[ 掲示板に戻る ]
過去ログ閲覧モード
★ 正方形が入る個数 / √
また、教えてください。算数です。

底辺１０ｃｍ　高さ１５ｃｍの二等辺三角形があります。

この二等辺三角形の中に、
一辺が２ｃｍの正方形を、できるだけ多くいれます。
（正方形の一辺が底辺と平行になるように）

この時、
?@二等辺三角形の底辺上に、正方形は何個並ぶか？
?A二等辺三角形の中に、正方形は何個入るか？

やり方が分らなかったので、
グラフ用紙に正確に作図してみました。
二等辺三角形の底辺上には４個並び
　　　　　　　　　　　　　　中には１４個入りました。

本来の求め方が分らないので教えてください。
お願い致します。
No.7167 - 2009/08/04(Tue) 14:01:14
☆ Re: 正方形が入る個数 / DANDY　U
○「底辺に平行で底辺からの距離が２cmである直線」がこの三角形で切り取られる線分の
長さは、10×(13/15)＝26/3　です。
よって、2×4＜(26/3)＜2×5　だから最下段には正方形は４個並べることができます。

○「底辺に平行で底辺からの距離が４cmである直線」がこの三角形で切り取られる線分の
長さは、10×(11/15)＝22/3　です。
よって、2×3＜(22/3)＜2×4　だから２段目には正方形は３個並べることができます。

○同様にして　2×2＜10*(9/15)≦2×3　だから３段目には正方形は３個
　・・・・・・・
これを繰る返していくと各段に並べることができる正方形の数が求められます。
No.7169 - 2009/08/04(Tue) 14:51:36
☆ Re: 正方形が入る個数 / √
ＤＡＮＤＹ　Ｕさん

有り難うございました。
高さが「２ｃｍづつ」短くなっていく時の、底辺の長さを求めれば良いのですね。

助かりました。有り難うございました。
No.7170 - 2009/08/04(Tue) 15:37:09
☆ Re: 正方形が入る個数 / √
ＤＡＮＤＹ　Ｕさん
先程は有り難うございました。

平面の時は
底辺から、４個・３個・３個・２個・１個・１個
で合計１４個納まり、

これを、立体に変えて
（底面が一辺１０ｃｍの正方形、高さ１５ｃｍの四角錐の中に、一辺２ｃｍの立方体が、いくつ納まるか）

すると、
上記の「４・３・３・２・１・１」
のそれぞれの数字を２乗して全て足せば良いことに気づきました。（４０個）
勉強になりました。有り難うございました。
No.7171 - 2009/08/04(Tue) 18:09:49
☆ Re: 正方形が入る個数 / らすかる
立体の場合はそう単純ではありません。
この問題ではたまたま4^2+3^2+3^2+2^2+1^2+1^2になるようですが、
一般の場合は2乗の和より大きくなることがあります。
例えば、平面で9.9のところには4個しか入りませんが、
立体で9.9×9.9の正方形には少なくとも19個入ります。
No.7173 - 2009/08/04(Tue) 18:57:27
☆ Re: 正方形が入る個数 / √
らすかるさん

あっ　そうだったのですか。
間違えて覚えてしまうところでした。
有り難うございました。

ん？　さっき書き忘れたのですが、
一辺が２ｃｍ立方体の入れ方なのですが、
決して、斜めに入れたり、
立方体の底面の辺が、四角錐の底面の辺と平行になるように、綺麗な形で入れるという条件を書き忘れたのですが・・・
No.7174 - 2009/08/04(Tue) 20:07:35
☆ Re: 正方形が入る個数 / らすかる
底面の辺が平行になるように入れるという条件があれば、二乗和になりますね。
No.7177 - 2009/08/04(Tue) 20:38:06
☆ Re: 正方形が入る個数 / √
らすかるさん

有り難うございました。
条件を書き忘れてしまい申し訳ありませんでした。

これで、ほっとしました。
No.7178 - 2009/08/04(Tue) 20:49:44
★ 誰か教えて / 図書館より
４−４行列

１１０-１
１-１１０
１０００
０１００

の第三成分と第四成分はどこなんでしょうか。
わかりません（><).
No.7165 - 2009/08/04(Tue) 10:10:49
☆ Re: 誰か教えて / ast
> 第三成分と第四成分

行列に対してそのようなものを考えるという話は耳にしたことがありません. ふつうは添字を行と列の二つに与えて, i-行 j-列目の成分を (i,j)-成分と呼びます. したがって, 質問内容を再検討していただいたほうがよさそうです.

> ４−４行列
これも 4-行 4-列の行列, または簡単に 4×4-行列と呼ぶのが通例ですね.
No.7182 - 2009/08/04(Tue) 21:57:26
★ 面積 / らっきー
方程式（ｘ＾２＋ｙ＾２）＾２＝a^2(x^2-y^2)(a>0)
で表される曲線によって囲まれる二つの部分の面積の和を求めよ。の解答の途中に第一象限の面積を４倍する、とあるのですが、増減表などを作った形跡はありません。このグラフを書いたわけでもないのに何でそんなことがわかるんでしょうか。ｙ＝ｘ＋１/xのように増減表を書かなくても見たらがいけいが分かるタイプの曲線なのでしょうか。教えてください。
No.7152 - 2009/08/03(Mon) 19:52:31
☆ Re: 面積 / 都
xを-xに、yを-yに変えても式は元のままなので、この図形はx軸にもy軸にも対称ということが分かります。すなわち面積は第一象限のそれのみを考えればよいということです。
No.7155 - 2009/08/03(Mon) 20:01:44
☆ Re: 面積 / らっきー
納得しました！ありがとうございます。
No.7163 - 2009/08/04(Tue) 07:45:12
★ 必要条件から攻めるやり方 / まつだ
２以上の自然数nに対してnとn^2+２がともに素数となるのはn=３のときに限ることを証明せよ。
　
実験）nが２のときn^2+２は２，３で割り切れる
nが５のときは３で割り切れる
ｎが７のときは３と１７で割り切れる
ｎが１１のときは３と４１で割り切れる。

こうしてみるとn^2+２は尽く３で割り切れることが分かる。すると、n^2+２が３で割り切れないためには何が必要だろうか？

とありますが、何が必要なのかよくわかりません。どうか教えてください。
No.7149 - 2009/08/03(Mon) 18:06:15
☆ Re: 必要条件から攻めるやり方 / rtz
ヒント：
(3k±1)2＋2
＝9k2±6k＋3
＝3(3k2±2k＋1)
No.7151 - 2009/08/03(Mon) 18:44:37
☆ Re: 必要条件から攻めるやり方 / 豆
少し異なる表現で考えてみると、
n^2+2=(n+1)(n-1)+3
No.7164 - 2009/08/04(Tue) 09:08:55
★ インテグラルの意味 / らら
∫（a〜ｂ）ｆ（θ）ｄθについて

Ｆ（θ）＝∫ｆ（θ）ｄθと原始関数をおいたとき
Ｆ（θ）は積分された関数なので当然[a,b]で連続で（a,b)で微分可能とあるのですが、なぜか教えてください。
No.7148 - 2009/08/03(Mon) 16:29:11
☆ Re: インテグラルの意味 / KINO
連続関数の原始関数は微分可能だという定理があります。
それは定積分の基本的な性質のひとつです。

ですから，この話の前提として，「f(θ) は [a,b] で連続である」とどこかに断ってあるはずです。
No.7166 - 2009/08/04(Tue) 10:44:22
★ 整数問題 / かな
質問です。
　
　
xy＝2x＋3y＋1を満たす整数x、yをすべて求めよ。
　
　
　
解き方がいまいちわからなくて…
よろしくお願いします。
No.7118 - 2009/08/02(Sun) 22:08:49
☆ Re: 整数問題 / rtz
xy＝2x＋3y＋1
⇔xy−2x−3y＋？＝1＋？

？が幾らだったら左辺が因数分解できるか考えましょう。
あとは括弧で括った2つの整数の積が右辺の数になりますから…。
No.7120 - 2009/08/02(Sun) 22:35:42
☆ Re: 整数問題 / 豆
yに関して解いてみて、その式が整数になる
ように考察する、と言う方法もありますね。
No.7134 - 2009/08/03(Mon) 11:35:53
☆ Re: 整数問題 / かな
解けました＾＾
　
お二人とも
ありがとうございます！

No.7156 - 2009/08/03(Mon) 21:34:55
★ 順列・組み合わせの問題です。 / otsuki
よろしくお願いします。

(１)6個の数字1,2,3,4,5,6をすべて使ってできる6ケタの偶数は何個あるか。

(２)男子4人、女子3人の合計7人が1列に並ぶとき、女子3人が隣り合う並び方は何通りあるか。

(３)円周上に8個の点がある。このうち3個の点を結んでできる三角形は何個あるか。

(４)男子5人、女子6人の中から男女各2人の委員を選ぶとき、委員の選び方は何通りあるか。

順列・組み合わせの基礎が分からず勉強がまったく進みません。
nPrとnCrをどう使って解けばよいかも分からないです。
よろしくお願いします。
No.7115 - 2009/08/02(Sun) 17:58:25
☆ Re: 順列・組み合わせの問題です。 / Bob
ひとつの目安で
「・・・・並べる」という文言があれば順列
「・・・・を選ぶ」という文言があれば組合せ

ですかね。例外もありますが・・・・


（１）は６個の数字を並べて整数を作るので順列です
　　　１の位は２か４か６の３通り
　　あとは１の位を決めたのこりの数字を
　　１０万の位から１０の位まで並べることを考える

（２）は図を描くとイメージ涌きますよ
　　　女子３人を１人と考えるのがコツ
　　　あとで女子３人の並べ方を考えることも忘れずに
（３）は３この点を選んだ時点で三角形ができますから
　　　組合せになります


（４）男子の選び方　
　　　女子の選び方
計算したら積の法則
No.7122 - 2009/08/02(Sun) 22:41:31
★ 媒介変数の曲線 / aki
こんにちは。
もう一問だけお願いします。
http://s.upup.be/?VXnvpK3vlw
の(3)をこのように解きました。
http://q.upup.be/?azDLQWbVfZ
つまり最初から媒介変数の増減表を書いて面倒なことをしてしまったのですが、一応この方法でやったとき、図にしようとすると、緩急?が間違っていたようです。解答のような曲線(赤線)であることをどこに着目すれば推測できたのでしょうか？

どなたか教えてくださると有り難いです。
No.7114 - 2009/08/02(Sun) 17:55:02
☆ Re: 媒介変数の曲線 / ヨッシー
解等の方の画像が間違っていますね。
　
No.7128 - 2009/08/03(Mon) 10:11:22
☆ Re: 媒介変数の曲線 / aki
ヨッシーさんすみません。
http://q.upup.be/?op6oCL3SYl
です。
いつもごめんなさい。
No.7132 - 2009/08/03(Mon) 11:25:30
☆ Re: 媒介変数の曲線 / ヨッシー
少し前から、画像の大きさが、適正になってますね。
これくらいが見やすいです。

さて、問題ですが、

ひとつは、ｔ＝０、2π/3 のとき ｒ＝３ で、
ｔ＝π/3 のとき ｒ＝１ ということが、(1) よりわかるので、
それらの点を結べば、大体の凹凸がわかるということ。

さらには　y"＝d^2y/dx^2＝{d(y')/dt}/(dx/dt) を計算して、
凹凸を見ると、より確実です。
No.7135 - 2009/08/03(Mon) 11:44:25
☆ Re: 媒介変数の曲線 / aki
本当ですか、嬉しいです、安心しました(^^)
なるほどです、やっぱり(1)をどこかで使うといいのですね。

とても易しく教えて下さりありがとうございました！
No.7137 - 2009/08/03(Mon) 13:10:23
★ 図形の面積の問題です / rino
点A、点Bを中心とする半径６cmの２つの円がある。２つの円はお互いの中心を通るように交わっている。その交わった部分に、線分ABを直径とする円を描く。このとき、図の斜線部分の面積を求めなさい。ただし、円周率はπ

この問題は、先に重なっている部分を出すのでしょうか？全体から重なっている部分と白い円の面積を引くということなのでしょうか？正三角形を作るような気がするのですが…。教えてください。
No.7113 - 2009/08/02(Sun) 17:34:05
☆ Re: 図形の面積の問題です / DANDY　U
> この問題は、先に重なっている部分を出すのでしょうか？全体から重なっている部分と白い円の面積を引くということなのでしょうか？

そうですね、(２円の面積の和)−(２円の重なった部分の面積の和)−(白い円の面積)で求まります。

２円の交点をＣ,Ｄとすると△ABC,△ABDは正三角形になるから、∠CAD＝∠CBD＝120°
このことを(２円の重なった部分の面積の和)を求めるときに使います。
No.7117 - 2009/08/02(Sun) 21:58:25
☆ Re: 図形の面積の問題です / rino
ありがとうございます。解き方のイメージはできました。重なった部分ぼ面積は、半径６cm、中心角120度のおうぎ形の面積×２−対角線６cmと６√３cmのひし形の面積ををひけばいいのでしょうかね？
重なってる部分は、６×６×π×1/3×２−1/2×６×６√３＝24π−18√３
白い円は、３×３×π＝９π
斜線部分の面積は、６×６×π×２−(24π−18√３＋９π)
＝31π＋18√３
という感じで解くのでしょうか？
No.7176 - 2009/08/04(Tue) 20:34:21
★ 不等式 記述 / aki
こんにちは。
いつもありがとうございます。
今日もすみません宜しくお願いします。

http://q.upup.be/?azDLQWbVfZ
の問題ですが、(2)で使う不等式を
x−(x^3/6)まで絞り込みました。
その後の記述なんですが、x=√K/nを代入して…
と記述してよいのでしょうか？
答えでは
K=1､2…nのとき

という記述になっていたので気になっております。

数学の解答の記述に自信がないです。
お願いします。
No.7112 - 2009/08/02(Sun) 17:00:28
☆ Re: 不等式 記述 / ヨッシー
何をどう絞り込んだのか？
k=1,2･･･n という記述とはどういうものなのか？
書いていただけますか？
No.7129 - 2009/08/03(Mon) 10:58:31
☆ Re: 不等式 記述 / aki
絞り込みましたというのは特に意味がなく使える不等式を定められましたという意味です。
x−1/6x^3についてx=√K/nを代入して
√K/n−K√K/(6n^3)
と記述してもいいのでしょうか？
ということです。

このx=√K/nを代入して
という部分が
解答では

K=1､2…nのとき

と書いてあったので気になりました。
No.7133 - 2009/08/03(Mon) 11:31:49
☆ Re: 不等式 記述 / ヨッシー
(2) で (1) の不等式を使うという意味でしょうか？
それなら、どんどん使って、ｘに√k/n も代入してください。
ただし、ｘ＞０ であることを確認してからです。

で、そのあと、どうやって答えまで持っていきますか？

その筋道が正しければ、
>解答では
>K=1､2…nのとき
>と書いてあった
のは、気にする必要はありません。

ちなみに、
>解答では
>K=1､2…nのとき
のあと、どのように書いてますか？
No.7136 - 2009/08/03(Mon) 11:50:00
☆ Re: 不等式 記述 / aki
はい(1)の不等式を利用しました。
解答は
http://x.upup.be/?7N7ZeoTWqo
こんなかんじです。
私もその
K=1､2…nのとき
という記述以外は全く同じ風に解きました。

No.7138 - 2009/08/03(Mon) 13:23:57
☆ Re: 不等式 記述 / ヨッシー
確かに気になるところではありますが、
ここで重要なのは、上にも書きましたが、
ｘ＞０ であることです。
このことが、どこかで押さえられていれば、ＯＫです。

たとえば、ｎ、ｋともに正の数なので、というような
言い方でも良いと思います。
No.7141 - 2009/08/03(Mon) 14:03:31
☆ Re: 不等式 記述 / aki
わかりました、大事なのはx>0なんですね。
ありがとうございました。

No.7145 - 2009/08/03(Mon) 14:58:50
★ 浪人生です / 沢民
nを自然数とし、In=∫[1〜e](logx)^ndx
と置く。
In<=e/n+1を示せ。

＜解答＞
部分積分法によりIn+1=e-(n+1)In
1<=x<=eにおいて(logx)^(n+1)>=0なので
両辺[1〜e]で積分して
In+1>=0



この等号は成り立たないはずなのに
こう書いてもよいのでしょうか？
私はIn+1>0
と書きました。
お願いします。
No.7086 - 2009/08/01(Sat) 23:36:51
☆ Re: 浪人生です / angel
＞ この等号は成り立たないはずなのに
＞ こう書いてもよいのでしょうか？

問題ありません。
「区間[a,b]でf(x)≧0 あれば ∫[a,b]f(x)dx≧0」という命題は真です。これに対して、a=1,b=e,f(x)=(logx)^(n+1)を適用したまでです。

A≧B という形を見て、「AとBが等しい時が必ずどこかである」と考えているようだと危ないですよ。
「AとBが等しい時もあるかもしれないが、なくても良い」が正しいです。
そのため、A＞B が明らかに分かっているとしても、A≧B を代わりに使ってなんら問題ありません。( 勿論、問題を解くのに十分であれば、ですが )
「A＞B⇒A≧B」という命題は真なのです。
No.7092 - 2009/08/02(Sun) 00:25:42
☆ Re: 浪人生です / 沢民
ありがとうございます。

相加・相乗で等号が成り立たない場合が
でてくるのもこのことと関係ありますか？
No.7116 - 2009/08/02(Sun) 20:14:21
☆ Re: 浪人生です / ヨッシー
「このこと」が何を指すかわかりませんが、
あり得ないことではありません。

ただ、相加相乗の場合、「等号が成り立つときが最大値」
のような使い方が多いので、成り立たない場合は、あまり
多くないと思います。
No.7130 - 2009/08/03(Mon) 11:14:05
☆ Re: 浪人生です / 沢民
ありがとうございました。
No.7161 - 2009/08/03(Mon) 23:40:48
★ 重複した面積 / √
よろしくお願い致します。　算数です。

円周率は３．１４で計算します。

（図が書けないので、文章だけですみません）
半径１ｃｍの３つの円が、次のように重なっています。
【重なり方】
互いに、他の２つの円の中心を通るように重なっています。
この時、
２重（のみ）に重なっている面積の合計を求める問題です。
（真ん中にできたルーローの三角形みたいなエリアを除く）

答えは１．５７ｃ?uです。
よろしくお願い致します。
No.7084 - 2009/08/01(Sat) 23:24:18
☆ Re: 重複した面積 / angel
↓こういうことでしょうかね。
No.7088 - 2009/08/02(Sun) 00:02:47
☆ Re: 重複した面積 / √
ａｎｇｅｌさん

早速、有り難うございます。
私の書き方が、不適切で申し訳ありませんでした。

ａｎｇｅｌさんの書かれた図の３つのうち、
左上の赤色の面積の合計を教えて下さい。

よろしくお願い致します。
No.7089 - 2009/08/02(Sun) 00:11:46
☆ Re: 重複した面積 / ヨッシー
angel さんの図で、もう答えが出ているのですが、
（扇形３つになっている）
私も図を描いたので、載せておきます。

No.7090 - 2009/08/02(Sun) 00:15:57
☆ Re: 重複した面積 / √
ａｎｇｅｌさん
すみません。図は３つとも同じ面積でしたね。
大変、失礼致しました。

ヨッシーさん
有り難うございました。
ちょうど半円の面積になるのですね。
No.7091 - 2009/08/02(Sun) 00:25:18
☆ Re: 重複した面積 / √
ａｎｇｅｌさん　ヨッシーさん
先程は、有り難うございました。

同じ円が３つの場合（上記）の考え方は、
分ったのですが（中心角が６０度の扇形３コ分）

では、
半径が同じ２つの円が、互いに他方の円の中心を通るように
重なっている時、重なっている部分の面積の出し方が分らないので教えてください。

（なんか最近、私ボケまくってます。すみません）
No.7094 - 2009/08/02(Sun) 00:59:13
☆ Re: 重複した面積 / angel
今度は正三角形の面積 ( 高さ ) を知っておく必要があります。

同じ円が3つの場合に、爪の先のような形を移動させて、面積の計算を分かり易くしていましたが、
　(爪の先のような形の面積)=(中心角60°の扇形の面積)-(正三角形の面積)
という関係があります。

円2つが重なっている場合、重なっている部分は、
　(中心角60°の扇形)×2 + (爪の先のような形)×2
ですから、上で挙げた関係を考えると、
　(中心角60°の扇形)×4 - (正三角形)×2
となります。

で、正三角形についてですが、
　(正三角形の高さ) = (正三角形の辺)×√3/2 ≒ (正三角形の辺)×0.866
です。
これより、
　(正三角形の面積) = (正三角形の辺)×(正三角形の辺)×√3/4
　≒(正三角形の辺)×(正三角形の辺)×0.433
となります。

算数では、建前上√3という数は出てこないはずなので、0.866や0.433といった数値が問題の中で説明されるはずです。
No.7096 - 2009/08/02(Sun) 01:16:57
☆ Re: 重複した面積 / √
ａｎｇｅｌさん
夕べは、遅くまで有り難うございました。

円が２つの場合も、理解できました。
（中心角６０度の扇形２コ分）＋（かまぼこ型２コ分）
ということですね。

円が、
３つの時よりも、２つの時の方が簡単なのかと思っていましたが、３つの時の方が計算が楽なのですね。
（中心角６０度の扇形３コ分だから、ちょうど半円の面積）


余談ですが（錯視？）
夕べａｎｇｅｌさんが書いてくださった３つの図を矢印通りに見ていくと、最後の図が波を打っているいるように見えてしまって、一瞬、扇形だと気づきませんでした。
これって錯視？　大ボケの私だけかしら？


私は、高校卒業以来、数学からは遠ざかってしまって長い年月がたちました。
なので、時々、ここで勉強させて頂いております。
また、突然、突拍子もない質問をすることがあると思いますが、どうぞ、よろしくお願い致します。
No.7100 - 2009/08/02(Sun) 07:41:21
★ 漸化式 / さつき
連立漸化式
A(n+1)=An-Bn
B(n+1)=2An+4Bn

を解く際に
４ｃ−１＝ｃ（２ｃ＋１）という式がどこから来るのか分かりません。
No.7081 - 2009/08/01(Sat) 20:36:29
☆ Re: 漸化式 / ヨッシー
まずは、こちらをご覧ください。

その結果、４ｃ−１＝ｃ（２ｃ＋１）が出てくるかどうかは
まだ確認していません。
No.7082 - 2009/08/01(Sat) 20:54:04
☆ Re: 漸化式 / さつき
こちら一応見ましたが、まだわかりません。。
（Ａｎ＋１）＋ｃ（Ｂｎ＋１）＝（２ｃ＋１）Ａｎ＋（４ｃ−１）Ｂｎという式が関係してるはずなのですが・・・
No.7099 - 2009/08/02(Sun) 06:13:58
☆ Re: 漸化式 / ヨッシー
その式に限って言うなら、
A(n+1)=An-Bn に B(n+1)=2An+4Bn をｃ倍したものを足して、
　A(n+1)+cB(n+1)=(2c+1)An+(4c-1)Bn
これが、
　A(n+1)+cB(n+1)=(2c+1)(An+cBn)
と書けたなら、An+cBn は、公比2c+1 の等比数列になります。
展開して比較すると Bn の係数において、
　c(2c+1)＝4c-1
が必要条件になります。
　
No.7101 - 2009/08/02(Sun) 08:15:40
☆ Re: 漸化式 / さつき
c(2c+1)＝4c-1
が必要条件になります

＞余談かもしれませんが、これを満たす実数ｃが存在すれば十分ということでいいのでしょうか。ヨッシーさんもこの特性方程式を計算用紙のすみなどでやっているのですか。
No.7102 - 2009/08/02(Sun) 09:12:57
☆ Re: 漸化式 / ヨッシー
実数ｃが存在するのに、漸化式が解けないということが、
あるかというと、そういう事例は知りませんが、
だから十分かどうかは、わかりません。
特に、ｃが重根になったとき（これも、そういう事例が
あるか知りませんが)は、注意が必要です。
そうでないときは、たいてい解けるでしょう。

特性方程式と思って、式を立てたことはありませんし、
そういったものは、用紙の隅でなく、解答として書きます。
No.7131 - 2009/08/03(Mon) 11:24:29
★ (No Subject) / 高３
Σ（k=1〜n)k^mの求め方を教えてください。帰納法、二項定理を使うようなのですが、分かりません。どなたか教えてください。
No.7079 - 2009/08/01(Sat) 19:14:33
☆ Re: / angel
m の具体的な指定はないのでしょうか? まさか任意の m についてですか?

そうすると、
　1^1+2^1+3^1+…+n^1=1/2・n(n+1)
　1^2+2^2+3^2+…+n^2=1/6・n(n+1)(2n+1)
　1^3+2^3+3^3+…+n^3=1/4・n^2・(n+1)^2
　…
を全部もとめるような話になってしまうのですが、そういう問題なのでしょうか?
No.7093 - 2009/08/02(Sun) 00:50:59
★ 面積 / aki
こんばんは。
すみませんが教えて下さい。
y=x^2/3
直線x=8 及びx軸によって囲まれる部分の面積が関数y=ax^3(a>0)のグラフで2等分されるとき定数aの値を求めよ

まずy=ax^3が(8､2)を通る時を考えるとa=1/256 になりました。
このとき
∫[0→8]x^2/256 dx=4なので全体の面積12の半分より少ないため、曲線二つの交点は8どうしてでしょうか。
簡単なことをお聞きして本当に申し訳ありませんがお願いします。
No.7078 - 2009/08/01(Sat) 18:26:09
☆ Re: 面積 / angel
なんか、色々計算が合いません。
「y=x^2/3」というのは、y=x^(2/3) のことですよね。
そうすると添付した図のような話になっていると思うのですが…。

問題と計算結果を確かめてみて下さい。
No.7098 - 2009/08/02(Sun) 01:59:53
☆ Re: 面積 / aki
すみませんy=x^(1/3)でした(>_<)
y=3√xのことです。
申し訳ありません！
お願いします(>_<)
No.7103 - 2009/08/02(Sun) 13:30:08
☆ Re: 面積 / angel
ああ、y=x^(1/3) ですね。
確かに、そうすると他の計算結果は全てあっていますね。

…そうすると、先に挙げた図と大して変わらないのですが、添付の図のような状況になっていますから、確かめてみて下さい。

※ちゃんと、こういうグラフを描いて考えていますよね? ( 図をこちらに見せる必要はありませんが )
No.7119 - 2009/08/02(Sun) 22:29:20
☆ Re: 面積 / aki
そうですね、なんだか色々勘違いをしていたようです。
パニックにならないよう頑張ります。
簡単なことを聞いてごめんなさいありがとうございました(>_<)
No.7139 - 2009/08/03(Mon) 13:31:26
★ 合同式 / 桂
１９ｘ−６ｙ＝１の整数解を合同式で求めたいのですが。いきなりｘ≡１（mod6)となるのが分かりません。なぜそうなるのか教えてください。
No.7066 - 2009/08/01(Sat) 15:27:40
☆ Re: 合同式 / angel
19x-6y=1
⇒ 19x-6y≡1 (mod 6)
⇔ 1・x - 0・y ≡ 1(mod 6)　　(∵19≡1 (mod 6), 6≡0 (mod 6))
⇔ x≡1 (mod 6)

ということで、x≡1 (mod 6) が必要条件であることが分かります。
No.7068 - 2009/08/01(Sat) 15:42:31
☆ Re: 合同式 / 桂
必要条件ということは
ｘ≡１よりｘ＝６ｋ＋１（ｋは整数）
と答えを書くのはまだ早いということですか？
また、十分性を確認する方法はあるのですか？
No.7665 - 2009/08/29(Sat) 00:13:53
★ 二次関数 / 小次郎
関数 f(x)=(x^2-4x)^2-10(x^2-4x)+20について

(1)t=x^2-4xとおくとき、tのとりうる値の範囲は？

(2)f(x)の最小値はMでありそのxの値はGである。MとGを答えよ。

解答解法の記載をよろしくお願いします。
No.7061 - 2009/08/01(Sat) 13:21:34
☆ Re: 二次関数 / ヨッシー
(1)
ｔ＝(x-2)^2-4 より t≧-4　等号は x=2 のとき。

(2)
　f(x)＝t^2-10t+20
と書けるので、ｔについての2次関数の、 t≧-4 における
最小値を求める問題となります。
　f(x)＝(t-5)^2-5
より、ｔ＝５ のときに、最小値 -5 をとります。(M=5)
ｔ＝５ となるのは、
　x^2-4x=5
より
　(x-5)(x+1)=0
　x=-1 または x=5　(G=-1 または G=5)
No.7070 - 2009/08/01(Sat) 16:58:43
☆ Re: 二次関数 / 小次郎
理解できました！！
ありがとうございます。
No.7105 - 2009/08/02(Sun) 15:18:32
★ 体積 / aki
こんばんは。
すみませんが質問お願いします。

y=x^2−ax(a>0)とx軸で囲まれた図形をx軸の周りに一回転してできる立体の体積をV1
y軸の周りに一回転してできる立体の体積をV2とする。
V1=V2となるように定数aを求めよ

このy軸回転の方がどう考えるかわかりません。
簡単なことを聞いて申し訳ありませんが教えて下さい。
No.7058 - 2009/07/31(Fri) 22:00:37
☆ Re: 体積 / angel
回転させたイメージを描くことです。

y軸を軸として、軸に垂直な切断面を考えることになります。
図のように、y=t で切った場合、半径βの円から半径αの円を取り除いた形が切断面となります。
なお、α,βは、y=t, y=x^2-ax の xの解 ( 早い話、二次方程式 x^2-ax-t=0 の解 ) であり、α＜βであることに注意してください。
※敢えてα(t), β(t) とは書きませんが、α,βはtの関数です

後は、β-α=√( (β-α)^2 )=√( (α+β)^2-4αβ ) であることに注意すれば、切断面の面積を α,βの対称式で表すことができ、そこから t の式として表せます。
※二次方程式を直接解いて値を求めても良いです。

最後に、定積分 ∫[tの範囲] (切断面の面積)dt を計算すれば答えになります。
No.7067 - 2009/08/01(Sat) 15:38:01
☆ Re: 体積 / aki
やっとできました！
切断面を考えるんですね。ありがとうございました。
No.7071 - 2009/08/01(Sat) 17:03:55
★ 不等式 / aki
こんにちは。
質問お願いします。

K>0のとき
∫[K〜K＋1]1/xdx <1/K
を示せ
これを考える際、まず普通に右辺ひく左辺をf(x)とおいて考えようと思いましたが、うまくいきそうもありませんでした。
答えをみたら区分求積的な考え方?をするみたいです。
1/x≦1/K にインテグラルをつけて示すそうです。このとき等号がついているのに、x=Kのときのみ等号成立なので解答では等号をとれるそうなのですが、これがわかりませんでした。
どなたか教えて下さい。
No.7049 - 2009/07/31(Fri) 15:40:10
☆ Re: 不等式 / 七
ｘはK〜K＋1なので
つねにｘ＝ｋ とはいえないからだと思いますが…
No.7054 - 2009/07/31(Fri) 17:28:56
☆ Re: 不等式 / aki
あ、そうですね…
ありがとうございます…

また、右辺ひく左辺をf(x)と置く方法ではできないのでしょうか？
No.7056 - 2009/07/31(Fri) 17:52:51
☆ Re: 不等式 / X
xは左辺の定積分に隠れているので変数にはできません。
kを変数と見て
f(k)=∫[k→k+1]dx/x-1/k (A)
と置いてf(k)<0を証明する、という方針であればできます。

(A)より
f'(k)={1/(k+1)-1/k}+1/k^2
={k^2-k(k+1)+(k+1)}{(k+1)k^2}
=1/{(k+1)k^2}
∴k>0よりf'(k)>0ゆえ
f(k)は単調増加 (B)
更に
f(k)=log(1+1/k)-1/k
∴lim[k→∞]f(k)=0 (C)
(B)(C)よりk>0のときf(k)<0
No.7057 - 2009/07/31(Fri) 20:34:15
☆ Re: 不等式 / aki
(A)は
f(K)=1/K＋log|K/K＋1|
でしょうか？
それでやると
f'(K)=−1/K^2(K＋1)
で単調減少になってしまったのですが(>_<)
すみませんまた教えて下さい(>_<)
No.7059 - 2009/07/31(Fri) 22:08:33
☆ Re: 不等式 / angel
単調減少であっています。
f'(k)＜0 かつ lim[k→+∞] f(k)=0 のため f(k)＞0 です。

つまり、kの増加につれ、どんどん f(k) の値が減っていっても、0 までは到達しない、ということで f(k) が常に 0 よりも大きくなっている事を説明しているわけです。

※参考として、g(t)=f(1/t) と置けば、lim[t→+0] g(t)=0 かつ g'(t)＞0 (単調増加) ということで、前にあった質問と同じパターンに持ち込めます。
No.7065 - 2009/08/01(Sat) 14:57:32
☆ Re: 不等式 / aki
わかりました、ありがとうございます。
ただ極限だけわからなかったのですがlogK/(K＋1)の極限が0にならなくて、log{1＋−1/(K＋1)}と考えるとlog0に近付くので−∞になってしまいます。

教えて下さい(>_<)
No.7072 - 2009/08/01(Sat) 17:18:33
☆ Re: 不等式 / angel
lim[k→+0] log(k/(k+1)) ではないですよ。
lim[k→+∞] log(k/(k+1)) ですよ。
XさんのNo.7057や、私のNo.7065の説明を再度読み返してください。( No.7065の「※参考として…」の部分は取り敢えず置いておいてください )

そうそう、忘れていました。
Xさんは、f(k)=(元の不等式の左辺)-(元の不等式の右辺) でやっていますから、f(k)は単調増加、f(k)＜0 という話になっていますが、
akiさんは丁度逆でやっていますから、f(k)は単調減少、f(k)＞0 という話になっています。
どちらでやっても良いですが、そこの所を読み替えてください。
No.7095 - 2009/08/02(Sun) 01:00:22
☆ Re: 不等式 / aki
わかりましたできました…
ありがとうございます。

ちなみに単調減少でやった場合はlim[x→0]f(x)は一応示さなくてよいのでしょうか？
単調減少がちゃんとずっと続くかが気になったのですが…
ちなみにやってみると∞＋−∞になるでしょうか？答えがうまく求められませんでした…

すみませんがそこだけお願いします…
No.7106 - 2009/08/02(Sun) 15:18:42
☆ Re: 不等式 / X
y=f(x)のグラフをイメージしてみて下さい。
f(x)が単調減少で、かつ
lim[x→∞]f(x)=0
の場合、x>0においてy=f(x)のグラフはx軸の上側にあります。
このとき
lim[x→0]f(x) (A)
は正になります(負だと矛盾します)が、その値が
f(x)の符号に影響することはありません。
ということで(A)の計算は必要ありません。
No.7124 - 2009/08/02(Sun) 23:36:02
☆ Re: 不等式 / aki
わかりました、xさんありがとうございました。
No.7146 - 2009/08/03(Mon) 15:08:03
★ お願いします。 / 悠

初めまして。自分なりに解いたのですが、答えが合いません・・・教えてください。

点Oは原点、曲線lは関数y=ax^2（a>0）を表している。点P、Qはともに曲線ｌ上にあり、x座標の値をそれぞれp,qとする。ただし、p,qはともに正の数であり、p<qとする。
　
q=p+2とする。xがpからqまで増加するときの変化の割合が5aであるとき、pの値を求めなさい。


このとき、((a(p+2)^2)-(ap^2))/((p+2）-p)=5aという式に当てはめるのではないのでしょうか？

ちなみに、答えはp=3/2です。

よろしくお願いします。

（中3）
　
No.7048 - 2009/07/31(Fri) 14:44:01
☆ Re: お願いします。 / 七
> このとき、((a(p+2)^2)-(ap^2))/((p+2）-p)=5aという式に当てはめるのではないのでしょうか？

そうです。答えはp=3/2です。
No.7055 - 2009/07/31(Fri) 17:38:10
☆ Re: お願いします。 / 悠
ありがとうございました。

単純なケアレスミスでした；；
No.7060 - 2009/08/01(Sat) 07:27:30
全22697件 [ ページ : << 1 ... 1039 1040 1041 1042 1043 1044 1045 1046 1047 1048 1049 1050 1051 1052 1053 ... 1135 >> ]