[ 掲示板に戻る ]
過去ログ閲覧モード
★ 自然対数の概数 / Kay(高２女子）
数学?Vの微分です。

問　aは定数とする時、logx=-x^2+3x+a の相異なる実数解の個数を答えよ。

上の問題で、y=f(x)=logx+x^2-3x・・・?@
y=a・・・?A　とおいて、グラフを描いて?@と?Aの交点の数を
求めて解こうとしました。

01/2<x<1のとき、y'<0
1<xのとき、0<y'

x=1で、極小値 f(1)=-2
x=1/2で、極大値 f(1/2)=-log2-5/4 までは求めることができ
増減表を書きました。

導関数y'の符号から、f(1/2)>f(1)が分かるので、
-log2-5/4>-2 も言えるというののはその通りなのですが、
解いているうちに疑問がわきました。

それは、自然対数log2はおおよそどの位の値かと言うことです。常用対数ならば、常用対数表があるので、分かるのですが、
自然対数の概数はどうすればわかりますか。

e≒2.718...ですので log2.7≒1 と e^0=1ですので log1=0は
わかるのですが、そのほかはどうすればいいのでしょうか。
あるいは、そんなことはわからなくてもよいのでしょうか。
よろしくお願いいたします。

No.6299 - 2009/06/14(Sun) 17:51:54
☆ Re: 自然対数の概数 / rtz
e3＞2.73＞19＞16
⇔3＞log16＝log24＝4log2
⇔3/4＞log2
⇔-log2-(5/4)＞-2

√の中身がどのくらいの大きさなのか考えるのと同じです。
(実際は下から順に考えてます)
No.6303 - 2009/06/14(Sun) 19:35:07
★ 教えてください / ひろあき
高一の問題です。

xについての方程式2(k−1)x^2＋2(k＋3)x＋k＋6＝0の実数解がただ１つだけであるような定数kの値を求めよ。
No.6295 - 2009/06/14(Sun) 15:08:27
☆ Re: 教えてください / ねこ
x^2の係数が0か0でないかを場合わけでしょうね。
No.6297 - 2009/06/14(Sun) 16:35:45
☆ Re: 教えてください / ひろあき
早速、ありがとうございます。場合わけはわかりました。そこからがまだつまづいているのですが……教えていただけませんでしょうか。
No.6298 - 2009/06/14(Sun) 17:24:26
☆ Re: 教えてください / rtz
x2の係数＝0→代入して確認
x2の係数≠0→2次方程式が実数解をただ1つ持つ
No.6302 - 2009/06/14(Sun) 19:28:10
★ マクローリン / みほ
連続ですみません・・・・。
次の近似値を小数点以下第５位まで求めよ。
（１）√（１．１）
（２）log（１．１）


どのようにして解けばいいのかスタートがきれません。
解説お願いします。
No.6292 - 2009/06/14(Sun) 12:46:17
☆ Re: マクローリン / ヨッシー
マクローリン とあるので、
f(x)＝√(１＋ｘ)
g(x)＝log(１＋ｘ)
をそれぞれ、ｘ6 あたりまでマクローリン展開して、
ｘ＝0.1を代入すればいいでしょう。
No.6308 - 2009/06/14(Sun) 22:39:20
☆ マクローリン / みほ
なぜf(x)＝√(１＋ｘ)、g(x)＝log(１＋ｘ)なのですか？
基本的な部分がわかりません。
すみませんが解説お願いします。
No.6312 - 2009/06/15(Mon) 20:01:26
☆ Re: マクローリン / ヨッシー
１つめの理由は、log(１＋ｘ) のマクローリン展開の公式を
自分で作ったことがあること。
２つめの理由は、マクローリン展開で、ｘの多項式になったとき、ｘ＝0.1 を入れれば、うまく収束すること。
です。
No.6314 - 2009/06/15(Mon) 21:29:44
☆ マクローリン / みほ
わかりました。
さっそくやってみたいと思います。

解説ありがとうございました。
No.6315 - 2009/06/15(Mon) 22:41:43
★ 極限 / みほ
また解説お願いします。
次ぎの極限を求めよ。
（１）lim(x→０）{(1／x＾２)−（１／sin＾２x）}
（２）lim（x→０）x＾｛１／log（x＾２−１）｝

（１）について
分母がx＾２（sin＾２x）のカタチになるとは思うのですがそこからができません。
（２）について
全く先の見えない計算が続いてしまいます。


すみませんが解説お願いします。
No.6291 - 2009/06/14(Sun) 12:43:34
☆ Re: 極限 / angel
(1)
x→0 で sin の絡む極限ですから、lim[x→0] sinx/x = 1 を有効活用することがまず第一です。
しかし、今回は 1-sinx/x ( → 0 ) の形が出てきますので、もう少し掘り下げる必要があります。

マクローリン展開を行えば、
　sinx = x - 1/6・x^3 + 1/120・x^5 …
となります。これは、lim[x→0] (sinx-x)/x^3 = -1/6 ということです。

ということで、sinx/x と (sinx-x)/x^3 の形にもっていきましょう。
※例えば、(sinx)^2-x^2 であれば、
　(sinx)^2-x^2 = (sinx+x)(sinx-x) = x^4・((sinx/x)+1)・( (sinx-x)/x^3 )
　というように変形できます。

(2)
x→0 で log(x^2-1) という形が変です。
※x=0 の近辺では、log(マイナス) になってしまい、値が計算できない
問題はあっていますでしょうか?
No.6310 - 2009/06/15(Mon) 13:19:33
☆ 極限 / みほ
(1)参考にしてやってみます。

(2)問題が間違っていました。
すみません・・・・。
lim（x→０）x＾｛１／log（(e＾x)−１）｝
でお願いします。

早い解説ありがとうございます。
No.6311 - 2009/06/15(Mon) 19:59:58
★ お願いします / 高3
lim[n→∞](３^n−２^n)
の答えが１じゃなくて３になるのはどうしてですか？?ｫ
No.6288 - 2009/06/14(Sun) 11:57:53
☆ Re: お願いします / rtz
1にも3にもなりませんが…。
No.6290 - 2009/06/14(Sun) 12:13:42
★ 平面上のベクトル / ベケット
証明問題(２)の解法が解りません。

(１)は解けましたが誘導問題だと思うので書いておきます。

(１)不等式　2x･y≦|x|^2＋|y|^2が成り立つ事を証明せよ。
(２)aを定ベクトルとし、ベクトルの集合Ｓ＝{x｜|x|^2＋a･x≦1}を考える。Ｓに属する任意のベクトルx，yと、任意の実数t(0≦t≦1)に対して、ベクトルtx＋(1―t)yはＳに属する事を証明せよ。　(神戸大)

他の投稿者を真似てベキを表示してみましたが上手く伝わっているでしょうか？
それと念のため、x，y，aはベクトルです。

休日に投稿してしまい申し訳ありません。
お身体に気を付けて下さい。
No.6285 - 2009/06/14(Sun) 10:28:10
☆ Re: 平面上のベクトル / rtz
ベクトルなら↑xとするか、xとするかでしょうか。


|t↑x＋(1-t)↑y|2＋↑a・(t↑x＋(1-t)↑y)
＝t2|↑x|2＋2t(1-t)(↑x・↑y)＋(1-t)2|↑y|2＋t(↑a・↑x)＋(1-t)(↑a・↑y)
≦t2＋t(1-t)(↑a・↑x)＋(1-t)2＋t(1-t)(↑a・↑y)＋2t(1-t)(↑x・↑y) (∵↑x,↑y∈S)
≦t2＋(1-t)2＋t(1-t)(↑a・↑x)＋t(1-t)(↑a・↑y)＋t(1-t)(|↑x|2＋|↑y|2) (∵(1))
≦t2＋(1-t)2＋2t(1-t)
＝1

ただ計算していくだけですね。
No.6289 - 2009/06/14(Sun) 12:12:56
☆ Re: 平面上のベクトル / ベケット
ありがとうございます！

計算で証明できる事は解りましたが､｢式が表す図形的な意味｣という観点からの解法は無いのでしょうか？
No.6296 - 2009/06/14(Sun) 15:15:33
☆ Re: 平面上のベクトル / rtz
Sが表す領域は、
(-1/2)↑aを中心とし、半径(1/2)√(|↑a|2＋4)の円の周及び内部である。
この領域内の任意の2点を結ぶ線分は、必ず領域内にあることを証明せよ。

とすりかえられますが、
上の様に問題を変換できることが大前提です。
変換できるなら証明自体は簡単ですし、
そもそも要求されているであろう先の解法で問題なく解けていると思いますが。
No.6301 - 2009/06/14(Sun) 19:19:05
☆ Re: 平面上のベクトル / ベケット
ありがとうございます！

御指摘通りですね(別解があるのか知っておきたかったんですよ?ｫ)

計算でガリガリやっていきます。
No.6305 - 2009/06/14(Sun) 20:27:48
★ (No Subject) / 極限
以下の問題をお願いします
f(x)=x^2・sin(1/x)
g(x)=sinx
に対して
lim(x→0) f'(x)/g'(x)は存在しないが
lim(x→0) f(x)/g(x)は存在することを示せ。
No.6282 - 2009/06/13(Sat) 20:03:31
★ 二次関数の問題です / rino
たびたびすみません。考え方がよくわからなくなってしまったので、教えてください。

放物線ｙ＝(1/3)ｘ＾2と直線ｘ＝−3、ｘ＝6との交点をそれぞれA、Bとする。また、直線＝3と放物線との交点をCとする。直線ABとｙ軸との交点をDとするとき、この点Dを通る直線で△ACBの面積を2等分するとき、その直線の式を求めなさい。

どこに補助線をひいて考えればよいのでしょうか？
No.6272 - 2009/06/13(Sat) 13:15:14
☆ Re: 二次関数の問題です / DANDY　U
BCの中点をＥとし、ＤとＥを結びます。
Ａを通るＤＥの平行線とＢＣとの交点をＦとします。
すると直線ＤＦは△ACBの面積を二等分します。

（∵ △DFB＝△DEB＋△DFE＝△DEB＋△DEA＝△ABE＝(1/2)*△ABC）
No.6273 - 2009/06/13(Sat) 15:14:37
☆ Re: 二次関数の問題です / rino
わかりました。ありがとうございます。そのようにして等積変形をするのですね。
No.6293 - 2009/06/14(Sun) 14:22:15
★ 高校入試の問題です / rino
すみません。またわからないことが出てきたので、教えてください。よろしくお願いします。

一辺の長さが４cmの立方体の展開図である。図のように線分AB、CD、EFで影をつけた部分を切り落とし、立方体を作るように組み立てたとき、次の問いに答えなさい。

(1)　線分AB、CD、EFで囲まれた図形の面積
　　　　確信はありませんが、これは12√３だと思います。
(2)　線分AB、CD、EFで囲まれた図形を底面とし、点Pを頂点とする角錘の体積

(3)　出来上がった立体の体積
No.6271 - 2009/06/13(Sat) 13:01:10
☆ Re: 高校入試の問題です / DANDY　U
(1) は一辺2√3の正六角形になるから、12√３で正しいです。
(2) この角錐の高さは,もとの立方体の対角線の長さの 1/2だから　2√3　です。
(3) 出来上がった立体の体積は、もとの立方体の体積の 1/2です。

(2)(3)については、出来上がった立体はもとの立方体を切断したものになっており、
切断された部分と合同になっているからです。
No.6275 - 2009/06/13(Sat) 16:39:47
☆ Re: 高校入試の問題です / ヨッシー

図のように、立方体を、ちょうど半分に切った形になります。
(1)１辺2√2の正六角形なので、12√3 でいいです。
(2)
高さは、１辺４の立方体の対角線(最も遠い２点の距離)
の半分なので、4√3÷2＝2√3
あとは底面積×高さ÷3 です。
または、

図のように、立方体の半分から、三角錐3つを取り除いた
ものと考える方法もあります。
(3) 立方体の半分なので・・・
No.6277 - 2009/06/13(Sat) 17:08:09
☆ Re: 高校入試の問題です / rino
ありがとうございます。空間の図形のイメージがしやすい解説ありがとうございました。よくわかりました。
No.6294 - 2009/06/14(Sun) 14:23:47
★ (No Subject) / りえ
はじめまして。√を使った計算を教えてください。

√２×√６×√３＝
です。よろしくお願いします。

また、他にも分からないことがありますので、また質問させてください。
No.6270 - 2009/06/13(Sat) 12:27:06
☆ Re: / ヨッシー
√２×√３ は出来ますか？
No.6274 - 2009/06/13(Sat) 15:46:20
☆ Re: / りえ
> √２×√３ は出来ますか？

そのまま掛ければいいのでしょうか？
√６　？
No.6278 - 2009/06/13(Sat) 17:30:01
☆ Re: / ヨッシー
なぜ、そのまま掛ければいいと思いますか？
No.6279 - 2009/06/13(Sat) 18:35:34
☆ Re: / りえ
分かりません。
No.6283 - 2009/06/14(Sun) 09:42:58
☆ Re: / ヨッシー
√２×√３＝ｘ　（ｘ＞０）とおき、両辺２乗すると、
　√２×√３×√２×√３＝ｘ2
　(左辺)＝(√２×√２)×(√３×√３)＝２×３＝６
より、
　ｘ2＝６
ｘ＞０ より ｘ＝√６

これだけのことがわかっていて、公式
　√ａ×√ｂ＝√(ａｂ)　（ａ＞０，ｂ＞０）
を、使う資格があります。

では、√２×√６×√３ は、すぐ出来ますね。
No.6286 - 2009/06/14(Sun) 10:34:38
☆ Re: / りえ
ヨッシーさん　こんなに丁寧に教えていただきありがとうございます。

> では、√２×√６×√３ は、すぐ出来ますね。

√３６　です。
No.6287 - 2009/06/14(Sun) 10:49:18
☆ Re: / ヨッシー
√36は、もっと簡単になりますね。
No.6309 - 2009/06/15(Mon) 06:07:33
☆ Re: / りえ
> √36は、もっと簡単になりますね。

６　ですね。
No.6324 - 2009/06/16(Tue) 15:14:52
★ 極限 / みほ
またお願いします。
連日すみません・・・。
中間テストが近いもので・・・・。

次の極限を求めよ。
（１）lim（ｘ→０）（sinx−xcosx）／（sinx−x）
（２）lim（ｘ↓π／２）｛log（x−（π／２））｝／tanx
（３）lim（ｘ→０）（a^x−b^x）／x√（１−x＾２）


ロピタルの定理を利用すると思うのですが、どこまで変換すればいいのかわかりません。
解説お願いします。
No.6267 - 2009/06/13(Sat) 09:03:17
☆ 極限 / みほ
自力でなんとか解決できました。
解説は大丈夫です。
No.6276 - 2009/06/13(Sat) 16:42:56
★ 対称性という用語の使い方。 / ベジータ
こんばんは。

対称性（たいしょうせい）、又はシンメトリー(Symmetry)とは、ある変換に関して不変である性質のことを言う。

と書いてありました。

図において、
「正方形の対称性から、a=bである。」
という「対称性」という用語の使い方は間違えていますか？
No.6264 - 2009/06/13(Sat) 00:23:37
☆ Re: 対称性という用語の使い方。 / ヨッシー
言葉通りに解釈するなら、対角線に対して
対称に移すという変換に対して不変と言えます。

ただ、その前に正方形の定義というものがあって、
その結果として、「対角線に対して対称」が出てくるので、
対称だから、正方形であるというのは、話が逆だと思います。
No.6268 - 2009/06/13(Sat) 09:16:15
☆ Re: 対称性という用語の使い方。 / ベジータ
図において、
「正方形の対称性から、a=bである。」
という「対称性」という用語の使い方は間違えていますか？
No.6280 - 2009/06/13(Sat) 18:51:16
☆ Re: 対称性という用語の使い方。 / だいさんしゃ
No.6280の ベジータ さんの書き込みは
「No.6268 ヨッシーさんの回答はまったく役立たず。
　どなたか別の回答はありませんか？」
と思えます。とても失礼な態度ではないでしょうか？

まあ・・

No.6281
そうやってやるというのを思いつくダンディーさんはすごい頭がいいです。

このような表現をしている人間であればしょうがないんでしょうね。

本題に関しては、まず
「正方形の対称性から、a=bである。」
という文の妥当性について考えてみたらいかがでしょうか？
No.6284 - 2009/06/14(Sun) 09:48:15
★ (No Subject) / ベジータ
ユークリッド原論で、
三角形の合同条件「二辺夾角相等」の証明に使われている、「二辺夾角相等に非常に近い公理」があるというのですが、その公理とはどのようなものでしょうか？
No.6263 - 2009/06/13(Sat) 00:16:36
★ (No Subject) / ベジータ
三角形の合同条件から、三角形の相似条件を示すにはどうやるのですか？

よろしくお願いいたします。
No.6262 - 2009/06/13(Sat) 00:16:19
☆ Re: / DANDY　U
２つの図形が相似であるとは「一方を拡大または縮小して他方と合同にすることができる」こと。
拡大(縮小)した場合は「対応する線分の比はすべて等しく、対応する角もすべて等しい」
これらを前提に説明してみます。

【２組の辺の比が等しく、その間の角が等しければ相似である】の証明
△ABCと△DEFにおいて、AB=k*DE,AC=k*DF,∠A＝∠D　とします。
△DEFのDEがｋ倍になるように拡大してできる三角形を△D'E'F'とします。すると
D'E'=k*DE ,D'F'=k*DF ,∠D'=∠D
となります。
初めにあった△ABCと△D'E'F'を比較すると２辺夾角相等で合同となります。
よって、△DEFを拡大して△ABCと合同にすることができたので、２つの図形は相似である
ということになります。

他の相似条件も同様です。
No.6265 - 2009/06/13(Sat) 08:38:55
☆ Re: / ベジータ
そうやってやるのですね。
そうやってやればよいということが思いつきませんでしたが。

そうやってやるというのを思いつくダンディーさんはすごい頭がいいです。

ありがとうございました。
No.6281 - 2009/06/13(Sat) 19:04:27
★ 逆三角関数の微積 / 大１
∫1/(1＋x^2)dx=tan^-1(x)なのはいいのですが
∫1/(3＋x^2)dx=(1/√3)・tan^-1(x/√3)
となるのはなぜでしょうか？？
導き方がわかりません
よろしくお願いします
No.6259 - 2009/06/12(Fri) 23:37:17
☆ Re: 逆三角関数の微積 / 雀
t=x/√3
と置換すると分かりと思います。
No.6260 - 2009/06/12(Fri) 23:42:56
★ 二次方程式 / リン
はじめての投稿です。よろしくお願いします。
高校１年の二次方程式の問題です。答えは分かっているのですが…

問題　xについての方程式2(k−1)x2乗＋2(k＋3)x＋k＋6＝0の　　　　実数解がただ１つだけであるような定数kの値を求めよ。

(?@)k＝0のとき
　　ここがわかりませんので教えてください。

(?A)kノット＝0のとき
　　判別式D/4 ＝(k＋3)2乗−2(k−1)(k＋6)
　　　　　　　＝k2乗＋4k−21
(k＋7)(k−3)＝0
k＝−7,3

答えk＝−7,1,3
※(?@)でどのように解けばk＝1が導くことが出来るのか教えて
　ください。
　
No.6257 - 2009/06/12(Fri) 21:45:05
☆ Re: 二次方程式 / rtz
それより先に表記を。
・累乗は「 ^ 」
・not equalは「 ≠ 」(＝の変換候補に出るはず)

条件も間違えてますが、
k≠1は"2次"方程式である条件です。
k＝1なら2次にはなりません。

投稿前に書いた内容を確認しましょう。
No.6258 - 2009/06/12(Fri) 21:50:50
★ ライプニッツ / みほ
また投稿します。

次の第２次導関数を求めよ。
（１-ｘ＾２）＾n


たとえば{x＾３*e^(３x)}という問題ならば、f(x)=x＾３、g
(x)=e^(３x)とおいて微分して求めることができますが、今回はどのように設定すればいいのでしょうか？

解説お願いします。
No.6253 - 2009/06/12(Fri) 14:19:12
☆ Re: ライプニッツ / ヨッシー
上の、ｆとｇのは、積の積分ですね。
　(ｆｇ)'＝ｆ'ｇ＋ｆｇ'
というヤツです。で、(１−ｘ2)n は、合成関数の積分
　ｙ＝ｆ(u)，ｕ＝ｇ(x) のとき、
　dy/dx＝(dy/du)(du/dx)
これは、公式よりも、やったほうが早いです。
　ｕ＝１−ｘ2， ｙ＝ｕn
とすると、ｙ＝ｆ(u)，ｕ＝ｇ(x) の形になりますね。
　dy/du＝(ｕn)'＝ｎｕn-1
　du/dx＝-2x
なので、
　dy/dx＝(-2x)・ｎｕn-1
ｕ のままではいけないので、ｕ＝１−ｘ2 より、
　dy/dx＝-2nｘ(１−ｘ2)n-1
です。さらにもう一回微分します。今度は、積の微分も
使いますよ。
No.6255 - 2009/06/12(Fri) 15:03:01
☆ ライプニッツ / みほ
理解できました。

わかりやすい解説本当にありがとうございます。


またよろしくお願いします。
No.6266 - 2009/06/13(Sat) 08:53:52
★ 微分 / 沙羅
三次方程式x^3-3x^2-9x-a+3=0
の異なる実数解の個数は、定数aの値によって
どのように変わるか調べよ。


これは
まず微分するんでしょうか？？
でもそうしたら
aが消えてしまいます‥‥

宜しくお願いします
No.6247 - 2009/06/11(Thu) 22:36:51
☆ Re: 微分 / BossF
f(x)=x^3-3x^2-9x+3 と　y=-a の交点の個数として考えます

y=f(x)の概形はかけますよね？
No.6248 - 2009/06/11(Thu) 23:00:08
☆ Re: 微分 / 雀
横から申し訳ありません。
f(x)=x^3-3x^2-9x+3 と　y=a
ですね。
No.6249 - 2009/06/11(Thu) 23:23:27
☆ Re: 微分 / DANDY　U
[別解] f(x)＝x^3−3x^2−9x−a＋3 とおいて微分してもできますよ。

f'(x)＝3x^2−6x−9　で f'(x)＝0　なるｘは 3,−1 であるから
極小値は　f(3)＝−a−24、極大値は f(-1)＝−a＋8 となり
(1) f(3)＞0　なら解の個数は１個
(2) f(3)＝0 なら解の個数は２個
(3) f(3)＜0＜f(-1) なら解の個数は３個
(4)(5)　・・・

(1)〜(5)のときのａの範囲をだす手間の分だけ、BossFさんの解法のほうがやや楽でしょう。
(式については、雀さんが指摘されたとおりですね）
No.6254 - 2009/06/12(Fri) 14:26:19
★ 大学数学 / ｘｘ
f(X)が区間I上の凸関数であるとき?煤ij=1〜n)Tj=1を満たす
任意のT1,T2,・・・,Tn∈(0,1)に対して

f(?煤ij=1〜n)TjXj)＜?煤ij=1〜n)Tjf(Xj)
(X1,X2・・・,Xn)∈I

が成り立つことをnに関する数学的帰納法を用いて示せ。

よろしくお願いします。表記がむずかしい..
No.6245 - 2009/06/11(Thu) 21:23:49
☆ Re: 大学数学 / ｘｘ
もう一問お願いします。
lim(x→-∞,0,∞の３つについて）〈{(a^x)＋(b^x)}/2〉^1/x
極限値を求めよ
No.6246 - 2009/06/11(Thu) 21:42:51
★ 方程式の変形について / ハオ
2^4x(2の4x乗）-4^x+1(4のx+1乗)>0の問題について

2^4x>4^x+1⇔2^4x>2^2x+2　底>0より4x>2x+2⇔x>1

と僕はノートに書いています。ところで方程式の変形において⇔の記号を用いても問題ありませんか？
又、もし問題があるのなら模試等でどの様に記せばよいのかご教授下さい。
代ゼミの模試の模範解答ではα=0.001などの時の電離の式に用いられる矢印が書いてありました。
No.6243 - 2009/06/11(Thu) 21:12:40
☆ Re: 方程式の変形について / ヨッシー
同値変形なら、問題ないと思います。
ですから、上の場合も、ＯＫです。

ｘ＝−２　⇔　ｘ2＝４
は、まずいですね。
No.6250 - 2009/06/11(Thu) 23:35:51
全22520件 [ ページ : << 1 ... 1039 1040 1041 1042 1043 1044 1045 1046 1047 1048 1049 1050 1051 1052 1053 ... 1126 >> ]