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★ 場合の数・確率 / りか
高2
夏休みの課題の問題のひとつなのですが、

白い球が2個、黒い球が3個、赤い球が4個ある。
これらの球を次のような条件ですべて使って1列に並べる。

（１）すべての並べ方は何通り？
（２）白い球2個が隣り合わない並べ方は何通り？
（３）黒い球3個が連続している並べ方は何通り？
（４）同じ色の球は連続しない並べ方は何通り？

で、（４）は答えが79なのですが、なぜがわかりません。
（１）は9!/4!3!2!　　　で1260通り
（２）は全体(1260)−8!/4!3!　　で980通り
（３）は7!/4!2!　　で105通り
まではできました。(途中の考え方は抜かしました。)

（４）は、□赤□赤□赤□赤□
　　　と並べて、5つの□に白2個と黒3つをいれる
　　　のではないかと思っていろいろ計算してみたのですが
　　　79通りになりません。

ぜひやり方を教えてください。
よろしくおねがいします。
No.7587 - 2009/08/23(Sun) 01:37:40
☆ Re: 場合の数・確率 / ヨッシー
両端が赤以外
□赤□赤□赤□赤□　5Ｃ2＝10(通り)

右端のみ赤
□□赤□赤□赤□赤　2×3Ｃ1＝6(通り)
□赤□□赤□赤□赤　　〃
□赤□赤□□赤□赤　　〃
□赤□赤□赤□□赤　　〃

左端のみ赤
赤□□赤□赤□赤□　　〃
赤□赤□□赤□赤□　　〃
赤□赤□赤□□赤□　　〃
赤□赤□赤□赤□□　　〃

両端赤
赤□□□赤□赤□赤　3つの□が、白黒白の場合１通り、黒白黒の場合２通り　計３通り
赤□赤□□□赤□赤　　　　〃
赤□赤□赤□□□赤　　　　〃

赤□□赤□□赤□赤　１つだけの□は黒、他の２つの□は黒白か白黒で、２×２＝４(通り)
赤□□赤□赤□□赤　　　　　　〃
赤□赤□□赤□□赤　　　　　　〃

以上、７９通りです。
No.7588 - 2009/08/23(Sun) 01:57:04
☆ Re: 場合の数・確率 / らすかる
別解
赤が連続しない並べ方は5C2×6C4=150通り
赤が連続しない並べ方のうち、白が連続する並べ方は4C1×5C4=20通り
赤が連続しない並べ方のうち、黒が連続する並べ方は4P2×5C4-3C1×4C4=57通り
赤が連続しない並べ方のうち、白も黒も連続する並べ方は3!×4C4=6通り
よって求める並べ方は 150-20-57+6=79通り
No.7589 - 2009/08/23(Sun) 07:26:38
☆ Re: 場合の数・確率 / りか
ヨッシーさん、らすかるさん
詳しい解説をありがとうございます!!

とてもわかりやすかったです。

らすかるさん＞
赤が連続しない並べ方が5Ｃ2×6Ｃ4になるのはなぜでしょうか??
6Ｃ4がどうやって出てきたのかが分かりません・・・。
よろしくお願いします。
No.7605 - 2009/08/24(Mon) 17:48:54
☆ Re: 場合の数・確率 / らすかる
先に黒と白を並べますが、その方法が5C2通りです。
その後赤を間または端計６箇所中４ヶ所に入れるので6C4倍です。
No.7607 - 2009/08/25(Tue) 00:00:42
☆ Re: 場合の数・確率 / りか
らすかるさん＞
なるほど。わかりました。

同様に

赤が連続しない並べ方のうち、白が連続する並べ方は4C1×5C4=20通り
赤が連続しない並べ方のうち、黒が連続する並べ方は4P2×5C4-3C1×4C4=57通り
赤が連続しない並べ方のうち、白も黒も連続する並べ方は3!×4C4=6通り

なのかもどうやって求めているのかよくわからないのですが・・・
本当にすいません･･･。

あと、
最終的に150-20-57+6=79通り
なのが、なぜ6は足すのかがわかりません。
No.7608 - 2009/08/25(Tue) 00:18:14
☆ Re: 場合の数・確率 / らすかる
＞赤が連続しない並べ方のうち、白が連続する並べ方は4C1×5C4=20通り
これは２個の白を一つと考えて前と同じ計算です。

＞赤が連続しない並べ方のうち、黒が連続する並べ方は4P2×5C4-3C1×4C4=57通り
4P2×5C4は、３個の黒を「２個の黒」１個と「１個の黒」１個として同じ計算を
したものです。
そのように計算すると、３個連続する場合を２回数えてしまいますので、
３個の黒を一つと考えた3C1×4C4を引いています。

＞赤が連続しない並べ方のうち、白も黒も連続する並べ方は3!×4C4=6通り
「白２個」「黒２個」「黒１個」の並べ替えが3!通り、
そして間と端に赤を入れるのが4C4通りです。

＞なぜ6は足すのか
「白が連続する並べ方」には「白も黒も連続する並べ方」が含まれています。
「黒が連続する並べ方」にも「白も黒も連続する並べ方」が含まれています。
よって150-20-57では「白も黒も連続する並べ方」を2回引いてしまって
いますので、余計に引いた分を元に戻すために「白も黒も連続する並べ方」を足します。
No.7609 - 2009/08/25(Tue) 01:02:14
☆ Re: 場合の数・確率 / りか
丁寧な解説をありがとうございます。

よくわかりました。

本当にありがとうございました。
No.7610 - 2009/08/25(Tue) 10:27:11
★ 数学?U / 小次郎
2次方程式x^2+3x+3=0の二つの解をA、Bとすると

　　　(１)　A^2+B^2=

　　　(２)　(A-1)(B-1)=

(1)(2)の解答解説お願いします！！
No.7581 - 2009/08/22(Sat) 18:23:33
☆ Re: 数学?U / DANDY　U
解と係数の関係より　A＋B＝−3 ,AB＝3　がいえるので

(1) A^2＋B^2＝(A＋B)^2−2*AB＝・・・
(2)も展開して変形すれば、何とか上の式が使えるでしょう。
No.7583 - 2009/08/22(Sat) 19:15:57
☆ 別解 / 七
2次方程式x^2+3x+3=0の二つの解をA、Bとすると
x^2+3x+3=(x-A)(x-B)
ですから
（2）はこの両辺のｘに1を代入しても求められます。
No.7584 - 2009/08/22(Sat) 20:21:04
☆ Re: 数学?U / 小次郎
ありがとうございます。

前にも同じ問題を解いたことがあるのですが・・
忘れてしまっていました。
No.7621 - 2009/08/26(Wed) 00:19:32
★ 角度の問題 / TMy
四角形ＡＢＣＤにおいて
∠ＡＤＢ＝∠ＤＢＣ＝15゜
∠ＢＡＣ＝90
ＡＢ＝ＡＣ
のときに∠ＡＣＤの値を求めたいのですが、どなたか分かる方お願いします。
　

No.7580 - 2009/08/22(Sat) 17:10:27
☆ Re: 角度の問題 / DANDY　U
A,Dから BCの延長線に下ろした垂線をそれぞれ AE,DF とします。
△ABCは直角二等辺三角形だから AE＝DF＝[1]とすると BC＝2*AE＝[2]

１つの角が15°である直角三角形の直角をはさむ辺の比は、1：(2＋√3) である(※)ことを使うと

直角三角形△DBFにおいて、∠DBF＝15°,DF＝[1] ,BC＝[2]
より CF＝[√3]　となります。

よって　直角三角形△DCFにおいて、DF：CF＝１：√3　となり　∠DCF＝30°
したがって　∠ACD＝180°−(∠ACB＋∠DCF)＝105°となります。

もっとスマートな解法がありそうですが、とりあえず回答しておきます。
【注】(※)が分からなければ、また質問してください。
No.7582 - 2009/08/22(Sat) 18:48:53
☆ Re: 角度の問題 / らすかる
AからBCに垂線AHを下ろし、AD上に∠EBC=30°となるように点Eをとると
BE=2AH=BCとなり、BDはCEの垂直二等分線となりますので∠CDB=∠ADB=15°です。
よって∠ACD=180°-45°-15°-15°=105°となります。
No.7585 - 2009/08/22(Sat) 20:37:31
☆ Re: 角度の問題 / TMy
理解しました。お二方ありがとうございます。
No.7586 - 2009/08/22(Sat) 22:48:29
★ 数列について / DASH
とても簡単な等比数列の問題なのですが
等比数列6,a,2,･･････において実数の定数aを求めるというものです
初項6よりa(n)=6r＾(n-1)
第3項が2なので6r＾2=2
r＾2=1/3
ここからなのですが
nが増加するとともに値は減少しているのでr=-√（1/3）としました
しかし以下省略で
a=±2√3が答えです
この場合なぜ+も含まれるのでしょうか
簡単なものですみませんが教えてください
No.7578 - 2009/08/22(Sat) 14:45:30
☆ Re: 数列について / 七
> nが増加するとともに値は減少しているのでr=-√（1/3）としました
意味がわかりません。
r＜0　なら値は増加するところもできます。
No.7579 - 2009/08/22(Sat) 16:05:18
★ 物理についてです / ハオ
物理の授業で物体が運動している時には必ず運動方程式を静止又は等速直線運動の時には釣合の式を立てろ、と習いました。
ところが、最近は仕事とエネルギーの分野に入ったのですが全く運動方程式を立てなくなりました。力学的エネルギー保存則しか使いません。僕はまだここを習ったばかりで問題にもあまり多くは触れていないのですが質問があります。

どの様な場合に運動方程式を用いどの様な場合に力学的エネルギー保存則を使うのでしょうか？
No.7572 - 2009/08/22(Sat) 08:51:09
☆ Re: 物理についてです / angel
エネルギー保存則は、運動方程式を変形したものです。
そのため、どちらも運動方程式を使っているという意味では同じです。

ただ、運動方程式は加速度に着目した式ですから、速度および位置の時間的な変化を考えるのに向いた形であるのに対し、エネルギー保存則は、時間によらず総量が変化しない「エネルギー」に着目していますから、その時々の状態を抜き出して ( 時刻の経過を意識せずに ) 考えることができる、という利点があります。
No.7575 - 2009/08/22(Sat) 10:23:50
☆ Re: 物理についてです / angel
＞ エネルギー保存則は、運動方程式を変形したものです。

について補足です。
高校の物理では、微分やベクトルを使わないのが建前ですが、そもそも運動方程式は、微分を含んだ式、つまり微分方程式です。それもベクトルの微分方程式です。
実際、「速度」は「位置」を「時刻」で微分したものですし、「加速度」は「速度」を「時刻」で微分したもの、つまり「位置」の2階微分ですから。

簡単に、1方向の運動で、運動方程式からエネルギー保存則を導いてみましょうか。

時刻 t が t0→t1 に変化する時、位置 x が x0→x1 に?凅だけ移動し、運動エネルギー E が?僞増加する、という状況を考えます。v は速度、a は加速度、F は力、m は質量(固定)を表すものとし、微分は全て t で行うものとします。

まず、x,v,a の関係として、
　v = x'、a = v'　( a = x'' )
運動方程式として
　ma = F
運動エネルギーは
　E = 1/2・mv^2
この式の両辺を微分すると、
　E' = mvv' = ma・v
これと運動方程式を比較すると、
　E' = Fv
最後に、時刻 t0 から t1 への定積分をとると、
　∫[t0,t1] E'dt = ∫[t0,t1] Fvdt
　(左辺)=?僞
　(右辺)=∫[t0,t1]Fx'dt = ∫[x0,x1] Fdx　( 置換積分 )

結局、運動エネルギーの変化?僞は、位置x0からx1へ移動するときに受け取った仕事 ∫[x0,x1] Fdx に等しい、となります。F が一定であれば、これは F?凅 と計算できます。

この仕事が、摩擦等のロス ( 熱エネルギー等への変換 ) なしに「位置エネルギー」として蓄えられるとすれば、総量としてのエネルギーは変わらない、というエネルギー保存則になります。

なお、大学であればベクトルの微分・積分 ( ベクトル解析 ) で習うでしょう。感覚としては上と同じです。
※運動エネルギーが 1/2・mv^2 ではなく、内積 1/2・m(v・v)、仕事が ∫Fvdt=∫Fdx ではなく ∫(F・v)dt=∫F・dx という内積に変わりますが。
No.7576 - 2009/08/22(Sat) 10:54:28
☆ エネルギー保存則が有効な問題 / angel
例題として、エネルギー保存則が有効な問題を挙げてみます。
添付の図のように、質点が円状のループコースターを駆け上る条件を求めます。
※もしループ半径が大きすぎると、質点は途中で失速してループから外れて宙を舞い落っこちるか、逆走するかしてしまい、ループを完全には回れません。

なお、前提知識として、

　円運動を行う物体に働く力(合力)の内、円の中心方向の成分 ( 向心力 ) は、mv^2/r となる
　( m は質量、v は速度、r は円の半径 )
　※円の接線方向への力については触れていないこと、等速かどうかの条件がないことに注意。等速円運動なら接線方向の成分は 0 ですが、そうでないなら、接線方向への成分も出てきます。

が必要です。
なお、答えは r≦2h/5 となります ( つまり、ループの頂上で、元の高さの8割までしか上れない ) が、これを運動方程式から速度・位置の時間的な推移で考えようとするのは無茶だと分かるでしょう。

※図を添付し忘れたので、改めて付け直しました
No.7577 - 2009/08/22(Sat) 12:11:49
☆ どちらの方法でも解ける問題 / angel
更に補足です。
運動方程式を利用して解く方法でも、運動エネルギーに着目して解く方法でも、どちらでもいける問題もあります。
※運動量保存も併用することも多いです

問：
　水平な床の上に、十分に長い平らな板A ( 質量M )と、Aの上に物体B ( 質量m ) があり、A,B間の動摩擦係数はμとする。
　今、Bに水平方向の初速Vを与えてAの上を滑らせ、しばらく置いた所、A,Bは一体となり同一速度で床の上を移動する状態となった。
　この時、BがA上を動いた距離を求めよ。
　なお、重力加速度はgであり、A,B間の摩擦以外の摩擦や空気抵抗等はないものとする。

答：
　MV^2/( 2μg(M+m) )
No.7597 - 2009/08/23(Sun) 21:42:28
☆ 補足の補足 / BossF
もともと微分とは運動方程式を解くために作られたようなものなのです
No.7602 - 2009/08/24(Mon) 04:07:15
☆ Re: 物理についてです / ハオ
返事が遅くなって大変申し訳ありません。
僕の頭が足りないのか上記の問題がさっぱり分かりません。それで少し悩んでいました。
もし宜しければ解説をお願いしたいです。
数々の補足説明本当に感謝いたします。
これからの問題に接する際に問題へのぶつかり方を学ばせて頂きました。
No.7676 - 2009/08/29(Sat) 12:26:56
☆ ループコースター問題解説 / angel
＞ 返事が遅くなって大変申し訳ありません。
いえいえ。私は回答を待っている側ではないので、特に気になさらずに。
後、ハオさんがどこまで習っているか、あまり考えずに書いていますので、やっていない範囲に踏み込んでいる可能性はありますが、ご容赦下さい。

では、ループコースターの問題について。

質点がループの頂点に達した状態を考えます。
（問題に添付していた図を参照してください）

半径rの円運動がまだ続いている、という条件から、円の中心方向の力 ( ちょうど下向きの力 ) を考えると、
　mv^2/r = mg + F　…(1)
　※vは、頂点での質点の速度、F は床からの下向きの垂直抗力 ( F≧0 … 図ではF＞0と書いていましたが、F≧0 の間違いです )

一方、エネルギー保存則より
　mgh = 1/2・mv^2 + mg・(2r)　…(2)
　※左辺は初期状態 ( 高さ h、速度 0 )、右辺は頂点での状態 ( 高さ 2r、速度 v )

(1)×r + (2)×2 より
　2mgh = 5mgr + 2rF
これとF≧0より 2mgh≧5mgr すなわち r≦2h/5

なお、今回の問題では、質点が床に束縛されていないので、元の高さまで登れない、という状況が発生しています。
モノレールのように床から離れない状況であれば、ちゃんと元の高さまで登れます。
※その場合、頂点での F はマイナスになっている ( つまり、床が質点を引き上げている ) ことに注意
No.7679 - 2009/08/29(Sat) 22:32:04
☆ ループコースターおまけ / angel
ループコースターの問題でおまけです。
＞ ※もしループ半径が大きすぎると、質点は途中で失速してループから外れて宙を舞い落っこちるか、逆走するかしてしまい、ループを完全には回れません。

これについても考えてみましょう。
つまり、「ループ半径が大きすぎる場合、質点はどこでループから外れるのか」裏を返せば、「どこまでループに沿って登るのか」です。
なお、前提として r＜h とします。( でないと、宙返り部分まで登れないため )

質点の高さを x ( r≦x≦2r ) とし、上の解答のように方程式をたてると、
　mv^2/r = mgcosθ + F
　mgh = 1/2・mv^2 + mgx
　x = r + rcosθ
となります。( 図も参照のこと )
これを解いて、F≧0 を組み合わせると、
　x≦(2h+r)/3
が解として求められます。
※丁度 r=2h/5 つまり h=5r/2 であれば、x≦2r となるため、ぎりぎりループを登りきれることが分かります。つまり、上の解答と矛盾しない結果になっています。

なお、2h/5＜r＜h の状況であれば、高さ (2h+r)/3 でループから離れることになります。
しかしながら、まだ上向きの速度は持っているため、質点はループから離れつつも、放物線を描きながら、少しだけ空中を上昇してから落下していくことになります。
No.7680 - 2009/08/29(Sat) 23:32:04
☆ 追加問題の解説 - 1/3 / angel
追加問題についてです。
解き方は、主に4通り ( 運動方程式/エネルギーの2通り×床基準/板A基準の2通り ) 考えられます。

どの解き方でも共通するところから行きます。

水平方向の位置については、初速Vを与えた向きを正とし、
　求める答 ( BがA上を移動した距離 ) を x
　BがA上を移動している間の時間を T
　その間、Aが移動した距離を L
と置く。( L,T は解法によっては使いません )

BがA上を移動している間の、運動に関わる力を挙げると、
　(1) 地球がBを引っ張る重力：下向き mg
　(2) AがBを支える(垂直)抗力：上向き mg
　(3) BがAを押す(垂直)抗力：下向き mg ( (2)の反作用 )
　(4) AがBを引っ張る摩擦：水平方向 -μmg
　(5) BがAを押す摩擦：水平方向 μmg ( (4)の反作用 )
　(6) 地球がAを引っ張る重力：下向き Mg
　(7) 床がAを押す(垂直)抗力：上向き mg+Mg
　(8) Aが床を押す(垂直)抗力：下向き mg+Mg ( (7)の反作用 )
となり、A,Bそれぞれに関して、鉛直方向の力は釣り合っている

それぞれの解法については、次以降で
No.7687 - 2009/08/30(Sun) 09:02:42
☆ 追加問題の解説 - 2/3 / angel
運動方程式を主とした解法を挙げます

1. 運動方程式-床基準
　A,Bの加速度を a[A], a[B] と置くと、それぞれの水平方向の運動方程式は、
　　A：Ma[A]=μmg　これより、a[A]=μmg/M
　　B：ma[B]=-μmg これより、a[B]=-μg
　Aは初速0、加速度a[A]、Bは初速V、加速度a[B]の等加速度運動を行う。
　Tだけ時間が経ったとき、A,Bの速度が等しくなるため、
　　a[A]T = V + a[B]T これより T=V/(a[A]-a[B])
　その時の移動距離は、
　　A：L=1/2・a[A]T^2
　　B：L+x=VT+1/2・a[B]T^2
　ゆえに、
　　x = VT + 1/2・a[B]T^2 - 1/2・a[A]T^2
　　= V^2/( 2(a[A]-a[B]) )
　　= MV^2/( 2μ(M+m)g )

2. 運動方程式-板基準
　Aの床に対する加速度をa[A]と置くと、水平方向の運動方程式は、
　　A：Ma[A]=μmg　これより、a[A]=μmg/M
　Aは加速度a[A]の等加速度運動を行う。
　これより、板Aを基準とした場合、非慣性系でありBには -ma[A] の慣性力が働く。
　BのAに対する加速度をa[B]と置くと、Bの水平方向の運動方程式は、
　　B(A基準)：ma[B]=-μmg-ma[A] これより a[B]=-μg-a[A]
　Bは初速V、加速度 a[B] の等加速度運動を行う。
　Tだけ時間が経った時、BのAに対する速度は0となるため、
　　V + a[B]T = 0　これより T = -V/a[B]
　その時の移動距離は、
　　x = VT + 1/2・a[B]T^2
　　= -1/2・V^2/a[B]
　　= 1/2・V^2/(μg+a[A])
　　= MV^2/( 2μ(M+m)g )
No.7688 - 2009/08/30(Sun) 09:04:02
☆ 追加問題の解説 - 3/3 / angel
最後に運動エネルギーと仕事に着目した解法です

3. 運動エネルギー - 床基準
　A,Bに関して、水平方向の外力はないため、運動量は保存される。
　A,Bが一体となって動く時の速度を V' とすると、
　　mV = (M+m)V'　これより、V'=mV/(M+m)
　これより、A,Bの運動エネルギー合計の変化?僞は、
　　?僞 = 1/2・(M+m)V'^2 - 1/2・mV^2
　　= -MmV^2/( 2(M+m) )
　一方、A,Bが受けた仕事は、
　　A：μmgL
　　B：-μmg(L+x)
　よって、
　　?僞 = μmgL - μmg(L+x)
　　-MmV^2/( 2(M+m) ) = -μmgx
　　x = MV^2/( 2μ(M+m)g )

4. 運動エネルギー - 板基準
　Aの床に対する加速度をa[A]と置くと、水平方向の運動方程式は、
　　A：Ma[A]=μmg　これより、a[A]=μmg/M
　Aは加速度a[A]の等加速度運動を行う。
　これより、板Aを基準とした場合、非慣性系でありBには -ma[A] の慣性力が働く。

　A,Bが一体となって動く時、BのAに対する速度は0のため、Bの運動エネルギーの変化?僞は、
　　?僞 = -1/2・mV^2
　一方、Bが受けた仕事は、
　　B：m(-μmg-m[A])x
　よって、
　　?僞 = m(-μmg-m[A])x
　　-1/2・mV^2 = m(-μmg-μmg/M)x
　　x = MV^2/(2μ(M+m)g)
No.7689 - 2009/08/30(Sun) 09:07:12
★ 定積分を含んだΣ計算 / Kay(高２女子）
　定積分と不等式の問題で、模範解答の指針、流れ等は理解できたのですが、１ヶ所計算が分からないというか、納得できないところがありました。
　なぜそうなるのかも含めて詳しく教えて頂きたいのですが、よろしくお願いいたします。

Σ[k=1,n]∫(k→k+1)(1/x)dx=∫(1→n+1)(1/x)dx・・・＊

手書きでないので、Σとその始点、終点、∫とその下端、上端などが紛らわしくてすみません。

＊の左辺は、
Σ１からｎで∫下端ｋ上端ｋ＋１で、エックス分の１をエックスで積分

＊の右辺は、
∫下端１上端ｎ＋１で、エックス分の１をエックスで積分

なのです。

具体的には質問は
（１）特に、左辺の積分をΣ計算していることの意味が分かりません。
（２）左辺のΣ記号が、右辺ではなくなっているのはなぜですか。
（３）単純に、左辺のΣ計算の始点が１なので、右辺では下端のｋが１に、
同様に、左辺のΣ計算の終点なｎなので、右辺では上端のｋ＋１がｎ＋１に
なったと考えるのでしょうか。
（４）左辺、右辺の解釈はそれぞれ下記のように考えましたが、いかがでしょうか。
?@左辺は∫(k→k+1)(1/x)dxの部分は面積で、それをΣ計算すると始点１、終点ｎの範囲で、面積を足していっている。
?A右辺は下端１、上端ｎ＋１の積分区間で、（１／ｘ）の面積を求めている。
No.7565 - 2009/08/21(Fri) 23:03:13
☆ Re: 定積分を含んだΣ計算 / 七
1/x の不定積分のつは logx だから
(左辺）＝(log2-log1)+(log3-log2)+…+(log(n+1)-logn)
=log(n+1)-log1=(右辺)
だと思います。
No.7566 - 2009/08/21(Fri) 23:43:34
☆ Re: 定積分を含んだΣ計算 / angel
百聞は一見に如かず。図を描いてみましょう。

添付の図中 a[k] というのは、∫(k→k+1)(1/x)dx を表し、S[n]というのは、∫(1→n+1)(1/x)dx を表します。
そうすると、件の等式の左辺・右辺は、同じものを違う方法で表現していることが見てとれると思います。
添付の図中の表現を使えば、Σ[k=1,n]a[k]=a[1]+a[2]+…+a[n]=S[n] ですね。

質問の(4)は、このため、その認識で問題ないと思います。
(2),(3)に関しては、まあ、図の通りですね。
もともと、Σと∫は意味が似通っていますから、この例のように相互に遣り取りできる場合があります。
※Σは1個ずつ足す操作、∫は細切れにした極めて微小な塊を無限個足す操作、ということで、「足し合わせる」という意味合いでは似ているのです。

最後に(1)に関しては、元の問題が分からないとなんとも言えないところです。なぜ同じものに対して2通りの表現を行い、等式としたかについては。
ただ、問題としてありうるのは、各a[k]が 1/k＞a[k] を満たすことを利用して、
　1/1+1/2+…+1/n＞a[1]+a[2]+…+a[n]=∫(1→n+1)(1/x)dx
を示す、などが考えられます。つまりこの場合は、1/1〜1/nまでの分数の和と1〜n+1の定積分を比較する中間のものとして、a[k] ( 1ずつ区切った定積分 ) を利用する、という意図になります。
No.7567 - 2009/08/22(Sat) 00:35:17
☆ Re: 定積分を含んだΣ計算 / Kay(高2女子)
七さん、angelさん、おはようございます。
夜遅くありがとうございました。
きちんと、しっかりとアドバイスを今後に生かしていきます。本当にありがとうございました！！
No.7571 - 2009/08/22(Sat) 07:38:06
☆ Re: 定積分を含んだΣ計算 / Kay(高２女子）
七さんへ
左辺の積分の部分∫[k=1→k+1]を素直に積分して、[logx]を積分区間kからk+1で計算すると、log(k+1)-logkとなり、これを始点k=1から終点ｎでΣ計算すると、素直に右辺になるのですね。
簡潔で分かりやすくすっきりしました。ありがとうございました。

angelさんへ
詳しい解説だけではなく、わざわざグラフまで描いていただき感動しております。丁寧で分かりやすく納得しました。ありがとうございました。
No.7573 - 2009/08/22(Sat) 09:23:04
☆ Re: 定積分を含んだΣ計算 / Kay(高２女子）
元の問題が分からないとなんとも言えないところです。というこのですが、ただ、問題としてありうるのは、、、、以下に示したいただいた問題が、実は質問させていただいた元の問題とまさに同様、定積分を用いた不等式の証明問題なのです。
ただただ、すごいなぁ！！の一言です。
No.7574 - 2009/08/22(Sat) 09:35:53
★ 因数分解 / ラトソル
a,b,cについての式
(例えばbc(b-c)+ca(c-a)+ab(a-b))
で「a=b,a=cを代入してともに０になったとき初めて
３文字について交代式」
「a=-b,a=-cを代入してともに０になったとき初めて
３文字について対称式」
というやり方が最速でしょうか。
もっと早い見つけ方があれば教えてください。

上の例の問題なら
結局交代式だと見抜くのに最大で計４回
代入することになるってことですか。
（対称式と疑ってa=-b,a=-cでNG。
次にa=b,a=cと代入してOK,という具合）

※下のは間違って載せてしまったので
消してください。すいませんでした。
どうかよろしくお願いします。
No.7561 - 2009/08/21(Fri) 18:48:01
☆ Re: 因数分解 / 七
bc(b-c)
の部分だけでも入れ替えれば符号が逆になることはすぐわかると思います。
bc(b+c)…
の形なら対称式ではないかと考えます。
No.7562 - 2009/08/21(Fri) 19:53:08
☆ Re: 因数分解 / 七
少し気になったので

>「a=b,a=cを代入してともに０になったとき初めて
> ３文字について交代式」

これについてはまだよくわかりませんが

> 「a=-b,a=-cを代入してともに０になったとき初めて
> ３文字について対称式」

は間違いです。
たとえば　a+b+c は簡単な対称式ですが
a=-b　を代入しても,a=-cを代入しても0にはなりません。
No.7563 - 2009/08/21(Fri) 20:42:11
☆ Re: 因数分解 / 七
うっかりしていました。
> 「a=b,a=cを代入してともに０になったとき初めて
> ３文字について交代式」
こちらもまちがいです。
(a-b)(a-c)
は対称式でも交代式でもありませんが
a=b,a=cを代入してともに０になります。
No.7564 - 2009/08/21(Fri) 20:50:40
☆ Re: 因数分解 / ラトソル
よく分からなかったので違う聞き方をします。
a^3b-ab^3+b^3c-bc^3+c^3a-ca^3を因数分解せよ

解）与えられた式はaについての対称式で３次の係数は
b-c。また与えられた式はaにbを代入すると０になり
aにcを代入しても０になるからa-b,a-cを因数にもつ。
３次式であるからもう一つの因数をa+ｋとおくと
与式＝(b-c)(a-b)(a-c)(a+k)とおける。与式をaについての式とみたときの定数項を比較して
k=b+cより
(b-c)(a-b)(a-c)(a+b+c)

これの、また与えられた式はaにbを代入すると０になり
aにcを代入しても０になるからa-b,a-cを因数にもつ
の部分は３文字についての交代式だと分かってたから
できる操作だと思っていたのですがどうやら違うようですね。違う理由と
これが交対式だと見抜く方法をお教えください。
どうかよろしくお願いします。（a,bの交代式はa-bを
因数にもち、a、cの交代式はa-cを因数に持ちますよね・・）
No.7568 - 2009/08/22(Sat) 01:04:47
☆ Re: 因数分解 / ラトソル
与えられた式はaについての３次式で〜
でした。すいません。
No.7569 - 2009/08/22(Sat) 01:07:39
☆ Re: 因数分解 / 七
> 与えられた式はaにbを代入すると０になり
> aにcを代入しても０になるからa-b,a-cを因数にもつ

というのは因数定理から言えることです。
しかしaの3次の係数が（ｂ-ｃ）だからｂ-ｃを因数にもつ
とは言えないように思います。

a,b,cについての交代式でa-b,a-cまたはc-aを因数にもつから
ｂ-ｃも因数であると考えるべきです。

> a,bの交代式はa-bを因数にもち、
> a、cの交代式はa-cを因数に持ちますよね・

これは多分正しいと思います。
ただし、対称式についてはこの限りではありません。

> a^3b-ab^3+b^3c-bc^3+c^3a-ca^3
> これが交対式だと見抜く方法をお教えください。

展開された式の形では
1　似たような項（正確な言い方ではありませんが）がそろっている
2　+と-が混じっている
この2点で交対式ではないかと考えてみる価値はあります。
あとは実際に2つの文字を入れ替えて確認するべきです。
No.7570 - 2009/08/22(Sat) 03:28:49
★ 思いつかない．．． / R U N A .

特別な△ＡＢＣの３つの角Ａ，Ｂ，Ｃ、３つの辺ａ，ｂ，ｃ、について、三角比を用いた公式を作り、証明しなさい。


３つ作らないといけないんですけど、１つも思い浮かびません。図すら思い浮かびません。問題の意味もいまいち分かってないです↓１つでもいいので教えて欲しいです。
No.7555 - 2009/08/20(Thu) 15:09:04
☆ Re: 思いつかない．．． / ヨッシー
ちょっと、理解に苦しむ問題ですね。
どうせ、学校の先生が作った、夏休みの宿題のような
ものかと思いますが。

公式というのは、一般に成り立つものです。
特別な、と言った途端にただの等式になり、
証明はその計算になります。

それはさておき、使うとすれば、直角三角形でしょうかね。

斜辺を直径とする円(いわゆる外接円)を書いて、
正弦定理の証明をする。
その式を、ａ＝・・・、ｂ＝・・・、ｃ＝・・・
の形にして、三平方の式に代入してみる。

∠Ａ＝90°の三角形で、
ＡＣの延長（Ｃ側）に点ＤをＣＤ＝ＣＢ＝ａ となるように取り
△ＡＢＤにおいて、ＢＤ を三平方で出す。
∠ＢＤＡは∠ＢＣＡの半分なので、
tan(C/2)＝・・・　という公式が出来ます。

こんなところでしょうか？

問題の真意を探ることも、合わせてやった方がいいかも。
No.7556 - 2009/08/20(Thu) 17:20:50
★ 空間図形 / やね
座標空間にA（１，２，１）をとる。また、xy平面上にあり、中心が原点、半径が１の円をCとする。
２点P、QをCの直径の両端となるように選ぶ時、
（１）内積↑AP・↑AQを求めよ。
（２）∠PAQ＝θとおくとき、cosθの最大値と最小値を求めよ。
（３）cosθが（２）で求めた最小値をとるとき、△PAQの面積を求めよ。

という問題です。
空間がイメージしにくくて問題文に書いてあるのがどのような状況なのか分かりにくいです。

最終的な答えも分かっていません。
よろしくお願いします!!
No.7550 - 2009/08/19(Wed) 19:11:37
☆ Re: 空間図形 / X
Cに見立てた１円玉をxy平面に見立てた床に置き、
一本の糸を両端を一円玉に直径をはさむようにくっつけて、
糸をつまんで三角形ができるように引き上げる、
という感じをイメージするとよいと思います。

で方針ですが
まず条件から、点P,Qはxy平面上で原点に関して点対称ですので
P(cosφ,sinφ,0),Q(-cosφ,-sinφ,0)
(0≦φ＜2π)
と置くことができます。よって
(1)
↑AP,↑AQをφで表すと
↑AP=…
↑AQ=…
∴↑AP・↑AQ=…
(整理するとφの式は消えて正のある定数になります。)

(2)
題意から
cosθ=↑AP・↑AQ/{|↑AP||↑AQ|}
∴(1)の結果から
|↑AP||↑AQ|が最大のときcosθは最小
|↑AP||↑AQ|が最小のときcosθは最大
そこで{|↑AP||↑AQ|}^2の最大値、最小値を求めます。
{|↑AP||↑AQ|}^2は一見ややこしそうに見えますが
|↑AP|^2,|↑AQ|^2をそれぞれ展開して三角関数の合成を
使って整理した後で
公式 (a-b)(a+b)=a^2-b^2
辺りを使って{|↑AP||↑AQ|}^2を展開すれば、処理は
難しくないはずです。

(3)
(2)の結果よりAP,AQ,sinθの値が求められますので…。
No.7553 - 2009/08/19(Wed) 22:29:39
★ 座標 / kazu
A（-15，0）B（3，0）C（3，9）を結ぶ直線によって囲まれた三角形の周辺、内部にある座標でｘ、ｙともに整数になるものは何個あるか。

100個になるそうなのですが、考え方を教えて下さい。
No.7546 - 2009/08/19(Wed) 15:24:21
☆ Re: 座標 / らすかる
D(-15,9)として、
{(四角形ABCDの周辺、内部にある点の個数)＋(AC上の点の個数)}÷2
ですね。
No.7547 - 2009/08/19(Wed) 16:24:29
★ 規則性の問題 / fuyu/小4
次のように数が規則的に並んでいる。
5，26/5，27/5，28/5，29/5，6，31/5，32/5，33/5，34/5，7，36/5，37/5，……

(1)5と6の間には，26/5，27/5，28/5，29/5が
　並んでおり，その和は22である。
　同じように考えて，7と8の間に並ぶ数を求めなさい。

上の問題の答えは30なのですが、
何故そうなるのかがわかりません。
それ依然にどんな規則性になっているのかがわかりません。
どなたか教えて下さい。
No.7542 - 2009/08/19(Wed) 12:55:52
☆ Re: 規則性の問題 / angel
まず規則性から。
一部を除いて、分母が5で共通で、分子が 26→27→28→… となっていることから、公差 1/5 の等差数列と予想がつきます。
そうすると、整数の項は、単に約分できただけだと気付くでしょう。 ( 25/5→5, 30/5→6 )

で、7と8の間に並ぶ数は、
　36/5, 37/5, 38/5, 39/5
ですから、足し合わせれば 30 と答えが出ます。
※計算を工夫する余地はありますが、それはお任せします
No.7543 - 2009/08/19(Wed) 13:11:47
☆ Re: 規則性の問題 / ハオ
おこがましいかもしれませんが一応追記させていただきます。fuyuさんは小4の方という事で数列をまだ未履修かと存じます。
規則的に並んでいるという数学的問題であれば前後の差を考える事を一番に重んじてください。
本問を考えると差は1/5という事が分かります。
この事より、問題をもう一度考えてみてください。
No.7545 - 2009/08/19(Wed) 14:32:11
☆ Re: 規則性の問題 / ヨッシー
こちらもご覧ください。

28/5，29/5，□，31/5，32/5
□に入る数を考えましょう。

33/5，34/5，△，36/5，37/5
△に入る数を考えましょう。

そろそろ、わかるかな？
No.7548 - 2009/08/19(Wed) 17:09:56
★ 心配です・・ / アル
二次の正方行列Aについて
A(1,0)=(a,1)・・・?@,A^2(1,0)=(a,1)・・・?A
※( , )は列ベクトルですが
書けないので横に書きました。

が成り立っている

１）A(a,1)=(a,1)・・・?Bを示せ
２）A(x,y)=(0,0)・・・?Cとなる(x,y)≠(0,0)を一つ求めよ

これの２）について解答は?B−?@で単純に答え(x,y)=（a-1,1)
としているのですが私はその方法ではなく
?Bの式より
(a,1)を左にまとめて（A-E)(a,1)=0
a(A-E)+A-E=0
(a+1)(A-E)=0
a=-1またはA=E
A=Eのとき(x,y)=(0,0)より不適
a=-1のとき?@?Bよりドッキングして
A＝((-1,1),(-2,2))
これを?Cに代入してｘ＋２ｙ＝０
よってｘ＝−２、ｙ＝１

としたのですがこれでもよいでしょうか。どうかよろしくお願いします。

※２−２行列は二つの列ベクトルの和として書きました
A=（（　）,（ ) )は２−２行列のことです。
No.7538 - 2009/08/18(Tue) 23:58:46
☆ Re: 心配です・・ / ヨッシー
残念ながら、良くないです。

(A-E)(a,1)=0 を a(A-E)+A-E=0 に変形することは出来ません。
a=-1 という値に特に意味はなく、a=2 でも、a=3 でも、
この問題は成り立ちます。
勝手に a の値を決めつけて、そのときに限り成り立つ
　(x,y)=(-2,1)
という１つの解を求めたに過ぎません。
No.7540 - 2009/08/19(Wed) 06:11:08
☆ Re: 心配です・・ / アル
(A-E)(a,1)=0 を a(A-E)+A-E=0 に変形することは出来ません。
>簡単なことかもしれませんが、変形できない理由をお教えください。よろしくお願いします。
No.7541 - 2009/08/19(Wed) 12:54:33
☆ Re: 心配です・・ / ヨッシー
Ａ−Ｅ＝((p,q),(r,s)) とすると、
(Ａ−Ｅ)(a,1)＝(ap+q,ar+s) ・・・(i)
ａ(Ａ−Ｅ)＋(Ａ−Ｅ)＝(((a+1)p,(a+1)q),((a+1)r,(a+1)s))　・・・(ii)
ですから、(i) が (0,0) だからといって、(ii) が ((0,0),(0,0)) にはなりません。

逆に、なぜ、(A-E)(a,1)=0 を a(A-E)+A-E=0 に変形できると
思いましたか？
No.7544 - 2009/08/19(Wed) 14:11:01
★ 数?V / さくら

こんにちは！
数?Vと言っても途中式なんですが、
√x+2/x-2 × 2/(x+2)^2
ってどうやったら解けるでしょうか？
何方か宜しくお願いします。
No.7527 - 2009/08/18(Tue) 17:35:00
☆ Re: 数?V / angel
…「解く」ってどういう意味でしょうか?
途中の式と「解く」という漠然とした表現だけでは、問題の目的が分からないため、問題文と、その式を出した経緯を書いて頂けますでしょうか。
No.7531 - 2009/08/18(Tue) 21:47:16
★ 教えてください！ / たかし
数学?T？
次の問題のとき方を教えてください☆
　ｎ4乗が3ｎ＋７の倍数となるような自然数ｎをすべてもとめよ
No.7525 - 2009/08/18(Tue) 14:47:00
☆ Re: 教えてください！ / らすかる
とりあえず n^4/(3n+7) を計算しましょう。
No.7526 - 2009/08/18(Tue) 15:58:50
☆ Re: 教えてください！ / たかし
僕がやった限りでは何も見つかりませんでした
泣
No.7528 - 2009/08/18(Tue) 18:34:00
☆ Re: 教えてください！ / rtz
らすかるさんの仰られたとおり、
n4/(3n+7)の計算を"式で"ちゃんと出しましたか？
数字を適当に1,2,…と入れていくのではないですよ。
No.7529 - 2009/08/18(Tue) 19:16:23
☆ Re: 教えてください！ / たかし
してませんでした
やってみます
No.7530 - 2009/08/18(Tue) 19:49:19
☆ Re: 教えてください！ / phaos
その方法では不可能ではないかもしれませんが, かなり難しいのではないでしょうか。

n^4 を (3n + 7) が割り切るということは, (各々を素因数分解したとして考えてみると) n と 3n + 7 が互いに素ということは考えられないということから, 先ず n と 3n + 7 の最大公約数を求めてみるのがいいと思います。
No.7534 - 2009/08/18(Tue) 22:27:29
☆ Re: 教えてください！ / angel
＞ その方法では不可能ではないかもしれませんが, かなり難しいのではないでしょうか。

そうでもないと思いますよ。
ただし、「81n^4 を (3n+7) で割る ( そして余りを出す )」とした方が楽なのは確かですが。
No.7535 - 2009/08/18(Tue) 22:35:44
☆ Re: 教えてください！ / らすかる
m=3n+7 とおくと n=(m-7)/3 なので n^4=(Am+7^4)/3^4
よって81n^4を3n+7で割った余りは7^4
のようにすると、整式の割り算の手間が省けますね。
No.7539 - 2009/08/19(Wed) 00:15:52
☆ Re: 教えてください！ / たかし
わかりません
　　
　81n^4を3n+7で割った余りは7^4
　81n^4 を (3n+7) で割る
　 n と 3n + 7 の最大公約数を求めてみる

ってどういうことですか
No.7549 - 2009/08/19(Wed) 18:34:39
☆ Re: 教えてください！ / らすかる
＞81n^4 を (3n+7) で割る
例えば14を3で割ると商が4、余りが2ですが、これは
14=3×○＋□（ただし□＜3）
となる○と□を求めているわけです。
これと同様に、
81n^4=(3n+7)×○＋□（ただし□の次数は3n+7の次数未満）
となる○と□を求めるのが「81n^4を(3n+7)で割る」の意味です。
計算すると
81n^4=(3n+7)(27n^3-63n^2+147n-343)+2401
となりますので、81n^4を3n+7で割ると
商が27n^3-63n^2+147n-343、余りが2401ということになります。
No.7551 - 2009/08/19(Wed) 20:58:23
☆ Re: 教えてください！ / たかし
そっからどうなるのかがちでわかりません
No.7557 - 2009/08/20(Thu) 20:51:54
☆ Re: 教えてください！ / らすかる
81n^4=(3n+7)(27n^3-63n^2+147n-343)+2401 から
81n^4/(3n+7)=(27n^3-63n^2+147n-343)+2401/(3n+7)
n^4が3n+7の倍数となるとき、81n^4/(3n+7)は整数です。
また、81n^4/(3n+7)が整数のとき、3n+7は3で割り切れませんので
n^4/(3n+7)も整数となります。
よって
「n^4が3n+7の倍数」⇔「2401/(3n+7)が整数」
ですから、
「n^4が3n+7の倍数」⇔「3n+7が2401の約数」
となります。
No.7558 - 2009/08/20(Thu) 21:48:08
☆ Re: 教えてください！ / たかし
わざわざ僕のためにありがとうございました☆
その親切心に感極まります
またいつかお世話になります
蟻が父さんハエが母さん
No.7559 - 2009/08/20(Thu) 22:01:26
★ 誰か教えて！ / なみ
Bは行列でB=B^-1という式で、両辺によくB^-1とか逆行列をかける操作はよくするんですけど、この場合Bを両辺に掛けるってのもしていいんでしょうか。教えてください。
No.7522 - 2009/08/18(Tue) 01:07:38
☆ Re: 誰か教えて！ / angel
OKです。なおかつ、今回は同値変形になります。
つまり、
　Ｂ=Ｂ^(-1) ⇔ ＢＢ=ＢＢ^(-1) ⇔ Ｂ^2=Ｅ

次のページにあるNo.7395以下でも、似たような話がありますので、ご参考まで。
No.7524 - 2009/08/18(Tue) 01:51:46
☆ Re: 誰か教えて！ / なみ
納得しました☆特に７４００番はちょっとしたお宝ですね。

そこでちょっと気になったのですが
C=0のときのA=BとAC=BCの同値関係で（行列じゃないです）
A=B→AC=BCは真で
AC=BC→A=Bは偽で合ってますか。

これが合っていたら
C=０でも両辺に掛けるときは断り書きがいらないこと。
両辺から割るときはC≠０よりと断り書きを入れること。
の二つが一本でつながるのですが・・
とても初歩的なことかもしれないんですけど
確認の意味もかねてよろしくおねがいします。
No.7532 - 2009/08/18(Tue) 22:14:47
☆ Re: 誰か教えて！ / ヨッシー
C=0 と断らなくても、
A=B→AC=BCは真で
AC=BC→A=Bは偽です。

※断らなくてもとは、C=0 以外でも偽になることがあるという
ことではなく、どうせ反例で C=0 が挙げられるので、
最初に言わなくてもいい、という意味です。

>二つが一本でつながるのですが・・
つながりますね。ちなみに、両辺を割る、ですね。
No.7533 - 2009/08/18(Tue) 22:22:32
☆ Re: 誰か教えて！ / なみ
とりあえず、Cが０のとき
A=B→AC=BCは成り立って
AC=BC→A=Bは成り立たない
ってのは合ってるってことで
いいんですよね？

何度もすいません。。
No.7536 - 2009/08/18(Tue) 22:56:18
☆ Re: 誰か教えて！ / ヨッシー
いいですよ。
No.7537 - 2009/08/18(Tue) 23:13:26
★ 複雑な場合の数 / 数学好きの数学下手
　またお世話になります。
　今度は場合の数の問題なのですが、かなり複雑で手こずりました。解き方を教えてください。

【問題】
　4組の夫婦を以下の条件に従って横1列に並ばせる。
　（条件）女性の隣にはその人の夫かあるいは女性のみが
　　　　　座る。
　このとき、この8人の並べ方は何通りあるか？


　自分の考えでは、女性の隣にその女性の夫ではない男の並べ方を考えて、全体からその場合の数を引くのではないか、と考えたのですが、その後の整理をどうするかで、頭がこんがらがりました。
No.7513 - 2009/08/17(Mon) 10:09:04
☆ Re: 複雑な場合の数 / 数学好きの数学下手
　座る、じゃなくて、「いる」ですね。細かいことですが一応訂正します。
No.7514 - 2009/08/17(Mon) 10:10:44
☆ Re: 複雑な場合の数 / ヨッシー
女性が男性に挟まれることはなく、
また、男性が女性に挟まれることはありません。
よって、男性も女性も、端にいるとき以外は
必ず２人以上のかたまりになります。
それを踏まえて、女性のかたまり方によって、
男女の並び方を調べると以下のようになります。
※右端の数字は、後述。

1)女性４人のかたまり
女女女女男男男男　６
男女女女女男男男　２
男男女女女女男男　２
男男男女女女女男　２
男男男男女女女女　６

2)女性が３−１に分かれる場合
女女女男男男男女　２
男女女女男男男女　１
男男女女女男男女　１
女男男女女女男男　１
女男男男女女女男　１
女男男男男女女女　２

3)女性が２−２に分かれる場合
女女男男女女男男　１
女女男男男女女男　１
女女男男男男女女　２
男女女男男女女男　１
男女女男男男女女　１
男男女女男男女女　１

4)女性が１−２−１に分かれる場合
女男男女女男男女　１

たとえば、女女女女男男男男 は、女の並び方が４！＝２４通り
それに対して、男は、女と接している一人はその夫に固定されますが、
他の３人は自由なので３！＝６通り　の並び方があります。
そこで、男の並び方にどれだけの場合の数があるかを示したのが、
右の数字です。
それらを合計すると、３４なので、
　２４×３４＝８１６(通り)
となります。
No.7516 - 2009/08/17(Mon) 11:56:17
☆ Re: 複雑な場合の数 / 数学好きの数学下手
　最初からもう並べ方が限られちゃうのですね。全く、頭になかったです（恥）。確かに、余事象考えるよりは、こっちのほうが落ち着いて数え上げることが出来ますね。

　今回もありがとうございました。
No.7520 - 2009/08/17(Mon) 23:49:36
☆ Re: 複雑な場合の数 / 春
女性が男性に挟まれることはなく、
また、男性が女性に挟まれることはありません

とありますが
女性が男性に挟まれることはなく、は問題に書いてあるのですが、男性が女性に挟まれることはありません
はどこから来たのでしょうか。
気になったので教えてください。
No.7636 - 2009/08/27(Thu) 00:20:21
☆ Re: 複雑な場合の数 / ヨッシー
男性の両端が女性だとすると、少なくともどちらか一方は
自分の妻ではなく、その女性にとっては、自分の夫以外の
男と隣り合うことになるためです。
No.7637 - 2009/08/27(Thu) 00:33:02
★ 数学?U / 小次郎
(１)２点A,Bが次のように与えられている時、線分ABの垂直二等分線の方程式を求めよ。

　A（-1,3）B (7,-1)


(２)２直線 ax+4y=2とx+(a-4)y=1がある。a≠4である。
　　2直線が平行になるようなaの値を求めよ。


(1)については傾きまでは導けるのですが切片をどのように導くのかわかりません・・。
(2)はまったくわかりません・・解法の記載おねがいします。
No.7506 - 2009/08/16(Sun) 23:14:40
☆ Re: 数学?U / ヨッシー
(1)
ＡＢの中点は(3,1) ですが、求める直線は、この点を通ります。

(2)
２直線が平行←→傾きが等しい　（ただし、ｙ軸に平行な場合を除く）
No.7508 - 2009/08/17(Mon) 00:20:11
☆ Re: 数学?U / 小次郎
(2)の式x+(a-4)y=1をどのように式変形すればよいのですか？
No.7515 - 2009/08/17(Mon) 11:14:55
☆ Re: 数学?U / ヨッシー
両辺 a-4 で割ります。
No.7517 - 2009/08/17(Mon) 13:09:02
☆ Re: 数学?U / 小次郎
理解できました。
式変形のときににｙをかけてしまっていました・・・。
No.7519 - 2009/08/17(Mon) 20:34:51
★ 計算 / parasol
すごく初歩的な計算問題ですが

a^2-b^2=1・・・?@
かつab=√５・・・?Aで

?Aを２乗したいのですが
同値性が保たれるのかどうかわかりません。
同値性に注意した途中過程を教えてください。

答えは(a,b)=(1,√5)(-1,√5)です

よろしくお願いします。
No.7497 - 2009/08/16(Sun) 20:23:31
☆ 訂正です / parasol
a^2-b^2=-4
でした。
No.7498 - 2009/08/16(Sun) 20:24:25
☆ Re: 計算 / らすかる
問題と答えが合っていません。
(a,b)=(-1,√5) は ab=√5 を満たしません。
No.7500 - 2009/08/16(Sun) 21:00:35
☆ Re: 計算 / rtz
(a,b)＝(-1,-√5)ですかね。

ab＝√5⇔a2b2＝5 かつ ab＞0
程度でいいのでは。
a,b＞0 または a,b＜0 でもいいですが、冗長な気がします。
No.7501 - 2009/08/16(Sun) 21:06:38
☆ Re: 計算 / ヨッシー
ａｂ＝−√5 なのかも。

２乗して、
　a2b2＝５　　ａｂ＜０
と書いておくのが、慎重なやり方と思いますが、
ａｂ＜０ は気にせずに解いていって、最後に
ａｂ＝−√5　を満たすかチェックする、ということで良いと思います。
No.7512 - 2009/08/17(Mon) 08:21:05
★ 回転拡大を表す行列 / 数Cを独学でやる者
行列

a -b
b a

が回転拡大を表す行列、だという簡単な証明を教えてください。(1,0)が(a,b)に移ることを利用した証明があったらより助かります。よろしくお願いします。
No.7491 - 2009/08/16(Sun) 17:04:26
☆ Re: 回転拡大を表す行列 / 七
> 行列
>
> a -b
> b a
>
> が回転拡大を表す行列、

とは限りません。
No.7496 - 2009/08/16(Sun) 20:10:52
☆ Re: 回転拡大を表す行列 / 七
原点に関してθの回転を表す行列は
cosθ　-sinθ
sinθ cosθ
です。
またｒ倍の拡大を表す行列は
ｒ　0
0　ｒ
です。
θの回転とｒ倍の拡大を表す行列は
この2つの行列の積です。　
No.7499 - 2009/08/16(Sun) 20:25:10
☆ (No Subject) / parasol
質問の仕方に不備があったようなので、質問の仕方を変えます。

問題）A=
a -b
b a

(a,b:実数）

とする。A^6=EをみたすAを全て求めよ。
　
解）（１，０）方向から（a,b）方向への回転角をθ（０≦θ＜２π）とおき、√(a^2+b^2)=rとおくとa=rsinθ、b=rcosθにより、A=ｒ
cosθ　-sinθ

sinθ cosθ

と表せる。よって〜

解答をそのまま写しました。
行列
a -b
b a

からAの行列を出してるみたいなのですが
この回答の意味（Aの行列の導き方）が理解できません
分かる人がいたらどうか教えてください。
No.7502 - 2009/08/16(Sun) 21:20:18
☆ Re: 回転拡大を表す行列 / ast
模範解答でやっている内容と同じことは, 受験数学でおなじみの三角函数の合成で散々やっているはずですが…….
No.7503 - 2009/08/16(Sun) 22:28:34
☆ Re: 回転拡大を表す行列 / parasol
ならば細かい部分から

（１，０）はどこからきたのですか
No.7509 - 2009/08/17(Mon) 02:06:25
☆ Re: 回転拡大を表す行列 / ast
"ならば" で接続するような内容という気がしないのですが, (1,0) は x-軸 (の正の部分) 上の点であるという以上の意味はありませんし, それ以上の意味を持たせる必要もありません. そもそも模範解答の文言は "(1,0)-方向" であるということに注意してください.

もう少しだけ詳しく述べれば, No.7499 に書かれているような事実を念頭において, r * cos(θ) = a, r * sin(θ) = b となるような θ を求めたければ, そういう三角形 (原点, (a,0), (a,b) を頂点に持つ直角三角形) を書けばいいというだけの話です (直角や平角を越える場合は何処のどの値がどのようにどの三角函数の値を定めているか, 三角函数の定義を今一度復習なさるのも良い考えでしょう).

もう一度繰り返しますが, 上述の説明文の中でご質問の (1,0) は (極座標での) 偏角 θ を x-軸の正方向へ向かう半直線から測りはじめるという約束事を再度確認する程度の役割しか持っていませんし, それで十分役割を果たしていることが確認できると思います.

なお, "三角函数の合成" a * sin(x) + b * cos(x) = r * sin(x + θ) 云々の話は, 加法定理 sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y) を逆に用いるために, a = r * cos(θ), b = r * sin(θ) となるように r, θ を決定するといったようなことをやっているはずだ, という意味です. このときもやはり同様の三角形を想定する必要があったはずです (もちろん三角形を描かなくてもすぐに見つけられる, という方もいらっしゃるでしょうが).

たとえば (sin(x) + cos(x) = r * sin(x + θ) という合成を行いたいときなど) 1 = r * cos(θ), 1 = r * sin(θ) となる r, θ を導出するには, (0,0), (1,0), (1,1) を頂点に持つ直角三角形を書けば, r = √2, θ = π/4 ととればよいことが一目瞭然になります. そういうことをなさった記憶はありませんか?
No.7510 - 2009/08/17(Mon) 07:56:18
★ 三次式 / black
こんにちは＾＾
質問お願いします＞＜

ｋを２以上の数とし、F(x)＝kx^3-(k+1)^2*x^2+(2k^2+k+2)x-2k
とするとき
F(x)≧を示せ

という問題です。

F(x)の微分を考えて、その最大値≧０であればよいと考えようと思いました。
F'(x)=3kx^2-2(k^2+2k+1)+2k^2+k+2
=(x-1)(3kx-2k^2-k-2)
となったので
1<(2k^2+k+2)/3kの場合と同様に1>(2k^2+k+2)/3kを考えようとしました。
x=（2k^2+k+2)/3kとなる場合はこれをF(x)に代入すると計算が大変でうまくいかなくなってしまいました。
この考え方ではできないのでしょうか？

色々とご指導よろしくお願いします＞＜
No.7490 - 2009/08/16(Sun) 15:46:32
☆ Re: 三次式 / rtz
問題文が不完全ですね。
＞F(x)≧？
No.7495 - 2009/08/16(Sun) 18:40:58
☆ Re: 三次式 / black
ごめんなさい！
≧０です。
No.7505 - 2009/08/16(Sun) 23:10:45
☆ Re: 三次式 / ヨッシー
ｋが正であれば、ｘを思い切り小さくすると、
　F(x)＜０
になるので、F(x)≧０ とはなりません。
ｘの範囲に、何か制限はありませんか？
ｘ≧０ とか。
No.7511 - 2009/08/17(Mon) 08:15:39
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