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★ 分数関数 / die
こんにちは。
簡単ですが質問よろしくお願いします。

2/(x+3)=x+4の方程式を同地変形を使って解こうとしたとき、
解説ではわざわざ通分してから
右辺ー左辺＝０
のようにして
（x^2+7x+10)=(x+3)
としているのですが、
x+3≠０がわかっているので
最初から
２=(x+3)(x+4)のように変形してといてもよいのでしょうか？

ものすごく気になっております。お願いします。
No.7985 - 2009/09/17(Thu) 16:02:27
☆ Re: 分数関数 / ヨッシー
（x^2+7x+10)=(x+3)
が合っているかはともかくとして、
両辺 x+3 を掛けて
　2＝(x+3)(x+4)
で良いでしょう。
滅多にないことですが、x=-3 が解として出てきたら、
そこで考えればいいことです。
No.7986 - 2009/09/17(Thu) 17:13:50
☆ Re: 分数関数 / die
わかりました。
どうもありがとうございました。
No.7988 - 2009/09/17(Thu) 18:17:08
★ フーリエ変換 / たかし
質問です。e^jω(0)t ←(0)とはオメガの右下に付いてる小さい数字

のフーリエ変換で答えが、

2πδ(ω(0)−ω)=2πδ(ω−ω(0)) ってなってました。 この等式の右辺と左辺は複素共役ですがなぜイコールとできるのですか？
No.7984 - 2009/09/17(Thu) 14:51:33
☆ Re: フーリエ変換 / たかし
誰かお願いします。
No.8068 - 2009/09/22(Tue) 20:02:03
★ 三角関数 / na nagi
０＜ｘ＜ｙ＜πのとき，sinｘ＋sinｙと２sin（ｘ＋ｙ／２）の大小を比較せよという問題で，２sin(ｘ＋ｙ／２）−（sinｘ＋sinｙ）
＝２sin(ｘ＋ｙ／２){１−cos(ｘ＋ｙ／２）}までやったのですが，そこからどうやって解けばいいのか分かりません．

また，私は和→積の公式でやってみましたが，他に良い方法があれば教えていただけないでしょうか？

宜しくお願いしますm(u_u)m
No.7977 - 2009/09/16(Wed) 23:39:03
☆ Re: 三角関数 / angel
sinx+siny=2sin((x+y)/2)cos((y-x)/2) ですね。
※sinx+siny=2sin((x+y)/2)cos((x-y)/2) でも良い

なので、
2sin((x+y)/2)-(sinx+siny)
= 2sin((x+y)/2)( 1 - cos((y-x)/2) )

あとは、sin,cosの中身の範囲を見ること。
0＜x＜π, 0＜y＜π のため、0＜(x+y)/2＜π、よって sin((x+y)/2)＞0
x＜y より y-x＞0、0＜x,y＜π より y-x＜π、あわせて 0＜(y-x)/2＜π/2、よって 0＜cos((y-x)/2)＜1

ということで、2sin((x+y)/2)( 1 - cos((y-x)/2) )＞0 ですね。
No.7979 - 2009/09/17(Thu) 00:25:38
☆ Re: 三角関数 / rtz
もし三角関数の微分を既習なら、
f(θ)＝sinθとすると、題意は、
(1/2){f(x)＋f(y)}とf((1/2)(x+y))の大小ですから、
f"(θ)＝-sinθ＜0から上に凸ですから、
必ず(1/2){f(x)＋f(y)}＜f((1/2)(x+y))になります。

未修なら、
「グラフ上で、2つの中点より、グラフ上の点の方が上」程度でいいです。

http://b4.spline.tv/study777/?command=GRPVIEW&num=688
No.7980 - 2009/09/17(Thu) 00:30:22
★ 不定積分 / たかし
∫（2x-3）/(x^2-2x+2)dx
のやりかたをおしえてください
No.7969 - 2009/09/16(Wed) 20:05:54
☆ Re: 不定積分 / ヨッシー
Ｘ＝ｘ−１ とおきます。
ｄｘ＝ｄＸ なので、
∫（2x-3）/(x^2-2x+2)dx＝∫(2X-1)/(X^2+1)dX
　＝∫2X/(X^2+1)dX−∫1/(X^2+1)dX
第１項は、log(X^2+1) です。
Ｘ＝tanθ とおくと、dX/dθ＝1/cos^2θ
1/(X^2+1)＝cos^2θ より
　∫1/(X^2+1)dX＝∫dθ＝θ＝arctanX
以上より、
　∫(2x-3)/(x^2-2x+2)dx＝log(x^2-2x+2)−arctan(x-1)＋Ｃ
No.7971 - 2009/09/16(Wed) 20:26:54
☆ Re: 不定積分 / たかし
ありがとうございました
すごいっすね
No.7978 - 2009/09/16(Wed) 23:51:05
★ 数?UＢ / 泉

こんにちは！
数?UＢの積分の面積の範囲なのですが、
放物線y=ax^2 (a＞0)と直線y=x+1 で囲まれた部分の面積は、
まず放物線と直線の交点の座標は ax^2=x+1よりx=1±√1+4a/2a となるので α=1-√1+4a/2 , β=1+√1+4a/2a とおくと

面積S=∫β→α (-ax^2+x+1)dx
までは分かったのですがそのあとに
-a/6(β-α)^3
とあるのですがなぜそうなるのかわかりません。
拙い説明ですがどなたか宜しくお願いします。
No.7966 - 2009/09/16(Wed) 18:17:13
☆ Re: 数?UＢ / ヨッシー
これは公式のひとつです。
こちらをご覧ください。
No.7970 - 2009/09/16(Wed) 20:16:05
★ 逆手流 / ヒグラシ
日ごろから疑問に思っていることを質問したいと思います。

実数x,yがx^2-2xy+2y^2=1をみたすときx+yの最大値と最小値を求めよ。

解）x^2-2xy+2y^2=1かつx+y=uを満たす実数x,yが存在するためのuの条件を出しそれを満たすuの最大値と最小値をもめればよい。上の条件はｙを消去して得られる等式
5x^2-6ux+2u^2-1=0を満たす実数xが存在することでありそれは
判別式≧０⇔-√５≦u≦√５と同値である。よって・・・

とあります。

しかし
実数x,yが存在するためのuの条件とあるのに
これだとｘについての判別式≧０なので、実数ｘが存在するための条件しかいってない気がします。

ｙについての判別式でも結局uの範囲は同じなのでこのｘについての判別式で実数x,yが存在するためのuの条件はみたしているのでしょう。

なぜｘの判別式だけで題意を満たすのでしょうか。数学は苦手なのでできるだけ詳しく教えてください。
No.7964 - 2009/09/16(Wed) 17:27:51
☆ Re: 逆手流 / にょろ
x^2-2xy+2y^2=1かつx+y=uを満たす実数x,yが存在する
はuの存在条件は言っていません。

uは存在することが前提となっています。
もし存在しないとすればそれは問題が間違っているか
背理法での証明です。

x^2-2xy+2y^2=1かつx+y=uを満たす実数x,yが存在する「ならば」uの最大値を求めよということです
で分かりますかね?
No.7965 - 2009/09/16(Wed) 17:46:00
☆ Re: 逆手流 / ヒグラシ
正直ほとんど何を言ってるのか分かりません。。
本当に申し訳ないですが。。
No.7973 - 2009/09/16(Wed) 21:42:55
☆ Re: 逆手流 / ヒグラシ
つまりｘの判別式≧０かつｙの判別式≧０としなくてもよいのか、ということが聞きたいです。（その根拠も）
No.7974 - 2009/09/16(Wed) 21:45:17
☆ 具体例 / angel
一言で言ってしまえば、
　x が解αを持つなら、(x,y)=(α,u-α) が解になるから
です。

具体例を挙げて見てみましょう。
例えば、
(1) 連立方程式 x^2-2xy+2y^2=1 かつ x+y=1 の実数解 x,y を求めよ ( u=1 のケース )
という問題があったとしましょう。

　y=1-x として最初の式に代入すれば、
　x^2-2x(1-x)+2(1-x)^2=1
　5x^2-6x+1=0
　∴x=1,1/5
　y=1-x に代入すると (x,y)=(1,0),(1/5,4/5)

というわけで、y のことは気にせずに x の二次方程式を解いて、最後に y=1-x を計算するだけですよね。

逆に
(2) 連立方程式 x^2-2xy+2y^2=1 かつ x+y=3 の実数解 x,y を求めよ ( u=3 のケース )
　(1)と同じようにまとめれば、
　5x^2-18x+17=0
　しかしこれは、判別式 D/4=(18/2)^2-5・17=-4＜0 のため実数解なし
　x が実数解なしであれば、自動的に実数解(x,y)はなし

ということで、結局 y については xの解のあるなしに引きずられる格好になります。
No.7975 - 2009/09/16(Wed) 23:09:00
☆ Re: 逆手流 / にょろ
じゃあすごく噛み砕いて

もとめるuがあるとして解いていくよ
解いていったらuあったよ
じゃあそれでいいじゃん

とこういうことです
No.7982 - 2009/09/17(Thu) 12:15:17
★ 物理についてです / ハオ
熱容量50J/Kの熱量計に水150gを入れ温度を測定したら22.0℃であった。その中に100℃に熱した質量50gの金属球を入れ水をゆっくりかくはんした所25.0℃になった。水の比熱を4.2J/(g*k)とする。
問い:金属球の比熱を求めよ。　という問題に於いて
金属球の比熱をcと置くと
熱量保存の法則より
(50+4.2*150)*(25.0-22.0)=-c*50*(25-100)
これよりc≒0.54[J/(g*K)]としたら
[熱量の保存]であって熱量保存の法則では断じてない。と減点されました。
物理のエッセンスという参考書には
低温物体が得た熱量=高温物体が失った熱量
はエネルギー保存則の一種であり熱量保存の法則と呼ぶ。と記載されてあるのですが僕の理解が間違っているのでしょうか？

また、略解には
(50+4.2*150)*(25.0-22.0)=c*50*(100-25.0)
と立式していました。
しかし熱量Q=cmΔtで表されΔtは後の温度-前の温度はないのですか？
No.7958 - 2009/09/15(Tue) 21:38:31
☆ Re: 物理についてです / X
>>僕の理解が間違っているのでしょうか？
私個人は熱量保存の法則と言う言葉は使いませんが、
ネットで調べる限り、熱量保存の法則についての理解は
間違っていないと思います。
質問文を見るだけでは、採点された先生の発言の意図が
よく分かりません。もう一度、その先生に
熱量の保存と熱量保存の法則に違いとは何ですか？
と質問してみてはいかがでしょうか？。

>>しかし熱量Q=cmΔtで表されΔtは後の温度-前の温度はないのですか？
それは「得られた」熱量を正の値として考える場合です。
(ですのでハオさんの解答の方程式の右辺には-の符号がついています)
失われた熱量を始めから正の値として考える(略解の場合)のなら、
前の温度をT1,後の温度をT2として
Q=cmT1-cmT2=cm(T1-T2)
となり、T1,T2の位置が入れ替わります。
No.7960 - 2009/09/16(Wed) 12:24:20
☆ Re: 物理についてです / ハオ
懇切丁寧な解答感謝致します。
これからもよろしくお願いします。
No.7967 - 2009/09/16(Wed) 18:27:14
★ ラグランジュの補間式とかいうのが関係してるそうです / 目指すもの
３次の整式g(x)が
ｇ（１）＝−６
ｇ（２）＝２
ｇ（３）＝−４、
ｇ（４）＝６
を満たすときg（5）を求めよ

細かい計算はいいので
これの最初のｇ（ｘ）の設定の仕方を教えてください。
（それがこの問題の全てだと思うので。）

どうかよろしくお願いします。
No.7948 - 2009/09/15(Tue) 11:23:15
☆ Re: ラグランジュの補間式とかいうのが関係してるそうです / 雀
g(x)=a(x-1)(x-2)(x-3)+b(x-2)(x-3)(x-4)+c(x-3)(x-4)(x-1)+d(x-4)(x-1)(x-2)
と置けばa,b,c,dは簡単に求まります。
No.7949 - 2009/09/15(Tue) 12:18:10
☆ Re: ラグランジュの補間式とかいうのが関係してるそうです / らすかる
g(5)を求めるだけなら、g(x)の設定は不要です。
g(x)の式を求めることなく、簡単に計算できます。
No.7950 - 2009/09/15(Tue) 12:21:33
☆ Re: ラグランジュの補間式とかいうのが関係してるそうです / 目指すもの
なぜg(x)=a(x-1)(x-2)(x-3)+b(x-2)(x-3)(x-4)+c(x-3)(x-4)(x-1)+d(x-4)(x-1)(x-2)のように置けるのかが分かりません。（例えばa=b=c=d=0のときｇ（ｘ）は3次式とはなりません）

７９５０のやり方も参考のため教えてください。
No.7951 - 2009/09/15(Tue) 12:54:04
☆ Re: ラグランジュの補間式とかいうのが関係してるそうです / らすかる
7950のやり方
一般項が多項式の数列は、階差をとるたびに次数が下がります。
三次式ならば３回階差をとれば定数になりますので
-6 2 -4 6
8 -6 10
-14 16
30
のように階差をとれば次の項は30+16+10+6とわかります。
No.7952 - 2009/09/15(Tue) 14:18:23
☆ Re: ラグランジュの補間式とかいうのが関係してるそうです / 平谷恵
：例えばa=b=c=d=0のとき

は、最初にご自分で約束したはずの

：ｇ（１）＝−６
：ｇ（２）＝２
：ｇ（３）＝−４、
：ｇ（４）＝６

を無視しています
No.7953 - 2009/09/15(Tue) 14:22:37
☆ Re: ラグランジュの補間式とかいうのが関係してるそうです / 目指すもの
つまり７９５０はこの問題がたまたま１，２，３，４と並んでいるからこそできるうまい解法のようですが、
３次の整式g(x)は一般項が多項式の数列となぜみなせるのですか？
No.7954 - 2009/09/15(Tue) 16:46:01
☆ Re: ラグランジュの補間式とかいうのが関係してるそうです / 七
> つまり７９５０はこの問題がたまたま１，２，３，４と並んでいるからこそできるうまい解法のようですが、
> ３次の整式g(x)は一般項が多項式の数列となぜみなせるのですか？

お書きになっていることの中にその答えがあります。
g(1)、ｇ（2）、ｇ（3）、ｇ（4）がわかっていて
ｇ（5）を求める問題だからです。
No.7955 - 2009/09/15(Tue) 17:05:22
☆ Re: ラグランジュの補間式とかいうのが関係してるそうです / 目指すもの
７９５０のやりかたは数列が階差数列と分かっていないとできないように思われます。しかし数列には帰納法でないと解けないものなどいろいろなものがあります。ここでｇ（ｘ）がなぜ階差数列だと分かったのですか？ということです。
No.7981 - 2009/09/17(Thu) 10:24:51
☆ Re: ラグランジュの補間式とかいうのが関係してるそうです / 七
> ７９５０のやりかたは数列が階差数列と分かっていないとできないように思われます。しかし数列には帰納法でないと解けないものなどいろいろなものがあります。ここでｇ（ｘ）がなぜ階差数列だと分かったのですか？ということです。

g(x)は階差数列ではありません。数列でさえありません。3次の整式です。
しかし、g(x)＝ax3+bx2+cx+d とおき、
数列　 ｛gn｝をgn＝an3+bn2+cn+d とおくと
3次関数　ｙ＝ｇ（ｘ）　のグラフ上の点、(1、g(1))、(2、ｇ（２））、（3、ｇ（３））、…のｙ座標は
数列｛ｇn｝の一般項となります。つまりgn＝g(n)です。

そして、一般項が3次の整式で表すことのできる数列は
その階差数列は一般項が2次の整式であらわされ、
さらにその階差数列は一般項が1次の整式であらわされます。
つまり等差数列です。
したがってもう一度その階差を考えると定数（一段階前の等差数列の公差）となります。

以上のことから
らすかるさんの7950のやり方ができるわけです。
実を言うと私もこのやり方を見て、目からウロコが落ちる思いをしました。
No.7983 - 2009/09/17(Thu) 12:18:50
☆ Re: ラグランジュの補間式とかいうのが関係してるそうです / 目指すもの
７９８３はわかりましたが30+16+10+6はどこからきたのですか？
No.7987 - 2009/09/17(Thu) 18:15:29
☆ Re: ラグランジュの補間式とかいうのが関係してるそうです / 七
> ７９８３はわかりましたが30+16+10+6はどこからきたのですか？

それではわかっていないと思いますが…。
No.7952 の次の項はどうなりますか？下の数列から順に考えればすぐわかると思います。
No.7991 - 2009/09/17(Thu) 20:09:28
☆ Re: ラグランジュの補間式とかいうのが関係してるそうです / 目指すもの
しばらく考えましたが正直分かりません。
らすかるさんどうかよろしくお願いします。
No.8010 - 2009/09/18(Fri) 16:11:29
☆ Re: ラグランジュの補間式とかいうのが関係してるそうです / らすかる
元の数列 -6 2 -4 6 ○ …
第１階差 8 -6 10 □ …
第２階差 -14 16 △ …
第３階差 30 30 30 30 30 …
第３階差が定数(30)ですから、
△=30+16
□=30+16+10
○=30+16+10+6
となります。
No.8012 - 2009/09/18(Fri) 16:27:44
★ 二次関数 / りん
0<x<1…?@、|x-a|<2…?Aとする。

(１)?@を満たす全てのxについて?Aが満たされるとき、この実数aの範囲を求めよ。
(２)?@を満たすあるxについて?Aが満たされるとき、この実数aの範囲を求めよ。

(１)はわかったのですが全てのとあるの違いがよくわからなく(２)がわかりません。
宜しくお願いします。
No.7941 - 2009/09/14(Mon) 23:59:38
☆ Re: 二次関数 / ヨッシー
図は、ｙ＝|ｘ-ａ|−２ のグラフです。
ｙ＜０ となるｘが、この不等式を満たすｘの範囲ですが、
０＜ｘ＜１ となるｘについて、
左が、すべてのｘが満たす場合
右が、あるｘが満たす場合
です。
No.7945 - 2009/09/15(Tue) 06:32:10
★ 二次方程式 / カーレンジャー
中学三年生です。よろしくお願いします。
二次方程式ｘ2−ｋｘ+16＝0の解がひとつだけになるとき、自然数ｋの値を求めなさい。答えは8になりますが、解き方を教えてください。（ｘ2はｘ二乗のことです）
No.7938 - 2009/09/14(Mon) 21:40:45
☆ Re: 二次方程式 / ヨッシー
二次方程式の解き方は、こちらを見てください。
これによると、解がひとつだけになるのは、
もとの方程式を変形して、
　(ｘ−ａ)2＝０
の形になるとき、解はｘ＝ａ の１つだけです。
これを展開して、
　ｘ2−２ａｘ＋ａ^2＝０
です。
　ｘ2−ｋｘ＋１６＝０
と比べてみると、ｋ＝８とｋ＝−８が出ますが、ｋは自然数なので、
ｋ＝８ となります。

また、上記ページに出てくる、解の公式、または判別式を
知っているなら、
　ｋ^2−４×１６＝０
および、ｋは自然数であることより、ｋ＝８ が得られます。
No.7939 - 2009/09/14(Mon) 22:12:28
☆ Re: 二次方程式 / カーレンジャー
これを展開して、
　ｘ2−２ａｘ＋ａ^2＝０
です。
　ｘ2−ｋｘ＋１６＝０
と比べてみると、ｋ＝８とｋ＝−８が出ますが、ｋは自然数なので、
ｋ＝８ となります。ここのところがわかりません。すみませんが教えてください。
No.7940 - 2009/09/14(Mon) 22:34:32
☆ Re: 二次方程式 / ヨッシー
ｘ2−２ａｘ＋ａ^2＝０
と
ｘ2−ｋｘ＋１６＝０
が、一致するには、
　２ａ＝ｋ
　ａ2＝１６
が必要です。これを解いて・・・
No.7944 - 2009/09/15(Tue) 06:10:43
☆ Re: 二次方程式 / カーレンジャー
やっとわかりました。わかりやすく説明してくださり、ありがとうございました。
No.7947 - 2009/09/15(Tue) 07:33:27
★ 変極点の扱いが分かりません。 / りもこん
問題）aは定数とする。関数ｆ（ｘ）＝-sinxcosx+asinx+(2a-1)xについて
ｙ＝ｆ（ｘ）のグラフが0<x<πの範囲に変極点をもちその変極点における接線の傾きが1であるように定数aの値を求めよ。

これで変極点なので何も考えずにf''(x)=oとして進めてaの値は偶然にもあったのですが、答案としてx=αで変極点を持つ⇒ｆ’’（α）＝０を意識した答案が作れませんでした。
また、そのことは気にしなくていいんでしょうか？
この答えの一連の答えというよりはむしろ答案（略解ではないもの）をお願いしたいです。（特に増減表を書かなくてはならないのかどうかなど気になってる部分があるので）

ちなみに
f'(x)=-2cos^2x+acosx+2a
f''(x)=sinx(4cosx-a)です

よろしくお願いします。
No.7936 - 2009/09/14(Mon) 17:31:09
☆ Re: 変極点の扱いが分かりません。 / angel
まず最初に。変極点ではなく変曲点ですね。

で、「αを使った答案」についてですが、今回はαを持ち出さなくても答案には困らないと思います。
なぜなら、αというのは「変曲点のx座標」という「特別なx」を表すものに過ぎないからです。xのまま話を進めても良いわけです。
※しかしながら、何種類ものx座標を扱うのであれば、区別がついた方が良いので、αなり文字を導入するのが適当でしょう。

なお、増減表についてですが、今回は増減そのものを気にする場面はないため、特に必要ないと思います。
※典型的には、やはりグラフの形状、増減を示す時に、見やすい増減表を使うのがありがちでしょう。
No.7942 - 2009/09/15(Tue) 00:26:05
☆ 答案例 / angel
答案例を挙げます。一応αを使う方向で。
f'(x), f''(x) を求める部分は省略します。
------
変曲点のx座標をα（0＜α＜π）と置く。
すると、f''(α)=0 より sinα(4cosα-a)=0
0＜α＜πではsinα≠0 より、cosα=a/4

次に、変曲点における接線の傾きが 1 のため、f'(α)=1
すなわち、-2(cosα)^2+acosα+2a=1
これに、cosα=a/4 を適用して -2・(a/4)^2+a・a/4+2a=1
このaの2次方程式を解いて a=-8±6√2

このaの解の内、
a=-8-6√2 の場合
　cosα=-2-3√2/2 となり、-1＜cosα＜1 を満たさず不適
a=-8+6√2 の場合
　cosα=-2+3√2/2 であり、-1＜cosα＜1 を満たす
　また、cosα＞0 のため、0＜α＜π/2
　0＜x＜αにおいては、sinx＞0, cosx＞cosαのため、f''(x)＞0
　α＜x＜π/2 においては、sinx＞0, cosx＜cosαのため、f''(x)＜0
　これより、確かにx=αにおいてy=f(x)は変曲点を持ち、十分である

以上により、a=-8+6√2
------
f''(α)=0 だけでは、変曲点とならない可能性 ( f''が+→0→+ と推移する場合など ) があるため、最後に十分条件の確認として、変曲点になっているかどうか調べています。
No.7943 - 2009/09/15(Tue) 00:52:29
☆ (No Subject) / りもこん
おおすじは理解できましたが、
0＜x＜αにおいては、sinx＞0, cosx＞cosαのため」
はどうやったら分かりますか？
sinα(4cosα-a)=0を使いそうですが。。
No.7946 - 2009/09/15(Tue) 07:26:21
☆ Re: 変極点の扱いが分かりません。 / 七
> おおすじは理解できましたが、
> 0＜x＜αにおいては、sinx＞0, cosx＞cosαのため」
> はどうやったら分かりますか？
0<x<πだからです。
No.7956 - 2009/09/15(Tue) 17:22:02
☆ Re: 変極点の扱いが分かりません。 / ちもこん
７９５６の説明だけではまったく分かりません。
どうか詳しくおねがいします。
No.7959 - 2009/09/16(Wed) 10:09:00
☆ 訂正と補足 / angel
すいません。先に訂正です。勘違いがありました。
※嘘は書いていないので、減点対象にはなりませんが、書く意味がない計算を載せてしまいました。

＞　また、cosα＞0 のため、0＜α＜π/2
＞　0＜x＜αにおいては、sinx＞0, cosx＞cosαのため、f''(x)＞0
＞　α＜x＜π/2 においては、sinx＞0, cosx＜cosαのため、f''(x)＜0

この部分は、
　0＜x＜αにおいては、sinx＞0, cosx＞cosαのため、f''(x)＞0
　α＜x＜πにおいては、sinx＞0, cosx＜cosαのため、f''(x)＜0

の方が適切です。αとπ/2の大小を比較する意味はありませんでした。

さて、0＜x＜πの範囲で考えた場合、cosxは単調減少です。
なので、0＜x＜αならば cosx＜cosα、逆にα＜x＜πならば cosx＞cosαとなります。
なお、0＜x＜πの範囲では sinx は常に正です。
sin,cosのグラフを描くなり、円をイメージするなりして確かめてください。
No.7961 - 2009/09/16(Wed) 13:03:50
☆ Re: 変極点の扱いが分かりません。 / りもこん
f''(x)についてはcosxとa/4の対象関係が問題のはずなのになぜcosxとcosαの大小関係でf''(x)の正負が決まるんですか？
No.7963 - 2009/09/16(Wed) 17:09:52
☆ Re: 変極点の扱いが分かりません。 / angel
＞ f''(x)についてはcosxとa/4の対象関係が問題のはずなのになぜcosxとcosαの大小関係でf''(x)の正負が決まるんですか？

そうか。はっきりと記述はしていませんでしたね。
cosα=a/4 という性質がありますから、
f''(x)=sinx(4cosx-a)=4sinx(cosx-cosα)
となるためです。
No.7972 - 2009/09/16(Wed) 21:33:21
★ 因数分解? / 涼流
問題は、
> 4次曲線C : y = f(x) = x^4 - 4xについて考える。
> P(t, f(t))における接線が、P以外のそういなる2点で
> Cと交わるような実数tの範囲を求めよ。
なのですが、問題はその回答中です。

> x^4 - 2x^2 - 4t(t^2 - 1)x + 3t^4 - 2t^2
> は、(x - t)^2を因数に持つので、……

と書かれているのですが、どうしてそんなことが思いつくのか
全く理解できませんでした……。

確かに、実際に組み立て除法をtで2回行えばあまりが0になりますが、
どのように因数分解を行えばよいのでしょうか……?

初歩的な質問ですが、どうかご教授お願いします。
No.7931 - 2009/09/13(Sun) 22:24:51
☆ Re: 因数分解? / angel
2次関数と放物線の話を数Iでやった時に、
　実数 a≠0 および b,c,p,q,t に関して
　y=ax^2+bx+c と y=px+q が x=t で接する
　⇔ 方程式 ax^2+bx+c = px+q が重解 x=t を持つ
　⇔ ax^2+bx+c-(px+q) = a(x-t)^2　( 恒等式 )
という話があったのを覚えていますでしょうか。

4次式でも同じ話でして、x=t で接するのなら、(元の4次式)-(接線に対応する1次式) は、(x-t)^2 で割り切れるのです。
No.7932 - 2009/09/13(Sun) 23:07:28
☆ 一般に… / angel
一般の多項式 f(x) で同じ状況を考えてみましょうか。

まず、y=f(x) ( f(x)はn次式、n≧2 ) の、x=t における接線は、
y=f'(t)(x-t)+f(t) です。

ここで、g(x)=f(x)-( f'(t)(x-t)+f(t) ) と置いてみます。
整理すると、
　g(x)=f(x)-f'(t)x+tf'(t)-f(t)　…(i)
微分すると、
　g'(x)=f'(x)-f'(t)　…(ii)

(i),(ii)にそれぞれ x=t を代入すると、
　g(t)=f(t)-f'(t)t+tf'(t)-f(t)=0
　g'(t)=f'(t)-f'(t)=0

では、ここで、g(x) を (x-t)^k の和の形にしてみましょう。
　g(x)=p[0]+p[1](x-t)+p[2](x-t)^2+…+p[n](x-t)^n　…(iii)
微分すると、
　g'(x)=p[1]+2p[2](x-t)+…+np[n](x-t)^(n-1)　…(iv)

この(iii),(iv)に、g(t)=0, g'(t)=0 を適用すると、p[0]=0, p[1]=0
結局、
　g(x)=0+0・(x-t)+p[2](x-t)^2+…+p[n](x-t)^n
　　=(x-t)^2・(p[2]+…+p[n](x-t)^(n-2))

というわけで、g(x)は(x-t)^2を因数に持つことが分かります。
No.7933 - 2009/09/13(Sun) 23:25:46
☆ Re: 因数分解? / 涼流
おお! 早急な解答、ありがとうございます。

g(x)=p[0]+p[1](x-t)+p[2](x-t)^2+…+p[n](x-t)^n　…(iii)
なのですが、例えば、g(x) = x + tを表すには、
p[0] = 2t, p[1] = 1としても良いと云うことでしょうか?

非常に分かり易い解説、ありがとうございました!
またなんか数学的な視野が広くなった気がします。
つまり、(2次以上の曲線) - (接線)は(x - t)^2を
因数に持つのですね!

今まで、2次式の重解を持つという考えは
理解していて覚えていたのですが、
まさか一般に微分して接線を出して
そしてそこから此が導き出せるとは……感激です!
なかなかこういうことを学校では教えてくれないのですよね。
受験では当たり前ですかね?!

兎も角、本当にありがとうございました。
これからももし躓いたら、ご教授頂けると嬉しいです。
No.7934 - 2009/09/14(Mon) 00:05:42
☆ Re: 因数分解? / angel
＞ g(x)=p[0]+p[1](x-t)+p[2](x-t)^2+…+p[n](x-t)^n　…(iii)
＞ なのですが、例えば、g(x) = x + tを表すには、
＞ p[0] = 2t, p[1] = 1としても良いと云うことでしょうか?

そうです。
今回は「そういうp[k]がある」というだけで話は進められるので、具体的な値には触れませんでしたが。

例えば、f(x)=x^2+2x+3 を (x-1)^k の和で表すなら、

　f(x)÷(x-1)=x+3 余り 6
　(x+3)÷(x-1)=1 余り 4
　計算で出てきた1,4,6を用いて、f(x)=6+4(x-1)+(x-1)^2

という感じで計算できます。
※別の考え方をすると、
　y=f(x) のグラフを x軸方向に -1 移動してみる
　→ y=g(x)=f(x+1)=x^2+4x+6 に移動する
　→ 今度は x軸方向に 1 移動してみる
　→ y=g(x-1)=(x-1)^2+4(x-1)+6 に移動する
　→ 元に戻っているはずなので、f(x)=(x-1)^2+4(x-1)+6
No.7935 - 2009/09/14(Mon) 01:31:48
★ 問題33 / 雀
ヨッシーさんが受けた質問のページ
http://yosshy.sansu.org/rika1.htm
の問題33
--------------------------------------------------
c≦0なら
cos2x+(cx^2)-1≦0
を満たすxが存在するのでc＞0

f(x)=cos2x+(cx^2)-1
とおくと、ｆ(x)は偶関数なのでx≧0とできる
f'(x)=-2sin2x+2cx
f''(x)=-4cos2x+2c=4(-cos2x+(c/2))

c/2≧1のとき
f''(x)≧0よりf'(0)=0なのでf'(x)≧0
f'(x)≧0よりf(0)=0なのでf(x)≧0　(x≧0)

0＜c/2＜1のとき
f''(α)=0となるα(0＜α＜π/2)が存在して
f''(x)＜0 (0＜x＜α)となる
f'(0)=0より0＜x＜αの範囲でf'(x)＜０
f(0)=0より0＜x＜αの範囲でf(x)<0
これは題意に反する。

よって
c≧2
No.7929 - 2009/09/13(Sun) 17:09:01
☆ Re: 問題33 / りか
解答ありがとうございます。
No.7999 - 2009/09/17(Thu) 22:52:33
★ 教えてください?ｫ / 高校3年
各自然数ｎに対し，
?納k=1→ｎ]1/ｎ＋ikの実部、虚部をそれぞれ
An，Bnとするとき，極限値lim[n→∞]Anとlim[n→∞]Bnを求めよ。
No.7928 - 2009/09/13(Sun) 16:39:15
☆ Re: 教えてください?ｫ / 雀
?納k=1→ｎ]1/(ｎ＋ik)
=?納k=1→ｎ]{n/(n^2+k^2)}+i{-k/(n^2+k^2)}

lim[n→∞]?納k=1→ｎ]A[n]
=lim[n→∞]?納k=1→ｎ]n/(n^2+k^2)
=lim[n→∞]?納k=1→ｎ](1/n){1/(1+(k/n)^2}
なので････

lim[n→∞]?納k=1→ｎ]B[n]
=lim[n→∞]?納k=1→ｎ]-k/(n^2+k^2)
=lim[n→∞]?納k=1→ｎ]-(1/n)[1/{(n/k)+(k/n)}]
なので････
No.7930 - 2009/09/13(Sun) 18:16:43
★ 問題36 / 雀
ヨッシーさんが受けた質問のページ
http://yosshy.sansu.org/rika1.htm
の問題36
--------------------------------------------------
(1)
a[1]=∫[0〜π/4](tanx)^2dx
=∫[0〜π/4]{1/(cosx)^2}-1dx
=[tanx-x](0〜π/4)
=1-(π/4)

(2)
a[n+1]=∫[0〜π/4](tanx)^(2n+2)dx
=∫[0〜π/4](tanx)^(2n)(tanx)'-(tanx)^(2n))dx
=[(tanx)^(2n+1)/(2n+1)](0〜π/4)-a[n]
=1/(2n+1)-a[n]

(3)
a[k]+a[k+1]=1/(2k+1) (k≧1)
の両辺に(-1)^(k+1)を掛けると
(-1)^(k+1)a[k]+(-1)^(k+1)a[k+1]=(-1)^(k+1)/(2k+1)
k=1からnまで足すと
?納k=1〜n](-1)^(k+1)/(2k+1)
=a[1]+a[2]-a[2]-a[3]+a[3]+a[4]+･･･
　　　･･･+(-1)^(n+1)a[n]+(-1)^(n+1)a[n+1]
=a[1]+(-1)^(n+1)a[n+1]

ここで
(tanx)^2>0　（0＜x＜π/4)より
a[n]>0
よって
0<a[n]<a[n]+a[n+1]=1/(2n+1)
lim[n→∞]1/(2n+1)=0
はさみうちの原理よりlim[n→∞]a[n]=0
a[n+1]=1/(2n+1)-a[n]より
lim[n→∞]a[n+1]=0

∴
lim[n→∞]?納k=1〜n](-1)^(k+1)/(2k+1)＝1-(π/4)
No.7927 - 2009/09/13(Sun) 07:45:31
☆ Re: 問題36 / りか
解答ありがとうございます。
No.8000 - 2009/09/17(Thu) 22:53:16
☆ Re: 問題36 / ヨッシー
＞＞雀さん
ありがとうございます。
この記事と、問題33の記事とを、ページからリンクさせてもらいました。
No.8057 - 2009/09/21(Mon) 09:12:34
★ お願い / ヨッシー
いつも回答していただいている方々にお願いです。
(それ以外の方も大歓迎です)

私が個人的に受けた質問のページを
http://yosshy.sansu.org/rika1.htm
に挙げてあります。
明日よりしばらく日本を離れますので、回答の更新が出来ません。
上記ページで、回答がまだの問題を解いていただけると助かります。
別解も歓迎です。

回答は、この掲示板にお願いします。
この記事の返信でも良いですが、問題ごとに新しいスレッドを
起こしていただくのが良いかと思います。

なお、これらの問題に、曰く因縁などありましたら(解くべきでない問題等)
併せて、お知らせいただくと幸いです。

ちなみに、報酬の出入りは一切ございませんので
ご了承ください。

以上、よろしくお願いします。
No.7926 - 2009/09/13(Sun) 00:26:59
☆ Re: お願い / りか
ありがとうございます。
No.7998 - 2009/09/17(Thu) 22:51:39
★ おねがいします / たかし
ｎを２以上の整数とする。ｎ桁の正の整数Nにおいて最高位の数字をaとする。Nから左端のaを取り去り、右端に０から９までのいずれかの数字ｐを付け加えて作られる数をMとする。
M＝４Nとなるとき、次の問に答えよ。
（１）a＝１に限ることを示せ
（２）Nをｎを用いてあらわせ

おねがいします
No.7924 - 2009/09/12(Sat) 20:08:24
☆ Re: おねがいします / rtz
ヒント
(1)aを取り除いたn-1桁をbとでもおいて、
a,b,p,nに関する式を立てて、aをb,p,nで表し、
b,pの範囲からaが絞れます。

(2)aをb,p,nで表した式においてa＝1ですから、
n,b,pに関する式が1つできます。
この式においてpが幾らになるか考えてみましょう。
(1つに絞れます)
No.7925 - 2009/09/12(Sat) 21:15:58
☆ Re: おねがいします / たかし
うまくいきませんでした
どうしたらいいでしょう
No.7937 - 2009/09/14(Mon) 20:22:45
☆ 具体例を考える / angel
とりあえず、答を直接当てようとする前に、具体例を挙げて式を立てるところから。
その上で rtzさんのヒントを見てみましょう。

添付の図は、N=12345, p=6 の時の例です。( M=4N は満たしませんが )
No.7976 - 2009/09/16(Wed) 23:37:43
★ 楕円の問題です / たかし
ｘｙ平面の第一象限に定点（p,q）がある。座標軸と平行な長軸と短軸をもつ楕円Ｅが、原点でｙ軸と接し、点（p,q）を通るとする。Ｅの面積Ｓの最小値を（p.q）で表せ。
No.7915 - 2009/09/11(Fri) 21:08:01
☆ Re: 楕円の問題です / angel
楕円と言わず、様々な知識を動員して、じっくり解く必要がありそうです。

まず、
「原点でy軸と接し、座標軸と平行な長軸・短軸を持つ楕円E」
これは、第一象限の定点を通ることもあわせると、
　(x-a)^2/a^2 + y^2/b^2 = 1　( a＞0, b＞0 )
と表すことができます。

そうすると、Eの面積Sは、S=πab ですから、ab が最小になる a,b の組を考えることになります。

Eが(p,q)を通ることから、a,bの満たす条件は、
　(p-a)^2/a^2 + q^2/b^2 = 1
ただ、このままだと分かり辛いので、s=p/a, t=q/b と置いて、s,t の条件に直しましょう。
ab=pq/st となりますから、ab が最小になるa,bの組の代わりに、stが最大になる s,t の組を探す、という考えになります。
No.7918 - 2009/09/12(Sat) 01:17:22
☆ Re: 楕円の問題です / たかし
（s-1）＾2＋ｔ＾2となりつまづきました
No.7957 - 2009/09/15(Tue) 20:43:51
☆ Re: 楕円の問題です / angel
「(s-1)^2+t^2=1 （s＞0, t＞0 ) という条件で st の最大値は？」
という問題に化けましたので、

　1. st=k と置いて、放物線 st=k と円 (s-1)^2+t^2=1 が接する時が k 最大と考える
　2. (s,t)は円 (s-1)^2+t^2=1 上にあるため、s=1+cosθ, t=sinθ と媒介変数で表し、三角関数の計算で最大値を探る

の2通りが考えられます。2. の方が形が綺麗ですので、三角関数の微分が使えるなら楽でしょう。
1. は4次方程式の重解条件ですね。そこそこ良い形なので、「f(x)=0 が x=αを重解に持つ⇔f(α)=f'(α)=0」でいけそうです。
…どちらにしても微分は必要そうですね。

なお、s=3/2, t=√3/2 の時 st 最大で st=3√3/4 です。
※問題全体の答えとしては、S=4√3/9・πpq が最小値
No.7962 - 2009/09/16(Wed) 13:21:07
☆ Re: 楕円の問題です / たかし
見捨てられそうなところを拾ってもらって、感謝感激あめあられです。ありがとうございました
とても勉強になりました。
↑のほうの問題はみすてられてますが・・
No.7968 - 2009/09/16(Wed) 20:03:07
★ きになります / 桂
１≦p^2/(p-2)^2≦９の解答を教えてください。
また、もっとこうした方がいいなど、改善すべき点があれば
そこもご指摘お願いします。

一応自分で解いたのも見てください。
解）
（左辺）≦（中辺）
⇔(p-2)^2≦p^2かつｐ≠２
⇔ｐ≧１かつｐ≠２

（中辺）≦（右辺）
⇔p^2≦９(p-2)^2かつｐ≠２
⇔ｐ≦３/2,3≦ｐ（ｐ≠２を満たす）

よって〜

問題集の回答ではｐ≠２をまったく無視しているので
そこが気になっています。
No.7911 - 2009/09/11(Fri) 17:44:16
☆ Re: きになります / angel
いえ、特に問題はないと思いますよ。
最終的に 1≦p≦3/2, p≧3 ですね。

p≠2 については、流石に何も書かないのはまずいと思います。

ただ、楽をするなら、最初と最後だけ書いておけば十分でしょう。

つまり、最初に p≠2 を宣言しておいて、後はそのまま不等式を解き、最後に「この解は p≠2 を満たす」くらい書いておく感じです。
No.7913 - 2009/09/11(Fri) 18:49:16
★ 基本 / ぱーと２
２ln-2l=lnl・・・?@
⇒４(n-2)^2=n^2
⇔(n-4)(3n-4)=0
⇔n=4,4/3・・・?A
?Aは?@を満たすので
?@⇔?Aより
解はn=4,4/3

であってますか？
２乗すると必ず同値は崩れるんですよね？
No.7905 - 2009/09/11(Fri) 10:58:23
☆ Re: 基本 / 豆
nが実数なら、同値変形なので代入確認の手続き不要
nが複素数なら、nの軌跡は円となる
No.7906 - 2009/09/11(Fri) 11:25:27
☆ Re: 基本 / ぱーと２
ｎは実数です。何故同値変形なんですか？２乗すると必ず同値は崩れるはず。
No.7908 - 2009/09/11(Fri) 13:27:36
☆ Re: 基本 / らすかる
＞２乗すると必ず同値は崩れるはず。
「必ず」ではありません。実数ならば |a|=|b| ⇔ a^2=b^2 です。
No.7909 - 2009/09/11(Fri) 14:25:02
☆ Re: 基本 / ぱーと２
>実数ならば |a|=|b| ⇔ a^2=b^2 です
何故ですか？覚えるしかないのですか？
No.7910 - 2009/09/11(Fri) 17:33:16
☆ Re: 基本 / らすかる
＞何故ですか？
逆に聞きますが、|a|=|b|の両辺を二乗して何故同値関係が崩れるのですか？

|a|=|b| ⇔ a^2=b^2 は基本ですから覚えた方が良いと思います。
例えば二乗する前に両辺とも負の値を取り得ないことがわかっている場合は
二乗しても同値関係は崩れません。
↓こちらにいろいろ書かれていました。
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa242716.html
No.7912 - 2009/09/11(Fri) 18:06:09
☆ Re: 基本 / angel
実数x,yに関して、x≧0 かつ y≧0 の前提の下では、
　x=y ⇔ x^2=y^2　( 同値 )
ですね。
これは、丁寧に書けば
　x≧0 かつ y≧0 かつ x=y ⇔ x≧0 かつ y≧0 かつ x^2=y^2
ということです。

今回、x=|a|, y=|b| ( a,bは実数 ) とすれば、x≧0 かつ y≧0 となりますし、x^2=|a|^2=a^2, y^2=|b|^2=b^2 ですから、やはり
　|a|=|b|⇔a^2=b^2
です。

別の書き方をすれば、
　|a|=|b|
　⇔ |a|≧0 かつ |b|≧0 かつ |a|=|b|　( 自明な条件の追加 )
　⇔ |a|≧0 かつ |b|≧0 かつ |a|^2=|b|^2
　⇔ |a|≧0 かつ |b|≧0 かつ a^2=b^2
　⇔ a^2=b^2　( 自明な条件の省略 )
同値関係が崩れるか崩れないかは、背後に隠れている「前提」によるのです。
No.7914 - 2009/09/11(Fri) 19:01:05
☆ Re: 基本 / ぱーと２
x≧0 かつ y≧0 かつ x=y ⇔ x≧0 かつ y≧0 かつ x^2=y^2について
ｘ、ｙのどちらか片方が０以上と分かっているだけではダメなんですよね？（ｘ≧０かつｙ≧０とあるので。。）
No.7919 - 2009/09/12(Sat) 07:53:51
☆ Re: 基本 / らすかる
はい、ダメです。
x≧0 かつ x=y ⇒ x≧0 かつ x^2=y^2 は成り立ちますが、
逆は成り立ちませんね。
No.7920 - 2009/09/12(Sat) 08:11:41
☆ Re: 基本 / ぱーと２
確認の意味で
sinθ＋cosθ＝１/2
を二乗すると同値関係はどうなりますか？
No.7921 - 2009/09/12(Sat) 10:49:26
☆ Re: 基本 / 七
> 確認の意味で
> sinθ＋cosθ＝１/2
> を二乗すると同値関係はどうなりますか？

何を確認したいのですか？

（sinθ＋cosθ）2＝1/4
のとき
sinθ＋cosθ＝−１/2
はありえないのか？

ということですか？
No.7922 - 2009/09/12(Sat) 12:05:05
☆ Re: 基本 / angel
「どのような場合に同値になるか、ならないか」に拘泥されているように見えますが、それはケースバイケースですよ。

とりあえず言えるのは、
　・特に前提がなければ A=B と A^2=B^2 が同値になる保証はない
　・A≧0,B≧0 という前提があれば、A=B⇔A^2=B^2
　　※負のバージョン、A≦0,B≦0ならば A=B⇔A^2=B^2もある。
　・なので、A,Bの正負がはっきりしない状況では、同値であると決め付けてはいけない
　　※同値であるとして進めたければ、きちんと説明する

例えば、sinθ+cosθ=1/2 と (sinθ+cosθ)^2=1/4 はそもそも同値ではありません。
sinθ+cosθ=-1/2となるθ≒2.718等の反例があり、逆が成立しないからです。

しかし、例えば (e^x)-1=2 と ((e^x)-1)^2=4 は同値です。
(e^x)-1 は負の値をとりうるため、同値でないと思われるかもしれませんが、実際の所 (e^x)-1＞-1 であるため、(e^x)-1≠-2 となるからです。
だからといって、理由を詳しく説明しないで、単に「同値」とだけ言っては、説明不足で減点を喰らう可能性があります。

「同値ではない」と「(いきなり)同値として扱ってはいけない」は違う話なのです。
No.7923 - 2009/09/12(Sat) 14:56:00
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