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★ 数学です / 高１♀
１０m×m－n×n＝１を満たす自然数m,nの組で,n≧100を満たすものを一組求めよ｡
とゆう問題なのですが解き方や方針が全く思い浮かびません｡
ヒントを頂けないでしょうか?
No.8109 - 2009/09/25(Fri) 21:43:13
☆ Re: 数学です / のぼりん
こんばんは。
　　　１０ｍ２－ｎ２＝１　…　☆
の様な整数方程式を、ペル方程式と言うそうです。 同方程式には一般的解法がある様で（http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/pell/pell.htm 等参照）、これによると以下の答案が考えられます。

ｍ１＝１、ｎ１＝３ は ☆ の解です。 奇数 ｋ に対し、二項定理により （ｍ１√１０＋ｎ１）ｋ を展開し、
　　　（√１０＋３）ｋ＝ｍｋ√１０＋ｎｋ　（ｍｋ、ｎｋ は正整数）
となったとします。
　　　（√１０－３）ｋ＝ｍｋ√１０－ｎｋ
だから、辺々かけ、
　　　１＝（√１０＋３）ｋ（√１０－３）ｋ
　　　＝（ｍｋ√１０＋ｎｋ）（ｍｋ√１０－ｎｋ）＝１０ｍｋ２－ｎｋ２
と、ｍｋ、ｎｋ も ☆ の解になります。 そこで、ｋ＝３ とすると、
　　　（√１０＋３）３＝３７√１０＋１１７
だから、ｍ＝３７、ｎ＝１１７ は解です。

しかし、以上は技巧的で、本問には適さないと思われます。 そこで、泥縄式に計算してみます。

ｎ２＝１０ｍ２－１ の一の位は ９ です。
　　　０２＝０、　１２＝１、　２２＝４、　３２＝９、　４２＝１６
　　　５２＝２５、６２＝３６、７２＝４９、８２＝６４、９２＝８１
だから、ｎ の一の位は ３ か ７ です。 ｎ＝１０３，１０７，１１３，１１７，… と虱潰しして、
　　　ｍ＝√｛（ｎ２＋１）/１０｝
も整数になるか確認してみます。
　　　√｛（１０３２＋１）/１０｝＝√１０６１＝３２．５７…
　　　√｛（１０７２＋１）/１０｝＝√１１４５＝３３．８３…
　　　√｛（１１３２＋１）/１０｝＝√１２７７＝３５．７３…
　　　√｛（１１７２＋１）/１０｝＝√１３６９＝３７
だから、ｍ＝３７、ｎ＝１１７ が解であることが再びわかりました。

と解答しておいて何ですが、能のある解法とは言い難く、もっと上手いやり方がありそうです。
No.8113 - 2009/09/26(Sat) 01:28:03
☆ Re: 数学です / 高１♀
丁寧に教えて下さりありがとうございます｡１の位が３,７であることや式の変形をすることなど､なんとか理解することが出来ました｡

ここでもうひとつ質問なのですが√の中の数字が大きいときにスラスラと〇の二乗とわかる方法があるのでしょうか｡
No.8114 - 2009/09/26(Sat) 07:44:42
☆ Re: 数学です / ヨッシー
素因数分解して、２回掛けられているものをくくり出していく。
筆算で開平してみる。

２乗にならないことは、割と簡単に調べられます。
まず、１の位が、2,3,7,8 のものはまずダメです。
次に、たとえば、√35969 の場合、
　1002＜35969＜2002
　1802＜35969＜1902
程度まで絞り込んだら、可能性のある 183,187 を調べます。
この場合は、いずれも該当しないので、2乗にはなりません。
No.8115 - 2009/09/26(Sat) 10:07:07
☆ Re: 数学です / らすかる
この問題の場合は、nを増やすとmも増えていきますから、
√を計算するのではなく、逆に二乗を計算していくのが良いと思います。
(103^2+1)/10=1061
(107^2+1)/10=1145
(113^2+1)/10=1277
(117^2+1)/10=1369
(100^2+1)/10≒1000≒32^2ですから32から始めて
32^2=1024
33^2=1089
34^2=1156
35^2=1225
36^2=1296
37^2=1369
となって1369で初めて一致することがわかります。
さらに、二乗を順次計算するのは加算だけでできます。
32^2=1024
1024+32+33=1089
1089+33+34=1156
1156+34+35=1225
1225+35+36=1296
1296+36+37=1369
No.8118 - 2009/09/26(Sat) 12:06:53
☆ Re: 数学です / らすかる
3で割った余りを考えるとnは3の倍数とわかり、これと
nの一の位が3か7であることを合わせて考えると
最小の候補が117になりますね。
No.8135 - 2009/09/26(Sat) 23:36:05
★ 物理についてです。 / ハオ
今物理?Tで熱を勉強しているのですがそこで疑問に思ったのがボイルの法則、シャルルの法則を習い左記を纏めてボイル・シャルルの法則が完成したと授業中に習いました。教科書傍用問題集や友達の意見「え、ボイルの法則知らないの？問題集にそれ使う問題結構載ってたよ」等を聞いて実際それを解いていて思ったのですが、ボイル・シャルルの法則（PV/T ＝一定)だけ知っていれば大丈夫ではないでしょうか？皆さんの意見をお聞かせください。
No.8090 - 2009/09/24(Thu) 20:37:02
☆ Re: 物理についてです。 / ヨッシー
法則と公式だけ知っていても、使えないと意味ありません。
たとえば、PV/T＝ｋ(一定) に対して、問題には、P と V のことしか書いていないとき、
Ｔは一定として、即座に PV＝kT(一定) という、ボイルの法則に
持って行くことが出来る能力があるなら、ボイル・シャルルの法則
で十分と言えるでしょう。
No.8093 - 2009/09/24(Thu) 21:53:25
☆ Re: 物理についてです。 / ハオ
早急な回答感謝致します。ヨッシーさんが指摘してくださったとても大切な点を今一度確認する事が出来ました。
No.8095 - 2009/09/24(Thu) 22:19:37
★ 連続すいません / たかし
(1+√5)^n=an+√(5)bn
についてa(n+1)をanとbnをもちいてあらわせ

答え　an+5bn です
よろしくお願いします
No.8089 - 2009/09/24(Thu) 20:10:16
☆ Re: 連続すいません / ヨッシー
ａn，ｂn についての条件はありませんか？
有理数とか、整数とか。
No.8092 - 2009/09/24(Thu) 21:45:44
☆ Re: 連続すいません / たかし
整数です
No.8096 - 2009/09/24(Thu) 23:22:19
☆ Re: 連続すいません / らすかる
a[n+1]+(√5)b[n+1]={a[n]+(√5)b[n]}(1+√5)
=a[n]+5b[n]+(√5)(a[n]+b[n])
なので a[n+1]=a[n]+5b[n]
No.8097 - 2009/09/25(Fri) 00:31:19
☆ Re: 連続すいません / たかし
どういうことですか？
どうして(√5)b[n+1]=(√5)(a[n]+b[n])になるんですか？
No.8103 - 2009/09/25(Fri) 18:40:29
☆ Re: 連続すいません / rtz
どこにもそんなことは書いてありませんが…？
No.8104 - 2009/09/25(Fri) 19:05:01
☆ Re: 連続すいません / たかし
a[n+1]+(√5)b[n+1]={a[n]+(√5)b[n]}(1+√5)
=a[n]+5b[n]+(√5)(a[n]+b[n])
なので a[n+1]=a[n]+5b[n]

↑からいうとそういうことになりません？
とにかく僕の言いたかったのは↑がわからなかったということです
No.8105 - 2009/09/25(Fri) 19:43:23
☆ Re: 連続すいません / らすかる
a[n+1]+(√5)b[n+1]=a[n]+5b[n]+(√5)(a[n]+b[n])
a[n+1]-a[n]-5b[n]=(√5)(a[n]+b[n]-b[n+1])
左辺は有理数なので右辺も有理数、よって a[n]+b[n]-b[n+1]=0 となるので
a[n+1]-a[n]-5b[n]=0
従って a[n+1]=a[n]+5b[n]
No.8107 - 2009/09/25(Fri) 20:24:01
☆ Re: 連続すいません / ast
任意の n について
　　(1 + √5)^n := a_n + b_n * √5
というのが a_n, b_n の定義ですから,
　　(1 + √5)^(n+1) := a_[n+1] + b_[n+1] * √5
が a_[n+1], b_[n+1] の原義です. また, (1 + √5)^(n+1) = (1 + √5)^n * (1 + √5) ですから,

　　a_[n+1] + b_[n+1] * √5　= (a_n + b_n * √5) * (1 + √5)

でなければなりません. 右辺はもっと整理 (左辺と同じ √5 の一次式の形に) できるはずですよね. 整理できたなら, 係数が有理数で √5 が無理数なので, 係数比較をすることができます.
No.8108 - 2009/09/25(Fri) 21:07:51
☆ Re: 連続すいません / たかし
あ～なるほど～@(。・◇・)@
基礎知識だったなあ・・
丁寧な解説ありがとうございます
No.8110 - 2009/09/25(Fri) 22:25:44
☆ Re: 連続すいません / たかし
あ、でもつづきがありまして・・

また、c[n]=(a[n]^2)-5(b[n]^2)
とおいたとき、数列{c[n]}の一般項をnを用いてあらわせ

答え：(-4)^n

こちらもおねがいできますか？
No.8111 - 2009/09/25(Fri) 22:31:34
☆ Re: 連続すいません / ast
まず,
　c_n := (a_n)^2 − (b_n * √5)^2 = (a_n + b_n * √5)(a_n − b_n * √5)

ですから, a_n − b_n * √5 が何物なのかわかれば話がつきそうです. 結果から言えば (というか, 分っている答えから逆算すれば),

　(1 + √5)^n * (1 − √5)^n = (1^2 − (√5)^2)^n = (−4)^n

という関係式が鍵であることがわかるはずですから, 示すべきものは自ずと見えてくるでしょう.
No.8112 - 2009/09/25(Fri) 22:56:03
☆ Re: 連続すいません / ぽんた
どうやって(1-√5)^n=a[n]-b[n]√5
を示します？
No.8132 - 2009/09/26(Sat) 23:05:39
☆ Re: 連続すいません / ast
帰納法なりなんなりやり方はありそうだと思いますが, あなた自身はどうやって示したらよさそうか考えないのですか?
No.8136 - 2009/09/27(Sun) 00:00:42
★ (No Subject) / たかし
　2x
∫ f(t)dt=xe^(-x)をみたす連続関数をもとめよ。
0
2xがxならできそうなんですが・・・
No.8088 - 2009/09/24(Thu) 18:50:44
☆ Re: / ヨッシー
f(x) の原始関数の一つをF(x) とします。つまり
　F'(x)＝f(x)
です。与えられた式は、
　F(2x)－F(0)＝xe^(-x)
両辺ｘで微分して、
　2f(2x)＝e^(-x)－xe^(-x)
　2x＝X とおくと、
　2f(X)＝e^(-X/2)－Xe^(-X/2)/2
よって、
　f(x)＝e^(-x/2)/2－xe^(-x/2)/4　　・・・答え
No.8094 - 2009/09/24(Thu) 22:01:52
☆ Re: / たかし
なるほどそういうテクか・・・・
ありがとうございました(*´∇`)ﾉ
No.8102 - 2009/09/25(Fri) 18:34:07
★ 変な感じです。。 / あゆみ
xの関数f(x)=x^3-ax^2+bが０≦x≦１の範囲で
０≦f（x）≦１となるようなa,bの条件を求め
点(a,b)の存在範囲をab平面上に図示せよ。

解）グラフより０＜ｘ＜１の範囲に極大値はないから
０≦x≦１における最大値と最小値は
f(0),f(1),f(2a/3)の中にある。

これらが０以上１以下であることが必要十分より
a,bの満たすべき条件は
０≦f（０）≦１，０≦f（１）≦１
０≦ｆ（2a/3)≦１（ただし０≦2a/3≦１のとき）

とあるのですが、よくわかりません。
というか本当にこれで必要十分なの？って思います。
何かだまされている気がします。。

また解説に
０≦x≦１で０≦ｆ（ｘ）≦１となるための必要十分条件は
「ｆ（０）、ｆ（１）、０≦x≦１での極大極小値が全て０以上１以下」とあるのですが、これはグラフの形に限らず言えるんですか？理由もお願いします。
No.8084 - 2009/09/24(Thu) 13:38:01
☆ Re: 変な感じです。。 / ヨッシー
ある範囲の最大値、最小値について
　０≦最小値≦最大値≦１
であれば、その範囲内の、すべての値が
　０≦f(x)≦１
を満たすのは、明確ですね。ある値が０より小さかったり、
１より大きかったら、それの方が、最小値や、最大値になるはずですから。

おそらく、０≦f(x)≦１ を、f(x) の最小値が０で、最大値が
１だと思っておられるのではないですか？
別に、f(x) が０から１を網羅する必要はありません。
最後の４行についても、この点で、引っかかってるのではないでしょうか？


No.8085 - 2009/09/24(Thu) 15:57:26
☆ Re: 変な感じです。。 / rtz
(拡張は出来ますが一応3次関数に限定しておきます)
0≦x≦1で0≦f(x)≦1⇔0≦f(0),f(1),[0≦x≦1での極大極小値]≦1

(1)0≦x≦1で極大極小値を持たない場合
この場合、0≦x≦1で単調増加或いは単調減少です。
つまり、
0≦x≦1ではf(0)≦f(x)≦f(1)かf(1)≦f(x)≦f(0)ですから、
0≦x≦1で0≦f(x)≦1⇔0≦f(0),f(1)≦1です。

(2)0≦x≦1で極大値を持つ場合
極大値を持つx＝αとすれば、
この場合、0≦x≦αで単調増加、α≦x≦1で単調減少です。
つまり、最大値はf(α)、最小値はf(0)或いはf(1)です。
よって、
0≦x≦1で0≦f(x)≦1⇔0≦f(0),f(1),[0≦x≦1での極大極小値]≦1
です。

(3)0≦x≦1で極小値を持つ場合
(2)同様です。
最小値が極小値、最大値はf(0)或いはf(1)に変わるだけです。

いずれにせよ冒頭の同値関係は成立します。
No.8086 - 2009/09/24(Thu) 16:01:31
★ 数学なんですが / マカロン
質問したいんですが、エックスの二乗とかってどうやって入力するんですか・・・。
No.8077 - 2009/09/23(Wed) 21:30:59
☆ Re: 数学なんですが / rtz
x2
のことですか？
No.8078 - 2009/09/23(Wed) 21:36:42
☆ Re: 数学なんですが / ast
x², x<sup>2</sup>, x^2, ...

Data Error
コメント欄に日本語が含まれていない場合は、投稿禁止に設定されています
No.8081 - 2009/09/23(Wed) 23:47:52
☆ Re: 数学なんですが / ヨッシー
回答者側からすると、x^2 と書いてもらうのがありがたいです。
ｘ2 だと、コピーして貼り付けたときに、
ｘ2 になってしまい、直すのに手間がかかるからです。
No.8087 - 2009/09/24(Thu) 16:03:52
☆ Re: 数学なんですが / マカロン　高３
ありがとうございました。
No.8145 - 2009/09/27(Sun) 01:51:15
★ よろしくおねがいします / たかし
長方形ABCDがあり、AB=4である。辺BC上に点Qを、辺AB上に点Pをとり、線分PQを折り目として△PBQの部分を折り曲げ、短点Bが辺AD上にくるようにする。このとき、角PQB＝θとする。△PBQの面積が最小になるようなθの値とそのときの面積を求めよ。

おねがいします。
No.8074 - 2009/09/23(Wed) 12:17:47
☆ Re: よろしくおねがいします / to
長方形ＡＢＣＤ【ＡＢ＝4，ＢＣ＞4】
辺ＢＣ上に点Ｑを、辺ＡＢ上に点Ｐをとり、
線分ＰＱを折り目として点Ｂが辺ＡＤ上にくるようにする。
∠ＰＱＢ＝θとするとき、
△ＰＢＱの面積が最小になるようなθの値と、そのときの面積

hint一例
点ＢがＡＤ上にくるときの点をＤ，ＰＱとＢＤの交点をＥとすると
ＰＱはＢＤの垂直二等分線，△ＡＢＤ∽△ＰＢＱ，0＜θ≦45°
ＡＤ＝4tanθ，ＢＤ＝4/cosθ，ＢＥ＝4/cosθ，ＢＱ＝4/sin(2θ)，ＰＢ＝1/{cos(2θ)＋1}
θ＝30°のとき、最小値△ＰＢＱ＝32√3/3
No.8076 - 2009/09/23(Wed) 19:08:52
☆ Re: よろしくおねがいします / たかし
BE＝2/cosθですよね
sin2θ(cos2θ+1)
の最大値をもとめるんですよね
しょりできません涙
No.8091 - 2009/09/24(Thu) 21:28:17
☆ Re: よろしくおねがいします / ヨッシー
ＰＢ＝４/{cos(2θ)＋1}
ですね。いずれにしても
　△ＰＢＱ＝8/sin(2θ){cos(2θ)＋1}
なので、sin(2θ){cos(2θ)＋1} の最大を求めることになります。

　f(x)＝sinｘ(cosｘ＋1)　０＜ｘ≦90°
とでもおいて、微分してみますかね。
　f'(x)＝cos^2ｘ＋cosｘ－sin^2ｘ
　　＝2cos^2ｘ＋cosｘ－１
　　＝(2cosｘ－１)(cosｘ＋１)
よって、
　０＜ｘ＜60° で f'(x)＞０
　60°＜ｘ≦90°で f'(x)＜０
より f(x) は、ｘ＝60°で、極大かつ最大。
No.8098 - 2009/09/25(Fri) 08:50:32
☆ Re: よろしくおねがいします / たかし
なるほど。
補足ありがとうございます
No.8106 - 2009/09/25(Fri) 19:46:06
★ ﾍﾞｸﾄﾙの内積２ / 高二の父
よろしくお願いします。
一辺の長さが1の正三角形ＯＡＢで、辺ＡＢの3等分点を、Ａから近い順にＭ，Ｎとする。このときの、内積ﾍﾞｸﾄﾙＯＭ・ﾍﾞｸﾄﾙＯＮを求めたいのですが求め方を教えてください。
No.8073 - 2009/09/23(Wed) 11:18:44
☆ Re: ﾍﾞｸﾄﾙの内積２ / ヨッシー
ａ＝ＯＡ，ｂ＝ＯＢ とおき、
ａ・ａ＝|ａ|2＝１
ｂ・ｂ＝|ｂ|2＝１，ａ・ｂ＝√3/2
まで押さえておきます。

ＯＭ＝(2/3)ａ＋(1/3)ｂ
ＯＮ＝(1/3)ａ＋(2/3)ｂ
の、内積を取って、
((2/3)ａ＋(1/3)ｂ)・((1/3)ａ＋(2/3)ｂ)
　＝(2/9)ａ・ａ＋(2/9)ｂ・ｂ＋(5/9)ａ・ｂ
に、上記の値を適用すれば出来ます。
答えは、(8＋5√3)/18 となります。
No.8080 - 2009/09/23(Wed) 22:24:18
☆ Re: ﾍﾞｸﾄﾙの内積２ / 七
aベクトルとbベクトルの内積は1/2ですよね。
No.8082 - 2009/09/24(Thu) 06:03:31
☆ Re: ﾍﾞｸﾄﾙの内積２ / ヨッシー
おや！
がーーーん！そうでした。

ａ＝ＯＡ，ｂ＝ＯＢ とおき、
ａ・ａ＝|ａ|2＝１
ｂ・ｂ＝|ｂ|2＝１
ａ・ｂ＝1/2
まで押さえておきます。

ＯＭ＝(2/3)ａ＋(1/3)ｂ
ＯＮ＝(1/3)ａ＋(2/3)ｂ
の、内積を取って、
((2/3)ａ＋(1/3)ｂ)・((1/3)ａ＋(2/3)ｂ)
　＝(2/9)ａ・ａ＋(2/9)ｂ・ｂ＋(5/9)ａ・ｂ
に、上記の値を適用すれば出来ます。

答えは、13/18 となります。

でした。
ご指摘ありがとうございます。＞＞七さん
No.8083 - 2009/09/24(Thu) 10:00:06
☆ Re: ﾍﾞｸﾄﾙの内積２ / 高二の父
> よろしくお願いします。
> 一辺の長さが1の正三角形ＯＡＢで、辺ＡＢの3等分点を、Ａから近い順にＭ，Ｎとする。このときの、内積ﾍﾞｸﾄﾙＯＭ・ﾍﾞｸﾄﾙＯＮを求めたいのですが求め方を教えてください。

ヨッシーさん、七さん解法ありがとうございました。
No.8099 - 2009/09/25(Fri) 10:17:28
★ ベクトルの内積１ / 高二の父
よろしくお願いします。
二つのベクトル、ﾍﾞｸﾄﾙａとﾍﾞｸﾄﾙｂのなす角の求め方を教えてください。
ﾍﾞｸﾄﾙａ=（1,1)，ﾍﾞｸﾄﾙｂ=(-1,2+√3)のなす角
No.8072 - 2009/09/23(Wed) 11:13:57
☆ Re: ベクトルの内積１ / ヨッシー
２つのベクトル
　ａ＝(x,y)，ｂ＝(s,t)
の内積の２通りの求め方
　ａ・ｂ＝ｓｘ＋ｔｙ
　ａ・ｂ＝|ａ||ｂ|cosθ
θはａとｂのなす角ですが、これを使うと、
cosθ が求められ、それが典型的な値(1/2, √2/2 など)だと、
角度が数値で求まります。

上の場合だと、cosθ＝1/2 となり、θ＝π/3 となります。
No.8079 - 2009/09/23(Wed) 22:18:15
☆ Re: ベクトルの内積１ / 高二の父
ヨッシーさん、解法ありがとうございました。
No.8100 - 2009/09/25(Fri) 10:18:42
★ 教えてください / kouichi
白玉３個、赤玉４個あり、同じ色の玉は区別できない。
1.この７個の玉をA,Bの２つの箱に分けて入れる方法は何通り？ただしいずれの箱にも少なくとも１個は入れるものとする。
2.ABCDEFの６種類の箱が２つずつあり、度の箱にも玉を１個しか入れられないものとする。同じ種類の箱は区別しないものとすればこの箱のなかに上記７個の玉を分けて入れる方法は何通ですか？
No.8069 - 2009/09/22(Tue) 22:41:57
☆ Re: 教えてください / らすかる
1.
白玉をAにいくつ入れるかが4通り
赤玉をAにいくつ入れるかが5通り
よって空箱があっても良ければ4×5=20通り
このうち空箱があるのは「全部A」「全部B」の2通りなので、20-2=18通り

2.
白(2,1)赤(2,2)の場合：6C2×4P2=180通り
白(2,1)赤(2,1,1)の場合：6P2×4C2×4C1=720通り
白(2,1)赤(1,1,1,1)の場合：6C1×5C4×5C1=150通り
白(1,1,1)赤(2,2)の場合：6C2×4C3=60通り
白(1,1,1)赤(2,1,1)の場合：6C1×5C3×5C2=600通り
白(1,1,1)赤(1,1,1,1)の場合：6C4×6C3=300通り
よって全部で 180+720+150+60+600+300=2010通り
No.8070 - 2009/09/23(Wed) 08:46:40
☆ Re: 教えてください / kouichi
ご丁寧に教えていただき感謝です。
ありがとうございました！
No.8071 - 2009/09/23(Wed) 10:34:11
★ 図がかけません / かなこ
平面上にOA=2,OB=3、OA・OB=５を満たす3点OABがある。直線OAに対して点Bと対称な点をC、角AOBの二等分線が線分ABと交わる点をD、直線ABと直線OCの交点をEとする。
という問題なんですが、図がかけません。
答え（図がどのようになるか）
は知っているので
図の描き方を教えてください。
困っています。どうかよろしくお願いします
No.8061 - 2009/09/21(Mon) 21:37:57
☆ Re: 図がかけません / ヨッシー
図の描き方とは、すごく正確にということでしょうか？
だとすると、∠ＡＯＢをきちんと書かないといけませんが、
だいたいでよければ、こんな感じです。


No.8062 - 2009/09/21(Mon) 22:10:19
☆ Re: 図がかけません / 都
＃OA・OBというのはベクトルの内積だと勝手に解釈します。

OA・OB=|OA||OB|cos∠AOB=2・(|OB|cos∠AOB)=5なので|OB|cos∠AOB=2.5ですから、(OBのOAに対する正射影を考えて)
半直線OA上にOP=2.5なる点PをとってそのPを通ってOAに垂直な直線を引けば、その直線上にBがあることになりますね。
No.8066 - 2009/09/22(Tue) 02:58:46
★ 三角関数４ / 高二の父
よろしくお願いします。
0≦X＜2πのとき不等式tan2X≧tanXの解法を教えてください。
No.8060 - 2009/09/21(Mon) 20:56:15
☆ Re: 三角関数４ / ヨッシー
グラフを描くのが、色々小細工なくて良いです。

図の青がy=tanｘ, 赤がy=tan２ｘです。
赤の方が上になる部分をグラフから読み取ります。
No.8063 - 2009/09/21(Mon) 22:29:12
☆ Re: 三角関数４ / 豆
普通に式で解けば(小細工？)、
2tanx/(1-(tanx)^2)≧tanx
tanx(1+(tanx)^2)/((tanx+1)(tanx-1))≦0
tanx＜-1　、0≦tanx＜1
∴　0≦x＜π/4　、π/2＜x＜3π/4　、π≦x＜5π/4　、3π/2＜x＜7π/4
No.8067 - 2009/09/22(Tue) 08:55:20
☆ Re: 三角関数４ / 高二の父
ヨッシーさん、豆さん　解答ありがとうございました。
No.8101 - 2009/09/25(Fri) 10:20:00
★ 数学についての質問です。 / ハオ
数学の孤高の美しさ等数学で感動した話を掲載した書籍を知っている方は題名を教えてください。
数学に関係ない話で非常に恐縮ですが。
No.8058 - 2009/09/21(Mon) 13:47:14
★ 格子点 / aki
こんばんは(^o^)
宜しくお願いします。
http://r.upup.be/?o9rCc55fTD
の(2)ですが(1)を利用し
http://y.upup.be/?UFAbNlFGs2
のように式を立てて計算したら(3n^2)/2＋(3n/2)－1となりましたが答えは最後の1の係数が＋でした。
何度も見直しましたがどうやっても－になりました。
最初の式のたてかたを間違えてしまったのでしょうか。

ちなみに(1)は全体ね格子点から面積を三つに分けた時の一番左の格子点を2倍したものを引きました。

宜しくお願いします。
No.8054 - 2009/09/20(Sun) 19:36:14
☆ Re: 格子点 / 都
実験してみるのはどうでしょう。もっとも簡単な場合をこんな風に想定して



で、S3nを求めるときに使った考え方がそのままこれを数え上げるときに使えるのかを考えてみましょう。
No.8056 - 2009/09/20(Sun) 21:09:56
☆ Re: 格子点 / aki
一応(1)をうけて、できると判断してしまったのですが、できないということでしょうか？
No.8075 - 2009/09/23(Wed) 16:39:37
☆ Re: 格子点 / 都
原点(0,0)の扱いはどうなっていますか？

No.8117 - 2009/09/26(Sat) 10:20:38
☆ Re: 格子点 / aki
原点の扱いを忘れていました。
－1＋2でできました。

ありがとうございました。
No.8122 - 2009/09/26(Sat) 18:01:32
★ 二次曲線 / CYB
点(1/2 , 1/2)を焦点とし、直線x+y=0を準線とする放物線の方程式を求めよ。
という問題です。

自分では放物線の定義を使って求めましたが、回転行列を使う別の解法もあると聞いたので、できればそれを教えてください。
No.8044 - 2009/09/20(Sun) 14:23:59
☆ Re: 二次曲線 / ヨッシー
求める図形を45°回転すると、(√2/2, √2/2) が焦点で、
ｘ軸が準線の放物線になります。
その式は、ｙ＝√2x^2＋√2/4 となります。
求める図形上の点を(x,y), ｙ＝√2x^2＋√2/4 上の点を(x', y') とすると、
　x'＝ｘcos(π/4)－ｙsin(π/4)
　y'＝ｘsin(π/4)＋ｙcos(π/4)
の関係があるので、これを、ｙ＝√2x^2＋√2/4 に代入して、
　(1/√2)(ｘ＋ｙ)＝√2(1/2)(ｘ－ｙ)2＋√2/4
両辺√2を掛けて
　ｘ＋ｙ＝(ｘ－ｙ)2＋1/2
これを展開すればできあがりです。
No.8046 - 2009/09/20(Sun) 15:15:01
☆ Re: 二次曲線 / CYB
点(1/2 , 1/2)を45°回転すると、(0, 1/√2)になってしまうんですが・・・
すみません、(√2/2, √2/2) はどうやって出すんですか。
No.8048 - 2009/09/20(Sun) 16:47:15
☆ Re: 二次曲線 / らすかる
(√2/2, √2/2) は多分 (0, √2/2) の書き間違いだと思います。
No.8049 - 2009/09/20(Sun) 17:13:33
☆ Re: 二次曲線 / ヨッシー
あ、そうです。
(0, √2/2) でした。(0, 1/√2) でも同じです。
あとは合ってると思います。
No.8050 - 2009/09/20(Sun) 17:14:39
☆ Re: 二次曲線 / CYB
なるほど、できました！
ご丁寧にありがとうございました！
No.8052 - 2009/09/20(Sun) 17:28:23
★ 三角関数３ / 高二の父
α，β，γは鋭角で、tanα＝√3/7，tanβ＝√3/6，tanγ＝2-√3のとき、α＋β，α＋β＋γの値を求める問題です。
tan（α＋β）＝√3/3，0＜α＋β＜πよってα＋β＝π/6とありますが、｢よって｣の部分を解説していただけないでしょうか。
tan（α＋β）＝√3/3は求められました。α，βは鋭角から0＜α＋β＜πも理解できます。よろしくお願いします。
No.8040 - 2009/09/20(Sun) 12:10:48
☆ Re: 三角関数３ / のぼりん
こんにちは。
正接 ｔａｎ は、（０，π） から （－∞，０）∪（０，∞） の上への一対一の対応を与えます。
ｔａｎ（π/６）＝１/√３ です。
よって、α＋β＝１/√３ です。
No.8042 - 2009/09/20(Sun) 12:24:31
★ 三角関数 / 高二の父
0≦α＜π，0≦β＜π，tanα＝1/2，tanβ＝1/3のとき、α＋βの値を求める問題で、α＋β＝π/4又は5π/4となりましたが、解答ではπ/4のみです。条件から0≦α＋β＜2πとはならないのでしょうか？（解答には0＜α＜π/2，0＜β＜π/2と理由がありますが）
No.8037 - 2009/09/20(Sun) 10:43:20
☆ Re: 三角関数 / らすかる
π/2＜α＜π のとき tanα＜0 ですからこれはあり得ません。
βも同様です。
No.8039 - 2009/09/20(Sun) 11:03:39
☆ Re: 三角関数 / 高二の父
ありがとうございました。
No.8041 - 2009/09/20(Sun) 12:11:19
★ 空間図形 / まりも　は高3
空間において、平面z=10の上にある中心Z(0,0,10)、半径1の円周Cの上を光源が回っている。2点P(-1,1,8)、Q(3,5,0)を結ぶ線分がxy平面に張られたスクリーン上に落とす影全体をxy平面に図示し、その面積を求めよ。

やり方が分からないです。教えてください。
No.8034 - 2009/09/20(Sun) 01:07:10
☆ Re: 空間図形 / 都
ではたとえば、光源が(1,0,10)に固定されている場合の影は分かりますか？
No.8035 - 2009/09/20(Sun) 02:09:22
☆ Re: 空間図形 / roro
１つのイメージです。
No.8036 - 2009/09/20(Sun) 06:09:03
☆ Re: 空間図形 / まりも　は高3
図を見せてくれてありがとうございます。でもやっぱりやり方が分からないので教えてもらえないでしょうか？
No.8051 - 2009/09/20(Sun) 17:23:38
☆ Re: 空間図形 / 都
ではもっと単純化して。

光源が点Z'(1,0,10)に固定されているとき、点Pがxy平面上のスクリーンに落とす影の座標は分かりますか？

頑張って考えてください。これが第一歩です。

＃どの段階まで分かっていてどの段階からが分からないのか、それが分からないと教えられないので、どこまで考えたのかを教えてください。
No.8053 - 2009/09/20(Sun) 18:28:36
☆ Re: 空間図形 / 都
とりあえずヒントはこんなところで。

＃roro氏のヒントと同じことではあるのですが。
No.8055 - 2009/09/20(Sun) 19:53:53
★ (No Subject) / ねねこ
ある正の実数aに対しy≧ax^2が成り立つ
の否定が
全てのa（＞０）についてｙ＜ax^2

の部分で、なんでaだけ否定しないのかが分かりません。
つまりaが正の否定はaが０または負ではないのか
ということです。
　
教えてください。よろしくお願いします。
No.8032 - 2009/09/19(Sat) 19:13:32
☆ 「ある～に対して」の否定 / angel
「ある a に対して P が成立する」を言い換えると、「P が成立する a が存在する」です。

なので、その否定は、
「P が成立する a が存在しない」言い換えると、「全ての a に対して『Pの否定』が成立する」
となります。

今回は、「ある正の実数 a に対して～」なので、否定形は「全ての正の実数 a に対して…」となるのです。
No.8033 - 2009/09/19(Sat) 19:38:26
★ 三角関数 / 高二の父
半径２の円O１と半径√２の円O２があり、その中心距離は１＋√３。この２円の重なり部分の、面積と弧の長さを求めたいのですが、よろしくお願いします。
No.8030 - 2009/09/19(Sat) 18:00:30
☆ Re: 三角関数 / ハオ
後学の為に僕なりの解答方法を記しますが、解答例の1つとして見て頂ければ幸いです。全くの私的理由によるものなので無視されても構いません。

円O1の中心座標を(0,0)円O2の中心座標を(1+√3,0)とおいても題意の一般性は失われない。
円O1の方程式はx^2+y^2=4---?@
円O2の方程式は(x-1-√3)^2+y^2=2---?A と書ける。
円O1,O2の交点のx座標を?@?Aを連立させて求めると
x=√3を得る。交点の上方、下方をそれぞれP,Q、円O1の中心をA、円O2の中心をBとおくと、
扇形APQの面積=π*2^2*60°/360°--?B
(ここで扇形APQの中心角は△APHが1:2:√3の特別角の三角形による。Hは直線PQとx軸の交点。)
重なりの部分(左側)の面積=?B-△APQ=2/3π-√3---?C
又、重なりの部分(右側)の面積=扇形BPQ-△BPQ
=π*√2^2*90°/360°-√2*√2*1/2=1/2π-1---?D
ここで扇形BPQの中心角は△BPHが1:1:√2の特別角の三角形による。HB=AB-AH=1+√3-√3=1）
?C?DよりS=7/6π-(1+√3)

弧の長さl=2π*2*60°/360°+2π*√2*90°/360°
　　　　=2/3π+√2/2π
No.8031 - 2009/09/19(Sat) 18:51:02
☆ Re: 三角関数 / 高二の父
> 半径２の円O１と半径√２の円O２があり、その中心距離は１＋√３。この２円の重なり部分の、面積と弧の長さを求めたいのですが、よろしくお願いします。

解答ありがとうございました。
No.8038 - 2009/09/20(Sun) 10:50:04
☆ Re: 三角関数 / 高二の父
> 半径２の円O１と半径√２の円O２があり、その中心距離は１＋√３。この２円の重なり部分の、面積と弧の長さを求めたいのですが、よろしくお願いします。

何度も申し訳ありません。この問題、下記考え方での解法も教えていただけないでしょうか。
2円の交点をA、Bとし、ABとO1、O2との交点をHとすると、面積＝扇形O1AB＋扇形O2AB－△O1AB－△O2ABで求められる･･･。よろしくお願いします。
No.8059 - 2009/09/21(Mon) 19:35:18
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