ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 重積分 / AnND

Q.次の重積分を計算せよ。(a>0)
(1)∫(0～(π/2))∫(acosθ～a) rdrdθ
(2)∬D((r^2)sinθdrdθ D:0≦r≦2acosθ、0≦θ≦(π/2)

Q.領域D:(x^2)+(y^2)≦a^2 (a>0)で次の関数の重積分を求めよ。
(3)x^4
(4)√((a^2)-(x^2)-(y^2))

(1)を解いていくと
∫(0～(π/2))(((a^2)/2)((1-cos2θ)/2))dθ
となるのまではできたのですが、
その先がどうやって解けばいいのかわかりません。

(2)は全然わかりません。

(3)は∫(0～2π)((a^6)/6)(cosθ)^4 dθ
となりましたが、それから先がわかりません。

(4)も全然わかりません。

解き方を詳しく教えてください!!
お願いします!!

No.5031 - 2009/02/03(Tue) 23:24:08

☆ Re: 重積分 / angel

(1)は、そこまでできたのなら、後は三角関数の積分の問題。
∫cos(nθ)dθ=1/n・sin(nθ)+C
※(d/dθ)・sin(nθ) = ncos(nθ) の裏返し
という所から積分計算ができます。

(2)は、∬～dxdy = ∬～rdrdθ を活用して、x,y の形の積分に持って行きましょう。
0≦r≦2acosθ というのは、0≦r^2≦2arcosθ、つまり、x^2+y^2≦2ax と変形できることに着目しましょう。

(3)も、後は三角関数の積分。
cos(2nθ)=2(cos(nθ))^2-1 を逆に使えば、
(cos(nθ))^2 = (1+cos(2nθ))/2
これより、
(cosθ)^4
= ((cosθ)^2)^2
= 1/4・(1+cos(2θ))^2
= 1/4 + 1/2・cos(2θ)+1/4・(cos(2θ))^2
= 1/4 + 1/2・cos(2θ)+1/8・(1+cos(4θ))
= 3/8 + 1/2・cos(2θ) + 1/8・cos(4θ)
ここから先は(1)のヒントと同じこと。

(4)はやはり∬～dxdy = ∬～rdrdθの活用。
x^2+y^2=r^2 ですから、√(a^2-x^2-y^2)=(a^2-r^2)^(1/2)
ここで、f(r)=a^2-r^2 と置けば、f'(r)=-2r なので、
r√(a^2-r^2)=-1/2・f'(r)・f(r)^(1/2)
∫r√(a^2-r^2)dr
= ∫(-1/2)・f'(r)・f(r)^(1/2) dr
= (-1/2)・2/3・f(r)^(3/2) + C
という計算となります。
※(d/dr)・f(r)^n = nf'(r)・f(r)^(n-1) の裏返し

No.5032 - 2009/02/04(Wed) 01:44:52

☆ Re: 重積分 / AnND

解説ありがとうございます!!

何度も申し訳ないんですが、
(2)の｢0≦r^2≦2arcosθ、つまり、x^2+y^2≦2ax と変形できる｣というところが何故そうなるのかなのかわかりません…。

また解説してくだされば嬉しいです…。

No.5043 - 2009/02/04(Wed) 23:46:50

☆ Re: 重積分 / angel

0≦r≦2acosθ
⇔ 0・r≦r・r≦2acosθ・r
⇔ 0≦r^2≦2a・rcosθ
⇔ 0≦x^2+y^2≦2ax　( ∵r=√(x^2+y^2)、x=rcosθ )

ということです。

No.5046 - 2009/02/05(Thu) 00:03:00

☆ Re: 重積分 / AnND

やっと理解できました！
ありがとうございます！

No.5135 - 2009/02/09(Mon) 23:08:26

★ 中１方程式の文章問題 / かず

姉と弟は同じ時刻に家を出て、姉は自転車で分速２００ｍ、弟は徒歩で分速６０ｍで同じ道を進みました。
(１)家を出てから１０分後には、姉は弟より何ｍ先にいます　　か。
(２)家を出てから１２分後に、姉はｘ分間休憩しました。姉が再び走り出そうとしたとき、弟は姉が自転車で走った道のりのちょうど１／２のところにいました。ｘについての方程式を作りなさい。

この２問のとき方を教えてください。お願いします。

No.5030 - 2009/02/03(Tue) 21:18:31

☆ Re: 中１方程式の文章問題 / ヨッシー

道のり＝速さ×時間　ですから、
(1)
姉の進んだ距離：200×10＝2000
弟の進んだ距離：60×10＝600
(2)
姉が進んだのは12分間なので、道のりは
　200×12＝2400
弟が進んだのは12＋ｘ分なので、道のりは
　60×(12+x)
これが姉の道のりの 1/2 になるので、(以下略)

No.5037 - 2009/02/04(Wed) 09:29:15

★ 小学６年・難問プリントから・・・ / ミサ

8分でピッタリ燃えつきるお線香が、３本あります。
このお線香に火をつけて、7分を計りなさい。

これは普通に燃やしたら多分できないと思うので、両端から燃やすことを考えたのですができませんでした。
分かったら教えてください。よろしくお願いします。

No.5026 - 2009/02/03(Tue) 18:33:54

☆ Re: 小学６年・難問プリントから・・・ / rtz

A、Bは一方に、Cは両方に火。
→4分後：C終、Bのもう一方に火。
→6分後：B終、Aのもう一方に火。
→7分後：A終。

No.5027 - 2009/02/03(Tue) 18:47:51

☆ Re: 小学６年・難問プリントから・・・ / ミサ

わーありがとうございます。
本当になりました！

No.5028 - 2009/02/03(Tue) 19:09:02

★ 行列の問題 / りゅう

1.次のベクトルa1,a2の張る部分空間を解空間としてもつような同次連立1次方程式を1つ求めよ。

(1) a1=(1,-1,2) a2=(2,1,-1)
(2) a1=(1,-2,-3,1) a2=(1,1,-2,-2)

2.R^3またはR^4の次の部分空間の次元と1組の基底を求めよ。

(1) {(x1,x2,x3)| x1=3x3}
(2) {(x1,x2,x3)| 2x1-x2+5x3=0}
(3) {(x1,x2,x3,x4)| x1+x2+x3=3x2+2x3+x4=0}

3.R^3の次のベクトルの生成する部分空間の次元が2となるようにaの値を定めよ。

a1=(1,3,a) a2=(2,5,1) a3=(1,2a,5) a4=(1,5,4a)

よろしくお願いします。

No.5025 - 2009/02/03(Tue) 18:10:17

★ (No Subject) / かなこ

3直線2x-y=1、x-4y=-3、3x+2y=19
で作られる三角形の面積を求めよ。

解説お願いします！

No.5020 - 2009/02/03(Tue) 14:22:11

☆ Re: / 七

2x-y=1 … (1)
x-4y=-3 … (2)
3x+2y=19 … (3)
(1)(2) の交点A(1，1)
(1)(3)の交点B(3，5)
(2)(3)の交点C(5，2) とすると

AB＝√(4＋16)＝2√5
点Cと(1)との距離 d＝|2･5－2－1|/√(4＋1)＝7/√5
△ABC＝(1/2)･2√5･7/√5＝7
計算は間違っているかも知れません。

No.5022 - 2009/02/03(Tue) 15:22:29

☆ Re: / らすかる

(1,1)(3,5)(5,2)を頂点とする三角形の面積は
(1,1)(5,1)(5,5)(1,5)を頂点とする正方形の面積16から
(1,1)(3,5)(1,5)を頂点とする直角三角形の面積4と
(1,1)(5,1)(5,2)を頂点とする直角三角形の面積2と
(5,2)(5,5)(3,5)を頂点とする直角三角形の面積3を
引いたものなので、16-4-2-3=7

No.5024 - 2009/02/03(Tue) 16:57:29

☆ Re: / かなこ

七さん、らすかるさん
ありがとうございました！
理解することができました！！

No.5029 - 2009/02/03(Tue) 20:52:39

★ (No Subject) / 数学・・・。

連続した３つの奇数の２乗の和に１を加えた数Nは、１２の倍数であるが、２４の倍数ではないことを証明せよ。

どなたか解答＆解説をお願いします

No.5013 - 2009/02/03(Tue) 04:36:57

☆ Re: / ヨッシー

３つの奇数を
　２ｎ－１，２ｎ＋１，２ｎ＋３　（ｎは整数）
とすると、２乗の和＋１は、
　12(n^2+n+1)
です。
ｎが偶数の場合も、奇数の場合も　n^2+n+1　は奇数なので、
Ｎは、１２の倍数であるが、２４の倍数ではない。

No.5014 - 2009/02/03(Tue) 05:21:55

★ 度々ごめんなさい / あき

こんばんは！

http://s.upup.be/?RkfCTPqNND
http://o.upup.be/?a0woUruDWl
のやり方も教えていただけませんでしょうか？
楕円の方は
?@接線上にH
とあとは他に垂直という条件をどう使えばいいのかわかりませんでした…
本当に申し訳ありません。

No.5009 - 2009/02/02(Mon) 22:54:14

☆ Re: 度々ごめんなさい / ヨッシー

(2)は、
　ｘ^3－ａｘ^2＋１０ｘ＝０
　ｘ(ｘ^2－ａｘ＋10)＝０
なので、解はｘ＝０とｘ^2－ａｘ＋10の２解α、β(α＞β)です。
条件を満たすには、
　α－β≧１　かつ　α≦－１
　β≦－１　かつ　１≦α
　１≦β　かつ　α－β≧１
のいずれかを満たせばいいです。

No.5017 - 2009/02/03(Tue) 05:38:55

☆ Re: 度々ごめんなさい / あき

ありがとうございます(>_<)
楕円の方も宜しくお願いしたいです(>_<)
いつもありがとうございます。

No.5071 - 2009/02/05(Thu) 20:01:35

★ (No Subject) / β　高校２

微分の応用の問題で、

log絶対値ｙの導関数を利用して、次の関数を微分せよ。

ｙ＝(２ｘ－１)^4(３－ｘ)^3

という問題の解き方がよく分かりません。
答えは－(１４ｘ－２７)(２ｘ－１)^3(３－ｘ)^2となるようです。
教えてください、宜しくお願いします。

No.5008 - 2009/02/02(Mon) 22:42:59

☆ Re: / にょろ

両辺logとって
log|y|=4log|2x-1|+3log|3-x|
y'/y=(4log|2x-1|+3log|3-x|)'
でどうでしょ？

No.5012 - 2009/02/02(Mon) 23:16:43

★ (No Subject) / あき

こんばんは！
またまたすみません(>_<)
http://t.upup.be/?VzqhX1vWdU
のときかた教えていただけませんでしょうか？

No.5006 - 2009/02/02(Mon) 20:24:36

☆ Re: / ヨッシー

とりあえず、２≦ｋ≦ｎ－１とします。
取り方は全部で nＣ3 通り。
Ｘ＝ｋとなる取り方は、ｋを取り、１～ｋ－１から１個、
ｋ＋１～ｎから１個取るので、
　(ｋ－１)(ｎ－ｋ)
よって、
　Ｐ(Ｘ＝ｋ)＝(ｋ－１)(ｎ－ｋ)/nＣ3
これは、Ｐ(Ｘ＝１)＝Ｐ(Ｘ＝ｎ)＝０も満たすので、
　ｋ＝１，２・・・ｎ
すべてについて、
　Ｐ(Ｘ＝ｋ)＝(ｋ－１)(ｎ－ｋ)/nＣ3
が成り立つ。

期待値は、
　Σ[k=1～n]ｋ(ｋ－１)(ｎ－ｋ)/nＣ3
＝(ｎ＋１)/２

予想通り、ど真ん中ですね。

No.5007 - 2009/02/02(Mon) 22:27:24

★ 楕円 / あき

こんにちは！
質問お願いします…(>_<)
x^2/4＋y^2=1 を原点を中心とし、正の方向へ90度回転した曲線を求めよ

自分ではパラメータを一時変換させてみたんですがうまくいきませんでした、どなたか教えて下さい(>_<)

No.4996 - 2009/02/02(Mon) 16:38:21

☆ Re: 楕円 / ヨッシー

図形的に言っても、
　x^2＋y^2/4＝1
であることは明白です。
また、(x,y)→(-y,x) という変換なので、
x^2/4＋y^2＝1 に、x=-y, y=x を代入して、
　x^2＋y^2/4＝1
が得られます。パラメータ形式で、楕円x^2/4＋y^2＝1 上の点を
(2cosθ, sinθ) と置き、90°回転の行列を掛けると、
　(x, y)＝(-sinθ, 2cosθ)
となり、sinθ＝-x, cosθ＝y/2 より、
　　x^2＋y^2/4＝1
が得られます。

No.4997 - 2009/02/02(Mon) 16:44:42

☆ Re: 楕円 / あき

パラメータの計算間違ってました／(￣口￣;)＼すみません!
でも図形的に考えた方が良かったですね(>_<)

あとこの続きが
http://x.upup.be/?OrbzoPOZ3m
なんですが、(2)は自分では接線をy=mx＋nとおき、C1とC2それぞれとの連立でD=0
とといたのですが答えが合いませんでした…ときかたはあってますか？

No.4999 - 2009/02/02(Mon) 17:03:42

☆ Re: 楕円 / ヨッシー

Ｃ1 からの判別式より
　４ｍ^2－ｎ^2＋１＝０
Ｃ2 からの判別式より
　ｍ^2－ｎ^2＋４＝０
が得られ、これらより　ｍ＝±１，ｎ＝±√5
を得ます。条件に合うのは、ｍ＝－１，ｎ＝√5

図形の対称性より、傾き－１は明らかなので、最初から、
　ｙ＝－ｘ＋ｎ
のように置いても良いでしょう。

No.5001 - 2009/02/02(Mon) 17:17:59

☆ Re: 楕円 / あき

ありがとうございます。
ちなみに(4)はどうやるんでしょうか？
普通に交点を求めようとするとかなり汚いので違うやり方でやるのだと思いますが全く思い付きません。
お願いします(>_<)

No.5010 - 2009/02/02(Mon) 23:06:31

☆ Re: 楕円 / ヨッシー

Ｃ1 をｙ方向に２倍拡大すると
　x^2/4＋y^2/4=1　(半径2の円)
直線(√3/2)ｘーｙ＝０は、√3ｘ－ｙ＝０になります。
面積を求める部分は、中心角60°の扇形になるので、計算出来ますね？
それを、1/2 に縮め戻せば、出来上がりです。

No.5015 - 2009/02/03(Tue) 05:31:22

★ 面積 / an

関数 f(θ)=2cosθ+cosθ g(θ)=2sinθ-sin2θ
曲線Ｃ: x=f(θ) y=g(θ)　(0≦θ≦π/3)
と定義する。

(1)f(π/3) g(π/3) の値を求めよ
(2)関数f(θ) g(θ) の増減を各々調べよ
(3)点(0,0)と点(f(π/3),g(π/3)）を通る直線lの方程式を求めよ
(4)曲線Ｃと直線lとx軸で囲まれた図形の面積を求めよ

(1)～(3)まではすんなりいけたのですが...
(4)の解答が
面積の公式より
Ｓ=1/2∫[0toπ/3](xdy/dθ-ydx/dθ)dθ-(※)
となっているのですが、これって公式ですか？
(※)以降の計算は分かるのですが、立式が分かりません。

No.4993 - 2009/02/02(Mon) 01:11:43

☆ Re: 面積 / angel

公式と呼んで良いかは分かりませんが…
線分OX1 (X1: (x1,y1)) と OX2 (X2: (x2,y2)) がなす三角形の面積は、1/2・(x1y2-x2y1) です。
※ただし、OX2 の方が、OX1 よりも反時計周りの位置にある場合。逆ならば符号が反転

そうすると、θが?刄ﾆ変化する前後で、OX ( X:(x,y) ) が通る部分の面積は、x1,y1,x2,y2 の代わりに x,y,(x+?凅),(y+?凉) を適用して、
1/2・(x(y+?凉)-(x+?凅)y)
= 1/2・(x?凉-?凅y)
= 1/2・(x・?凉/?刄ﾆ-?凅/?刄ﾆ・y)・?刄ﾆ
※ただし、OX が反時計周りに動いていく場合。逆周りの場合は符号反転

なので、1/2・∫(x・dy/dθ-dx/dθ・y)dθ という計算で面積が求まることになります。

ただ、これが思いつかなくとも、
・O, (f(π/3),g(π,3)), (f(π/3),0) が作る直角三角形
・f(π/3)～f(0) の範囲で、曲線Cとx軸に挟まれた部分の面積
の合計と考えれば、
1/2・f(π/3)・g(π/3) + ∫[f(π/3),f(0)] ydx
= 1/2・f(π/3)・g(π/3) + ∫[π/3,0] ydx/dθ・dθ
という計算でも良いです。

No.5033 - 2009/02/04(Wed) 01:57:27

★ 宜しくお願いします / 魑魅魍魎

点Oを中心とする半径1の円周上に異なる3点A,B,Cがある。
|V(OA)+V(OB)+V(OC)|=1　　　（Vはベクトルです）
ならば三角形ABCは直角三角形であることを示せ

という問題なのですが回答と違う方法で解いてみたので
添削宜しくお願い致します

与式を二乗し、まとめると
V(OA)･V(OB)+V(OB)･V(OC)+V(OC)･V(OA)=-1　･･････(1)
ここで
OAとOBの間の角をα
OBとOCの間の角をβ
と置くと
(1)式は
cosα+cosβ+cos(2π-(α+β))=-1
⇒
cosα+cosβ+cos(α+β)=-1　　･･････(2)
また
cosα+cosβ=2cos{(α+β)/2}cos{(α-β)/2}
cos(α+β)=2[cos{(α+β)/2}]^2-1
から
(2)式は
cos{(α+β)/2}cos{(α-β)/2}+[cos{(α+β)/2}]^2=0
cos{(α+β)/2}×[{cos{(α-β)/2}+cos{(α+β)/2}]=0
よって
cos{(α+β)/2}=0　　　･････････(3)
または
{cos{(α-β)/2}+cos{(α+β)/2}=0･････(4)

(3)からα+β=２πになるからABはO点を通るので三角形ABCは直角三角形である。

(4)を変形すると
cos(α/2)cos(β/2)=0
となるので
α=π　またはβ=π
となるので
BCまたはACはO点を通るので三角形ABCは直角三角形である。

No.4984 - 2009/02/01(Sun) 18:13:22

☆ Re: 宜しくお願いします / rtz

＞(3)からα+β=２π
πですね。
他はいいと思います。

あとはしょうもないですが、
＞回答
は解答が正しいですね、ただの誤変換だと思いますが。

No.4987 - 2009/02/01(Sun) 19:55:36

☆ Re: 宜しくお願いします / 魑魅魍魎

すみません、α+β=πでした。
あと、『解答』の部分も････

rtz様どうもありがとうございました！

No.4989 - 2009/02/01(Sun) 20:10:25

★ 数I / 匿名

(1)三角形ABCにおいて、sinA:sinB:sinC=3:5:7
　とするとき、cosA:cosB:cosCを求めよ。

(2)a=√2、b=2、B=45°の三角形ABCで
　 ∠Aの二等分線と辺BCとの交点をDとするとき、
　線分ADの長さを求めよ。

この2問がわかりませんでした。
解き方を教えていただきたいです。

No.4975 - 2009/01/31(Sat) 19:27:34

☆ Re: 数I / X

(1)
sinA:sinB:sinC=3:5:7
より
(sinA)/3=(sinB)/5=(sinC)/7=k
と置くことができます。
つまり
sinA=3k
sinB=5k
sinC=7k
∴△ABCの外接円の半径をRとして、正弦定理により
辺の長さをR,kを用いて表すと
AB=… (A)
BC=… (B)
CA=… (C)
(A)(B)(C)を余弦定理に使うと
cosA=…
cosB=…
cosC=…
ですので…。

No.4977 - 2009/02/01(Sun) 00:09:35

☆ Re: 数I / X

(2)
まず∠Bに注目した余弦定理を用いてcについての方程式を立てて
解きましょう。
次にADが∠Aの２等分線であることから
AB:CA=BD:CD
が成立します(図を描きましょう)のでこれからBDの長さを求めます(BD+CD=BCであることに注意)。
後は△ABDに対して余弦定理を使います。

No.4979 - 2009/02/01(Sun) 00:19:09

☆ Re: 数I / 匿名

詳しい説明ありがとうございます。
おかげさまで解くことができました！

本当にありがとうございました★

No.4983 - 2009/02/01(Sun) 17:46:54