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★ 恒等式 / mina
　こんにちは(*^^*)
　質問お願いします☆

x+y+z=5,3x+y-z=-15を満たす任意のx,y,z,に対して常に
ax^2+ｂｙ^2+ｃｚ^2=5^2が成り立つ時、定数a,b,c,の値を求めないといけない問題です。

y=-2x-5,z=x+10にしてax^2+by^2+cz^2=5^2に代入し、計算して
(a+4b+c)x^2+20(b+c)x+25(b+4c)=5^2
　にして、
　a+4b+c,b+c,b+4cに恒等式の値を＝でつければいい
というところまで分かったのですが、
いったいどこの値を持ってきたらいいのかわかりません。

　教えて下さい。お願いします。宜しくお願いします。
No.7475 - 2009/08/15(Sat) 18:51:15
☆ Re: 恒等式 / rtz
恒等式で分からないなら、とりあえず移項は完成させましょう。
(a+4b+c)x2＋20(b+c)x＋25(b+4c-1)＝0

さて、あとはxに関する恒等式ですから…。
No.7476 - 2009/08/15(Sat) 18:59:51
☆ Re: 恒等式 / 七
x,y,zについての恒等式ですから
y,zを消去したらｘについての恒等式と考えればいいです。
したがってｘについての同類項の係数が等しいとすればいいです。
(a+4b+c)x^2+20(b+c)x+25(b+4c)=5^2　より
(a+4b+c)＝０、20(b+c)＝０、25(b+4c)=5^2
とすればいいのです。
No.7479 - 2009/08/15(Sat) 19:25:07
☆ Re: 恒等式 / mina
わかりました！
ありがとうございました☆
No.7484 - 2009/08/15(Sat) 21:52:51
★ 三角比の問題です。 / 葉桜

三角形ABCにおいて内接円が辺BCに接する点をDとするとき、BD・CD＝△ABC・□となる。
□を求めよ。ただし、□には三角比で表した式が入る。

という問題がどうしてもわかりませんっ。
学年は高一です。
直角三角形の場合で考えるとできるのですが、どうも問題の解答からだんだんと遠ざかっているような気がします。
よろしくお願いします。
No.7471 - 2009/08/15(Sat) 15:15:12
☆ Re: 三角比の問題です。 / 七
> 三角形ABCにおいて内接円が辺BCに接する点をDとするとき、BD・CD＝△ABC・□となる。
> □を求めよ。ただし、□には三角比で表した式が入る。

の部分は正しいですか？

> 直角三角形の場合で考えるとできるのですが、…

どういうことですか？
No.7486 - 2009/08/16(Sun) 07:33:23
☆ Re: 三角比の問題です。 / ヨッシー
数値をいろいろ当てはめると
　tan(A/2)
になるようなのですが、証明はまだです。
No.7487 - 2009/08/16(Sun) 07:54:39
☆ Re: 三角比の問題です。 / rtz
証明なら
2BD=AB+BC-AC=BC+(AB-AC)
2CD=AC+BC-AB=BC-(AB-AC)
BD*CD=(1/4){BC^2-(AB-AC)^2}=(1/2)AB*AC(1-cosA)=△ABC(1-cosA)/sinA=tan(A/2)
No.7489 - 2009/08/16(Sun) 14:13:50
★ 確認 / 数学が苦手な者
k^3A=kA(A:行列で逆行列を持たない）でA≠０よりk^3=k

と解答にあったのですが
解答のミスでしょうか。
私はAが逆行列を持たないということからA≠rEで係数比較してよいのでk^3=kとできたのですが、気になります。
No.7467 - 2009/08/15(Sat) 13:37:44
☆ Re: 確認 / 七
AがO零行列であれば係数比較はできません。

前の質問のついては理解できたのですか？
No.7468 - 2009/08/15(Sat) 13:56:15
☆ (No Subject) / 数学が苦手な者
わかりました。勘違いでした、すいません。
No.7469 - 2009/08/15(Sat) 14:52:51
★ 体積の件 / math嫌い
　お邪魔いたします。次の問題の方針を教えてもらいたいです。

《問題》
　xyz平面において、xz平面上の領域0≦z≦(4-x^2)をz軸の周りに1回転してできた立体をAとおく。
　xy平面上の三角形x≧0、y≧0、x+y≦1を底面とし、xy平面に垂直に、z軸正方向に無限に延びる三角柱とおく。
　A、Bの共通部分の体積はいくらか？
　
　答えは11/6．
No.7464 - 2009/08/15(Sat) 00:35:00
☆ Re: 体積の件 / math嫌い
訂正です。失礼しました。

・・・無限に延びる三角柱をBとおく。
No.7465 - 2009/08/15(Sat) 00:37:27
☆ Re: 体積の件 / rtz
あるz＝k(0≦k≦4)において、
k＝4−x2⇔|x|＝√(4−k)
即ち、平面z＝kとAは、中心(0,0,k)、半径√(4−k)の円において交わる。

あとは
x,y≧0、x＋y≦1、x2＋y2＝4−kを描いて、
共通部分がkの値でどう変化するか考えましょう。
具体的には0≦k≦3、3≦k≦7/2、7/2≦k≦4の3通りですね。
No.7466 - 2009/08/15(Sat) 01:08:06
☆ Re: 体積の件 / math嫌い
返信遅れてすみません。
アドバイス、助かりました。ありがとうございました。
No.7494 - 2009/08/16(Sun) 17:47:06
★ 剰余の定理 / coz
整式P(x)をx-1で割ると13余り、(x+1)^2で割ると-x+2余る。
(1)P(x)をx+1で割った余りを求めよ。
(2)P(x)を(x+1)(x-1)で割った余りを求めよ。
(3)P(x)を(x-1)・(x+1)^2で割った余りを求めよ。

答え
(1)3
(2)5x+8
(3)3x^2 +5x +5

(1),(2)は解けるのですが,(3)の解法がわかりません。解説よろしくお願いします。
No.7456 - 2009/08/14(Fri) 18:06:48
☆ Re: 剰余の定理 / rtz
(2)と方針は同じですよ。
(2)はどうやって解かれたのでしょうか。
No.7457 - 2009/08/14(Fri) 18:13:26
☆ Re: 剰余の定理 / coz
余りをax+bとして、条件より
P(1)=a+b=13
P(-1)=-a+b=3
これを解きました。

(3)はax^2+bx+cとしても、解けなくて困っています。
No.7460 - 2009/08/14(Fri) 23:23:12
☆ Re: 剰余の定理 / rtz
普通に(x+1)2で割ってみましょう。
そうすればb,cがaで表せるので、あとはP(1)が使えますね。


ちなみに、別解として、
あまりをa(x+1)2-x+2と置く方法もあります。
これなら面倒な手順を踏むまでもなくP(1)のみです。

もっとも、こうしてよい理由を分かっていないといけませんが。
No.7463 - 2009/08/14(Fri) 23:57:03
☆ Re: 剰余の定理 / coz
>普通に(x+1)2で割ってみましょう。

どういうことでしょうか。何を割るのですか。


＞別解としてあまりをa(x+1)2-x+2と置く方法もあります。

どうしてこのような置き方ができるのですか。
No.7483 - 2009/08/15(Sat) 21:20:42
☆ Re: 剰余の定理 / ヨッシー
>整式P(x)をx-1で割ると13余り、(x+1)^2で割ると-x+2余る。
とありますから、もちろん P(x) を (x+1)^2で割るのです。

P(x) を (x-1)・(x+1)^2で割ると ax^2+bx+c 余る
を式で書くと、商をQ(x) として、
　P(x)＝Q(x)(x-1)・(x+1)^2＋ax^2+bx+c
これを、(x+1)^2で割って -x+2 余ることと照らし合わせます。
このとき、Q(x)(x-1)・(x+1)^2 の部分は、(x+1)^2 で
割り切れますから、ax^2+bx+c を (x+1)^2 で割ったあまりが、
-x+2 であると言えます。
そこで、商をａとして、
　ax^2+bx+c＝a(x+1)^2 -x+2
と書けます。
No.7518 - 2009/08/17(Mon) 13:39:46
☆ Re: 剰余の定理 / coz
理解できました！！
解説ありがとうございました
No.7554 - 2009/08/20(Thu) 00:11:48
★ 今日もまたお願いします / 数学が苦手な者
原点の周りのθ回転とｋ倍拡大の合成変換f（回転拡大）によって中心p、半径rの円が中心ｆ（ｐ）、半径krの円にうつる

とありますが、ここでなんで円の半径も拡大されるのかが分かりません。（中心の座標が変わるだけで円の大きさは変わらないと思うのですが。）よろしくお願いします。
No.7453 - 2009/08/14(Fri) 12:42:56
☆ Re: 今日もまたお願いします / angel
＞ …(前略)…とｋ倍拡大の合成変換f（回転拡大）によって

とあるのですから、拡大されるのはごく自然なことだと思いますが…?
No.7454 - 2009/08/14(Fri) 14:21:50
☆ Re: 今日もまたお願いします / angel
回転を考えずに、単に k倍拡大だけで考えてみましょうか。

表現行列 kＥ ( k＞0 ) で表される k倍拡大の一次変換 f により、点(x,y)が(X,Y)に移るとします。
この時、X=kx, Y=ky であり、逆変換を考えると、x=X/k, y=Y/k

では、f により、(p,q)を中心とする半径 r の円 (x-p)^2+(y-q)^2=r^2 がどう移るかを計算します。
上記の x=X/k, y=Y/k を代入すると、
　(X/k-p)^2 + (Y/k-q)^2 = r^2
　(X-kp)^2/k^2 + (Y-kq)^2/k^2 = r^2
　(X-kp)^2+(Y-kq)^2 = (kr)^2
ということで、(kp,kq)を中心とする、半径 kr の円に移ることが分かります。
No.7455 - 2009/08/14(Fri) 15:37:41
☆ 補足になるかどうか… / 七
上のangelさんのレスでも明らかなように変換されるのは円周上の点です。
中心は、言ってみれば結果としてついていくのです（正確な言い方ではないかもしれませんが）。
そして円にはこの中心という便利なものがありますから結果だけを考えるとき
> 中心ｆ（ｐ）、半径krの円にうつる…
といった考え方ができるのです。
たとえば三角形に同様な変換を加えた場合を想像してみてください。
数学が苦手な者さんの想像されていたであろう移動は拡大変換ではなく、
特殊な平行移動であることがわかるのではありませんか？
No.7458 - 2009/08/14(Fri) 18:32:17
★ 続けて質問です。。 / 数学が苦手な者
A:行列　a,y：定数

A(1) =(a-1)(1)
（y) (y)

を繰り返し用いると

A^n(1) =(a-1)^n(1)
（y) (y)

となる理由が分かりません。
ｎ回ずつ掛けたのならば
(1)
(y)
の部分もｎ乗になると思うのですが。


（　）
（　）で一つの括弧です。
No.7446 - 2009/08/13(Thu) 22:10:05
☆ Re: 続けて質問です。。 / X
見難いので
↑x=(1,y)(縦ベクトルです)
とします。すると
A↑x=(1-a)↑x
∴(A^2)↑x=A(A↑x)=A{(1-a)↑x}
=(1-a)A↑x={(1-a)^2}↑x
(A^3)↑x=A{(A^2)↑x}=A{{(1-a)^2}↑x}
={(1-a)^2}A↑x={(1-a)^3}↑x
…
(A^n)↑x=A{(A^(n-1))↑x}=A{{(1-a)^(n-1)}↑x}
={(1-a)^(n-1)}A↑x={(1-a)^n}↑x
となります。
No.7450 - 2009/08/13(Thu) 23:41:39
☆ 納得です / 数学が苦手な者
ありがとうございました！助かりました。
No.7451 - 2009/08/14(Fri) 01:52:06
★ 確認 / 数学が苦手な者
行列P,Qは逆行列を持たないときにP+Q=Eの両辺に左からPを掛けてP^2+PQ=P,今度は右からPをかけてP^2+QP=P
よってPQ=ＱＰとする操作はだめなんでしょうか。
No.7440 - 2009/08/13(Thu) 17:06:36
☆ Re: 確認 / angel
内容がぼやけるので、問題 ( 分からない部分 ) の中で、前提条件や目的、考え、操作等は区別して書いてください。

　Ｐ+Ｑ=Ｅ …(1) という前提条件から、目的として ＰＱ=ＱＰ を導く時に、

　　(1)の両辺に左からＰをかけて、Ｐ^2+ＰＱ=Ｐ …(2)
　　(1)の両辺に右からＰをかけて、Ｐ^2+ＱＰ=Ｐ …(3)
　　(2),(3)よりＰＱ=ＱＰ

　という操作が正しいかどうか

ということであれば、問題ありません。
Ｐ,Ｑが逆行列を持つ(正則)かどうかには関係なく使えます。
※一応念のためですが、Ｘ=Ｙ⇒ＡＸ=ＡＹ や、Ｘ=Ｙ⇒ＸＡ=ＹＡ はいつでも使って問題ありませんが、その逆 ＡＸ=ＡＹ⇒Ｘ=Ｙ や ＸＡ=ＹＡ⇒Ｘ=Ｙ が使えるのは、Ａが正則な ( 逆行列を持つ ) 場合のみです。
No.7442 - 2009/08/13(Thu) 18:57:13
☆ Re: 確認 / ast
質問とは直接関係無いと思いますが, 補足しておきます. やっていることは本質的に同じ操作ですが, P + Q = E ならば Q = E − P ですから,

　PQ = P(E − P) = P − P^2 = (E − P)P = QP

として P, Q の可換性を示すことができます. もう少し一般に, Q が P の多項式 (定数項は E の定数倍とみる) であれば, まったく同じ理屈で P, Q の可換性が保障されます.
No.7444 - 2009/08/13(Thu) 19:25:06
☆ Re: 確認 / 数学が苦手な者
ありがとうございました。納得しました。
No.7445 - 2009/08/13(Thu) 21:58:51
★ 高校ですが / 数学マニア
3-3行列の逆行列、外積、合同式以外で、大学で習う数学（普通高校ではやらない数学）で大学受験に役立つものがあれば教えてください。
No.7434 - 2009/08/13(Thu) 01:30:22
☆ Re: 高校ですが / BossF
固有値　固有Vector　について、自習しておくと得です
No.7435 - 2009/08/13(Thu) 04:11:16
☆ Re: 高校ですが / angel
物理をやるのなら、外積も良いです。
物理の諸公式の中には、外積を使って書くと非常にすっきりするものもありますから。
No.7462 - 2009/08/14(Fri) 23:54:11
☆ Re: 高校ですが / KINO
う〜ん，すぐに思いつくのは双曲線関数かな。
No.7485 - 2009/08/16(Sun) 02:05:50
★ (No Subject) / ゆう
｜x｜＜1、｜y｜＜1、｜z｜＜1のとき、次の不等式が成り立つことを証明せよ。
｜x+y+z+xyz/1+xy+yz+zx｜＜1

よろしくお願いします!
No.7433 - 2009/08/12(Wed) 23:31:22
☆ Re: / X
|x|＜1,|y|＜1,|z|＜1 (A)
のとき
|1+xy+yz+zx|≠0 (P)
であることが証明されているとすると
|(x+y+z+xyz)/(1+xy+yz+zx)|＜1
⇔|x+y+z+xyz|＜|1+xy+yz+zx|
⇔-(1+xy+yz+zx)＜x+y+z+xyz＜1+xy+yz+zx (B)
(A)のとき(B)であることをまず証明します。
(i)-(1+xy+yz+zx)＜x+y+z+xyzの証明
(右辺)-(左辺)=x+y+z+xyz+1+xy+yz+zx=…
(因数分解すると…)
(ii)x+y+z+xyz＜1+xy+yz+zxの証明
((i)と同様な方針です)

注)
飽くまで上記の方針は思考過程をそのまま書いただけで
この形式で解答を書くと(P)の証明をいきなりしなくては
ならなくなり困難です。
従って解答を書くときは以下のようにして下さい。

まず(i)(ii)の方針で(B)を証明します。
すると
|x+y+z+xyz|＜|1+xy+yz+zx| (B)'
が成立することが分かります。
ここで(A)より
|x+y+z+xyz|≧0
∴(B)'より|1+xy+yz+zx|＞0
つまり|1+xy+yz+zx|≠0
よって(B)'の両辺を|1+xy+yz+zx|で割ることができ…。
No.7437 - 2009/08/13(Thu) 11:18:32
☆ Re: (No Subject) / ゆう
ご丁寧にありがとうございました。

分かりました!
No.7439 - 2009/08/13(Thu) 14:57:32
★ 高2･ベクトル / 匿名
四面体OABCにおいて、辺OAを1:2に内分する点をD、
辺BCの中点をM、線分OMの中点をEとする。
平面BCDと直線AEの交点をPとする。
OAベクトル=aベクトル、
OBベクトル=bベクトル、
OCベクトル=cベクトル　とするとき
OPベクトルをa,b,cベクトルを用いて表せ。

という問題なのですが、
画像の下線部分で
どうしてaベクトルを3ODベクトルと
置き換えなければならないのでしょうか?
置き換える前の式で
点Pが平面BCD上にある条件の｢係数の和が1｣
を使ったらいけないのでしょうか?
No.7430 - 2009/08/12(Wed) 20:36:46
☆ Re: 高2･ベクトル / ハオ
僕の解答はあまり信憑性のある回答ではありません、と言うのも僕も今この部分を習っているからです。それ故僕の解答は無視されて頂いても構いません。
一般化した事を言わせて頂くと
点P(p→)が点A(a→),B(b→),C(c→)の定める平面α上にある時　p→=sa→+tb→+uc→　(s+t+u=1)となる実数s,t,uが存在する。
この事より匿名さんの問題に当てはめると
点P(p→)が点D(d→),B(b→),C(c→)の定める平面α上にある時　p→=sd→+tb→+uc→　(s+t+u=1)となる実数s,t,uが存在する。　となるので
d→をa→に直さなくては問題に背くことになります。
No.7431 - 2009/08/12(Wed) 21:30:35
☆ Re: 高2･ベクトル / 匿名
返信ありがとうございます。

とてもわかりやすく説明して頂き、
納得できました!

本当にありがとうございました!
No.7441 - 2009/08/13(Thu) 18:28:38
★ 平面図形 / 小次郎
連続してすみません。
半径Rの円に内接する四角形ABCDがAB＝√3-1,BC=√3+1
cos∠ABC=-1/4を満たし、?僊CDの面積は?僊BCの面積の3倍であるとする。

?僊CDと?僊BCの面積についての条件から
AD×CD及びAD^2+CD^2を求めよ。

また、AD及びCDを求めよ。

解法解答お願いします。
No.7425 - 2009/08/12(Wed) 12:39:56
☆ Re: 平面図形 / ハオ
cos∠ABC=-1/4よりsin∠ABC=√15/4
△ABC=1/2(√3-1)(√3+1)√15/4 =√15/4
よって△ACD=3√15/4
また△ACD=1/2AC×CD×cos∠ADCで表せる。
円に内接する四角形の対角の和は180°なのでcos∠ACD=
cos(180°-∠ABC)=-cos∠ABCよりsin∠ADCを導く。
先程の式を利用して△ACD=1/2AC×CD×√15/4=3√15/4
整理してAC×CD=6

AD^2+CD^2については式の形を注意して見ると
△ADCにおける余弦定理より
AC^2=AD^2+CD^2-2AD×CDcos∠ADCを利用して導出する事を考えます。
AC^2は△ABCにおける余弦定理より求めます。
以上より
AD^2+CD^2=12

AD×CD=6 AD^2+CD^2=12より連立方程式を立てて求めます。
AD^4-12AD+36=0(複二次式)
AD^2=t(t>0)と置く。
t^2-12t+36=0⇔(t-6)^2=0
t=6 よってAD=√6
CD=√6
No.7428 - 2009/08/12(Wed) 16:01:03
☆ Re: 平面図形 / 小次郎

> また△ACD=1/2AC×CD×cos∠ADCで表せる。
何の公式を使用したのですか？



> AD×CD=6 AD^2+CD^2=12より連立方程式を立てて求めます。
> AD^4-12AD+36=0(複二次式)
どのようにすると上の式になるのでしょうか？
No.7447 - 2009/08/13(Thu) 22:38:23
☆ Re: 平面図形 / ハオ
申し訳御座いません。
入力ミスです。
×△ACD=1/2AC×CD×cos∠ADC
○×△ACD=1/2AC×CD×sin∠ADC
計算結果は正しいと思います。

× AD^4-12AD+36=0(複二次式)
○AD^4-12AD^2+36=0(複二次式)
こちらも入力ミスですね。結果には作用していません。

これからも日々精進してまいります。
No.7448 - 2009/08/13(Thu) 22:42:28
☆ Re: 平面図形 / 小次郎
ありがとうございます！！
No.7504 - 2009/08/16(Sun) 23:07:03
★ 二次関数 / 小次郎
y=f(x)のグラフが点(2,3)を通り、不等式f(X)≧0の解が
-1≦x≦3であるとき、

(1)a,b,cを求めよ。
　またこのとき、区間t≦x≦t+2におけるf(x)の最大値が4と　なるようなtの値の範囲を求めよ。

解答解法お願いします。
No.7424 - 2009/08/12(Wed) 12:32:52
☆ Re: 二次関数 / ハオ
あくまで、後学の為ですので僕の解答は無視されて頂いても構いません。
f(x)=ax^2+bx+c f(x)≧0の解が-1≦x≦3という事は図を書けば分かりますがa<0と言う事です。また点(-1,0)(3,0)(2,3)を通るという事です。
あとは連立方程式で導きますと
f(x)=-x^2+2x+3が得られます。

またこの関数はx=1で最大値4をとりますので
t≦x≦t+2の間にx=1を含めばよい事になります。
t≦1≦t+2整理して-1≦t≦1が導けます。
No.7427 - 2009/08/12(Wed) 15:18:57
☆ Re: 二次関数 / 小次郎
理解できました！！ありがとうございます。
No.7449 - 2009/08/13(Thu) 23:20:35
★ (No Subject) / ゆう
a^4+b^4+C^4≧abc(a+b+C) を証明せよ。

できるだけわかりやすい解き方を教えて下さい。
よろしくお願いします。
No.7422 - 2009/08/12(Wed) 10:56:44
☆ Re: / rtz
では
x2＋y2＋z2≧xy＋yz＋zx
は証明できますか？


これができれば、同様の手段を用いて、
・a4＋b4＋c4≧a2b2＋b2c2＋c2a2
・a2b2＋b2c2＋c2a2≧a2bc＋b2ca＋c2ab＝abc(a＋b＋c)
の2段構えで証明可能できるかと思います。
No.7423 - 2009/08/12(Wed) 11:26:34
☆ Re: (No Subject) / ゆう
なぜb^2をbc、c^2をcaとおくのかが分からないのですが…すいません。
No.7432 - 2009/08/12(Wed) 23:26:56
☆ Re: / rtz
ご質問の意味がよく分かりません。
何の式のどの部分かきちんと明示してくれないと、説明のしようがないです。

また、
1段落目に対する反応がないのは出来るとみなしてもよいと言うことでしょうか。
No.7436 - 2009/08/13(Thu) 11:00:23
☆ Re: (No Subject) / ゆう
すいません。
1段落目の証明は分かります。

2段落目の2つ目の式がよく分からなくて…
No.7438 - 2009/08/13(Thu) 14:53:48
☆ Re: / rtz
これも先の解答で述べたとおり、x2＋y2＋z2≧xy＋yz＋zxと同じです。

(1/2)a2b2＋(1/2)c2a2≧a2bc
のような組み合わせを作りましょう。
No.7443 - 2009/08/13(Thu) 19:05:45
☆ Re: (No Subject) / ゆう
分かりました。

ありがとうございました!
No.7488 - 2009/08/16(Sun) 08:25:43
★ 2重根号 / おばかさん
こんばんは
少し過去の数学のおさらいをするつもりで、高校の頃の教科書を引っ張り出して読んでいたのですが、どうも式の変形がわからず頭を悩ましております

問：
半径2の円に内接する正12角形の1辺の長さは、図のように考えて(右側に一辺が2の正三角形が内接している円と正12角形の図形が記されている)
√{ 1＋(2−√3)^2} ＝ √( 8−4√3)
と求められる

という一文があるのですが、わたしではどう頭をひねっていても√{ 1＋(2-√3)^2}が、√( 8-4√3)へ変形されず
√( 14−4√3)しか頭に浮かんでこないのです
どうかお力をお貸し願えませんでしょうか
No.7418 - 2009/08/12(Wed) 00:10:47
☆ Re: 2重根号 / ast
(√3)^2 を根号が付いているのを忘れて 9 にしてるんじゃないですかね.
No.7419 - 2009/08/12(Wed) 00:42:18
☆ Re: 2重根号 / おばかさん
どうも失礼致しました･･･
相当初歩的なミスをしてしまいました。ご指摘された通りです
どうもありがとうございました
No.7420 - 2009/08/12(Wed) 01:04:20
★ 正方形に内接する正三角形 / √
また　よろしくお願い致します。

ヨッシーさん　印刷の件、有り難うございました。

トップの画面の「新着の御質問」で、李さんの質問を自分で解いてみました。

【問題】
一辺が１の正方形に、
図のように内接する正三角形の一辺の長さを求める。

【自分で解いてみました】
１＾２＋（１−ｘ）＾２＝（√２ｘ）＾２
ｘ＾２＋２ｘ−２＝０
このｘを求めて√２倍した数が、
正三角形の一辺の長さ。
と考えました。

でも、私には、このｘが解けません。

取り合えず、
?@考え方だけは合ってますでしょうか？

?A私は
黄色の三角形は「二等辺三角形」
黄緑色の２つの三角形は「合同」
と最初から決め付けて解いてしまっているのですが良いのでしょうか？

?B図の状態の正三角形が、
正方形の中に描くことができる最大の面積の正三角形になると考えて良いでしょうか？

よろしくお願い致します。

　
No.7410 - 2009/08/11(Tue) 15:31:56
☆ Re: 正方形に内接する正三角形 / ヨッシー
ｘ＾２＋２ｘ−２＝０
は、解の公式を使って、
　ｘ＝−１±√３
と出ますが、解の公式を知らないなら、
　ｘ＾２＋２ｘ−２＝０
　ｘ＾２＋２ｘ＋１＝３
　(ｘ＋１)^2＝３
　ｘ＋１＝±√3
　ｘ＝−１±√3
と解けます。ｘ＞０より
　ｘ＝−１＋√３
となり、一辺はその√２倍で、√６−√２ となります。

?A，?Bとも、問題ないですね。

トップページの李さん１　の部分をクリックすると、
別の解法が載っています。
No.7414 - 2009/08/11(Tue) 22:18:22
☆ Re: 正方形に内接する正三角形 / √
ヨッシーさん

有り難うございました。
解の公式、後で勉強しておきます。
No.7421 - 2009/08/12(Wed) 01:54:17
☆ Re: 正方形に内接する正三角形 / √
【解の公式】柴犬のカイ君を見て、やる気になりました。
　　　　　　　　ｕ’ｏ’ｕ

ａＸ＾２　＋　ｂＸ　＋　ｃ　＝　０

ａＸ＾２　＋　ｂＸ　　　　　＝　−ｃ

両辺に【４ａ】を掛ける。
【４ａ】（ａＸ＾２　＋　ｂＸ）　＝　−ｃ　ｘ　【４ａ】
　４（ａＸ）＾２　＋　４ａｂＸ　＝　−４ａｃ

両辺に【ｂ＾２】を足す。
４（ａＸ）＾２　＋　４ａｂＸ　＋　【ｂ＾２】　＝　−４ａｃ　＋　【ｂ＾２】

（２ａＸ　＋　ｂ）＾２　＝　ｂ＾２　−　４ａｃ
　２ａＸ　＋　ｂ　　　＝　±　√（ｂ＾２　−　４ａｃ）
　２ａＸ　　　　　　　　＝　−ｂ　±　√（ｂ＾２　−　４ａｃ）

Ｘ　＝【−ｂ　±　√（ｂ＾２　−　４ａｃ）】　／　（２ａ）

「解の公式」は中学で教わったのですね。
勉強になりました。有り難うございました。
No.7429 - 2009/08/12(Wed) 18:56:03
☆ Re: 正方形に内接する正三角形 / ヨッシー
解の公式は、ゆとり以降は中３ではやらないようです。

解の公式その他の二次方程式の解法については、
私のページの「二次方程式の基礎」もあわせてご覧ください。

上のように、自分で導くのも、大変大事です。
No.7452 - 2009/08/14(Fri) 10:14:50
☆ Re: 正方形に内接する正三角形 / √
あっ　ヨッシーさん
ご丁寧に有り難うございます。

後で、ゆっくり「二次方程式の基礎」拝見させて頂きます。

ホント、暑い日が続きますが、ご自愛ください。
No.7459 - 2009/08/14(Fri) 20:07:18
★ 分からなくなりました / 数学が苦手な者
とても初歩的なことかもしれませんが質問させてください。
A：行列

A≠Eの両辺にAを掛ける行為はNG（反例；例えばA=o)で、A^-1を掛ける行為がOKな理由を教えてください。行列の計算法則に、「両辺にAは掛けてはならないが、A^-1は掛けてよい」のようなものが実はあったりするんでしょうか。
No.7395 - 2009/08/10(Mon) 23:12:07
☆ Re: 分からなくなりました / angel
正確には、「両辺にＡをかけるのがNG、両辺にＡ^(-1)をかけるのがOK」ではありません。
「両辺に正則行列をかけるのはOK、正則行列かどうかが不明な行列をかけるのはNG」です。

で、Ａ^(-1) は、既にＡが正則行列であるという条件をクリアしているのが前提であり、Ａ^(-1)自体が正則なため、OKなのです。

行列でなくスカラであっても、
・x≠b の両辺を a ( a≠0 が暗黙の前提 ) で割って x/a≠b/a … OK
・x≠b の両辺に a ( a≠0 かどうか不明 ) をかけて ax≠ab … NG
・x≠b の両辺に a ( a≠0 ) をかけて ax≠ab … OK
というのがありますから、似たような話ですね。
No.7398 - 2009/08/10(Mon) 23:26:03
☆ Re: 分からなくなりました / angel
一応、証明を書くなら、

・Ａが正則の場合
　Ｘ=Ｙ ⇒ ＡＸ=ＡＹ
　ＡＸ=ＡＹ ⇒ Ａ^(-1)・ＡＸ=Ａ^(-1)・ＡＹ ⇒ ＥＸ=ＥＹ ⇒ Ｘ=Ｙ
　のため、Ｘ=Ｙ⇔ＡＸ=ＡＹ
　ゆえに、Ｘ≠Ｙ⇔ＡＸ≠ＡＹ

・Ａが正則かどうか不明な場合
　Ｘ=Ｙ ⇒ ＡＸ=ＡＹ
　しかし、ＡＸ=ＡＹ⇒Ｘ=Ｙは成立しない ( 反例：Ａ=Ｏ等 )
　最初の条件の対偶 ＡＸ≠ＡＹ⇒Ｘ≠Ｙは成立するが、その逆Ｘ≠Ｙ⇒ＡＸ≠ＡＹは成立しない

…スカラの掛け算の話と同じですね。
No.7400 - 2009/08/10(Mon) 23:39:11
☆ Re: 分からなくなりました / 数学が苦手な者
正則行列という言葉の意味が分かりません。０行列のことでしょうか。
No.7404 - 2009/08/11(Tue) 01:02:29
☆ 訂正です。 / 数学が苦手な者
正則行列という言葉の意味が分かりません 。０行列ではない行列のことでしょうか。

No.7405 - 2009/08/11(Tue) 01:04:56
☆ Re: 分からなくなりました / ヨッシー
０行列も正則でない行列の1つですが、
正則でないとは、「逆行列を持たない」という意味です。
スカラでは、０だけですが、行列では０行列だけではありません。
No.7407 - 2009/08/11(Tue) 01:08:25
★ 二次関数 / 桜　高3
こんばんは。
いつもありがとうございます。

y=x^2+2(a-6)x+3^2-6a

が原点を通るときa=2である。
このとき正の実数kに対して0≦x≦kにおける二次関数の最大値をM,最小値をmとる。
0＜k≦(1)のときM=(2)
(3)＜kのとき　M=k^2-(4)k

の問題の(1)〜(4)が分かりませんでした。
最大値を求める場合、軸＞範囲の真ん中　軸=範囲の真ん中
軸＜範囲の真ん中

とやるのかと思ったら間違っていました。
なんでこれは違うのでしょうか？

ありがとうございます☆
よろしくお願いいたします
No.7385 - 2009/08/10(Mon) 19:51:54
☆ Re: 二次関数 / rtz
>y=x^2+2(a-6)x+3^2-6a
>が原点を通るときa=2である。

？
No.7387 - 2009/08/10(Mon) 20:15:28
☆ Re: 二次関数 / 桜　高3
ご返信ありがとうございます。
申し訳ございません。
y=x^2+2(a-6)x+3a^2-6a
でした。aが抜けておりました・・。
No.7389 - 2009/08/10(Mon) 21:11:51
☆ Re: 二次関数 / rtz
a＝0を除外する文面が見当たりませんが、
事前の問題で除外済みですか？

本題ですが、その場合分けで問題ないですよ。
k＝8で最大値y＝0が2箇所になり、k＞8でx＝kで最大値となります。

解答は違うのですか？
どうなっているのでしょうか。
No.7390 - 2009/08/10(Mon) 21:22:10
☆ Re: 二次関数 / 桜　高3
ありがとうございます(^^)

>事前の問題で除外済みですか？
はいo

私はずっと最大値を求める場合軸を移動することしか学んでいないらしく、なんで0＜k≦8になるのか分かりませんでした*。
No.7391 - 2009/08/10(Mon) 21:44:39
☆ Re: 二次関数 / rtz
これは解決済みでいいんですよね？
No.7413 - 2009/08/11(Tue) 20:39:52
★ 三角関数 / aki
こんにちは。
続けて失礼します。
前も同じ問題をきいたのですが、今度は(1)で、
http://v.upup.be/?FXoAzP5XfQ

私は全体的に2θに直した部分もあり答えを出してしまったのですが、いまf(θ)でありf(2θ)ではないので2θを答えにいれずθのみで統一したのでしょうか。

宜しくお願いします。
No.7383 - 2009/08/10(Mon) 19:01:36
☆ Re: 三角関数 / aki
すみませんがどなたかお願いできませんか？

No.7477 - 2009/08/15(Sat) 19:16:45
☆ Re: 三角関数 / ヨッシー
>θのみで統一したのでしょうか。
は、どれを見てそう言っていますか？
No.7480 - 2009/08/15(Sat) 21:14:12
☆ Re: 三角関数 / angel
何と何を比較した結果、どういう疑問を抱いているのか、が読み取れないので、コメントできないんですよね…。
No.7482 - 2009/08/15(Sat) 21:19:45
☆ Re: 三角関数 / aki
ごめんなさい(>_<)
これから具体的に質問するようにします。
具体的に
私は
f(θ)=cos2θ/cosθ＋a^3sinθ＋{1/2sin2θ(sinθ−a^3cosθ)}/(cosθ＋a^3sinθ)^2
と変形したのですが、これではまだ変形の余地ありで、スッキリしていないから△くらいになってしまうのでしょうか？
No.7493 - 2009/08/16(Sun) 17:28:08
☆ Re: 三角関数 / angel
それを最終的な答えとしてしまうと、減点になりそうですね。
sin2θやcos2θをバラしてまとめれば、より簡単な形になりますからね。

最終形は f'(θ)=( (cosθ)^3-a^3・(sinθ)^3 )/(cosθ+a^3・sinθ)^2 あたりでしょうか。

翻って、sinθcosθを 1/2・sin(2θ) に変形して考えるのは別に悪いことではないと思いますが、再度倍角をバラす手間を考えると、今回はお得感がないですね。まあ、結果論ですが。
※とはいえ、違うルートで計算してみて、それでも結果が一致する、ということを見る確認の意味では、十分役に立ちます。
No.7521 - 2009/08/18(Tue) 00:56:34
★ 平均値の定理 / aki
こんにちは。
質問お願いします(>_<)

http://x.upup.be/?I7b3DH9CNu
の問題ですが、まずさっぱり自分ではなにをやるのか考えつかなくて、平均値の定理を使うということがヒントにより分かったのですが、どうして平均値の定理を使うと目をつけられるのでしょうか？

さらにその平均値を使う範囲がわからないのと、{f(P)−f(Q)}/{P−Q}の形とも程遠いような気がして、どうにも手を付けられません。
どうか易しく教えていただけないでしょうか？
宜しくお願いします。
No.7381 - 2009/08/10(Mon) 18:47:11
☆ Re: 平均値の定理 / aki
追加ですが
6747の返信をしましたので、どなたかまたご回答いただけますと助かります。
さかのぼるのでお手数おかけしますが宜しくお願いします。
No.7382 - 2009/08/10(Mon) 18:48:19
☆ Re: 平均値の定理 / aki
またまた関係ないのですが6771の再質問を書き込みましたので、どなたかよろしければお願いします(>_<)
No.7394 - 2009/08/10(Mon) 22:56:31
☆ Re: 平均値の定理 / angel
とりあえず問題を整理しましょう。
ありがちなのが、
　g(t)=(1-t)f(a)+tf(b)-f((1-t)a+tb)　　(要するに、不等式の右辺-左辺)
とおき、0≦t≦1 において g(t)≧0 を証明する、という問題に置き換えることです。

で、今回は、計算すれば
　g(0)=0
　g(1)=0
　g'(0)＞0
　g'(1)＜0
　g''(t)＜0
が分かりますから、g'(t)の変化が正→0→負 ( 単調減少 )、g(t)の変化が 0→極大→0 ということで g(t)≧0 ( 等号成立は t=0,1 ) となります。
なお、平均値の定理は g'(0)＞0 および g'(1)＜0 で使えます。
f''(x)＞0 については、g''(t)＜0 でも使いますが、「f'(x)が単調増加」という意味合いでも使います。
※g''(t)＜0 については、g'(t)が単調減少という意味合いで使っています。

計算してみてください。
No.7401 - 2009/08/10(Mon) 23:53:41
☆ Re: 平均値の定理 / angel
一応、6747,6771にも返信しました。
…ただ、生物の方は専門外のため、誤った事を言っている可能性があります。是非クロスチェックをしてください。

なお、何日かここを見られなくなるため、更に質問を頂いても私は直ぐには回答できませんが、ご容赦ください。
No.7409 - 2009/08/11(Tue) 02:23:12
☆ Re: 平均値の定理 / aki
私も数日見ることができなかったので申し訳ありませんでした。

右辺−左辺でおくところまではわかりました。
微分の計算ですが、
g'(t)=−f(a)＋f(b)−f(−a＋b)
であってますでしょうか？

それから、このあとg'(t)が0≦t≦1において、どう正負をとるかはどう判断すればいいのでしょうか？
No.7470 - 2009/08/15(Sat) 15:08:24
☆ Re: 平均値の定理 / angel
＞ 微分の計算ですが、
＞ g'(t)=−f(a)＋f(b)−f(−a＋b)
＞ であってますでしょうか？

いいえ。
最後の項が違います。( そんな簡単な形にはなりません )
合成関数の微分ですから、-( (1-t)a+tb )'・f'((1-t)a+tb) という計算になります。

＞ それから、このあとg'(t)が0≦t≦1において、どう正負をとるかはどう判断すればいいのでしょうか？

g''(t) を求めてから、
＞ 　g'(0)＞0
＞ 　g'(1)＜0
＞ 　g''(t)＜0
＞ が分かりますから、g'(t)の変化が正→0→負 ( 単調減少 )…(後略)…

を確認してください。

＞ なお、平均値の定理は g'(0)＞0 および g'(1)＜0 で使えます。
＞ f''(x)＞0 については、g''(t)＜0 でも使いますが、「f'(x)が単調増加」という意味合いでも使います。
＞ ※g''(t)＜0 については、g'(t)が単調減少という意味合いで使っています。

についても注意してください。
No.7481 - 2009/08/15(Sat) 21:16:42
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