こんばんは。
度々失礼します。
質問お願いします。
0log1/(1−x^2)<(log1/1−x)^2 が成立つことを示せ
まず私は底がeなので
f(x)=2/(1−x)−1/(1−x^2)とおいてこのf(x)>0を示せばいいと考えてしまいました。
やってみるとf'(x≧0なのでf(x)は単調増加
ところがf(0)=1
f(1)=0 となりなぜか減少関数になってしまいました。
どうしてでしょうか？(>_<)
またこの方法だとできないのでしょうか？
宜しくお願いします。
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No.6975 - 2009/07/27(Mon) 20:01:42
| ☆ Re: 不等式 / aki | | | ごめんなさいなずか問題の前に0がついてますが、関係ありません。
宜しくお願いします。
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No.6976 - 2009/07/27(Mon) 20:03:43 |
| ☆ Re: 不等式 / ロボット | | | まず私は底がeなので
f(x)=2/(1−x)−1/(1−x^2)とおいてこのf(x)>0を示せばいいと考えてしまいました。
激謎。
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No.6977 - 2009/07/27(Mon) 21:14:50 |
| ☆ Re: 不等式 / angel | | | 不等式の左辺が log(〜) で、右辺が ( log(…) )^2 という形であれば、単純に真数の差を取って比較するわけにはいきませんよ。
また、差を取って微分して増減を見るのも、logの2乗の形があるため、ちょっとややこしいような気がします。
こういう時の手として、丁度両辺とも x→+0 における片側極限が 0 で等しいため、
lim[x→+0]f(x)=lim[x→+0]g'(x) かつ 0＜x＜1 において f'(x)＜g'(x)⇒ 0＜x＜1 において f(x)＜g(x)
を使うと良いでしょう。
※通常は、f(0)=g(0) でやるのですが、x=0 での値がないため、極限でやっています。
f',g' の比較が上手くできないなら、2階の導関数を持ち出しても良いです。つまり lim[x→+0]f'(x)=lim[x→+0]g'(x) と f''(x)＜g''(x) を使うということ。
なお、単純に大小比較ができれば良いので、
p(x)=(1-x)f'(x), q(x)=(1-x)g'(x)
のように、何か(正になる式)をかけて、綺麗な形に整えてから比較してあげても良いです。楽になるでしょう。
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No.6984 - 2009/07/27(Mon) 23:45:52 |
| ☆ Re: 不等式 / aki | | | ごめんなさい説明が足り無かったのですが、(log1/1−x)^2を掛け算とみなしてlog2/1−xとし、その後f(x)={2/(1−x)}/{1/1−x^2}
とおくという方法を考えました。
これではどうでしょうか。
また、angelさんの極限をとる方法ですが、ちょっと経験したことがない解法でわからないのですが、
通常f(0)=g(0)を確認する
とありますので、単調増加の話でとくということでしょうか？(・・?)
もう少し詳しく教えてくださると助かります。
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No.6986 - 2009/07/28(Tue) 10:56:05 |
| ☆ Re: 不等式 / ロボット | | | (log1/1−x)^2を掛け算とみなしてlog2/1−xとし
激謎。
君は(log(x))^2=log(2x)と主張するんだね。
angelさんが
不等式の左辺が log(〜) で、右辺が ( log(…) )^2 という形であれば、単純に真数の差を取って比較するわけにはいきませんよ。
と書いてくれているので、差がだめなら比にしようとでも思ったんだろうが、問題はそこではない。
教科書の対数のところから読んでやり直しだな。
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No.6989 - 2009/07/28(Tue) 11:57:58 |
| ☆ Re: 不等式 / aki | | | 対数の話はわかりました
完璧に勘違いしていました
angelさんの極限の話を教えていただきたいです。
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No.7023 - 2009/07/29(Wed) 23:59:21 |
| ☆ Re: 不等式 / angel | | | えーと、ごめんなさい。
極限は実は使う必要ありませんでした。x=0 でも不等式の両辺はちゃんと値があるので…。( ないものと勘違いしていました。値がないのは x=1 ですね )
※ただし、極限を使っても話は同じですが。
書き易さとわかり易さから、極限を使うのはやめて、解の概要を書きます。
f(x)=log( 1/(1−x^2) )、g(x)=( log(1/(1-x)) )^2 とするとき、0＜x＜1 において f(x)＜g(x) を示す。
・p(x)=1/2・(1-x)・f'(x)、q(x)=1/2・(1-x)・g'(x) と置く時、p(0)=q(0)、また 0＜x＜1 において p'(x)＜q'(x) である。
よって、0＜x＜1 において p(x)＜q(x)
・0＜x＜1 において、1-x＞0 のため、p(x)＜q(x) であれば、2p(x)/(1-x)＜2q(x)/(1-x) すなわち f'(x)＜g'(x)
・f(0)=g(0)、0＜x＜1 において f'(x)＜g'(x) のため、0＜x＜1 において f(x)＜g(x) が成立する ( 証明終わり )
細かい部分の計算は確かめてみてください。
なお、p(x)=1/2・(1-x)・f'(x) などと置いたのは、そうすると分母が程よく消えて綺麗になるからです。
＞ 単調増加の話でとくということでしょうか？(・・?)
まあ、単調増加というのはその通りです。
x=0 の値が同じであれば、微分係数が大きい方が、早く増加するよね、と、ただそれだけの話なのですが、2段構えでやっています。
もし x=0 での値が計算できないようなら、f(0),g(0) や p(0), q(0) の代わりに、lim[x→+0]f(x), lim[x→+0]g(x) や lim[x→+0]p(x), lim[x→+0]q(x) を使えば同じ話になります。
※が、今回は不要でした…
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No.7026 - 2009/07/30(Thu) 00:22:42 |
| ☆ Re: 不等式 / aki | | | 単調増加でf(0)とかの値が分からない場合は極限が使えるんですね。初耳でした。すごいです。
またP(x)やq(x)とはなにを指すのでしょうか？f(x)などの微分かと思ったんですが計算すると
g(x)の微分は
2log(1/(1−x))×−1×(1−x)
となりf(x)の微分は
(1−x^2)×−2x
となり少し違うのでわかりませんでした。
度々すみませんお願いします。
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No.7051 - 2009/07/31(Fri) 16:07:25 |
| ☆ Re: 不等式 / angel | | | p(x)やq(x)とは、f'(x),g'(x)の大小を比較するために(独自に)導入した関数です。
勿論、p(x),q(x)をこのように導入する必然性はありませんが、f'(x),g'(x),f''(x),g''(x)を使って計算を進めるのが面倒なため、考え出しました。
※こういうところで、「必然性」を求めると大抵はまりますよ。大体は、問題を解くために色々工夫を試行錯誤した結果でしかないのです。なので、一度この方法で計算を進めて、巧く行くことを体感してください。それから色々考えてください。
目的は、あくまで、「f'(x)とg'(x)の大小関係を示すこと」なので、計算しやすいp(x)とq(x)を代わりに使っても問題ないわけです。
次に模範解答例を示します。
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No.7063 - 2009/08/01(Sat) 13:52:02 |
| ☆ Re: 不等式 / angel | | | 例：
f(x)=log(1/(1-x^2))、g(x)=( log(1/(1-x)) )^2
p(x)=1/2・(1-x)・f'(x)、q(x)=1/2・(1-x)・g'(x)
と置く。
この時、
f'(x)=2x/(1-x^2)、g'(x)=-2/(1-x)・log(1-x)
となるため、
p(x)=x/(1+x)、q(x)=-log(1-x)
また、
p'(x)=1/(1+x)^2、q'(x)=1/(1-x)
そうすると、0＜x＜1 において、
p'(x)＜1、q'(x)＞1 となるため、p'(x)＜q'(x)
かつ、p(0)=q(0)=0 より 0＜x＜1 において p(x)＜q(x)
次に、f'(x)=2p(x)/(1-x)、g'(x)=2q(x)/(1-x) であり、
0＜x＜1 において、分母 1-x＞0 かつ p(x)＜q(x) のため、f'(x)＜g'(x)
かつ、f(0)=g(0)=0 より 0＜x＜1 において f(x)＜g(x)
以上により、0＜x＜1 において f(x)＜g(x)、すなわち題意が示された。
※p(x),q(x)なんて、計算が面倒になったため、途中で仕方なく考え付いたものですが、あたかも最初から使うつもりであったかのように書くのが模範解答例。
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No.7064 - 2009/08/01(Sat) 14:16:55 |
| ☆ Re: 不等式 / aki | | | 確かにそのままf(x)g(x)を考え、さらに微分を考えるとうまくいきませんでした。
その時点でどう試行錯誤していいかわからなかったのですが、P(x)とか置く方法があると聞いてやってみようと思いましたが、まずangelさんの方法でP(x)などはどういうことで考えついたのでしょうか？
確かにハマってしまっているのですが、うまくいかないときに、まずどういうことを考えていけばいいのかということをしらないというか思い付かないので、そこから教えていただければ有り難いです。何度も申し訳ありませんが教えて下さい…
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No.7080 - 2009/08/01(Sat) 20:05:13 |
| ☆ Re: 不等式 / angel | | | 動機はすごく単純で。
f'(x)は分数関数なのでまだましですが、g'(x)は対数関数をさらに整式 (1-x) で割った形で、微分計算が面倒だったからです。
分母の (1-x) が消えれば単なる対数関数で、微分も楽にできますから。ここから、q(x)=1/2・(1-x)・g'(x) でどうだろうと考えました。( 1/2 はおまけ )
それにあわせる形で p(x)=1/2・(1-x)・f'(x) としています。
同じ変形をしないと f'(x) と g'(x) の大小を比べるという目的から外れるためです。
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No.7087 - 2009/08/01(Sat) 23:40:28 |
| ☆ Re: 不等式 / aki | | | わかりました。
最後に微分についてですが、g(x)の微分は2log(1/1−x)×−1/(1/1−x)=−2(1−x)(log1/1−x)
ではないのでしょうか?
そこさえわかれば解決できます、長くなって申し訳ありません。
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No.7110 - 2009/08/02(Sun) 16:43:50 |
| ☆ Re: 不等式 / angel | | | ＞ 最後に微分についてですが、g(x)の微分は2log(1/1−x)×−1/(1/1−x)=−2(1−x)(log1/1−x) ではないのでしょうか?
g(x)=( log(1/(1-x)) )^2
= ( -log(1-x) )^2
= ( log(1-x) )^2
のため、
g'(x)
= 2・( log(1-x) )'・log(1-x)
= 2・( (-1)・1/(1-x) )・log(1-x)
= -2/(1-x)・log(1-x)
そのままの形だと計算し辛いので、log(1/A)=-logA の関係を使って変形してから微分しています。
そのままでも計算できないことはないですが…
A=1-x と置く時、A'=-1
g(x)=( log(1/(1-x)) )^2=( log(1/A) )^2 より
g'(x)
= 2・( log(1/A) )'・log(1/A)
= 2・( (1/A)'・(1/(1/A)) )・log(1/A)
= 2・( A'・(-1/A^2)・A )・log(1/A)
= 2・(1/A)・log(1/A)
= 2/(1-x)・log(1/(1-x))
※ 2・(1/A)・(-logA) と更に変形すれば上と全く同じになります。
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No.7126 - 2009/08/03(Mon) 00:09:37 |
| ☆ Re: 不等式 / aki | | | ごめんなさい。ばかみたいに微分ができません…
上の方法(対数を先に直す方法)でやってみました。
最後g'(x)はlog1/1−xをかけている形になるはずなのですが、angelさんはlog(1−x)になっているような気がするのですが(>_<)
ちなみにg(x)を上のように直すと
g'(x)=2log(1−x)･−1/(1−x)
になると思ってしまうのですが、なにが間違えていて合わないのでしょうか…
理解に時間がかかり大変申し訳ありません。
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No.7150 - 2009/08/03(Mon) 18:34:05 |
| ☆ Re: 不等式 / angel | | | ＞ 最後g'(x)はlog1/1−xをかけている形になるはずなのですが、angelさんはlog(1−x)になっているような
log(1/A)=-logA という性質がありますから、log(1/(1-x))=-log(1-x) です。
そのため、どちらの形を使っても表現可能です。
＞ g'(x)=2log(1−x)･−1/(1−x)
＞ になると思ってしまうのですが、
私の書いた g'(x)=-2/(1-x)・log(1-x) と同じではないのでしょうか…?
私は、・ のあるところが区切りになるような表現を使っていますから、ゴテゴテに書けば
g'(x)= -2/(1-x)・log(1-x) = -(2/(1-x))log(1-x)
ですよ。
g'(x)≠-2/( (1-x)log(1-x) )
であることに注意してください。
※ 単に g'(x)=-2/(1-x)log(1-x) と書くと紛らわしいのでNGですが、かといってカッコを多用して対応すると見辛いので、区切りを明確にする記法にしているのです。
※ 計算過程も載せているので、紛らわしいと思ったら確認してください。
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No.7162 - 2009/08/04(Tue) 00:09:07 |
| ☆ Re: 不等式 / aki | | | やっとできました…
あまりに時間がかかり落ち込んでしまいました…頑張ります。
ありがとうございました。
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No.7193 - 2009/08/05(Wed) 21:01:01 |
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