行列
a -b
b a
が回転拡大を表す行列、だという簡単な証明を教えてください。(1,0)が(a,b)に移ることを利用した証明があったらより助かります。よろしくお願いします。
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No.7491 - 2009/08/16(Sun) 17:04:26
| ☆ Re: 回転拡大を表す行列 / 七 | | | > 行列
>
> a -b
> b a
>
> が回転拡大を表す行列、
とは限りません。
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No.7496 - 2009/08/16(Sun) 20:10:52 |
| ☆ Re: 回転拡大を表す行列 / 七 | | | 原点に関してθの回転を表す行列は
cosθ -sinθ
sinθ cosθ
です。
またｒ倍の拡大を表す行列は
ｒ 0
0 ｒ
です。
θの回転とｒ倍の拡大を表す行列は
この2つの行列の積です。
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No.7499 - 2009/08/16(Sun) 20:25:10 |
| ☆ (No Subject) / parasol | | | 質問の仕方に不備があったようなので、質問の仕方を変えます。
問題）A=
a -b
b a
(a,b:実数）
とする。A^6=EをみたすAを全て求めよ。
解）（１，０）方向から（a,b）方向への回転角をθ（０≦θ＜２π）とおき、√(a^2+b^2)=rとおくとa=rsinθ、b=rcosθにより、A=ｒ
cosθ -sinθ
sinθ cosθ
と表せる。よって〜
解答をそのまま写しました。
行列
a -b
b a
からAの行列を出してるみたいなのですが
この回答の意味（Aの行列の導き方）が理解できません
分かる人がいたらどうか教えてください。
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No.7502 - 2009/08/16(Sun) 21:20:18 |
| ☆ Re: 回転拡大を表す行列 / ast | | | 模範解答でやっている内容と同じことは, 受験数学でおなじみの三角函数の合成で散々やっているはずですが…….
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No.7503 - 2009/08/16(Sun) 22:28:34 |
| ☆ Re: 回転拡大を表す行列 / parasol | | | ならば細かい部分から
（１，０）はどこからきたのですか
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No.7509 - 2009/08/17(Mon) 02:06:25 |
| ☆ Re: 回転拡大を表す行列 / ast | | | "ならば" で接続するような内容という気がしないのですが, (1,0) は x-軸 (の正の部分) 上の点であるという以上の意味はありませんし, それ以上の意味を持たせる必要もありません. そもそも模範解答の文言は "(1,0)-方向" であるということに注意してください.
もう少しだけ詳しく述べれば, No.7499 に書かれているような事実を念頭において, r * cos(θ) = a, r * sin(θ) = b となるような θ を求めたければ, そういう三角形 (原点, (a,0), (a,b) を頂点に持つ直角三角形) を書けばいいというだけの話です (直角や平角を越える場合は何処のどの値がどのようにどの三角函数の値を定めているか, 三角函数の定義を今一度復習なさるのも良い考えでしょう).
もう一度繰り返しますが, 上述の説明文の中でご質問の (1,0) は (極座標での) 偏角 θ を x-軸の正方向へ向かう半直線から測りはじめるという約束事を再度確認する程度の役割しか持っていませんし, それで十分役割を果たしていることが確認できると思います.
なお, "三角函数の合成" a * sin(x) + b * cos(x) = r * sin(x + θ) 云々の話は, 加法定理 sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y) を逆に用いるために, a = r * cos(θ), b = r * sin(θ) となるように r, θ を決定するといったようなことをやっているはずだ, という意味です. このときもやはり同様の三角形を想定する必要があったはずです (もちろん三角形を描かなくてもすぐに見つけられる, という方もいらっしゃるでしょうが).
たとえば (sin(x) + cos(x) = r * sin(x + θ) という合成を行いたいときなど) 1 = r * cos(θ), 1 = r * sin(θ) となる r, θ を導出するには, (0,0), (1,0), (1,1) を頂点に持つ直角三角形を書けば, r = √2, θ = π/4 ととればよいことが一目瞭然になります. そういうことをなさった記憶はありませんか?
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No.7510 - 2009/08/17(Mon) 07:56:18 |
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