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★ 軌跡 / rokku
放物線y＝ａｘ＾２（ａ≠０）上を点Ｐ、Ｑが
∠ＰＯＱ＝９０°を満たしながら動くとき、線分ＰＱの中点Ｒはどのような曲線を描くか、その軌跡を求めよ。ただし、Ｏは原点とする。
　　
この問題を教えて下さい。おねがいします。
No.7011 - 2009/07/29(Wed) 20:06:33
☆ Re: 軌跡 / rokku
高２です
No.7012 - 2009/07/29(Wed) 21:04:15
☆ Re: 軌跡 / ヨッシー
Ｐの座標を(ｔ，ａｔ2) とすると、ＯＰの傾きは
ａｔ であるので、それと直交するＯＱの傾きは -1/at
よって、直線ＯＱの式 ｙ＝−ｘ/ａｔ を　ｙ＝ａｘ2
に代入して、
　ａｘ2＋ｘ/ａｔ＝０
　ｘ(ａｘ＋１/ａｔ)＝０
よって、Ｑの座標は(-1/ａ2ｔ，1/ａ3ｔ2)
ＰＱの中点Ｒの座標は、
　((ｔ−1/ａ2ｔ)/2，(ａｔ2＋1/ａ3ｔ2)/2)
　＝((ａ2ｔ2−1)/２ａ2ｔ，(ａ4ｔ4＋1)/２ａ3ｔ2)
ｘ＝(ａ2ｔ2−1)/２ａ2ｔ
ｙ＝(ａ4ｔ4＋1)/２ａ3ｔ2
として、ｔを消去して、ｙ＝２ａｘ2＋1/a
となります。
No.7016 - 2009/07/29(Wed) 23:28:55
☆ 別解 / angel
P(α,aα^2), Q(β,aβ^2) ( α≠β、α≠0、β≠0 ) というように置くと、P,Qの扱いが対等になることで、結果α,βの対称式を使ったわかり易い計算もできます。

OP,OQの傾きはそれぞれ aα, aβ のため、OP⊥OQ から (aα)(aβ)=-1
すなわち、αβ=-1/a^2
PQの中点Rを(t,s)と置くと、t=(α+β)/2, s=(aα^2+aβ^2)/2
これより、
　α+β=2t
　s=a/2・(α^2+β^2)=a/2・( (α+β)^2-2αβ ) = 2at^2+1/a
この時点で、軌跡が y=2ax^2+1/a であることが分かります。

最後に、t の範囲ですが、α,βがuの2次方程式 u^2-2tu-1/a^2=0 の解となることから考えます。
この方程式は、t の値に関わらず、必ず正・負の実数解を持ちますから、裏を返せば t は任意の実数値を取りえます。
ということで、めでたく、軌跡は y=2ax^2+1/a の全体であることが分かりました。
No.7044 - 2009/07/30(Thu) 23:40:03
★ 高校三年の問題です！教えてください！ / monta
問題：周囲が一定の扇形の面積を最大にするには、中心角をいくらにすればよいか求めよ。
答えは、２πとわかっているのですが、詳しい解答がわかりません。
教えてください。
できれば、わかりやすく解説してくれるとありがたいです。
よろしくお願いします。
No.7007 - 2009/07/29(Wed) 14:07:35
☆ Re: 高校三年の問題です！教えてください！ / ヨッシー
周囲の長さをＬとします。
半径をｒ(０＜ｒ＜Ｌ/(２＋２π)) として、面積Ｓを計算すると、
弧の長さは、Ｌ−２ｒ なので
　Ｓ＝(1/2)ｒ(Ｌ−２ｒ)
　　＝−ｒ^2＋(L/2)ｒ
　　＝−(ｒ−L/4)^2＋L^2/16
Ｓの最大値は、ｒ＝L/4 のとき L^2/16。
このとき、弧の長さは、
　Ｌ−2L/4＝Ｌ／２
中心角は、Ｌ／２÷ｒ＝２

中心角２πだと、全円ということになります。
このとき、半径にあたる部分の長さは０と考えると、
半径は　Ｌ/２π　面積は、π(Ｌ/２π)^2＝Ｌ^2/４π＞L^2/16
で、確かにこちらのほうが面積は大きいですが、こういう
趣旨の問題なのでしょうか？
No.7008 - 2009/07/29(Wed) 14:33:08
☆ Re: 高校三年の問題です！教えてください！ / monta
わかりやすい解説ありがとうございました。
No.7009 - 2009/07/29(Wed) 14:56:21
☆ Re: 高校三年の問題です！教えてください！ / ヨッシー
あれ？
結局、答えは、２なのか２πなのかどっちでしょう？
No.7010 - 2009/07/29(Wed) 15:51:44
★ (No Subject) / kinburiy
ねじれの位置にある２直線間の最短距離はそれらの両方に直行する線分で与えられる。という事実があるのですが、これは丸暗記するしかないのでしょうか。何か納得行く説明があれば教えてほしいです。
No.7002 - 2009/07/28(Tue) 22:11:29
☆ Re: / らすかる
一方の直線を含み他方の直線に平行な平面と、
もう一方の直線を含み他方の直線に平行な平面を考えてみてください。
最短距離はこの平面の間隔つまり平面に直交する線分ですから、
直線にも直交することになりますね。
No.7003 - 2009/07/28(Tue) 22:17:54
☆ Re: / kinburiy
納得しました！ありがとうございます！
No.7004 - 2009/07/29(Wed) 06:41:22
★ 各位の和 / kalva
自然数nの各位の和をS(n)で表すことにする。この時,連続する2つの自然数のうち,少なくとも一方はある自然数nによりn+S(n)の形で書けることを示せ。


よろしくお願いします。
No.6996 - 2009/07/28(Tue) 18:53:28
☆ Re: 各位の和 / ヨッシー
f(n)＝n+S(n) と置きます。
n → n+1 で繰上りがないときは、
　f(n+1)−f(n)＝２
m桁上に繰り上がるとき（たとえば、9→10 や 29→30 は1桁上、99→100 や 399→400 は2桁上）は、
　f(n+1)−f(n)＝−(9m-2)
つまりf(n) で与えられる数列は、増えるときは２ずつ増え、
10回に１回、大きく減ります。
一方、ｎ→∞ のとき f(n)→∞ なので、与えられた自然数ａ、ａ＋１を、
増えながら通過するところが必ずあり、増え幅は２なので、
ａかａ＋１ のどちらか一方にf(n) が一致します。
No.7005 - 2009/07/29(Wed) 08:39:12
☆ Re: 各位の和 / kalva
理解できました！ありがとうございます。
No.7006 - 2009/07/29(Wed) 10:07:41
★ 命題 / 桜　高3
こんにちは。
いつもありがとうございます。
よろしくお願いいたします。

実数aについて条件p,q,r,sを次のように定める。
p:aは整数
q:a^2は整数である
r:2aは整数である
s:aは無理数である。

「rの否定⇒s]はなぜ偽なのでしょうか。

よろしくお願いいたします
ありがとうございます。
No.6994 - 2009/07/28(Tue) 17:22:35
☆ Re: 命題 / 七
>「rの否定⇒s]
は普通の言葉で言うとどういう意味なのか
分かっていますか？
No.6995 - 2009/07/28(Tue) 17:36:26
☆ Re: 命題 / 桜　高3
七さんありがとうございます(^^)

普通の言葉で言うと
rでなかったらsになる。
ですか？☆
No.6997 - 2009/07/28(Tue) 19:04:02
☆ Re: 命題 / 桜　高3
rでなかったらsである。
ってことは、2aが整数でないときaが分数のときもあるからaは無理数と決め付けられないからですか？
No.6998 - 2009/07/28(Tue) 19:08:27
☆ Re: 命題 / らすかる
そうです。
No.6999 - 2009/07/28(Tue) 19:52:31
☆ Re: 命題 / 桜　高3
感謝しております☆
おかげさまで解決できました！！＾＾
No.7000 - 2009/07/28(Tue) 21:07:36
★ 点対称 / aki
こんにちは。
今日も宜しくお願いします。
C:y=x^3−3ax＋b
について
(1)変曲点Pを求めよ
(2)Cが点Pについて点対称であることを示せ
ただし一般に平面における図形Cが点Pについて点対称であるとは、点QがC上にあるときQとPについて対称な点RもC上にあることをいう

この(2)ですが、私はy'より極値を求め
Q(a､a^3−3a^2＋b)
R(−a､−a^3＋3a^2＋b)
とおき
ここでQ Rの中点を求めると(0 b)=P

よって点対称

としました

この解答はどうでしょうか？
宜しくお願いします。
No.6987 - 2009/07/28(Tue) 11:02:43
☆ Re: 点対称 / 豆
QはC上の任意の点である必要があるので
x座標がaという定点のみ成立してもだめですね。
No.6990 - 2009/07/28(Tue) 12:01:09
☆ Re: 点対称 / ロボット
ただし一般に平面における図形Cが点Pについて点対称であるとは、点QがC上にあるときQとPについて対称な点RもC上にあることをいう

よく読むこと。
君の方針でやりたいなら、この文章のいう点対称と同値であることを証明しなければならない。
No.6991 - 2009/07/28(Tue) 12:13:51
☆ Re: 点対称 / angel
特定の点の組を持ってきて点対称であることを説明しても、曲線C全体が点対称であることには繋がらないのです。
仮に、無数の組み合わせに対して点対称を示したとしても、まだ不十分です。つまり「C上の点Xと点Yの中点がPになる」という方法は不適切です。

どうすれば良いかというと、
「C上の任意の点Xに対して、XのPに関する対称点Yは、常にCに含まれる」
を説明する必要があります。
No.7017 - 2009/07/29(Wed) 23:30:13
☆ Re: 点対称 / aki
まずQをx=aという定点で定めてしまうとダメということでしょうか？
任意の点はどう表現すればいいのでしょうか？
私はa自体が任意の点という認識でいたのですが、このように書くと定点のように受け取られてしまうんですね…

どう証明していいかわからないので教えて下さい…
No.7021 - 2009/07/29(Wed) 23:55:46
☆ Re: 点対称 / angel
確かに、a も任意の値、x も任意の値と似通っているように見えますが、決定的に違いがあります。
それは、ある曲線Cを考える時には、a の値は固定されている、ということです。
逆に、x の値は動き続けています。x が様々に変化する時の (x,y) の集合体が曲線Cを形作るわけですから。

もし a が変わったとしても、またちょっと違う形の曲線Cができるだけで、そこでもやはり a は固定されています。
なので、a は単なる定数と考えて良いです。

であれば、「任意の点」をどう表すか。
それは動き続ける x に焦点をあてれば良い、となります。
まあ、x をそのまま使うと紛らわしいので、
　C上の任意の点は、実数 t を用いて (t, t^3-3at+b) と表せる
とか何とか書けば良いわけです。
No.7027 - 2009/07/30(Thu) 00:31:48
☆ Re: 点対称 / aki
つまりaは曲線Cの式に入っているし、極値をとる値でもあるから、定点とみなされるということでしょうか？
そうすると、結局aを使って極値であることを使う証明の方法はできなくなり、私の解答が不可になるということでしょうか？


No.7052 - 2009/07/31(Fri) 16:14:21
☆ Re: 点対称 / angel
いいえ。

まず原則として、変数であるのはx,y、それ以外は定数ということです。なので a,b は定数ですし、(a, a^3-3a^2+b) という点は、a,bのみで構成されているため、定点です。
曲線Cの極になっているかどうかには無関係に、です。

akiさんの解答では、添付した図の左側のように、曲線C上の2点のみをとって対称性を調べているだけであり、曲線C全体をカバーしていないため、NGなのです。

勿論、a,bの値を変えることによって、(a,a^3-3a+b),(-a,-a^3+3a+b)という点も様々に変化します。
しかしながら、これらの点は、a,bの値を変えることによって形の変化する、異なるグラフに属する点なのです。
つまり、あるCにとっては、結局2点分しか調べていないことになるのです。

図の右側のように、a,bを固定したC上で、無数の点について調べるように考えなくてはなりません。
No.7062 - 2009/08/01(Sat) 13:29:51
☆ Re: 点対称 / aki
わかりました、つまり結局曲線上の二点しか調べていないからだめなんですね。
とすると全体を調べるにはどうしたらいいのでしょうか…(>_<)
さっぱりわかりません…
No.7077 - 2009/08/01(Sat) 18:17:39
☆ Re: 点対称 / angel
No.7017とNo.7027を再度読み返してみて下さい。
No.7085 - 2009/08/01(Sat) 23:25:02
☆ Re: 点対称 / aki
わかりました、ご迷惑おかけして申し訳ありませんでした。
No.7109 - 2009/08/02(Sun) 15:38:26
★ (No Subject) / かな
連日申し訳ありません;
質問お願いします。

　
次のような配り方はそれぞれ何通りあるか。
(1)同じ種類の6冊のノートを3人に配る配り方。ただし、1冊も配られない人がいてもよいものとする。
(2)同じ種類の6冊のノートを3人に少なくとも1冊配る配り方。
　
　
　
　
よろしくお願いします;
No.6981 - 2009/07/27(Mon) 22:45:37
☆ Re: / angel
今回は、ノート同士に区別がなくて、配られる人に区別がある ( 人なので… ) 状態ですから、重複組み合わせになります。

・商品A,B,Cの3種類をあわせて6個購入する
・A,B,Cの3人に、ノートをあわせて6冊配る
・3変数の方程式 x+y+z=6 ( ただしx,y,zは非負整数 ) の解の個数を数える
　※合計6の数を、x,y,zの3種類に分配する、という考え方

これらの問題は、全て重複組み合わせ 3H6=(3+6-1)C6 で計算できます。

(2) 「皆に少なくとも1冊配る」ということは、配った後で皆から1冊ずつ奪い取ることができて、その状態は、
「3冊のノートを3人に配った状態 ( 1冊も持ってない人がいても良い )」ということになります。
であれば、(1)と数値が違うだけ ( 6→3 ) の、同じ問題になります。
No.6985 - 2009/07/28(Tue) 00:29:08
☆ Re: (No Subject) / かな
ありがとうございます!!
助かりました;
No.6993 - 2009/07/28(Tue) 17:18:41
★ 積分 / かをり
こんばんは！
高校2年生です。


xの関数f(x)=∫0〜1｜t-x｜dtについて、
y=f(x)のグラフを書け。

お願いします！！
No.6971 - 2009/07/27(Mon) 19:29:16
☆ Re: 積分 / angel
x の範囲に応じて場合分けしましょう。
∫の中身を g(t) とすると、0≦t≦1 における g の具体的な形が分かれば良いので

・x≦0 の時
　0≦t≦1 において、g(t)=|t-x|=t-x　( 絶対値の中身は非負 )
　→ f(x)=∫[0〜1] (t-x)dt
・0＜x≦1 の時
　0≦t＜x において、g(t)=|t-x|=-t+x ( 絶対値の中身は負 )
　x≦t≦1 において、g(t)=|t-x|=t-x ( 絶対値の中身は非負 )
　→ f(x)=∫[0〜x](-t+x)dt + ∫[x〜1](t-x)dt
・x＞1 の時
　0≦t≦1 において、g(t)=|t-x|=-t+x ( 絶対値の中身は負 )
　→ f(x)=∫[0〜1](-t+x)dt

ということで、それぞれ計算しましょう。
No.6983 - 2009/07/27(Mon) 22:59:06
★ 積分 / トシ
0<a<3とする。
直線y=axと曲線y=x^3-6x^2+9xとで囲まれた
2つの図形の面積が等しいとき、
定数aの値を求めよ。

考えたのですが
答えにたどり着けませんでした．．．。
宜しくお願いします。
No.6970 - 2009/07/27(Mon) 19:24:33
☆ Re: 積分 / angel
とりあえず、答えを知るだけなら、
　直線 y=ax が、3次関数 y=x^3-6x^2+9x の変曲点(2,2) ( y''=0 となる点 ) を通る時、2つの図形の面積が等しくなる
ということから、a=1 が分かります。
これは、3次関数のグラフが、変曲点に関して点対称になることを利用した考え方です。答え合わせに使えます。
No.6980 - 2009/07/27(Mon) 22:41:09
☆ Re: 積分 / angel
さて、ちゃんと解くなら、f(x)=x^3-6x^2+9x-ax とでも置いて、
・f(x)=0 の解を求める
　0<a<3 という条件から、x=0, 3±√a ( 0＜3-√a＜3+√a ) と分かります。が、√を含んだままではやりにくいので、x=0,α,β ( 0＜α＜β ) とでもしておきます。

・各図形の面積を求める。
　y=ax, y=x^3-6x^2+9x の位置関係から、( ちゃんとグラフを描くこと )
　一方の面積は ∫[0,α] f(x)dx
　もう一方の面積は ∫[α,β] (-f(x))dx
　となります。

　そのまま積分計算すると結構大変なので、不定積分 F(x)=∫f(x)dx を使って
　　∫[0,α] f(x)dx = F(α)-F(0)
　　∫[α,β] (-f(x))dx = F(α)-F(β)
　として比較すると良いでしょう。結局 F(β)=F(0) です。

βが f(x)=0 の解であることと、F(β)=F(0) であることから、β,a に関する条件式が2個できあがりましたから、ここから答えを導くことができます。
No.6982 - 2009/07/27(Mon) 22:48:30
☆ Re: 積分 / トシ
ありがとうございました☆

２つもやり方を書いて頂いて・・・
No.7001 - 2009/07/28(Tue) 21:17:27
★ 積分 / aki
こんにちは。
今日も悪いのですが質問お願いします。

(1＋tanx)cosx=Acos(B−x)がxについての恒等式になるよう定数A B を定めよ

わたしは左辺をcosx＋sinx
右辺を加法定理よりcosx(AcosB)＋sinx(AsinB)
と変形し恒等式より
AcosB=1
AsinB=1
となり、とくと
(A､B)=(√2､π/4)(−√2､5π/4)
となりました。
これはどこが間違いでしょうか？
答えはA=√2
B=π/4＋2nπだそうです。

宜しくお願いします。
No.6968 - 2009/07/27(Mon) 19:15:25
☆ Re: 積分 / angel
大筋で問題はないと思います。
ただし、sin,cosは周期関数なので、値の範囲の指定に応じて、とりうる値を全て列挙する必要があります。
具体的には B に関して全く条件が指定されていなければ、B=π/4 ではなく、B=π/4+2nπ のようにします。( B=5π/4 の場合も同じく )

A=-√2 のパターンも、他に制限がなければ解に含めるべきなので、akiさんの考えで良いと思いますが…
何か、Aの値の範囲で、条件が他にあるということはないでしょうか?
No.6979 - 2009/07/27(Mon) 22:18:57
☆ Re: 積分 / aki
特にないと思います。
問題文もこれだけなので…
三角関数については了解しました。 でも(π/4)＋2nπだとπ/4の次は9π/4で5π/4が入らないような気がするのですが…(>_<)
またAが−√2のときは5π/4の周期でA=√2のときと別なのかなとも思ったのですが…

宜しくお願いします。
No.6988 - 2009/07/28(Tue) 11:33:29
☆ Re: 積分 / angel
＞ でも(π/4)＋2nπだとπ/4の次は9π/4で5π/4が入らないような気がするのですが…(>_<)

そうです。入りませんよ。
B=5π/4 は、A=-√2 の時ですから。
A=√2 の時の B=π/4+2nπ に、B=5π/4 は含まれません。

つまり、(A,B)=(√2, π/4+2nπ), (-√2, 5π/4+2nπ) ( nは整数 ) という2種類の系統の解になります。
※無理やり1種類にまとめれば、(A,B)=( √2・(-1)^n, π/4+nπ ) ともできますけど…
No.7015 - 2009/07/29(Wed) 23:21:55
☆ Re: 積分 / aki
わかりました！
ではA=−√2の場合がないのは解答が間違えているのでしょうかね…

ありがとうございます。
No.7024 - 2009/07/30(Thu) 00:06:33
☆ Re: 積分 / aki
ごめんなさいこの問題の全体は
http://z.upup.be/?SFWeFSlWxK
なのですが、この(3)を
http://p.upup.be/?01xXsAfmQd
ここまでときました。ここまであってるかわからないのですが、ここからどう処理すればいいかわからなかったので教えて下さい(>_<)
No.7025 - 2009/07/30(Thu) 00:21:58
☆ Re: 積分 / angel
まず、(3)では 2nπ は不要です。
log(1+tanx)=log(√2・cos(π/4-x)/cosx) で良いです。
(1)のような問題は、通常、「〜の条件を満たすA,Bの組を全て挙げろ」と解釈するので、n を持ち出す必要があったのですが、(3)では (1) の結果を用いて、問題を解き易いように変形しているだけです。
なので、代表例として (A,B)=(√2, π/4) を使えば良いのです。
※(A,B)=(-√2,5π/4)も候補なのですが、すなおには行かないので、採用しません。

で、途中の計算ですが、1行目から2行目で折角のπ/4が消えていますよ。変形は正しく行いましょう。
また、log(√2・cos(〜)/cos(…))=log(√2・cos(〜))-log(cos(…)) は突っ込み不足です。
log(√2・cos(〜)/cos(…))=log√2 + log(cos(〜)) - log(cos(…))
まで突っ込みましょう。

そうすると、(2)が生きてきます。
通常、∫log(cos(〜))dx の形なんて計算できませんが、今回は 2種類、形の違うものが出ているので、相CENSORED消えてくれることが期待できます。
No.7043 - 2009/07/30(Thu) 23:14:21
☆ Re: 積分 / aki
まず−√2が採用されないのは素直にいかないからというのはどういうことなんでしょうか？

また、π/4が消えているとは
∫log√2cos(π/4−x)dx−∫logcosxdx
ということでしょうか？
加法定理をそして使って見ましたが全くうまくいきません。今度はlogsinが残ってしまいました。
No.7053 - 2009/07/31(Fri) 16:25:59
☆ Re: 積分 / angel
＞ まず−√2が採用されないのは素直にいかないからというのはどういうことなんでしょうか？

採用して計算してみたら、その先巧く解けなかった、ということです。実際に計算してみてください。( 巧く行くかどうかは、基本的に、やってみないと分からない )
※解く事はできるのですが、(A,B)=(√2,π/4) と同じ形に直すはめになるので、敢えて採用する意味がないのです。

＞ また、π/4が消えているとは
＞ ∫log√2cos(π/4−x)dx−∫logcosxdx
＞ ということでしょうか？

そうです。
…ひょっとしてcosの加法定理を使って、小分けに計算しようとしましたか? それは今回巧く行きませんよ。( (2)の結果が活かせない )

∫[0,π/4] log(√2・cos(π/4-x)/cosx)dx
= ∫[0,π/4] ( log√2 + log(cos(π/4-x)) - log(cosx) )dx
= ∫[0,π/4] log√2・dx + ∫[0,π/4] log(cos(π/4-x))dx - ∫[0,π/4] log(cosx)dx
= ∫[0,π/4] log√2・dx = 1/8・πlog2

と、ダイレクトに計算します。
最後の行で項が2個消えているところで、(2)の結果を利用しています。
No.7069 - 2009/08/01(Sat) 16:00:02
☆ Re: 積分 / aki
わかりましたできました！
ありがとうございます。
(2)を使って誘導にのらなければ意味がないですよね…
ばかでした…
ありがとうございます。
No.7083 - 2009/08/01(Sat) 22:11:14
★ 数学?T / エヴァ
次の関数の最大値、最小値を求めよ。

f(x)=1／２∫（０→x^2）sin（√ｔ＋π／４）dt
(0≦x≦t)


解き方がわかりません。
たぶんｘ＝０のとき最小値は０をとるはずです。
ですが最大値はどのようになるのでしょうか。
お願いします。
No.6963 - 2009/07/27(Mon) 01:03:15
☆ Re: 数学?T / angel
これ…数I?

ともあれ、最大値を求める必要がありますから、この定積分は真面目に計算する必要があります。
u=√t つまり t=u^2 とでも置いて、置換積分するのが良いでしょう。
そうすると、∫u・sin(u+π/4)du という形が出てきますので今度は部分積分が使えます。

ところで、x の範囲は 0≦x≦π でしょうか?
f(0)が最小値になりそうに見えますが、きちんと比較する必要があります。( 0≦x≦π であれば f(0)とf(π) の比較 )
No.6967 - 2009/07/27(Mon) 12:48:15
★ 積分 / みほ
また解説お願いします。
∫１／｛（x＋１）＾２（x＾２＋１）｝dx
=1／2{∫1／(x＋1)dx＋∫1／(x＋1)^2dx−∫x／(x^2＋１)dx}
=1／2{log|x＋１|＋（−１）*1／（x＋１）−1／2∫2x／（x^2＋1）dx}
=1／2{log|x＋１|−１／（x＋１）−1／2log（x^2＋１）＋C

読みにくくてすみません。
式の１段目から２段目に変化させることができません。
特に
（−１）*1／（x＋１）−1／2∫2x／（x^2＋1）dx
がどのようにしてこうなったのか理解できません。
至急詳しい解説お願いします。
No.6951 - 2009/07/26(Sun) 22:28:58
☆ Re: 積分 / rtz
1/{(x+1)2(x^2+1)}
＝{a/(x+1)}＋{b/(x+1)2}＋{(cx+d)/(x^2+1)}
を満たすような実数a,b,c,dを求めます。
No.6959 - 2009/07/27(Mon) 00:16:45
☆ Re: 積分 / angel
とりあえず、「至急」「詳しく」と言われても、それに応える義務は皆にはないことに注意。( 仕事でやっている訳ではないので… )
虚しい要求である以上に、周りに悪印象を与えるだけに終わるかも知れません。ちょっと考え直した方が良いと思います。

後、おそらく模範解答例を上から順に見て、「なぜそんな計算をしているのか分からない」と悩んでいるかと思いますが、そりゃ分からないのも当然です。見方を間違えています。
模範解答は基本、下から上の順で見るものです。丁度、迷路をゴールから逆順に辿って正しい道を確認するようなもの。
※勿論、慣れれば上から順に読みますが、それでも無意識の内に、「下を見て、その内容を踏まえた上で上を見る」という事をやっているのです。

例えば、∫x/(x^2+1)・dx → 1/2・∫2x/(x^2+1)・dx の変形ですが、これは元々 2x/(x^2+1) の形を作るのが目的なのです。
そうすると、x/(x^2+1) はその半分なので 1/2・2x/(x^2+1) と変形になっただけのこと。1/2 に深い意味があるのではなく、2x/(x^2+1) という形が重要なのです。

ではなぜ、2x/(x^2+1) という形を作ったかといえば、
　∫2x/(x^2+1)・dx = log(x^2+1) + C
と、積分ができる形だから。裏を返せば、( log(x^2+1) )' = 2x/x^2+1 ( 合成関数の微分 ( log|f(x)| )' = f'(x)/f(x) ) だから、ですね。これも下から順に見れば分かることです。
No.6960 - 2009/07/27(Mon) 00:39:55
☆ Re: 積分 / angel
後は、
　∫(x+a)^n・dx = 1/(n+1)・(x+a)^(n+1) + C　( 但し n≠-1 )
ですね。
これは、( (x+a)^(n+1) )' = (n+1)・(x+a)^n の裏返しです。
この問題では、a=1, n=-2 のケースにあたります。
つまり、∫1/(x+1)^2・dx = ∫(x+1)^(-2)・dx = 1/(-2+1)・(x+1)^(-2+1) + C = -1/(x+1) + C
No.6961 - 2009/07/27(Mon) 00:46:32
☆ 積分 / みほ
ありがとうございます。
No.6962 - 2009/07/27(Mon) 00:58:57
★ 積分をもう一つおねがいします / タナカさん
次の等式を満たす関数f(x)を求めよ。

f(x)=3(x^2)＋2(インテグラル0から2)xf(t)dt
-(インテグラル0から1)f(t)dt

かなり分かりにくくなりました；；
お願いします。
No.6945 - 2009/07/26(Sun) 21:08:57
☆ Re: 積分をもう一つおねがいします / ヨッシー
ｔで積分した部分は、ｘにとっては定数なので、
　f(x)＝3x^2＋2ax＋b
と書けます。
　２∫0〜2ｘf(t)dt
　　＝２ｘ[t^3＋at^2＋bt]0〜2
　　＝２ｘ(8＋4a＋2b)
　−∫0〜1f(t)dt
　　＝−[t^3＋at^2＋bt]0〜1
　　＝−１−ａ−ｂ
係数比較して、
　8＋4a＋2b＝a
　-1−a−b＝b
これを解いて、(以下略)
No.6946 - 2009/07/26(Sun) 21:28:41
☆ Re: 積分をもう一つおねがいします / タナカさん
aとbは
どこから出てきたのでしょうか？？
No.6952 - 2009/07/26(Sun) 22:30:59
☆ Re: 積分をもう一つおねがいします / ヨッシー
傾きが２で、点(1,1)を通る直線の式を求めよ。
といったときに、
　ｙ＝２ｘ＋ａ
とおきませんか？このａと同じです。

強いて言えば、
　ａ＝∫0〜2f(t)dt
　ｂ＝−∫0〜1f(t)dt
です。
No.6965 - 2009/07/27(Mon) 08:27:36
★ 高２の積分 / タナカさん
次の曲線または直線によって囲まれた部分の面積を求めよ。
y=x^3-5(x^2)＋6x,y=2x

どうしても答えがマイナスになってしまいます；
解答お願いします。
No.6944 - 2009/07/26(Sun) 21:04:05
☆ Re: 高２の積分 / ヨッシー
ｘが0から1 で 直線の方が下、
ｘが1から4 で 直線の方が上
ですよ。
No.6947 - 2009/07/26(Sun) 21:46:53
★ 数列です / K
Σをどう使えばいいか分かりません

3＋(3＋3^2)＋(3＋3^2＋3^3)＋…＋(3＋3^2＋3^3＋…＋3^n)

末項をどうかするのでしょうか？？
助けて下さい！！
お願いします
No.6943 - 2009/07/26(Sun) 21:00:49
☆ Re: 数列です / ヨッシー
第1項：3
第2項：3+32
第3項：3+32+33
のように考えると、第ｎ項は
3+32+32＋・・・＋3n
＝(3n+1−３)/２

(与式)＝Σk=1〜n(3k+1−３)/２
で解けます。
No.6948 - 2009/07/26(Sun) 21:50:46
★ (No Subject) / かな
度々失礼します;
　
　
6人を２班に分ける方法は何通りあるか。ただし、どの班にも必ず1人はいる。
　
　
　
これ、No.6928の続きの問題なのですが、(2)とどう違うのでしょうか;
よろしくお願いします。
No.6941 - 2009/07/26(Sun) 16:38:03
☆ Re: / ヨッシー
班に名前が付いているかどうかです。
６人を１，２，３，４，５，６ として、
前問(2) では、
　Ａ：１，２　Ｂ：３，４，５，６
　Ａ：３，４，５，６　Ｂ：１，２
は区別しますが、この問題では区別しません。

では、２で割ればいいかというと、そうでもないんですね。
No.6949 - 2009/07/26(Sun) 21:54:03
☆ Re: (No Subject) / かな
返信ありがうございます！
班の区別をしないと、同じになる場合も出てくるんですね…
もうちょっとがんばってみます;
ありがとうございました！
No.6957 - 2009/07/27(Mon) 00:08:16
☆ Re: / らすかる
２で割れば良いのでは？
No.6958 - 2009/07/27(Mon) 00:16:11
☆ Re: / ヨッシー
あ、２で割れば良いですね。
失礼しました。
No.6964 - 2009/07/27(Mon) 06:50:02
★ 線形代数 / ＨＥＹ
Ｅ＝１　０
　　１　０
Ｂ＝１　１　　
　　１　１
の行列の時、

｛(a-b)E + bB｝^n　を２項定理を用いて解きたいのですが、どのように進めていけばよいのかわかりません。

答えは、
[{(a+b)^n　+　(a-b)^n}/2　　{(a+b)^n　-　(a-b)^n{/2]
[{(a+b)^n　-　(a-b)^n}/2　　{(a+b)^n　+　(a-b)^n}/2]
となるのですが、、、

ちなみにB^2=2Bです。
No.6939 - 2009/07/26(Sun) 15:59:52
☆ Re: 線形代数 / angel
Ｅは単位行列で良いでしょうか。その前提でいきます。

とりあえず2項定理としては、
　(x+y)^n
　= x^n+nx^(n-1)・y+n(n-1)/2・x^(n-2)・y^2 + … + y^n
　= Σ[k=0,n] nCk・x^(n-k)・y^k
ですね。

今、ＥとＢは積に関して可換なので、普通の数の積と同じように計算できて、
{(a-b)Ｅ+bＢ}^n
= (a-b)^n・Ｅ^n + n・(a-b)^(n-1)・Ｅ^(n-1)・bＢ + n(n-1)/2・(a-b)^(n-2)・Ｅ^(n-2)・b^2・Ｂ^2 + … + b^n・Ｂ^n
= (a-b)^n・Ｅ^n + Σ[k=1,n] nCk・(a-b)^(n-k)・b^k・Ｅ^(n-k)・Ｂ^k

ここまでは、通常の2項定理です。ただし、k=0 の場合だけ特別扱いで、Σから抜いています。後は、Ｂ^2=2Ｂ より Ｂ^k=2^(k-1)・Ｂ を用いれば、

(続き)
= (a-b)^n・Ｅ+Σ[k=1,n] nCk・(a-b)^(n-k)・b^k・2^(k-1)・Ｂ
= (a-b)^n・Ｅ + 1/2・Σ[k=1,n] nCk・(a-b)^(n-k)・b^k・2^k ・Ｂ
= (a-b)^n・Ｅ + 1/2・( Σ[k=1,n] nCk・(a-b)^(n-k)・(2b)^k )・Ｂ

後は、このΣの中を、k=0 が抜けていることに注意して2項定理を逆に適用すれば

(続き)
= (a-b)^n・Ｅ + 1/2・( ((a-b)+2b)^n - (a-b)^n )・Ｂ

となります。
No.6956 - 2009/07/27(Mon) 00:05:57
★ (No Subject) / ゆう
(1)関数y＝3^x+3^-xの最小値を求めよ。

(2)関数y＝9^x-3^x+2の-1≦x≦2における最小値を求めよ。

よろしくお願いします。
No.6932 - 2009/07/26(Sun) 12:14:34
☆ Re: / 七
（1）相加・相乗平均の関係を用いればいいですね。
（2）3＾ｘ＝ｔとおくと
ｙ＝ｔ＾2-ｔ+2、　1/3≦ｔ≦9
No.6935 - 2009/07/26(Sun) 13:31:16
☆ Re: (No Subject) / ゆう
分かりました!

ありがとうございました!
No.6942 - 2009/07/26(Sun) 18:36:31
★ 不等 / aki
こんにちは。
もう一つごめんなさい。
aは正の定数
a^x≧xが任意の正の実数xに対して成立つようなaの範囲を求めよ
ですが 対数を両辺とったあとx/logx≧logaと変形するとやはりできないのでしょうか？
変形の仕方もpointなのだと思いますが…
宜しくお願いします…
No.6930 - 2009/07/26(Sun) 12:06:34
☆ Re: 不等 / angel
＞ 対数を両辺とったあとx/logx≧logaと変形するとやはりできないのでしょうか？

いえ、その方法もありです。というよりも、結構楽な方法で良いのではないでしょうか。
ただし、正しくは loga≧(logx)/x です。
※ x＞0 という前提のため、「対数を両辺とる」も「xで両辺を割る」もそのまま行えるのがポイント。また、log(a^x)=x・loga という変形を行っていますが、これも a＞0 という前提があるためできること。解答を書くときは、必ず「x＞0のため」「a＞0のため」と断り書きを入れましょう。

別の方法としては、f(x)=a^x-x と置いて ( f(x)の最小値 )≧0 を調べる、というのも素直ですが、計算はちょっと面倒かもしれません。
No.6955 - 2009/07/26(Sun) 23:49:43
☆ Re: 不等 / aki
わかりました、どうもありがとうございました！
No.6969 - 2009/07/27(Mon) 19:21:32
★ 接線 / aki
こんにちは。
質問お願いしたいです。宜しくお願いします。
http://w.upup.be/?DaDoiQxnQT
の(2)ですが、
接点のx座標をtとおき、さらに(0､b)を通るので
e^(−t)t^2=b …☆
まで出しました。
このあとそのままy=bとy=e^(−t)t^2
の共有点の個数が答えとしようと思ったのですが、間違えてますか？
ヒントによるとこの☆がでた時点で接線の本数が接点の個数に等しいことが示されている
らしいのですが、これが理解できません。
さらに接点の本数と個数が一致するかどうかの判断はどうすればいいのかいつもわかりません。入試問題では一致しないものはあまりでないのか、今までおざなりになっていたのですが…(>_<)
教えて下さい。
No.6929 - 2009/07/26(Sun) 11:39:57
☆ Re: 接線 / angel
＞ このあとそのままy=bとy=e^(−t)t^2
＞ の共有点の個数が答えとしようと思ったのですが、間違えてますか？

問題ないと思います。

＞ ヒントによるとこの☆がでた時点で接線の本数が接点の個数に等しいことが示されているらしいのですが、これが理解できません。
＞ さらに接点の本数と個数が一致するかどうかの判断はどうすればいいのかいつもわかりません。

実を言うと、現役の時そんなこと気にした事はありませんでした。
※多分、解答にそこまで書かせることは想定していないと思う…
ただ、経験的には、4次関数 ( またはそれ以上 ) や、三角関数等の、波が沢山ある関数だけ気にするようにしていました。

今改めて考えると、一応説明はできそうですが。

　関数 y=f(x) のグラフに関して、x=αおよびx=βにおける接線が一致するような、α,β ( α＜β ) が存在する

という問題をちょっと調べてみましょうか。
これを言い換えると、

　f'(α)=f'(β)=(f(β)-f(α))/(β-α) となる α,β ( α＜β ) が存在する

なわけですが、一方、平均値の定理として、

　(f(β)-f(α))/(β-α)=f'(γ), α＜γ＜β を満たすγが存在する

という話がありますので、もしα,βが存在するならば、

　f'(α)=f'(β)=f'(γ)

となります。ということは、少なくとも3箇所でf'(x)の値 ( 微分係数 ) が一致している必要があります。
※あくまで「必要」であって、「十分」であるかどうかは分かりません。

しかしながら、今回の f'(x) は、グラフが＼／のような形をしていますので、3箇所でf'(x)の値が一致するようなことはありません。( どんな場合でも f'(x)=(定数) は3つ以上の解を持たない )

なので、y=f(x)の異なる点における接線が一致することはない、すなわち、接点の数と接線の本数は一致する、と言えます。
No.6954 - 2009/07/26(Sun) 23:17:47
☆ Re: 接線 / aki
平均値の定理でそういうことがわかるんですね、すごいです。
言われてみれば四次関数はよく出そうな気がするので気をつけます。
どうもありがとうございまさた！
No.6972 - 2009/07/27(Mon) 19:44:51
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