すべての正の実数x,yに対し√x+√y≦k√(x+y)が成り立つような実数kの最小値を求めよ。
ヒントとして「置き換えによりいかに式を簡単にしていくかに注目せよ」が与えられているのですが、これはどういうことなのでしょうか? 特に、√(2x)=rcosθ、√y=rcosθ(r>0.0<θ<π/2) とおくところが理解しかねるのですが・・・ 他にも解法はあると存じますが、上の考え方について分かる方いましたら、教えてください_(_^_)_
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No.4973 - 2009/01/31(Sat) 19:12:50
| ☆ Re: ヒントの意図が・・・ / Jez-z | | | 連投すいません。上の問題で、自分は必要条件から絞って求めた(x=1,y=4のとき成り立つことが必要)のですが、この解法を思いついたのは、この手の問題を一度経験したことがあるからであって、正しい数学的理解に基づいたものではないので、そこらへんの矛盾した思いを解消したいのですが… この解法はどのように理解・アプローチすべきでしょうか?(上の質問とは別に考えてください)たとえば、x=1,y=1を代入しても解決しませんよね?
お願いします。
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No.4974 - 2009/01/31(Sat) 19:16:56 |
| ☆ Re: ヒントの意図が・・・ / angel | | | > 自分は必要条件から絞って求めた(x=1,y=4のとき成り立つことが必要)
このアプローチであれば、x=y の時でやるものかと思います。 で、ヒントの真意は良く分かりませんが、X=√x, Y=√y あたりの置き換えではないでしょうか。
答えは、kの最小値√2 なので、 X+Y≦√2・√(X^2+Y^2) を十分条件として示すわけですが、平方の差を取れば、 (右辺)^2-(左辺)^2=(X-Y)^2≧0 で綺麗に収まります。
別におきかえなくても、√x, √y のままでよいとも思いますが。
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No.4976 - 2009/01/31(Sat) 23:13:37 |
| ☆ Re: ヒントの意図が・・・ / Jez-z | | | 訂正です 問題はすべての正の実数x,yに対し√x+√y≦k√(2x+y)が成り立つような実数kの最小値を求めよ。
お手数かけてすいませんでした
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No.4978 - 2009/02/01(Sun) 00:17:07 |
| ☆ Re: ヒントの意図が・・・ / 豆 | | | √x+√y≦k√(2x+y)に関して、両辺のx,yの次元が等しいので 質問のとおり、√(2x)=rcosθ、√y=rsinθ [yはsinですね] (r>0.0<θ<π/2)なりに、置換すればよいということ。 (x,y>0なので、x,yを決めればr,θは必ずひとつ定まります。)
こう置くと、 rcosθ/√2+rsinθ≦k√((rcosθ)^2+(rsinθ)^2) r>0で割れて、rが消えて、x,yの2変数がθのみ1変数の式: cosθ/√2+sinθ≦k となって、左辺は合成で最大値が出せる という、からくりです。
同じ次元だということから、手間は掛かりますが、別の方法も f(x,y)=(√x+√y)/√(2x+y)≦k に関する、f(x,y)の最大値問題と 捕らえれば、f(x,y)の分母子を√xで割ってy/x=t>0と置いて、 f(x,y)=(1+√t)/√(2+t)=g(t) として、変数tに関するg(t)の 最大値問題(微分)と考えても良いですね。
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No.4994 - 2009/02/02(Mon) 09:35:13 |
| ☆ Re: ヒントの意図が・・・ / 豆 | | | 蛇足ながら、ベクトル(1/√2,1)、(√(2x),√y)に対して、 内積≦絶対値の積より、(コーシーシュワルツの不等式) √(2x)/√2+√y≦√(1/2+1)√(2x+y) √x+√y≦(√6/2)√(2x+y) 等号は(1/√2)/1=√(2x)/√y つまりy=4xのとき から求めてもよいですね。
まともに2乗して引き算する方法でも解けますね。
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No.4995 - 2009/02/02(Mon) 11:43:44 |
| ☆ Re: ヒントの意図が・・・ / Jez-z | | | 豆さん、とてもためになる解説ありがとうございます。(返事遅れましたがw) 復習して自分のものにできるように頑張りたいと思います。
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No.5040 - 2009/02/04(Wed) 22:21:54 |
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