2009/09/02(Wed) 22:33:36

★ 中学　図形の問題です / rino

こんばんわ。なんとか答えは出たのですが、あまりにまわりくどいと感じる程過程が長くなってしまったので、すっきりと端的な解法を知りたいです。解き方の流れを教えてください。よろしくお願いします。 図のように、線分AB、線分ACを直径とする２つの半円O、O´がある。点Cから半円Oにひいた接線の接点をPとし、CPを延長した直線と半円O´との交点をQとする。また、APを延長とした直線と半円O´との交点をRとし、点Qと点R、点Oと点Pをそれぞれ結ぶ。 AB＝６cm、BC＝２cmであるとき、AQとARは何cmですか？ 答えは　AQ＝24/5(cm)　AR＝(16√5/5）(cm)となると思うのですが…。 No.7783 - 2009/09/02(Wed) 18:28:08 ☆ Re: 中学　図形の問題です / DANDY　U (1) 直角三角形OPC において　OP＝3（cm), OC＝5(cm) より　CP＝4（cm) (2) △OPC∽△AQC ,CO：CA＝5：8　より　AQ＝OP*(8/5)＝… , QP＝QC-PC＝(8/5)PC−PC＝… (3) △AQPで三平方の定理より、APが求まります。 (4) △APB∽△ARC より　AR＝AP*(4/3)＝… 以上の手順でどうでしょう。 No.7785 - 2009/09/02(Wed) 21:02:01 ☆ Re: 中学　図形の問題です / rino ありがとうごさいます。 No.7835 - 2009/09/05(Sat) 17:17:29

★ まさかの事態 / rakusenn

p；素数 αは有理数 α（-α^2+pα+3-p)=p この場合 （α、-α^2+pα+3-p）＝（1,p)(p,1)(-p,-1)(-1,-p) としてよいですか？ No.7775 - 2009/09/02(Wed) 11:06:26 ☆ Re: まさかの事態 / らすかる はい。 No.7776 - 2009/09/02(Wed) 11:17:05 ☆ Re: まさかの事態 / rakusenn αは整数じゃないけどいいんですか？ ２√３×1/√３＝２（素数）ですが。 No.7778 - 2009/09/02(Wed) 11:32:33 ☆ Re: まさかの事態 / らすかる ＞αは整数じゃないけどいいんですか？ はい。 ＞２√３×1/√３＝２（素数）ですが。 √3は無理数なので関係ありません。 No.7779 - 2009/09/02(Wed) 13:05:52 ☆ Re: まさかの事態 / ヨッシー α＝m/n (m は整数, n は２以上の整数, mとnは互いに素) とします。 -α^2+pα+3-p＝-m^2/n^2＋mp/n＋3−p 　＝(-m^2＋mnp＋(3-p)n^2)/n^2 α（-α^2+pα+3-p)=m(-m^2＋mnp＋(3-p)n^2)/n^3 これが、整数ｐになるには、 　-m^2＋mnp＋(3-p)n^2 が n^3 の倍数でないといけないのですが、 -m^2＋mnp＋(3-p)n^2 は、n でも割り切れないので、 n^3 では割り切れるはずがありません。 よって、α は、整数に限ります。 No.7780 - 2009/09/02(Wed) 14:16:38 ☆ Re: まさかの事態 / rakusenn 一般論としてはどうなるか教えてください。 α（αの式）＝ｐ（ｐ素数） この条件だけで即座に（α、αの式）＝（1,p)(p,1)(-p,-1)(-1,-p)としてよいのですか？ ２√３×1/√３＝２（素数）ですが→1/2×４＝２（素数）の誤りでした。 No.7790 - 2009/09/02(Wed) 23:07:38 ☆ Re: まさかの事態 / ヨッシー >この条件だけで即座に（α、αの式）＝（1,p)(p,1)(-p,-1)(-1,-p)としてよいのですか？ 反例はすぐに作れますね。 上に書かれた、1/2×４＝２ になるように式を作ると 　α(４α＋２)＝ｐ これは、α＝1/2、4α+2＝4、ｐ＝２ で成り立ちます。 αが整数以外の有理数のとき、αの式が、αの分母の倍数でないとき 上式は成立しません。 倍数であっても、成立するかはわかりません。 要は、α(αの式) が素数にならないと始まりません。 No.7795 - 2009/09/02(Wed) 23:26:38 ☆ Re: まさかの事態 / rakusenn つまり、らすかるさんは即座に７７７５は正しいと答えてくれましたが、これはヨッシーさんのように計算した結果初めてαは整数と分かる。ということですよね？ No.7801 - 2009/09/03(Thu) 04:42:28 ☆ Re: まさかの事態 / ヨッシー そういうことだと思います。 ただ、 α（-α^2+pα+3-p) は、α の３次式になるわけですが、 最高次の係数が１（または-1)である、整数係数の α のｎ次式において、α に整数以外の有理数を代入しても 値を整数にできない ということなどを、考慮されたのかもしれません。 No.7804 - 2009/09/03(Thu) 11:10:44 ☆ Re: まさかの事態 / らすかる ＞即座に７７７５は正しいと答えてくれましたが、これはヨッシーさんのように ＞計算した結果初めてαは整数と分かる。ということですよね？ はい、そうです。 ちゃんと計算して確認してから回答しました。 No.7810 - 2009/09/03(Thu) 16:17:04 ☆ Re: まさかの事態 / rakusenn 納得しました。ありがとうございます。 ちょっときになったんですが、 7780でα＝m/n (m は整数, n は２以上の整数, mとnは互いに素) とします。 このｎがマイナスの値を除いてるのは マイナスの値とプラスの値は互いに素になりえないからですか？しかしそれだとαがマイナスの場合が証明されてないことになるような気がします。よくわかりません。 No.7817 - 2009/09/04(Fri) 09:50:10 ☆ Re: まさかの事態 / らすかる αが負の場合は mが負、nが正と考えれば良いので、αが負の場合も証明されています。 No.7820 - 2009/09/04(Fri) 10:06:57 ☆ Re: まさかの事態 / rakusenn 負の数と正の数は互いに素ではない。と思っていたのですが。。教えてください。 No.7847 - 2009/09/06(Sun) 12:15:03 ☆ Re: まさかの事態 / らすかる ＞負の数と正の数は互いに素ではない。 そんなことはありません。 負の数と正の数でも、その絶対値が互いに素であれば互いに素です。 「互いに素でない」というのは「その数を割り切る共通の素数が存在する」 ということです。 「互いに素」が出てくる場合は正の数限定で考えることが多く、 その場合「1以外に公約数を持たない」という意味になりますが、 負の数も含めた場合は「1と-1以外に公約数を持たない」という意味になります。 No.7848 - 2009/09/06(Sun) 12:50:51

★ 確率 / 紅茶

Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄの４人でじゃんけんを行い、負けた人は次の回から参加しないことにして、最後に残った１人を勝者とするゲームを行う。ただし、４人ともグー、チョキ、パーのいずれを出すことも同様に確からしいものとする。 (１)じゃんけんを１回行うとき、勝者の出る確率は４/２７である。 (２)１回目のじゃんけんでＡを含む３人が残り、２回目のじゃんけんでＡを含む２人だけが残る確率は２/８１である。 どうして(１)、(２)がこのような確率になったのか解説を教えて下さい。 お願いします。 No.7770 - 2009/09/02(Wed) 00:10:12 ☆ Re: 確率 / angel (1) 勝者を固定して考えてみます。( 例えばAが勝者となる場合 ) 勝者Aは何を出しても良いので、確率1 A以外の敗者は、全て負ける手(3通り中1通り)を出す必要があるため、確率×1/3 これを3人分 よって、1×(1/3)^3 = 1/27 が、Aが勝者となる確率です。 実際には、Aも含めて4人分、同じ確率で勝者になる ( かつ、2人以上同時に勝者にはならない ) ため、 1/27×4=4/27 No.7771 - 2009/09/02(Wed) 00:59:15 ☆ Re: 確率 / Ｂｏｂ (1)１回で決着 グ・チ・チ・チ パ・グ・グ・グ チ・パ・パ・パ　の　3通り出し方がある あとは誰が勝つかですが当然4人いるので4通り 3×４＝１２通り 全員の出し方は３×３×3×３＝８１ １２/８１＝４/２７ （２）1回目Ａ　以外の勝者を3人から二人選ぶ３Ｃ２＝３ そして何を出してＡを含めた3人が勝つかは グー・チョキ・パーの3通り 3×３で9通り　ココまでの確率は ９／８１＝１／９ （８１＝３×3×３×３） 2回目はＡを以外に勝つ1人の決め方は２Ｃ１＝２ 同じように何を出してＡを含めた２人が勝つかは グー・チョキ・パーの3通り 3×２＝６ ここで3人のじゃんけんなので３×３×３＝２７が分母 ６／２７＝２／９ よって積の法則より １／９　・　２／９＝２／８１　が答え No.7772 - 2009/09/02(Wed) 01:02:24 ☆ Re: 確率 / angel (2) 2回じゃんけんをするので、2段階で考えます。 (2)-1 　まず、1回目で3人残る、ということは1人負けるということです。 　敗者を固定してみます。( 例えばBが敗者となる場合 ) 　Aは何を出しても良いので、確率1 　BはAに負ける手なので、確率×1/3 　C,DはAと同じ手なので、確率×(1/3)^2 　全てかけて 1/27 です。 　実際には、敗者の候補は3人で、複数人が同時に敗者になることはないため、確率は 1/27×3=1/9 (2)-2 　既に1人負けている状況で、更に1人負けることになります。 　誰が負けているか、Aでないことしか分からないので、A,X,Yが残っているとしましょう。( X,Y は B,C,Dのいずれか ) 　更に敗者を固定します。( 例えば、Xが更に負ける場合 ) 　Aは何を出しても良いので、確率1 　XはAに負ける手なので、確率×1/3 　YはAと同じ手なので、確率×1/3 　全てかけて1/9 　実際には、敗者の候補が2人で、2人が同時に敗者になることはないため、1/9×2=2/9 最終的に、1/9 と 2/9 をかけて 2/81 No.7773 - 2009/09/02(Wed) 01:07:10

★ 何の分野といったらいいか・・・ / たかし

以下の問題の解き方をお教えください 　ｋを2以上の整数とする。曲線ｙ＝√（２ｘ＋１）のｘ＞０の部分をＣとし、Ｃに点（０、ｋ）から接線を引き、接点のｘ座標をａkとする。 　（１）ａkをkで表せ。 n 　（２）lim（n→∞）１／（n＾3）Σａkの値を求めよ。 　　　　　　　　　　　　　　　　k=2　　 ちなみに、これは何分野の問題といったら良いのでしょうか？ No.7757 - 2009/09/01(Tue) 19:35:30 ☆ Re: 何の分野といったらいいか・・・ / angel うーん… 微分と数列の和と極限ですかね。 ※微分使わなくても解く方法はありますが… 考えられる解き方としては、 (1) 　1. y=√(2x+1) の導関数を求める 　2. x=t における y=√(2x+1) の接線を求める 　3. 2.で求めた接線が (0,k) を通ることから、x=0,y=kを代入し、方程式を立てる 　4. 3.の方程式を解けば、解 t がそのまま a[k] になる。t＞0 に注意 (2) 　(1)の結果を元にΣを計算する。 　k^2の和、Σ[k=1,n] k^2 = 1/6・n(n+1)(2n+1) を活用する。 　ただし、√ のΣを直接計算するのは無理なので、適当に大きさを見積もって、挟みうちに持っていく。 　※具体的には、(k-1)^2＜√(k^2・(k^2-1))＜k^2 　また、Σの開始が k=2 であることに注意する事。( Σ[k=1,n] から k=1 分を引けばよい ) No.7774 - 2009/09/02(Wed) 01:23:01 ☆ Re: 何の分野といったらいいか・・・ / たかし なるほど！ 挟み撃ちで攻めるのか！ ありがとうございました！ No.7784 - 2009/09/02(Wed) 20:43:00

★ 確率について / ぴゅめ

サイコロ5回投げて、そのうち3回 3の倍数の目が出る確率は？ という問題なのですが、よろしくお願いします。 No.7756 - 2009/09/01(Tue) 18:49:08 ☆ Re: 確率について / ヨッシー ３の倍数以外の目を○で表すと、目の出方は ３３３○○ ３３○３○ ３３○○３ ３○３３○ ３○３○３ ３○○３３ ○３３３○ ○３３○３ ○３○３３ ○○３３３ の10通りです。式で書くと、 5Ｃ3＝10 です。 それぞれ確率は 　(1/3)^3×(2/3)^2＝4/243 なので、10通りで、40/243 です。 No.7758 - 2009/09/01(Tue) 20:49:41 ☆ Re: 確率について / ぴゅめ ありがとうございます！ ご丁寧に説明して頂いたのですが、なにぶん数学の勉強から離れて長いもので いまいち難しくて良く理解し切れません・・ 確かに 仰るとおり、目の出方は10通りで、それはまさに書いて頂いたように全部並べて数えました。 でもやはり『5Ｃ3＝10』といった計算式があるのですね。 この計算式はどのように計算して答えを出すものなのでしょうか？ また、(1/3)^3×(2/3)^2 というのはどういった計算から成り立っているのでしょうか？ 出目の10通り中の1通り分の確率だというのは分かるのですが・・ 申し訳ないのですが、超初心者向けにご説明頂けたら助かります。 お願い致します。 No.7765 - 2009/09/01(Tue) 22:51:07 ☆ Re: 確率について / ヨッシー ３と○の並べ方を決めるのは、□□□□□ の５つの□のうち３つを選んで、３に変え、 残りは○にするという操作なので、 「５つから３つを選ぶ組み合わせ」となり、5Ｃ3 となります。 詳しくは、こちらをご覧ください。 さて、ここで、たとえば、 　３３３○○ となる確率を求めます。 ３の倍数が出る確率は、６個の目のうち３と６の２通りなので、 　2/6＝1/3 です。３の倍数以外の確率は、4/6＝2/3 です。 最初に３の倍数が出る確率は、1/3。 さらに２回目に３の倍数が出るのは　1/3 さらに３回目に３の倍数が出るのは　1/3 さらに４回目に３の倍数以外が出るのは　2/3 さらに５回目に３の倍数以外が出るのは　2/3 よって、 　３３３○○ の確率は、1/3×1/3×1/3×2/3×2/3＝4/243 次に、３３○３○ の確率を求めますが、順序が変わって、 　1/3×1/3×2/3×1/3×2/3 となるだけで、1/3 を3回、2/3 を2回掛けていることに 変わりはないので、やはり 4/243 です。 他の8通りも、全部確率は、 4/243 です。 それが１０通りあるので、10倍して、 40/243 です。 No.7767 - 2009/09/01(Tue) 23:13:30 ☆ Re: 確率について / ぴゅめ ありがとうございます！ 1通りの出目の確率の計算は非常に分かりやすく、この問題のケースは分かりました。助かりました。 ただ、5Ｃ3の計算方法は 見てみたのですが難しすぎてサッパリでした・・ とりあえずは全部並べて計算するしかなさそうですが、解決方法が分かっただけでも非常に助かりました。 ありがとうございました。 No.7768 - 2009/09/02(Wed) 00:01:52

★ 三角関数 / ayu

こんにちは。よろしくお願いします。 （問題） x,yが sinx+2siny=3/2 を満たして変化するとき、cosx+2cosyのとり得る値の範囲を求めよ。 回答の方針からわからず、あたえられたsinの方程式を両辺２乗しただけの状態です・・・。 No.7753 - 2009/09/01(Tue) 14:12:50 ☆ Re: 三角関数 / ヨッシー cosx+2cosy=k とおいて、sinx+2siny=3/2 とともに ２乗して加えると、 　(中略) ｋ^2＝11/4 ＋ 4cos(x-y) ｘ＝ｙ のとき、ｋ^2 が最大で、このとき 　ｋ^2＝27/4 で、最小値 -3√3/2，最大値 3√3/2。 実際、sinx+2siny=3/2 に ｘ＝ｙ を代入して、 　sinｘ＝1/2，　ｘ＝30°、150° ｘ＝ｙ＝30°のとき　cosx＋2cosy＝3√3/2 ｘ＝ｙ＝150°のとき　cosx＋2cosy＝-3√3/2 No.7762 - 2009/09/01(Tue) 21:45:03 ☆ Re: 三角関数 / angel 横から失礼します。 「取り得る範囲」とあるので、最大・最小を示すやり方では解答が作り辛いと思います。 例えば、cosx+2cosy=1 となることはあるのか、とか、あるいは cosx+2cosy=2 となることはあるのか、とかまとめて示すのはややしんどいでしょう。 No.7764 - 2009/09/01(Tue) 22:48:32 ☆ 別の方針 ( ベクトル ) / angel ベクトルで考えてみましょう。( 習っていれば ) 文字が紛らわしいので、x,y の代わりにθ,φを使います。また、文字 k を導入して以下の問題と考えます。 　sinθ+2sinφ=3/2, cosθ+2cosφ=k の時、k の範囲を求めよ この条件は、1個のベクトル方程式としてまとめて表すことができ、 　(cosθ,sinθ) + (2cosφ,2sinφ) = (k,3/2) となります。 すると、左辺にある2個のベクトルは、互いに依存関係のない、それぞれ大きさ1、大きさ2のベクトルですから、最終的には次の問題に置き換えることができます。 Q. 　ベクトル↑u,↑vが |↑u|=1, |↑v|=2 を満たしながら変化し、xy平面上の点Pは、↑OP=↑u+↑v を満たす。この時、次の問いに答えよ。 　(1) 点Pの軌跡を求めよ 　(2) 点Pのy座標が3/2である時、点Pのx座標の範囲を求めよ この問題を解く、として考えてみて下さい No.7766 - 2009/09/01(Tue) 23:12:12 ☆ Re: 三角関数 / ayu 返信遅れて申し訳ありません。解答ありがとうございます!解説をみたらしっかり理解できました。ベクトルはまだ基礎をやっているので、もう少し練習を積んでから自分でも解いてみます。 解説ありがとうございました。 No.7812 - 2009/09/03(Thu) 21:06:59

★ 場合の数 / 場合の数を極めたい者

白玉3個黒玉7個がある。この10個の玉を円形に並べる方法は何通りあるか。ただし回転して同じになる並べ方はまとめて一通りと考えるものとする。この問題の回答解説を教えてください。一応自分の解答を作ったので添削もお願いします。答えが合っているかは不明です。 解） 円である一定の方向を決めてそれを順番に左から並べるものとする。（→うまい表現が思いつきませんでした） また白玉をa黒玉をｂとする。 １）aが３つ連続しているとき aaabbbbbbb baaabbbbbb bbaaabbbbb、・・・・はどれも同じなので1通り。 ２）aが二つ連続しているとき aababbbbbb aabbabbbbb aabbbabbbb aabbbbabbb aabbbbbabb aabbbbbbab の6通り ３）aが一つも連続していないとき aの間のbの数が 1→1→５、1→2→4、1→3→３、1→4→２、2→2→3 矢印の数が循環して同じになるものは同じものとする（うまい表現が思いつきませんでした） よって１＋６＋５＝12通り No.7747 - 2009/09/01(Tue) 06:01:56 ☆ Re: 場合の数 / らすかる 答えは12通りで合ってます。解き方も問題ありません。 私が解答するとしたら以下のようになります。 白玉3個と黒玉7個を一列に並べる方法は10C3通り 10と3は互いに素なので、端と端をつないで円形にすると すべての並べ方が10回ずつ数えられており、 一列に並べる方法の数を10で割れば良い。 よって 10C3÷10=12通り No.7750 - 2009/09/01(Tue) 10:14:22 ☆ Re: 場合の数 / 場合の数を極めたい者 ありがとうございます。 10と3は互いに素なので、端と端をつないで円形にすると すべての並べ方が10回ずつ数えられており、 一列に並べる方法の数を10で割れば良い。 が、何をやっているのか分かりません。 はじめて見ました。。よろしくお願いします。 No.7751 - 2009/09/01(Tue) 11:35:49 ☆ Re: 場合の数 / らすかる 一列に並べる方法の中には、例えば aabbbabbbb がありますが、これと同一視出来る baabbbabbb bbaabbbabb bbbaabbbab bbbbaabbba abbbbaabbb babbbbaabb bbabbbbaab bbbabbbbaa abbbabbbba もすべて含まれています。 つまり円形にしたときにaabbbabbbbとなるものを、 一列に並べた場合は10倍数えてしまうわけです。 aの個数が3個で10と互いに素ですので、回転対称形になることはなく、 すべてのパターンについて10倍数えることになりますから、単純に10で割れます。 もし白が4個だった場合は aabbbaabbb のような回転対称形のときに、同じパターンが baabbbaabb bbaabbbaab bbbaabbbaa abbbaabbba しかありません。10倍数えるものと5倍数えるものが出てきますので、 単純に10では割れません。 これは、4が10と互いに素でなく、最大公約数が2ですので 10個の前半と後半が同じになるパターンがあり得るためです。 No.7754 - 2009/09/01(Tue) 15:43:39 ☆ Re: 場合の数 / 場合の数を極めたい者 回転対称形って何ですか？ No.7759 - 2009/09/01(Tue) 21:13:57 ☆ Re: 場合の数 / ヨッシー 上の白４個のときの例を図に円く描いてみて、 １個ずつ回転させた図も描いていって、 なぜ、１０通りではなく５通りしかないのか考えてみましょう。 さらに、白３個黒６個のとき abbabbabb も回転対称形です。 やはり図に描いてみましょう。 今度は９通りではなく、３通りしかできません。 その秘密が回転対称形です。 No.7761 - 2009/09/01(Tue) 21:25:13 ☆ Re: 場合の数 / らすかる ↓ここらへんを見るとわかりやすいかも知れません。 http://m.iwa.hokkyodai.ac.jp/me/subjects/geomview/symmetry/2d/symfigure/rotation/index_j.phtml No.7763 - 2009/09/01(Tue) 22:43:20

★ 税は、割引後？ / √

よろしくお願い致します。 ２００円（消費税は含まれていない） の商品が、本日、「１割引」になっていたとしたら、 通常の計算は、 【２００円】ｘ【９／１０】ｘ【１．０５】＝１８９円 となって、 「割引」「税」どちらを先に掛けても、支払う金額は、 同じになりますが、 １８９円のうち、国に支払う消費税額は、 【２００円】ｘ【５／１００】＝１０円 （店の売り上げは１７９円） １割引後だと 【１８０円】ｘ【５／１００】＝９円 （店の売り上げは１８０円） となりますが、 通常は、どちらになるのでしょうか？ No.7742 - 2009/08/31(Mon) 22:13:56 ☆ Re: 税は、割引後？ / ヨッシー ここで、求められている答え方で言うと、売値の100/105 と いうことで、９円が消費税となります。 細かいことをいうと、４％が国税で、１％が地方税なので、 「国に支払う」となると、少し変わってきます。 また、たとえば、この商品を税込み１０５円で仕入れていたとすると ５円分は、すでに払ったので、 　９−５＝４(円) が、実際に払う額となります。 No.7743 - 2009/08/31(Mon) 22:41:55 ☆ Re: 税は、割引後？ / √ ヨッシーさん 有り難うございました。 No.7744 - 2009/08/31(Mon) 23:01:50

★ 正直言います・・・ / ともだち

常日頃から思っていることを言います。 等式を両辺2乗するときに 両辺ともに0以上より と、断り書きを入れますが あれって無意味ですよね？？ 両辺−でも二乗すればプラスになるのですから。 例として x=±√p ⇔x^2=p x=-√ｐは両辺ともに0以下なのですから。 一応確認の意味でよろしくお願いします。 No.7739 - 2009/08/31(Mon) 21:51:37 ☆ Re: 正直言います・・・ / ヨッシー ２乗するときは、断り書き入れないと思いますよ。 不等式なら必要ですが。 No.7741 - 2009/08/31(Mon) 22:00:50 ☆ 状況により / angel 確かに、正負に関わらず a=b⇒a^2=b^2 は成立します。 そういう意味なら無意味といえます。 しかし、a≧0 かつ b≧0 という状況なら、 a=b⇔a^2=b^2、つまり同値変形となります。 この、同値変形であることを言いたいのであれば、非負であることを断り書きする必要があります。 同値変形ではなく、一方向 ( 必要条件のみ ) であれば、非負かどうかを断る必要がない、と言えます。 No.7769 - 2009/09/02(Wed) 00:04:11 ☆ Re: 正直言います・・・ / ともだち -2= -2⇔４＝４で必要条件ではなく必要十分じゃないんですか？ 答えを求めるのには差し支えないですか？ No.7792 - 2009/09/02(Wed) 23:14:23 ☆ Re: 正直言います・・・ / ヨッシー -2= -2⇔４＝４　は、同じ数字は等しいと言っているだけです。 　ｘ＝−２　⇒　ｘ^2＝４　は真ですが、 　ｘ^2＝４　⇒　ｘ＝−２　は真ではありません。 よって、 　ｘ＝−２ は、ｘ^2＝４ であるための必要条件です。 No.7809 - 2009/09/03(Thu) 16:14:12

★ (No Subject) / あやか

連立方程式　 　　　　?I＾２+ｙ＾２≦４、y≧?I＾２-２ のあらわす領域の面積を求めよ どうしたらいいですか？？ No.7735 - 2009/08/31(Mon) 20:17:22 ☆ Re: / ヨッシー まず、Ａの座標を求めます。 円x^2+y^2=4 上の点は(2cosθ, 2sinθ) と書けるので、 ｙ＝ｘ^2−２ に代入して、 　2sinθ＝4cos^2θ−２ 　sinθ＝2(1-sin^2θ)−１ 　2sin^2θ＋sinθ−１＝０ これを解いて、 　sinθ＝(−１±３)／４＝−１，1/2 sinθ＝−１ は、(0,-1) なので、sinθ＝1/2 点Ａの座標は、ｘ座標が正なので、(√3, 1) よって、直線ＯＡの式は　ｙ＝ｘ/√3 黄色の扇形の中心角は120° まず、赤い部分の面積を求めます。 　∫0〜√3(ｘ/√3−ｘ^2＋２)dx 　＝[ｘ^2/2√3−ｘ^3/3＋２ｘ]0〜√3 　＝3√3/2 青の部分も同じく 3√3/2 黄色の扇形は 　4π/3 以上より、求める面積は、 　3√3＋4π/3 No.7736 - 2009/08/31(Mon) 21:14:43 ☆ Re: / DANDY　U 【Ａの座標の求め方の別方法】 x^2=y+2 を x^2+y^2＝4 に代入してyについて解くと ｙ＝−2, 1 となり、 ｙ＝1　のとき ｘ＝±√3 だから Ａの座標は(√3,1) （よって、AOとｘ軸と交わる角は30°） ・・・としても求められます。 No.7752 - 2009/09/01(Tue) 13:37:26

★ (No Subject) / adany
「二次方程式ってどうして答えが二つ出るのですか？」 という質問には、どのように答えるのが最適でしょうか。 No.7732 - 2009/08/31(Mon) 16:19:42 ☆ Re: / ヨッシー こちらを見ていただくとわかりますが、 ２次方程式は必ず 　(ｘ−ａ)^2＝ｂ という形になります。 これを解くときに 　ｘ−ａ＝±√ｂ という形になるので、解は、 　ｘ＝ａ＋√ｂ　と　ｘ＝ａ−√ｂ の２つあります。 ｂ＝０ のときは、２つの解が、たまたま同じ値であると 考え、こういう場合を重解といいます。 ｂ＜０ のときは、ｉ を使って表しますが、省略しました。 No.7733 - 2009/08/31(Mon) 16:27:27 ☆ Re: / adany どうもありがとうございました。 No.7755 - 2009/09/01(Tue) 18:25:13

★ 続けて質問です＞＜ / ぽんた

z^2+{(√(x^2+y^2))-b}^2=a^2　　ただし（０＜ａ＜ｂ） の表面積を求めよ。(高校2・3年の範囲、積分法とその応用、月の光さんからの質問１の問題） の問題で「求める立体は、この円をｚ軸を中心に回転させたものになります」というのがなぜなのかわかりません。 よろしくお願いします。 No.7720 - 2009/08/31(Mon) 10:02:42 ☆ Re: 続けて質問です＞＜ / ヨッシー ｘｙ平面を極座標で表すと、任意の偏角θでの断面を 考えると、 のような図になります。 という、説明でわかりますか？ No.7723 - 2009/08/31(Mon) 10:20:14 ☆ Re: 続けて質問です＞＜ / ぽんた 正直分かりません。。 また、√(x^2+y^2）＝ｒは適当に置いたのではなく 極座標に直すということから置いたのですか？ No.7725 - 2009/08/31(Mon) 11:40:38 ☆ Re: 続けて質問です＞＜ / ヨッシー 上図で、回転している平面一つ一つが、ｒｚ平面です。 ｒは、点(x,y) までの距離を表しますから、 原点から、ｘｙ平面上で、放射状に伸ばした直線になります。 No.7727 - 2009/08/31(Mon) 13:20:46 ☆ Re: 続けて質問です＞＜ / ぽんた つまり問題がz^2+{(√(3x^2+y^2))-b}^2=a^2　　ただし（０＜ａ＜ｂ）などであっても ここまでは同じということですね？ No.7728 - 2009/08/31(Mon) 13:59:12 ☆ Re: 続けて質問です＞＜ / ヨッシー ｒ＝√(x^2＋y^2) は、原点(正確にはｚ軸)からの距離を 表しますが、 　ｒ＝√(3x^2+y^2) は、そうではありませんので、上のようなｒｚ平面にはなりません。 （作ったとしても、円にはなりません） No.7730 - 2009/08/31(Mon) 14:35:08 ☆ Re: 続けて質問です＞＜ / ぽんた しかし　ｒ＝√(3x^2+y^2) とおいても z^2＋（ｒ−ｂ）＾２＝a^2 といったようにｒ−Z平面は円になりますよね？ No.7738 - 2009/08/31(Mon) 21:18:36 ☆ Re: 続けて質問です＞＜ / ヨッシー 図の左は、ｒ＝√(x^2+y^2)、右はｒ＝√(3x^2+y^2) のときの 各方向における、ｒの目盛りです。 左の方は、どの方向も同じ間隔で、この間隔は、ｚ軸とも同じです。 右は、方向を固定すれば、等間隔ですが、ｙ軸方向以外は ｚ軸の間隔とずれます。 たとえば、ｘ軸方向は1/√3 倍に縮小されます。 その場合の、ｒｚ平面では、 　z^2＋（ｒ−ｂ）＾２＝a^2 は、楕円になります。 よって、z^2+{(√(3x^2+y^2))-b}^2=a^2 は、方向によって、 短径が異なる楕円を持つ立体になります。 No.7740 - 2009/08/31(Mon) 21:58:59 ☆ Re: 続けて質問です＞＜ / ぽんた 本当に理解力が無くて申し訳ないのですが、 二つの図が何を表してるのかが分かりません。 ｘ−ｙ平面ですか？軸の名前が書いてないですが・・・ No.7745 - 2009/09/01(Tue) 00:30:10 ☆ Re: 続けて質問です＞＜ / ぽんた また ｒｚ平面では、 　z^2＋（ｒ−ｂ）＾２＝a^2 は、楕円になります。 とありますが これは円の式では？？ z＾２,r＾２の係数が1なので・・・ No.7746 - 2009/09/01(Tue) 00:34:49 ☆ Re: 続けて質問です＞＜ / ヨッシー 上の図は、ｘｙ平面上での、各方向に伸ばしたｒ軸と、 その上での、ｒ＝１，２，３，４ の位置です。 　z^2＋（ｒ−ｂ）＾２＝a^2 は、式の形は円ですが、上に書いたように ｚ軸のスケールと、ｒ軸のスケールが違うので、楕円になります。 図の左は、ｚ軸とｒ軸の目盛りの間隔が等しい場合の 　ｚ^2＋ｒ^2＝４ のグラフ。右は、ｒ軸の目盛りの間隔が、ｚ軸より狭いときの 　ｚ^2＋ｒ^2＝４ のグラフです。 No.7748 - 2009/09/01(Tue) 07:10:59 ☆ Re: 続けて質問です＞＜ / 場合の数を極めたい者 7740のグラフは横方向がｘ軸縦方向がｙ軸ということですね？（x^2+y^2=r^2,3x^2+2ｙ^2=r^2より）それはわかりましたが、左の方は、どの方向も同じ間隔で、この間隔は、ｚ軸とも同じです。 右は、方向を固定すれば、等間隔ですが、ｙ軸方向以外は ｚ軸の間隔とずれます。 たとえば、ｘ軸方向は1/√3 倍に縮小されます。 その場合の、ｒｚ平面では、 　z^2＋（ｒ−ｂ）＾２＝a^2 は、楕円になります。 これの意味が分からないと、７７４８の意味が分かりません。。また、短径とは何ですか？ よろしくお願いします。。。 No.7749 - 2009/09/01(Tue) 09:07:36 ☆ Re: 続けて質問です＞＜ / ヨッシー １）ｒ軸は、原点から、360°あらゆる方向に引けます。 ２）ｒ＝√(x^2+y^2) のとき、ｒは原点から点(x,y)までの 　距離を表します。たとえば、点(3,4) におけるｒの値は５です。 ３）ｒ＝√(x^2+y^2) のとき、たとえば、ｘ軸方向のｒ軸を 　考えると、点(1,0) におけるｒの値は１、点(2,0)における 　ｒの値は２ となり、ｘ軸の目盛りと、ｒ軸の目盛りは 　一致します。ｙ軸も同様です。 ４）ｒ＝√(x^2+y^2) のとき、7740 の左の図のように、 　どの方向のｒ軸も、整数の目盛りは等間隔になります。 ５）４）の目盛りは、ｚ軸の目盛りの間隔とも同じです。 　つまり、ｚ軸の１目盛りが1cm なら、ｒ軸の１目盛りも 　1cm です。 ６）ｒ＝√(3x^2+y^2) のとき、ｒは原点から点(x,y)までの 　距離を表しているわけではありません。たとえば、点(3,4) 　におけるｒの値は√43 です。 ７）ｒ＝√(3x^2+y^2) のとき、たとえば、ｘ軸方向の 　ｒ軸を考えると、点(1/√3, 0) における ｒの値が１、 　点(2/√3, 0) における ｒの値が２ となり、ｒの整数の 　目盛りは、等間隔ですが、ｘ軸の目盛りとは一致しません。 　ｙ軸は、ｒ＝√(3x^2+y^2) の y^2 の係数が１であるため 　ｙ軸の目盛りと、ｒ軸の目盛りは間隔が一致します。 ８）７）において、ｒ軸の目盛りは、ｘ軸の目盛りの 1/√3 　の間隔になっています。 ９）7748 の図において、緑の線は、ｚまたはｒが整数である 　直線です。 　左右どちらも、 　　ｚ^2＋ｒ^2＝４ 　のグラフですが、右の方は、ｚ軸とｒ軸の目盛りの感覚が違うため 　楕円になります。 10) 　図において、回転している長方形が、ｒｚ平面です。 　これは、ｒ＝√(x^2+y^2) の場合の図です。 　このとき、すべてのｒｚ平面上に書いた、 　　z^2＋（ｒ−ｂ）＾２＝a^2 　のグラフは、円になります。 11) もし、10) の図を、ｒ＝√(3x^2+y^2) の場合について描くと、 　ｒｚ平面が、ｙｚ平面に重なるとき以外は、 　　z^2＋（ｒ−ｂ）＾２＝a^2 　のグラフは楕円になります。 12) 11) のとき、楕円のｚ軸方向の長さ（長径）は２ａのままですが、 　ｒ軸方向の長さ(短径)は、ａより短く、ｚｘ平面上で 　２ａ/√３ になります。 さて、どこまでわかりますか？ No.7760 - 2009/09/01(Tue) 21:19:35 ☆ Re: 続けて質問です＞＜ / ぽんた ５ばんがよくわかりません。。 No.7777 - 2009/09/02(Wed) 11:29:50 ☆ Re: 続けて質問です＞＜ / ヨッシー ４．が若干言葉足らずでしたが、 >どの方向のｒ軸も、整数の目盛りは等間隔になります。 等間隔であるだけでなく、どの方向においても目盛りの 間隔が等しいということです。 つまり、どの方向も整数の目盛りの間隔は、１であるということです。 ｚ軸と、ｒ軸の目盛りの間隔が同じことは、 そこに描かれた、 　z^2＋（ｒ−ｂ）＾２＝a^2 のグラフが円になるか、楕円になるかにかかわってきます。 No.7781 - 2009/09/02(Wed) 14:36:33 ☆ Re: 続けて質問です＞＜ / ヨッシー 参考までに、 　ｒ＝√(3x^2+y^2) のときの、断面の図を載せておきます。 ↑こちらは　ｒ＝√(x^2+y^2) ↓こちらが　ｒ＝√(3x^2+y^2) No.7782 - 2009/09/02(Wed) 15:26:45 ☆ Re: 続けて質問です＞＜ / ぽんた r軸がｚ軸に重なることがある、といっているように聞こえます。ｒはxとyからなる式なのでｚ軸方向の目盛りはx軸、ｙ軸で等間隔になってもそれはｚ軸には関係ないように思えるのですが。 No.7793 - 2009/09/02(Wed) 23:19:44 ☆ Re: 続けて質問です＞＜ / ヨッシー ｒ軸はｘｙ平面上に出来るので、ｚ軸とは常に垂直です。 問題は、ｚ軸の目盛りの間隔と、ｒ軸の目盛りの間隔が 同じでないと、7748 の右の図のように、 　ｚ^2＋ｒ^2＝４ という、式の形は円でも、外から見ると、楕円になってしまうと いうことと、ｒ軸の方向によって、その楕円の形も変わると いうことです。 これでは、元々の問題で使ったような、パップスギュルダンは 使えません。 7782 の上の図は、ｒ軸が回転しても、ｒｚ平面上に書いた、 図形は円のままですが、下の図は、回転するにつれて、 形が変わっているのを、読み取ってください。 No.7797 - 2009/09/02(Wed) 23:40:44

★ 質問です / ぽんた

ここの問題のコーナーで（奈々さんからの質問１） 次の三つのグラフを描きなさい (ア)　y=[x]+[-x]+1 (イ)　y=|x-2[(x+1)/2]| (ウ)　y=[x]-2[x/2] でア）ウ）では-2から２までを調べ イ）ではー３から３まで調べた理由は何ですか？ また、今回はたまたま規則性があり（or比較的小さい範囲を調べるだけで規則性が分かり）グラフが書けましたが 規則性が見られなかった場合は、あるいはあっても 高々−２〜２程度調べても分からないような場合はどう解けばよいのですか？ 解答は余りにも長くなるので載せませんでした。 お手数ですがよろしくお願いします。 No.7718 - 2009/08/31(Mon) 09:15:18 ☆ Re: 質問です / ヨッシー ±２か±３かというのは、完全にさじ加減です。 強いて言えば、ア）ウ）はグラフのほとんどが、 ｘ軸に平行なのに対し、イ）は斜めになるので、 規則が読み取りにくいため少し長めにしました。 この問題は、わざと規則（繰り返し)が起こるように 作ってありますが、そうでないのも多いです。 その場合は、[　]の値が変わるところを注意しながら 考えて行きます。 たとえば、 　ｙ＝[ｘ]^2 だと、元の ｙ＝ｘ^2 のグラフを基に、小数部分を全部 整数の値に一致させることになります。 さらに 　ｙ＝[ｘ]^2−2[x/2]^2 のようであれば、 　ｙ＝[ｘ]^2　と　ｙ＝−2[x/2]^2 のグラフをそれぞれ描いて、足し合わせるということも必要になります。 No.7722 - 2009/08/31(Mon) 10:08:37 ☆ Re: 質問です / ぽんた ｙ＝[ｘ]^2のグラフを書け。の答案を書いてもらえませんか？ No.7724 - 2009/08/31(Mon) 11:33:17 ☆ Re: 質問です / ヨッシー 任意の整数ｎに対して、 　ｎ≦ｘ＜ｎ＋１ となるｘに対して、 　[ｘ]＝ｎ であり、 　[ｘ]^2＝ｎ^2 であるので、 下のようなグラフになります。 No.7726 - 2009/08/31(Mon) 13:15:59 ☆ Re: 質問です / ぽんた 答案だけだとやはり理解できなかったので 解説をお願いします。正直全然分かりません。 No.7729 - 2009/08/31(Mon) 14:03:00 ☆ Re: 質問です / ヨッシー こんな感じです。 No.7731 - 2009/08/31(Mon) 16:19:34 ☆ Re: 質問です / ぽんた 理解しました。わざわざ図まで描いていただきありがとうございます。 No.7737 - 2009/08/31(Mon) 21:15:30

★ とつぜんですが / ぽんた
−２をこえない最大の整数ってなんですか？ No.7717 - 2009/08/31(Mon) 08:57:28 ☆ Re: とつぜんですが / ヨッシー −２　ですね。 No.7719 - 2009/08/31(Mon) 09:26:16 ☆ Re: とつぜんですが / ぽんた ありがとうございます。 No.7721 - 2009/08/31(Mon) 10:03:27

★ ちょっとまった / たかし
この ３ 実解に対応する ｙ 座標の平均 Ｙ は、〔１〕 と 〔２〕 の対称性より、 　　　Ｙ＝２ａ２/３　…　〔５〕 を説明してくれませんか？ おねがいします No.7708 - 2009/08/30(Sun) 21:30:37

★ さっきの問題 / ちゃこ
教えてもらえると幸いです・・。 No.7706 - 2009/08/30(Sun) 21:05:34

★ 教えてください☆ / たかし

aは正の実数とする。ｘｙ平面において、2曲線 　　　ｙ＝ｘ（ｘ−a）、ｘ＝ｙ（ｙ−a＾2） は、原点以外に異なる3交点をもつように変化する。このとき、それら3点を頂点とする三角形の重心の軌跡を求めよ。 のとき方を教えてください。 お願いします No.7701 - 2009/08/30(Sun) 18:22:47 ☆ Re: 教えてください☆ / のぼりん こんばんは。 　　　ｙ＝ｘ（ｘ−ａ）＝ｘ２−ａｘ　　 …　〔１〕 　　　ｘ＝ｙ（ｙ−ａ２）＝ｙ２−ａ２ｙ　…　〔２〕 の交点の ｘ 座標は、両式から ｙ を消去し、 　　　ｘ＝（ｘ２−ａｘ）２−ａ２（ｘ２−ａｘ）＝ｘ４−２ａｘ３＋ａ３ｘ 　　　ｘ（ｘ３−２ａｘ２＋ａ３−１）＝０　…　〔３〕 の解です。 〔３〕 から定まる ｘ を 〔１〕 に代入し、対応する ｙ 座標が一意に定まります。 従って、〔１〕 と 〔２〕 が原点以外に異なる ３ 交点を持つためには、 　　　ｆ（ｘ）＝ｘ３−２ａｘ２＋ａ３−１ とおいたとき、ｆ（ｘ）＝０ が異なる ３ 実解を持つことが必要十分です。 　　　ｆ’（ｘ）＝３ｘ２−４ａｘ＝ｘ（３ｘ−４ａ） 　　　ｆ（０）＝ａ３−１ 　　　ｆ（４ａ/３）＜０ を使い、増減表を描き、ｆ（ｘ）＝０ が異なる ３ 実解を持つためには、ａ＞１ が必要十分であることを確認します。 このとき、この ３ 実解の平均 Ｘ は、解と係数の関係式より 　　　Ｘ＝２ａ/３　（Ｘ＞２/３）　…　〔４〕 です。 この ３ 実解に対応する ｙ 座標の平均 Ｙ は、〔１〕 と 〔２〕 の対称性より、 　　　Ｙ＝２ａ２/３　…　〔５〕 です。 〔４〕 と 〔５〕 から ａ を消去し、 　　　Ｙ＝３Ｘ２/２　（Ｘ＞２/３） が求める軌跡の方程式です。 計算は苦手なので、途中に誤りがあるかも知れません。 ご自分で検算しつつ良くご確認下さい。 No.7703 - 2009/08/30(Sun) 19:19:49 ☆ Re: 教えてください☆ / たかし よくわかりました ありがとうございました☆ またいつかお願いします。 No.7707 - 2009/08/30(Sun) 21:09:54 ☆ Re: 教えてください☆ / たかし この ３ 実解に対応する ｙ 座標の平均 Ｙ は、〔１〕 と 〔２〕 の対称性より、 　　　Ｙ＝２ａ２/３　…　〔５〕 を説明してくれませんか？ おねがいします No.7709 - 2009/08/30(Sun) 21:32:54 ☆ Re: 教えてください☆ / のぼりん 先ず、 ＞　　　Ｙ＝２ａ２/３　…　〔５〕 の様な単純コピペはご遠慮下さい。 これだと Ｙ＝２ａ２/３＝４ａ/３ の意味になってしまいます。 タグを使って Ｙ＝２ａ２/３ と書くか、Ｙ＝２ａ＾２/３ の様に記載いただいた方が良いと思います。 「対称性」は、〔１〕と〔２〕は、ｘ⇔ｙ、ａ⇔ａ２ を入れ替えると夫々の式も入れ替わるので、Ｙ についても上の計算がそっくり適用でき、その結果は Ｙ＝２ａ２/３ となる、という意味です。 No.7710 - 2009/08/30(Sun) 21:43:21 ☆ Re: 教えてください☆ / たかし わかりました。 しかし、指数の表記（入力）の仕方がわかりません(-д-；) No.7734 - 2009/08/31(Mon) 19:35:19

★ 高?@数学 / ちゃこ

1、次の式を展開せよ。 1、(x-1)(x+2)(x+1)(x-2) 2、(a+b)^3(a-b)^3 3、(a+b)(a-b)(a^2+b^2) (a^4+b^4) 4、(a+b)(a-b)(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2) 2、因数分解せよ。 1、x^3-3x^2 2、(a-b)^2-a+b 3、 ax+bx+a+b 4、 2ax-ay-2bx+by 5、25a^2-10a+1 6、5x^2-10x+5 因数分解がどうも苦手で解けません・・。 No.7700 - 2009/08/30(Sun) 17:30:15 ☆ Re: 高?@数学 / ヨッシー 苦手なのは、ひとえに訓練不足です。 そういう人に、答えをそのまま書くと、余計苦手になるので、 ヒントだけ。 展開は、多少楽になる方法もありますが、要は、カッコを 外そうという気力の問題だけですので、サクッと飛ばして、 因数分解の第一歩は、共通因数でくくることです。 1. ｘでくくって、 　x^3-3x^2＝x(x^2-3x) 　x^2-3x をさらに因数分解します。 2.(a-b)^2-a+b＝(a-b)^2-1(a-b) 　共通因数は？ 3.ｘでくくれるものはくくってしまいましょう。 4.ｘでくくり、ｙでくくり、さらに２をカッコの外に出すと 　共通因数が見えてきます。 5. x^2-2xy+y^2＝(x-y)^2 の公式を使います。 6. 共通因数は５です。 No.7713 - 2009/08/30(Sun) 21:59:51

★ 中3数学 / みかん
長方形ＡＢＣＤと同じ平面上の任意の点をＰとするとき、等式ＰＡ２乗＋ＰＣ２乗＝ＰＢ２乗＋ＰＤ２乗が成り立つことを証明せよ。 計算が簡単になるように座標軸を定めるとあるのですが、よくわかりません。ご教授お願いします。 No.7697 - 2009/08/30(Sun) 13:13:33 ☆ Re: 中3数学 / のぼりん こんにちは。 　　　ＡＢ＝ＣＤ＝ｂ、　ＡＤ＝ＢＣ＝ｄ とおき、座標系を Ａ（０，０）、Ｂ（ｂ，０）、Ｃ（ｂ，ｄ）、Ｄ（０，ｄ） となる様に取ります。 Ｐ（ｘ，ｙ） とおくと、三平方の定理により、 　　　ＰＡ２＋ＰＣ２ 　　　＝ｘ２＋ｙ２＋（ｘ−ｂ）２＋（ｙ−ｄ）２ 　　　＝（ｘ−ｂ）２＋ｙ２＋ｘ２＋（ｙ−ｄ）２ 　　　＝ＰＢ２＋ＰＤ２ です。 No.7698 - 2009/08/30(Sun) 15:08:39

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