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★ 図形 / 桜　高3
こんにちは。
いつもありがとうございます。
よろしくお願いいたします。

半径４の円に内接する四角形ABCDがあり、AB=2,BC=7,∠BCD=90°である。

AD=?
CD=?
cos∠ABC=?
AC=?
四角形ABCDのS=?
sin∠AEB=?
という設問がまずあって
私がわからないのは

最後の問題の
sin∠ABE=?
AE:EC=?
の2つです。

なぜSin∠ABE=AD/BDなのでしょうか

ありがとうございます。
よろしくお願いいたします。
No.6890 - 2009/07/24(Fri) 19:32:36
☆ Re: 図形 / 雀
Eはどこでしょうか？
No.6891 - 2009/07/24(Fri) 21:37:33
☆ Re: 図形 / 桜　高3
すみませんです。
Eは対角線ACとBDの交点でした。
No.6892 - 2009/07/24(Fri) 21:41:27
☆ Re: 図形 / ヨッシー
ＢＤが直径であり、△ＡＢＤは∠Ａ＝90°の直角三角形だからですね。
∠ＡＢＥを∠ＡＢＤと書いた方がわかりやすいでしょう。
No.6893 - 2009/07/24(Fri) 23:19:45
☆ Re: 図形 / 桜　高3
ありがとうございます(^^)

初めてこのとき方を見たんですが、
AD/BDでsin∠ABEが出るのは公式ですか？？
No.6894 - 2009/07/24(Fri) 23:26:16
☆ Re: 図形 / 七
横から失礼します。

> 初めてこのとき方を見たんですが、
> AD/BDでsin∠ABEが出るのは公式ですか？？

はじめに三角比を習ったとき正弦はこう習ったはずです。
No.6895 - 2009/07/25(Sat) 06:49:43
☆ Re: 図形 / 桜　高3
みなさん。本当にありがとうございました☆
おかげさまで解けました！！
うれしいです☆

ありがとうございます。
No.6897 - 2009/07/25(Sat) 08:34:52
★ (No Subject) / ゆう
F＝-a^2-2ab+b^2+4b+34とおくときすべてのbに対してF>0となるａの値の範囲を求めよ。

お願いします。
No.6885 - 2009/07/24(Fri) 10:07:31
☆ Re: / ヨッシー
ｂで整理すると、
Ｆ＝b^2＋2(2-a)b−a^2＋34
のように、ｂの２次式になります。ｂとＦのグラフを描くと、
b^2 の係数が正なので、下に凸のグラフになります。
こういう関数が、常にＦ＞０になるための必要十分条件は、
(判別式)＜０ ですから、
　D/4＝(2-a)^2−(−a^2＋34)
　　＝2a^2−4a−30＝2(x+3)(x-5)＜０
より　-3＜ａ＜5
No.6888 - 2009/07/24(Fri) 13:14:00
☆ Re: (No Subject) / ゆう
分かりました!
分かりやすく教えていただきありがとうございます!
No.6896 - 2009/07/25(Sat) 08:01:19
★ 解に文字を含む不等式 / 花崎

おはようございます!数|の範囲なのですが、
二次不等式x^2-(a+1)x+a<0 (a≠1)の解が整数を2個含むように、定数aの値の範囲を定めよ。という問題で、
まず二次不等式を因数分解して
(x-1)(x-a)<0
そして(?T)a>1のとき(?U)a<1のときに場合わけして
(?T)のとき1どなたかご指導宜しくお願いします。
No.6882 - 2009/07/24(Fri) 09:55:18
☆ Re: 解に文字を含む不等式 / ヨッシー
上の記事は、

おはようございます!数|の範囲なのですが、
二次不等式x^2-(a+1)x+a<0 (a≠1)の解が整数を2個含むように、定数aの値の範囲を定めよ。という問題で、
まず二次不等式を因数分解して
(x-1)(x-a)<0
そして(?T)a>1のとき(?U)a<1のときに場合わけして
(?T)のとき1＜x＜aまではわかったのですが、次が解答では3＜a≦4となっていたのですが、なぜこのようなaの範囲になるのかが分かりません。
どなたかご指導宜しくお願いします。

と書いてあります。
No.6883 - 2009/07/24(Fri) 10:00:15
☆ Re: 解に文字を含む不等式 / ヨッシー
さて、回答ですが、
１＜ｘ＜ａ の範囲内に、整数であるｘが２個含まれるように
ａの範囲を決めよ。という問題でした。
１＜ｘ＜ａ に含まれる整数としては、ｘ＝１ はダメなので、
ｘ＝２、ｘ＝３ の２つが含まれるようにします。

ａ＝３ だと、不等式の解は、
　１＜ｘ＜３
となり、ｘ＝３ が含まれません。ａが３より、少しでも大きければ、
　１＜ｘ＜ａ
に、３は含まれます。次に、ａ＝４ だと
　１＜ｘ＜４
となり、ｘ＝４ は含まれません。ａ が４より、少しでも大きければ、
ｘ＝４ が含まれてしまいます。

以上より、ａは３は含まず３より大きく、４を含んで４より小さい
値であれば良いことになり、
　３＜ａ≦４
が（Ｉ）のときのａの範囲となります。
No.6884 - 2009/07/24(Fri) 10:06:39
☆ Re: 解に文字を含む不等式 / 花崎

詳しいご説明ありがとうございます!

しかしまた質問失礼します。
１＜ｘ＜ａ に含まれる整数として、ｘ＝１ はダメなのはわかったのですが、そうするとなぜｘ＝２、ｘ＝３ となるのかがわかりませんでした。
２や３以外の整数は考えられないのでしょうか？
No.6886 - 2009/07/24(Fri) 10:15:03
☆ Re: 解に文字を含む不等式 / ヨッシー
１＜ｘ＜ａ　で、左端は１に確定しています。
こういう状態で、２をすっ飛ばして、３や４が含まれる
ということはあり得ません。
No.6887 - 2009/07/24(Fri) 13:07:42
☆ Re: 解に文字を含む不等式 / 花崎

なるほど!
理解できました。
本当に助かりました。
ありがとうございました!
No.6889 - 2009/07/24(Fri) 15:59:46
★ (No Subject) / ゆう
因数分解で
(x^2+x+2)(x^2+5x+2)+3x^2
がわかりません。

よろしくお願いします!
No.6877 - 2009/07/23(Thu) 23:23:24
☆ Re: / ヨッシー
Ａ＝x^2+x+2 とおくと、
(与式)＝Ａ(Ａ+4x)＋3x^2
　＝Ａ^2＋4xＡ＋3x^2
　＝(Ａ＋x)(Ａ＋3x)
　＝(x^2+2x+2)(x^2+4x+2)
有理数ならここまでです。
No.6878 - 2009/07/24(Fri) 05:15:48
☆ Re: (No Subject) / ゆう
分かりました!
ありがとうございました!
No.6879 - 2009/07/24(Fri) 08:05:13
☆ Re: / ヨッシー
件名は必ず入れてください　(T_T)
No.6881 - 2009/07/24(Fri) 08:50:32
★ 逆関数 / きょうこ
以下の逆関数を求めよ。
y=f(x)=log { x+√(x^2+1) }

【自分の考え】
0＜x+√(x^2+1)＜∞より、f(x)値域は実数全体。
y＝log { x+√(x^2+1) }
⇔x+√(x^2+1)＝e^y
⇔√(x^2+1)＝e^y -x
⇔x^2+1＝e^2y -2xe^y +x^2 , e^y -x＞0（両辺を2乗した）
⇔x＝(e^2y -1)/2e^y , x＜e^y
⇔x＝(e^2y -1)/2e^y

したがって
y^-1＝(e^2x -1)/2e^x

正しいでしょうか。特に、2乗したときの同値変形が気になります。
No.6873 - 2009/07/23(Thu) 07:22:48
☆ Re: 逆関数 / ヨッシー
２乗を戻したときに、
x^2+1＝e^2y -2xe^y +x^2 → √(x^2+1)＝x - e^y
の可能性は、ありませんので、問題ないと思います。

ただし、f-1(x) という書き方はしますが、
ｙ-1 とはあまり書きませんね。
1/y の意味になってしまいます。
No.6874 - 2009/07/23(Thu) 08:17:25
★ (No Subject) / 小次郎
４点A,B,C,Pの間に次のような関係があるとき、APベクトルをABベクトルとACベクトルを用いて表せ。

PAベクトル＋２PBベクトル＋３PCベクトル＝０ベクトル

すみません以前にも質問したかもしれないのですが、この問題の解答解説をおねがいします！！
No.6872 - 2009/07/23(Thu) 01:25:58
☆ Re: / ヨッシー
ＰＡ＝−ＡＰ
ＰＢ＝ＡＢ−ＡＰ
ＰＣ＝ＡＣ−ＡＰ
と置き換えて、ＡＰ＝　の形に整理します。
No.6875 - 2009/07/23(Thu) 08:19:12
☆ Re: / 小次郎
なるほど！！

ありがとうございます。
No.6915 - 2009/07/25(Sat) 22:52:49
★ 積分 / みほ
∫（sin＾２x）（cos＾２x）dx

（sin＾２x）（cos＾２x）=(sinx*cosx)^2
=｛1／２（sin２x）}^2
=（1／４）sin＾２２ｘ
　　　　　　　　　　　　= １／8（１−cos４ｘ）


読みにくくなってしまってすみません・・・・・。
式の２行目は１／４のサイン２乗の２ｘという意味です。


式の１行目までは理解できるのですが、２行目への変換ができません。
たぶん、倍角・半角の公式を利用するんですよね？
解説お願いします。
No.6865 - 2009/07/22(Wed) 21:22:39
☆ Re: 積分 / X
２倍角の公式より
sin2x=2sinxcosx
∴sinxcosx=(1/2)sinx
となります。
又、半角の公式により
(sin2x)^2={sin((4x)/2)}^2
=(1-cos4x)/2
となります。
No.6868 - 2009/07/22(Wed) 22:52:17
☆ (No Subject) / みほ
解説ありがとうございます！！！
さっそくやってみます。
No.6920 - 2009/07/26(Sun) 06:11:15
★ 度々すみません / jannk
行列Ａで表される座標平面上の点の移動(行列Ａの表す１次変換)をｆとする。
(１)ｆによって点Ｐ(２，１)が点Ｐ'(５，８)に移され、点Ｑ　　(１，２)が点Ｑ'(４，７)に移される。このときの行列Ａ　　を求めよ。
(２)Ｒ(ｘ1，ｙ1)，Ｓ(ｘ2，ｙ2)を任意の異なる2点とする。　　(１)のｆによってＲ，ＳはそれぞれＲ’，Ｓ’に移され　　るとする。このとき，線分ＲＳは線分Ｒ’Ｓ’に移され　　ることを示せ。
(３)Ｏを原点とする。(１)のｆによって△ＯＰＱの内部は△　　ＯＰ’Ｑ’の内部の点に移される事を示せ。

という問題です。(１)はでたのですが(２)(３)が全くわかりません。。お願いします。。
No.6863 - 2009/07/22(Wed) 19:10:15
☆ Re: 度々すみません / angel
(2)は(3)のヒントになっています。
先に、ベクトルの話の中であったと思いますが、
　点X が 線分AB上にある
　⇔ ↑OX=t↑OA+(1-t)↑OB で 0≦t≦1 なる t が存在する
を思い出しましょう。
※「↑OX=s↑OA+t↑OB で 0≦s≦1, 0≦t≦1, s+t=1 となる s,t の組が存在する」でも良いです。

(2) 線分RS上の点をXとし、Xの移った先を R',S'を使って表してみましょう

(3) △OPQ の内部の点を Y とし、OY を延長すると線分PQと交わります。この点を X としてみます。
ここで逆の見方をすると、△OPQの内部の点Y というのは、「線分PQ上のある点X に関して、線分OX上にある点」と言う事ができます。
そうすると、(2)の話を拡張することで(3)も示すことができます。
No.6866 - 2009/07/22(Wed) 22:03:07
☆ Re: 度々すみません / jannk
そうすると(２)はどうなりますか！？？
詳しくお願いします。
ベクトルの話はわかりますがどう使ったらいいか分かりません。。。
No.6869 - 2009/07/22(Wed) 22:55:31
☆ Re: 度々すみません / angel
一次変換の最も重要な性質として、
　f(αｕ+βｖ)=αf(ｕ)+βf(ｖ)　　( ｕ,ｖはベクトル )
なので、
　↑OX=t↑OR+(1-t)↑OS
　f(↑OR)=↑OR'
　f(↑OS)=↑OS'
で、X が X' に移る、つまり f(↑OX)=↑OX' であれば
　↑OX'=f(↑OX)
　=f(t↑OR+(1-t)↑OS)
　=tf(↑OR)+(1-t)f(↑OS)
　=t↑OR'+(1-t)↑OS'
…なので、ほとんどこのままで答えになります。上で挙げた線分の条件を組み合わせて、X' が線分 R'S'上にあることを説明してください。
No.6870 - 2009/07/22(Wed) 23:12:47
☆ Re: 度々すみません / jannk
(２)は
ｘ'=t↑OR'+(1-t)↑OS'
となって線分R'S'上に移るとなったんですが、(３)がわかりません…教えてください．。
No.6876 - 2009/07/23(Thu) 22:01:57
☆ Re: 度々すみません / ヨッシー
線分ＰＱ上の点は
　ｔＯＰ＋(１−ｔ)ＯＱ　(0≦ｔ≦1)
で表されるんでしたね？では、それを、０倍から１倍までの
範囲で縮めてやれば、△ＯＰＱの内部の点に行き着くでしょう。
つまり、
　ｓ{ｔＯＰ＋(１−ｔ)ＯＱ}　(0≦ｓ≦１，0≦ｔ≦1)
です。普通は、
　ｓＯＰ＋ｔＯＱ　(0≦ｓ，0≦ｔ，0≦ｓ＋ｔ≦1）
と表します。

こちらをご覧ください。
No.6880 - 2009/07/24(Fri) 08:46:57
★ 極限の問題です / 高3
次の極限値を求めよ。ただし，cはc≠0を満たす定数である。
lim｢x→∞](sin√(x＋c)−sin√x)

すいませんが教えてください?ｫ
No.6862 - 2009/07/22(Wed) 19:00:35
☆ Re: 極限の問題です / angel
三角関数は振動するものですから、極限を持つとすると、sin0 の形とか、0×sin(何か) もしくは 0×cos(何か) になる例が多いです。
今回もそうなります。

sin - sin の形を、和積の公式で sin と cos の積に書き換えましょう。
そうすると、sin((√(x+c)-√x)/2) という形が出てきます。
sin の中身を変形させると、
　√(x+c)-√x
　= (√(x+c)-√x)(√(x+c)+√x)/(√(x+c)+√x)
　= c/(√(x+c)+√x)
　→ 0　( x→+∞ )
という、0 に収束する形になりますから、sin((√(x+c)-√x)/2) も 0 に収束します。
最終的に、(0に収束する形)×cos(何か) の形なので、全体として 0 に収束します。
No.6867 - 2009/07/22(Wed) 22:14:57
★ 3元2次連立(不定?)方程式の整数解 / 涼流
またまたお邪魔します。考えてみたのですが全くわかりません;(恐らく(1), (2)はできましたが...)

問. 3つの実数x, y, zに就いて、x + y + z = 3 …… #1, x^2 + y^2 + z^2 = 27 …… #2を満たすとき次の問に答えよ。
(1) xy + yz + zxの値を求めよ。
略(xy + yz + zx = -9)

(2) (1)を用いてx, yが実数である条件からzの取り得る値の範囲を求めよ。
略(-3 ≦ z ≦ 5)

(3)この連立方程式の整数解を求めよ。
x^2 + y^2 + z^2 = (x + y)^2 - 2xy + z^2
= (x + y)^2 - 2y・(3 - y - z) + z^2 (∵#1)
= (x + y)^2 + 2y^2 + 2yz - 6y + z^2 = 27 (∵#2)
より、
(x + y)^2 = 27 - 2y^2 - 2yz + 6y - z^2
として右辺が完全平方式となればよいと思い、考えてみましたがどうしてもパターンが多すぎてできません……。

どうか方針をご教授願いします。
No.6852 - 2009/07/21(Tue) 21:07:52
☆ Re: 3元2次連立(不定?)方程式の整数解 / angel
あまり上手い方法を思いつかないのですが…
とりあえず、

　x+y=3-z の辺々を平方したもの
　x^2+y^2+z^2=27 の辺々を2倍したもの

の差を取れば、(x-y)^2 = -3(z^2-2z-15) という式が導けます。
あとは整数という条件で、ある程度絞れると思います。
No.6855 - 2009/07/21(Tue) 21:43:43
☆ Re: 3元2次連立(不定?)方程式の整数解 / angel
お風呂に入って考え直してみた…
直接 x^2+y^2+z^2=27 を調べた方が早かった…

平方数を3で割った余りは 0 ( 3の倍数 ) か 1 ( 3の倍数でない )
ということは、x,y,z は全て3の倍数か、全て3で割り切れない。

1. 全て3の倍数の場合
　6^2=36 が混じると 27 をオーバーするので、9+9+9 の組み合わせのみ

2. 全て3で割り切れない場合
　5^2=25 が混じると、25+1+1 の組み合わせ
　混じらない場合、4^2+4^2 では 27 オーバー、4^2+2^2+2^2 では 27 に届かず。結局、25+1+1 のみ
No.6858 - 2009/07/21(Tue) 23:14:15
☆ Re: 3元2次連立(不定?)方程式の整数解 / 涼流
早急な解答、ありがとうございます。参考になりました!
一概に式変形して求めるだけではないのですね^^

3つを足したとき、27(3の倍数)となるのは、3つとも3の倍数か、3つとも1余る数という発想は思いつきませんでした;

今後もお世話になるかも知れませんが、よろしくお願いします^^
No.6864 - 2009/07/22(Wed) 20:55:38
★ 順列 / 123
（1、2、…、n）の順列の偶順列と奇順列はどちらもn！／2個あることを示せ。
感覚ではわかるのですがきちんと証明ができません..
よろしくお願いします。
No.6851 - 2009/07/21(Tue) 20:52:15
☆ Re: 順列 / ヨッシー
並べ方は全部でｎ！通りあります。
ある並べ方と、その最初の２つ(最後の２つなどでも良い)
を入れ替えたものは、ｎ！/２ 組存在して、
一方が偶順列なら、他方は奇順列なので、
それぞれ　ｎ！/２個ずつある。
No.6860 - 2009/07/22(Wed) 08:48:34
★ 2次関数の最大最小 / 祐巳　高3
xの定義域Sを次のように定める。
-1≦x≦(3a+1)/2 (ただし-1≦a≦-1/3)、(3a-1)/2≦x≦(3a+1)/2 (ただし-1/3≦a≦1/3)、(3a-1)/2≦x≦1 (ただし1/3≦a≦1)
xの関数f(x)=x^2-2ax+2a^2+4の、定義域Sにおける最大値と最小値を求めなさい。

f(x)=(x-a)^2+a^4+4なので軸はx=a。
定義域に文字が含まれていて、しかもその文字が軸になっていて、軸と定義域の位置関係が分からないです。
どんなふうに考えて解くのか教えてください。お願いします。
No.6849 - 2009/07/21(Tue) 17:20:20
☆ Re: 2次関数の最大最小 / angel
位置関係がわからなければ…
グラフを描けば良いではないですか。

というわけで描いてみました。
横軸が a ( -1≦a≦1 )、縦軸が S の範囲ということで x、
赤線のグラフが S の下限、青が S の上限、灰色のグラフが放物線の軸 ( x=a ) を表します。

こうしてみると、軸の部分は必ずSに含まれるので、f(x) の最小値は f(a) と分かります。
最大値は…、というと、軸から最も離れたところの値ですから、a≧0 の場合は S の上限で、a<0 の場合は S の下限で、ということになります。
No.6853 - 2009/07/21(Tue) 21:10:53
☆ Re: 2次関数の最大最小 / 祐巳　高3
解答ありがとうございます。

『位置関係がわからなければ…グラフを描けば良いではないですか。』

こういう考え方は初めてなんですが、これはどの辺で習うことなんでしょうか(一応数Bまでは終わってます)?
とくに水平軸をa軸に、鉛直軸をx軸に充てられていますが、これは全く見たことがないです。調べてみたけど見つからないです。どうしてこういう軸の取り方をされているのですか？
No.6859 - 2009/07/22(Wed) 05:34:35
☆ Re: 2次関数の最大最小 / ヨッシー
ａの値によって、ｘの範囲がどう変わるかをみたいので、
ａとｘのグラフになります。

>これはどの辺で習うことなんでしょうか
小学校で、比例のグラフを描いたとき
中学校で、一次関数のグラフを描いたとき
の知識の応用ですね。

もちろん、a=-1 のとき、a=-2/3 のとき、a=-1/2 のとき a=-1/3 のとき・・・
のように、調べていっても出来ますが、グラフのように
いろんな情報を一度に与えてはくれません。
ここでいう情報の主なものは、
　ｘ＝ａ は必ず、定義域に含まれること
　ａ＜０ では、Ｓの下限、ａ＞０では上限の方が軸より遠いこと
です。
No.6861 - 2009/07/22(Wed) 09:16:27
☆ Re: 2次関数の最大最小 / 祐巳　高3
よくわかりました。ありがとうございました。
No.6871 - 2009/07/22(Wed) 23:38:57
★ ベクトル / 小次郎
簡単な質問ばかりですみません・・・・

三角形ABCの頂点A、Cの座標がA(3,2,1) C(2,6,-1)その重心Gの座標が(3,2,-1)である。

(1)点Bの座標　　B(4,-2,-3)

(2)四辺形ABCDが平行四辺形となるような点Dの座標
　　　D(1,10,3)

(3)線分CAを１：３に内分する点Pの座標。

(4)点P(9/4,5,-1/2)に関して点Cの対称点Qの座標を求めよ。

(1)(2)は解けたのですが(3)(4)の解法がわかりません・・
特に(4)の「点Pに関して」の意味がわからないです。

すみませんがおねがいします！！
No.6846 - 2009/07/21(Tue) 14:17:52
☆ Re: ベクトル / ヨッシー
(3)
こちらの内分点の公式によります。
ここには、直線と平面の式しかありませんが、空間も同じ
考え方です。

(4) 「点Ｐに対して対称」「点Ｐをはさんで対称」
と書けばわかりますか？
さらに、「点ＰはＣＱの中点」と書くと・・・。
(1) よりも、簡単ですよ。
No.6850 - 2009/07/21(Tue) 18:26:20
☆ Re: ベクトル / 小次郎
ありがとうございます！！
考え方を少し変えただけでこんなにも簡単になるとは・・・

これからもよろしくお願いします。
No.6857 - 2009/07/21(Tue) 22:27:19
★ (No Subject) / ふゆ
ユークリッドの互除法を視覚的に表現すると長方形を敷き詰める最大の正方形タイルを探す作業をしているみたいなのですが、よく分かりせん。どうか教えてください。
No.6840 - 2009/07/20(Mon) 01:22:25
☆ Re: / rtz
http://www.cwo.zaq.ne.jp/bfaby300/math/gojyo.html
参照のこと。
No.6841 - 2009/07/20(Mon) 02:05:26
★ ベクトル / 小次郎
Ｏを原点とする座標平面上に４点A(3,k) B(1,5) C(4,2) D(s,3)がある。

四辺形ＡＢＣＤが平行四辺形となるようにｋ、ｓの値を求めよ。

お願いします！！
No.6832 - 2009/07/19(Sun) 17:18:37
☆ Re: ベクトル / angel
いや、ベクトルを持ち出すまでもなく。
平行四辺形の性質「対角線は互いに他を二等分する」早い話が、対角線AC, BDの中点が一致することを用いて、k,s を求めてください。
No.6833 - 2009/07/19(Sun) 17:33:11
☆ Re: ベクトル / ハオ
ベクトルを用いて考える方法も提示しておきますが、無視されて頂いても構いません。
平行四辺形となるのはAB→=DC→となる時。
この時さらに条件が必要です。それはAB→とAD→が平行ではない事です。
もし平行ならば、４点ABCDは一直線上になってしまいます。
No.6835 - 2009/07/19(Sun) 17:41:11
☆ Re: ベクトル / 小次郎
> いや、ベクトルを持ち出すまでもなく。
> 平行四辺形の性質「対角線は互いに他を二等分する」早い話が、対角線AC, BDの中点が一致することを用いて、k,s を求めてください。


すいません。その解法ですらわからないのです・・・・

解法を記載していただけるとうれしいです。
No.6838 - 2009/07/19(Sun) 23:43:19
☆ Re: ベクトル / ヨッシー
A(3,k) と C(4,2) の中点は (7/2, (k+2)/2)
B(1,5) と D(s,3) の中点は ((1+s)/2, 4)
で、これらが一致。
です。
No.6842 - 2009/07/20(Mon) 06:40:53
☆ Re: ベクトル / 小次郎
ありがとうございました！！
No.6845 - 2009/07/21(Tue) 00:24:59
★ 未知の方程式と定点の関係について / ハオ
本件の前に少しヨッシーさんに疑問なのですが、今日ここに来てみたら背景に[件名は必ずいれてください。]という表示が無数にあるのですが一体これは何でしょうか？僕の責任でしょうか？それとも皆の背景にもこの様な事が書いてあるのでしょうか？もし、僕だけであった場合は、申し訳ありません。

ところで、本題ですが今日授業で、
xy平面上に放物線C:y=x^2 +5/4と直線L:y=mx+m(mは実数の定数)がありCとLは異なる2点P,Qで交わっている.
(1)線分PQの中点をM,点Mを通りy軸に平行な直線とCとの交点をNとする。三角形PQNの面積が1となるときのmの値を求めよ。
という問題があったのですが、この問題は2点PQが第一象限で交わるのか、第一象限と第二象限の二つの場所で交わるのかで場合分けしなければならないと考えましたが、
解法では直線Lは定点(-1.0)を通るので二点PQは第一象限にある。と記載されていました。
ここで疑問なのですが、直線の方程式がどの様な場合は定点を通ると気づくのでしょうか？
例えばy=mx+mの様にxの係数と切片が同じ値の場合は定点を通るの様に教えて頂けると幸いです。
No.6830 - 2009/07/19(Sun) 16:50:54
☆ Re: 未知の方程式と定点の関係について / angel
「mの取る値に関わらず、直線がある定点を通る」というところに注目。端的に言うと、m の恒等式が現れるわけです。

y=mx+m を m についてまとめれば (x+1)m-y=0
これが恒等式になるのは、(x,y)=(-1,0) ということ。

　(x,y)=(-1,0)の時、mに関する恒等式になる
　⇔ (x,y)=(-1,0) の時、mの値に関わらず方程式が成立する
　⇔ mの値に関わらず、方程式の示すグラフは(-1,0)を通る

この手の話は良く出るので、常に注目しておくと良いでしょう。
※いつもいつも役に立つわけではないですが。
No.6834 - 2009/07/19(Sun) 17:38:03
☆ Re: 未知の方程式と定点の関係について / ヨッシー
はい、その壁紙は、今日から貼っています。
誰それのせいということではなく、件名を書いてもらった方が、
整理がしやすいので、お願いをしています。

上の方の注釈に書いても良かったのですが、インパクトが薄いので、
このようにしました。

他の皆さんも、ご協力ください。
No.6837 - 2009/07/19(Sun) 22:14:39
☆ Re: 未知の方程式と定点の関係について / ハオ
angelさん、どうも有難う御座います。恒等式の考えをすっかり忘れていました。数学って感慨深いというか美しいですね。

ヨッシーさん、御返答有難う御座います。とてもインパクトがあります。
No.6843 - 2009/07/20(Mon) 08:47:40
★ 05年東大理系確率 / こんばいん
Nを１以上の整数とする　数字１、２・・・、Nが書かれたカードを
１枚ずつ、計N枚用意し　甲、乙の二人が次の手順でゲームを行う、
?@甲が１枚カードをひく、そのカードに書かれた数字をaとする、引いたカードは元に戻す。
?A甲はもう一回カードを引くかどうか選択する、引いた場合はそのカードに書かれた数字をｂとする、引いたカードは元に戻す、引かなかった場合はｂ＝０とする、a+b>Nの場合は乙の勝ちとし、ゲームは終了する。
?Ba+b≦Nの場合は乙が１枚カードを引くそのカードに書かれた数字をｃとする。引いたカードは元に戻す。a+b＜ｃの場合は乙の勝ちとし、ゲームは終了す。
?Ca+b≧ｃの場合は、乙はもう一度カードを引く、そのカードに書かれた数字をｄとする、a+b<c+d≦Nの場合は乙の勝ちとし、それ以外の場合は甲の勝ちとする。

?Aの段階で、甲にとってどちらの選択が有利であるかをaの値に応じて
考える、以下の問いに答えよ。
（１）甲が二回目にカードを引かない事にしたとき、甲の勝つ確率を
aを用いて表せ。
（２）甲が二回目にカードを引くことにしたとき、甲の勝つ確率をaを用いて表せ。
　但し各カードがひかれる確率は等しいものとする。

（２）のa+b≦Nの場合でa+b<c≦Nの乙の勝つ確率を求めたいのですが
参考書はｂが１以上で動きa+b≦Nの場合を考えるのでa+1≦a+b≦Nである各a+bに対してa+b＜ｃ≦NとなるｃはN-（a+b）通りあり、ｂ（１通り）である、このような（ｂ、ｃ）はぜんぶで
Σ［b＝a+1〜N］（N-（a+b))通りあると述べています。
私の考えはｃは参考書と同じN-（a+b)通りで納得できるのですが、ｂは
ｃ-（a+1)通りだと思うのです。違いますか？
参考書のｂは１通りとしているところが納得できません。
よろしくお願いします
No.6826 - 2009/07/19(Sun) 02:35:03
☆ Re: 05年東大理系確率 / rtz
要はBJをやっているのですね。

さて、本題ですが、それは違いますね。
今問題になっているのはあくまでcのことです。
特定のaと、それに対応したあるbに対して、cが何通りあるかの総和です。

例を出すなら、Nが十分大きいとして、a＝5とすると、
b＝1ならcは7〜NのN−6通り、
b＝2ならcは8〜NのN−7通り、
b＝3ならcは9〜NのN−8通り、
…
というこれらの総和が求めたい場合の数ですよね。

ですから、bについて考えるのは意味がないですね。
あるbに対する、cのとり方を考えているわけですので。


それから、
＞Σ［b＝a+1〜N］（N-（a+b))通り
は間違いでは？
b＝1〜N−aが正しいと思いますが。
No.6827 - 2009/07/19(Sun) 04:58:42
☆ Re: 05年東大理系確率 / rtz
マルチか…。
No.6828 - 2009/07/19(Sun) 06:56:28
☆ Re: 05年東大理系確率 / こんばいん
結果的にマルチポストになってしまいましたが
それは解答がつかないからです・・・。
ありがとうございました。
No.6829 - 2009/07/19(Sun) 10:46:08
☆ Re: 05年東大理系確率 / rtz
謝りもせず言い訳とな。
No.6831 - 2009/07/19(Sun) 17:01:27
☆ Re: 05年東大理系確率 / こんばいん
ごめんなさい(>_<)
No.6839 - 2009/07/20(Mon) 00:50:10
★ Ｌ変換を用いた初期値問題（y(0)= ）でない場合。 / maria
y"-3y'+2y=3-2t^2 y(1)=1,y'(1)=1 をラプラス変換を用いて解けという問題なのですが、与式をＬ変換し(s^2L[y]-sy(0)-y'(0))-3(sL[y]-y(0))+2L[y]=(3/s)-4/s^3となるところから、どのようにして初期条件を用いれば良いのですか？
No.6821 - 2009/07/18(Sat) 23:21:38
☆ Re: Ｌ変換を用いた初期値問題（y(0)= ）でない場合。 / angel
t=1 基準の値が初期条件としてわかっているので、1ずらしてあげると良いでしょう。
つまり、z(t)=y(t+1) と置いてあげれば z(0)=y(1)=1, z'(0)=z(1)=1

かつ、
　y''(t+1)-3y'(t+1)+2y(t+1)=3-2(t+1)^2
　z'(t)=y'(t+1), z''(t)=y''(t+1)
より、
　z''(t)-3z'(t)+2z(t)=3-2(t+1)^2

後は、この z を求めれば良いです。
No.6822 - 2009/07/19(Sun) 00:06:30
☆ Re: Ｌ変換を用いた初期値問題（y(0)= ）でない場合。 / maria
前にその方法でやってみたのですが、答えが-t^2-3t-2+8e^(t-1)-e^(t-1)となりました。正解が与えられていないので合っているのか分かりません。
No.6824 - 2009/07/19(Sun) 00:38:45
☆ Re: Ｌ変換を用いた初期値問題（y(0)= ）でない場合。 / angel
> 前にその方法でやってみたのですが、…(中略)…合っているのか分かりません。

いや、そんなこと言われても知りませんがな。
方法としてどうなのかと、それを正しく計算できているかどうかなんて別問題でしょう。

どうせ、解の形は at^2+bt+c+Ae^(t-1)+Be^(2(t-1)) にしかならないのですから、ラプラス変換使わなくても解けますし、もしくは、もっと単純に、答えを元の微分方程式に代入すれば、あっているかどうかは分かるでしょう。
まあ、y=-t^2-3t-2-8e^(t-1)-e^(2(t-1)) で問題ないのではないでしょうか。
No.6825 - 2009/07/19(Sun) 02:10:05
★ (No Subject) / なつ
aは実数で
f(x)=x＾3＋ax^2−８(a^2)x,
g(x)=3ax^2-9（a^2）ｘ

(1)曲線y＝f（x）とy＝g（x）の共有点ｐにおいて両方の曲線と接する直線が存在する。このときpの座標をaで表せ

という問題で答えは(a,-6a^3)ただしaは０ではない。

ですが、aが0ではない理由がよく分かりません。
No.6814 - 2009/07/17(Fri) 21:16:35
☆ Re: / X
a=0とすると
g(x)=0
となりますのでy=g(x)のグラフは直線となり、題意に合わなくなるからです。
No.6816 - 2009/07/17(Fri) 23:54:51
☆ Re: / なつ
a=0のとき、ｇ（ｘ）とｆ（ｘ）はｘ＝０で接し接線はｙ＝０とすれば題意にあうと思うのですが。
No.6817 - 2009/07/18(Sat) 01:11:20
☆ Re: / ヨッシー
y=f(x)=x~3 の形状を考えてみれば、原点でｙ＝０に接するとは言えませんし、
y=g(x)=0 も原点でｙ＝０に接するとは言い難いでしょう。
No.6818 - 2009/07/18(Sat) 05:52:38
☆ Re: / KINO
僕はなつさんの解釈でよいと思います。
答えが間違っているのでしょう。
No.6819 - 2009/07/18(Sat) 13:35:28
☆ Re: / なつ
(2)の答えにも影響してくるので答えの間違いということはたぶん無いかと・・・
No.6820 - 2009/07/18(Sat) 22:53:07
☆ Re: / KINO
答えが間違っているというのは，「ただし a は 0 ではない」という但し書きが間違っているという意味です。

a=0 のとき g(x)=0 という定数関数になりますが，この関数のグラフは y=0 という直線です。
接線の定義から，直線 y=0 は y=x^3=f(x) の原点における接線で，しかも y=g(x) 自身の接線であり，原点はこれら2曲線の共有点なので，原点も p の資格を持っています。
この解釈を否定するに足る数学的に正当な理由はどこにもありません。

何の教材かわかりませんが，教材の作成者が何か勘違いをしている可能性は十分あります。
教科書や参考書，問題集だって人間が作るものなので，間違いはあります。
それらを盲信して，理性に基づいたご自身の判断を変にねじまげてはいけません。

(2)の答えがどんなものか全くわかりませんが，それに差支えがあるなら，問題文に「ただし a≠0 である」という条件が抜けていたと思えばよいでしょう。
No.6823 - 2009/07/19(Sun) 00:35:57
★ 微分可能 / aki
こんばんは。今日も質問お願いします。
http://z.upup.be/?4kt2I6kSwu
ですが、わたしは
連続の条件が一つと、lim[x→2＋0]f(x)−f(2)/x−2 =lim[x→2−0]〜
の条件二つを作って解きましたが答えがあいませんでした。
後者の条件が悪かったのだと思いますが、もしかしてこれは導関数の定義とは違うのでしょうか？
No.6804 - 2009/07/16(Thu) 20:05:46
☆ Re: 微分可能 / KINO
> わたしは
> 連続の条件が一つと、lim[x→2＋0]f(x)−f(2)/x−2
> =lim[x→2−0]〜
> の条件二つを作って解きましたが答えがあいませんでした。

akiさんが考えた内容をもっと詳しく書いて下さい。
『後者の条件』は式が省略されているため，いいのか悪いのか判断のしようがありませんし。
No.6807 - 2009/07/16(Thu) 20:22:16
☆ Re: 微分可能 / angel
なんとなく言いたいことは分かりますが、端折り過ぎです。
※ひょっとして携帯から書いているから…?

・連続の条件
　x≧2 の領域で連続なのは自明のため、x＜2 も含め、x=2 の点で連続であるためには、
　　lim[x→2-0] f(x) = f(2)
　すなわち
　　β・2^2 - 2a = 2^3 + 2a
・微分可能な条件
　lim[x→2] (f(x)-f(2))/(x-2) が収束すること。
　今、lim[x→2+0] (f(x)-f(2))/(x-2)、lim[x→2-0] (f(x)-f(2))/(x-2) はそれぞれ収束するため、
　lim[x→2+0] (f(x)-f(2))/(x-2) = lim[x→2-0] (f(x)-f(2))/(x-2)

…というように考えた、でしょうか?
これであれば特に問題ありません。答えが合わないのは計算間違いがあったのでしょう。
答えが出るまでの計算の経緯を書けば、どこが違うか指摘できると思います。
No.6815 - 2009/07/17(Fri) 22:43:36
☆ Re: 微分可能 / aki
ごめんなさい以後気をつけます。
計算ミスをしておりました。ありがとうございました。
No.6847 - 2009/07/21(Tue) 16:22:57
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