こんばんは！
もう一つお願い致します(>_<)
xf''(x)＋(1−x)f'(x)＋3f(x)=0
f(0)=1
を満たす
f(x)の次数を求めよ
まずこの最高次の項を取り出すまではやりましたが、なぜそれが=0となるのかがわからなくなってしまいました。
すみませんが教えて下さい…
宜しくお願い致します…
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No.8279 - 2009/10/08(Thu) 00:21:49
| ☆ Re: 導関数 / ast | | | 問題が正確に書かれていないようです. 次数や最高次の項がどうこうと言っていることからすると,「f(x) を多項式とする」といった類の条件がどこかにあるはずです. 以下そうであるものとしてコメントします.
疑問に思うのならば f(x) = a_n * x^n + … + a_0 として, いちいち全部書いてみればいいのです. 問題の x * f′′(x) + (1 − x) * f′(x) + 3 * f(x) = 0 というのは, 左辺が多項式として 0 (零多項式) であるということを言っているのですから, つまりこれを整理して得られる多項式の係数は全て 0 となるということです. そこで分りやすそうなところ, ここでは最高次係数から計算していけばよい (情報が足りなければさらに低い次数の係数について調べていけばよい) のだ, という裏が見えてくるはずです.
実際のところ, 最高次係数だけを知りたいのならごちゃごちゃ書いていると余計ややこしいので, ここでは
f(x) = a_n * x^n + (x の (n − 1)-次式)
とでも書いてやれば十分でしょう (当該の函数方程式の係数函数が x の一次式である x や 1 − x だけであり, したがって次数が二つ以上低いところから係数に寄与するものはないので). このとき
f′(x) = n * a_n * x^(n−1) + (x の (n − 2)-次式),
f′′(x) = (x の (n − 2)-次式)
ともなるわけですから, これらを問題の函数方程式に代入してやれば結局,
0 = {(x の (n − 1)-次式)} + {(x の (n − 1)-次式)} − {n * a_n * x^n + (x の (n − 1)-次式)} + 3{a_n * x^n + (x の (n − 1)-次式)} = (−n + 3)a_n * x^n + (x の (n − 1)-次式)
というような形 (どこか間違ってても責任は持ちませんが) になることが理解されます. あとは係数比較をやっているだけですが, 都合のいい事に次数 n に関する条件が出てきて全体の見通しが立つという結果が待っています.
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No.8280 - 2009/10/08(Thu) 02:00:40 |
| ☆ Re: 導関数 / aki | | | 書いたつもりでいましたが消えていました。申し訳ありません。
理解できました。
どうもありがとうございました(^o^)
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No.8286 - 2009/10/08(Thu) 13:36:14 |
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