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★ 図形の面積の問題です / rino
点A、点Bを中心とする半径６cmの２つの円がある。２つの円はお互いの中心を通るように交わっている。その交わった部分に、線分ABを直径とする円を描く。このとき、図の斜線部分の面積を求めなさい。ただし、円周率はπ

この問題は、先に重なっている部分を出すのでしょうか？全体から重なっている部分と白い円の面積を引くということなのでしょうか？正三角形を作るような気がするのですが…。教えてください。
No.7113 - 2009/08/02(Sun) 17:34:05
☆ Re: 図形の面積の問題です / DANDY　U
> この問題は、先に重なっている部分を出すのでしょうか？全体から重なっている部分と白い円の面積を引くということなのでしょうか？

そうですね、(２円の面積の和)−(２円の重なった部分の面積の和)−(白い円の面積)で求まります。

２円の交点をＣ,Ｄとすると△ABC,△ABDは正三角形になるから、∠CAD＝∠CBD＝120°
このことを(２円の重なった部分の面積の和)を求めるときに使います。
No.7117 - 2009/08/02(Sun) 21:58:25
☆ Re: 図形の面積の問題です / rino
ありがとうございます。解き方のイメージはできました。重なった部分ぼ面積は、半径６cm、中心角120度のおうぎ形の面積×２−対角線６cmと６√３cmのひし形の面積ををひけばいいのでしょうかね？
重なってる部分は、６×６×π×1/3×２−1/2×６×６√３＝24π−18√３
白い円は、３×３×π＝９π
斜線部分の面積は、６×６×π×２−(24π−18√３＋９π)
＝31π＋18√３
という感じで解くのでしょうか？
No.7176 - 2009/08/04(Tue) 20:34:21
★ 不等式 記述 / aki
こんにちは。
いつもありがとうございます。
今日もすみません宜しくお願いします。

http://q.upup.be/?azDLQWbVfZ
の問題ですが、(2)で使う不等式を
x−(x^3/6)まで絞り込みました。
その後の記述なんですが、x=√K/nを代入して…
と記述してよいのでしょうか？
答えでは
K=1､2…nのとき

という記述になっていたので気になっております。

数学の解答の記述に自信がないです。
お願いします。
No.7112 - 2009/08/02(Sun) 17:00:28
☆ Re: 不等式 記述 / ヨッシー
何をどう絞り込んだのか？
k=1,2･･･n という記述とはどういうものなのか？
書いていただけますか？
No.7129 - 2009/08/03(Mon) 10:58:31
☆ Re: 不等式 記述 / aki
絞り込みましたというのは特に意味がなく使える不等式を定められましたという意味です。
x−1/6x^3についてx=√K/nを代入して
√K/n−K√K/(6n^3)
と記述してもいいのでしょうか？
ということです。

このx=√K/nを代入して
という部分が
解答では

K=1､2…nのとき

と書いてあったので気になりました。
No.7133 - 2009/08/03(Mon) 11:31:49
☆ Re: 不等式 記述 / ヨッシー
(2) で (1) の不等式を使うという意味でしょうか？
それなら、どんどん使って、ｘに√k/n も代入してください。
ただし、ｘ＞０ であることを確認してからです。

で、そのあと、どうやって答えまで持っていきますか？

その筋道が正しければ、
>解答では
>K=1､2…nのとき
>と書いてあった
のは、気にする必要はありません。

ちなみに、
>解答では
>K=1､2…nのとき
のあと、どのように書いてますか？
No.7136 - 2009/08/03(Mon) 11:50:00
☆ Re: 不等式 記述 / aki
はい(1)の不等式を利用しました。
解答は
http://x.upup.be/?7N7ZeoTWqo
こんなかんじです。
私もその
K=1､2…nのとき
という記述以外は全く同じ風に解きました。

No.7138 - 2009/08/03(Mon) 13:23:57
☆ Re: 不等式 記述 / ヨッシー
確かに気になるところではありますが、
ここで重要なのは、上にも書きましたが、
ｘ＞０ であることです。
このことが、どこかで押さえられていれば、ＯＫです。

たとえば、ｎ、ｋともに正の数なので、というような
言い方でも良いと思います。
No.7141 - 2009/08/03(Mon) 14:03:31
☆ Re: 不等式 記述 / aki
わかりました、大事なのはx>0なんですね。
ありがとうございました。

No.7145 - 2009/08/03(Mon) 14:58:50
★ 浪人生です / 沢民
nを自然数とし、In=∫[1〜e](logx)^ndx
と置く。
In<=e/n+1を示せ。

＜解答＞
部分積分法によりIn+1=e-(n+1)In
1<=x<=eにおいて(logx)^(n+1)>=0なので
両辺[1〜e]で積分して
In+1>=0



この等号は成り立たないはずなのに
こう書いてもよいのでしょうか？
私はIn+1>0
と書きました。
お願いします。
No.7086 - 2009/08/01(Sat) 23:36:51
☆ Re: 浪人生です / angel
＞ この等号は成り立たないはずなのに
＞ こう書いてもよいのでしょうか？

問題ありません。
「区間[a,b]でf(x)≧0 あれば ∫[a,b]f(x)dx≧0」という命題は真です。これに対して、a=1,b=e,f(x)=(logx)^(n+1)を適用したまでです。

A≧B という形を見て、「AとBが等しい時が必ずどこかである」と考えているようだと危ないですよ。
「AとBが等しい時もあるかもしれないが、なくても良い」が正しいです。
そのため、A＞B が明らかに分かっているとしても、A≧B を代わりに使ってなんら問題ありません。( 勿論、問題を解くのに十分であれば、ですが )
「A＞B⇒A≧B」という命題は真なのです。
No.7092 - 2009/08/02(Sun) 00:25:42
☆ Re: 浪人生です / 沢民
ありがとうございます。

相加・相乗で等号が成り立たない場合が
でてくるのもこのことと関係ありますか？
No.7116 - 2009/08/02(Sun) 20:14:21
☆ Re: 浪人生です / ヨッシー
「このこと」が何を指すかわかりませんが、
あり得ないことではありません。

ただ、相加相乗の場合、「等号が成り立つときが最大値」
のような使い方が多いので、成り立たない場合は、あまり
多くないと思います。
No.7130 - 2009/08/03(Mon) 11:14:05
☆ Re: 浪人生です / 沢民
ありがとうございました。
No.7161 - 2009/08/03(Mon) 23:40:48
★ 重複した面積 / √
よろしくお願い致します。　算数です。

円周率は３．１４で計算します。

（図が書けないので、文章だけですみません）
半径１ｃｍの３つの円が、次のように重なっています。
【重なり方】
互いに、他の２つの円の中心を通るように重なっています。
この時、
２重（のみ）に重なっている面積の合計を求める問題です。
（真ん中にできたルーローの三角形みたいなエリアを除く）

答えは１．５７ｃ?uです。
よろしくお願い致します。
No.7084 - 2009/08/01(Sat) 23:24:18
☆ Re: 重複した面積 / angel
↓こういうことでしょうかね。
No.7088 - 2009/08/02(Sun) 00:02:47
☆ Re: 重複した面積 / √
ａｎｇｅｌさん

早速、有り難うございます。
私の書き方が、不適切で申し訳ありませんでした。

ａｎｇｅｌさんの書かれた図の３つのうち、
左上の赤色の面積の合計を教えて下さい。

よろしくお願い致します。
No.7089 - 2009/08/02(Sun) 00:11:46
☆ Re: 重複した面積 / ヨッシー
angel さんの図で、もう答えが出ているのですが、
（扇形３つになっている）
私も図を描いたので、載せておきます。

No.7090 - 2009/08/02(Sun) 00:15:57
☆ Re: 重複した面積 / √
ａｎｇｅｌさん
すみません。図は３つとも同じ面積でしたね。
大変、失礼致しました。

ヨッシーさん
有り難うございました。
ちょうど半円の面積になるのですね。
No.7091 - 2009/08/02(Sun) 00:25:18
☆ Re: 重複した面積 / √
ａｎｇｅｌさん　ヨッシーさん
先程は、有り難うございました。

同じ円が３つの場合（上記）の考え方は、
分ったのですが（中心角が６０度の扇形３コ分）

では、
半径が同じ２つの円が、互いに他方の円の中心を通るように
重なっている時、重なっている部分の面積の出し方が分らないので教えてください。

（なんか最近、私ボケまくってます。すみません）
No.7094 - 2009/08/02(Sun) 00:59:13
☆ Re: 重複した面積 / angel
今度は正三角形の面積 ( 高さ ) を知っておく必要があります。

同じ円が3つの場合に、爪の先のような形を移動させて、面積の計算を分かり易くしていましたが、
　(爪の先のような形の面積)=(中心角60°の扇形の面積)-(正三角形の面積)
という関係があります。

円2つが重なっている場合、重なっている部分は、
　(中心角60°の扇形)×2 + (爪の先のような形)×2
ですから、上で挙げた関係を考えると、
　(中心角60°の扇形)×4 - (正三角形)×2
となります。

で、正三角形についてですが、
　(正三角形の高さ) = (正三角形の辺)×√3/2 ≒ (正三角形の辺)×0.866
です。
これより、
　(正三角形の面積) = (正三角形の辺)×(正三角形の辺)×√3/4
　≒(正三角形の辺)×(正三角形の辺)×0.433
となります。

算数では、建前上√3という数は出てこないはずなので、0.866や0.433といった数値が問題の中で説明されるはずです。
No.7096 - 2009/08/02(Sun) 01:16:57
☆ Re: 重複した面積 / √
ａｎｇｅｌさん
夕べは、遅くまで有り難うございました。

円が２つの場合も、理解できました。
（中心角６０度の扇形２コ分）＋（かまぼこ型２コ分）
ということですね。

円が、
３つの時よりも、２つの時の方が簡単なのかと思っていましたが、３つの時の方が計算が楽なのですね。
（中心角６０度の扇形３コ分だから、ちょうど半円の面積）


余談ですが（錯視？）
夕べａｎｇｅｌさんが書いてくださった３つの図を矢印通りに見ていくと、最後の図が波を打っているいるように見えてしまって、一瞬、扇形だと気づきませんでした。
これって錯視？　大ボケの私だけかしら？


私は、高校卒業以来、数学からは遠ざかってしまって長い年月がたちました。
なので、時々、ここで勉強させて頂いております。
また、突然、突拍子もない質問をすることがあると思いますが、どうぞ、よろしくお願い致します。
No.7100 - 2009/08/02(Sun) 07:41:21
★ 漸化式 / さつき
連立漸化式
A(n+1)=An-Bn
B(n+1)=2An+4Bn

を解く際に
４ｃ−１＝ｃ（２ｃ＋１）という式がどこから来るのか分かりません。
No.7081 - 2009/08/01(Sat) 20:36:29
☆ Re: 漸化式 / ヨッシー
まずは、こちらをご覧ください。

その結果、４ｃ−１＝ｃ（２ｃ＋１）が出てくるかどうかは
まだ確認していません。
No.7082 - 2009/08/01(Sat) 20:54:04
☆ Re: 漸化式 / さつき
こちら一応見ましたが、まだわかりません。。
（Ａｎ＋１）＋ｃ（Ｂｎ＋１）＝（２ｃ＋１）Ａｎ＋（４ｃ−１）Ｂｎという式が関係してるはずなのですが・・・
No.7099 - 2009/08/02(Sun) 06:13:58
☆ Re: 漸化式 / ヨッシー
その式に限って言うなら、
A(n+1)=An-Bn に B(n+1)=2An+4Bn をｃ倍したものを足して、
　A(n+1)+cB(n+1)=(2c+1)An+(4c-1)Bn
これが、
　A(n+1)+cB(n+1)=(2c+1)(An+cBn)
と書けたなら、An+cBn は、公比2c+1 の等比数列になります。
展開して比較すると Bn の係数において、
　c(2c+1)＝4c-1
が必要条件になります。
　
No.7101 - 2009/08/02(Sun) 08:15:40
☆ Re: 漸化式 / さつき
c(2c+1)＝4c-1
が必要条件になります

＞余談かもしれませんが、これを満たす実数ｃが存在すれば十分ということでいいのでしょうか。ヨッシーさんもこの特性方程式を計算用紙のすみなどでやっているのですか。
No.7102 - 2009/08/02(Sun) 09:12:57
☆ Re: 漸化式 / ヨッシー
実数ｃが存在するのに、漸化式が解けないということが、
あるかというと、そういう事例は知りませんが、
だから十分かどうかは、わかりません。
特に、ｃが重根になったとき（これも、そういう事例が
あるか知りませんが)は、注意が必要です。
そうでないときは、たいてい解けるでしょう。

特性方程式と思って、式を立てたことはありませんし、
そういったものは、用紙の隅でなく、解答として書きます。
No.7131 - 2009/08/03(Mon) 11:24:29
★ (No Subject) / 高３
Σ（k=1〜n)k^mの求め方を教えてください。帰納法、二項定理を使うようなのですが、分かりません。どなたか教えてください。
No.7079 - 2009/08/01(Sat) 19:14:33
☆ Re: / angel
m の具体的な指定はないのでしょうか? まさか任意の m についてですか?

そうすると、
　1^1+2^1+3^1+…+n^1=1/2・n(n+1)
　1^2+2^2+3^2+…+n^2=1/6・n(n+1)(2n+1)
　1^3+2^3+3^3+…+n^3=1/4・n^2・(n+1)^2
　…
を全部もとめるような話になってしまうのですが、そういう問題なのでしょうか?
No.7093 - 2009/08/02(Sun) 00:50:59
★ 面積 / aki
こんばんは。
すみませんが教えて下さい。
y=x^2/3
直線x=8 及びx軸によって囲まれる部分の面積が関数y=ax^3(a>0)のグラフで2等分されるとき定数aの値を求めよ

まずy=ax^3が(8､2)を通る時を考えるとa=1/256 になりました。
このとき
∫[0→8]x^2/256 dx=4なので全体の面積12の半分より少ないため、曲線二つの交点は8どうしてでしょうか。
簡単なことをお聞きして本当に申し訳ありませんがお願いします。
No.7078 - 2009/08/01(Sat) 18:26:09
☆ Re: 面積 / angel
なんか、色々計算が合いません。
「y=x^2/3」というのは、y=x^(2/3) のことですよね。
そうすると添付した図のような話になっていると思うのですが…。

問題と計算結果を確かめてみて下さい。
No.7098 - 2009/08/02(Sun) 01:59:53
☆ Re: 面積 / aki
すみませんy=x^(1/3)でした(>_<)
y=3√xのことです。
申し訳ありません！
お願いします(>_<)
No.7103 - 2009/08/02(Sun) 13:30:08
☆ Re: 面積 / angel
ああ、y=x^(1/3) ですね。
確かに、そうすると他の計算結果は全てあっていますね。

…そうすると、先に挙げた図と大して変わらないのですが、添付の図のような状況になっていますから、確かめてみて下さい。

※ちゃんと、こういうグラフを描いて考えていますよね? ( 図をこちらに見せる必要はありませんが )
No.7119 - 2009/08/02(Sun) 22:29:20
☆ Re: 面積 / aki
そうですね、なんだか色々勘違いをしていたようです。
パニックにならないよう頑張ります。
簡単なことを聞いてごめんなさいありがとうございました(>_<)
No.7139 - 2009/08/03(Mon) 13:31:26
★ 合同式 / 桂
１９ｘ−６ｙ＝１の整数解を合同式で求めたいのですが。いきなりｘ≡１（mod6)となるのが分かりません。なぜそうなるのか教えてください。
No.7066 - 2009/08/01(Sat) 15:27:40
☆ Re: 合同式 / angel
19x-6y=1
⇒ 19x-6y≡1 (mod 6)
⇔ 1・x - 0・y ≡ 1(mod 6)　　(∵19≡1 (mod 6), 6≡0 (mod 6))
⇔ x≡1 (mod 6)

ということで、x≡1 (mod 6) が必要条件であることが分かります。
No.7068 - 2009/08/01(Sat) 15:42:31
☆ Re: 合同式 / 桂
必要条件ということは
ｘ≡１よりｘ＝６ｋ＋１（ｋは整数）
と答えを書くのはまだ早いということですか？
また、十分性を確認する方法はあるのですか？
No.7665 - 2009/08/29(Sat) 00:13:53
★ 二次関数 / 小次郎
関数 f(x)=(x^2-4x)^2-10(x^2-4x)+20について

(1)t=x^2-4xとおくとき、tのとりうる値の範囲は？

(2)f(x)の最小値はMでありそのxの値はGである。MとGを答えよ。

解答解法の記載をよろしくお願いします。
No.7061 - 2009/08/01(Sat) 13:21:34
☆ Re: 二次関数 / ヨッシー
(1)
ｔ＝(x-2)^2-4 より t≧-4　等号は x=2 のとき。

(2)
　f(x)＝t^2-10t+20
と書けるので、ｔについての2次関数の、 t≧-4 における
最小値を求める問題となります。
　f(x)＝(t-5)^2-5
より、ｔ＝５ のときに、最小値 -5 をとります。(M=5)
ｔ＝５ となるのは、
　x^2-4x=5
より
　(x-5)(x+1)=0
　x=-1 または x=5　(G=-1 または G=5)
No.7070 - 2009/08/01(Sat) 16:58:43
☆ Re: 二次関数 / 小次郎
理解できました！！
ありがとうございます。
No.7105 - 2009/08/02(Sun) 15:18:32
★ 体積 / aki
こんばんは。
すみませんが質問お願いします。

y=x^2−ax(a>0)とx軸で囲まれた図形をx軸の周りに一回転してできる立体の体積をV1
y軸の周りに一回転してできる立体の体積をV2とする。
V1=V2となるように定数aを求めよ

このy軸回転の方がどう考えるかわかりません。
簡単なことを聞いて申し訳ありませんが教えて下さい。
No.7058 - 2009/07/31(Fri) 22:00:37
☆ Re: 体積 / angel
回転させたイメージを描くことです。

y軸を軸として、軸に垂直な切断面を考えることになります。
図のように、y=t で切った場合、半径βの円から半径αの円を取り除いた形が切断面となります。
なお、α,βは、y=t, y=x^2-ax の xの解 ( 早い話、二次方程式 x^2-ax-t=0 の解 ) であり、α＜βであることに注意してください。
※敢えてα(t), β(t) とは書きませんが、α,βはtの関数です

後は、β-α=√( (β-α)^2 )=√( (α+β)^2-4αβ ) であることに注意すれば、切断面の面積を α,βの対称式で表すことができ、そこから t の式として表せます。
※二次方程式を直接解いて値を求めても良いです。

最後に、定積分 ∫[tの範囲] (切断面の面積)dt を計算すれば答えになります。
No.7067 - 2009/08/01(Sat) 15:38:01
☆ Re: 体積 / aki
やっとできました！
切断面を考えるんですね。ありがとうございました。
No.7071 - 2009/08/01(Sat) 17:03:55
★ 不等式 / aki
こんにちは。
質問お願いします。

K>0のとき
∫[K〜K＋1]1/xdx <1/K
を示せ
これを考える際、まず普通に右辺ひく左辺をf(x)とおいて考えようと思いましたが、うまくいきそうもありませんでした。
答えをみたら区分求積的な考え方?をするみたいです。
1/x≦1/K にインテグラルをつけて示すそうです。このとき等号がついているのに、x=Kのときのみ等号成立なので解答では等号をとれるそうなのですが、これがわかりませんでした。
どなたか教えて下さい。
No.7049 - 2009/07/31(Fri) 15:40:10
☆ Re: 不等式 / 七
ｘはK〜K＋1なので
つねにｘ＝ｋ とはいえないからだと思いますが…
No.7054 - 2009/07/31(Fri) 17:28:56
☆ Re: 不等式 / aki
あ、そうですね…
ありがとうございます…

また、右辺ひく左辺をf(x)と置く方法ではできないのでしょうか？
No.7056 - 2009/07/31(Fri) 17:52:51
☆ Re: 不等式 / X
xは左辺の定積分に隠れているので変数にはできません。
kを変数と見て
f(k)=∫[k→k+1]dx/x-1/k (A)
と置いてf(k)<0を証明する、という方針であればできます。

(A)より
f'(k)={1/(k+1)-1/k}+1/k^2
={k^2-k(k+1)+(k+1)}{(k+1)k^2}
=1/{(k+1)k^2}
∴k>0よりf'(k)>0ゆえ
f(k)は単調増加 (B)
更に
f(k)=log(1+1/k)-1/k
∴lim[k→∞]f(k)=0 (C)
(B)(C)よりk>0のときf(k)<0
No.7057 - 2009/07/31(Fri) 20:34:15
☆ Re: 不等式 / aki
(A)は
f(K)=1/K＋log|K/K＋1|
でしょうか？
それでやると
f'(K)=−1/K^2(K＋1)
で単調減少になってしまったのですが(>_<)
すみませんまた教えて下さい(>_<)
No.7059 - 2009/07/31(Fri) 22:08:33
☆ Re: 不等式 / angel
単調減少であっています。
f'(k)＜0 かつ lim[k→+∞] f(k)=0 のため f(k)＞0 です。

つまり、kの増加につれ、どんどん f(k) の値が減っていっても、0 までは到達しない、ということで f(k) が常に 0 よりも大きくなっている事を説明しているわけです。

※参考として、g(t)=f(1/t) と置けば、lim[t→+0] g(t)=0 かつ g'(t)＞0 (単調増加) ということで、前にあった質問と同じパターンに持ち込めます。
No.7065 - 2009/08/01(Sat) 14:57:32
☆ Re: 不等式 / aki
わかりました、ありがとうございます。
ただ極限だけわからなかったのですがlogK/(K＋1)の極限が0にならなくて、log{1＋−1/(K＋1)}と考えるとlog0に近付くので−∞になってしまいます。

教えて下さい(>_<)
No.7072 - 2009/08/01(Sat) 17:18:33
☆ Re: 不等式 / angel
lim[k→+0] log(k/(k+1)) ではないですよ。
lim[k→+∞] log(k/(k+1)) ですよ。
XさんのNo.7057や、私のNo.7065の説明を再度読み返してください。( No.7065の「※参考として…」の部分は取り敢えず置いておいてください )

そうそう、忘れていました。
Xさんは、f(k)=(元の不等式の左辺)-(元の不等式の右辺) でやっていますから、f(k)は単調増加、f(k)＜0 という話になっていますが、
akiさんは丁度逆でやっていますから、f(k)は単調減少、f(k)＞0 という話になっています。
どちらでやっても良いですが、そこの所を読み替えてください。
No.7095 - 2009/08/02(Sun) 01:00:22
☆ Re: 不等式 / aki
わかりましたできました…
ありがとうございます。

ちなみに単調減少でやった場合はlim[x→0]f(x)は一応示さなくてよいのでしょうか？
単調減少がちゃんとずっと続くかが気になったのですが…
ちなみにやってみると∞＋−∞になるでしょうか？答えがうまく求められませんでした…

すみませんがそこだけお願いします…
No.7106 - 2009/08/02(Sun) 15:18:42
☆ Re: 不等式 / X
y=f(x)のグラフをイメージしてみて下さい。
f(x)が単調減少で、かつ
lim[x→∞]f(x)=0
の場合、x>0においてy=f(x)のグラフはx軸の上側にあります。
このとき
lim[x→0]f(x) (A)
は正になります(負だと矛盾します)が、その値が
f(x)の符号に影響することはありません。
ということで(A)の計算は必要ありません。
No.7124 - 2009/08/02(Sun) 23:36:02
☆ Re: 不等式 / aki
わかりました、xさんありがとうございました。
No.7146 - 2009/08/03(Mon) 15:08:03
★ お願いします。 / 悠

初めまして。自分なりに解いたのですが、答えが合いません・・・教えてください。

点Oは原点、曲線lは関数y=ax^2（a>0）を表している。点P、Qはともに曲線ｌ上にあり、x座標の値をそれぞれp,qとする。ただし、p,qはともに正の数であり、p<qとする。
　
q=p+2とする。xがpからqまで増加するときの変化の割合が5aであるとき、pの値を求めなさい。


このとき、((a(p+2)^2)-(ap^2))/((p+2）-p)=5aという式に当てはめるのではないのでしょうか？

ちなみに、答えはp=3/2です。

よろしくお願いします。

（中3）
　
No.7048 - 2009/07/31(Fri) 14:44:01
☆ Re: お願いします。 / 七
> このとき、((a(p+2)^2)-(ap^2))/((p+2）-p)=5aという式に当てはめるのではないのでしょうか？

そうです。答えはp=3/2です。
No.7055 - 2009/07/31(Fri) 17:38:10
☆ Re: お願いします。 / 悠
ありがとうございました。

単純なケアレスミスでした；；
No.7060 - 2009/08/01(Sat) 07:27:30
★ 何度もすみません / rokku
xの二次方程式ｘ＾２−２ax＋ａ＾２−２a−１＝０が解をもつとき、その解のとりうる値の範囲を求めよ

何度もすみません
教えてください、お願いします
No.7036 - 2009/07/30(Thu) 21:11:27
☆ Re: 何度もすみません / X
問題の２次方程式を(A)とします。

まず(A)の解の判別式をDとすると(A)は実数解を持つので
D/4=a^2-(a^2-2a-1)≧0
∴a≦1/2 (B)
よって求めるxに対する条件は(A)をaの方程式をしてみたときに
(B)の範囲に少なくとも一つ解を持つ条件ということになります。
そこで
f(a)=x^2-2ax+a^2-2a-1
つまり
f(a)=a^2-2(x+1)a+x^2-1
と置いて、横軸にa、縦軸にf(a)を取ったグラフを描いて
その条件を求めてみましょう。
No.7037 - 2009/07/30(Thu) 21:29:53
☆ Re: 何度もすみません / rokku
Xさん、虚数解はどうなるのでしょうか？
No.7039 - 2009/07/30(Thu) 21:32:48
☆ Re: 何度もすみません / X
問題文中に
その解のとりうる値の範囲を求めよ
とあることから、問題の二次方程式は実数解を持つということになります。
(複素数に大小関係は定義されていません)
No.7041 - 2009/07/30(Thu) 21:35:28
☆ Re: 何度もすみません / rokku
そうなんですか！ありがとうございました
No.7042 - 2009/07/30(Thu) 21:37:36
★ また質問があります / rokku
3点Ｏ（０、０）、Ａ（１、０）、Ｂ（０、１）、Ｃ（１、１）に対して、点Ｐ（α、β）が次の図形の周と内部を動くとき点Ｑ（α＋β、αβ）の動く範囲をそれぞれ図示せよ。
（１）三角形ＯＡＢ（２）四角形ＯＡＣＢ
教えて下さい、お願いします
(高校 2 年)
No.7033 - 2009/07/30(Thu) 19:29:35
☆ Re: また質問があります / ヨッシー
線分ＯＡ上の点の座標は、(t,0) (0≦t≦1) と書けるので、Ｑの座標は、(t,0)
線分ＯＢ上の点の座標は、(0,t) (0≦t≦1) と書けるので、Ｑの座標は、(t,0)
線分ＡＢ上の点の座標は、(t,1-t) (0≦t≦1) と書けるので、Ｑの座標は、(1,t-t^2)

さらに、
線分ＡＣ上の点の座標は、(1,t) (0≦t≦1) と書けるので、Ｑの座標は、(t+1,t)
線分ＢＣ上の点の座標は、(t,1) (0≦t≦1) と書けるので、Ｑの座標は、(t+1,t)

以上より、点Ｐが
線分ＯＡ上を動くとき、点Ｑは線分ＯＡ上を動く。
線分ＯＢ上を動くとき、点Ｑは線分ＯＡ上を動く。
線分ＡＢ上を動くとき、点Ｑは線分ＡＤ上を動く。ただし、Ｄ(1,1/4)
線分ＡＣ上を動くとき、点Ｑは線分ＡＥ上を動く。ただし、Ｅ(2,1)
線分ＢＣ上を動くとき、点Ｑは線分ＡＥ上を動く。ただし、Ｅ(2,1)


No.7034 - 2009/07/30(Thu) 20:25:31
☆ Re: また質問があります / rokku
すみません。点Eというのは自分で置くのでしょうか？
No.7035 - 2009/07/30(Thu) 20:42:51
☆ Re: また質問があります / ヨッシー
点Ｄもおきますよ。
別に、ＤとかＥは設定しなくても良いのですが、
点Ａと点(1,1/4) を結んだ線分上を動く。よりは、
線分ＡＤ上を動く。とした方が、表現がそろうので、
そうしただけです。
No.7038 - 2009/07/30(Thu) 21:31:17
☆ Re: また質問があります / rokku
ありがとうございました
No.7040 - 2009/07/30(Thu) 21:33:27
☆ Re: また質問があります / angel
横から失礼します。
「次の図形の周と **内部** を動くとき」とありますから、答は直線/曲線ではなく、直線/曲線で囲まれた領域になると思うのですが…?
No.7045 - 2009/07/31(Fri) 00:14:44
☆ Re: また質問があります / ヨッシー
あ、そうですね。
では、やり直し(^^;

(1)△ＯＡＢの周および内部の点の座標は、
　(s,t) (0≦s, 0≦t, s+t≦1)
と書けるので、Ｑの座標は
　(s+t, st)
　x=s+t, y=st と置くと、相加相乗平均より
　√st≦(s+t)/2
　√ｙ≦x/2
　y≦x^2/4

図の添付が１個しか出来ないので、(2) は↓次。
No.7046 - 2009/07/31(Fri) 08:31:46
☆ Re: また質問があります / ヨッシー
(2)
四角形ＯＡＣＢの内部の点の座標は、
　(s,t) (0≦s≦1, 0≦t≦1)
と書けるので、Ｑの座標(s+t, st)は、
ｙ座標の最大値は、同じく　y≦x^2/4 ですが、
最小値は、0≦x≦1 では、ｙ＝０
1≦x≦2 では、上記の ｙ＝ｘ−１となります。
No.7047 - 2009/07/31(Fri) 09:07:49
★ (No Subject) / 夕暮れ
コサインθ＝（１＋√５）/4からθ＝π/5を求めるのに３辺を１＋ｘと１と１＋ｘとした二等辺三角形を使うみたいなのですが、この方法がなぜθ＝π/5のときだけできるのかがわかりません。どうか教えてください。
No.7029 - 2009/07/30(Thu) 06:35:30
☆ Re: / ヨッシー
等辺をはさむ角が、36°のとき、他の角は、72°＝36°の2倍
になるので、図のように、72°の２等分線を書くと、
△ＡＢＣと△ＢＣＤが相似な二等辺三角形になり、
ＢＣ＝１、ＤＣ＝ｘ とすると
ＢＣ＝ＢＤ＝ＡＤ＝１　より、ＡＢ＝ＡＣ＝１＋ｘ
となります。
こういう図が描けるのは、３つの角の比が
　１：２：２＝36°：72°：72°
のときだけです。

それにしても、cosθ＝(1+√5)/4 から、いきなりこの図を描くのは、
無理でしょう。
まるで、最初から答えを知っているかのようです。

少し考察が必要ですね。
No.7031 - 2009/07/30(Thu) 08:24:10
☆ Re: / ヨッシー
これも、いささか答えを知ってからの解答ですが、
cosθ＝(1+√5)/4 に対して、
cos2θ＝2cos^2θ−１＝(√5-1)/4
cos3θ＝4cos^3θ−3cosθ＝(1-√5)/4
ここまでで
　１＞cosθ＞cos2θ＞０＞cos3θ
　cos2θ＝-cos3θ
の関係があることがわかります。
θを　0≦θ≦π/2 の範囲の角とすると、図のように
2θと3θがπ/2 をはさんで対称な位置にあります。
よって、(2θ+3θ)/2＝π/2 となり、
　θ＝π/5
となります。
No.7032 - 2009/07/30(Thu) 13:26:07
★ (No Subject) / 夕暮れ
平面状にｙ＝１/xを考える。あ、ｂ、ｃ、ｄをｄ＜ｃ＜０＜ｂ＜aを満たす数とし曲線上の四点Ｐ，Ｑ，Ｒ，Ｓをそれぞれｘ座標がa,b,c,dであるような点としたとき４角形ＰＱＳＲが長方形になっているとする。
１）ｂ、ｃ、ｄをaを用いて表せ。

について。４角形ＰＱＳＲが長方形である⇔ベクトルＰＱ＝ベクトルＲＳ、かつベクトルＰＱ垂直ベクトルＰＲと回答にはあるのですが、それだけで長方形といえるのでしょうか。

ちなみに私はベクトルＰＱ垂直ベクトルＰＲ、べくとるＰＲ垂直ベクトルＲＳ、ベクトルＲＳ垂直ベクトルＳＱ、ベクトルＳＱ垂直ベクトルＰＱとしましたがうまくいきませんでした。
No.7028 - 2009/07/30(Thu) 05:08:26
☆ Re: / rtz
＞それだけで長方形といえるのでしょうか
言えます。

↑PQ＝↑RS⇔PQ//RS かつ PQ＝RS
つまりこの時点で□PQSRが平行四辺形であることが分かりますので、
あとはどこかの垂直条件を付加すれば長方形になりますね。


＞垂直4つ
↑PQ⊥↑PR
⇔(b-a)(c-a)＋{(1/b)-(1/a)}{(1/c)-(1/a)}＝0
⇔a2bc＝-1
同様にb2ad＝c2da＝d2bc＝-1

(abcd)4
＝(a2bc)(b2ad)(c2da)(d2bc)
＝1
⇔abcd＝1(a,b＞0、c,d＜0)

ここから出せますよ。
No.7030 - 2009/07/30(Thu) 06:52:30
★ 不等 / aki
こんばんは。
質問お願いしたいです。
0≦x≦1/3のとき
1＋x^2≦1/(1−x^2)≦1＋9x^2/8
が成り立つことを示せ
これがさっぱり何から考え始め、手を付ければいいかわかりませんでした、本当に悲しくなります。

なにをどう考え始めればいいのか教えて下さい。
No.7020 - 2009/07/29(Wed) 23:43:56
☆ Re: 不等 / angel
いや、まあ、やり方は色々です。
形として、「f(x)≦g(x)≦h(x) を示せ」といわれているので、
「f(x)≦g(x)を示す」「g(x)≦h(x)を示す」という2種類の問題が同時に出たのと同じことです。

最近微分の問題をやっているようなので、微分を使って増減を調べても良いです。
また、1/(1-x^2) に着目すると、分母が正なので、分母を払って ( 全体に (1-x^2) をかけて ) しまえば、形がわかり易くなりますね。
※更に、x^2 ばかり出てくるので、y=x^2 とでも置いて y のみの形に置き換えれば…

色々試す内に方針が定まる、というのも良くある話なので、まずは計算してみる事です。
※何も計算を試さずに解法が見える人は、そうなかなかいないので…
No.7022 - 2009/07/29(Wed) 23:57:38
☆ Re: 不等 / aki
そうですね、わかりました！
なんだか難しいことを考えてしまっていましたが、普通に二つの式を作って考えるのもできるんですよね。
パニクってしまいます。
ありがとうございました(>_<)
No.7050 - 2009/07/31(Fri) 15:51:04
★ 中二です。 / かたまん
△ABDと△ACEはともに正三角形である。角Xの大きさを求めよ。


分からないんで説明付きで教えてください。
お願いします。
No.7014 - 2009/07/29(Wed) 22:55:32
☆ Re: 中二です。 / ヨッシー

△ＡＥＢと△ＡＣＤは合同です。
これが、何度回転すればお互いに重なるかを考えれば、
その角が求める角度です。
No.7018 - 2009/07/29(Wed) 23:39:27
☆ Re: 中二です。 / angel
正三角形があるおかげで、至る所に同じ長さ、同じ角度(60°)が現れるので、合同な図形ができているものです。それを見つけるのが第一歩。
今回は、△ADC≡△ABE ちょうど△ADCを??°回転させると△ABEに移る、つまりDCとBEは??°の角をなしているので、x=??°と分かります。( これはヨッシーさんの説明と同じです )

この説明が気持ち悪ければ、DCとBEの交点をXとでも置いて、□ADXEに着目してください。△ADC≡△ABEを利用すれば、内角の和の計算から、∠DXE を求めることができます。
そこから、x=180°-∠DXE でも良いです。
No.7019 - 2009/07/29(Wed) 23:42:49
★ 軌跡 / rokku
放物線y＝ａｘ＾２（ａ≠０）上を点Ｐ、Ｑが
∠ＰＯＱ＝９０°を満たしながら動くとき、線分ＰＱの中点Ｒはどのような曲線を描くか、その軌跡を求めよ。ただし、Ｏは原点とする。
　　
この問題を教えて下さい。おねがいします。
No.7011 - 2009/07/29(Wed) 20:06:33
☆ Re: 軌跡 / rokku
高２です
No.7012 - 2009/07/29(Wed) 21:04:15
☆ Re: 軌跡 / ヨッシー
Ｐの座標を(ｔ，ａｔ2) とすると、ＯＰの傾きは
ａｔ であるので、それと直交するＯＱの傾きは -1/at
よって、直線ＯＱの式 ｙ＝−ｘ/ａｔ を　ｙ＝ａｘ2
に代入して、
　ａｘ2＋ｘ/ａｔ＝０
　ｘ(ａｘ＋１/ａｔ)＝０
よって、Ｑの座標は(-1/ａ2ｔ，1/ａ3ｔ2)
ＰＱの中点Ｒの座標は、
　((ｔ−1/ａ2ｔ)/2，(ａｔ2＋1/ａ3ｔ2)/2)
　＝((ａ2ｔ2−1)/２ａ2ｔ，(ａ4ｔ4＋1)/２ａ3ｔ2)
ｘ＝(ａ2ｔ2−1)/２ａ2ｔ
ｙ＝(ａ4ｔ4＋1)/２ａ3ｔ2
として、ｔを消去して、ｙ＝２ａｘ2＋1/a
となります。
No.7016 - 2009/07/29(Wed) 23:28:55
☆ 別解 / angel
P(α,aα^2), Q(β,aβ^2) ( α≠β、α≠0、β≠0 ) というように置くと、P,Qの扱いが対等になることで、結果α,βの対称式を使ったわかり易い計算もできます。

OP,OQの傾きはそれぞれ aα, aβ のため、OP⊥OQ から (aα)(aβ)=-1
すなわち、αβ=-1/a^2
PQの中点Rを(t,s)と置くと、t=(α+β)/2, s=(aα^2+aβ^2)/2
これより、
　α+β=2t
　s=a/2・(α^2+β^2)=a/2・( (α+β)^2-2αβ ) = 2at^2+1/a
この時点で、軌跡が y=2ax^2+1/a であることが分かります。

最後に、t の範囲ですが、α,βがuの2次方程式 u^2-2tu-1/a^2=0 の解となることから考えます。
この方程式は、t の値に関わらず、必ず正・負の実数解を持ちますから、裏を返せば t は任意の実数値を取りえます。
ということで、めでたく、軌跡は y=2ax^2+1/a の全体であることが分かりました。
No.7044 - 2009/07/30(Thu) 23:40:03
★ 高校三年の問題です！教えてください！ / monta
問題：周囲が一定の扇形の面積を最大にするには、中心角をいくらにすればよいか求めよ。
答えは、２πとわかっているのですが、詳しい解答がわかりません。
教えてください。
できれば、わかりやすく解説してくれるとありがたいです。
よろしくお願いします。
No.7007 - 2009/07/29(Wed) 14:07:35
☆ Re: 高校三年の問題です！教えてください！ / ヨッシー
周囲の長さをＬとします。
半径をｒ(０＜ｒ＜Ｌ/(２＋２π)) として、面積Ｓを計算すると、
弧の長さは、Ｌ−２ｒ なので
　Ｓ＝(1/2)ｒ(Ｌ−２ｒ)
　　＝−ｒ^2＋(L/2)ｒ
　　＝−(ｒ−L/4)^2＋L^2/16
Ｓの最大値は、ｒ＝L/4 のとき L^2/16。
このとき、弧の長さは、
　Ｌ−2L/4＝Ｌ／２
中心角は、Ｌ／２÷ｒ＝２

中心角２πだと、全円ということになります。
このとき、半径にあたる部分の長さは０と考えると、
半径は　Ｌ/２π　面積は、π(Ｌ/２π)^2＝Ｌ^2/４π＞L^2/16
で、確かにこちらのほうが面積は大きいですが、こういう
趣旨の問題なのでしょうか？
No.7008 - 2009/07/29(Wed) 14:33:08
☆ Re: 高校三年の問題です！教えてください！ / monta
わかりやすい解説ありがとうございました。
No.7009 - 2009/07/29(Wed) 14:56:21
☆ Re: 高校三年の問題です！教えてください！ / ヨッシー
あれ？
結局、答えは、２なのか２πなのかどっちでしょう？
No.7010 - 2009/07/29(Wed) 15:51:44
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